10450

Математическое описание непрерывных изображений. Преобразование Фурье. Дискретизация и восстановление изображений. Теорема Котельникова

Реферат

Математика и математический анализ

Математическое описание непрерывных изображений. Преобразование Фурье. Дискретизация и восстановление изображений. Теорема Котельникова. А. Распределение освещенности на изображении описывается в общем случае непрерывной функцией от четырех переменных – двух про

Русский

2013-03-26

163 KB

35 чел.

Математическое описание непрерывных изображений. Преобразование Фурье. Дискретизация и восстановление изображений. Теорема Котельникова.

А.

Распределение освещенности на изображении описывается, в общем случае, непрерывной функцией от четырех переменных – двух пространственных (x и y), времени t и длины волны λ1: E(x, y, t, λ). Размерность этой величины имеет вид Вт/(м2*с*мкм). Как правило, рассматриваются неподвижные изображения, распределение освещенности которых не зависит от времени, или изображения в фиксированный момент времени. Это позволяет исключить зависимость от времени. Кроме того, как правило, фотоприемники реагируют только на интегральную по спектру освещенность, взятую с некоторой весовой функцией – спектральной характеристикой фотоприемника, поэтому можно отказаться и от зависимости от длинны волны излучения, то есть перейти к панхроматическому (монохроматическому, черно-белому) изображению. Забегая несколько вперед, отметим, что для описания цветных изображений используется та или иная цветовая схема, например RGB, в которой цветное изображение представляется в виде суперпозиции трех монохроматических изображений. Поэтому мы будем рассматривать неподвижное монохроматическое изображение E(x, y).

В результате двумерного преобразования Фурье появляется двумерная функция, описывающая спектр изображения:

,      (1.1)

где ωx, ωy – пространственные частоты.

Исходная функция может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье:

.    (1.2)

В общем случае спектр W(ωx, ωy) является комплексной величиной. Его можно разложить на действительную и мнимую части:

     (1.3)

или представить с помощью амплитуды и фазы:

      (1.4)

где

     (1.5)

(1 .6.46)      (1.6)

Достаточным условием существования фурье-спектра функции E(x, у) является абсолютная интегрируемость этой функции, т. е. условие

       (1.7)

Поскольку ядро двумерного преобразования Фурье разделимо, это преобразование может быть выполнено в два этапа. Сначала находится

      (1.8)

а затем

     (1.9)

Ниже приводятся несколько полезных свойств двумерного преобразования Фурье.

Функциональные свойства

Если функция E(х, у) разделима по пространственным переменным, так что

       (1.10)

то

      (1.11)

где Wx(ωx), Wy(ωy) — одномерные фурье-спектры функций E(х) и E(у).

Если W(ωx, ωy) есть фурье-спектр функции E(x, y), W(-ωx, -ωy) является фурье-спектром функции F*(x, у).

(Звездочка обозначает комплексную сопряженность.)

Если функция E(x, у) симметрична, т. е. E(x, у) = E(-x, -y), то

W(ωx, ωy) = W(-ωx, -ωy),        (1.12)

Линейность

Оператор преобразования Фурье линеен: если

,       (1.13)

то

     (1.14)

где а и b – постоянные,

W(ωx, ωy), W1x, ωy), W2x, ωy) - преобразование Фурье от функций E(x, y), E1(x, y) и E2(x, y) соответственно.

Изменение масштаба

Изменение масштаба пространственных переменных приводит к обратному изменению масштаба пространственных частот и пропорциональному изменению значений спектра: если W(ωx, ωy) и W2x, ωy) - преобразование Фурье от функций E(x, y) и , то

      (1.15)

Следовательно, сжатие вдоль одной из осей плоскости (x, у) приводит к растяжению вдоль соответствующей оси частотной плоскости и наоборот. Происходит также пропорциональное изменение значений спектра.

В дальнейшем для обозначения преобразования Фурье мы будем использовать оператор F, то есть F(Ex, ωy))=Wx, ωy), а для обратного преобразования Фурье – оператор F-1: F-1Wx, ωy)=E(x, y).

Сдвиг

Сдвиг (изменение координат) на исходной плоскости приводит к фазовым изменениям на частотной плоскости:

     (1.16)

Наоборот, сдвиг на частотной плоскости вызывает фазовые изменения исходной функции:

     (1.17)

Свертка

Фурье-спектр функции, полученный в результате свертки двух функций, равен произведению спектров исходных функций:

    (1.18)

Обратная теорема утверждает, что

.     (1.19)

Теорема Парсеваля

Два представления энергии изображения - через функцию E(x, у) и фурье-спектр Wx, ωy) -связаны следующим образом:

.     (1.20)

Теорема о спектре автокорреляционной функции

Фурье-спектр двумерной автокорреляционной функции изображения равен квадрату модуля фурье-спектра этого изображения:

.    (1.21)

Б.

Пусть функция E(x,y) описывает исходное непрерывное изображений бесконечных размеров. В идеальной дискретизующей системе пространственные отсчеты дискретизованного изображения получаются при умножении функции исходного изображения на пространственную дискретиующую функцию. Вид пространственной дискретизующей функции показан на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1. Набор дельта-функций, осуществляющих дискретизацию изображений.

Эта функция имеет представляет собой суперпозицию дельта-функций:

.      (1.22)

Тогда дискретизованное изображение описывается соотношением:

. (1.23)

Функция Es(x,y) определена на всей числовой плоскости, хотя и может быть полностью описана значениями своих отсчетов.

Для анализа процесса дискретизации можно использовать спектр дискретизованного изображения. Для этого используется непрерывное двумерное преобразование Фурье.

   (1.24)

Согласно теореме о спектре произведения, спектр произведения функций можно представить в виде свертки спектров сомножителей:

.      (1.25)

Двумерное преобразование Фурье дискретизующей функции дает бесконечный набор дельта-функций в плоскости пространственных частот с шагом Δωx=2π/Δx и Δωy=2π/Δy соответственно по одной и другой координатам, то есть:

.    (1.26)

Будем предполагать, что спектр исходного изображения ограничен по ширине, так что Wx, ωy)=0 при  и . Такие изображения называются изображения с ограниченным спектром. Заметим, что все физически реализуемые изображения являются изображениями с ограниченным спектром, но величины ωxc и ωyc могут быть весьма значительными.

Вычисляя свертку согласно (1.26) находим:

. (1.27)

Меняя порядок операций суммирования и интегрирования, и учитывая основное свойство дельта-функции, получим выражение для спектра дискретизованного сигнала:

   (1.28)

Как видно из формулы (1.28) спектр дискретизованного изображения получается при помощи бесконечного повторения спектра исходного изображения на величины, кратные Δωx = 2π/Δx и Δωy = 2π/Δy. Этот процесс схематически изображен на рисунке 1.2. Следует отметить, что если величины Δx и Δy будут выбраны слишком большими, то соседние спектры будут перекрываться.

Рисунок 1.2.

Из рисунка 1.2 видно, какое преобразование необходимо совершить над спектром дискретизовнной функции. Для этого необходимо приравнять значения спектра к нулю в области  и . Если соседние спектры не перекрывались, то такое восстановление будет совпадать с исходным изображением. Это утверждение является одной из формулировок теоремы Котельникова (теоремы отсчетов, теоремы Шеннона): Если частота дискретизации равна или превышает удвоенную максимальную пространственную частоту дискретизуемого изображения, то возможно точное восстановление исходного изображения.

В пространственной области операция восстановления непрерывного изображения сводится к интерполяции. Пусть R(x,y) – линейный отклик интерполирующего фильтра, а Rx, ωy) – его частотная характеристика. Восстановление изображения получается как свертка дискретизованного изображения (последовательности отсчетов) с импульсным откликом восстанавливающего фильтра. Таким образом, восстановленное непрерывное изображение описывается соотношением

,        (1.29)

или, что то-же самое:

.   (1.30)

Отсюда видно, что импульсный отклик R(x,y) выполняет роль двумерной функции, интерполирующей отсчеты на всю плоскость. Пространственно-частотный спектр изображения, восстанавливаемый согласно (1.29) есть произведение частотной характеристики восстанавливающего фильтра со спектром дискретизованного изображения, то есть

.      (1.31)

С учетом (1.28) получаем

.(1.32)

Из этого выражения видно, что если спектры не перекрываются, а множитель Rxy) подавляет все сдвинутые спектры при m≠0 и n≠0, то спектр восстановленного изображения будет совпадать с исходным. Для изображений с ограниченным спектром первое условие выполняется, если

и         (1.33)

или

и .        (1.34)

Таким образом, теорема Котельникова доказана. Эта частота  называется частотой Найквиста дискретизующей системы.

Для безошибочного восстановления непрерывного изображения необходимо, чтобы ширина спектра исходного изображения не превышала частоту Найквиста. Если при дискретизации имеет место наложение спектров, то в восстановленном изображении появятся ложные пространственные гармоники. На рисунке 1.3 показано, как выглядит наложение спектров для случая наилучшей и наихудшей фазы.

Наихудшая фаза     Наилучшая фаза

Рисунок 1.3.

Для борьбы с эти явлением можно использовать предварительную пространственную фильтрацию изображений.

В.

Для точного восстановления изображения можно использовать двумерный аналог sinc-функции, который представляет собой преобразование Фурье от двумерного прямоугольного окна:

     (1.36)

      (1.35)

или использовать функцию, спектр которой имеет вид "пенька":

     (1.37)

       (1.38)

На практике в цифровой системе воспроизведения сложно использовать оптимальный восстанавливающий фильтр.

Простейшей интерполяционной функцией является прямоугольная функция, с помощью которой осуществляется интерполяция многочленом нулевого порядка. Треугольная функция осуществляет интерполяцию первого порядка. Такую функцию можно рассматривать как свертку двух прямоугольных функций. Свертка треугольной функции с прямоугольной дает колоколообразную интерполяционную функцию.

В следующей таблице приведены некоторые разделимые интерполяционные функции.

Функция

Определение

Sinc

Прямоугольная

Треугольная

Колоколообразная

Кубический В-сплайн

Гауссова

Использовать данные функции можно при помощи кусочно-линейной интерполяции. В качестве альтернативного метода можно использовать метод билинейной интерполяции.

кусочно-линейная интерполяция  билинейная интерполяция

При кусочно-линейной интерполяции интерполяционные функции применяются последовательно к обеим координатам, причем отдельно для участков 1 и 2. Алгоритм в случае билинейной интерполяции очевиден из рисунка.


Δx

Δy

A

D

C

1

2

A

B

C

D

1 Поэтому более точным будет название "спектральная освещенность".


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52660. Відомий дослідник генетики- Грегор Мендель 26 KB
  У 1843 році Мендель був прийнятий в августинський монастир святого Томаша в Альтбрюнні. Несподіванкою не тому що Мендель зробив доповідь адже звичайно було відоме що роботу з гібридизації гороху він веде уже багато років а через те що було в доповіді сказано. Чи випадково Мендель зайнявся проблемою гібридизації Що це було: ще одне хоббі дилетанта розвага типу збирання марок.