10598

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье)

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных Метод Фурье. Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений...

Русский

2013-03-29

119.66 KB

148 чел.

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений линейного однородного дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющих однородным граничным условиям, затем в силу принципа суперпозиций составляется ряд из этих решений.

где коэффициенты определяются из начальных условий.

  Метод применим для конечных областей.

  Рассмотрим метод Фурье применительно к следующей задаче

                                        (23)

( ).

В случае декартовых координат   ;

;

- конечная пространственная область.

  Предположим, что ГУ приведены к однородным. Тогда, частное решение уравнения (23) ищем в виде произведения двух функций

,                                     (24)

одна из которых зависит только от времени, а другая - только от пространственных координат; А- произвольная постоянная.

  Если (24) подставить в (23), то получим два дифференциальных уравнения относительно  

;                                       (25)

относительно

;                                        (26)

где - постоянная разделения.

  Решение (25) элементарно

  Решение (26) получено лишь для некоторых частных случаев.

  Задача нахождения тех значений постоянной , для которых существуют нетривиальные решения уравнения (26) (называется собственными функциями), удовлетворяющие граничным условиям, называется задачей Штурма-Лиувилля.

  При постоянном коэффициенте  задача Штурма-Лиувилля решена для тел, образованных пересечением координатных поверхностей в различных системах координат. Например, для одномерной задачи решение уравнения (26) имеет вид

в прямоугольных координатах

;                                             (27)

в сферических координатах

;                                 (28)

в цилиндрических координатах

,                                           (29)

где С, D – произвольные постоянные; а числа определяются из граничных условий задачи; - функция Бесселя первого ряда нулевого порядка; - функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

  Определив выражения для функций и , решение уравнения (23) с соответствующими ГУ представится в виде

,

где - собственные функции, отвечающие собственным числам .

  Определим коэффициенты из начального условия [при  ]

,

где - рассматриваемая конечная область; N – норма собственной функции , равная

.

При этом используется ортогональность собственных функций , является свойством собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

  Окончательно решение краевой задачи имеет вид

.            (30)

При условии, что ряд (30) допускает почленное дифференцирование дважды по пространственным координатам и один раз по времени.

Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (31)

T(x,0)=f(x);                                                             (32)

;                                               (33)

.                                              (34)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (35)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (36)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (37)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (38)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (39)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)=, распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6716. Ставки таможенных пошлин. Эффективная ставка тарифной защиты 26.43 KB
  Ставки таможенных пошлин. Эффективная ставка тарифной защиты. Одним из элементов таможенного тарифа является ставка таможенной пошлины - величина там. пошлины, выраженная в определённых единицах (в % или стоимостных единицах). В зависимости о...
6717. Единый таможенный тариф Таможенного союза 26.99 KB
  Единый таможенный тариф Таможенного союза. С 1 января 2010 на единой таможенной территории государств участников ТС применяется ЕТТ, утвержденный решением Межгос Советом Евразэс от 27 ноября 2009 года №18. ЕТТ - это свод ставок таможенных пошлин...
6718. Размер ставки ввозных таможенных пошлин в зависимости от предоставляемого государствами Таможенного союза торгового режима во взаимной торговле товарами с третьими странами 25.52 KB
  Размер ставки ввозных таможенных пошлин в зависимости от предоставляемого государствами Таможенного союза торгового режима во взаимной торговле товарами с третьими странами. ЕТТ ТС содержательно является многоколоночным, т.е. предполагающим взимание...
6719. Применение ставок таможенных пошлин, отличных от ставок Единого таможенного тарифа. Сезонные пошлины 26.41 KB
  Применение ставок таможенных пошлин, отличных от ставок Единого таможенного тарифа. Сезонные пошлины. В соответствии с протоколом от 12.12.2008 Об условиях и порядке применения в исключительных случаях ставок таможенных пошлин отличных от ставок ЕТТ...
6720. Меры торговой защиты: общие принципы применения и порядок установления 27.21 KB
  Меры торговой защиты: общие принципы применения и порядок установления. Меры торговой защиты (защитные меры) являются примером избирательного применения протекционистских мер, которые целенаправленно и временно используются в тех случаях, когда инос...
6721. Антидемпинговые меры торговой защиты 25.65 KB
  Антидемпинговые меры торговой защиты. Защитные меры представляют собой меры по ограничению импорта, осуществляющиеся путем введения количественных ограничений или применение специальных защитных, антидемпинговых и компенсационных, которые взимаются ...
6722. Компенсационные меры торговой защиты 27.26 KB
  Компенсационные меры торговой защиты. Защитные меры представляют собой меры по ограничению импорта, осуществляющиеся путем введения количественных ограничений или применение специальных защитных, антидемпинговых и компенсационных, которые взимаются ...
6723. Специальные защитные меры мировой торговли 25.59 KB
  Специальные защитные меры мировой торговли. Специальные защитные меры, т.е. меры по ограничению импорта товара, применяемые посредством введения специальной импортной квоты или специальной пошлины, в томчисле временной специальной пошлины. Спе...
6724. Цель определения страны происхождения товара. Товары, полностью происходящие с территории государства 25.74 KB
  Цель определения страны происхождения товара. Товары, полностью происходящие с территории государства. СПТ считается страна, в кот товары были полностью произведены или подвергнуты достаточной переработке в соответствии с установленными критериями, ...