10614

Аналоговые (непрерывные) и дискретные регуляторы. Дискретная модель ПИД-регулятора

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Аналоговые непрерывные и дискретные регуляторы. Дискретная модель ПИДрегулятора. Позиционный алгоритм. Определение частоты выборки в системах управления. Предотвращение интегрального насыщения. Регуляторы можно строить на основе как аналоговой так и цифровой те...

Русский

2013-03-29

225.4 KB

141 чел.

Аналоговые (непрерывные) и дискретные регуляторы. Дискретная модель ПИД-регулятора. Позиционный алгоритм. Определение частоты выборки в системах управления. Предотвращение интегрального насыщения.

Регуляторы можно строить на основе как аналоговой, так и цифровой техники. Соответственно, для анализа и проектирования аналогового и цифрового регулятора требуются разные математические методы. Хотя цифровая технология позволяет хорошо моделировать работу аналоговой системы управления, т. е. реализовать аналоговые понятия цифровыми средствами, ее возможности гораздо шире. Например, можно построить нелинейные и самонастраивающиеся регуляторы, которые нельзя создать на основе только аналоговых средств. Главная проблема цифрового управления — найти соответствующую структуру регулятора и его параметры. После определения этих параметров реализация алгоритмов управления обычно представляет собой простую задачу. Помимо этого, каждый регулятор должен включать средства защиты, предотвращающие опасное развитие процесса под действием регулятора в нештатных ситуациях.

Многие производственные процессы характеризуются несколькими входными и выходными параметрами. В большинстве случаев внутренние связи и взаимодействие соответствующих сигналов не имеют принципиального значения, и процессом можно управлять с помощью набора простых регуляторов, при этом каждый контур управления обрабатывает одну пару вход/выход. Такой подход используется в системах прямого цифрового управления.

Аналоговые регуляторы

Передаточная функция G(s) линейной динамической системы была определена в разделе 3.3.4. Такое описание системы удобно для проектирования некоторых типов регуляторов, например ПИД-регулятора, если процесс имеет только один вход и один выход и, соответственно, описывается одной простой передаточной функцией. Ниже мы будем рассматривать только такие системы. В других случаях систему удобнее описывать в пространстве состояний (раздел 3.3.2) и строить регулятор на основе этой модели. Эта процедура обсуждается в разделе 6.10.

И физический процесс, и регулятор представляют собой динамические системы, которые можно описать дифференциальными уравнениями или передаточными функциями. Математически сам процесс и его регулятор описываются одинаково. Однако, с практической точки зрения, между ними есть существенная разница. Передаточная функция G(s) физического процесса или его уравнения состояния считаются неизменными, т. е. коэффициенты уравнений (3.1) и (3.3) не могут изменяться, так как они определяются физической природой процесса. С другой стороны, передаточная функция или уравнения состояния для регулятора включают коэффициенты, которые можно выбрать в известной степени, произвольно. Важной задачей проектирования регулятора является именно определение этих параметров.

Необходимо также иметь в виду, что в общем случае определение передаточной функции G(s) технического процесса представляет собой сложную задачу. К счастью, многие стратегии управления можно применять и без детальной и точной модели процесса.

Простые регуляторы

Аналоговый регулятор можно описать передаточной функцией того же типа, что и сам физический процесс. В простейшем случае входной сигнал регулятора — это ошибка выходной величины физического процесса. Для работы с передаточными функциями используется преобразование Лапласа.

Передаточная функция регулятора GREG(s) определяется как отношение выходной величины регулятора U(s) и входной ошибки E(s)

Это простейший случай управления с обратной связью. В общем случае регулятор имеет две входные величины — измеренное (текущее) значение У(т. е. выходной сигнал технического процесса) и опорное значение Uc, а также одну выходную величину — управляющий сигнал U. Однако простейший регулятор использует лишь разность между двумя входными величинами.

С математической точки зрения передаточная функция GREG(s) рассматривается точно так же, как любая передаточная функция процесса G(s). Как уже упоминалось, их принципиальное различие в том, что коэффициенты передаточной функции регулятора GREG{s) можно изменять (настраивать). Проектировщик системы управления должен подобрать эти параметры так, чтобы замкнутая система — физический процесс и регулятор — работала в соответствии с установленными требованиями. Замкнутая система, изображенная на рис. 6.2, имеет передаточную функцию

Очевидно, что чем больше параметров содержит GREG(s), тем больше степеней свободы имеет регулятор. Настраивая эти параметры, поведение передаточной функции замкнутой системы можно при желании изменять в достаточно широких пределах. В дальнейшем обсуждается уровень сложности регулятора, необходимый для достижения заданных характеристик.

Упреждающее управление по опорному значению

Простейшая система управления реагирует только на ошибку e(t) и не использует по отдельности два входных сигнала — опорное значение и выходной параметр процесса.

Однако ошибка может возникнуть по двум причинам, одна из которых — изменение опорного или задающего сигнала uc(t), а вторая — изменение нагрузки или какое-либо другое возмущение в системе, вызывающее изменение выходного сигнала y(t). Изменение опорного значения — это известное возмущение. Если регулятор может использовать соответствующую информацию, то это, вообще говоря, позволяет улучшить характеристики замкнутой системы — физический процесс и регулятор. В этом смысл упреждающего управления.

Рассмотрим регулятор [уравнение (6.4)], состоящий из двух частей. Контур обратной связи GpB(s) представляет собой исходный регулятор, отрабатывающий ошибку е. Так называемый контур упреждения GFF(s) контролирует изменения опорного значения и прибавляет к управляющему сигналу поправочный член, с тем чтобы вся система реагировала более оперативно на изменения опорного сигнала (рис. 6.3). То есть управляющий процессом сигнал U(s) представляет собой сумму двух сигналов

 

Это выражение можно переписать в виде

где UFi — упреждающий сигнал по опорному значению (задающему воздействию), a Upgсигнал обратной связи. Регулятор имеет два входных сигнала Uc(s) и Y(s) и, следовательно, может быть описан двумя передаточными функциями Gp^(s) и G^(s) (рис. 6.4).

Это выражение можно преобразовать следующим образом

Поскольку регулятор, соответствующий уравнению (6.4), имеет больше настраиваемых коэффициентов, чем простейший регулятор уравнения (6.3), разумно предположить, что замкнутая система имеет лучшие характеристики. Передаточную функцию полного контура управления можно получить из рис. 6.4

Положение полюсов системы с обратной связью можно изменить с помощью регулятора GR(s), а упреждающий регулятор GFi(s) добавляет системе новые нули. Отсюда следует, что вся система может быстро реагировать на изменения опорного сигнала, если GFy(s) выбрана должным образом.

Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор — наиболее распространенная структура регулятора в управлении процессами и сервомеханизмами. Поэтому он будет подробно рассмотрен в нескольких следующих разделах.

Параметры полиномов R(s), S(s) и T(s) можно выбрать при этом таким образом, что

ПИД-регулятор вырабатывает выходной сигнал, являющийся суммой трех составляющих пропорционального регулирования, регулирования по интегралу и регулирования по производной. Первая часть Up(t) пропорциональна ошибке выходной величины, т. е. разности между выходной величиной и опорным значением, вторая часть Uj(t) — интегралу по времени ошибки выходной величины, а третья часть uD(t) — производной ошибки.

Уравнение классического ПИД-регулятора имеет вид

Параметр К — усиление регулятора, Tiпостоянная времени интегрирования, a Td постоянная времени дифференцирования. Коэффициент U0 есть поправочное значение или смещение, настраивающее средний уровень выходного сигнала регулятора.

Некоторые регуляторы, особенно старые модели, вместо усиления имеют настройку полосы пропорциональности, которая определяется как РВ = 100/К и обычно выражается в процентах. Это определение справедливо лишь в том случае, если К безразмерно.

Постоянная времени интегрирования Ti присутствует в знаменателе уравнения (6.12) — таким образом, значения отдельных слагаемых уравнения регулятора оказываются соизмеримы. Подтверждение этому хорошо видно из переходной характеристики пропорционально-интегрирующего (ПИ) регулятора. Немедленно после скачка ошибки e(t) на выходе регулятора имеем К* е. По прошествии времени Ti выходная величина регулятора становится вдвое больше (рис. 6.9). ПИ-регулятор часто символически изображается его переходной характеристикой.

Регулятор можно также описать с помощью преобразования Лапласа. Применяя его к уравнению (6.12), получим

где E(s) — изображения Лапласа для компонент сигнала up(t), uI(t) и uD(t) соответственно. Степень числителя превосходит степень знаменателя, поэтому усиление регулятора стремится к бесконечности при высоких частотах — это следствие дифференциальной составляющей. На практике дифференцирование нельзя выполнить точно, поэтому используется аппроксимация первого порядка с постоянной времени TD и уравнение ПИД-регулятора принимает вид

ПИД-регулятор представляет собой частный случай обобщенного регулятора [уравнение (6.7)] и может быть выражен через полиномы R, S и Т. Уравнение (6.14) можно переписать в виде

В результате получим ПИД-регулятор

 

В действительности большинство технических процессов имеют порядок выше, чем второй, однако ПИД-регуляторы часто можно успешно использовать и для управления такими процессами. Это связано с тем, что многие процессы, имеющие в действительности динамику более высокого порядка, приближенно ведут себя подобно системам второго порядка. В системах, которые нельзя аппроксимировать уравнениями второго порядка, применение ПИД-регуляторов не рекомендуется. В частности, это относится к механическим системам, имеющим несколько колебательных составляющих движения.

Другие виды параметризации ПИД-регулятора

Во многих случаях ПИД-регулятор параметризуется в соответствии со следующим уравнением

Эта параметризация эквивалентна уравнению (6.12). Однако существует важное практическое ограничение, из-за которого уравнение (6.18) нельзя применять универсально. Усиление всего "классического" ПИД-регулятора [уравнение (6.12)] можно изменять с помощью единственного параметра К, что очень удобно, в частности, при пуске или настройке технического процесса. Этот эффект очевиден и из логарифмической частотной характеристики. У классического регулятора при изменении К вся характеристика смещается вертикально, а ее форма остается неизменной. Иными словами, усиление изменяется одинаково для всех частот. В параметрической форме (6.18) при любой модификации параметров изменяется не только усиление, но и точки излома отдельных отрезков логарифмической частотной характеристики.

У идеального регулятора три параметра — К, 7J- и 7^ — можно настроить индивидуально, однако на практике, если регулятор изготавливается по аналоговой технологии, отдельные режимы управления обычно влияют друг на друга. Это влияние может оказаться настолько значительным, что действительные и номинальные значения параметров будут отличаться на 30 %. В цифровых системах управления параметры регулятора можно настроить с необходимой точностью, а их взаимное влияние отсутствует.

Реализация ПИД-регулятора

При реализации регулятора необходимо принять во внимание много различных факторов. Прежде всего следует разработать дискретную модель регулятора и определить соответствующую частоту выборки. Амплитуда выходной величины регулятора должна быть "реалистичной", т. е. находиться между минимальным и максимальным допустимыми значениями. Это ограничение вызывает дополнительные проблемы при реализации и эксплуатации. Во многих приложениях должен быть ограничен не только выходной сигнал, но и скорость его изменения из-за физических возможностей исполнительных механизмов и предотвращения их чрезмерного износа. Изменение настроек параметров и переключение с автоматического режима работы на ручной или другие изменения условий эксплуатации не должны приводить к возмущениям регулируемого процесса. Все эти проблемы рассмотрены в этом разделе.

Регуляторы можно создать по аналоговой технологии на базе операционных усилителей или, что становится все более распространенным, как цифровые устройства на основе микропроцессоров. При этом они имеют практически одинаковый внешний вид — регулятор заключен в небольшой прочный корпус, который допускает установку в промышленной среде.

Дискретная модель ПИД-регулятора

Для того чтобы аналоговый регулятор реализовать программно, необходима его дискретная модель. Для этого применяются те же методы, которые описаны в разделе 5.4 для низкочастотных и высокочастотных аналоговых фильтров и их преобразования в цифровые.

Если регулятор первоначально проектируется на базе аналогового описания, а затем строится его дискретная модель, при достаточно малых интервалах выборки производные по времени заменяются конечными разностями, а интегрирование — суммированием (раздел 3.4). Этот подход будет использован и в данном случае.

Ошибка выходной величины процесса [уравнение (6.1)] вычисляется для каждой выборки

Предполагается, что интервал выборки h является постоянным. Любые изменения сигнала, которые могли подойти в течение интервала выборки, не учитываются (разделы 5.1.3 и 5.1.4).

Существует два типа алгоритма регулятора — позиционный и приращений.

Позиционный алгоритм

В позиционном алгоритме выходной сигнал представляет собой абсолютное значение управляющей переменной исполнительного механизма. Дискретный ПИД-регулятор имеет вид

Даже при нулевой ошибке управления выходной сигнал отличен от нуля и определяется смещением u0.

В соответствии с уравнением (6.14) пропорциональная часть регулятора имеет вид

Интеграл аппроксимируется конечными разностями

с постоянной

Величина второго слагаемого при малых h и больших T,- может стать очень маленькой, поэтому нужно позаботиться о том, чтобы обеспечить необходимую точность его машинного представления.

Дифференциальная часть ПИД-регулятора получается из (6.17) подстановкой выражения (6.15) 

Соответствующие дифференциальные уравнения, связывающие uj(t) и y(t), имеют вид

где Xp(t) вводится как переменная состояния (это можно проверить, применив преобразование Лапласа к уравнениям (6.25) и (6.26) и исключив X£,{t)). Производная в уравнении (6.25) аппроксимируется разностью назад

где

Следует обратить внимание, что аппроксимация разностью назад является численно устойчивой при любых Td. Дифференциальную часть ПИД-регулятора можно представить как

Определение частоты выборки в системах управления

Определение адекватной частоты выборки для процесса управления представляет собой нетривиальную задачу и скорее может рассматриваться как искусство, чем наука. Слишком малая частота выборки может снизить эффективность управления, в особенности способность системы компенсировать возмущения. Однако если интервал выборки превосходит время реакции процесса, возмущение может повлиять на процесс и исчезнуть прежде, чем регулятор инициирует корректирующее действие. Поэтому при определении частоты выборки важно учитывать как динамику процесса, так и характеристики возмущения.

С другой стороны, частота выборки не должна быть слишком высокой, так как это приведет к повышенной загрузке компьютера и износу исполнительного механизма. Таким образом, определение частоты выборки представляет собой компромисс между требованиями динамики процесса и доступной производительностью компьютера и других технологических механизмов. Стандартные цифровые регуляторы, работающие с небольшим числом контуров управления (от 8 до 16), используют фиксированную частоту выборки порядка долей секунды.

На частоту выборки также влияет соотношение сигнал/шум. При малых значениях этого соотношения, т. е. при больших шумах, следует избегать высокой частоты выборки, потому что отклонения в измерительном сигнале скорее связаны с высокочастотным шумом, а не с реальными изменениями в физическом процессе.

Главная задача первичной обработки сигнала заключается в его оцифровке и последующем восстановлении по набору дискретных значений. Теорема дискретизации не учитывает продолжительность вычислений для восстановления сигнала, и в теории это время может быть бесконечным. Более того, сигнал, анализируемый этой теоремой, считается периодическим, а в реальных системах управления это обычно не так. Эти факторы также влияют на частоту выборки.

Ограничение управляющего сигнала

Выходной сигнал регулятора должен иметь ограниченную амплитуду по крайней мере по двум причинам. Во-первых, амплитуда выходного сигнала не может превышать диапазон ЦАП на выходе компьютера; во-вторых, рабочий диапазон исполнительного механизма всегда ограничен. Клапан нельзя открыть больше, чем на 100 %, на двигатель нельзя подавать неограниченный ток и напряжение. Поэтому алгоритм управления должен включать какую-либо функцию, ограничивающую выходной сигнал.

В некоторых случаях должна быть определена зона нечувствительности, или мертвая зона. Если используется регулятор с алгоритмом приращений, то изменения управляющего сигнала могут быть настолько малы, что исполнительный механизм не сможет их обработать. Если управляющий сигнал достаточен для того, чтобы воздействовать на исполнительный механизм, целесообразно избегать малых, но частых срабатываний, которые могут ускорить его износ. Простым решением является суммирование малых изменений управляющей переменной и выдача управляющего сигнала исполнительному механизму лишь после того, как будет преодолено некоторое пороговое значение. Разумеется, зона нечувствительности имеет смысл, только если она превосходит разрешение ЦАП на выходе компьютера.

Предотвращение интегрального насыщения

Интегральное насыщение (integral windup) представляет собой эффект, который наблюдается, когда ПИ - или ПИД-регулятор в течение длительного времени должен компенсировать ошибку, лежащую за пределами диапазона управляемой переменной. Поскольку выход регулятора ограничен, ошибку сложно свести к нулю.

Если ошибка управления длительное время сохраняет знак, величина интегральной составляющей ПИД-регулятора становится очень большой. Это, в частности, происходит, если управляющий сигнал ограничен настолько, что расчетный выход регулятора отличается от реального выхода исполнительного механизма. Так как интегральная часть становится равной нулю лишь некоторое время спустя после того, как значение ошибки изменило знак, интегральное насыщение может привести к большому перерегулированию. Интегральное насыщение является результатом нелинейностей в системе, связанных с ограничением выходного управляющего сигнала, и может никогда не наблюдаться в действительно линейной системе.

Рассмотрим сказанное на примере. ПИ-регулятор, основанный на позиционном алгоритме, используется для управления сервомотором. Опорное значение для угла поворота оси двигателя изменяется настолько, что происходит насыщение выходного управляющего сигнала — напряжения, подаваемого на двигатель. В действительности ускорение двигателя ограничено. Переходная характеристика угла поворота оси двигателя показана на рис. 6.13.

Одним из способов ограничить влияние интегральной части заключается в условном интегрировании. Пока ошибка достаточно велика, ее интегральная часть не требуется для формирования управляющего сигнала, а для управления достаточно пропорциональной части. Интегральная часть, используемая для устранения стационарных ошибок, необходима только в тех случаях, когда ошибка относительно невелика. При условном интегрировании эта составляющая учитывается в окончательном сигнале, только если ошибка не превосходит определенного порогового значения. При больших ошибках ПИ-регулятор работает как пропорциональный регулятор. Выбор порогового значения для активизации интегрального члена — далеко не тривиальная задача. В аналоговых регуляторах условное интегрирование можно выполнить с помощью диода Зинера (ограничителя), который подключается параллельно с конденсатором в цепи обратной связи операционного усилителя в интегрирующем блоке регулятора. Такая схема ограничивает вклад интегрального сигнала.

В цифровых ПИД-регуляторах избежать интегрального насыщения можно более удобным способом. Интегральную часть можно настроить на каждом интервале выборки так, чтобы выходной сигнал регулятора не превышал определенного предела. Управляющий сигнал ud сначала вычисляется с помощью алгоритма ПИ-регулятора, а затем следует проверять, превышает ли он установленные пределы

После ограничения выходного сигнала интегральная часть регулятора сбрасывается. Ниже приведен пример программы ПИ-регулятора с защитой от насыщения — до тех пор, пока управляющий сигнал остается в установленных пределах, последний оператор в тексте программы не влияет на интегральную часть регулятора.

Для предотвращения насыщения у ПИД-регулятора описанный метод следует несколько видоизменить. Интегральная часть обновляется с помощью значения es. = и — uj, которое представляет собой разность между реальным текущим выходом исполнительного механизма и и расчетным выходом регулятора и. Выход исполнительного механизма либо измеряется непосредственно, если это возможно, либо вычисляется с помощью модели. Погрешность es равна нулю, если исполнительный механизм обеспечивает требуемый управляющий сигнал и насыщения нет. Для сброса интегральной части сигнал es умножается на множитель 1/Т, где Tt представляет собой коэффициент, который называется постоянной времени слежения. В алгоритме ПИ-регулятора, приведенном выше, эта постоянная времени равна h, т. е. обновление выходной величины регулятора происходит уже к моменту следующей выборки. Если алгоритм регулятора содержит дифференциальную часть, целесообразно обновлять интеграл гораздо реже. Соответствующее значение для постоянной времени слежения Tt равно времени интегрирования 71,-. При этом выходная величина ПИ регулятора равна

где и — ограниченное значение и [уравнение (6.34)]. Если управляющий сигнал насыщен, то разность u-ud будет изменять интегральную часть до тех пор, пока насыщение не исчезнет, т. е. насыщение предотвращается. Этот метод соответствует рис. 6.13 в.

Дифференцируя интегральную часть, получим

или в дискретном виде

В результате алгоритм ПИ-регулятора принимает вид

где  определяется из уравнения (6.35). В данном случае интегрирование аппроксимировано разностями вперед вместо разностей назад. Такая замена необходима, поскольку  должно быть известно до вычисления интегральной части.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21064. Патологическая физиология иммунитета 31.5 KB
  Общая характеристика функционирования иммунной системы. Актуальность: нарушение Im системы является универсальным фактором патогенеза. Нарушение Im системы частая причина многих болезней человека. В феноменах неспецифического иммунитета участвуют очень многие органы и системы.
21065. ПЕРСОНАЛ ПРЕДПРИЯТИЯ, ПРОИЗВОДИТЕЬНОСТЬ И ОПЛАТА ТРУДА 107.5 KB
  Планирование численности работников предприятия Понятие производительности труда и ее измерение Системы и формы оплаты труда на предприятии Понятие персонала предприятия. Профессиональноквалификационная структура кадров складывается под воздействием профессионального и квалификационного разделения труда. Фондовооружённость труда работников.
21066. ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ 2.01 MB
  Распределение прибыли предприятия. В условиях рыночной экономики значение прибыли предприятия очень сложно переоценить. Как свидетельствует мировая практика имеется два основных источника получения прибыли. Величина прибыли в данном случае зависит: вопервых от правильности выбора производственной направленности предприятия по выпуску продукции выбор продуктов пользующихся стабильным и высоким спросом; вовторых от создания конкурентоспособных условий продажи своих товаров и оказания услуг цена сроки поставок обслуживание...
21067. САНАЦИЯ И РЕСТРУКТУРИЗАЦИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ 107.5 KB
  Санация это система финансовоэкономических производственнотехнических организационноправовых социальных мероприятий направленных на восстановление платежеспособности ликвидности и прибыльности предприятиядолжника. Общую финансовую характеристику предприятия и его финансовое состояние. Маркетинговую деятельность предприятия. Обоснование сценариев преодоления наиболее вероятных рисков в процессе финансового оздоровления предприятия.
21068. ИЗДЕРЖКИ ПРОИЗВОДСТВА И СЕБЕСТОИМОСТЬ ПРОДУКЦИИ 253.29 KB
  Классификация затрат на производство продукции. Системы калькулирования себестоимости продукции. Пути снижения затрат на производство продукции.
21069. Управление предприятием, Дивизиональные и адаптивные структуры управления предприятием 103.5 KB
  Понятие принципы и необходимость управления объектами хозяйствования. Линейная и функциональная структура управления предприятием. Дивизиональные и адаптивные структуры управления предприятием. Понятие принципы и необходимость управления объектами хозяйствования.
21070. ФИНАНСОВОЕ СОСТОЯНИЕ ПРЕДПРИЯТИЯ И ЕГО ОЦЕНКА 588.54 KB
  Оценка платежеспособности предприятия. Понятие и методика определения финансовой устойчивости предприятия. Оценка деловой активности предприятия.
21071. ПРЕДПРИЯТИЕ КАК СУБЪЕКТ ХОЗЯЙСТВОВАНИЯ 98 KB
  Предприятие самостоятельный хозяйственный субъект имеющий права юридического лица и осуществляющий виды деятельности разрешенные законами государства в том числе: производственную исследовательскую коммерческую и другие в целях получения максимальной прибыли. Предприятие ведет самостоятельный учет своих средств активов и источников их формирования в форме бухгалтерского баланса имеет расчетный и другие счета денежных средств в банках свое наименование печать со своим наименованием а также товарный знак. Предприятие не имеет в...
21072. БАНКРОТСТВО И ЛИКВИДАЦИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ 98 KB
  Методики определения вероятности банкротства предприятий. Сущность причины и признаки банкротства. Понятие банкротства органически присуще современным рыночным отношениям.