10451

Схемы переходов от непрерывных преобразований к дискретным преобразованиям

Научная статья

Математика и математический анализ

Схемы переходов от непрерывных преобразований к дискретным преобразованиям. Введем определения следующих операций: Частотным окном FW frequency window называется ограничение спектра сигнала по частоте. При этом спектр сигнала становится финитным. Окно не обязательно дол

Русский

2013-03-26

44 KB

1 чел.

Схемы переходов от непрерывных преобразований к дискретным преобразованиям.

Введем определения следующих операций:

Частотным окном (FWfrequency window) называется ограничение спектра сигнала по частоте. При этом спектр сигнала становится финитным. Окно не обязательно должно быть прямоугольным.

Дискретизацией (TStime sampling) называется процесс взятия отсчетов сигнала. При этом время t заменяется на kΔt.

Дискретизацией в частотной области (FS - frequency sampling). Смысл этого действия ясен из названия.

Все эти операции являются линейными и коммутативными. Дискретизация в одной области приводит к периодическому повторению в другой. Взвешивание окном в одной области приводит к свертке с преобразованием Фурье оконной функции в другой области.

Переходы удобно отобразить на следующей схеме.

Рисунок 2.1.

1. В пункте 1 находится непериодический сигнал с бесконечным спектром. Обозначим этот сигнал за x(t), а его спектр – X(f). Сигнал и спектр связаны классическими формулами непрерывного преобразования Фурье:

.        (2.1)

2. Ограничение спектра величиной . Спектр сигнала становится финитным.

4. Дискретизация по времени. Сигнал становится . Преобразование Фурье переходит в дискретное по времени преобразование Фурье. Спектр сигнала становится периодичным в периодом .

.       (2.2)

Здесь удобно использовать нормированную частоту . Это получается путем формального приравнивания Δt к 1.

6. Ограничение сигнала по времени, то есть . Спектр сигнала при этом остается непрерывным.

8. Дискретизация по частоте. Получается дискретный по времени ряд Фурье. . Здесь x(k) становится периодичной с периодом N. X(n) становится дискретным:

,        (2.3)

.        (2.4)

Для n≤0 вследствие N-периодичности , а, следовательно,

.

Если приравнять Δt к 1, то получится дискретное преобразование Фурье.

Возможен и другой путь движения от 1 к 8.

2. Ограничение по длительности – временное окно. (TWtime window).

5. Ряд Фурье с непрерывным временем. При этом сигнал превращается в Т-периодический и представляется в виде ряда Фурье:

, где        (2.5)

.       (2.6)

7. Ограничение спектра. Спектр становится финитным. Это достигается отбросом лишних Cn.

8.Дискретизация по времени с шагом Δt.


1

4

6

3

7

8

5

9

FW

FW

TW

FS

TS

FW

FS

TW

Сдвиг + отброс точки + ΔT=1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58667. Отечественная война 1812 года 37 KB
  Цель: Создать условия для формирования исторического представления об Отечественной войне 1812 года на уроке истории при помощи ЦОР Задачи: Образовательные: познакомить с событиями Отечественной войны 1812 года, научить анализировать историческую видео информацию...
58669. Создание web-страниц. Ссылки (гиперссылки) 49.5 KB
  У Вас имеется две страницы. shablon.html и index.html. Создадим ссылку со второго на первый, так как, обычно, файл первой страницы любого сайта называют именно index.html.
58670. Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной 185 KB
  Суть этого метода заключается в том что путём замены некоторого выражения входящего в уравнение понижается его степень. Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение записанное в общем виде и раскрывает суть его решения сначала решаются обычные уравнения.
58674. Краса людини - це багатство. (Урок розвитку звязного мовлення. Підготовка до написання твору-опису за картиною) 62.5 KB
  Повторити з учнями Стилі і типи мовлення; спрямувати їхню увагу на характерних рисах зовнішності та внутрішніх якостях людини; бажання бачити і відчувати прекрасне; спонукати дітей до створення звязного текстуопису; показати їм взаємозвязок української мови з іншими дисциплінами а саме: з інформатикою та наголосити на значенні...
58675. Вибір місця встановлення металевої тимчасової печі, її встановлення 191 KB
  Мета уроку: навчити учнів правильно вибирати місця для встановлення тимчасової печі. Розвити навики та вміння отримані на попередніх уроках теоретичного та виробничого навчання; Виховувати бережне ставлення до інструменту, охайність, відповідальність за виконану роботу.