10449

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье

Лекция

Математика и математический анализ

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье. Как правило сигнал представленный в цифровом виде состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – xn. Такому сигналу можно поставить в соответс

Русский

2013-03-26

62.5 KB

9 чел.

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье.

Как правило, сигнал, представленный в цифровом виде, состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – x(n). Такому сигналу можно поставить в соответствие его дискретный Фурье-спектр, который определяется по формуле:

       (1.1)

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется по формуле:

.        (1.2)

Как и в этих формулах, далее мы будем через x(k) обозначать отсчеты цифрового сигнала, а через X(n) – значения спектральных коэффициентов цифрового сигнала.

Забегая несколько вперед, отметим, что для вычисления дискретного преобразования Фурье требуется порядка N2 операций, а при использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье – порядка N*lg(2*N) операций.

А. Дискретное преобразование Фурье и ряд Фурье.

Рассмотрим аналоговый T-периодический сигнал x(t). Как известно из курса математического анализа, его можно представить в виде ряда Фурье:

,         (1.3)

где спектральные коэффициенты ряда находятся по формуле

.        (1.4)

Рисунок 1.1

Связь между спектром и спектральными коэффициентами определяется следующей формулой:

.        (1.5)

Перейдем в (1.3) к дискретному времени () и подставим полученный результат в (1.1):

.       (1.6)

Предполагая, что ряде Фурье нет членов выше N/2 получаем после замены и упрощения:

,       (1.7)

С учетом ортогональности функций ДПФ:

     (1.8)

получаем

.         (1.9)

Здесь - период повторения спектра.

Для финитного спектра выполняется следующее условие:

.      (1.10)

Графически это можно представить в следующем виде:

Рисунок 1.2.

Если же спектр не является финитным, то картина несколько меняется

Рисунок 1.3.

При этом соотношение (1.10) выполняется лишь приближенно. Это явление называется эффектом наложения спектров. Для борьбы с этим явлением перед выполнением дискретного преобразования Фурье следует подействовать спектральным окном.

Б. Соответствие между преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье.

Рассмотрим апериодический сигнал x(t) длительностью Т. Его фурье-спектром будет X(f), определяемый по формуле:

.        (1.11)

Рассмотрим бесконечно протяженный сигнал с финитной спектральной функцией. Его можно дискретизовать с периодом , где fв – максимальная пространственная частота, присутствующая в сигнале. Преобразованием Фурье от такого сигнала будет

.       (1.12)

Это преобразование называется дискретным по времени преобразованием Фурье (сокращенно ДВПФ). Так как число отсчетов для дискретного преобразования Фурье должно быть ограничено, то

.       (1.13)

Для перехода к дискретному преобразованию Фурье  необходимо выполнить следующие действия:

  1.  Отбросить крайний правый отсчет.
  2.  Сдвинуть последовательность отсчетов на N/2 вправо.

Наличие этого сдвига приводит к появлению фазового множителя:

       (1.14)

.      (1.15)

В этой  формуле Xn – коэффициент дискретного преобразования Фурье,

X(nΔf) – коэффициент дискретного по времени преобразования Фурье.


Сm

X(f)

Спектральные коэффициенты

Спектр Т-периодического сигнала

m

Xn

Сm

Xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27242. Проаналізуйте наступні варіанти вибору конкурентною фірмою оптимального випуску та оптимальної ціни: а) максимізації прибутку; б) мінімізації збитків; в) випадок незбитковості 32.41 KB
  Якщо ціна не менше від середніх змінних витрат Р =АVС то фірма повинна виробляти оптимальний рівень випуску. графік Максимізації прибутку конкурентною фірмою Максимізація прибутку досягається коли відрізок між TR і ТС найбільший відрізок АВ TR TC обсяг випуску Q. Точки С і D – точки критичного обсягу випуску продукції коли ТС = TR.
27243. Виведіть рівновагу на ринку досконалої конкуренції в довгому періоді. Яка умова цієї рівноваги? Як співвідносяться досконала конкуренція та ефективність 31.98 KB
  Вільний вхід і вихід з галузі; 5. Якщо умови діяльності несприятливі для фірми то вона може піти з ринку галузіДосконала конкуренція припускає рівний доступ всіх фірм до ресурсів у тому числі і до технологічної інформації. Тому в довгостроковому періоді кожна фірма може вибрати і реалізувати найефектніший варіант виробництва внаслідок чого криві загальних витрат всіх фірм однієї галузі буде ідентичний і можна говорити що в довгостроковому періоді галузь складається з однакових або типових фірм. Довгострокова крива галузі в цьому...
27244. Охарактеризуйте ознаки і причини існування монополії. Визначте ціну і обсяг виробництва в умовах чистої монополії 15.67 KB
  Визначте ціну і обсяг виробництва в умовах чистої монополії Економічна монополія є найпоширенішою. Коли монополіст вирішує підвищите ціну продукту йому нема чого турбуватися про конкурентів які знизивши ціну можуть захопити більшу частину ринку. Але це не означає що монополіст може призначати ціну яку він захоче. Призначаючи ціну нижче ціниконкуруючих фірм той або інший продавець може розраховувати на деякийзбільшення обсягу продажів.
27245. Як співвідноситься монополістична конкуренція з монополією та досконалою конкуренцією? Охарактеризуйте монополістичну конкуренцію і покажіть, як визначаються ціна та обсяг виробництва в умовах монополістичної конкуренції 18.2 KB
  монополі сти чно конкурентні фірми випускають подібні товари які мають багато замінників то попит на продукт кожної фірми є еластичний і подібно до монополії фірма займається пошуком оптимальної ціни і обсягу виробництва продукту які забезпечують їй максимальний прибуток Досконала конкуренція форма організації ринку яка передбачає конкуренцію великої кількості продавців і покупців і при цьому змагання між суб´єктами господарювання з метою отримання завдяки власним досягненням переваг над іншими суб´єктами господарювання відбувається...
27246. Визначте характер попиту на ресурси. Розкрийте механізм розподілу доходів у відповідності з теорією граничної продуктивності 24.8 KB
  Визначте характер попиту на ресурси. Попит на ресурси на відміну від попиту на споживчі блага пов'язаний з виробництвом яке здійснює конкретне підприємство фірма. Оскільки метою підприємства є максимізація прибутку то нею визначається й обсяг попиту на ресурси. Для розуміння процесу формування попиту на ресурси необхідно враховувати два моменти: 1 попит на ресурси залежить від попиту на економічні блага вироблені з цих ресурсів тобто попит на ресурси має похідний характер від попиту на продукти; 2 ціни на ресурси залежать від типу...
27247. Механізм ціноутворення на ринку праці. Проаналізуйте модель монопсонії і наведіть приклади монопсонічного ринку з української дійсності. Охарактеризуйте форми і системи заробітної плати 27.01 KB
  График спроса на труд монопсониста это снижающаяся часть кривой предельной доходности труда D = MRPL. Для получения максимальной прибыли монопсонист должен нанять такое количество рабочих при котором предельная доходность труда равна предельным издержкам труда MRPL = MRCL Для получения максимальной прибыли монопсонист должен нанять такое количество рабочих при котором предельная доходность труда равна предельным издержкам труда MRPL = MRCL. Однако монопсонист не будет устанавливать рабочим ставку заработной платы соответствующую...
27249. Проаналізуйте концепції еластичності попиту та пропозиції. Як їх можна застосувати на практиці 32.51 KB
  Як їх можна застосувати на практиці Эластичность спроса или предложения вычисляется как отношение процентного изменения величины спроса предложения к процентному изменению какойлибо детерминанты. производная функции спроса или предложения по цене; рыночная цена; величина спроса или предложения при данной цене основные свойства эластичности: Эластичность это безмерная величина значение которой не зависит от того в каких единицах мы измеряем объем цены или какиелибо другие параметры. Эластичность взаимно обратных функций ...
27250. Обґрунтуйте передумови, сутність і теоретичні висновки базової моделі поведінки споживача. Поясніть “рівновагу споживача”, застосовуючи методологію кардиналістського (кількісного) та ординалістського (порядкового) аналізу 15.28 KB
  Поясніть €œрівновагу споживача€ застосовуючи методологію кардиналістського кількісного та ординалістського порядкового аналізу Поведінка споживачів це діяльність безпосередньо пов'язана з придбанням споживанням і позбавленням від продуктів послуг ідей включаючи процеси прийняття рішень Змістовну основу споживчої поведінки складають процес прийняття рішень споживачами Однією з найважливіших тенденцій сучасного бізнесу стає зміна ролі споживачів коли з пасивних покупців із заданою наперед функцією споживання вони перетворюються на...