10214

Расчет пластины погруженной в жидкость

Контрольная

Производство и промышленные технологии

Расчет пластины погруженной в жидкость. Краткая теория. Нагрев неограниченной пластины. Дана неограниченная пластина толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверх

Русский

2013-03-21

197 KB

11 чел.

Расчет пластины погруженной в жидкость.

Краткая теория.

  Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (1)

T(x,0)=f(x);                                                             (2)

;                                               (3)

.                                              (4)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (5)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (6)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (7)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (8)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (9)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)= , распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


Цель работы:        1. Изучение методов решения тепловых задач.

  2.Изучение возможностей Mathcad. 

Выполнения работы.

По заданным данным и значениям вектора х, используя критерий Био находим вектор у.

По ним строим график:

С помощью графика вычисляем около 10 значений Х. И далее по этим значение рассчитываем Относительную температуру:

Ответы на вопросы.

  1.  Какие процессы имеют место при нагреве пластины погруженной в жидкость.

При нагреве пластины погруженной в жидкость будут происходить следующие процессы.

  1.  Передача тепла от жидкость к пластине.
  2.  Процесс медленного нагрева пластины от краев к центру, до тех пор пока система не обретет равновесное состояние.
  3.  Процесс остывания жидкости до тех пор пока система не обретет равновесное состояние.
  4.  Отчего зависит перепад температуры между поверхностями нагреваемой с одной стороны индукционным способом стенки.

При индукционном нагреве на высокой частоте вихревые токи вытесняются образованным ими же магнитным полем в тонкие поверхностные слои заготовки Δ (Поверхностный-эффект), в результате чего их плотность резко возрастает, и заготовка разогревается. Нижерасположенные слои металла прогреваются за счёт теплопроводности. В скин-слое Δ плотность тока уменьшается в e раз относительно плотности тока на поверхности заготовки, при этом в скин-слое выделяется 86,4 % тепла (от общего тепловыделения. Глубина скин-слоя зависит от частоты излучения: чем выше частота, тем тоньше скин-слой. Также она зависит от относительной магнитной проницаемости μ материала заготовки.

То есть внутренние слои заготовки нагреваются за счет теплопроводности, и следовательно чем дальше слой от внешнего слоя тем медленней он нагреваеться.

  1.  От чего зависит число членов ряда аналитического решения тепловой задачи.

Число членов ряда при аналитическом решении зависит от того какая необходима точность расчетов, то есть чем больше членов ряда мы примем во внимание тем точнее будет наш расчет.

  1.  Какое решение точнее – аналитическое или численное. Составляющая точность.

Оба этих метода могут обеспечить заданную точность расчетом. И при расчетах больше значение будет иметь оператор проводящий данные расчеты поскольку одной из основных частей погрешности является погрешность оператора.

  1.  Прокладка кабеля на воздухе обладает самыми хорошими тепловыми характеристиками. Об этом можно судить по добавочному коэффициенту.

Вывод:

Во время выполнения работы были изучены методы расчета нагрева неограниченных пластин. А так же мы изучили способы построения графиков в Mathcad, и получения точных значений по графику.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38313. Історія світової економіки 519.5 KB
  Промисловий переворот в США. Промисловий переворот у США зайняв недовгий час. Промисловий переворот у США проходив пізніше ніж в Англії використавши англійський технічний досвід при цьому значно збагативши його. США знаходились у вигідному географічному положенні далеко від своїх конкурентів.
38314. Історія економічної думки 378 KB
  Собственность при рабовладении реализовалась через вкладывание воли одного человека в другого человека в отличии от товарного производства где воля вкладывалась в мертвую вещь. В зависимости от природы людей так и внешней природы складывались два способа производства: азиатский который прошли страны Востока а также и античный Древняя Греция и Рим. Однако в азиатском способе производства где природные процессы оставались длительное время неизменными обмен не получал широкого развития. Собственность на средства производства...
38316. История экономических учений, курс лекций 3.42 MB
  Учебная дисциплина «История экономики и экономических учений» состоит из двух блоков: «История экономики» и «История экономических учений». Данная дисциплина является своеобразным продолжением и дополнением курсов политической экономии, микро-макроэкономики и других наук, которые изучались студентами ранее.
38318. Історія економіки. Білети з відповідями 305 KB
  Величина её зависит от производительности труда. Другое его мнение в том что стоимость а значит и цена состоят из затрат труда и прибавочной стоимости. Он считал что в стоимости товара следует учитывать не только затраты труда на его производство но и затраты труда на производство средств производства с помощью которых производится данный товар а также затраты труда на производство материалов. Сміта про розподіл праці Искусство умение и сообразительность применения труда является следствием его разделения.
38319. ИСТОЧНИКИ ПРАВА ЕВРОПЕЙСКОГО СОЮЗА 86.5 KB
  В соответствии с целями исследования были поставлены следующие конкретные задачи: определить понятие источника права Европейского Союза; исследовать систему источников первичного и вторичного права Союза; определить основные механизмы изменения источников первичного права ЕС, а именно: прямое изменение учредительных договоров, изменение толкования их норм, пересмотр системы источников первичного права.
38321. Микроэкономика и ее теория 599.5 KB
  Издержки производства в краткосрочном периоде. Издержки производства в долгосрочном периоде. Выбор монополистом цены и объёма производства. Конкурентные рынки факторов производства.