10598

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье)

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных Метод Фурье. Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений...

Русский

2013-03-29

119.66 KB

138 чел.

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений линейного однородного дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющих однородным граничным условиям, затем в силу принципа суперпозиций составляется ряд из этих решений.

где коэффициенты определяются из начальных условий.

  Метод применим для конечных областей.

  Рассмотрим метод Фурье применительно к следующей задаче

                                        (23)

( ).

В случае декартовых координат   ;

;

- конечная пространственная область.

  Предположим, что ГУ приведены к однородным. Тогда, частное решение уравнения (23) ищем в виде произведения двух функций

,                                     (24)

одна из которых зависит только от времени, а другая - только от пространственных координат; А- произвольная постоянная.

  Если (24) подставить в (23), то получим два дифференциальных уравнения относительно  

;                                       (25)

относительно

;                                        (26)

где - постоянная разделения.

  Решение (25) элементарно

  Решение (26) получено лишь для некоторых частных случаев.

  Задача нахождения тех значений постоянной , для которых существуют нетривиальные решения уравнения (26) (называется собственными функциями), удовлетворяющие граничным условиям, называется задачей Штурма-Лиувилля.

  При постоянном коэффициенте  задача Штурма-Лиувилля решена для тел, образованных пересечением координатных поверхностей в различных системах координат. Например, для одномерной задачи решение уравнения (26) имеет вид

в прямоугольных координатах

;                                             (27)

в сферических координатах

;                                 (28)

в цилиндрических координатах

,                                           (29)

где С, D – произвольные постоянные; а числа определяются из граничных условий задачи; - функция Бесселя первого ряда нулевого порядка; - функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

  Определив выражения для функций и , решение уравнения (23) с соответствующими ГУ представится в виде

,

где - собственные функции, отвечающие собственным числам .

  Определим коэффициенты из начального условия [при  ]

,

где - рассматриваемая конечная область; N – норма собственной функции , равная

.

При этом используется ортогональность собственных функций , является свойством собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

  Окончательно решение краевой задачи имеет вид

.            (30)

При условии, что ряд (30) допускает почленное дифференцирование дважды по пространственным координатам и один раз по времени.

Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (31)

T(x,0)=f(x);                                                             (32)

;                                               (33)

.                                              (34)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (35)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (36)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (37)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (38)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (39)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)=, распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84229. НАРУШЕНИЕ МИНЕРАЛЬНОГО ОБМЕНА (МИНЕРАЛЬНЫЕ ДИСТРОФИИ) 24.82 KB
  Обмен кальция. Нарушение обмена кальция в тканях организма называют обызвествлением. Метастатическая кальцификация возникает при увеличении концентрации кальция или фосфора в крови гиперкальциемия.
84230. ОБРАЗОВАНИЕ КАМНЕЙ КАК ОДНА ИЗ ФОРМ НАРУШЕНИЯ ОБМЕНА ВЕЩЕСТВ 22.61 KB
  Наиболее часто камни образуются в желчных и мочевых путях являясь причиной развития желчнокаменной и мочекаменной болезней. Они встречаются также в других полостях и протоках: в выводных протоках поджелудочной железы и слюнных желез в бронхах и бронхоэктазах бронхиальные камни в криптах миндалин на зубах в кишечнике. Желчные камни могут быть холестериновыми пигментными известковыми или холестериновопигментноизвестковыми сложные или комбинированные камни.
84231. НЕКРОЗ 24.24 KB
  Факторы вызывающие некроз: физические; токсические; биологические; аллергические; сосудистый; трофоневротический. зависимости от механизма действия патогенного фактора различают: прямой некроз обусловленный непосредственным действием фактора травматические токсические и биологические некрозы; непрямой некроз возникающий опосредованно через сосудистую и нервноэндокринную системы аллергические сосудистые и трофоневротические некрозы. морфологические признаки некроза.
84232. АПОПТОЗ. АТРОФИЯ 25.24 KB
  АТРОФИЯ Определение морфологические проявления апоптоза Определение классификация значение атрофии Апоптоз или запрограммированная смерть клетки представляет собой процесс посредством которого внутренние или внешние факторы активируя генетическую программу приводят к гибели клетки и ее эффективному удалению из ткани. При увеличении апоптоза наблюдается прогрессивное уменьшение количества клеток в ткани атрофия. Атрофия прижизненное уменьшение объема ткани или органа за счет уменьшения размеров каждой клетки а в дальнейшем числа...
84233. НАРУШЕНИЯ КРОВООБРАЩЕНИЯ 23.15 KB
  Общее артериальное полнокровие или артериальная гиперемия это увеличение числа форменных элементов крови эритроцитов иногда сочетающееся с увеличением объема циркулирующей крови. Общее венозное полнокровие один из самых частых типов общих нарушений кровообращения и является клиникоморфологическим проявлением сердечной или легочносердечной недостаточности. Общее венозное полнокровие может быть по клиническому течению острым и хроническим.
84235. Шок, виды шока 25.28 KB
  В основе этого вида шока лежит: уменьшение объема крови в результате кровотечения; чрезмерная потеря жидкости дегидратация; периферическая вазодилятация. При септическом шоке наиболее выражен ДВСсиндром потому что бактериальные эндотоксины обладают прямым действием на свертывающую систему крови. В основе развития анафилактического шока лежит гиперчувствительность реагинового типа обусловленная фиксацией IgE на базофилах крови и тканевых базофилах. В ответ на уменьшение сердечного выброса активируется симпатическая нервная система...
84236. ДВС-синдром. Местные расстройства кровообращения 25.33 KB
  Следует указать что диссеминированный тромбоз приводит также к израсходованию факторов свертывания крови с развитием коагулопатии потребления. Местное артериальное полнокровие артериальная гиперемия увеличение притока артериальной крови к органу или ткани. Постанемическая гиперемия гиперемия после анемии развивается в тех случаях когда фактор вызывающий местное малокровие ишемию быстро удаляется.
84237. ТРОМБОЗ 24.19 KB
  Образующийся при этом сверток крови называют тромбом. Свертывание крови наблюдается в сосудах после смерти посмертное свертывание крови. А выпавшие при этом плотные массы крови называют посмертным свертком крови.