10214

Расчет пластины погруженной в жидкость

Контрольная

Производство и промышленные технологии

Расчет пластины погруженной в жидкость. Краткая теория. Нагрев неограниченной пластины. Дана неограниченная пластина толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверх

Русский

2013-03-21

197 KB

11 чел.

Расчет пластины погруженной в жидкость.

Краткая теория.

  Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (1)

T(x,0)=f(x);                                                             (2)

;                                               (3)

.                                              (4)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (5)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (6)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (7)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (8)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (9)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)= , распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


Цель работы:        1. Изучение методов решения тепловых задач.

  2.Изучение возможностей Mathcad. 

Выполнения работы.

По заданным данным и значениям вектора х, используя критерий Био находим вектор у.

По ним строим график:

С помощью графика вычисляем около 10 значений Х. И далее по этим значение рассчитываем Относительную температуру:

Ответы на вопросы.

  1.  Какие процессы имеют место при нагреве пластины погруженной в жидкость.

При нагреве пластины погруженной в жидкость будут происходить следующие процессы.

  1.  Передача тепла от жидкость к пластине.
  2.  Процесс медленного нагрева пластины от краев к центру, до тех пор пока система не обретет равновесное состояние.
  3.  Процесс остывания жидкости до тех пор пока система не обретет равновесное состояние.
  4.  Отчего зависит перепад температуры между поверхностями нагреваемой с одной стороны индукционным способом стенки.

При индукционном нагреве на высокой частоте вихревые токи вытесняются образованным ими же магнитным полем в тонкие поверхностные слои заготовки Δ (Поверхностный-эффект), в результате чего их плотность резко возрастает, и заготовка разогревается. Нижерасположенные слои металла прогреваются за счёт теплопроводности. В скин-слое Δ плотность тока уменьшается в e раз относительно плотности тока на поверхности заготовки, при этом в скин-слое выделяется 86,4 % тепла (от общего тепловыделения. Глубина скин-слоя зависит от частоты излучения: чем выше частота, тем тоньше скин-слой. Также она зависит от относительной магнитной проницаемости μ материала заготовки.

То есть внутренние слои заготовки нагреваются за счет теплопроводности, и следовательно чем дальше слой от внешнего слоя тем медленней он нагреваеться.

  1.  От чего зависит число членов ряда аналитического решения тепловой задачи.

Число членов ряда при аналитическом решении зависит от того какая необходима точность расчетов, то есть чем больше членов ряда мы примем во внимание тем точнее будет наш расчет.

  1.  Какое решение точнее – аналитическое или численное. Составляющая точность.

Оба этих метода могут обеспечить заданную точность расчетом. И при расчетах больше значение будет иметь оператор проводящий данные расчеты поскольку одной из основных частей погрешности является погрешность оператора.

  1.  Прокладка кабеля на воздухе обладает самыми хорошими тепловыми характеристиками. Об этом можно судить по добавочному коэффициенту.

Вывод:

Во время выполнения работы были изучены методы расчета нагрева неограниченных пластин. А так же мы изучили способы построения графиков в Mathcad, и получения точных значений по графику.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40900. Відкриті резонатори 118.5 KB
  Тут не можна використовувати геометричні наближення потрібно розвязувати рівняння Максвела. Розвяжемо рівняння Максвела для сферичного діелектричного резонатора. Щоб отримати саме хвильове рівняння де була б ще й похідна необхідно зробити заміну: . Розвяжемо простіше рівняння для та методом відокремлених змінних: тоді .
40901. Метод магнітної стінки 112.5 KB
  Обернена ситуація хвиля виходить з металу або діелектрика в вакуум. Зліва стояча хвиля справа біжуча звичайна зі сталою амплітудою. вакуум метал Пряма хвиля ідбита хвиля Граничні умови:.
40902. Ортогональність власних хвиль у хвильоводі 125.5 KB
  Запишемо лему Лоренца для цього випадку. ( - стала розповсюдження.) У вигляді хвилі візьмемо властивість хвилі у хвильоводі: ; - позначення. бо розглядаємо власні хвилі і зовнішніх струмів немає.
40903. Збудження обємних резонаторів 136.5 KB
  Таким чином маємо ортонормованість власних функцій резонатора з нормою яку легко знайти. Таким чином МП псевдовектор ЕП вектор. Таким чином для гармонічних полів: . Таким чином довели строге рівняння Пуансона для електростатичної частини полів.
40904. Неоднорідності у хвильоводі 151 KB
  Таким чином ми розв’язали рівняння Максвела, не розв’язуючи їх. (Зауваження: ми не враховували електростатичних полів). Тепер зашиємо розв’язки справа та зліва, наклавши граничні умови при (всі поля повинні бути неперервні)
40905. Струми і напруги в техніці НВЧ 139 KB
  Опір хвильовода теж можна визначити порізному: . Таким чином повний опір залежить від координат. Опір в точці в точці навантаження: . Якщо тобто ми розглянули точку знаходження навантаження маємо опір .
40906. Виявлення сигналів НВЧ 107.5 KB
  Еквівалентна схема діодадетектора: Ідеальна частота оскільки лише та покращити не можна. Визначимо потужність яку цей діод може зареєструвати: знайдемо чутливість приймача на базі квадратичного детектора. Якість детектора .
40907. Лінійний детектор змішувач 143 KB
  Шум завжди підсилюється більше ніж сигнал, тому показує, у скільки разів шум підсилюється більше, ніж сигнал. , бо немає схем в яких . , де - шум, згенерований всередині. Позначено - ми виносимо джерело струму за підсилювач. Погано в формулі те, що залежить від , тобто від оточуючого середовища. Домовились, що . Тоді для добрих приймачів: , де - еквівалентна температура входу (шуму) приймача.
40908. Вимірювання опорів 97 KB
  Нехай в лінію з опором підключили навантаження . , тому частина енергії відбивається. Можна паралельно підключити лінію з закороткою, яку можна рухати вздовж лінії. Це шлейфовий трансформатор або тромбон. Опір шлейфа: . Ми ставимо закоротку на кінці шлейфу, , тоді . Таким чином ми можемо ввести в лінію будь-який реактивний опір (закоротка не вносить активного опору).