10214

Расчет пластины погруженной в жидкость

Контрольная

Производство и промышленные технологии

Расчет пластины погруженной в жидкость. Краткая теория. Нагрев неограниченной пластины. Дана неограниченная пластина толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверх

Русский

2013-03-21

197 KB

11 чел.

Расчет пластины погруженной в жидкость.

Краткая теория.

  Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (1)

T(x,0)=f(x);                                                             (2)

;                                               (3)

.                                              (4)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (5)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (6)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (7)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (8)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (9)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)= , распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


Цель работы:        1. Изучение методов решения тепловых задач.

  2.Изучение возможностей Mathcad. 

Выполнения работы.

По заданным данным и значениям вектора х, используя критерий Био находим вектор у.

По ним строим график:

С помощью графика вычисляем около 10 значений Х. И далее по этим значение рассчитываем Относительную температуру:

Ответы на вопросы.

  1.  Какие процессы имеют место при нагреве пластины погруженной в жидкость.

При нагреве пластины погруженной в жидкость будут происходить следующие процессы.

  1.  Передача тепла от жидкость к пластине.
  2.  Процесс медленного нагрева пластины от краев к центру, до тех пор пока система не обретет равновесное состояние.
  3.  Процесс остывания жидкости до тех пор пока система не обретет равновесное состояние.
  4.  Отчего зависит перепад температуры между поверхностями нагреваемой с одной стороны индукционным способом стенки.

При индукционном нагреве на высокой частоте вихревые токи вытесняются образованным ими же магнитным полем в тонкие поверхностные слои заготовки Δ (Поверхностный-эффект), в результате чего их плотность резко возрастает, и заготовка разогревается. Нижерасположенные слои металла прогреваются за счёт теплопроводности. В скин-слое Δ плотность тока уменьшается в e раз относительно плотности тока на поверхности заготовки, при этом в скин-слое выделяется 86,4 % тепла (от общего тепловыделения. Глубина скин-слоя зависит от частоты излучения: чем выше частота, тем тоньше скин-слой. Также она зависит от относительной магнитной проницаемости μ материала заготовки.

То есть внутренние слои заготовки нагреваются за счет теплопроводности, и следовательно чем дальше слой от внешнего слоя тем медленней он нагреваеться.

  1.  От чего зависит число членов ряда аналитического решения тепловой задачи.

Число членов ряда при аналитическом решении зависит от того какая необходима точность расчетов, то есть чем больше членов ряда мы примем во внимание тем точнее будет наш расчет.

  1.  Какое решение точнее – аналитическое или численное. Составляющая точность.

Оба этих метода могут обеспечить заданную точность расчетом. И при расчетах больше значение будет иметь оператор проводящий данные расчеты поскольку одной из основных частей погрешности является погрешность оператора.

  1.  Прокладка кабеля на воздухе обладает самыми хорошими тепловыми характеристиками. Об этом можно судить по добавочному коэффициенту.

Вывод:

Во время выполнения работы были изучены методы расчета нагрева неограниченных пластин. А так же мы изучили способы построения графиков в Mathcad, и получения точных значений по графику.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78308. СИСТЕМА ДОПУСКОВ И ПОСАДОК ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ С ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 953 KB
  Верхнее предельное отклонение отверстия и вала обозначим ES и es. Нижнее предельное отклонение отверстия и вала обозначим EI и ei. Номинальные размеры отверстия и вала будем принимать равными и обозначать соответственно Dн и dн. Допуск размера обозначается ТD для отверстия и Td для вала.
78309. НОРМИРОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ФОРМЫ И РАСПОЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЕТАЛЕЙ 964 KB
  Отклонение формы поверхностей Отклонением формы называется отклонение реальной поверхности или реального профиля от формы идеальной поверхности или идеального профиля. Допуск формы это величина в пределах которой может изменяться отклонение формы. Будем использовать следующие обозначения: Δ отклонение формы; Т допуск формы; L длина участка на котором определяется отклонение...
78310. НОРМИРОВАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ К НЕРОВНОСТЯМ НА ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ (ШЕРОХОВАТОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ) 808.5 KB
  Базовая линия это линия заданной геометрической формы определенным образом проведенная относительно профиля и служащая для оценки геометрических параметров поверхностных неровностей. Короче говоря базовая линия при получении профиля поверхности элемента детали проводится в виде линии эквидистантной геометрической форме поверхности. Средняя линия профиля m это базовая линия имеющая форму номинального профиля и проведенная так что в пределах базовой длины среднее квадратичное отклонение профиля от этой линии минимально...
78311. НОРМИРОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ДЕТАЛЕЙ, СОПРЯГАЕМЫХ С ПОДШИПНИКАМИ КАЧЕНИЯ 406 KB
  В подшипниках качения между поверхностью вращающейся детали и поверхностью опор располагаются шарики или ролики. Внутренний диаметр внутреннего кольца В ширина высота колец подшипника при одинаковой ширине наружного и внутреннего колец. Общий вид подшипника качения роликовый Класс точности подшипника характеризуется целым комплексом точностных требований относящихся к отклонениям размеров формы и расположения...
78312. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ 312 KB
  Размерные цепи при образовании посадок: а для посадки с зазором; для посадки с натягом Если рассмотреть связи между размерами звеньев составляющих размерную цепь и замыкающим звеном можно увидеть особенность этих звеньев по которой все составляющие звенья цепи разделяются на увеличивающие и уменьшающие рис. необходимо решать вопрос о нормировании точности составляющих звеньев и точности замыкающего звена чтобы устройство образующее размерную цепь в виде отдельной детали или сборочной единицы выполняло свое служебное...
78313. Машины для соединения деталей и обработки узлов одежды физико-химическим и электро-физическим способами 19.28 KB
  Существует несколько видов сварки деталей из термопластичных одежных материалов. Разновидностью термоконтактного способа сварки является термоимпульсная сварка которая применяется для ПВХ и полиэтиленовых пленок. Оборудование при термоимпульсном способе сварки применяется в основном в виде прессов например УЗП2500 ДиЭлектро. Установки для ВЧ сварки включают в себя электроды механизм давления генератор ВЧ приборы контроля режима сварки и автоматического управления процессом.
78314. Дополнительные механизмы и устройства швейных машин 22.44 KB
  Приспособления для направления полуфабриката к иглам швейных машин в зависимости от типа шва выполняемого с их применением по классификации ЦНИИШП разбиты на 6 групп. В первую группу объединены приспособления для выполнения соединительных и отделочных швов без подгибания материалов. Во вторую третью и четвертую группы входят приспособления для выполнения таких швов где требуется подгибать один или несколько слоев материала. При этом во вторую группу входят приспособления где подгибание не связано с соединением деталей например...
78315. Классификация машин-полуавтоматов 24.31 KB
  Для пришивания пуговиц применяют полуавтомат с челночным и однониточным цепным переплетением ниток. Пришивание пуговиц с челночным переплетением ниток выполняют на машине 727 827 классов кроме того пришивание металлических крючков и петель на полуавтомате 53 класса и изготовление закрепок на машине 220М и 820 классов. Пришивание пуговиц однониточным цепным стежком выполняют на полуавтоматах...
78316. ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ 175.5 KB
  Внимание сопровождает процессы восприятия памяти мышления и т. У дочеловеческих организмов есть только два вида памяти: генетическая и механическая. Человеку также присущи эти два вида памяти. Сохранить можно только то что запомнил а воспроизвести то что сохранил в памяти.