10214

Расчет пластины погруженной в жидкость

Контрольная

Производство и промышленные технологии

Расчет пластины погруженной в жидкость. Краткая теория. Нагрев неограниченной пластины. Дана неограниченная пластина толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверх

Русский

2013-03-21

197 KB

11 чел.

Расчет пластины погруженной в жидкость.

Краткая теория.

  Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (1)

T(x,0)=f(x);                                                             (2)

;                                               (3)

.                                              (4)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (5)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (6)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (7)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (8)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (9)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)= , распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


Цель работы:        1. Изучение методов решения тепловых задач.

  2.Изучение возможностей Mathcad. 

Выполнения работы.

По заданным данным и значениям вектора х, используя критерий Био находим вектор у.

По ним строим график:

С помощью графика вычисляем около 10 значений Х. И далее по этим значение рассчитываем Относительную температуру:

Ответы на вопросы.

  1.  Какие процессы имеют место при нагреве пластины погруженной в жидкость.

При нагреве пластины погруженной в жидкость будут происходить следующие процессы.

  1.  Передача тепла от жидкость к пластине.
  2.  Процесс медленного нагрева пластины от краев к центру, до тех пор пока система не обретет равновесное состояние.
  3.  Процесс остывания жидкости до тех пор пока система не обретет равновесное состояние.
  4.  Отчего зависит перепад температуры между поверхностями нагреваемой с одной стороны индукционным способом стенки.

При индукционном нагреве на высокой частоте вихревые токи вытесняются образованным ими же магнитным полем в тонкие поверхностные слои заготовки Δ (Поверхностный-эффект), в результате чего их плотность резко возрастает, и заготовка разогревается. Нижерасположенные слои металла прогреваются за счёт теплопроводности. В скин-слое Δ плотность тока уменьшается в e раз относительно плотности тока на поверхности заготовки, при этом в скин-слое выделяется 86,4 % тепла (от общего тепловыделения. Глубина скин-слоя зависит от частоты излучения: чем выше частота, тем тоньше скин-слой. Также она зависит от относительной магнитной проницаемости μ материала заготовки.

То есть внутренние слои заготовки нагреваются за счет теплопроводности, и следовательно чем дальше слой от внешнего слоя тем медленней он нагреваеться.

  1.  От чего зависит число членов ряда аналитического решения тепловой задачи.

Число членов ряда при аналитическом решении зависит от того какая необходима точность расчетов, то есть чем больше членов ряда мы примем во внимание тем точнее будет наш расчет.

  1.  Какое решение точнее – аналитическое или численное. Составляющая точность.

Оба этих метода могут обеспечить заданную точность расчетом. И при расчетах больше значение будет иметь оператор проводящий данные расчеты поскольку одной из основных частей погрешности является погрешность оператора.

  1.  Прокладка кабеля на воздухе обладает самыми хорошими тепловыми характеристиками. Об этом можно судить по добавочному коэффициенту.

Вывод:

Во время выполнения работы были изучены методы расчета нагрева неограниченных пластин. А так же мы изучили способы построения графиков в Mathcad, и получения точных значений по графику.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72569. КОНСТИТУЦИОННОЕ ПРАВО ЧЕЛОВЕКА НА ДОСТОЙНУЮ ЖИЗНЬ И ДОСТОЙНОЕ ЕЕ ЗАВЕРШЕНИЕ 128 KB
  Статья 7 Конституции Российской Федерации провозглашает Россию социальным государством политика которого направлена на создание условий обеспечивающих достойную жизнь и свободное развитие человека. Под достойной жизнью понимают прежде всего материальную обеспеченность на уровне...
72570. ПРОБЛЕМЫ РАССМОТРЕНИЯ В СУДЕ ДЕЛ ОБ ОСПАРИВАНИИ ОТЗЫВА ЛИЦЕНЗИИ, ПРЕДПИСАНИЙ, А ТАКЖЕ ДЕЛ О ПРИНУДИТЕЛЬНОЙ ЛИКВИДАЦИИ БАНКОВ 112 KB
  После отзыва лицензии временная администрация действует от имени кредитной организации во всех иных судебных делах в том числе и в тех где другой стороной спора является Центральный банк России. В практике Арбитражного суда города Москвы были дела, когда после отзыва лицензии у банка...
72571. ПРАВОВЫЕ ОСНОВЫ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ СИСТЕМЫ СТРАХОВОЙ ЗАЩИТЫ ИМУЩЕСТВЕННЫХ РИСКОВ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 114.5 KB
  Общий объем страховых платежей взносов по всем видам страхования за 2005 г. Доля средств от страхования в валовом внутреннем продукте страны выросла с 16 процента в 1998 г. Активно развивается рынок посреднических и дополнительных услуг в области страхования услуги агентов...
72572. РЕПУТАЦИОННЫЙ ВРЕД КАК ПОСЛЕДСТВИЕ УМАЛЕНИЯ ДЕЛОВОЙ РЕПУТАЦИИ ЮРИДИЧЕСКОГО ЛИЦА 128.5 KB
  В Гражданском кодексе дано детальное определение юридического лица: статья 48 Понятие юридического лица гласит что это организация которая имеет в собственности хозяйственном ведении или оперативном управлении обособленное имущество и отвечает по своим обязательствам этим имуществом...
72573. ПРИНЦИПЫ БЮДЖЕТНОГО ПРАВА И ПРОЦЕССА 138 KB
  Последнее обстоятельство особенно важно для налогового права в условиях продолжающейся бюджетной реформы когда еще не выработана общепринятая концепция построения и развития бюджетной системы Российской Федерации не определены на государственном уровне ориентиры бюджетной политики страны.
72574. ЗАВЕЩАНИЕ КАК СПОСОБ РАСПОРЯЖЕНИЯ ИМУЩЕСТВОМ 92 KB
  Тесная взаимосвязь права собственности и наследственного права проявляется в основном в двух обстоятельствах: наследование является одним из оснований приобретения права собственности завещание же как сделка есть один из вариантов реализации правомочия распоряжения являющегося...
72575. ПОНЯТИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ СУБЪЕКТИВНЫХ ПРАВ И СВОБОД И СПОСОБЫ ИХ ОГРАНИЧЕНИЯ 193.5 KB
  Права человека это ценностный ориентир позволяющий применять человеческое измерение не только к государству праву закону законности правовому порядку но и к гражданскому обществу поскольку степень зрелости и развитости последнего зависит в значительной мере от состояния дел...
72576. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПОРЯДКА ПРОДАЖИ ПРЕДПРИЯТИЯ КАК ПРОЦЕДУРЫ ВНЕШНЕГО УПРАВЛЕНИЯ 133 KB
  Продажа предприятия одно из наиболее серьезных мероприятий внешнего управления нуждающееся в детальной регламентации. Возможность продажи предприятия предусматривалась и Законом о несостоятельности банкротстве 1998 г.