10449

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье

Лекция

Математика и математический анализ

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье. Как правило сигнал представленный в цифровом виде состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – xn. Такому сигналу можно поставить в соответс

Русский

2013-03-26

62.5 KB

9 чел.

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье.

Как правило, сигнал, представленный в цифровом виде, состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – x(n). Такому сигналу можно поставить в соответствие его дискретный Фурье-спектр, который определяется по формуле:

       (1.1)

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется по формуле:

.        (1.2)

Как и в этих формулах, далее мы будем через x(k) обозначать отсчеты цифрового сигнала, а через X(n) – значения спектральных коэффициентов цифрового сигнала.

Забегая несколько вперед, отметим, что для вычисления дискретного преобразования Фурье требуется порядка N2 операций, а при использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье – порядка N*lg(2*N) операций.

А. Дискретное преобразование Фурье и ряд Фурье.

Рассмотрим аналоговый T-периодический сигнал x(t). Как известно из курса математического анализа, его можно представить в виде ряда Фурье:

,         (1.3)

где спектральные коэффициенты ряда находятся по формуле

.        (1.4)

Рисунок 1.1

Связь между спектром и спектральными коэффициентами определяется следующей формулой:

.        (1.5)

Перейдем в (1.3) к дискретному времени () и подставим полученный результат в (1.1):

.       (1.6)

Предполагая, что ряде Фурье нет членов выше N/2 получаем после замены и упрощения:

,       (1.7)

С учетом ортогональности функций ДПФ:

     (1.8)

получаем

.         (1.9)

Здесь - период повторения спектра.

Для финитного спектра выполняется следующее условие:

.      (1.10)

Графически это можно представить в следующем виде:

Рисунок 1.2.

Если же спектр не является финитным, то картина несколько меняется

Рисунок 1.3.

При этом соотношение (1.10) выполняется лишь приближенно. Это явление называется эффектом наложения спектров. Для борьбы с этим явлением перед выполнением дискретного преобразования Фурье следует подействовать спектральным окном.

Б. Соответствие между преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье.

Рассмотрим апериодический сигнал x(t) длительностью Т. Его фурье-спектром будет X(f), определяемый по формуле:

.        (1.11)

Рассмотрим бесконечно протяженный сигнал с финитной спектральной функцией. Его можно дискретизовать с периодом , где fв – максимальная пространственная частота, присутствующая в сигнале. Преобразованием Фурье от такого сигнала будет

.       (1.12)

Это преобразование называется дискретным по времени преобразованием Фурье (сокращенно ДВПФ). Так как число отсчетов для дискретного преобразования Фурье должно быть ограничено, то

.       (1.13)

Для перехода к дискретному преобразованию Фурье  необходимо выполнить следующие действия:

  1.  Отбросить крайний правый отсчет.
  2.  Сдвинуть последовательность отсчетов на N/2 вправо.

Наличие этого сдвига приводит к появлению фазового множителя:

       (1.14)

.      (1.15)

В этой  формуле Xn – коэффициент дискретного преобразования Фурье,

X(nΔf) – коэффициент дискретного по времени преобразования Фурье.


Сm

X(f)

Спектральные коэффициенты

Спектр Т-периодического сигнала

m

Xn

Сm

Xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52277. Уроки державної мови 5.42 MB
  Ось що радить доктор філологічних наук Світлана Єрмоленко. У мовній практиці часом використовують ці лексеми як взаємозамінні. Але взаємозамінність у термінологічних висловах – річ небажана, і зрештою в кожному конкретному звороті утворюється якесь одне термінологічне слово, а інші, якщо вони не мають додаткових значеннєвих відтінків, виходять із літературно-нормативного вжитку.
52278. Бабуся – берегиня нашого роду 117 KB
  Та запросили у гості сьогодні тих людей яких обєднує не вік а високе почесне звання бабуся Ми зібралися великою родиною щоб вітати й вшановувати найрідніших найближчих нам людей. Що в мене є бабуся. Учитель: Так кого ж ми називаємо таким теплим іменем бабуся Діти відповідають а вчитель їх підводить до висновку що це мати мами або...
52279. Жизненная сила музыки И.С. Баха 69 KB
  Баха Цели и задачи урока: Закрепить понятие полифония на примерах вокального инструментального и произведения изобразительного искусства; Определить особенности содержания музыки И. Баха; Формировать: представление о стилистических особенностях музыки И. Баха понятие Сюита навыки хорового пения. Баха иллюстрации по теме урока стихи и высказывания по теме урока нотный материал.
52280. Бактериологическое оружие и его поражающие факторы 50.5 KB
  11й класс Цели: Познакомить учащихся с видами поражающими факторами бактериологического оружия. Обучить способам защиты от бактериологического оружия. Учебные вопросы: История применения бактериологического оружия. Краткая характеристика бактериологического оружия и его боевых свойств.
52281. Злочини бактерій проти людства 68 KB
  Характеристика холери менінгококової хвороби дифтерії туберкульозу сифілісу. Стан захворюваності на туберкульоз в Україні. Обладнання: ПК; мультимедійний проектор; презентації: Хвороботворні бактерії: вчора і сьогодні Туберкульоз підступний вбивця Профілактика бактеріальних хвороб ; оцінювальні завдання; слайд із відповідями на завдання; виставка газетбюлетенів: Кишкові інфекції Туберкульоз підступний вбивця Імунітет на сторожі здоров’я . Фтизіатри з’ясувати особливості збудника туберкульозу причини поширення...
52282. Випускний вечір 88 KB
  Веселинівської районної ради Миколаївської області Випускний вечір 2011 Звучать фанфари на сцену виходять ведучі Ведучий. Ведучий. Ведучий. На сьогоднішнє свято запрошуємо тих хто впродовж одинадцяти років вів винуватців сьогоднішніх урочистостей нелегкими стежками шкільних наук ті хто вчив читати і писати відкрив чудесні світи літератури та точних наук наші вчителі звучить музика виходять вчителі Ведучий.
52283. Осінній бал. Поетично – музичний вечір присвячений посвяті учнів 9 класу в старшокласники 54 KB
  Осінь нам дарує радість й спокій І чарівних квітів розмаїть Осінь – це пора прекрасних років Коли в повну силу треба жить В. Осінь уже не щедра на квіти. Вишиває осінь на канві зеленій золоті квітки Квіти оживають і з дерев спадають жовті ягідки. Вишиває осінь на канві зеленій золоті квітки В.
52285. ВИПУСКНИЙ БАЛ «ПРОЩАВАЙ ПОЧАТКОВА ШКОЛО! 67 KB
  Лунає музика для вас В садах бузок зацвів для вас І сонця промінь теж для вас Мої малятадружній клас Ми всі чекаємо на вас. Учні входять під музику до зали Учні по черзі Доброго днядорогі батьки вчителігості Ми раді вас вітати у цьому затишному залі. Сьогодні вас називають таким вагомим словом випускники. 1: Ми всі раді вас вітати На нашому сімейному святі.