10598

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье)

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных Метод Фурье. Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений...

Русский

2013-03-29

119.66 KB

145 чел.

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений линейного однородного дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющих однородным граничным условиям, затем в силу принципа суперпозиций составляется ряд из этих решений.

где коэффициенты определяются из начальных условий.

  Метод применим для конечных областей.

  Рассмотрим метод Фурье применительно к следующей задаче

                                        (23)

( ).

В случае декартовых координат   ;

;

- конечная пространственная область.

  Предположим, что ГУ приведены к однородным. Тогда, частное решение уравнения (23) ищем в виде произведения двух функций

,                                     (24)

одна из которых зависит только от времени, а другая - только от пространственных координат; А- произвольная постоянная.

  Если (24) подставить в (23), то получим два дифференциальных уравнения относительно  

;                                       (25)

относительно

;                                        (26)

где - постоянная разделения.

  Решение (25) элементарно

  Решение (26) получено лишь для некоторых частных случаев.

  Задача нахождения тех значений постоянной , для которых существуют нетривиальные решения уравнения (26) (называется собственными функциями), удовлетворяющие граничным условиям, называется задачей Штурма-Лиувилля.

  При постоянном коэффициенте  задача Штурма-Лиувилля решена для тел, образованных пересечением координатных поверхностей в различных системах координат. Например, для одномерной задачи решение уравнения (26) имеет вид

в прямоугольных координатах

;                                             (27)

в сферических координатах

;                                 (28)

в цилиндрических координатах

,                                           (29)

где С, D – произвольные постоянные; а числа определяются из граничных условий задачи; - функция Бесселя первого ряда нулевого порядка; - функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

  Определив выражения для функций и , решение уравнения (23) с соответствующими ГУ представится в виде

,

где - собственные функции, отвечающие собственным числам .

  Определим коэффициенты из начального условия [при  ]

,

где - рассматриваемая конечная область; N – норма собственной функции , равная

.

При этом используется ортогональность собственных функций , является свойством собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

  Окончательно решение краевой задачи имеет вид

.            (30)

При условии, что ряд (30) допускает почленное дифференцирование дважды по пространственным координатам и один раз по времени.

Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (31)

T(x,0)=f(x);                                                             (32)

;                                               (33)

.                                              (34)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (35)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (36)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (37)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (38)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (39)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)=, распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59571. Компаративний аналіз художнього твору на уроках зарубіжної літератури у 9 класі 44 KB
  З огляду на значне зростання обсягу навчального матеріалу доречнішим стає компаративний аналіз художніх творів. Якими ж шляхами йде шкільна компаративістика Поперше це порівняння творів зарубіжних письменників які належать до однієї або різних літературних епох.
59572. Корупція в давньоримській республіці 35.5 KB
  Порівняйте поведінку Цицерона й Віра коли вони займали важливі посади в Римській республіці. Одна група займається пошуком у документах фактів коли Цицерон обвинувачує Віра. Інша група намагається виявити причини такої поведінки Віра.
59573. Система доходів бюджету 496 KB
  В умовах ринкових трансформацій проблеми формування достатнього обсягу доходів бюджету і забезпечення ефективного їх використання набувають особливої гостроти. Недоліки законодавчої бази, домінування традиційних
59574. Міграційні процеси в Україні 46 KB
  Основні поняття: міграція еміграція імміграція сальдо міграції сезонна міграція маятникова міграція економічносоціальна міграція політична релігійна екологічна міграція біженці. Що таке міграція Які причини міграції.
59577. Г. С. Сковороди в навчально-виховному процесі в дитячих дошкільних закладах та середній школі 71.5 KB
  У більшості байок наприклад є життєдайна ідея вони спрямовані на формування вірного життєрозуміння тут протиставлені різні якості властивості людини що призводять до певних життєвих обставин упливають на долю дини вцілому.