10598

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье)

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных Метод Фурье. Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений...

Русский

2013-03-29

119.66 KB

138 чел.

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений линейного однородного дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющих однородным граничным условиям, затем в силу принципа суперпозиций составляется ряд из этих решений.

где коэффициенты определяются из начальных условий.

  Метод применим для конечных областей.

  Рассмотрим метод Фурье применительно к следующей задаче

                                        (23)

( ).

В случае декартовых координат   ;

;

- конечная пространственная область.

  Предположим, что ГУ приведены к однородным. Тогда, частное решение уравнения (23) ищем в виде произведения двух функций

,                                     (24)

одна из которых зависит только от времени, а другая - только от пространственных координат; А- произвольная постоянная.

  Если (24) подставить в (23), то получим два дифференциальных уравнения относительно  

;                                       (25)

относительно

;                                        (26)

где - постоянная разделения.

  Решение (25) элементарно

  Решение (26) получено лишь для некоторых частных случаев.

  Задача нахождения тех значений постоянной , для которых существуют нетривиальные решения уравнения (26) (называется собственными функциями), удовлетворяющие граничным условиям, называется задачей Штурма-Лиувилля.

  При постоянном коэффициенте  задача Штурма-Лиувилля решена для тел, образованных пересечением координатных поверхностей в различных системах координат. Например, для одномерной задачи решение уравнения (26) имеет вид

в прямоугольных координатах

;                                             (27)

в сферических координатах

;                                 (28)

в цилиндрических координатах

,                                           (29)

где С, D – произвольные постоянные; а числа определяются из граничных условий задачи; - функция Бесселя первого ряда нулевого порядка; - функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

  Определив выражения для функций и , решение уравнения (23) с соответствующими ГУ представится в виде

,

где - собственные функции, отвечающие собственным числам .

  Определим коэффициенты из начального условия [при  ]

,

где - рассматриваемая конечная область; N – норма собственной функции , равная

.

При этом используется ортогональность собственных функций , является свойством собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

  Окончательно решение краевой задачи имеет вид

.            (30)

При условии, что ряд (30) допускает почленное дифференцирование дважды по пространственным координатам и один раз по времени.

Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (31)

T(x,0)=f(x);                                                             (32)

;                                               (33)

.                                              (34)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (35)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (36)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (37)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (38)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (39)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)=, распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35816. МЕТОД ПРОЕКТІВ У ТЕХНОЛОГІЇ ТРУДОВОГО НАВЧАННЯ 63 KB
  Перевага проектнотехнологічного методу трудового навчання полягає в тому що учні під час цієї діяльності більш активно залучаються до самостійної практичної планової та систематичної роботи в них виховується прагнення до пошуку шляхів створення нового або більш якісного вдосконалення існуючого виробу матеріального об’єкта формується уявлення про його майбутнє застосування розвиваються моральні та трудові якості учня мотиви вибору професії. На цьому етапі учні пропонують різні варіанти конструкції виробу усвідомлюють варіанти...
35817. Аналоговые вольтметры 2.35 MB
  Если сопротивление ключа=0 когда он замкнут и = бесконечности когда разомкнут то на выходе модулятора будет последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой входного сигнала при условии что переключение мгновенное. Развертывающий АЦП Сначала ожидание прихода импульса Старт затем обнуляется счетчик импульсов Сч и взводится триггер Т. Максимальное время преобразования tnp mx =T0 2n – 1 где Т0 – период импульсов генератора; n – разрядность АЦП. Следящий АЦП Схема сравнения СС управляет пропуском тактовых импульсов с...
35818. Экономическая теория (микроэкономика, макроэкономика) 1.42 MB
  Функция индивидуального спроса и предложения. Функция спроса и предложения определяет общее направление их изменения в зависимости от цены на товар но индивидуальные различия в характере и форме этого изменения могут быть весьма существенными. Чем более полого выглядит кривая спроса тем сильнее зависимость объема спроса от изменения цены. В случае если кривая спроса занимает горизонтальное положение d4 эта зависимость становится бесконечно большой.
35819. Макроэкономические показатели, их статистические и функциональные взаимосвязи 4.84 MB
  Так как ВВП измеряет объем национального годового производства он служит источником роста национального богатства страны которое представляет собой совокупную стоимость имущества активов принадлежащего частным физическим юридическим лицам а также государству. капитала D косвенные налоги Ткосв Метод добавленной стоимости ДС = В – С В – выручка С сырье и материалы Поскольку ВВП представляет собой денежную оценку произведенного годового объема производства получатся разные данные в...
35820. Строительные конструкции 4.1 MB
  ; незавершенное производство заготовки полуфабрикаты детали изделия не прошедшие все стадии производства; расходы будущих периодов стоимость расходов производимых в данный период но подлежащих оплате в будущем. Вопрос №1: Вопрос №2: Вариант с длинномерными настилами позволяет при заданной высоте помещения уменьшить общую высоту и объем здания площадь ограждающих конструкций уменьшить расходы на отопление и вентиляцию здания. Расходы на организацию и управление включают накладные расходы. Строительным организациям в качестве типовой...
35823. Будівельні робітники, їх професії, спеціальність, кваліфікація 2.5 MB
  З метою раціонального використання праці будівельників потрібно щоб кожен із них виконував лише ті роботи які властиві його фаху спеціальності та кваліфікації.Калькуляція трудових витрат її призначення методи розрахунку де Нв п норма витрат праці; V обсяг виконаних робіт. Норми витрат праці встановлюють у вигляді норм часу і виробітку. Норма часу Нч це час який встановлено на виготовлення одиниці продукції робітником відповідного фаху і кваліфікації за умов правильної організації праці й виробництва.