10599

Методы интегрального преобразования

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы интегрального преобразования. Операционные методы. Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным например применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла. Основные пра

Русский

2013-03-29

76.24 KB

52 чел.

Методы интегрального преобразования.

Операционные методы.

Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла.

Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены М.Вищенко-Захарченко и Хевисвйдом. Наибольшее распространение они получили в электротехнике благодаря работам Хевисайда.

Операционный метод Хевисвйда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа.

Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а её видоизменение (изображение).

Интегральное преобразование функции определяется формулой

                                                                     (40)

Здесь S может быть комплексным числом; но при этом  вещ-я часть больше 0.

- оригинал; - изображение функции . Чтобы изображение существовало  необходимо, интеграл (51) должен сходиться.

Если задача решена в изображениях, то оригинал определяется по изображению (обр-е преобр-е) с помощью формулы обращения

                                                             (41)

Вместо формулы (52) для определения оригинала функции по её изображению можно воспользоваться следующей формулой обращения

                                                                   (41.а)

Эта формула даёт возможность получить оригинал функции лишь при помощи  операция дифференцирования и перехода к пределу.

  1. Если изображение представляет собой функцию

                                                                 (42)

которая является частичным случаем  двух целых трансцендентных функций, то по теореме разложения имеем

                                                                   (43)

где  - простые корни функции ; при этом знаменатель не содержит свободных членов и     

2. Если изображение     представляет собой отношение двух номиналов (дробно-рациональная функция), причём степень номинала меньше степени номинала  , и номинал   имеет корни кратности K  в точках, то

где сумма берётся по всем корням . Если все корни простые, т.е. все К равны единице, то формула (5 ) переходит в (43)

Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, трудности возникают при решении задач, где условия заданы в виде функции пространственных координат, или решении многомерных задач.

В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела.

Если преобразование берётся по пространственной координате х, то интегральное преобразование функции может быть представлено так:

                                                                                   (44)

Если ядро преобразования K(p,x) берётся в виде или , то это интегральное преобразование называется соответственно синус- или косинус- преобразованием Фурье.

Если же  ядром преобразования выбрана функция Бесселя , то оно называется преобразованием Ханкеля.

Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяжённости, синус- преобразование Фурье следует использовать , когда на поверхности тела задано значение формулами, т.е. при ГУ!, а косинус – преобразование Фурье, когда решается диф. уравнения переноса при ГУ2. Преобразования Ханкеля применимы в том случае, когда тело имеет осевую симметрично. Практическое применение названных интегральных преобразований при наличии подробных таблиц изображения не вызывают особых затруднений.

Переход от изображений к оригиналам можно осуществить по формулам обращения для:

Комплексное преобразование Фурье

                                                                         (45)

Синус-преобразование Фурье

                                                                                  (46)

Косинус-преобразование Фурье

                                                                                  (47)

Преобразование Ханкеля

                                                                                    (48)

Рассмотренные интегральные преобразования применимы для тел полуограниченной протяженности.

Конечные интегральные преобразования

Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля, и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели к созданию методов конечных интегральных преобразований. Они более предпочтительны даже для задач, решаемых классическими методами.

Идея метода конечных интегральных преобразований предложена  Н.С. Коммековым

                                                                        (49)

Дальнейшая проработка вопросов метода конечных интегральных преобразований нашла отражение в трудах  Гриабарга Г.А., Следдона, Трантера, Дёга (Дейг) и др.

Если граница интегрирования заключается между 0 и е, ядро конечных синус - и косинус - преобразований Фурье, а также преобразования Ханкеля соответственно имеют вид:

                                                                                          (50)

                                                                                         (51)

При ГУ1 и ГУ2 , а при ГУ3 является корнями уравнения      

                                                                                       (52)

где - корень уравнения (ГУ1), а при ГУ3 определяется из уравнения

                                                                                     (53)

Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Поэтому решения, полученные этими методами имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, полученные классическими методами. Так, формулы обращения имеют вид:

Для синус-преобразования Фурье

                                                                         (54)

Для косинус-преобразования Фурье

                                                 (55)

При ГУ2 и при ГУ3, суммирование ведётся по всем положенным корням уравнения

                                      (56)

Для преобразования Ханкеля при корнях из уравнения  

                                                                   (57)

Или, если корни определяются по (53)

                                              (58)

Преобразование Ханкеля (52) применяется для решения задач теплопроводности для цилиндра. Для малого цилиндра в преобразованиях Ханкеля ядро преобразования K(p,x) берётся в ином виде

Методы интегрального преобразования дают возможность получить ряд закономерностей протекания физических процессов на основе анализа решения для усреднённых значений исследуемой физической величины (анализ решения для изображения). Это обстоятельство сближает данные аналитические методы с методами теории подобия.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52933. Поурочні плани для курсу за вибором «Євроклуб» 762 KB
  Виховання учнів здійснюється через систему особистісних стосунків із новою культурою і процесом оволодіння нею. Виховна мета це виховання в учнів: позитивного ставлення до іноземної мови як засобу спілкування; розуміння сучасних інтеграційних процесів та тенденцій; поваги до народу носія цієї мови толерантного ставлення до його культури звичаїв і способу життя; культури спілкування прийнятої в сучасному цивілізованому світі; емоційноціннісного ставлення до всього що нас оточує; розуміння важливості оволодіння іноземною мовою...
52935. Европа в XVI веке - смена эпох 54 KB
  ЭТАП По историческим местам: о ком идет речь; какое открытие было сделано; в каком году. 2 Этап Рост промышленности. ЭТАП Отличия капиталистической мануфактуры от ремесленной мастерской Вопросы для сравнения Ремесленная мастерская Капиталистическая...
52936. Використання евристик на уроках математики 346.5 KB
  Завдання: Знайдіть графіки функцій змальованих на картині і запишіть ним відповідні формули. Завдання: Які чотирикутники змальовані на картині Перерахуєте їх дайте визначення кожному розкажіть якими властивостями і ознаками вони володіють. Що ви знаєте про вписані багатокутники Біля будьякого чотирикутника можна описати коло Біля яких чотирикутників на картині описані кола Прямокутник квадрат. Які багатокутники називаються описаними біля кола У які чотирикутники можна вписати коло Які описані чотирикутники змальовані на...
52937. Подорож по країні Excel. Введення та редагування даних різного типу. Автозаповнення. Копіювання, переміщення, вилучення, форматування таблиці 205.5 KB
  Домашнє завдання на наступний урок та інструктаж щодо його виконання: Достатній рівень: надр.процесорі таблицю Календар на 2011 рік Високий рівень: робота над проектом Розробка системи електронних таблиць що буде забезпечувати роботу певного магазину і складу при ньому 1 таблиця – Прайслист товарів послуг в різній валюті. Д Зберегти виконане завдання до своєї папки з ім'ям Розрахунки Домашнє завдання: Достатній рівень: надр.процесорі таблицю Календар на 2011 рік Високий рівень: робота над проектом Розробка...
52938. Екскурсія до військово – історичного музею Повітряних Сил Збройних Сил України 8.52 MB
  Вінниця 2012 Тема: Екскурсія до військово – історичного музею Повітряних Сил Збройних Сил України. Хід екскурсії Сьогодні експозиція музею Повітряних Сил Збройних Сил України нараховує 41 експонат військової техніки а у фонді налічується більше 2000 предметів. Колективом музею створено декілька тематичних експозицій: â€œВінничани – Герої Радянського Союзу†“43тя Ракетна армія та Ракетні війська стратегічного призначення†“Історія створення ВійськовоПовітряних Си놓Історія військ Протиповітряної оборон膓Авіаційна...
52939. ЕКСКУРСІЯ ПО МІСТАМ УКРАЇНИ 147.5 KB
  T. The last time we spoke about Zaporizhyan Sich and Zaporizhya, the city closely connected with Zaporizhyan Sich. But in the history of our Motherland there were very many other historical events. Today we’ll start our talk about Ukrainian towns and cities.
52940. Эйдетические формы обучения русскому языку 179.5 KB
  Владимир Троицкий А когда уроки для нас становятся светлыми и радостными праздниками Когда они проходят интересно плодотворно на одном дыхании Наверное когда у вас всё получается когда всё понимаете и запоминаете и эти знания вы можете применить на практике. Уже 17 лет на каждом уроке русского языка я провожу такой эксперемент используя различные формы и методы развития образной памяти и всякий раз убеждаюсь что применение эйдетической...
52941. Перетворюємо навчання у захоплюючу творчу гру 764 KB
  Синий слон Оранжевый –арбуз Голубой газета Желтый жук Красный карандаш Зеленый замок Фиолетовый фрукты Белый бант Чёрный часы Учитель называет слова один раз ученики повторяют в такой же последовательности а потом в разброс. Начинают игру словами: Бабушка укладывает в свой чемодан. Заучування вірша за піктограмами і словами вчителя. Етап проектування і покладання мети Давайте пригадаємо: що таке ейдетика Які прийоми ейдетики ми використовуємо щоб краще запам’ятати слова Цифри Сьогодні використовуючи різні...