10449

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье

Лекция

Математика и математический анализ

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье. Как правило сигнал представленный в цифровом виде состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов xn. Такому сигналу можно поставить в соответс

Русский

2013-03-26

62.5 KB

9 чел.

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье.

Как правило, сигнал, представленный в цифровом виде, состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – x(n). Такому сигналу можно поставить в соответствие его дискретный Фурье-спектр, который определяется по формуле:

       (1.1)

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется по формуле:

.        (1.2)

Как и в этих формулах, далее мы будем через x(k) обозначать отсчеты цифрового сигнала, а через X(n) – значения спектральных коэффициентов цифрового сигнала.

Забегая несколько вперед, отметим, что для вычисления дискретного преобразования Фурье требуется порядка N2 операций, а при использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье – порядка N*lg(2*N) операций.

А. Дискретное преобразование Фурье и ряд Фурье.

Рассмотрим аналоговый T-периодический сигнал x(t). Как известно из курса математического анализа, его можно представить в виде ряда Фурье:

,         (1.3)

где спектральные коэффициенты ряда находятся по формуле

.        (1.4)

Рисунок 1.1

Связь между спектром и спектральными коэффициентами определяется следующей формулой:

.        (1.5)

Перейдем в (1.3) к дискретному времени () и подставим полученный результат в (1.1):

.       (1.6)

Предполагая, что ряде Фурье нет членов выше N/2 получаем после замены и упрощения:

,       (1.7)

С учетом ортогональности функций ДПФ:

     (1.8)

получаем

.         (1.9)

Здесь - период повторения спектра.

Для финитного спектра выполняется следующее условие:

.      (1.10)

Графически это можно представить в следующем виде:

Рисунок 1.2.

Если же спектр не является финитным, то картина несколько меняется

Рисунок 1.3.

При этом соотношение (1.10) выполняется лишь приближенно. Это явление называется эффектом наложения спектров. Для борьбы с этим явлением перед выполнением дискретного преобразования Фурье следует подействовать спектральным окном.

Б. Соответствие между преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье.

Рассмотрим апериодический сигнал x(t) длительностью Т. Его фурье-спектром будет X(f), определяемый по формуле:

.        (1.11)

Рассмотрим бесконечно протяженный сигнал с финитной спектральной функцией. Его можно дискретизовать с периодом , где fв – максимальная пространственная частота, присутствующая в сигнале. Преобразованием Фурье от такого сигнала будет

.       (1.12)

Это преобразование называется дискретным по времени преобразованием Фурье (сокращенно ДВПФ). Так как число отсчетов для дискретного преобразования Фурье должно быть ограничено, то

.       (1.13)

Для перехода к дискретному преобразованию Фурье  необходимо выполнить следующие действия:

  1.  Отбросить крайний правый отсчет.
  2.  Сдвинуть последовательность отсчетов на N/2 вправо.

Наличие этого сдвига приводит к появлению фазового множителя:

       (1.14)

.      (1.15)

В этой  формуле Xn – коэффициент дискретного преобразования Фурье,

X(nΔf) – коэффициент дискретного по времени преобразования Фурье.


Сm

X(f)

Спектральные коэффициенты

Спектр Т-периодического сигнала

m

Xn

Сm

Xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78143. Крупноблочные здания 257.5 KB
  Наружные и внутренние стены монтируются из сборных конструкций заводского изготовления массой до 5 тонн. Для зданий высотой до 5ти этажей применяют бескаркасную конструктивную систему с продольными несущими стенами а для зданий повышенной этажности с большим или смешанным шагом поперечных стен. Наружные стены в пределах высоты каждого этажа членят по горизонтали на два три или четыре ряда блоков. Крупные блоки наружных стен изготавливают из легких бетонов марок М50 М75 М100 плотностью не более 1600 кг м3 а блоки внутренних стен ...
78144. Крупнопанельные здания 1.2 MB
  Эффективные современные теплоизоляционные материалы Вес панелей снижают за счет эффективного утеплителя: λ коэффициент теплопроводности материала в ккал м час град. Форма и отделка панелей должна соответствовать архитектурным требованиям предъявляемым к зданию данного типа. Наиболее ответственные места это стыки наружных панелей между собой и с перекрытием. Применяемые для облицовки наружных панелей керамическая плитка стекломозаика различные каменные фактуры получили широкое распространение Крепление облицовочных материалов ...
78145. Жилые дома из объемно-пространственных блоков 917 KB
  При строительстве зданий из объемно пространственных блоков эти затраты сводятся к минимуму. Объемные блоки изготавливаются в цехах домостроительных заводов причем выполняют не только несущие конструкции но и все работы по отделке и внутреннему оборудованию. Здания из сборных блоков комнат и квартир Изготовленные на заводе пространственные блоки включающие однудве комнаты с полной их отделкой и внутренним санитарно техническим оборудованием доставляют специальными автодомовозами на постройку где их монтируют с колес мощным...
78146. Конструктивные решения зданий индустриальных строительных систем 1.77 MB
  Конструкции зданий монолитной и сборномонолитной строительных систем Очевидна тесная взаимосвязь объемно-планировочных решений избранной технологии возведения и конструкций зданий в монолитном домостроении. Конструкции скорлуп крепятся к монолитному слою на гибких стальных связях. Пространственные большепролетные конструкции передают на опорные элементы нагрузки направление и величина которых определяются статистической схемой работы данного покрытия его габаритами собственной массой временными нагрузками.
78147. Понятие о зданиях и их классификация 413 KB
  Здания предназначенные для всех видов жизнедеятельности людей: школы; детские сады; ясли; больницы; магазины и др. Здания государственного или большого культурного значения: театры; музеи; здания правительственных учреждений; дворцы культуры; спортивные сооружения.
78148. Основание под фундамент 1.91 MB
  Фундаменты Требования предъявляемые к фундаментам: прочность; устойчивость на опрокидывание и скольжение в плоскости подошвы фундамента; устойчивость к агрессивным грунтовым водам; стойкость к атмосферным факторам морозостойкость; пучение грунтов при замерзании; соответствие по долговечности сроку службы здания; индустриальность; экономичность. По конструктивной схеме фундаменты разделяются на: ленточные столбчатые или отдельно стоящие сплошные и свайные см. Ленточные фундаменты Монолитные ленточные фундаменты...
78149. Стены. Требования, предъявляемые к стенам 1.94 MB
  Кроме того стены должны иметь минимальный вес наименьшую стоимость и сооружаться по возможности из местных материалов. По роду материала различают стены: каменные деревянные и стены из других материалов в том числе синтетических в порядке эксперимента. Каменные подразделяются на: стены из каменной кладки; монолитные; крупнопанельные стены. Кирпичные стены по своей структуре подразделяются.
78150. Направленность личности 306.5 KB
  Понятие потребности. Желание как форма направленности характеризуется осознанием не только своей потребности но и возможных путей её удовлетворения. Интерес Интерес специфическая форма проявления познавательной потребности человека.
78151. Образование как социокультурный феномен и движущая сила социально-экономического развития 88.88 KB
  Социокультурные тенденции оказывающее влияние на развитие образования науки культуры. Основные направления модернизации среднего специального и высшего образования. Две основные функции образования в обществе воспроизводство и развитие и соответствующие им модели образования.