10605

Метод конечных элементов. Прямое построение глобальной матрицы жесткости

Лекция

Математика и математический анализ

Метод конечных элементов Прямое построение глобальной матрицы жесткости Метод построения глобальной матрицы жесткости весьма неэффективен при использовании цифровой вычислительной машины. Эта неэффективность объясняется тем что матрица жесткости отдельного эл...

Русский

2013-03-29

124.5 KB

59 чел.

Метод конечных элементов

Прямое построение глобальной матрицы жесткости

Метод построения глобальной матрицы жесткости весьма неэффективен при использовании цифровой вычислительной машины. Эта неэффективность объясняется тем, что матрица жесткости отдельного элемента [Ке] имеет такое же число строк и столбцов, что и глобальная матрица жесткости [К]. Большинство коэффициентов в матрице элемента равно нулю. Предположим, что область разбита на 50 элементов с 75 узловыми точками и нужно построить матрицу элемента [Ке]. Матрица элемента должна содержать 75 строк и столбцов с общим числом коэффициентов 752=5625. Из этих коэффициентов 5616 должны равняться нулю, так как для рассмотренной задачи о кручении матрица элемента содержит только девять ненулевых коэффициентов.

Дополнительные неудобства связаны с тем, что глобальная матрица жесткости [К] получается суммированием матриц жесткости   элементов    [Ke], [К] =2 [№>']. Матрица каждого элемента  должна быть вычислена отдельно от [К] и затем прибавлена к последней, а это требует запоминания обеих матриц. Необходимость помнить две большие матрицы приводит к перегрузке запоминающего устройства, когда решаемая задача имеет большое число неизвестных.

В эффективных программах процедура построения глобальной матрицы жесткости использует сокращенную форму матриц элементов при получении уравнений для элемента. Такой метод известен как метод «прямой жесткости». Применение этого метода исключает необходимость хранения больших матриц элементов, содержащих всего несколько отличных от нуля коэффициентов.

При использовании этого метода сначала рассматривается [Ке] для конкретного элемента. Все глобальные степени свободы Ф (или и в случае векторных величин), которые не относятся к этому элементу, исключаются из рассмотрения. Функции формы записываются в соответствии с порядком следования индексов i, j, k, начиная с узла I, в направлении против часовой стрелки. Рассмотрим, например, элемент (3) на рис. 3.

Этому элементу соответствуют узлы 2, 5 и 4 и глобальные степени свободы Ф2, Ф5   и Ф4. После упорядочивания функций формы в направлении против часовой стрелки, .начиная от узла I, последнее . соотношение в сокращенном виде записывается как

     (1)

Матрица градиентов имеет вид

    (2)

Значения коэффициентов cj и bj могут быть вычислены, если заданы координаты узлов элемента. После подстановки этих значений в [ВРЦ соотношение (2) примет вид

     (3)

Подставляя [ВМ] в сокращенной форме в равенство (6.8) и выполняя умножение и интегрирование, получаем

      (4)

Таким образом, в результате мы имеем матрицу размером 3X3 вместо матрицы размером 6x6, данной в (6.19в). Матрица элемента имеет размер 3X3, потому что этому элементу соответствуют три глобальные степени свободы.

Применив подобную процедуру к интегралу

получим

      (5)

С помощью формул (4) и (5) уравнения для данного элемента можно записать следующим образом:

          (6)

Чтобы полученная матрица соответствовала точной матрице жесткости третьего элемента, ее нужно переформировать и расширить. Алгоритм переформирования и расширения матрицы несложен.

Строкам и столбцам сокращенной матрицы элемента приписываются номера глобальных степеней свободы. Порядок расположения степеней свободы соответствует обходу элемента против часовой стрелки, начиная от j-го узла.

Матрицы элементов в задаче о кручении имеют только одну степень свободы (искомую величину) в каждом узле, поэтому функции формы в (1) упорядочены так же, как и глобальные степени свободы. Используя указанную нумерацию для строк и столбцов матрицы (4), запишем

Приписывание столбцам и строкам матрицы элемента номеров глобальных степеней свободы позволяет определить, какое место займут коэффициенты матрицы элемента в глобальной матрице жесткости. Например, коэффициент Кi, заключенный в квадрат матрицы (7), находится иа пересечении второй строки и четвертого столбца глобальной матрицы жесткости. Коэффициент К. заключенный в треугольник, находится на пересечении четвертой строки и пятого столбца. Расположение всех коэффициентов матрицы элемента  в глобальной матрице жесткости    показано    на рис.  1.

Рис. .1. Незаполненные прямоугольники соответствуют нулевым элементам.

Метод прямой жесткости построения глобальной матрицы жесткости является очень важным алгоритмом реализации метода конечных элементов на ЭВМ, потому что он значительно сокращает загрузку запоминающего устройства. В частности, он исключает необходимость запоминания больших матриц элементов, которые содержат всего несколько ненулевых коэффициентов. Число строк и число столбцов сокращенной матрицы жесткости элемента равны числу степеней свободы элемента.

Система линейных уравнений

При использовании метода конечных элементов получается система линейных уравнений, которая должна быть решена относительно неизвестных узловых параметров. Решение этих уравнений является очень важным аспектом задачи в целом, потому что си стема уравнений обычно очень большая. Методы решения систем с малым или большим числом уравнений мало отличаются друг от друга. Реализация этих методов, однако, зависит от технических возможностей ЭВМ.

Во второй главе, где рассматривался процесс дискретизации сплошной среды, было отмечено, что путем надлежащей нумерации узлов можно контролировать расположение коэффициентов в глобальной матрице жесткости. Напомним, что при разумной нумерации узлов получается матрица ленточного типа вместо полной матрицы. Ленточная матрица характеризуется тем, что все ее ненулевые коэффициенты располагаются вблизи главной диагонали, а все коэффициенты за пределами некоторой полосы, ограниченной линиями, параллельными главной диагонали, равны нулю. Схематически это проиллюстрировано на рис. 2, где ширина полосы ленточной матрицы показана штриховыми линиями. Через С обозначены ненулевые члены. Вообще говоря, нулевые коэффициенты могут встречаться и внутри полосы.

Рис. 2. Общий вид системы уравнений, получаемой при использовании метода конечных элементов.

Два свойства результирующей системы уравнений делают ее идеальной: симметрия и положительная определенность матрицы. Наличие симметрии означает, что приблизительно половину ненулевых членов матрицы можно не запоминать. Положительная определенность означает, что коэффициент, стоящий на главной диагонали, всегда положителен и обычно много больше по величине, чем любой другой коэффициент соответствующей строки или столбца.

В случае симметричной положительно определенной матрицы ленточного типа значительно сокращается объем вычислений, необходимых для получения решения системы уравнений. К тому же уменьшается вероятность больших ошибок округления.

Существование симметрии в матрице ленточного типа позволяет значительно сократить объем памяти, требуемой для хранения глобальной матрицы. Обычно при программировании предусматривается превращение матрицы, изображенной на рис. .2, в прямоугольный массив, ширина которого совпадает с шириной полосы матрицы, а длина равна числу уравнений. Чтобы проиллюстрировать преимущество такого представления матрицы, допустим, что мы решаем задачу, которая включает 200 узловых неизвестных. Обычно при этом получается глобальная матрица жесткости, для хранения которой требуется 200X200, т. е. 40000 единиц машинной памяти. Однако, если эта ленточная матрица имеет ширину полосы, равную 40, и хранится в виде прямоугольного массива, требуется уже только 8000 единиц машинной памяти для запоминания 40 столбцов по 200 элементов в каждом. Таким образом, загрузка машинной памяти сокращается на 20% по -сравнению с загрузкой, требуемой при хранении квадратной матрицы.

Решение системы уравнений может быть проведено с помощью алгоритмов, которые обсуждаются во многих книгах, посвященных численному анализу. Следует подчеркнуть, что обращение матрицы— очень неэффективная процедура решения системы уравнений. Эта неэффективность может быть объяснена двумя причинами. Обращение матрицы эквивалентно решению системы Аг уравнений с Л' неизвестными. Бели при этом рассматривается ограниченное число столбцов правых частей (глобальный вектор нагрузки), то вычисление обратной матрицы мало оправдано. Кроме того, в результате обращения ленточной матрицы получается матрица неленточного типа. Процедура обращения матрицы неэффективна также еще и с точки зрения экономии машинной памяти.

Преобразование системы уравнений

Результирующая система уравнений имеет вид

     (8)

она получается суммированием уравнений для всех элементов. Эта система должна быть преобразована, если некоторые составляющие {Ф} известны, что является скорее правилом, чем исключением. В большинстве задач теории поля некоторые граничные значения искомой величины заданы; во всех задачах теории упругости должны быть фиксированы некоторые перемещения с тем, чтобы исключить перемещение среды как жесткого тела. Б задачах механики деформируемых сред матрица жесткости [К] будет сингулярной до тех пор, пока не заданы некоторые перемещения.

Цель этого раздела — обсуждение и иллюстрация процедуры преобразования [К] и {F} таким образом, чтобы получить правильный ответ, не изменяя размеры [К] и {F), ибо это повлечет за собой трудности при программировании.

Если фиксирована одна степень свободы узлового параметра {Ф}, то преобразование системы уравнений представляет собой двухшаговую процедуру. Пусть, например, известно значение Ф6; преобразование сводится тогда к следующему:

1. Все коэффициенты пятой строки, за исключением диагональных, приравниваются нулю. Диагональный член остается неизменным. В форме равенства это выглядит как Кj=0 п j=1,...,n и j=N=5. Соответствующая компонента F& Beктора (f) заменяется на произведение

2. Все остальные уравнения преобразуются вычитанием произведения

из Fj и подстановкой   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42356. Освоение методики работы с инструментальным пакетом fuzzy для проектирования регуляторов 84 KB
  В результате применения Fuzzy-регулятора в системе, получены графики переходных процессов, которые свидетельствуют об удовлетворительном качестве регулирования (малое перерегулирование, соблюдение ограничений системы).
42357. Опрацювання результатів вимірювання при виконанні лабораторних робіт фізичного практикума з використанням математичної системи MCAD 1.22 MB
  Метою математичної обробки результатів прямих вимірювань є обчислення найбільш достовірного значення вімірюваної величини та оцінка її точності. Така обробка основана на методах теорії ймовірності та математичної статистики яка передбачає випадковий характер зміни величини що аналізується. Основними характеристиками випадкової величини є математичне сподівання середнє значення випадкової величини усереднення якої здійснюється для великої кількості вимірювань та дисперсія кількісна міра флуктуацій випадкових величин що...
42358. ЭЛЕКТРОННЫЕ И КВАНТОВЫЕ ПРИБОРЫ СВЧ 190 KB
  Управление и контроль за ходом выполнения работы осуществляется с помощью выводимых на экран дисплея базового меню и меню отдельных этапов работы. Организация начального этапа выполнения работы Исполнимый модуль запускается средствами предусмотренными данной операционной системой после чего на экране дисплея появляется базовое меню. Выполнение работы начинается с набора и ввода номера соответствующего пункта базового меню которым на начальном этапе является номер 2 номер 1 используется для завершения работы в целом или ее...
42359. Technologies of the aircraft systems refilling by the special gases 2.54 MB
  Brief theoreticl dt The onbord ircrft systems re refilled by the following specil gses: medicl oxygen for brething of crew nd pssengers in the cse of cockpit depressuriztion; nitrogen is refilled in chmbers of shock bsorbers of lnding ger gseous chmbers of hydrulic ccumultor tnks superchrging system for the hydrulic system nd fuel system; compressed ir for refilling in chmbers of shock bsorbers of lnding ger nd wheels tires. Refilling of the onbord ircrft systems by medicl oxygen is the most difficult nd dngerous technologicl...
42360. Technologies of the aircraft systems refilling by the special liquids 4.27 MB
  Technologies of the ircrft systems refilling by the specil liquids The purpose of work is to study the technologicl equipment nd fetures of its ppliction technology for refilling of the ircrft onbord systems by the specil liquids Brief theoreticl dt 1. Servicer by the specil liquids ZSG66 is intended for refilling of the ircrft onbord systems by synthetic nd minerl oils oil mixtures strting fuel gsoline hydrulic mixtures. Servicer by the specil liquids cn crry out the following procedures: refilling of own tnks by the own pump; ...
42361. Air start up of aviation engines 487.5 KB
  ir strt up of vition engines The purpose of work is fmiliriztion with equipment intended for ir wy jet engines strt up. Brief theoreticl dt To perform n ir gs turbine engine strt up without uxiliry power unit PU running specil selfpropelled or towed ir Strt Units SU re pplied. They deliver compressed continuous ir strem to the ircrft onbord strter inlet for driving the ir strting turbine wheel locted on ech jet engine tht rottes the high pressure engine stge shft ccomplishing the gs turbine engine strt up procedure. Intention generl...
42362. Electric power start up of aviation engines 689 KB
  Electric power strt up of vition engines The purpose of work is fmiliriztion with the equipment intended for ircrft onbord power circuit supply for engine strt up nd power delivery of onbord consumers. Brief theoreticl dt To supply the prticulr electric power proper to the ircrft onbord power circuit when the min engines nd uxiliry power unit re not running specil selfpropelled or towed Ground Power Units re pplied for tht purposes. It lso llows performing n electricl power strt up of min ircrft jet engines by spinning the high...
42363. Technologies of towbar towing of aircraft 2.32 MB
  Technologies of towbr towing of ircrft The purpose of work is fmiliriztion with the bsic technologicl fetures of ircrft towing nd pushbck procedure sfety of towing procedure lbour precution issues. Filure to do so cn result in dmge to the ircrft cncelltion of flight delys or disruption of trvel for our customers pssengers s well s potentil dngerous dmge to other ircrft or vehicles. Fmiliriztion with the equipment nd towbrs being used including prctice with the pushbck vehicle nd ttched towbr to chieve necessry control to follow...