10449

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье

Лекция

Математика и математический анализ

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье. Как правило сигнал представленный в цифровом виде состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов xn. Такому сигналу можно поставить в соответс

Русский

2013-03-26

62.5 KB

12 чел.

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье.

Как правило, сигнал, представленный в цифровом виде, состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – x(n). Такому сигналу можно поставить в соответствие его дискретный Фурье-спектр, который определяется по формуле:

       (1.1)

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется по формуле:

.        (1.2)

Как и в этих формулах, далее мы будем через x(k) обозначать отсчеты цифрового сигнала, а через X(n) – значения спектральных коэффициентов цифрового сигнала.

Забегая несколько вперед, отметим, что для вычисления дискретного преобразования Фурье требуется порядка N2 операций, а при использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье – порядка N*lg(2*N) операций.

А. Дискретное преобразование Фурье и ряд Фурье.

Рассмотрим аналоговый T-периодический сигнал x(t). Как известно из курса математического анализа, его можно представить в виде ряда Фурье:

,         (1.3)

где спектральные коэффициенты ряда находятся по формуле

.        (1.4)

Рисунок 1.1

Связь между спектром и спектральными коэффициентами определяется следующей формулой:

.        (1.5)

Перейдем в (1.3) к дискретному времени () и подставим полученный результат в (1.1):

.       (1.6)

Предполагая, что ряде Фурье нет членов выше N/2 получаем после замены и упрощения:

,       (1.7)

С учетом ортогональности функций ДПФ:

     (1.8)

получаем

.         (1.9)

Здесь - период повторения спектра.

Для финитного спектра выполняется следующее условие:

.      (1.10)

Графически это можно представить в следующем виде:

Рисунок 1.2.

Если же спектр не является финитным, то картина несколько меняется

Рисунок 1.3.

При этом соотношение (1.10) выполняется лишь приближенно. Это явление называется эффектом наложения спектров. Для борьбы с этим явлением перед выполнением дискретного преобразования Фурье следует подействовать спектральным окном.

Б. Соответствие между преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье.

Рассмотрим апериодический сигнал x(t) длительностью Т. Его фурье-спектром будет X(f), определяемый по формуле:

.        (1.11)

Рассмотрим бесконечно протяженный сигнал с финитной спектральной функцией. Его можно дискретизовать с периодом , где fв – максимальная пространственная частота, присутствующая в сигнале. Преобразованием Фурье от такого сигнала будет

.       (1.12)

Это преобразование называется дискретным по времени преобразованием Фурье (сокращенно ДВПФ). Так как число отсчетов для дискретного преобразования Фурье должно быть ограничено, то

.       (1.13)

Для перехода к дискретному преобразованию Фурье  необходимо выполнить следующие действия:

  1.  Отбросить крайний правый отсчет.
  2.  Сдвинуть последовательность отсчетов на N/2 вправо.

Наличие этого сдвига приводит к появлению фазового множителя:

       (1.14)

.      (1.15)

В этой  формуле Xn – коэффициент дискретного преобразования Фурье,

X(nΔf) – коэффициент дискретного по времени преобразования Фурье.


Сm

X(f)

Спектральные коэффициенты

Спектр Т-периодического сигнала

m

Xn

Сm

Xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34461. Развитие бытового жанра в Англии ХVIII в. У. Хогарт. Влияние идей просветителей на портрет и пейзаж середины и второй половины ХVIII в. Английская школа портрета Дж. Рейнольдс. Т. Гейнсборо 18.89 KB
  Гейнсборо. Томас Гейнсборо 1727 1788 второй великий портретист XVIII столетия. В английской живописи эпохи Просвещения Рейнолдс и Гейнсборо выражают как бы две стороны просветительской эстетики: рационалистическую и эмоциональную. Для формирования Гейнсборо проведшего свою юность и молодость в провинции и сохранившего глубокую любовь к природе своего края старые мастера за исключением разве ван Дейка не имели такого значения как для Рейнолдса.
34462. Развитие искусства Италии в ХVIII в. Италия. Творчество Д.Б.Тьеполо. Развитие пейзажа (А. Каналетто, Т. Гварди) 17.04 KB
  был Джованни Баттиста Тьеполо 1696 1770 последний представитель барокко в европейском искусстве. Тьеполо автор гигантских росписей как церковных так и светских в которых архитектура природа люди звери сливаются в одно декоративное целое в единый декоративный поток. У Тьеполо был огромный декоративный дар и высокая колористическая культура как правило вообще присущая венецианским художникам. В одном из полотен для палаццо Дольфино в Венеции Триумф Сципиона особенно наглядно видно как умел и любил Тьеполо писать триумфальные...
34463. Творчество Ж.Л. Давида. Ж.Д. Энгр и формирование принципов неоклассицизма 18.99 KB
  В преддверии Великой французской революции в живописи Франции появляется Жак Луи Давид 1748 1825. Познакомившись с памятниками античности испытав влияние трудов Винкельмана и живописи немецкого классицистического художника Рафаэля Менгса Давид находит свой путь. Так выкристаллизовывался новый стиль и Давид в своей картине Клятва Горациев 1784 1785 выступил его глашатаем.
34464. Эстетическая программа романтизма. Романтизм во Франции. Творчество Т. Жерико и Э. Делакруа. Романтизм в Германии. Творчество Ф.О. Рунге и К.Д. Фридриха 19.64 KB
  Делакруа. Энгр непримиримый враг романтиков до конца жизни говорил что Делакруа пишет бешеной метлой а Делакруа обвинял Энгра и всех художников Школы в холодности рассудочности в отсутствии движения в том что они не пишут а раскрашивают свои картины. Об этом говорят и темы экзотического Востока и иллюстрации к Байрону и Шелли и Охота на львов и портрет 20летнего Делакруа. Истинным вождем романтизма стал Эжен Делакруа 1798 1863 сын бывшего члена революционного Конвента Его первые работы Ладья Данте и...
34465. Реализм в искусстве Франции второй половины ХIХ века. Пейзаж барбизонской школы. Крестьянский жанр Ф. Милле 17.83 KB
  Одно время работал в Барбизоне Жан Франсуа Милле 1814 1875. Родившийся в крестьянской среде Милле навсегда сохранил связь с землей. Крестьянский мир основной жанр Милле.
34466. Искусство импрессионизма. История возникновения группировки импрессионистов и эстетическая платформа. Живописная система импрессионистов. Основные представители течения 14.24 KB
  Искусство импрессионизма. Импрессионизм франц. предопределил направленность импрессионизма и который также и в 1870 80е гг. Название импрессионизм возникло после выставки 1874 на которой экспонировалась картина К.
34467. Искусство постимпрессионизма. Особенности изобразительного языка. Основные представители течения (Поль Сезанн, Винсент Ван Гог, Поль Гоген) 21.89 KB
  Основные представители течения Поль Сезанн Винсент Ван Гог Поль Гоген Художники которых в истории искусства именуют постимпрессионистами Сезанн Ван Гог и Гоген не были объединены ни общей программой ни общим методом. затем уехал в родной Прованс г. Постимпрессионистом называют и великого голландца Винсента Ван Гога 1853 1890 художника воплотившего душевную смятенность современного человека. Только после 30 лет Ван Гог целиком посвящает себя живописи.
34468. Основные художественные направления в искусстве первой половины ХХ века. Фовизм. Экспрессионизм. Кубизм. Футуризм. Абстракционизм. Сюрреализм 22.45 KB
  Основные художественные направления в искусстве первой половины ХХ века. ярко прослеживаются на искусстве Франции явившейся родиной фовизма кубизма и его разновидности пуризма она дала своих дадаистов сюрреалистов абстракционистов. Сюрреалистическое направление в искусстве родилось как философия потерянного поколения чья молодость совпала с Первой мировой войной. Теория сюрреализма строилась на философии интуитивизма Анри Бергсона интуиция единственное средство познания истины ибо разум здесь бессилен и акт творчества имеет...
34469. Быт и культура древнеславянских народов. Мифология древних славян. Культовые сооружения. Идолы 45.5 KB
  Некоторые Боги древних славян: Род богсоздатель видимого мира. Род родил Сварога великого бога который довершил творение мира. Сварог богсоздатель земли и небес. Велес один из величайших богов древнего мира сын Рода брат Сварога.