10605

Метод конечных элементов. Прямое построение глобальной матрицы жесткости

Лекция

Математика и математический анализ

Метод конечных элементов Прямое построение глобальной матрицы жесткости Метод построения глобальной матрицы жесткости весьма неэффективен при использовании цифровой вычислительной машины. Эта неэффективность объясняется тем что матрица жесткости отдельного эл...

Русский

2013-03-29

124.5 KB

59 чел.

Метод конечных элементов

Прямое построение глобальной матрицы жесткости

Метод построения глобальной матрицы жесткости весьма неэффективен при использовании цифровой вычислительной машины. Эта неэффективность объясняется тем, что матрица жесткости отдельного элемента [Ке] имеет такое же число строк и столбцов, что и глобальная матрица жесткости [К]. Большинство коэффициентов в матрице элемента равно нулю. Предположим, что область разбита на 50 элементов с 75 узловыми точками и нужно построить матрицу элемента [Ке]. Матрица элемента должна содержать 75 строк и столбцов с общим числом коэффициентов 752=5625. Из этих коэффициентов 5616 должны равняться нулю, так как для рассмотренной задачи о кручении матрица элемента содержит только девять ненулевых коэффициентов.

Дополнительные неудобства связаны с тем, что глобальная матрица жесткости [К] получается суммированием матриц жесткости   элементов    [Ke], [К] =2 [№>']. Матрица каждого элемента  должна быть вычислена отдельно от [К] и затем прибавлена к последней, а это требует запоминания обеих матриц. Необходимость помнить две большие матрицы приводит к перегрузке запоминающего устройства, когда решаемая задача имеет большое число неизвестных.

В эффективных программах процедура построения глобальной матрицы жесткости использует сокращенную форму матриц элементов при получении уравнений для элемента. Такой метод известен как метод «прямой жесткости». Применение этого метода исключает необходимость хранения больших матриц элементов, содержащих всего несколько отличных от нуля коэффициентов.

При использовании этого метода сначала рассматривается [Ке] для конкретного элемента. Все глобальные степени свободы Ф (или и в случае векторных величин), которые не относятся к этому элементу, исключаются из рассмотрения. Функции формы записываются в соответствии с порядком следования индексов i, j, k, начиная с узла I, в направлении против часовой стрелки. Рассмотрим, например, элемент (3) на рис. 3.

Этому элементу соответствуют узлы 2, 5 и 4 и глобальные степени свободы Ф2, Ф5   и Ф4. После упорядочивания функций формы в направлении против часовой стрелки, .начиная от узла I, последнее . соотношение в сокращенном виде записывается как

     (1)

Матрица градиентов имеет вид

    (2)

Значения коэффициентов cj и bj могут быть вычислены, если заданы координаты узлов элемента. После подстановки этих значений в [ВРЦ соотношение (2) примет вид

     (3)

Подставляя [ВМ] в сокращенной форме в равенство (6.8) и выполняя умножение и интегрирование, получаем

      (4)

Таким образом, в результате мы имеем матрицу размером 3X3 вместо матрицы размером 6x6, данной в (6.19в). Матрица элемента имеет размер 3X3, потому что этому элементу соответствуют три глобальные степени свободы.

Применив подобную процедуру к интегралу

получим

      (5)

С помощью формул (4) и (5) уравнения для данного элемента можно записать следующим образом:

          (6)

Чтобы полученная матрица соответствовала точной матрице жесткости третьего элемента, ее нужно переформировать и расширить. Алгоритм переформирования и расширения матрицы несложен.

Строкам и столбцам сокращенной матрицы элемента приписываются номера глобальных степеней свободы. Порядок расположения степеней свободы соответствует обходу элемента против часовой стрелки, начиная от j-го узла.

Матрицы элементов в задаче о кручении имеют только одну степень свободы (искомую величину) в каждом узле, поэтому функции формы в (1) упорядочены так же, как и глобальные степени свободы. Используя указанную нумерацию для строк и столбцов матрицы (4), запишем

Приписывание столбцам и строкам матрицы элемента номеров глобальных степеней свободы позволяет определить, какое место займут коэффициенты матрицы элемента в глобальной матрице жесткости. Например, коэффициент Кi, заключенный в квадрат матрицы (7), находится иа пересечении второй строки и четвертого столбца глобальной матрицы жесткости. Коэффициент К. заключенный в треугольник, находится на пересечении четвертой строки и пятого столбца. Расположение всех коэффициентов матрицы элемента  в глобальной матрице жесткости    показано    на рис.  1.

Рис. .1. Незаполненные прямоугольники соответствуют нулевым элементам.

Метод прямой жесткости построения глобальной матрицы жесткости является очень важным алгоритмом реализации метода конечных элементов на ЭВМ, потому что он значительно сокращает загрузку запоминающего устройства. В частности, он исключает необходимость запоминания больших матриц элементов, которые содержат всего несколько ненулевых коэффициентов. Число строк и число столбцов сокращенной матрицы жесткости элемента равны числу степеней свободы элемента.

Система линейных уравнений

При использовании метода конечных элементов получается система линейных уравнений, которая должна быть решена относительно неизвестных узловых параметров. Решение этих уравнений является очень важным аспектом задачи в целом, потому что си стема уравнений обычно очень большая. Методы решения систем с малым или большим числом уравнений мало отличаются друг от друга. Реализация этих методов, однако, зависит от технических возможностей ЭВМ.

Во второй главе, где рассматривался процесс дискретизации сплошной среды, было отмечено, что путем надлежащей нумерации узлов можно контролировать расположение коэффициентов в глобальной матрице жесткости. Напомним, что при разумной нумерации узлов получается матрица ленточного типа вместо полной матрицы. Ленточная матрица характеризуется тем, что все ее ненулевые коэффициенты располагаются вблизи главной диагонали, а все коэффициенты за пределами некоторой полосы, ограниченной линиями, параллельными главной диагонали, равны нулю. Схематически это проиллюстрировано на рис. 2, где ширина полосы ленточной матрицы показана штриховыми линиями. Через С обозначены ненулевые члены. Вообще говоря, нулевые коэффициенты могут встречаться и внутри полосы.

Рис. 2. Общий вид системы уравнений, получаемой при использовании метода конечных элементов.

Два свойства результирующей системы уравнений делают ее идеальной: симметрия и положительная определенность матрицы. Наличие симметрии означает, что приблизительно половину ненулевых членов матрицы можно не запоминать. Положительная определенность означает, что коэффициент, стоящий на главной диагонали, всегда положителен и обычно много больше по величине, чем любой другой коэффициент соответствующей строки или столбца.

В случае симметричной положительно определенной матрицы ленточного типа значительно сокращается объем вычислений, необходимых для получения решения системы уравнений. К тому же уменьшается вероятность больших ошибок округления.

Существование симметрии в матрице ленточного типа позволяет значительно сократить объем памяти, требуемой для хранения глобальной матрицы. Обычно при программировании предусматривается превращение матрицы, изображенной на рис. .2, в прямоугольный массив, ширина которого совпадает с шириной полосы матрицы, а длина равна числу уравнений. Чтобы проиллюстрировать преимущество такого представления матрицы, допустим, что мы решаем задачу, которая включает 200 узловых неизвестных. Обычно при этом получается глобальная матрица жесткости, для хранения которой требуется 200X200, т. е. 40000 единиц машинной памяти. Однако, если эта ленточная матрица имеет ширину полосы, равную 40, и хранится в виде прямоугольного массива, требуется уже только 8000 единиц машинной памяти для запоминания 40 столбцов по 200 элементов в каждом. Таким образом, загрузка машинной памяти сокращается на 20% по -сравнению с загрузкой, требуемой при хранении квадратной матрицы.

Решение системы уравнений может быть проведено с помощью алгоритмов, которые обсуждаются во многих книгах, посвященных численному анализу. Следует подчеркнуть, что обращение матрицы— очень неэффективная процедура решения системы уравнений. Эта неэффективность может быть объяснена двумя причинами. Обращение матрицы эквивалентно решению системы Аг уравнений с Л' неизвестными. Бели при этом рассматривается ограниченное число столбцов правых частей (глобальный вектор нагрузки), то вычисление обратной матрицы мало оправдано. Кроме того, в результате обращения ленточной матрицы получается матрица неленточного типа. Процедура обращения матрицы неэффективна также еще и с точки зрения экономии машинной памяти.

Преобразование системы уравнений

Результирующая система уравнений имеет вид

     (8)

она получается суммированием уравнений для всех элементов. Эта система должна быть преобразована, если некоторые составляющие {Ф} известны, что является скорее правилом, чем исключением. В большинстве задач теории поля некоторые граничные значения искомой величины заданы; во всех задачах теории упругости должны быть фиксированы некоторые перемещения с тем, чтобы исключить перемещение среды как жесткого тела. Б задачах механики деформируемых сред матрица жесткости [К] будет сингулярной до тех пор, пока не заданы некоторые перемещения.

Цель этого раздела — обсуждение и иллюстрация процедуры преобразования [К] и {F} таким образом, чтобы получить правильный ответ, не изменяя размеры [К] и {F), ибо это повлечет за собой трудности при программировании.

Если фиксирована одна степень свободы узлового параметра {Ф}, то преобразование системы уравнений представляет собой двухшаговую процедуру. Пусть, например, известно значение Ф6; преобразование сводится тогда к следующему:

1. Все коэффициенты пятой строки, за исключением диагональных, приравниваются нулю. Диагональный член остается неизменным. В форме равенства это выглядит как Кj=0 п j=1,...,n и j=N=5. Соответствующая компонента F& Beктора (f) заменяется на произведение

2. Все остальные уравнения преобразуются вычитанием произведения

из Fj и подстановкой   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26298. Организация архивного дела в РФ в 2000-е годы 17.95 KB
  На Росохранкультуру и ее территориальную сеть возложены: государственный контроль за вывозом из Российской Федерации и ввозом на ее территорию культурных ценностей и обеспечение экспертизы культурных ценностей соблюдение законодательства Российской Федерации в сфере архивного дела выдача лицензий разрешений на право деятельности по реставрации объектов культурного наследия памятников истории и культуры; оказание содействия законным собственникам в восстановлении их прав на культурные ценности при их незаконных вывозе и ввозе а также...
26299. Взаимоотношения органов управления архивным делом и госархивов с архивами организаций 46.5 KB
  Архив организации – это структурное подразделение организации осуществляющее прием и хранение архивных документов учет и их использование. Все это отразилось на состоянии организации ведомственного хранения документов. Перед архивистами стояли задачи: разработки и обоснования критериев определения источников комплектования уточнение профильности установление состава документов архивов. Новый критерий источников комплектования – форма собственности с государственными: на основе законодательства об архивном деле на основе...
26300. Использование документов АФ РФ и других архивных документов в архиве 30.29 KB
  Использование документов АФ РФ и других архивных документов в архиве. В современном архивоведении важнейшими направлениями использования архивных документов являются: укрепление российской государственности удовлетворение информационных потребностей общества обеспечения законных прав и интересов граждан. В процессе использования архивных документов участвуют 2 стороны – архив хранящий информацию и пользователь которому нужна информация. Использование документов в управленческих целях предполагает информационное обеспечение работы данного...
26301. Архивное законодательство в 1990-е 50.5 KB
  правовые основы архивного дела – иерархическая классификация архивного законодательства: федеральное законодательство: Конституция РФ ФЗ об архивном деле н р ФЗ Об обязательном экземпляре документов 1994г. норма архивного права воздействует на все сферы общественных отношений возникающих в области архивного дела: организация и фондирование документов АФ РФ комплектование и экспертиза ценности н р приказ Росархива Об утверждении примерного положения о центральноэкспертных комиссиях министерств и ведомств РФ...
26302. Внешняя политика индепендентской республики. Ирландская и шотландская экспедиции Кромвеля 25.49 KB
  Бежавшие в Ирландию роялисты установили контроль над большей частью Ирландии которую они надеялись использовать как базу для вторжения в Англию. Армия прекрасно помнила опыт 1641 года когда в ответ на восстание ирландцев парламент издал указ о конфискации в Ирландии 2. Офицеры армии надеялись что и теперь завоевание Ирландии приведет к улучшению их благосостояния. Завоевание Ирландии Сразу же после высадки в Дублине войска республики начали систематическое завоевание страны.
26303. Протекторат Кромвеля и причины Реставрации 22.61 KB
  Эту конституцию одобрил Государственный Совет 16 декабря 1653 года; новый документ осуществил разделение власти между лордомпротектором Англии Шотландии и Ирландии Государственным Советом и парламентом; впервые в него вошли представители Ирландии на самом деле это были представители англичанпротестантов которые в то время проживали в Ирландии и Шотландии. Несмотря на заключение мира в Англии сохранялись обременительные налоговые обложения военного времени акцизы. Недовольство в Англии росло быстрыми темпами и кавалеры в своих...
26304. Англия в годы Реставрации Стюартов. «Славная революция» 1688 г. 31.58 KB
  Восстановление королевской власти в Англии произошло не вследствие того что феодалыкавалеры оказались сильнее буржуазии и сумели оружием навязать свою власть. объясняется усилением консервативных настроений в рядах самой английской буржуазии а также в среде английского нового дворянства удовлетворенного превращением своей феодальной земельной собственности в неограниченную буржуазную собственность и расширением своего землевладения в Англии и особенно в Ирландии. В Англии была полностью восстановлена государственная англиканская церковь в...
26305. Хронологические границы новой истории. Периодизация курса. Ключевые проблемы курса 15.12 KB
  Хронологические границы новой истории. Хронологические границы новой истории: НОВАЯ ИСТОРИЯ общепринятая в исторической науке название третьего периода всемирной истории которому предшествуют древний и средневековый. Это деление всемирной истории на древнюю средневековую и новую уже с XVII в. были приняты советской исторической наукой которая положила в основу периодизации всемирной истории марксистский тезис об изменениях общественноэкономической формации и революционного перехода от одной формации к другой.
26306. Политическая карта Европы в начале нового времени 32.49 KB
  Политическая карта Европы в начале нового времени. политическая карта Европы сложилась в следующем виде. Всю среднюю полосу Европы занимали территориально сильно раздробленные Священная Римская империя и Италия между которыми располагался Швейцарский Союз. На Севере Европы политическую карту определяли Дания с Норвегией и Исландией и Швеция с Финляндией.