1042

Исследование кривыx второго порядка

Курсовая

Математика и математический анализ

Классификация кривых второго порядка. Построение однополостного гиперболоида в канонической системе координат. Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями. Исследование кривой по каноническому уравнению.

Русский

2013-01-06

253 KB

183 чел.

Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Кафедра прикладной математики

Кафедра информационных технологий

Курсовая работа по линейной алгебре по теме:

«Исследование кривыx второго порядка»

Выполнил: студент 1 курса группы 1181

Тулумбасов Н.А

Руководители: доц. Богомолова Е.В.

Дубна, 2011

Оглавление

Цель курсовой работы

Постановка задачи

Исследование кривой второго порядка

Теоретическая часть

Кривые второго порядка

Классификация кривых второго порядка

Исследование кривой по каноническому уравнению.

Теоретическая часть

§1. Поверхности второго порядка

§2. Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями

Построение однополостного гиперболоида в канонической системе координат

Список литературы


Цель курсовой работы

Целью курсовой работы является закрепление и углубление полученных теоретических знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств кривых второго порядка.

Постановка задачи

I часть 

Для данного уравнения кривой второго порядка выполнить следующие задания:

  1.  Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду путем поворота базиса декартовой прямоугольной систем координат и  параллельно переноса начала координат.
  2.  Найти каноническую систему координат и получить окончательное выражение исходных координат через канонические.
  3.  Исследовать по каноническому уравнению тип кривой и указать её основные характеристики.
  4.  Построить кривую в канонической и общей системах координат.

II часть

Для данной поверхности второго порядка выполнить следующие задания:

  1.  Рассмотреть сечения поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Исследовать форму полученных плоских сечений и построить их при различных значениях.
  2.  Построить поверхность в канонической системе координат, проанализировав уравнение поверхности и результаты исследования ее методом сечений.

Исследование кривой второго порядка

Теоретическая часть

Кривые второго порядка

Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат xOy уравнением:

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33 = 0    (1.1)

Если хотя бы один из коэффициентов a11, a12, a22 отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго  порядка.

Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка Г существует такая декартова прямоугольная система координат XOY, что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:

1) , а  b  0   – эллипс,

2)    – мнимый эллипс,

3)     – две мнимые пересекающиеся прямые (точка),

4)     – гипербола,

5)     – две пересекающиеся прямые,

6) Y2 = 2pX     – парабола,

7) X2 = a2, ,    – две параллельные прямые,

8) X2 = – a2, ,   – две мнимые параллельные прямые,

9) X2 = 0     – две совпадающие прямые.

В этих уравнениях a, b, p – положительные параметры.

Систему координат XOY назовем канонической системой координат, а систему координат xOy – общей системой координат.

Функция A(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2  называется квадратичной формой, соответствующей уравнению  (1.1). Характеристическим уравнением квадратичной формы A(x, y) называется уравнение

,      (1.2)

а корни уравнения (1.2) называют характеристическими числами квадратичной формы A(x, y). Характеристическое уравнение (1.2) записывается в виде:

2 – (a11 + a22) + (a11a12) + (a11a22a122) = 0    (1.3)

и имеет дискриминант:

D = (a11 + a22)2 – 4(a11a22 – a122) = (a11 – a22)2 + 4a122.    (1.4)

Всегда D  0 и характеристические числа квадратичной формы A(x, y) находятся по формуле:

.     (1.5)

В общем случае характеристическое уравнение (1.3) запишем в виде:

2I1 + I2 = 0,      (1.6)

где

    (1.7)

.     (1.8)

Обозначим:

     (1.9)

.      (1.10)

Значения I1, I2, I3 не меняются при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой, полученной в результате поворота осей координат и переноса начала координат, то есть являются инвариантами кривой Г относительно поворота осей координат и переноса начала.

Значение К является инвариантом кривой Г только относительно поворота осей координат.

Теорема 2. Для любой кривой второго порядка Г существует угол   и числа   такие, что с помощью преобразования поворота осей координат и переноса начала координат

    (1.11)

уравнение (1.1) приводится к одному из трёх следующих видов:

, если I2  0;       (1.12)

, если I2 = 0, I3  0;      (1.13)

, если I2 = 0, I3 = 0.       (1.14)

где I1, I2, I3 K – определены формулами (1.7) – (1.10) соответственно, а 1 и 2 – корни характеристического уравнения (1.6).

Для эллипса 1 – меньший по абсолютной величине корень характеристического уравнения.

Для гиперболы 2 – корень характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком I3.

Классификация кривых второго порядка

В зависимости от значения инварианта I2 принята следующая классификация кривых второго порядка.

Если I2  0, то кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа;

Если I2 = 0, то кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа;

Если I2  0, то кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.

Кривая второго порядка Г называется центральной, если I2  0.

Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными.

Центром кривой второго порядка Г называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой кривой расположены парами симметрично. Точка С(x0, y0) является центром кривой второго порядка, определяемой уравнением (1.1), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:

    (2.1)

Определитель этой системы равен I2. Если I2  0, то система имеет единственное решение. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:

,      (2.2)

Из теорем 1 и 2 получается следующая классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов:

  1.  Эллипс       I2  0, I1I3  0
  2.  Мнимый эллипс     I2  0, I1I3  0;
  3.  Две мнимые пересекающиеся прямые (точка) I2  0, I3 = 0;
  4.  Гипербола      I2  0, I3  0;
  5.  Две пересекающиеся прямые   I2  0, I3 = 0;
  6.  Парабола      I2 = 0, I3  0;
  7.  Две параллельные прямые    I2 = 0, I3 = 0, K < 0;
  8.  Две мнимые параллельные прямые  I2 = 0, I3 = 0, K  0;
  9.  Две совпадающие прямые    I2 = 0, I3 = 0, K = 0.

Практическая часть

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

У этого уравнения кривой следующие коэффициенты : ;  ; ;              

Преобразуем это выражение, воспользовавшись формулами поворота осей координат:

.

Имеем

Так как  , то .

Рассчитаем  и .

, .

 Тогда уравнение принимает вид

или

  

Произведём замену переменных

Получим каноническое уравнение

Исходя из канонического уравнения, определяем, что данная кривая является параболой.

Нахождение канонической системы координат

Определим координаты исходной системы координат через  координаты канонической.

Так как  и  

Найдем каноническую систему координат, выразив ее через координаты старой

Выразим :

Сложим два уравнения системы, получив

Выразим :

Умножим второе уравнение системы на (-1) и сложим два уравнения системы.

Итак, определим канонической системы координат через исходную.

Найдём координаты начала канонической системы координат относительно старой.

           

Умножим всю систему на  

подставим  значение x из второго уравнения в первое.

Находим точку начала канонической системы координат в исходной.

Исследование кривой по каноническому уравнению.

Данная кривая является параболой, определим ее основные параметры:

Общий вид канонического уравнения параболы , где pпараметр параболы.

Фокус параболы F

Эксцентриситет параболы всегда равен 1

Данная парабола симметрична относительно оси Y''.

Построение кривой в канонической и общей системах координат.

В канонической

Исследование поверхности второго порядка.

Теоретическая часть

§1. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка S называется  геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

,

где по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля.

Уравнение (3.1) называют общим уравнением  поверхности второго порядка S, а систему координат Oxyz называют общей системой координат.

Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат  что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.

1)   - эллипсоид,

2)  - мнимый эллипсоид,

3)  - однополостный гиперболоид,

4)  - двуполостный гиперболоид,

5)   - конус,

6)   - мнимый конус (точка),

7)   - эллиптический параболоид,

8)   - гиперболический параболоид,

9)   - эллиптический цилиндр,

10)   - мнимый эллиптический цилиндр,

11)   - две мнимые пересекающиеся плоскости (ось O'Z),

12)   - гиперболический цилиндр,

13)   - две пересекающиеся плоскости,

14)    - параболический цилиндр,

15)    - две параллельные плоскости,

16)    - две мнимые параллельные плоскости,

17)    - две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).

В выше перечисленных уравнениях a, b, c, p - положительные параметры. Систему координат  называют канонической.

§2. Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения 

плоскостями

Если дано каноническое уравнение поверхности S, то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:

Z = h - параллельными координатной плоскости XO'Y,

X = h - параллельными  координатной плоскости YO'Z,

Y = h - параллельными координатной плоскости XO'Z.

Уравнение проекций линий пересечения поверхности S с этими плоскостями на соответствующие координатные плоскости Lk получаются в результате подстановки в каноническое уравнение поверхности S  Z = h, X = h, Y = h.

Практическая часть.

 Исследование формы поверхности методом сечений плоскостями, построение линий, полученных в сечениях

Наша поверхность второго порядка задана уравнением:

Пусть декартовая прямоугольная система координат  получена заменой оси y на ось z в системе координат Oxyz:

 

Тогда данное уравнение примет вид:

Данное каноническое уравнение поверхности задает однополостный гиперболоид. Очевидно, что оси O'X, O'Y и O'Z  являются осями симметрии однополостного гиперболоида, начало координат – его центр симметрии.

Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями Z' = h (h = const). Эти линии определяются системой уравнений:

     

Следовательно,  - уравнение проекций линий  на плоскость XO'Y. Запишем полученное уравнение в виде:

где h – любое вещественное число.

Это уравнения эллипсов с полуосями:

увеличивающимися с увеличением , с центрами на оси O'Z в точках   и осями параллельными, соответственно, осям O'X и O'Y .

Плоскость X'O'Y (h = 0) пересекает однополостный гиперболоид по эллипсу,

называемому горловым эллипсом.

Из выражений для полуосей a,b следует, что горловой эллипс является наименьшим. При различных значениях h получим семейство соответствующих эллипсов:

Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями X = h (h = const). Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно,  - уравнение проекций линий  на плоскость  Y'O'Z'. Запишем полученное уравнение в виде:

или

Если , то уравнение задает уравнения гипербол, лежащих в плоскостях X' = h, с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'Y, мнимые - O'Z'.

Полуоси гипербол:

    действительная полуось,-

    - мнимая полуось,

принимают наибольшие значения при h = 0  и уменьшаются с увеличением .

При различных значениях h получим семейство соответствующих гипербол .

Если , то из получим уравнение  или

     

Уравнение – это уравнения двух пересекающихся прямых в плоскостях  и , соответственно.

Если , то уравнение примет вид:

    

Уравнения – это уравнения сопряженных гипербол с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'Z', мнимые - O''Y.

Полуоси этих гипербол:

  - действительная,

 - мнимая,

увеличиваются с увеличением .

При различных значениях  получим семейство соответствующих гипербол

Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно,  - уравнения проекций линий  на плоскость XO'Z . Запишем полученное уравнение в виде:

     

или

    

Если , то уравнение задает уравнения гипербол, лежащих в плоскостях  Y' = h, с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'X', мнимые – оси O'Z'.

Полуоси этих гипербол:

 - действительная,

 - мнимая,

увеличиваются с уменьшением .

Если , то из получим уравнение:

или

      

Уравнения (11) – это уравнения двух пересекающихся прямых в плоскостях  и , соответственно.

Если , то уравнение примет вид:

    

Уравнения – это уравнения сопряженных гипербол с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'Z', мнимые – оси O'X'.

Полуоси этих гипербол:

  - действительная,

 - мнимая,

увеличиваются с увеличением .

Построение однополостного гиперболоида в канонической системе координат

Рассмотренные нами сечения плоскостями координатными и параллельными им дают представление о форме однополостного гиперболоида заданного уравнение (1).

Построим однополостный гиперболоид (Рис. 4)

в канонической системе координат O'X'Y'Z', проанализировав уравнение поверхности и результаты исследования методом сечения ее плоскостями.

Список литературы

  1.  Копылова Т. В. Конспект лекций по линейной алгебре.
  2.  Копылова Т. В. Линейная алгебра. - Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1996.
  3.  Ефимова Л. В., Демидович Б. П. Линейная алгебра и основы математического анализа. - М: Наука, 1993.
  4.  Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. - Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997.

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20432. Распределенные операционные системы 79 KB
  Распределенные операционные системы Существует два типа распределенных операционных систем. Поэтому давайте кратко обсудим операционные системы предназначенные для обыкновенных компьютеров с одним процессором. Операционные системы для однопроцессорных компьютеров Операционные системы традиционно строились для управления компьютерами с одним процессором. На время выполнения кода операционной системы процессор переключается в режим ядра.
20433. Сетевые операционные системы, файловые серверы 174 KB
  Сетевые операционные системы В противоположность распределенным операционным системам сетевые операционные системы не нуждаются в том чтобы аппаратное обеспечение на котором они функционируют было гомогенно и управлялось как единая система. Машины и их операционные системы могут быть разными но все они соединены в сеть. Сетевые операционные системы также имеют в своем составе команду удаленного копирования для копирования файлов с одной машины на другую...
20434. Программное обеспечение промежуточного уровня 110.5 KB
  Программное обеспечение промежуточного уровня Ни распределенные ни сетевые операционные системы не соответствуют нашему определению распределенных систем данному в разделе 1. На ум приходит вопрос: а возможно ли вообще разработать распределенную систему которая объединяла бы в себе преимущества двух миров масштабируемость и открытость сетевых операционных систем и прозрачность и относительную простоту в использовании распределенных операционных систем Решение было найдено в виде дополнительного уровня программного обеспечения который...
20435. Систе́ма управле́ния ба́зами да́нных 159 KB
  Основные функции СУБД управление данными во внешней памяти на дисках; управление данными в оперативной памяти с использованием дискового кэша; журнализация изменений резервное копирование и восстановление базы данных после сбоев; поддержка языков БД язык определения данных язык манипулирования данными. Обычно современная СУБД содержит следующие компоненты: ядро которое отвечает за управление данными во внешней и оперативной памяти и журнализацию процессор языка базы данных обеспечивающий оптимизацию запросов на извлечение и...
20436. Модель клиент-сервер 39 KB
  Модель клиентсервер До этого момента мы вряд ли сказали чтото о действительной организации распределенных систем более интересуясь тем как в этих системах организованы процессы. Они пришли к выводу о том что мышление в понятиях клиентов запрашивающих службы с серверов помогает понять сложность распределенных систем и управляться с ней. В этом разделе мы кратко рассмотрим модель клиентсервер. Клиенты и серверы В базовой модели клиентсервер все процессы в распределенных системах делятся на две возможно перекрывающиеся группы.
20437. Разделение приложений по уровням 76 KB
  Например сервер распределенной базы данных может постоянно выступать клиентом передающим запросы на различные файловые серверы отвечающие за реализацию таблиц этой базы данных. В этом случае сервер баз данных сам по себе не делает ничего кроме обработки запросов. Однако рассматривая множество приложений типа клиентсервер предназначенных для организации доступа пользователей к базам данных многие рекомендовали разделять их на три уровня: уровень пользовательского интерфейса; уровень обработки; уровень данных. Уровень обработки обычно...
20438. CASE-средства 1.81 MB
  В предыдущей лекции было рассказано о видах диаграмм UML и даны некоторые рекомендации относительно последовательности их построения. Мы уже знаем что нотация UML специально разрабатывалась в расчете на то чтобы диаграммы можно было легко рисовать от руки. В этой лекции мы познакомимся с некоторыми подобными пакетами а именно: IBM Rational Rose; Borland Together; Microsoft Visio; Sparx Systems Enterprise Architect; Gentleware Poseidon; SmartDraw; Dia; Telelogic TAU G2; StarUML; другие программы UML отличное средство моделирования но как...
20439. Rational Rose DataModeler 29.5 KB
  Унифицированный язык объектноориентированного моделирования Unified Modeling Language UML явился средством достижения компромисса между этими подходами. Существует достаточное количество инструментальных средств поддерживающих с помощью UML жизненный цикл информационных систем и одновременно UML является достаточно гибким для настройки и поддержки специфики деятельности различных команд разработчиков. Таким языком оказался UML. Создание UML началось в октябре 1994 г.
20440. CASE-средства 39.5 KB
  Microsoft Visio Visio решение для построения диаграмм от Microsoft. По словам разработчиков Visio помогает преобразовать технические и бизнесконцепции в визуальную форму. Visio имеет некоторые дополнительные возможности но все же повторим по большей мере это только средство для иллюстрирования документов MS Office не дотягивающее до уровня пакетов которые мы описывали ранее. Изобразительные же возможности Visio действительно весьма широки: Используя предопределенные фигуры Visio Professional draganddrop и мастера вы можете...