10038

Определение и свойства символа Лежандра

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Двучленным квадратичным сравнением называется сравнение вида где неизвестный вычет. Целое число a называется квадратичным вычетом по модулю n если сравнение разрешимо. Если сравнение разрешимо то для составного модуля количество решений как правило больше дву...

Русский

2013-03-20

46.5 KB

12 чел.

Двучленным квадратичным сравнением называется сравнение вида , где - неизвестный вычет.

Целое число a называется квадратичным вычетом по модулю n, если сравнение  разрешимо. Если сравнение разрешимо, то для составного модуля количество решений, как правило, больше двух.

В общем случае, не только данная задача, но даже вопрос о разрешимости квадратичного сравнения по составному модулю, факторизация которого неизвестна, является нерешенной проблемой.

В то же время для модулей, являющихся простыми числами, задача легко поддается анализу.

Определение и свойства символа Лежандра.

Существуют алгоритмы для определения, является ли данное число квадратичным вычетом по простому модулю или нет. Один из алгоритмов связан с вычислением значения т.н. символа Лежандра, который для нечетного простого определяется так:

Значение  называется квадратичным характером числа   по модулю .

Основные свойства символа Лежандра.

;

Критерий Эйлера: ;  

;   ;

,   ;   .

Квадратичный закон взаимности Гаусса: для любых простых нечетных чисел и выполняется равенство .   Символ Лежандра  можно вычислить с помощью следующей последовательности действий. (1) Если , то выделяем сомножитель ;  (2) приводим по модулю ; (3) раскладываем в произведение степеней простых чисел, используя мультипликативность символа Лежандра: , затем удаляем сомножители являющиеся квадратами; (4) выделяем двойки, например, если , вычисляем ; (5) для каждого нечетного сомножителя применяем квадратичный закон взаимности (уменьшаем величины участвующих в вычислениях чисел); (6) при необходимости, переходим к п.(1).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27325. Память и способы запоминания 34.5 KB
  По содержанию образная память моторная память эмоциональная память; по организации запоминания эпизодическая память семантическая память процедурная память; по временным характеристикам долговременная декларативная память кратковременная память ультракратковременная память; по физиологическим принципам определяемая структурой связей нервных клеток она же долговременная и определяемая текущим потоком электрической активности нервных путей она же кратковременная по наличию цели произвольная и непроизвольная; по наличию...