10605

Метод конечных элементов. Прямое построение глобальной матрицы жесткости

Лекция

Математика и математический анализ

Метод конечных элементов Прямое построение глобальной матрицы жесткости Метод построения глобальной матрицы жесткости весьма неэффективен при использовании цифровой вычислительной машины. Эта неэффективность объясняется тем что матрица жесткости отдельного эл...

Русский

2013-03-29

124.5 KB

60 чел.

Метод конечных элементов

Прямое построение глобальной матрицы жесткости

Метод построения глобальной матрицы жесткости весьма неэффективен при использовании цифровой вычислительной машины. Эта неэффективность объясняется тем, что матрица жесткости отдельного элемента [Ке] имеет такое же число строк и столбцов, что и глобальная матрица жесткости [К]. Большинство коэффициентов в матрице элемента равно нулю. Предположим, что область разбита на 50 элементов с 75 узловыми точками и нужно построить матрицу элемента [Ке]. Матрица элемента должна содержать 75 строк и столбцов с общим числом коэффициентов 752=5625. Из этих коэффициентов 5616 должны равняться нулю, так как для рассмотренной задачи о кручении матрица элемента содержит только девять ненулевых коэффициентов.

Дополнительные неудобства связаны с тем, что глобальная матрица жесткости [К] получается суммированием матриц жесткости   элементов    [Ke], [К] =2 [№>']. Матрица каждого элемента  должна быть вычислена отдельно от [К] и затем прибавлена к последней, а это требует запоминания обеих матриц. Необходимость помнить две большие матрицы приводит к перегрузке запоминающего устройства, когда решаемая задача имеет большое число неизвестных.

В эффективных программах процедура построения глобальной матрицы жесткости использует сокращенную форму матриц элементов при получении уравнений для элемента. Такой метод известен как метод «прямой жесткости». Применение этого метода исключает необходимость хранения больших матриц элементов, содержащих всего несколько отличных от нуля коэффициентов.

При использовании этого метода сначала рассматривается [Ке] для конкретного элемента. Все глобальные степени свободы Ф (или и в случае векторных величин), которые не относятся к этому элементу, исключаются из рассмотрения. Функции формы записываются в соответствии с порядком следования индексов i, j, k, начиная с узла I, в направлении против часовой стрелки. Рассмотрим, например, элемент (3) на рис. 3.

Этому элементу соответствуют узлы 2, 5 и 4 и глобальные степени свободы Ф2, Ф5   и Ф4. После упорядочивания функций формы в направлении против часовой стрелки, .начиная от узла I, последнее . соотношение в сокращенном виде записывается как

     (1)

Матрица градиентов имеет вид

    (2)

Значения коэффициентов cj и bj могут быть вычислены, если заданы координаты узлов элемента. После подстановки этих значений в [ВРЦ соотношение (2) примет вид

     (3)

Подставляя [ВМ] в сокращенной форме в равенство (6.8) и выполняя умножение и интегрирование, получаем

      (4)

Таким образом, в результате мы имеем матрицу размером 3X3 вместо матрицы размером 6x6, данной в (6.19в). Матрица элемента имеет размер 3X3, потому что этому элементу соответствуют три глобальные степени свободы.

Применив подобную процедуру к интегралу

получим

      (5)

С помощью формул (4) и (5) уравнения для данного элемента можно записать следующим образом:

          (6)

Чтобы полученная матрица соответствовала точной матрице жесткости третьего элемента, ее нужно переформировать и расширить. Алгоритм переформирования и расширения матрицы несложен.

Строкам и столбцам сокращенной матрицы элемента приписываются номера глобальных степеней свободы. Порядок расположения степеней свободы соответствует обходу элемента против часовой стрелки, начиная от j-го узла.

Матрицы элементов в задаче о кручении имеют только одну степень свободы (искомую величину) в каждом узле, поэтому функции формы в (1) упорядочены так же, как и глобальные степени свободы. Используя указанную нумерацию для строк и столбцов матрицы (4), запишем

Приписывание столбцам и строкам матрицы элемента номеров глобальных степеней свободы позволяет определить, какое место займут коэффициенты матрицы элемента в глобальной матрице жесткости. Например, коэффициент Кi, заключенный в квадрат матрицы (7), находится иа пересечении второй строки и четвертого столбца глобальной матрицы жесткости. Коэффициент К. заключенный в треугольник, находится на пересечении четвертой строки и пятого столбца. Расположение всех коэффициентов матрицы элемента  в глобальной матрице жесткости    показано    на рис.  1.

Рис. .1. Незаполненные прямоугольники соответствуют нулевым элементам.

Метод прямой жесткости построения глобальной матрицы жесткости является очень важным алгоритмом реализации метода конечных элементов на ЭВМ, потому что он значительно сокращает загрузку запоминающего устройства. В частности, он исключает необходимость запоминания больших матриц элементов, которые содержат всего несколько ненулевых коэффициентов. Число строк и число столбцов сокращенной матрицы жесткости элемента равны числу степеней свободы элемента.

Система линейных уравнений

При использовании метода конечных элементов получается система линейных уравнений, которая должна быть решена относительно неизвестных узловых параметров. Решение этих уравнений является очень важным аспектом задачи в целом, потому что си стема уравнений обычно очень большая. Методы решения систем с малым или большим числом уравнений мало отличаются друг от друга. Реализация этих методов, однако, зависит от технических возможностей ЭВМ.

Во второй главе, где рассматривался процесс дискретизации сплошной среды, было отмечено, что путем надлежащей нумерации узлов можно контролировать расположение коэффициентов в глобальной матрице жесткости. Напомним, что при разумной нумерации узлов получается матрица ленточного типа вместо полной матрицы. Ленточная матрица характеризуется тем, что все ее ненулевые коэффициенты располагаются вблизи главной диагонали, а все коэффициенты за пределами некоторой полосы, ограниченной линиями, параллельными главной диагонали, равны нулю. Схематически это проиллюстрировано на рис. 2, где ширина полосы ленточной матрицы показана штриховыми линиями. Через С обозначены ненулевые члены. Вообще говоря, нулевые коэффициенты могут встречаться и внутри полосы.

Рис. 2. Общий вид системы уравнений, получаемой при использовании метода конечных элементов.

Два свойства результирующей системы уравнений делают ее идеальной: симметрия и положительная определенность матрицы. Наличие симметрии означает, что приблизительно половину ненулевых членов матрицы можно не запоминать. Положительная определенность означает, что коэффициент, стоящий на главной диагонали, всегда положителен и обычно много больше по величине, чем любой другой коэффициент соответствующей строки или столбца.

В случае симметричной положительно определенной матрицы ленточного типа значительно сокращается объем вычислений, необходимых для получения решения системы уравнений. К тому же уменьшается вероятность больших ошибок округления.

Существование симметрии в матрице ленточного типа позволяет значительно сократить объем памяти, требуемой для хранения глобальной матрицы. Обычно при программировании предусматривается превращение матрицы, изображенной на рис. .2, в прямоугольный массив, ширина которого совпадает с шириной полосы матрицы, а длина равна числу уравнений. Чтобы проиллюстрировать преимущество такого представления матрицы, допустим, что мы решаем задачу, которая включает 200 узловых неизвестных. Обычно при этом получается глобальная матрица жесткости, для хранения которой требуется 200X200, т. е. 40000 единиц машинной памяти. Однако, если эта ленточная матрица имеет ширину полосы, равную 40, и хранится в виде прямоугольного массива, требуется уже только 8000 единиц машинной памяти для запоминания 40 столбцов по 200 элементов в каждом. Таким образом, загрузка машинной памяти сокращается на 20% по -сравнению с загрузкой, требуемой при хранении квадратной матрицы.

Решение системы уравнений может быть проведено с помощью алгоритмов, которые обсуждаются во многих книгах, посвященных численному анализу. Следует подчеркнуть, что обращение матрицы— очень неэффективная процедура решения системы уравнений. Эта неэффективность может быть объяснена двумя причинами. Обращение матрицы эквивалентно решению системы Аг уравнений с Л' неизвестными. Бели при этом рассматривается ограниченное число столбцов правых частей (глобальный вектор нагрузки), то вычисление обратной матрицы мало оправдано. Кроме того, в результате обращения ленточной матрицы получается матрица неленточного типа. Процедура обращения матрицы неэффективна также еще и с точки зрения экономии машинной памяти.

Преобразование системы уравнений

Результирующая система уравнений имеет вид

     (8)

она получается суммированием уравнений для всех элементов. Эта система должна быть преобразована, если некоторые составляющие {Ф} известны, что является скорее правилом, чем исключением. В большинстве задач теории поля некоторые граничные значения искомой величины заданы; во всех задачах теории упругости должны быть фиксированы некоторые перемещения с тем, чтобы исключить перемещение среды как жесткого тела. Б задачах механики деформируемых сред матрица жесткости [К] будет сингулярной до тех пор, пока не заданы некоторые перемещения.

Цель этого раздела — обсуждение и иллюстрация процедуры преобразования [К] и {F} таким образом, чтобы получить правильный ответ, не изменяя размеры [К] и {F), ибо это повлечет за собой трудности при программировании.

Если фиксирована одна степень свободы узлового параметра {Ф}, то преобразование системы уравнений представляет собой двухшаговую процедуру. Пусть, например, известно значение Ф6; преобразование сводится тогда к следующему:

1. Все коэффициенты пятой строки, за исключением диагональных, приравниваются нулю. Диагональный член остается неизменным. В форме равенства это выглядит как Кj=0 п j=1,...,n и j=N=5. Соответствующая компонента F& Beктора (f) заменяется на произведение

2. Все остальные уравнения преобразуются вычитанием произведения

из Fj и подстановкой   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53120. Розв’язування прикладних задач по темі «Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл» 7.5 MB
  Які властивості має паралелепіпед Які види паралелепіпедів ви знаєте Які властивості має прямокутний паралелепіпед Чому дорівнює площа бічної поверхні площа повної поверхні та обєм призми Знайти площу повної поверхні та обєми фігур. Що називається віссю та апофемою правильної піраміди Чому дорівнює площа бічної поверхні площа повної поверхні та обєм піраміди Знайти площу повної поверхні та обєми фігури. Чому дорівнює площа бічної площа повної поверхні та обєм циліндра Знайдіть площу повної поверхні та обєм...
53121. Чотирикутники 174 KB
  Чотирикутник у якого протилежні сторони паралельні Паралелограм 4. Паралелограм у якого всі сторони рівні Ромб 6. Паралелограм у якого всі кути прямі Прямокутник . Інших чотирикутників не знали пізніше їх класифікували на паралелограми ромби прямокутники.
53122. Трапеція та її властивості. Геометрія (8 клас) 365.5 KB
  Мета: Сформувати в учнів поняття трапеції її елементів розглянути означення рівнобічної та прямокутної трапеції зміст властивостей кутів трапеції прилеглих до бічної сторони та кутів та діагоналей рівнобічної трапеції. Формувати вміння: відтворювати вивчені твердження; за готовими рисунками знаходити елементи трапеції; розвязувати найпростіші задачі на обчислення. План вивчення нового матеріалу Означення трапеції її елементи Властивості кутів трапеції прилеглих до бічних сторін; висот...
53123. Розв’язування трикутників 214.5 KB
  Мета: формувати вміння і навички розвязування трикутника за трьома його основними елементами; повторити теореми синусів косинусів та наслідки з них; повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників; розвивати пошукову пізнавальну активність учнів логічне мислення уяву звязне мовлення; виховувати самостійність наполегливість впевненість у собі інтерес до предмету. Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів теорема синусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі...
53125. Збірник завдань для тематичної атестації з геометрії для класів з поглибленим вивченням математики. Геометрія 8 клас 1.3 MB
  Збірник є дидактичним матеріалом з геометрії для 8 класу з поглибленим вивченням математики. Він містить 8 контрольних робіт в двох варіантах, за структурою наближених до атестаційної роботи в 9 класі.
53126. ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ НА УРОКАХ ГЕОГРАФИИ 173 KB
  Карточки-задания при изучении темы Экономические районы Украины 9 класс Карточка №1 1. Карточка №2 1. Самый высокий уровень социально-экономического развития у района: а Северо-Восточного; б Приднепровского; в Донецкого Карточка №3 1 Проведите примерную границу между областями. Каковы...
53127. Einkufe und Ernährung. Wiederholung 29.5 KB
  Wir haben schon viel an diesem Thema gearbeitet und heute veranstalten wir an der Stunde einen Wettbewerb. Ich teile die Klasse in zwei Mannschaften und ihr erfüllt im Laufe der Stunde verschiedene Aufgaben. F?r jede richtige Aufgabe bekommt ihr einen Punkt. Welche Mannschaft hat mehr Punkten (B?lle), ist der Sieger.
53128. Збірник граматичних вправ з німецької мови для 6 класу 440.5 KB
  Sie waren jung und hatten Spaß! Präsens Heute bin ich alt und habe graue Haare. Perfekt Ich bin auch mal jung gewesen und habe keine grauen Haare gehabt. Präteritum Ich war auch mal jung und hatte keine grauen Haare.