10604

Метод граничных элементов

Доклад

Математика и математический анализ

Метод граничных элементов Приводятся фундаментальные решения для ортотропных и анизотропных областей и показывается что все положения обсуждавшиеся в предыдущих разделах справедливы также и для бесконечных областей при выполнении определенных условий регулярно...

Русский

2013-03-29

353 KB

80 чел.

Метод граничных элементов

Приводятся фундаментальные решения для ортотропных и анизотропных областей и показывается, что все положения, обсуждавшиеся в предыдущих разделах, справедливы также и для бесконечных областей при выполнении определенных условий регулярности на бесконечности. Привлечение подходящего фундаментального решения, удовлетворяющего части граничных условий рассматриваемой задачи, позволяет снизить объем вычислительной работы. И наконец, "описываются специальные численные процедуры для общего вида трехмерных и осесимметричных задач.

"

Рис. 1. Граничные элементы (а— постоянные; б— линейные; в— квадратичные).

Функции и и q имеют постоянные значения в области каждого элемента и

Рис. 2. Схема связи между фундаментальным решением в граничном узле i и граничными элементами.

Введение

В этой главе исследуется приложение метода граничных интегральных уравнений к уравнению теплопроводности

     (1)

с граничными условиями следующего типа:

    (2)

Коэффициент k в уравнении (4.1) может принимать различные значения в зависимости от рассматриваемой физической задачи и считается независимым как от координат, так и времени. Поскольку рассматриваемая задача зависит от времени, необходимо задать некоторые начальные условия в момент времени t = tQ:

      (3)

Задаче, описываемой уравнением (1), граничными условиями (2) и начальным условием (3), можно придать форму интегрального уравнения относительно неизвестной функции и, и для выполнения этого преобразования могут быть использованы различные приемы. Один из них был предложен в 1970 г. Риццо и Шиппи, которые применили прямую формулировку метода граничных элементов в сочетании с преобразованием Лапласа к решению задач неустановившейся теплопроводности. В предположении, что все входящие в задачу функции допускают преобразование Лапласа, граничное интегральное уравнение записывалось и решалось в пространстве изображений для последовательности действительных положительных значений параметра преобразования. Затем применялась численная процедура обратного преобразования для нахождения значений неизвестных в действительном пространстве. При использовании такого подхода временная зависимость задачи на какой-то период устранялась и вместо исходного уравнения параболического типа решалось более удобное уравнение в частных производных эллиптического типа. Баттерфилд и Томлин  применили непрямую формулировку (с использованием источника), рассмотрев среду с ортотропными областями, встречающуюся в механике грунтов. Решение для неустановившегося случая было получено распределением мгновенных источников в рассматриваемой области в начальный момент времени, с тем чтобы воспроизвести заданное начальное условие, и заданием на внешней и внутренних границах непрерывных функций источников, удовлетворяющих заданным условиям на внешней границе и на границах раздела.

Чанг, Канг и Чен использовали зависящие от времени фундаментальные решения в сочетании с прямым методом решения двумерных задач теплопроводности как в изотропной, так и в анизотропной средах. Дискретное представление граничного интегрального уравнения было выполнено с постоянными шагами по пространственным и временной координатам. Аналогичный подход к решению трехмерных задач использовал Шоу, который в основном рассмотрел аналитические, а не численные аспекты метода. Этот прием обсуждался впоследствии Вроубелом и Бреббия, исследовавшими возможность включения в рассмотрение интерполирующих функций высокого порядка от пространственных и временной переменных и тем самым рассмотрения более важных с практической точки зрения задач. Они также исследовали численную процедуру для решения неустановившихся осесимметричных задач, где из-за сложности получения фундаментального решения потребовалось ввести разложение в ряды и аналитически вычислять интегралы по времени, входящие в граничное интегральное уравнение.

Иной подход, основанный на использовании комбинации методов граничных элементов и конечных разностей при решении нестационарных задач, был предложен Бреббия и Уокером. Здесь производная по времени аппроксимировалась конечными разностями, и для нахождения зависимости решения от времени использовалась шаговая процедура конечно-разностного типа.

Все упомянутые выше численные схемы рассматриваются ниже, где также приведены основные процедуры для их численной реализации применительно к двумерным задачам. Хотя обсуждаются в основном задачи для конечной однородной изотропной среды, рассмотрены также задачи с внутренними источниками, кусочной неоднородностью среды, ортотропией и анизотропией, бесконечными или полубесконечными областями — все это делается точно так же, как и в гл. 2 для задач о потенциале.

Затем кратко обсуждаются трехмерные задачи и несколько более подробно описано приложение к асимметричным случаям. Зависящее от времени фундаментальное решение для осесимме-тричного случая получается непосредственно из решения для трехмерной задачи, и представлена процедура численного решения уравнения (1) для осесимметричной области.

2. Преобразование Лапласа

Введем следующее обозначение преобразования Лапласа для функции и (х, t), для которой это преобразование допускается:

  (4)

и предположим, что параметр преобразования X — действительное положительное число.

Интегрируя по частям, можно показать, что

  (5)

Уравнение (1) после выполнения преобразования принимает вид

  (6)

Граничные условия (2) также следует преобразовать в соответствии с формулой (4.4), полагая для простоты, что они не зависят от времени, и получая в результате

   (7)

Аналогично находим и преобразование Лапласа для уравнения взвешенных невязок

   (8)

где  Интегрируя    оператор Лапласа дважды по частям, получим

   (9)

Полагая фундаментальным решением уравнения (6), удовлетворяющим равенству

  (10)

из уравнения (9) найдем

   (11)

Фундаментальное решение U* для трехмерных задач имеет вид

   (12)

а для двумерных задач —

    (13)

где— модифицированная функция Бесселя второго рода порядка

Исследуем особенности записанных выше фундаментальных решений. При U0 к нулю стремится и аргумент модифицированных функций Бесселя. Предел функции при  имеет вид

     (14)

что дает

  (15)

Отсюда следует, что фундаментальное решение уравнения (6) имеет особенность того же типа, что и фундаментальное решение исходного уравнения Лапласа.

Аналогично получаем предел функции:

      (16)

откуда   имеем

   (17)

Первое слагаемое в правой части этого выражения представляет собой фундаментальное решение для двумерного уравнения Лапласа, тогда как второе слагаемое является некоторой постоянной.

Считая точку £ в уравнении (11) принадлежащей границе и учитывая, что интеграл от функции Q* имеет разрыв, когда точка | находится на границе Г, получим уравнение

  (18)

где коэффициент с имеет то же значение, что и раньше.

В дискретной форме это уравнение решается численно для последовательности N выбранных значений параметра преобразования, задаваемых достаточно произвольно. Отметим, что наличие специальных начальных условий приводит к интегралу по области Q. Один путь вычисления этого интеграла состоит в разбиении всей области на ячейки и численном интегрировании по каждой из них. Однако если функция и0 удовлетворяет уравнению Лапласа, то интеграл по области в уравнении (18) можно преобразовать в эквивалентные граничные интегралы. Каким бы ни был метод вычисления интеграла по области, этот интеграл уже не вводит дополнительной неизвестной, поскольку функция и0 задается, а уравнение (18) по-прежнему остается граничным интегральным уравнением.

Последним этапом является обратное преобразование решения, которое выполняется численно. Следуя, например, методу Шапери, предположим, что функция и в любой точке может быть представлена в виде бесконечного ряда

   (19)

где— стационарное решение, ап и bп — функции пространственных   координат.   Применяя   к   представлению   (19) преобразование Лапласа,  получим

    (20)

Значения коэффициентов bn полагаются равными предварительно выбранным значениям А,. Таким образом, остается определить N значений коэффициента а в каждой граничной точке (плюс в каждой внутренней точке, в которой требуется знать решение). Решения уравнения (18) дают N значений функции U в каждой точке, что позволяет с помощью выражения (20) определить коэффициенты аn и, следовательно, с помощью выражения (19) найти значения физической величины U. Аналогичные расчеты требуется проводить и при определении действительных значений внутренних и граничных потоков.

Отметим, что обратное преобразование по существу представляет собой процесс аппроксимации кривой, и раз так, то в процессе численного решения важно знать ожидаемый характер поведения решения, с тем чтобы подобрать значения параметра преобразования Я,, поскольку, выбрав слишком много значений, можно сделать неустойчивым процесс нахождения решения с помощью выражения (20), тогда как выбор слишком малого числа значений не позволит с достаточной точностью аппроксимировать кривую.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75933. Избирательная система РФ и ее эволюция в конце 20 века 22.87 KB
  Граждане Российской Федерации имеют право участвовать в управлении делами государства как непосредственно так и через своих представителей. Граждане Российской Федерации имеют право избирать и быть избранными в органы государственной власти и органы местного самоуправления а также участвовать в референдуме. Президент Российской Федерации избирается сроком на шесть лет гражданами Российской Федерации на основе всеобщего равного и прямого избирательного права при тайном голосовании. Президентом Российской Федерации может быть избран гражданин...
75934. Конституция РФ 1993 года: порядок принятия и основные особенности 19.87 KB
  Необходимость разработки и принятия новой конституции РФ была официально признана еще в середине 1990 г. и тогда же на I Съезде народных депутатов РСФСР была создана Конституционная комиссия которая за четыре месяца подготовила и опубликовала для широкого обсуждения первый проект новой конституции. В это время наряду с проектом Конституционной комиссии были внесены и ряд других проектов Конституции РФ которые также обсуждались в указанной комиссии и общественностью.
75935. Культурная политика РФ в конце ХХ – начале ХХI века 19.74 KB
  Повсеместному пользуются самыми сверхустойчивыми образцами действий которые Александр Архангельский называет матрицами российской культуры. Наблюдается в обществе кризис морали и кризис нынешнего состояния культуры психологическое здоровье российского общества. Мы знаем огромное количество поведенческих предписаний скрывающихся за фразой специфика российской культуры. Существенно возросла роль Министерства культуры РФ в разработке культурной политики в стране в продвижении проблем культуры в органы власти.
75936. Левые политические силы в РФ и их эволюция 24.17 KB
  Важной особенностью формирования социально-демократического направления стало то, что начало было положено на окраинах, где социальный гнет сопровождался национальным. В конце 1890-х гг. сложилась армянская социал-демократическая партия
75937. Либеральные и правые политические партии в РФ и их эволюция 18.95 KB
  Распад КПСС и возникновение многопартийности В первой половине 1990 г. происходит углубление политического размежевания на сторонников и противников курса Горбачева внутри КПСС. Сторонники консервативной оппозиции выступали за сплочение КПСС на ленинских основах сохранение классового подхода вместо общечеловеческих ценностей уничтожение частной собственности на основе общего владения средствами производства. Одновременно в лагере либеральной оппозиции возникло демократическое движение коммунистов которое предполагало достичь обновления...
75938. Межнациональные отношения и миграционные процессы в РФ в начале ХХI века 18.75 KB
  Однако сейчас в современной России безусловно одна из самых острых проблем межнациональные отношения. По мнению эксперта фонда Карнеги Лилии Незамовой Сегодня многонациональность России дополняется и усложняется эффектами полиэтничности иммиграцией из бывших республик Советского Союза вьетнамской китайской афганской и др. Премьерминистр Дмитрий Медведев утвердил в августе федеральную целевую программу Укрепление единства российской нации и этнокультурное развитие народов...
75939. Место и роль России в современных международных процессах: оценки и дискуссии 18.05 KB
  Геополитическое положение России уникально она находится между двумя крупнейшими центрами современной мировой экономики. Вместе с тем геополитическое положение России подразумевает высокую ответственность и требует серьезных усилий при его использовании. Тем не менее в ряде важнейших областей реальное положение России в мире...
75940. Наследие Российской империи и современная внешняя политика Российской Федерации 16.67 KB
  Postimperium как внутренний социальный и политический порядок означает что при доминировании новых начал в экономической и политической жизни России рынок большая открытость в политике предполагающей существование не зависимых от государства акторов она ограничивается институтами и традициями почерпнутыми из имперского прошлого. Зато правящие слои хотят быть глубоко интегрированными по разным линиям деловой в области престижного потребления образования в мировую капиталистическую элиту но при этом внутри России играть по...
75941. Особенности политических конфликтов в России в 1992-1993 годах 19.86 KB
  Еще одна особенность проявляется в том что все более или менее крупные конфликты в России с давних пор чрезмерно идеологизированы. Становление новой социально-экономической и общественно-политической системы России сопровождалось политическими потрясениями и кризисами. Политическая элита России раскололась на два лагеря.