10598

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье)

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных Метод Фурье. Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений...

Русский

2013-03-29

119.66 KB

142 чел.

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений линейного однородного дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющих однородным граничным условиям, затем в силу принципа суперпозиций составляется ряд из этих решений.

где коэффициенты определяются из начальных условий.

  Метод применим для конечных областей.

  Рассмотрим метод Фурье применительно к следующей задаче

                                        (23)

( ).

В случае декартовых координат   ;

;

- конечная пространственная область.

  Предположим, что ГУ приведены к однородным. Тогда, частное решение уравнения (23) ищем в виде произведения двух функций

,                                     (24)

одна из которых зависит только от времени, а другая - только от пространственных координат; А- произвольная постоянная.

  Если (24) подставить в (23), то получим два дифференциальных уравнения относительно  

;                                       (25)

относительно

;                                        (26)

где - постоянная разделения.

  Решение (25) элементарно

  Решение (26) получено лишь для некоторых частных случаев.

  Задача нахождения тех значений постоянной , для которых существуют нетривиальные решения уравнения (26) (называется собственными функциями), удовлетворяющие граничным условиям, называется задачей Штурма-Лиувилля.

  При постоянном коэффициенте  задача Штурма-Лиувилля решена для тел, образованных пересечением координатных поверхностей в различных системах координат. Например, для одномерной задачи решение уравнения (26) имеет вид

в прямоугольных координатах

;                                             (27)

в сферических координатах

;                                 (28)

в цилиндрических координатах

,                                           (29)

где С, D – произвольные постоянные; а числа определяются из граничных условий задачи; - функция Бесселя первого ряда нулевого порядка; - функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

  Определив выражения для функций и , решение уравнения (23) с соответствующими ГУ представится в виде

,

где - собственные функции, отвечающие собственным числам .

  Определим коэффициенты из начального условия [при  ]

,

где - рассматриваемая конечная область; N – норма собственной функции , равная

.

При этом используется ортогональность собственных функций , является свойством собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

  Окончательно решение краевой задачи имеет вид

.            (30)

При условии, что ряд (30) допускает почленное дифференцирование дважды по пространственным координатам и один раз по времени.

Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (31)

T(x,0)=f(x);                                                             (32)

;                                               (33)

.                                              (34)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (35)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (36)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (37)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (38)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (39)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)=, распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76878. Серое и белое вещество головного мозга 182.07 KB
  Базальные ядра хвостатое чечевицеобразное миндалевидное по происхождению и развитию подразделяются: на новые ядра неостриатум в составе хвостатого ядра и скорлупы чечевицеобразного; на старые ядра палеостриатум в составе бледных шаров: медиального и латерального; на древние архистриатум миндалевидное ядро и гиппокамп. Базальные ядра относят к подкорковым структурам. Среди базальных ядер выделяют стриапаллидарную систему включающую головку хвостатого ядра скорлупу и бледные шары. Хвостатое ядро nucleus cudtus имеет:...
76879. Верхнелатеральная поверхность полушарий 184.05 KB
  В функциональном отношении борозды и извилины с сосредоточенными в них полями и нейронами составляют ядра чувствительных или двигательных анализаторов. Они начинаются на лобном полюсе располагаются параллельно друг другу и заканчиваются у предцентральной извилины. Между ними находятся хорошо выраженные извилины: Верхняя лобная извилина часть которой лежит и на медиальной поверхности полушария. В середине нижней лобной извилины поле 45 располагается ядро анализатора пения при поражении которого возникают вокальная амузия и аграмматизм...
76880. Борозды и извилины медиальной и базальной поверхностей полушарий большого мозга 183.45 KB
  Каждое полушарие снаружи имеет: три поверхности: верхнелатеральную выпуклую и самую большую медиальную плоскую нижнюю или базальную по общей конфигурации повторяющую рельеф черепных ям; поверхности отделяются друг от друга краями: верхним нижнелатеральным и нижнемедиальным; наиболее выступающие части полушария называются полюсами: лобным височным и затылочным; рельеф поверхности включает борозды и извилины размеры и направление которых отличаются большой индивидуальной изменчивостью; серое вещество борозд извилин составляет...
76881. Строение коры большого мозга 186.85 KB
  В корковом конце анализатора он различал ядро и рассеянные элементы. Кора постцентральной извилины поля 123 и верхней теменной дольки поля 57 содержат ядро анализатора общей и проприоцептивной чувствительности чувствительный гомункулус со следующими особенностями расположения: проекция в перевернутом виде: ноги вверху голова внизу; диспропорциональная проекция с неравномерным представительством по площади: для головы и ее органов кисти и большого пальца много места для остальных отделов мало что отражает важность трудовых...
76882. Комиссуральные и проекционные волокна полушарий головного мозга (мозолистое тело, свод, спайки, внутренняя капсула) 183.45 KB
  Комиссуральные волокна являясь длинными отростками корковых нейронов соединяют между собой правое и левое полушария большого мозга образуя мозолистое тело свод спайки: ростральную переднюю сводчатую. В мозолистом теле они формируют лучистость в которой находятся волокна соединяющие новые высшие корковые центры. Части мозолистого тела: клюв начало внизу прилежит к терминальной пластинке; колено переход к среднему отделу; ствол средний отдел; валик задний округленный отдел; В полушариях комиссуральные волокна образуют:...
76883. Боковые желудочки мозга 181.62 KB
  Стенки центральной части бокового желудочка: верхняя стенка поперечные волокна мозолистого тела; нижняя дно тело хвостатого ядра часть задней поверхности таламуса и терминальная полоска; медиальная стенка тело свода; с латеральной стороны мозолистое тело и хвостатое ядро соединяются под острым углом как бы исключающим латеральную стенку. Стенки переднего рога: медиальная прозрачная перегородка; латеральная и нижняя головка хвостатого ядра; передняя верхняя и часть нижней стенки волокна мозолистого тела. Стенки нижнего...
76884. Обонятельный мозг, его центральный и периферический отделы 182.63 KB
  По современным представлениям в процессе эволюции позвоночных обоняние на основе обонятельного мозга выступило в качестве организатора целостных функций связанных с формированием всех безусловно рефлекторных реакций инстинктов: ориентировочных оборонительных пищевых сексуальных и др. Благодаря обонятельному мозгу сформировалось новое морфофункциональное объединение лимбическая система или висцеральный мозг обеспечивающие человеку следующие свойства: эмоциональномотивационное поведение; сложное поведение связанное со сменой фаз...
76885. Промежуточный мозг – отделы, внутреннее строение, третий желудочек 187.06 KB
  Границы промежуточного мозга проходят: по основанию головного мозга то есть по вентральной поверхности: спереди по зрительному перекресту сзади по краю заднего продырявленного мозгового вещества и ножек мозга; по дорзальной поверхности обращенной к своду черепа по поперечной борозде между верхними холмиками и таламусом и по эпиталамической спайке; латерально по терминальной пластинке что соответствует разграничительной линии между таламусом и внутренней капсулой. Анатомические отделы промежуточного мозга: таламическая область –...
76886. Средний мозг 183.11 KB
  Средний мозг состоит из крыши покрышки и основания водопровода акведуктус церебри полости среднего мозга. Анатомической основой мозга являются четверохолмие и парные ножки мозга водопровод. Крыша среднего мозга представлена пластиной четверохолмия которая имеет: верхние холмики правый и левый куполообразные парные возвышения с подкорковыми центрами зрения; ручки верхних холмиков – продольные валики лежащие позади таламуса и направляющиеся к латеральным коленчатым телам; нижние холмики и ручки нижних холмиков – правые и левые...