10449

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье

Лекция

Математика и математический анализ

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье. Как правило сигнал представленный в цифровом виде состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов xn. Такому сигналу можно поставить в соответс

Русский

2013-03-26

62.5 KB

9 чел.

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье.

Как правило, сигнал, представленный в цифровом виде, состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – x(n). Такому сигналу можно поставить в соответствие его дискретный Фурье-спектр, который определяется по формуле:

       (1.1)

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется по формуле:

.        (1.2)

Как и в этих формулах, далее мы будем через x(k) обозначать отсчеты цифрового сигнала, а через X(n) – значения спектральных коэффициентов цифрового сигнала.

Забегая несколько вперед, отметим, что для вычисления дискретного преобразования Фурье требуется порядка N2 операций, а при использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье – порядка N*lg(2*N) операций.

А. Дискретное преобразование Фурье и ряд Фурье.

Рассмотрим аналоговый T-периодический сигнал x(t). Как известно из курса математического анализа, его можно представить в виде ряда Фурье:

,         (1.3)

где спектральные коэффициенты ряда находятся по формуле

.        (1.4)

Рисунок 1.1

Связь между спектром и спектральными коэффициентами определяется следующей формулой:

.        (1.5)

Перейдем в (1.3) к дискретному времени () и подставим полученный результат в (1.1):

.       (1.6)

Предполагая, что ряде Фурье нет членов выше N/2 получаем после замены и упрощения:

,       (1.7)

С учетом ортогональности функций ДПФ:

     (1.8)

получаем

.         (1.9)

Здесь - период повторения спектра.

Для финитного спектра выполняется следующее условие:

.      (1.10)

Графически это можно представить в следующем виде:

Рисунок 1.2.

Если же спектр не является финитным, то картина несколько меняется

Рисунок 1.3.

При этом соотношение (1.10) выполняется лишь приближенно. Это явление называется эффектом наложения спектров. Для борьбы с этим явлением перед выполнением дискретного преобразования Фурье следует подействовать спектральным окном.

Б. Соответствие между преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье.

Рассмотрим апериодический сигнал x(t) длительностью Т. Его фурье-спектром будет X(f), определяемый по формуле:

.        (1.11)

Рассмотрим бесконечно протяженный сигнал с финитной спектральной функцией. Его можно дискретизовать с периодом , где fв – максимальная пространственная частота, присутствующая в сигнале. Преобразованием Фурье от такого сигнала будет

.       (1.12)

Это преобразование называется дискретным по времени преобразованием Фурье (сокращенно ДВПФ). Так как число отсчетов для дискретного преобразования Фурье должно быть ограничено, то

.       (1.13)

Для перехода к дискретному преобразованию Фурье  необходимо выполнить следующие действия:

  1.  Отбросить крайний правый отсчет.
  2.  Сдвинуть последовательность отсчетов на N/2 вправо.

Наличие этого сдвига приводит к появлению фазового множителя:

       (1.14)

.      (1.15)

В этой  формуле Xn – коэффициент дискретного преобразования Фурье,

X(nΔf) – коэффициент дискретного по времени преобразования Фурье.


Сm

X(f)

Спектральные коэффициенты

Спектр Т-периодического сигнала

m

Xn

Сm

Xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15493. Привід вантажопідйомних машин 77.5 KB
  ТЕМА: Привід вантажопідйомних машин Залежно від типу призначення і характеру роботи вантажопідйомної машини можуть бути використаний різний привід її механізмів. Привід вантажопідйомних машин класифікується за наступними ознаками: за виглядом вживаної руші...
15494. Дзень, дзень! Молот по зелізі!.. (про ковалів і ковальство в Підгайцях та дещо зі спогадів) 145 KB
  Дзень дзень Молот по зелізі.. про ковалів і ковальство в Підгайцях та дещо зі спогадів Про ковальство і ковалів вочевидь треба писати як кажуть старі галичани на ширшу скалю тобто не тільки писати але й досліджувати значно більше і глибше. Так наприклад велики
15495. ШЛЯХАМИ УКРАЇНСЬКИХ СІЧОВИХ СТРІЛЬЦІВ НА ПІДГАЄЧЧИНІ 139 KB
  Степан КОЛОДНИЦЬКИЙ Богдан МЕЛЬНИЧУК ШЛЯХАМИ УКРАЇНСЬКИХ СІЧОВИХ СТРІЛЬЦІВ НА ПІДГАЄЧЧИНІ До вибуху Першої світової війни Підгаєччина належала до одного із краще зорганізованих повітів Східної Галичини а це завдяки енергійному єдиному в той час адвокат...
15496. Аналіз статей з інноваційного маркетингу 70 KB
  В даній статті автор розглядає та порівнює тенденції інноваційного розвитку в Україні та за кордоном. При цьому, в закордонному інноваційному процесі спостерігаються такі особливості...
15497. Андрусівське сепаратне перемир’я 1667 22.75 KB
  Андрусівське сепаратне перемиря 1667 Андрусівський сепаратний договір Андрусівський мир угода між Московським царством і Польщею за спиною України про припинення війни підписана 30 січня 1667 року в селі Андрусове під Смоленськом терміном на 135 років. Угода стала заве
15498. Античні міста Північного Причорномор'я 14.88 KB
  Античні міста Північного Причорноморя Грецькі міста й селища виникли в Причорноморї під час Великої грецької колонізації у VIII VI ст. до н. е. Причини виникнення колоній полягали в перенаселенні Греції нестачі земель придатних для хліборобства пошуках джерел сировини...
15499. Антропогенез 13.81 KB
  Кістки найдавніших у Європі людських істот знайдені у Вертешселеш Угорщина та Гейдельберзі Німеччина належали пітекантропам. Приблизно в цей самий час можливо трохи пізніше пращури людини зявляються на теренах України. Як відомо в усі історичні епохи Північ Євразі
15500. Українсько-московський договір. Березневі статті 1654 року – історико-юридична та історична оцінка 19.79 KB
  Українськомосковський договір. Березневі статті 1654 року історикоюридична та історична оцінка Схожі матеріали УкраїнськоМосковська угода 1654 р УкраїнськоМосковський договір 1654 р Козацька делегація привезл...
15501. Давні літописи про походження Київської Русі 26.64 KB
  Давні літописи про походження Київської Русі Найдавніший руський літопис Повість минулих літ заснування державності на східнословянських теренах приписує норманам варягам яких звали русь. Запросили їх княжити і володіти ними племена чудь словени кривичі...