10449

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье

Лекция

Математика и математический анализ

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье. Как правило сигнал представленный в цифровом виде состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – xn. Такому сигналу можно поставить в соответс

Русский

2013-03-26

62.5 KB

9 чел.

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье.

Как правило, сигнал, представленный в цифровом виде, состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – x(n). Такому сигналу можно поставить в соответствие его дискретный Фурье-спектр, который определяется по формуле:

       (1.1)

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется по формуле:

.        (1.2)

Как и в этих формулах, далее мы будем через x(k) обозначать отсчеты цифрового сигнала, а через X(n) – значения спектральных коэффициентов цифрового сигнала.

Забегая несколько вперед, отметим, что для вычисления дискретного преобразования Фурье требуется порядка N2 операций, а при использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье – порядка N*lg(2*N) операций.

А. Дискретное преобразование Фурье и ряд Фурье.

Рассмотрим аналоговый T-периодический сигнал x(t). Как известно из курса математического анализа, его можно представить в виде ряда Фурье:

,         (1.3)

где спектральные коэффициенты ряда находятся по формуле

.        (1.4)

Рисунок 1.1

Связь между спектром и спектральными коэффициентами определяется следующей формулой:

.        (1.5)

Перейдем в (1.3) к дискретному времени () и подставим полученный результат в (1.1):

.       (1.6)

Предполагая, что ряде Фурье нет членов выше N/2 получаем после замены и упрощения:

,       (1.7)

С учетом ортогональности функций ДПФ:

     (1.8)

получаем

.         (1.9)

Здесь - период повторения спектра.

Для финитного спектра выполняется следующее условие:

.      (1.10)

Графически это можно представить в следующем виде:

Рисунок 1.2.

Если же спектр не является финитным, то картина несколько меняется

Рисунок 1.3.

При этом соотношение (1.10) выполняется лишь приближенно. Это явление называется эффектом наложения спектров. Для борьбы с этим явлением перед выполнением дискретного преобразования Фурье следует подействовать спектральным окном.

Б. Соответствие между преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье.

Рассмотрим апериодический сигнал x(t) длительностью Т. Его фурье-спектром будет X(f), определяемый по формуле:

.        (1.11)

Рассмотрим бесконечно протяженный сигнал с финитной спектральной функцией. Его можно дискретизовать с периодом , где fв – максимальная пространственная частота, присутствующая в сигнале. Преобразованием Фурье от такого сигнала будет

.       (1.12)

Это преобразование называется дискретным по времени преобразованием Фурье (сокращенно ДВПФ). Так как число отсчетов для дискретного преобразования Фурье должно быть ограничено, то

.       (1.13)

Для перехода к дискретному преобразованию Фурье  необходимо выполнить следующие действия:

  1.  Отбросить крайний правый отсчет.
  2.  Сдвинуть последовательность отсчетов на N/2 вправо.

Наличие этого сдвига приводит к появлению фазового множителя:

       (1.14)

.      (1.15)

В этой  формуле Xn – коэффициент дискретного преобразования Фурье,

X(nΔf) – коэффициент дискретного по времени преобразования Фурье.


Сm

X(f)

Спектральные коэффициенты

Спектр Т-периодического сигнала

m

Xn

Сm

Xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52775. Подорож до країни дробів. Позакласний навчально-виховний захід 1.35 MB
  Мета: прищеплювати інтерес до математики; формувати навички роботи з додатковою літературою; поглиблювати знання про дроби та розвивати навички виконання дій зі звичайними дробами. Селище ІСТОРИЧНЕ Дроби в Древнем Египте Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Первые дроби с которыми нас знакомит история зто дроби вида ; ; –так называемые единичные дроби. Эти дроби мы находим прежде всего в египетских папирусах около 2000 лет до н.
52776. МНОЖЕННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ 380.5 KB
  А як це зробити Отже мета уроку навчитися виконувати множення десяткових дробів та застосовувати набуті знання на практиці. Пояснювати правила множення десяткових дробів краще на конкретних прикладах розглянувши різні випадки. Звертаю увагу учнів на той випадок коли в результаті множення вийшла відповідь яка закінчується нулем.
52777. Розв’язання вправ з теми: «Дроби і ділення. Мішані числа» 583.5 KB
  Завдання учням: стрілочками встановити відповідність між номером завдання і відповідями. Самоперевірка завдання за наданим зразком. А б в Учні самостійно виконують завдання в зошитах під час перевірки пояснюють виконання завдань 2 3 2.
52778. Звичайні дроби. Розв’язування вправ 330.5 KB
  Аукціон розпродажу перепусток Хто швидше порахує Кожне завдання оцінюється в 1 бал з врахуванням швидкості виконання; хто перший виконав завдання додатково до загальної суми балів додає 3 бали другий – 2 бали третій – 1 бал. Що означають чисельник і знаменник дробів 3 5 і 7 12 взаємоперевірка в парах оцінку виставляє опонент; кількість балів 2 2. Математика 5 клас розділ Дробові числа рубрика Хочеш знати ще більше хто перший згадаєкількість балів 3 Третя зупинка: Стародавній Рим. Підсумок уроку Підрахунок балів...
52779. Звичайні дроби 109.5 KB
  Обладнання: макет Замок вислови таблиці картки ключі. Перед вами мурований страшний на вигляд замок злої чаклунки Трінкокс жорстокість якої не мала меж. Пуск А от і замок. Поїхали А ось і замок.
52780. Додавання і віднімання десяткових дробів 45 KB
  Завдання Переведи звичайні дроби у десяткові та заповни таблицю. Кожній групі учнів учитель видає аркуш ватману кольорові маркери завдання записані на аркушах кольорового паперу. Суть методу Графіті: кожен учень виконує завдання свого кольору на ватмані та в зошиті. Коли всі учні однієї команди виконали свої завдання завдання мають різний рівень складності вони обмінюються ватманами з другою командою яка виконувала інший варіант перевіряють...
52781. Властивості додавання і віднімання десяткових дробів 1.02 MB
  Сума і різниця картки з завданнями для самостійної і естафетної роботи. Вона одержала завдання приготувати запитання і вправи для уроку. Дівчинка виконала його але вранці йдучи до школи була не уважною читала бігборди то ворон рахувала і загубила підготовлені завдання. Потрібно відірвати пелюстку прочитати завдання і виконати його.
52782. Немає друга шукай, а знайшов тримай. Виховна година 91 KB
  Учитель Дуже важливо путь важкий пройти Друга вірного собі в житті знайти Втішити засмучену людину І до щастя відшукать стежину Дружби перекинути мости Бо із другом завжди легше йти. Учитель Скільки б іграшок книжок розваг у тебе не було без справжнього друга сумно і нецікаво. Не бігай не метушись а іди по волі й пильнуй щоб угледіти друга який усміхаєтся до тебе.
52783. Якщо друг у тебе є, життя радісним стає 41.5 KB
  Мета: Виховувати почуття справжньої дружби колективізму чесності щирості у відносинах відповідальності перед другом уміння допомогти у важку хвилину. Вірші про дружбу Якщо друг у тебе є 4 Якщо друг у тебе є Життя радісним стає. Разом можна все зробити Ти не зрадь його ніколи Тож без друга не прожити.