10598

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье)

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных Метод Фурье. Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений...

Русский

2013-03-29

119.66 KB

149 чел.

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений линейного однородного дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющих однородным граничным условиям, затем в силу принципа суперпозиций составляется ряд из этих решений.

где коэффициенты определяются из начальных условий.

  Метод применим для конечных областей.

  Рассмотрим метод Фурье применительно к следующей задаче

                                        (23)

( ).

В случае декартовых координат   ;

;

- конечная пространственная область.

  Предположим, что ГУ приведены к однородным. Тогда, частное решение уравнения (23) ищем в виде произведения двух функций

,                                     (24)

одна из которых зависит только от времени, а другая - только от пространственных координат; А- произвольная постоянная.

  Если (24) подставить в (23), то получим два дифференциальных уравнения относительно  

;                                       (25)

относительно

;                                        (26)

где - постоянная разделения.

  Решение (25) элементарно

  Решение (26) получено лишь для некоторых частных случаев.

  Задача нахождения тех значений постоянной , для которых существуют нетривиальные решения уравнения (26) (называется собственными функциями), удовлетворяющие граничным условиям, называется задачей Штурма-Лиувилля.

  При постоянном коэффициенте  задача Штурма-Лиувилля решена для тел, образованных пересечением координатных поверхностей в различных системах координат. Например, для одномерной задачи решение уравнения (26) имеет вид

в прямоугольных координатах

;                                             (27)

в сферических координатах

;                                 (28)

в цилиндрических координатах

,                                           (29)

где С, D – произвольные постоянные; а числа определяются из граничных условий задачи; - функция Бесселя первого ряда нулевого порядка; - функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

  Определив выражения для функций и , решение уравнения (23) с соответствующими ГУ представится в виде

,

где - собственные функции, отвечающие собственным числам .

  Определим коэффициенты из начального условия [при  ]

,

где - рассматриваемая конечная область; N – норма собственной функции , равная

.

При этом используется ортогональность собственных функций , является свойством собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

  Окончательно решение краевой задачи имеет вид

.            (30)

При условии, что ряд (30) допускает почленное дифференцирование дважды по пространственным координатам и один раз по времени.

Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (31)

T(x,0)=f(x);                                                             (32)

;                                               (33)

.                                              (34)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (35)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (36)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (37)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (38)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (39)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)=, распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4365. Основы языка разметки HTML 179.5 KB
  Основы языка разметки HTML HTML - язык разметки документов, текущая версия 4.01 HTML документы хранятся на сервере. Просмотр документов осуществляется при помощи клиентской программы – браузера. Браузеры (Internet Explorer, Opera, Netscape Comm...
4366. JavaScript. Необходимость применения динамических технологий 126.5 KB
  JavaScript. Необходимость применения динамических технологий Наиболее распространенные технологии (Macromedia Flash, Java Applet, JavaScript, VBScript) Сценарий JavaScript внедряется в тело HTML документа. Пример простого скрипта...
4367. Скриптовой язык программирования JavaScript 43.5 KB
  Скриптовой язык программирования JavaScript Способы функционального применения скриптов 1) гипертекстовая ссылка (схема URL) 2) обработчик события (handler) 3) вставка (элемент SCRIPT). Гипертекстовая ссылка. Применяется в следующих элементах: А...
4368. SSI (Server Side Include) - Включения на стороне сервера 39.5 KB
  SSI (Server Side Include) - Включения на стороне сервера - набор команд, позволяющий включить в страницу информацию, недоступную средствами HTML. Веб-сервер обрабатывает HTML-документ cSSI-директивами, выполняет их, результат возвращает клиент...
4369. Создание статических сайтов с помощью PHP 74.5 KB
  Создание статических сайтов с помощью PHP Статические сайты представляют собой совокупность HTML страниц, связанных между собой ссылками. Страницы заранее создаются разработчиками, помещаются на сервер и выдаются клиентам в ответ на запрос. В отличи...
4370. PHP циклы и функции пользователя 93 KB
  PHP Циклы В РНР реализованы два типа циклов: while и for. Цикл while бывает двух типов Проверяющий условие перед проходом цикла while (условие) блок операторов Проверяющий условие после прохода цикла do блок операторов while ус...
4371. Создание динамических сайтов средствами PHP и MySQL 80.5 KB
  PHP и MySQL. Основным достоинством динамических сайтов, по сравнению со статическими, является возможность отделения данных от кода, отвечающего за их визуальное представление. Благодаря такому подходу, можно создавать сайты, формирующие страницы в...
4372. Программирование на языках высокого уровня, лабораторный практикум 305.5 KB
  Программирование на языках высокого уровня, включающей алгоритмизацию задач и изучение подмножества языка Си в средах программирования Borland C++ и Microsoft Visual C++, а также в приобретении практических навыков работы с персональным компьютером.
4373. Управление памятью на уровне пользователя 129.5 KB
  Управление памятью на уровне пользователя На этапе постановки задачи программист должен решить, какую программу он должен создать, что и какими данными она должна оперировать. То есть возникает вопрос о количественной оценке используемых данных. Есл...