10603

Численные методы решения тепловой задачи. Метод конечных разностей

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Численные методы решения тепловой задачи. Метод конечных разностей Многие математические модели описываются дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений с краевыми условиями первого второго и третьего рода. Точное решение краевых задач уд...

Русский

2013-03-29

218 KB

92 чел.

Численные методы решения тепловой задачи. Метод конечных разностей

 

Многие математические модели описываются дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений с краевыми условиями первого, второго и третьего рода. Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток.

Основная идея построения модели на основе интегральных уравнений заключается в переходе от исходного дифференциального уравнения в частных производных к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям.

Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области – узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции.

Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных, в общем случае, алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.

Рассмотрим представленную на рис 1.а. задачу распространения тепла в двумерной области W.

Рисунок 1.а.

Если потоки тепла в направлении осей x и y на единицу длины за единицу времени обозначены через qx и qy соответственно, то разность D между исходящим и входящим потоками для элемента размера dx  и dy задается выражением:

      (1)

Для сохранения энергии эта величина должна быть равна сумме тепла, генерируемого в элементе за единицу времени dt, например, Qdxdy, где Q может изменяться в зависимости от координат и времени, и тепла, освобождаемого за единицу времени , а именно – , где с – удельная теплоемкость, р – плотность и j(x, y, t) – распределение температуры. Ясно, что это требование равенства ведет к дифференциальному соотношению:

           (2)

Соотношение выполняется во всей области W, где решается задача.

Вводя теперь физический закон, определяющий поток тепла в изотропной среде, можно записать для компоненты потока в произвольном направлении n:

               (3)

где к – коэффициент теплопроводности, характеризующий свойства среды. В частности, для изотропного материала по направлениям x и y выполняются равенства

,                         (4)

Соотношение (2) и (4) определяют систему дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую задачу; теперь эти уравнения нужно решить относительно трех зависимых переменных qx, qy и j.

Для такого решения необходимо задать начальные условия, например, в момент времени t=t0 (например, в этот момент времени всюду в W может быть задано распределение температуры), и граничные условия на границе Г области решения задачи, в качестве которых, как правило, могут быть использованы два различных типа условий.

В случае первого условия, скажем применяемого на участке границы Гj, задаются значения температуры (x, y, t), т.е

на          (5)

Граничные условия этого вида часто называют граничными условиями Дирихле.

В случае второго условия, применяемого на остальной части границы Гq, задаются значения потока тепла (x, y, t) в направлении нормали к границе n тогда можно записать

 на ,            (6а)

Или

 на  ,            (6б)

Этот тип краевого условия часто называется граничными условиями Неймана.

Теперь задача полностью определена уравнениями(2), (4), (5) и (6), и решением этой системы уравнений в принципе можно получить числа, представляющие распределения для j, qx и qy в любой момент времени.

Данную задачу можно записать в иной форме, исключив при помощи уравнений(4) величины qx и qy из уравнения (2) и получив в результате дифференциальное уравнение более высокого порядка с одной независимой переменной, а именно уравнение

,

для которого опять требуется задать начальные и краевые условия.

Выше была рассмотрена задача, определенная в пространственно- временной области и требующая задания начальных условий. Независимыми переменными здесь были x, y и t. Если предполагаются стационарные условия (т.е., задача не зависит от времени и, следовательно,), то уравнения (2) и (7) упрощаются. В последнем случае имеет место уравнение

,       (8)

для решения, которого требуется только задать краевые условия вида (5) и (6).

Хотя основные уравнения были записаны для двумерного случая, их легко распространить на трехмерный случай, чтобы иметь возможность иметь дело с более общими задачами. С другой стороны в некоторые задачи входит только одна независимая переменная; на рис 1.б., например, рассматривается поток тепла через плиту, на которых условия не меняются по у.

Рисунок 1.б.

Тогда из уравнения (8) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

,

А областью «определения задачи» является отрезок 0 £ х £ Lx.

Конечные разности в одномерном случае

Предположим, что решается просто одномерная краевая задача, т.е. требуется определить функцию j(х), удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению на отрезке 0 £ х £ Lx вместе с надлежащими краевыми условиями при х = 0 и  х =  Lx. как было только что показано, типичным примером такого рода задачи является задача вычисления распределения температуры j(х) в плите толщиной Lx из материала с коэффициентом теплопроводности к; на плоскостях х = 0 и х = Lx, ограничивающих плиту, сохраняются заданные значения температуры  и соответственно, и в плите генерируется тепло со скоростью Q(x) на единицу толщины. Дифференциальное уравнение для этой задачи является уравнением (1.9), которая при предположении, что теплопроводность материала постоянно, сводится к уравнению

Соответствующие краевые условия задаются равенствами вида (5) и могут быть записаны в виде

,           

Для решения этой задачи методом конечных разностей, прежде всего, производится дискретизация независимой переменной х, т.е. строится множество (или сетка) L+1 дискретных равноотстоящих точек хl (l=0, 1, 2,…,L)  на отрезке 0 £  х £ Lx        х0=0, хL=Lx и хl+1-xl= x.

Следующий шаг состоит в замене в дифференциальном уравнении членов, содержащих дифференцирование членами, в которых используется только алгебраические операции. Этот процесс по необходимости включает аппроксимацию и может быть выполнен путем использования конечно-разностных аппроксимаций для производных функции.

Конечно-разностные аппроксимации производных.

Основная идея метода заключается в замене частных производных их разностными аналогами. Рисунок 2 (графическая интерпретация некоторых конечно-разностных аппроксимаций для производных).

Рисунок 2.

 

          - правая схема

          - левая схема

 

 - центральная схема

 

Получение разностных аналогов:

 (1)

  (2)

Центральная разность (1) - (2):

 

 

Алгоритм метода конечных разностей

 

Метод конечных разностей (МКР) является старейшим методом решения краевых задач.

Алгоритм (рис 3) МКР состоит из этапов традиционных для метода сеток:

1. Построение сетки в заданной области. В МКР используется сетка, задаваемая конечным множеством узлов. В узлах сетки определяются приближенные значения φh искомой функции φ. Совокупность узловых значений φh называют сеточной функцией.

2. Замена дифференциального оператора Lh=∂φ/∂u в исходном дифференциальном уравнении разностным аналогом Lh, построенным по одной из схем, рассмотренных ниже. При этом непрерывная функция φ аппроксимируется  сеточной функцией φh.

3. Если есть граничные условия второго и третьего рода, то для граничного узла с этим условием записывается соответствующая аппроксимация. В результате должна получиться замкнутая система НАУ.

4.  Решение полученной системы алгебраических уравнений.

 

В МКР используются, как правило, регулярные сетки, шаг которых либо постоянен, либо меняется по несложному закону. Примеры сеток предложены на рис. 3.

Рисунок 3.

 

Решение одномерной линейной задачи с краевым условием второго рода

В реальных задачах одно или несколько краевых условий часто могут быть выражены через производную (краевые условия Неймана).

Решение одномерных нестационарных задач

Часто при работе с математическими моделями приходится исследовать зависимость параметров системы от времени. Такой класс задач называется нестационарные. Существует два способа получения решения: явный и неявный метод. При использовании любого из способов нам надо принять шаблон для замены частных производных на разностные аналоги.

Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем.

 

LV+P=0   исходный дифференциальный оператор

 

LhVh+ph=0   разностный оператор. h – шаг сетки

 

|| V(h)-Vh ||≤c1*hk – сходимость порядка К. Разностная схема аппроксимируется с точностью К.

                           с1=Const, не зависит от h

 

Аппроксимация

LhV(h)+ph=δh<o:p</o:p

Если норма невязки || δh || ≤ c2*hk – имеет место аппроксимация порядка К.

Устойчивость к возмущению

       LhVh+ph=0

       LhZh+ph=εh

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61349. Основи технології писанкарства. Орнаменти писанкарства. Символи в писанкарстві 4.18 MB
  Символи в писанкарстві. Символи в писанкарстві. Згодом виникли символи неначе букви тієї чарівної мови. Символи в писанкарстві.
61350. План-конспект уроку, Групи слів за значенням: синоніми, антоніми, омоніми 24.62 KB
  Мета: поглибити знання учнів щодо синонімів, антонімів, омонімів; удосконалити вміння пятикласників відрізняти омоніми від багатозначних слів, правильно вживати їх у мовленні; навчити добирати фразеологічні синоніми...
61351. Людина і природа. Проблеми екології. Природні катаклізми. Введення лексики 72.63 KB
  МЕТА: Навчальна: ознайомити учнів з новою лексикою та активізувати її вживання в мові, розширити знання учнів про проблеми екології та навколишнього середовища, природні катаклізми; збагачувати словниковий запас учнів...
61353. Алюміній. Положення в ПСХЕ. Будова атому. Основні хімічні властивості 57.63 KB
  Цілі уроку: Надати інформацію про історію відкриття та добування алюмінію. Ознайомити з фактами біографії видатних вчених пов’язаних з дослідженням алюмінію.
61354. Релаксация на уроках немецкого языка на начальном этапе обучения 38.3 KB
  Современный урок иностранного языка характеризуется большой интенсивностью и требует от учеников концентрации внимания, напряжения сил. Хорошо известно, что внимание учащихся, особенно в V—VI классах неустойчиво.
61355. Использование компьютерных технологий при изучении иностранного языка 41.75 KB
  Преимущества и недостатки обучения иностранного языка с помощью ПК. Но этот метод обучения еще не оценен по достоинству. В своей работе я докажу что ПК может быть использован как вспомогательное средство как любое другое техническое средство обучения или учебник.
61356. Гидденс Э. Устроение общества: Очерк теории структурации 835 KB
  Основанием для написания настоящей книги является ряд важных открытий и разработок, которые имели место в общественных науках в течение последнего полутора десятка лет. Эти открытия концентрировались главным образом в области социальной теории, и в максимальной степени затронули самую опасную
61357. Адаптации (приспособления) 29.59 KB
  Относительный характер адаптации: соответствуя конкретной среде обитания адаптации теряют свое значение при ее изменении заяцбеляк при задержке зимы или при оттепели ранней весной заметен на фоне пашни и деревьев; водные растения при пересыхании водоемов погибают и т. Примеры адаптации Вид адаптации Характеристика адаптации Примеры Особая форма и строение тела Обтекаемая форма тела жабры плавники Рыбы ластоногие Покровительственная окраска Бывает сплошная и расчленяющая; формируется у организмов живущих открыто и делает их незаметными...