10599

Методы интегрального преобразования

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Методы интегрального преобразования. Операционные методы. Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным например применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла. Основные пра

Русский

2013-03-29

76.24 KB

51 чел.

Методы интегрального преобразования.

Операционные методы.

Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла.

Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены М.Вищенко-Захарченко и Хевисвйдом. Наибольшее распространение они получили в электротехнике благодаря работам Хевисайда.

Операционный метод Хевисвйда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа.

Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а её видоизменение (изображение).

Интегральное преобразование функции определяется формулой

                                                                     (40)

Здесь S может быть комплексным числом; но при этом  вещ-я часть больше 0.

- оригинал; - изображение функции . Чтобы изображение существовало  необходимо, интеграл (51) должен сходиться.

Если задача решена в изображениях, то оригинал определяется по изображению (обр-е преобр-е) с помощью формулы обращения

                                                             (41)

Вместо формулы (52) для определения оригинала функции по её изображению можно воспользоваться следующей формулой обращения

                                                                   (41.а)

Эта формула даёт возможность получить оригинал функции лишь при помощи  операция дифференцирования и перехода к пределу.

  1. Если изображение представляет собой функцию

                                                                 (42)

которая является частичным случаем  двух целых трансцендентных функций, то по теореме разложения имеем

                                                                   (43)

где  - простые корни функции ; при этом знаменатель не содержит свободных членов и     

2. Если изображение     представляет собой отношение двух номиналов (дробно-рациональная функция), причём степень номинала меньше степени номинала  , и номинал   имеет корни кратности K  в точках, то

где сумма берётся по всем корням . Если все корни простые, т.е. все К равны единице, то формула (5 ) переходит в (43)

Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, трудности возникают при решении задач, где условия заданы в виде функции пространственных координат, или решении многомерных задач.

В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела.

Если преобразование берётся по пространственной координате х, то интегральное преобразование функции может быть представлено так:

                                                                                   (44)

Если ядро преобразования K(p,x) берётся в виде или , то это интегральное преобразование называется соответственно синус- или косинус- преобразованием Фурье.

Если же  ядром преобразования выбрана функция Бесселя , то оно называется преобразованием Ханкеля.

Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяжённости, синус- преобразование Фурье следует использовать , когда на поверхности тела задано значение формулами, т.е. при ГУ!, а косинус – преобразование Фурье, когда решается диф. уравнения переноса при ГУ2. Преобразования Ханкеля применимы в том случае, когда тело имеет осевую симметрично. Практическое применение названных интегральных преобразований при наличии подробных таблиц изображения не вызывают особых затруднений.

Переход от изображений к оригиналам можно осуществить по формулам обращения для:

Комплексное преобразование Фурье

                                                                         (45)

Синус-преобразование Фурье

                                                                                  (46)

Косинус-преобразование Фурье

                                                                                  (47)

Преобразование Ханкеля

                                                                                    (48)

Рассмотренные интегральные преобразования применимы для тел полуограниченной протяженности.

Конечные интегральные преобразования

Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля, и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели к созданию методов конечных интегральных преобразований. Они более предпочтительны даже для задач, решаемых классическими методами.

Идея метода конечных интегральных преобразований предложена  Н.С. Коммековым

                                                                        (49)

Дальнейшая проработка вопросов метода конечных интегральных преобразований нашла отражение в трудах  Гриабарга Г.А., Следдона, Трантера, Дёга (Дейг) и др.

Если граница интегрирования заключается между 0 и е, ядро конечных синус - и косинус - преобразований Фурье, а также преобразования Ханкеля соответственно имеют вид:

                                                                                          (50)

                                                                                         (51)

При ГУ1 и ГУ2 , а при ГУ3 является корнями уравнения      

                                                                                       (52)

где - корень уравнения (ГУ1), а при ГУ3 определяется из уравнения

                                                                                     (53)

Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Поэтому решения, полученные этими методами имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, полученные классическими методами. Так, формулы обращения имеют вид:

Для синус-преобразования Фурье

                                                                         (54)

Для косинус-преобразования Фурье

                                                 (55)

При ГУ2 и при ГУ3, суммирование ведётся по всем положенным корням уравнения

                                      (56)

Для преобразования Ханкеля при корнях из уравнения  

                                                                   (57)

Или, если корни определяются по (53)

                                              (58)

Преобразование Ханкеля (52) применяется для решения задач теплопроводности для цилиндра. Для малого цилиндра в преобразованиях Ханкеля ядро преобразования K(p,x) берётся в ином виде

Методы интегрального преобразования дают возможность получить ряд закономерностей протекания физических процессов на основе анализа решения для усреднённых значений исследуемой физической величины (анализ решения для изображения). Это обстоятельство сближает данные аналитические методы с методами теории подобия.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23208. Основні функції філософії 37.5 KB
  Основні функції філософії: У межах цілісної структури філософії основні функції філософії взаємопов'язані і взаємно детермінують одна одну. Розглянемо спочатку взаємний зв 'язок світоглядної і онтологічної функцій філософії. Але ще в античній філософії були розроблені різні варіанти онтології. Суттєвою функцією філософії є пізнавальна.
23209. Основні рівні буття 38.5 KB
  Основні рівні буття. Буття належить до числа тих системотворчих понять які покладені в основи філософії багатьма мислителями як минулого так і сучасного. Перший аспект проблеми буття: а Що існує – Світ. Суть проблеми полягає в існуванні суперечливої єдності неминучого вічного і минулого змінного буття окремих речей ста нів людських та інших істот.
23210. Особливості розвитку та функціонування системи філософських категорії 47.5 KB
  Філософські категорії це найзагальнішігранично широкі поняття що виражають універсальні характеристики та відношення матеріального й духовного світу в які і через які здійснюється філософське мислення і які служать вихідними принципами пізнання і духовнопрактичного перетворення світу. У процесі пізнання категорії виконують вимоги логіки. Категорії матерія форма причина і ціль які ним були теж сформульовані чомусь не увійшли до цієї системи.
23213. Специфіка філософської думки в період Середньовіччя 48.5 KB
  До них належать: Афанасій Олександрійський Василь Великий Григорій Нісський Григорій Назіанзін Амвросій Медіоланський Августин Блаженний Іоанн Дамаскін та ін.Одним із найбільш яскравих представників патрістики був єпископ із ГіппонаПівнічна Африка Августин якого католицькі богослови нарекли ще й ім'ям Блаженний. Августин вважав що філософія поза богослов'ям– ніщо. Воюючи з язичеством як він називав античну філософію Августин намагався розгорнути християнську теологічну систему на основі неоплатонізму.
23214. Особливості філософії епохи Відродження 33 KB
  Особливості філософії епохи Відродження Філософія Відродження охоплює період відXIV до початкуXVII ст. Відродження–перехідна епоха і цим значною мірою пояснюється чимало її специфічних рис і насамперед та завдяки якій майже синонімічною назвою для епохи стає словогуманізм. Для епохи Відродження характерним було швидке зростання кількості людей розумової праці. Звичайно мислителі Відродження були далекі від думки ігнорувати Святе письмо віру в Бога але якщо у схоластів центром уваги був Бог то у гуманістів епохи Відродження– Бог і...
23215. Філософія Нового Часу: загальна характеристика 46 KB
  Проте свою методологію він будує на принципах раціоналістичної дедукції а експеримент визнає лише як передумову пізнання що має підпорядковуватись раціональноматематичному мисленню. У першому йдеться про вихідний пункт наукового пізнання– визначення принципів або начал. Третє правило вимагає дотримуватись певного порядку мислення який полягає в тому щоб починати з найпростіших і доступних для пізнання предметів і поступово сходити до складніших і важчих. Декарт вважає що людина від народження має певні вроджені ідеї які й становлять...
23216. Класична німецька філософія 36.5 KB
  Попершевсіх представників німецької класичної філософії об'єднує розуміння ролі філософії в історії людства і в розвитку світової культури. Подруге представники німецької класичної думки надали філософії вигляду широко розробленої та диференційованої спеціальної системи дисциплін ідей понять та категорій. Враховуючи ці основні риси німецької класичної філософії можна виділити також і основні проблеми дослідження яких перебуває в центрі уваги цього періоду розвитку світової філософії: проблема науковості філософії онтології...