1042

Исследование кривыx второго порядка

Курсовая

Математика и математический анализ

Классификация кривых второго порядка. Построение однополостного гиперболоида в канонической системе координат. Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями. Исследование кривой по каноническому уравнению.

Русский

2013-01-06

253 KB

175 чел.

Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Кафедра прикладной математики

Кафедра информационных технологий

Курсовая работа по линейной алгебре по теме:

«Исследование кривыx второго порядка»

Выполнил: студент 1 курса группы 1181

Тулумбасов Н.А

Руководители: доц. Богомолова Е.В.

Дубна, 2011

Оглавление

Цель курсовой работы

Постановка задачи

Исследование кривой второго порядка

Теоретическая часть

Кривые второго порядка

Классификация кривых второго порядка

Исследование кривой по каноническому уравнению.

Теоретическая часть

§1. Поверхности второго порядка

§2. Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями

Построение однополостного гиперболоида в канонической системе координат

Список литературы


Цель курсовой работы

Целью курсовой работы является закрепление и углубление полученных теоретических знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств кривых второго порядка.

Постановка задачи

I часть 

Для данного уравнения кривой второго порядка выполнить следующие задания:

  1.  Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду путем поворота базиса декартовой прямоугольной систем координат и  параллельно переноса начала координат.
  2.  Найти каноническую систему координат и получить окончательное выражение исходных координат через канонические.
  3.  Исследовать по каноническому уравнению тип кривой и указать её основные характеристики.
  4.  Построить кривую в канонической и общей системах координат.

II часть

Для данной поверхности второго порядка выполнить следующие задания:

  1.  Рассмотреть сечения поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Исследовать форму полученных плоских сечений и построить их при различных значениях.
  2.  Построить поверхность в канонической системе координат, проанализировав уравнение поверхности и результаты исследования ее методом сечений.

Исследование кривой второго порядка

Теоретическая часть

Кривые второго порядка

Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат xOy уравнением:

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33 = 0    (1.1)

Если хотя бы один из коэффициентов a11, a12, a22 отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго  порядка.

Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка Г существует такая декартова прямоугольная система координат XOY, что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:

1) , а  b  0   – эллипс,

2)    – мнимый эллипс,

3)     – две мнимые пересекающиеся прямые (точка),

4)     – гипербола,

5)     – две пересекающиеся прямые,

6) Y2 = 2pX     – парабола,

7) X2 = a2, ,    – две параллельные прямые,

8) X2 = – a2, ,   – две мнимые параллельные прямые,

9) X2 = 0     – две совпадающие прямые.

В этих уравнениях a, b, p – положительные параметры.

Систему координат XOY назовем канонической системой координат, а систему координат xOy – общей системой координат.

Функция A(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2  называется квадратичной формой, соответствующей уравнению  (1.1). Характеристическим уравнением квадратичной формы A(x, y) называется уравнение

,      (1.2)

а корни уравнения (1.2) называют характеристическими числами квадратичной формы A(x, y). Характеристическое уравнение (1.2) записывается в виде:

2 – (a11 + a22) + (a11a12) + (a11a22a122) = 0    (1.3)

и имеет дискриминант:

D = (a11 + a22)2 – 4(a11a22 – a122) = (a11 – a22)2 + 4a122.    (1.4)

Всегда D  0 и характеристические числа квадратичной формы A(x, y) находятся по формуле:

.     (1.5)

В общем случае характеристическое уравнение (1.3) запишем в виде:

2I1 + I2 = 0,      (1.6)

где

    (1.7)

.     (1.8)

Обозначим:

     (1.9)

.      (1.10)

Значения I1, I2, I3 не меняются при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой, полученной в результате поворота осей координат и переноса начала координат, то есть являются инвариантами кривой Г относительно поворота осей координат и переноса начала.

Значение К является инвариантом кривой Г только относительно поворота осей координат.

Теорема 2. Для любой кривой второго порядка Г существует угол   и числа   такие, что с помощью преобразования поворота осей координат и переноса начала координат

    (1.11)

уравнение (1.1) приводится к одному из трёх следующих видов:

, если I2  0;       (1.12)

, если I2 = 0, I3  0;      (1.13)

, если I2 = 0, I3 = 0.       (1.14)

где I1, I2, I3 K – определены формулами (1.7) – (1.10) соответственно, а 1 и 2 – корни характеристического уравнения (1.6).

Для эллипса 1 – меньший по абсолютной величине корень характеристического уравнения.

Для гиперболы 2 – корень характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком I3.

Классификация кривых второго порядка

В зависимости от значения инварианта I2 принята следующая классификация кривых второго порядка.

Если I2  0, то кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа;

Если I2 = 0, то кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа;

Если I2  0, то кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.

Кривая второго порядка Г называется центральной, если I2  0.

Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными.

Центром кривой второго порядка Г называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой кривой расположены парами симметрично. Точка С(x0, y0) является центром кривой второго порядка, определяемой уравнением (1.1), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:

    (2.1)

Определитель этой системы равен I2. Если I2  0, то система имеет единственное решение. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:

,      (2.2)

Из теорем 1 и 2 получается следующая классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов:

  1.  Эллипс       I2  0, I1I3  0
  2.  Мнимый эллипс     I2  0, I1I3  0;
  3.  Две мнимые пересекающиеся прямые (точка) I2  0, I3 = 0;
  4.  Гипербола      I2  0, I3  0;
  5.  Две пересекающиеся прямые   I2  0, I3 = 0;
  6.  Парабола      I2 = 0, I3  0;
  7.  Две параллельные прямые    I2 = 0, I3 = 0, K < 0;
  8.  Две мнимые параллельные прямые  I2 = 0, I3 = 0, K  0;
  9.  Две совпадающие прямые    I2 = 0, I3 = 0, K = 0.

Практическая часть

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

У этого уравнения кривой следующие коэффициенты : ;  ; ;              

Преобразуем это выражение, воспользовавшись формулами поворота осей координат:

.

Имеем

Так как  , то .

Рассчитаем  и .

, .

 Тогда уравнение принимает вид

или

  

Произведём замену переменных

Получим каноническое уравнение

Исходя из канонического уравнения, определяем, что данная кривая является параболой.

Нахождение канонической системы координат

Определим координаты исходной системы координат через  координаты канонической.

Так как  и  

Найдем каноническую систему координат, выразив ее через координаты старой

Выразим :

Сложим два уравнения системы, получив

Выразим :

Умножим второе уравнение системы на (-1) и сложим два уравнения системы.

Итак, определим канонической системы координат через исходную.

Найдём координаты начала канонической системы координат относительно старой.

           

Умножим всю систему на  

подставим  значение x из второго уравнения в первое.

Находим точку начала канонической системы координат в исходной.

Исследование кривой по каноническому уравнению.

Данная кривая является параболой, определим ее основные параметры:

Общий вид канонического уравнения параболы , где pпараметр параболы.

Фокус параболы F

Эксцентриситет параболы всегда равен 1

Данная парабола симметрична относительно оси Y''.

Построение кривой в канонической и общей системах координат.

В канонической

Исследование поверхности второго порядка.

Теоретическая часть

§1. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка S называется  геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

,

где по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля.

Уравнение (3.1) называют общим уравнением  поверхности второго порядка S, а систему координат Oxyz называют общей системой координат.

Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат  что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.

1)   - эллипсоид,

2)  - мнимый эллипсоид,

3)  - однополостный гиперболоид,

4)  - двуполостный гиперболоид,

5)   - конус,

6)   - мнимый конус (точка),

7)   - эллиптический параболоид,

8)   - гиперболический параболоид,

9)   - эллиптический цилиндр,

10)   - мнимый эллиптический цилиндр,

11)   - две мнимые пересекающиеся плоскости (ось O'Z),

12)   - гиперболический цилиндр,

13)   - две пересекающиеся плоскости,

14)    - параболический цилиндр,

15)    - две параллельные плоскости,

16)    - две мнимые параллельные плоскости,

17)    - две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).

В выше перечисленных уравнениях a, b, c, p - положительные параметры. Систему координат  называют канонической.

§2. Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения 

плоскостями

Если дано каноническое уравнение поверхности S, то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:

Z = h - параллельными координатной плоскости XO'Y,

X = h - параллельными  координатной плоскости YO'Z,

Y = h - параллельными координатной плоскости XO'Z.

Уравнение проекций линий пересечения поверхности S с этими плоскостями на соответствующие координатные плоскости Lk получаются в результате подстановки в каноническое уравнение поверхности S  Z = h, X = h, Y = h.

Практическая часть.

 Исследование формы поверхности методом сечений плоскостями, построение линий, полученных в сечениях

Наша поверхность второго порядка задана уравнением:

Пусть декартовая прямоугольная система координат  получена заменой оси y на ось z в системе координат Oxyz:

 

Тогда данное уравнение примет вид:

Данное каноническое уравнение поверхности задает однополостный гиперболоид. Очевидно, что оси O'X, O'Y и O'Z  являются осями симметрии однополостного гиперболоида, начало координат – его центр симметрии.

Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями Z' = h (h = const). Эти линии определяются системой уравнений:

     

Следовательно,  - уравнение проекций линий  на плоскость XO'Y. Запишем полученное уравнение в виде:

где h – любое вещественное число.

Это уравнения эллипсов с полуосями:

увеличивающимися с увеличением , с центрами на оси O'Z в точках   и осями параллельными, соответственно, осям O'X и O'Y .

Плоскость X'O'Y (h = 0) пересекает однополостный гиперболоид по эллипсу,

называемому горловым эллипсом.

Из выражений для полуосей a,b следует, что горловой эллипс является наименьшим. При различных значениях h получим семейство соответствующих эллипсов:

Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями X = h (h = const). Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно,  - уравнение проекций линий  на плоскость  Y'O'Z'. Запишем полученное уравнение в виде:

или

Если , то уравнение задает уравнения гипербол, лежащих в плоскостях X' = h, с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'Y, мнимые - O'Z'.

Полуоси гипербол:

    действительная полуось,-

    - мнимая полуось,

принимают наибольшие значения при h = 0  и уменьшаются с увеличением .

При различных значениях h получим семейство соответствующих гипербол .

Если , то из получим уравнение  или

     

Уравнение – это уравнения двух пересекающихся прямых в плоскостях  и , соответственно.

Если , то уравнение примет вид:

    

Уравнения – это уравнения сопряженных гипербол с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'Z', мнимые - O''Y.

Полуоси этих гипербол:

  - действительная,

 - мнимая,

увеличиваются с увеличением .

При различных значениях  получим семейство соответствующих гипербол

Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно,  - уравнения проекций линий  на плоскость XO'Z . Запишем полученное уравнение в виде:

     

или

    

Если , то уравнение задает уравнения гипербол, лежащих в плоскостях  Y' = h, с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'X', мнимые – оси O'Z'.

Полуоси этих гипербол:

 - действительная,

 - мнимая,

увеличиваются с уменьшением .

Если , то из получим уравнение:

или

      

Уравнения (11) – это уравнения двух пересекающихся прямых в плоскостях  и , соответственно.

Если , то уравнение примет вид:

    

Уравнения – это уравнения сопряженных гипербол с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'Z', мнимые – оси O'X'.

Полуоси этих гипербол:

  - действительная,

 - мнимая,

увеличиваются с увеличением .

Построение однополостного гиперболоида в канонической системе координат

Рассмотренные нами сечения плоскостями координатными и параллельными им дают представление о форме однополостного гиперболоида заданного уравнение (1).

Построим однополостный гиперболоид (Рис. 4)

в канонической системе координат O'X'Y'Z', проанализировав уравнение поверхности и результаты исследования методом сечения ее плоскостями.

Список литературы

  1.  Копылова Т. В. Конспект лекций по линейной алгебре.
  2.  Копылова Т. В. Линейная алгебра. - Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1996.
  3.  Ефимова Л. В., Демидович Б. П. Линейная алгебра и основы математического анализа. - М: Наука, 1993.
  4.  Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. - Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997.

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58401. Чтение рассказов и сказок о милосердии 39.5 KB
  Что за цветок подарила старушка девочке Жене В чём его волшебство На что потратила Женя первый лепесток Почему она лишилась баранок Ловила ворон слайд 3 Соедините это устойчивое словосочетание из сказки...