10598

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье)

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных Метод Фурье. Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений...

Русский

2013-03-29

119.66 KB

150 чел.

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений линейного однородного дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющих однородным граничным условиям, затем в силу принципа суперпозиций составляется ряд из этих решений.

где коэффициенты определяются из начальных условий.

  Метод применим для конечных областей.

  Рассмотрим метод Фурье применительно к следующей задаче

                                        (23)

( ).

В случае декартовых координат   ;

;

- конечная пространственная область.

  Предположим, что ГУ приведены к однородным. Тогда, частное решение уравнения (23) ищем в виде произведения двух функций

,                                     (24)

одна из которых зависит только от времени, а другая - только от пространственных координат; А- произвольная постоянная.

  Если (24) подставить в (23), то получим два дифференциальных уравнения относительно  

;                                       (25)

относительно

;                                        (26)

где - постоянная разделения.

  Решение (25) элементарно

  Решение (26) получено лишь для некоторых частных случаев.

  Задача нахождения тех значений постоянной , для которых существуют нетривиальные решения уравнения (26) (называется собственными функциями), удовлетворяющие граничным условиям, называется задачей Штурма-Лиувилля.

  При постоянном коэффициенте  задача Штурма-Лиувилля решена для тел, образованных пересечением координатных поверхностей в различных системах координат. Например, для одномерной задачи решение уравнения (26) имеет вид

в прямоугольных координатах

;                                             (27)

в сферических координатах

;                                 (28)

в цилиндрических координатах

,                                           (29)

где С, D – произвольные постоянные; а числа определяются из граничных условий задачи; - функция Бесселя первого ряда нулевого порядка; - функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

  Определив выражения для функций и , решение уравнения (23) с соответствующими ГУ представится в виде

,

где - собственные функции, отвечающие собственным числам .

  Определим коэффициенты из начального условия [при  ]

,

где - рассматриваемая конечная область; N – норма собственной функции , равная

.

При этом используется ортогональность собственных функций , является свойством собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

  Окончательно решение краевой задачи имеет вид

.            (30)

При условии, что ряд (30) допускает почленное дифференцирование дважды по пространственным координатам и один раз по времени.

Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (31)

T(x,0)=f(x);                                                             (32)

;                                               (33)

.                                              (34)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (35)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (36)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (37)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (38)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (39)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)=, распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68379. Английская эмпирическая школа философии 81 KB
  Возникают две прямопротиволожные теории познания: теория познания эмпиризма ориентированная на экспериментальные исследования природы и теория познания рационализма ориентированный на механо-математическое познание мира понимание. Но он также был озабочен методом научного познания...
68380. Классическая немецкая философия. Философия диалектического материализма 73 KB
  Под влиянием скептическим взгялдом Юма Кант меняет представление о возможностях рационального познания метафизического познания философского познания умозрительное спекулятивное основанное на разуме познание мире. Как возможно научно познание как оно совершается Можно ли объяснить сенсуализм и рационализм...
68381. Особенности русской философии и Западноевропейская философия XX века (ее основные направления) 77.5 KB
  В чем заключается особенность русской философии. Если ее сравнивать с ЗЕ философией, она имеет ряд особенностей: во-первых, русская философия никогда не основывалась на рацио, она не представляет собой системы рационального познания, что мы встречаем, например, в деятельности Декарта, Канта или Гегеля.
68383. Основные этапы развития акушерства 813.17 KB
  Нарушается гормональное взаимоотношение в организме женщины психоэмоциональные переживания местные изменения в органе в шейке матки. Материнская смертность: Смерть от акушерский осложнений разрыв матки травматический шок кровотечение Смерть от экстрагенитальных заболеваний острая сердечная недостаточность...
68384. Специфика, проблемы и генезис философии 552.24 KB
  Философию нельзя определить общепринятым образом как другие науки, потому что она осмысливает то, что не является предметом опыта. У философии нет определенного предмета, заранее известного метода; они всякий раз формируются в рамках конкретного философского направления.
68385. Управление персоналом 284 KB
  Выполняя функцию администратора менеджер использует свои полномочия для обеспечения движения системы в соответствии с заданными нормативными актами и с учетом экономической ситуации, не допуская при этом многоначалия, диффузии распорядительства и неисполнительности.
68386. История экологии 29 KB
  Геккель назвал термином экология новый раздел биологии изучающий совокупность всех взаимосвязей между живыми и неживыми компонентами природной среды который по мере накопления новых знаний превратился в самостоятельную науку. Среди различных материальных домов где живёт человек экология имеет дело...
68387. Предмет экологии, ее структура, задачи экологии 90 KB
  Из всех живых организмов человек наиболее старается изменить природу, используя и приспосабливая её для своих нужд. Сегодня, благодаря развитию науки и техники, человек способен вторгаться во все микро- и макромиры, во все процессы, протекающие в биосфере.