10598

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье)

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных Метод Фурье. Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений...

Русский

2013-03-29

119.66 KB

151 чел.

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений линейного однородного дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющих однородным граничным условиям, затем в силу принципа суперпозиций составляется ряд из этих решений.

где коэффициенты определяются из начальных условий.

  Метод применим для конечных областей.

  Рассмотрим метод Фурье применительно к следующей задаче

                                        (23)

( ).

В случае декартовых координат   ;

;

- конечная пространственная область.

  Предположим, что ГУ приведены к однородным. Тогда, частное решение уравнения (23) ищем в виде произведения двух функций

,                                     (24)

одна из которых зависит только от времени, а другая - только от пространственных координат; А- произвольная постоянная.

  Если (24) подставить в (23), то получим два дифференциальных уравнения относительно  

;                                       (25)

относительно

;                                        (26)

где - постоянная разделения.

  Решение (25) элементарно

  Решение (26) получено лишь для некоторых частных случаев.

  Задача нахождения тех значений постоянной , для которых существуют нетривиальные решения уравнения (26) (называется собственными функциями), удовлетворяющие граничным условиям, называется задачей Штурма-Лиувилля.

  При постоянном коэффициенте  задача Штурма-Лиувилля решена для тел, образованных пересечением координатных поверхностей в различных системах координат. Например, для одномерной задачи решение уравнения (26) имеет вид

в прямоугольных координатах

;                                             (27)

в сферических координатах

;                                 (28)

в цилиндрических координатах

,                                           (29)

где С, D – произвольные постоянные; а числа определяются из граничных условий задачи; - функция Бесселя первого ряда нулевого порядка; - функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

  Определив выражения для функций и , решение уравнения (23) с соответствующими ГУ представится в виде

,

где - собственные функции, отвечающие собственным числам .

  Определим коэффициенты из начального условия [при  ]

,

где - рассматриваемая конечная область; N – норма собственной функции , равная

.

При этом используется ортогональность собственных функций , является свойством собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

  Окончательно решение краевой задачи имеет вид

.            (30)

При условии, что ряд (30) допускает почленное дифференцирование дважды по пространственным координатам и один раз по времени.

Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (31)

T(x,0)=f(x);                                                             (32)

;                                               (33)

.                                              (34)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (35)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (36)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (37)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (38)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (39)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)=, распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46288. Общая характеристика кризисов развития. Значение кризисов в психическом развитии ребенка 11.94 KB
  Общая характеристика кризисов развития. Значение кризисов в психическом развитии ребенка. Кризис переломный этап онтогенетического развития. Кризис случается на стыке двух возрастов.
46289. Сравнение объектного и вариантного обобщений 11.93 KB
  Кроме этого изменения связанные с добавлением сведений о новой специализаций могут затронуть различные единицы компиляции без изменения располагаемых в них программных объектов что тоже ведет к дополнительным затратам. При этом все добавления связанные с новой фигурой могут осуществляться во вновь создаваемых единицах компиляции. Процесс добавления новой фигуры полностью аналогичен разработке уже созданных и не требует специальных комментариев. В рассматриваемом случае необходимо только изменить процедуру обеспечивающую ввод новой...
46290. Проблема расширения функциональности в объектно-ориентированном подходе 11.85 KB
  Проблема расширения функциональности в объектноориентированном подходе. Использование объектноориентированного подхода Объектноориентированный подход не позволяет в данном случае получить элегантное решение.
46291. Вектор в c++ 11.81 KB
  Кроме массивов в c++ существуют еще контейнеры, которые позволяют вам немного по другому хранить данные и, вдобавок, применять к ним различные функции (поиск, сортировка и т.д.) . Сегодня вы узнаете об одном из контейнеров - векторе (vector)
46293. Общеисторическая природа сознания. Роль труда в возникновении и развитии сознания. Единство языка и мышления 11.29 KB
  Роль труда в возникновении и развитии сознания. Энгельс считал что решающую роль в возникновении сознания сыграл труд. Роль труда складывается из нескольких факторов. Труд сыграл роль в становлении мозга.
46294. Понятия «клиент», с точки зрения практики социальной работы 10.02 KB
  Системный подход к этому понятию означает что личностная и социальная проблема трудности связанные с межличностным общение или сложная жизненная ситуация к разрешению которой стремится клиент должны быть увидены участниками процесса социальной работы объемно как результат стечения многих обстоятельств на которые оказали влияние как личностные так и социальные факторы. Уникальность социальной работы для оказания помощи людям заключается именно в том чтобы способствовать достижению изменений во взаимодействиях между людьми и...
46295. Дети как объект социальной работы 8.86 KB
  Специфика социального обслуживания детейсирот детей оставшихся без попечения родителей детейинвалидов детей с девиантным поведением. Дети оставшиеся без попечения родителей лица в возрасте до 18 лет которые остались без попечения единственного родителя или обоих родителей в связи с: лишением их родительских прав; ограничением их в родительских правах; признанием родителей безвестно отсутствующими недееспособными ограниченно дееспособными находящимися в лечебных учреждениях; объявлением их умершими; отбыванием ими наказания в...