10449

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье

Лекция

Математика и математический анализ

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье. Как правило сигнал представленный в цифровом виде состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – xn. Такому сигналу можно поставить в соответс

Русский

2013-03-26

62.5 KB

9 чел.

Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье.

Как правило, сигнал, представленный в цифровом виде, состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – x(n). Такому сигналу можно поставить в соответствие его дискретный Фурье-спектр, который определяется по формуле:

       (1.1)

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется по формуле:

.        (1.2)

Как и в этих формулах, далее мы будем через x(k) обозначать отсчеты цифрового сигнала, а через X(n) – значения спектральных коэффициентов цифрового сигнала.

Забегая несколько вперед, отметим, что для вычисления дискретного преобразования Фурье требуется порядка N2 операций, а при использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье – порядка N*lg(2*N) операций.

А. Дискретное преобразование Фурье и ряд Фурье.

Рассмотрим аналоговый T-периодический сигнал x(t). Как известно из курса математического анализа, его можно представить в виде ряда Фурье:

,         (1.3)

где спектральные коэффициенты ряда находятся по формуле

.        (1.4)

Рисунок 1.1

Связь между спектром и спектральными коэффициентами определяется следующей формулой:

.        (1.5)

Перейдем в (1.3) к дискретному времени () и подставим полученный результат в (1.1):

.       (1.6)

Предполагая, что ряде Фурье нет членов выше N/2 получаем после замены и упрощения:

,       (1.7)

С учетом ортогональности функций ДПФ:

     (1.8)

получаем

.         (1.9)

Здесь - период повторения спектра.

Для финитного спектра выполняется следующее условие:

.      (1.10)

Графически это можно представить в следующем виде:

Рисунок 1.2.

Если же спектр не является финитным, то картина несколько меняется

Рисунок 1.3.

При этом соотношение (1.10) выполняется лишь приближенно. Это явление называется эффектом наложения спектров. Для борьбы с этим явлением перед выполнением дискретного преобразования Фурье следует подействовать спектральным окном.

Б. Соответствие между преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье.

Рассмотрим апериодический сигнал x(t) длительностью Т. Его фурье-спектром будет X(f), определяемый по формуле:

.        (1.11)

Рассмотрим бесконечно протяженный сигнал с финитной спектральной функцией. Его можно дискретизовать с периодом , где fв – максимальная пространственная частота, присутствующая в сигнале. Преобразованием Фурье от такого сигнала будет

.       (1.12)

Это преобразование называется дискретным по времени преобразованием Фурье (сокращенно ДВПФ). Так как число отсчетов для дискретного преобразования Фурье должно быть ограничено, то

.       (1.13)

Для перехода к дискретному преобразованию Фурье  необходимо выполнить следующие действия:

  1.  Отбросить крайний правый отсчет.
  2.  Сдвинуть последовательность отсчетов на N/2 вправо.

Наличие этого сдвига приводит к появлению фазового множителя:

       (1.14)

.      (1.15)

В этой  формуле Xn – коэффициент дискретного преобразования Фурье,

X(nΔf) – коэффициент дискретного по времени преобразования Фурье.


Сm

X(f)

Спектральные коэффициенты

Спектр Т-периодического сигнала

m

Xn

Сm

Xn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15180. Жүсіпбек Аймауытов - әдебиет сыншысы 71.5 KB
  Рақымжан Тұрысбек Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетінің профессоры филология ғылымдарының докторы Ж.АЙМАУЫТҰЛЫ – ӘДЕБИЕТ СЫНШЫСЫ Ұлттық сөз өнеріне оның өрісті өркендеуіне өлшеусіз үлес қосқан – Жүсіпбек Аймауытұлы әдеби мұра мен оны зерт...
15181. Жүсіпбек Аймауытов 107 KB
  ЖҮСІПБЕК АЙМАУЫТОВ 18891931 Аймауытов Жүсіпбек 1889 1931 қазақтың көрнекті жазушысы қазақ әдебиетін қалыптастырушылардың бірі.Туып өскен жері Павлодар облысының Баянауыл ауданына қарасты бұрынғы Қызыл ту қазіргі Жүсіпбек Аймауытов ауылы.Әкесі Аймауыт кед
15182. Жұбан Молдағалиев 64 KB
  Бір естелік 86ның ызғарлы желтоқсанындағы дүрбелең халық көкейінде әлі жаңғырып тұр. Уақыт алға жылжыған сайын кезінде айтылуға тыйым салынған шындықтар тамтұмдап болса да оқиғаны көзбен көргендердің аузымен айтыла бастады. Жастардың зиялы қауымға деген сенімсізд
15183. Зейнолла Шыраев 74 KB
  ЖЫР ОТЫМЕН БІРГЕ ЖАНЫП ӨМІРДЕН ӨТКЕН АҚЫН Г.Е.Махамбетжанова Н.Т.Қожанова Қызылорда облысы Қазалы қаласындағы Ғ.Мұратбаев атындағы № 17 орта мектебі Cыр өңірі қашаннан хас таланттардың отаны болып табылады. Бұл өңірден түлеп ұшқан жырау жыршы шайырлардың ақынд...
15184. Иса Байзақов 47 KB
  ИСАНЫ ТАНИ АЛДЫҚ ПА Біз әдетте талантты адамды көрсек €œсегіз қырлы бір сырлы€ деп жатамыз. Оның өнерінің қандай қасиеттері барына назар аудармай әйтеуір мадақ жөні осы екен деп жаттанды сөздерді оңдысолды қолдана береміз. Сөздің сауабы мен обалы бар екенін
15185. Ілияс Жансүгіров 85 KB
  ІЛИЯС ЖАНСҮГІРОВ 1894-1938 Ілияс Жансүгіров – ақын драмашы прозашы оның поэзиясы ұлттық әдебиеттің классикалық байлығының қатарына жатады. Ақынның терең идеялы көркем мүсінді эпикалық кең тынысты шығармаларының танымдық тәрбиелік мәні зор.Олар қалың оқырманның о
15186. Кенен Әзірбаевтың әдеби шығармашылығы 193.5 KB
  Адамзат тарихындағы үшінші мыңжылдықтың басталуы жаңа қоғамдық құндылықтардың қалыптасу жолында өткен дәуірлердегі мәдени, тарихи процестерге жаңаша көзқараспен қарауға зор мүмкіншілік тудырды. Соның ішінде, қазақ әдебиеті тарихының ХІХ ғасырдағы әдебиет пен өнер саласындағы тарлан тұлғаларының шығармашылық мұраларын қайтадан қарап, жарияланбаған еңбектерін халыққа насихаттауға еркін қол жетті.
15187. Көкбай Жанатайұлы 78 KB
  КӨКБАЙ ЖАНАТАЙҰЛЫ 1861-1925 Ұлттық мәдениетіміз бен әдебиетімізді рухани өмірімізді тас қамауда шынжыр қоршауда қадағалап ұстап келген коммунистік саясаттың қанды торының үзілуі елімізге тың серпіліс әкелді. Өткен тарихымызға әдебиетіміз бен мәдениетіміздің ойы ме...
15188. Қажығұмар Шабданұлы 34 KB
  PAGE 2 ШАБДАНҰЛЫ ҚАЖЫҒҰМАР Жазушы ақын драматург. Қытай қазақтары жазба әдебиетінің негізін қалаған тұлғалардың бірі болып саналады. Жазушылық таланты адами адалдығы және өз көзқарастарына қатаң беріктігі үшін әсіресе Қытай қазақтары арасында зор б...