10598

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье)

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных Метод Фурье. Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений...

Русский

2013-03-29

119.66 KB

149 чел.

Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Метод разделения переменных относится к классическим методам решения линейного дифференциального уравнения теплопроводности. При его применении вначале находится совокупность частных решений линейного однородного дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющих однородным граничным условиям, затем в силу принципа суперпозиций составляется ряд из этих решений.

где коэффициенты определяются из начальных условий.

  Метод применим для конечных областей.

  Рассмотрим метод Фурье применительно к следующей задаче

                                        (23)

( ).

В случае декартовых координат   ;

;

- конечная пространственная область.

  Предположим, что ГУ приведены к однородным. Тогда, частное решение уравнения (23) ищем в виде произведения двух функций

,                                     (24)

одна из которых зависит только от времени, а другая - только от пространственных координат; А- произвольная постоянная.

  Если (24) подставить в (23), то получим два дифференциальных уравнения относительно  

;                                       (25)

относительно

;                                        (26)

где - постоянная разделения.

  Решение (25) элементарно

  Решение (26) получено лишь для некоторых частных случаев.

  Задача нахождения тех значений постоянной , для которых существуют нетривиальные решения уравнения (26) (называется собственными функциями), удовлетворяющие граничным условиям, называется задачей Штурма-Лиувилля.

  При постоянном коэффициенте  задача Штурма-Лиувилля решена для тел, образованных пересечением координатных поверхностей в различных системах координат. Например, для одномерной задачи решение уравнения (26) имеет вид

в прямоугольных координатах

;                                             (27)

в сферических координатах

;                                 (28)

в цилиндрических координатах

,                                           (29)

где С, D – произвольные постоянные; а числа определяются из граничных условий задачи; - функция Бесселя первого ряда нулевого порядка; - функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

  Определив выражения для функций и , решение уравнения (23) с соответствующими ГУ представится в виде

,

где - собственные функции, отвечающие собственным числам .

  Определим коэффициенты из начального условия [при  ]

,

где - рассматриваемая конечная область; N – норма собственной функции , равная

.

При этом используется ортогональность собственных функций , является свойством собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

  Окончательно решение краевой задачи имеет вид

.            (30)

При условии, что ряд (30) допускает почленное дифференцирование дважды по пространственным координатам и один раз по времени.

Нагрев неограниченной пластины.

  Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2R. В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой . Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени.

  Дифференциальное уравнение теплопроводности и его краевые условия имеют вид

, ,  -R<x<R,                                                  (31)

T(x,0)=f(x);                                                             (32)

;                                               (33)

.                                              (34)

  Решение проведем методом разделения переменных. Предположим, что функция четная, то есть , поэтому . Тогда вместо граничного условия (34) можно записать

.                                                          (35)

  Введем новую функцию , позволяющую свести задачу на нагревание к задаче на охлаждение. Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение относительно функции не изменится, а граничное условие (33) приведется к однородному виду. Частное решение задачи будем искать в виде

.

После подстановки в уравнение (31) получим

.

Интегрирование уравнения дает .

Дифференциальное уравнение для определения имеет вид

.

Известно общее решение этого уравнения

.

Тогда частное решение уравнения (31) примет следующий вид

.

Из условия симметрии процесса теплопроводности (35) следует

.

Это означает, что , тогда

.

Значение постоянной разделения определим, удовлетворяя ГУ (32). Имеем

;

,                                     (36)

где - относительный коэффициент теплоотдачи.

  Преобразовав уравнение (36), получим

,                                                   (37)

где .

Обозначив через , характеристическое уравнение (37) можно написать в виде

.

Корни этого уравнения приведены в Т 2.1 [1].

Следовательно, общее решение краевой задачи (31)-(35) имеет вид

.

  Для определения постоянных воспользуемся начальным условием (32) и ортогональностью функций в промежутке [-R; R]

.

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем в промежутке     [-R; R], тогда получим соотношение для коэффициентов

.                  (38)

Общее решение задачи с учетом соотношения (38)

.                      (39)

Для случая, когда является нечетной функцией, частное и общее решения задачи соответственно имеют следующий вид

;

,

где - корни трансцендентного уравнения .

  Первые шесть корней этого уравнения приведены в Т 2.2[1] для различных значений Bi.

  При равномерном начальном распределении температуры, то есть f(x)=, распределение температуры (39) в безразмерной форме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60160. День книги 208 KB
  Посещение библиотеки в день книги Учащиеся заранее готовились к этому дню: учили стихотворения готовили рассказы о своей любимой книге и произведении помогали в подготовке книжной выставки а также выставки книжек-самоделок подготовили загадки о природе природных явлениях.
60161. Прощавай, початкова школо 1012.33 KB
  На вулиці зеленіє розкішним, буйним цвітом весна. Сонце голубить нас своїм золотим промінням. Новий день обіцяє незнайоме життя. Час змінює все, що оточує нас, це довгий шлях нелегкий та мінливий.
60162. Твоє життя – твій вибір 108.5 KB
  МЕТА: поглиблення знань учнів про шкідливість тютюнопаління, алкоголю, наркотиків; формування у них об’єктивних поглядів на це соціальне зло; виховання здорового способу життя.
60163. Література бароко, класицизму, просвітництва 39.5 KB
  Мета: узагальнити вивчений матеріал, повторити найважливіші літературні твори зазначених напрямів, розвивати логічне мислення, навички роботи у групі, вміння чітко аргументувати свій вибір, сприяти підвищенню інтересу до вивчення літератури.
60164. Сценарий к 8 марта «Самой любимой и родной мамочке» 3.82 MB
  Милых мам и бабушек в этот светлый день Поздравлять и радовать никому не лень. Все вокруг стараются им цветы дарить, Поздравленья разные чаще говорить. (2 раза) Все преображается в этот день кругом, Женскими улыбками полон каждый дом.
60166. Дніпропетровщина – мій рідний край 142.5 KB
  Центр області місто Дніпропетровськ. Географія Протяжність області з півночі на південь 130 кілометрів із заходу на схід 300 кілометрів. Водойми В області протікає 217 річок з них 55 довжиною понад 25 км.
60167. Моя творчість тобі, рідний краю! Позакласний захід 170.5 KB
  Хто вони творчі люди Які вони талановиті діти Чи маємо ми змогу всі бути талановитими Як можемо розвивати свої здібності щоб розкрити природні таланти Саме на ці питання і спробуємо знайти відповідь на цьому уроці.
60168. Година спілкування, Україна – моя Батьківщина 142.84 KB
  Мета: розширювати та поглиблювати знання учнів про рідну Батьківщину, учити їх висловлювати своє ставлення до держави; формувати громадянські уявлення та патріотичні почуття приналежності до української нації...