10603

Численные методы решения тепловой задачи. Метод конечных разностей

Домашняя работа

Математика и математический анализ

Численные методы решения тепловой задачи. Метод конечных разностей Многие математические модели описываются дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений с краевыми условиями первого второго и третьего рода. Точное решение краевых задач уд...

Русский

2013-03-29

218 KB

91 чел.

Численные методы решения тепловой задачи. Метод конечных разностей

 

Многие математические модели описываются дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений с краевыми условиями первого, второго и третьего рода. Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток.

Основная идея построения модели на основе интегральных уравнений заключается в переходе от исходного дифференциального уравнения в частных производных к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям.

Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области – узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции.

Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных, в общем случае, алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.

Рассмотрим представленную на рис 1.а. задачу распространения тепла в двумерной области W.

Рисунок 1.а.

Если потоки тепла в направлении осей x и y на единицу длины за единицу времени обозначены через qx и qy соответственно, то разность D между исходящим и входящим потоками для элемента размера dx  и dy задается выражением:

      (1)

Для сохранения энергии эта величина должна быть равна сумме тепла, генерируемого в элементе за единицу времени dt, например, Qdxdy, где Q может изменяться в зависимости от координат и времени, и тепла, освобождаемого за единицу времени , а именно – , где с – удельная теплоемкость, р – плотность и j(x, y, t) – распределение температуры. Ясно, что это требование равенства ведет к дифференциальному соотношению:

           (2)

Соотношение выполняется во всей области W, где решается задача.

Вводя теперь физический закон, определяющий поток тепла в изотропной среде, можно записать для компоненты потока в произвольном направлении n:

               (3)

где к – коэффициент теплопроводности, характеризующий свойства среды. В частности, для изотропного материала по направлениям x и y выполняются равенства

,                         (4)

Соотношение (2) и (4) определяют систему дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую задачу; теперь эти уравнения нужно решить относительно трех зависимых переменных qx, qy и j.

Для такого решения необходимо задать начальные условия, например, в момент времени t=t0 (например, в этот момент времени всюду в W может быть задано распределение температуры), и граничные условия на границе Г области решения задачи, в качестве которых, как правило, могут быть использованы два различных типа условий.

В случае первого условия, скажем применяемого на участке границы Гj, задаются значения температуры (x, y, t), т.е

на          (5)

Граничные условия этого вида часто называют граничными условиями Дирихле.

В случае второго условия, применяемого на остальной части границы Гq, задаются значения потока тепла (x, y, t) в направлении нормали к границе n тогда можно записать

 на ,            (6а)

Или

 на  ,            (6б)

Этот тип краевого условия часто называется граничными условиями Неймана.

Теперь задача полностью определена уравнениями(2), (4), (5) и (6), и решением этой системы уравнений в принципе можно получить числа, представляющие распределения для j, qx и qy в любой момент времени.

Данную задачу можно записать в иной форме, исключив при помощи уравнений(4) величины qx и qy из уравнения (2) и получив в результате дифференциальное уравнение более высокого порядка с одной независимой переменной, а именно уравнение

,

для которого опять требуется задать начальные и краевые условия.

Выше была рассмотрена задача, определенная в пространственно- временной области и требующая задания начальных условий. Независимыми переменными здесь были x, y и t. Если предполагаются стационарные условия (т.е., задача не зависит от времени и, следовательно,), то уравнения (2) и (7) упрощаются. В последнем случае имеет место уравнение

,       (8)

для решения, которого требуется только задать краевые условия вида (5) и (6).

Хотя основные уравнения были записаны для двумерного случая, их легко распространить на трехмерный случай, чтобы иметь возможность иметь дело с более общими задачами. С другой стороны в некоторые задачи входит только одна независимая переменная; на рис 1.б., например, рассматривается поток тепла через плиту, на которых условия не меняются по у.

Рисунок 1.б.

Тогда из уравнения (8) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

,

А областью «определения задачи» является отрезок 0 £ х £ Lx.

Конечные разности в одномерном случае

Предположим, что решается просто одномерная краевая задача, т.е. требуется определить функцию j(х), удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению на отрезке 0 £ х £ Lx вместе с надлежащими краевыми условиями при х = 0 и  х =  Lx. как было только что показано, типичным примером такого рода задачи является задача вычисления распределения температуры j(х) в плите толщиной Lx из материала с коэффициентом теплопроводности к; на плоскостях х = 0 и х = Lx, ограничивающих плиту, сохраняются заданные значения температуры  и соответственно, и в плите генерируется тепло со скоростью Q(x) на единицу толщины. Дифференциальное уравнение для этой задачи является уравнением (1.9), которая при предположении, что теплопроводность материала постоянно, сводится к уравнению

Соответствующие краевые условия задаются равенствами вида (5) и могут быть записаны в виде

,           

Для решения этой задачи методом конечных разностей, прежде всего, производится дискретизация независимой переменной х, т.е. строится множество (или сетка) L+1 дискретных равноотстоящих точек хl (l=0, 1, 2,…,L)  на отрезке 0 £  х £ Lx        х0=0, хL=Lx и хl+1-xl= x.

Следующий шаг состоит в замене в дифференциальном уравнении членов, содержащих дифференцирование членами, в которых используется только алгебраические операции. Этот процесс по необходимости включает аппроксимацию и может быть выполнен путем использования конечно-разностных аппроксимаций для производных функции.

Конечно-разностные аппроксимации производных.

Основная идея метода заключается в замене частных производных их разностными аналогами. Рисунок 2 (графическая интерпретация некоторых конечно-разностных аппроксимаций для производных).

Рисунок 2.

 

          - правая схема

          - левая схема

 

 - центральная схема

 

Получение разностных аналогов:

 (1)

  (2)

Центральная разность (1) - (2):

 

 

Алгоритм метода конечных разностей

 

Метод конечных разностей (МКР) является старейшим методом решения краевых задач.

Алгоритм (рис 3) МКР состоит из этапов традиционных для метода сеток:

1. Построение сетки в заданной области. В МКР используется сетка, задаваемая конечным множеством узлов. В узлах сетки определяются приближенные значения φh искомой функции φ. Совокупность узловых значений φh называют сеточной функцией.

2. Замена дифференциального оператора Lh=∂φ/∂u в исходном дифференциальном уравнении разностным аналогом Lh, построенным по одной из схем, рассмотренных ниже. При этом непрерывная функция φ аппроксимируется  сеточной функцией φh.

3. Если есть граничные условия второго и третьего рода, то для граничного узла с этим условием записывается соответствующая аппроксимация. В результате должна получиться замкнутая система НАУ.

4.  Решение полученной системы алгебраических уравнений.

 

В МКР используются, как правило, регулярные сетки, шаг которых либо постоянен, либо меняется по несложному закону. Примеры сеток предложены на рис. 3.

Рисунок 3.

 

Решение одномерной линейной задачи с краевым условием второго рода

В реальных задачах одно или несколько краевых условий часто могут быть выражены через производную (краевые условия Неймана).

Решение одномерных нестационарных задач

Часто при работе с математическими моделями приходится исследовать зависимость параметров системы от времени. Такой класс задач называется нестационарные. Существует два способа получения решения: явный и неявный метод. При использовании любого из способов нам надо принять шаблон для замены частных производных на разностные аналоги.

Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем.

 

LV+P=0   исходный дифференциальный оператор

 

LhVh+ph=0   разностный оператор. h – шаг сетки

 

|| V(h)-Vh ||≤c1*hk – сходимость порядка К. Разностная схема аппроксимируется с точностью К.

                           с1=Const, не зависит от h

 

Аппроксимация

LhV(h)+ph=δh<o:p</o:p

Если норма невязки || δh || ≤ c2*hk – имеет место аппроксимация порядка К.

Устойчивость к возмущению

       LhVh+ph=0

       LhZh+ph=εh

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49685. Сборка отсека фюзеляжа Ф-4 среднемагистралного пассажирского самолета 309.5 KB
  В настоящее время одним из главных элементов производственного процесса изготовления авиационной техники следует считать сборочное производство. Сборочное производство характеризуется постоянно возрастающей сложностью сборочных работ, сравнительно невысоким уровнем механизации и автоматизации технологических процессов и, как следствия, большими затратами на производство, невысоким уровнем производительности и большой трудоемкостью изготовления продукции.
49686. Проектирование линейного центробежного нагнетателя природного газа мощностью 25 МВт и отношением давлений П=1,44 2.01 MB
  Определение физических констант газа. при добыче нефти и газа на магистральных газопроводах для наддува двигателей внутреннего сгорания в газотурбинных установках для получения сжатого воздуха имеющего силовое назначение пневматический инструмент молоты прессы и т. Российская Федерация является обладателем крупнейших в мире запасов полезных ископаемых нефти природного газа следствием чего стало доминирующее влияние добычи природных ресурсов на экономику и развитие нашего государства.
49688. Визуализация численных методов 1.19 MB
  В курсовой работе требуется написать программу на языке Visual Basic, для решения и визуализации данного дифференциального уравнения первого порядка при помощи графика. В программе я сравню эти два метода и затем попытаюсь оценить погрешность и правильность решения.
49690. РАБОЧАЯ ПЛОЩАДКА ПРОМЫШЛЕННОГО ЗДАНИЯ 3.26 MB
  Подбор сечения Геометрические характеристики сечения Проверка принятого сечения Геометрические характеристики сечения
49691. Конституция Российской Федерации как основной закон государства 235.75 KB
  Проект Конституции представляет собой совокупность принятых решений между депутатами, представителями федеральных органов государственной власти и органов государственной власти субъектов Федерации, на протяжении длительного времени искавших компромисс по многим вопросам, а в итоге сформулировавшим все это в данном акте.