10451

Схемы переходов от непрерывных преобразований к дискретным преобразованиям

Научная статья

Математика и математический анализ

Схемы переходов от непрерывных преобразований к дискретным преобразованиям. Введем определения следующих операций: Частотным окном FW frequency window называется ограничение спектра сигнала по частоте. При этом спектр сигнала становится финитным. Окно не обязательно дол

Русский

2013-03-26

44 KB

1 чел.

Схемы переходов от непрерывных преобразований к дискретным преобразованиям.

Введем определения следующих операций:

Частотным окном (FWfrequency window) называется ограничение спектра сигнала по частоте. При этом спектр сигнала становится финитным. Окно не обязательно должно быть прямоугольным.

Дискретизацией (TStime sampling) называется процесс взятия отсчетов сигнала. При этом время t заменяется на kΔt.

Дискретизацией в частотной области (FS - frequency sampling). Смысл этого действия ясен из названия.

Все эти операции являются линейными и коммутативными. Дискретизация в одной области приводит к периодическому повторению в другой. Взвешивание окном в одной области приводит к свертке с преобразованием Фурье оконной функции в другой области.

Переходы удобно отобразить на следующей схеме.

Рисунок 2.1.

1. В пункте 1 находится непериодический сигнал с бесконечным спектром. Обозначим этот сигнал за x(t), а его спектр – X(f). Сигнал и спектр связаны классическими формулами непрерывного преобразования Фурье:

.        (2.1)

2. Ограничение спектра величиной . Спектр сигнала становится финитным.

4. Дискретизация по времени. Сигнал становится . Преобразование Фурье переходит в дискретное по времени преобразование Фурье. Спектр сигнала становится периодичным в периодом .

.       (2.2)

Здесь удобно использовать нормированную частоту . Это получается путем формального приравнивания Δt к 1.

6. Ограничение сигнала по времени, то есть . Спектр сигнала при этом остается непрерывным.

8. Дискретизация по частоте. Получается дискретный по времени ряд Фурье. . Здесь x(k) становится периодичной с периодом N. X(n) становится дискретным:

,        (2.3)

.        (2.4)

Для n≤0 вследствие N-периодичности , а, следовательно,

.

Если приравнять Δt к 1, то получится дискретное преобразование Фурье.

Возможен и другой путь движения от 1 к 8.

2. Ограничение по длительности – временное окно. (TWtime window).

5. Ряд Фурье с непрерывным временем. При этом сигнал превращается в Т-периодический и представляется в виде ряда Фурье:

, где        (2.5)

.       (2.6)

7. Ограничение спектра. Спектр становится финитным. Это достигается отбросом лишних Cn.

8.Дискретизация по времени с шагом Δt.


1

4

6

3

7

8

5

9

FW

FW

TW

FS

TS

FW

FS

TW

Сдвиг + отброс точки + ΔT=1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61015. Тела, вещества, частицы 42.5 KB
  Задачи: 1 Формирование представлений о телах веществах частицах. Тема нашего нового урока Тела вещества частицы. Беседа по теме Тела.
61016. Электрический ток в металлах. Действия электрического тока. Направление 40 KB
  Действия электрического тока. Что необходимо чтобы в цепи существовал электрический ток Источник тока проводники потребитель тока и все эти элементы должны быть замкнуты.
61018. Інтелектуальна гра-вікторина «Найрозумніший» 64 KB
  Мета: шляхом проведення гри перевірити рівень знань учнів, розвиток їх інтелекту; розвивати пізнавальний інтерес і пізнавальну активність дітей, потяг до знань, самоосвіти, допитливість...
61019. ПОДОРОЖ КРАЇНОЮ КАЗКАРІЯ 286.5 KB
  Скільки тварин тягнули ріпку Кого перелякав пан Коцький Хто жив у рукавичці Хто вимагав від КозиДерези покинути зайчикову хатку Як відповідали мишенята Круть і Верть Півникові коли він говорив про роботу...
61020. Множество. Сравнение множеств 42.5 KB
  Цели урока: Образовательные: продолжить знакомство с понятиями €œмножество элемент множества; познакомить со схематичным изображением множеств состоящих из элементов; научить сравнивать множества по числу элементов.
61022. Виготовлення проектованого виробу «Шкатулка» 124.5 KB
  Обладнання столярний верстак роботи виконані на попередніх уроках кухонні дошки ужиткові речі різці плакати креслярський інструмент ручний інструмент для обробки деревини ТВ6 та СТД120М.