10651

Действия над приближенными числами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 2 Действия над приближенными числами Цель работы. Изучить правила округления приближенных чисел на примере сходимости степенного ряда к известному значению и с заданной точностью. Освоить понятия абсолютной и относительной погрешностей и ...

Русский

2013-03-30

153.5 KB

60 чел.

Лабораторная  работа  2

Действия над приближенными числами

Цель работы.  Изучить правила округления приближенных чисел на примере сходимости степенного ряда к известному значению и с заданной точностью. Освоить понятия абсолютной и относительной погрешностей и научиться строить графики сходимости этих погрешностей.

Теоретические положения.   Пусть x - точное значение числа,  а - его приближенное значение, тогда абсолютная погрешность числа определяется как   , а его относительная погрешность  .      Если  a  и  bприближенные числа, то

,

                          (1)

                      

При анализе вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Он означает близость полученного численного решения к истинному. Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса. Этот процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого процесса (или итераций) получаем последовательность значений  . Эта последовательность сходится к точному значению x, если при неограниченном возрастании числа итераций n предел этой последовательности существует и равен X.  В этом случае имеем сходящийся численный ряд, т.е. решение с заданной точностью можно получить при конечном числе итераций.

В лабораторной работе понятие сходимости рассматривается на примере  частичных сумм ряда Маклорена для функций sin x, cos x, ln(1+x) и . Напомним, что сумма  n  первых членов ряда называется его n-ой  частичной суммой, т.е.    .

Разложения исследуемых функций в ряд имеют следующий вид:

                             (2)

                                   (3)

                                                   (4)

     (5)

                 ( -1<x<1 )

Формулы с использованием  сумм   можно применять для организации повторяющихся вычислений, что позволяет сразу получить  сходимость ряда  в виде таблицы. Это, однако, не исключает и других способов вычислений в MathCad.

Порядок выполнения работы. 

- выписать в соответствии со своим вариантом исследуемую функцию и два значения аргумента,      

- для заданной функции записать ее разложение в ряд Маклорена,

- процессы расчетов закончить, когда абсолютная погрешность  ,

- в MathCad установить разрядность, равную 9;  результаты расчетов округлять до 8 разрядов после запятой,

- в MathCad вычислить два точных значения функции для двух аргументов,

- составить и ввести в MathCad программу для вычисления частичной суммы заданного ряда,

- последовательно увеличивать количество слагаемых частичной суммы - k, вычисляя ее величину   и соответствующую абсолютную погрешность  . Процесс продолжать до тех пор, пока погрешность не станет < заданной. Результаты расчетов для каждого шага занести в две таблицы , в соответствии с количеством аргументов. Таблицы должны состоять из трех колонок: шага  k, частичной суммы    и  абсолютной погрешности  .

- построить 2 графика сходимости     в виде ломаных линий   (соединяя отрезками прямых нанесенные на координатную плоскость точки:  [k ; ]  ).

Рисунки  выполнить для двух аргументов.

- сформулировать выводы по работе.

Варианты исходных данных.        

N

Функция

X1=

X2=

1

Exp(x)

0.46

1.54

2

Sin(x)

0.97

1.99

3

Cos(x)

0.73

1.78

4

Exp(x)

0.48

1.51

5

Sin(x)

0.95

1.97

6

Cos(x)

0.71

1.76

7

Exp(x)

0.50

1.47

8

Sin(x)

0.93

1.95

9

Cos(x)

0.69

1.74

10

Exp(x)

0.47

1.55

11

Sin(x)

0.91

1.93

12

Cos(x)

0.67

1.72

13

Exp(x)

0.49

1.58

14

Sin(x)

0.87

2.02

15

Cos(x)

0.65

1.73

16

Exp(x)

0.51

1.41

17

Sin(x)

0.85

2.04

18

Cos(x)

0.72

1.77

19

Exp(x)

0.54

1.40

20

Sin(x)

0.88

1.98

21

Cos(x)

0.64

1.75

22

Exp(x)

0.56

1.33

23

Sin(x)

0.86

1.96

24

Cos(x)

0.68

1.73

25

Exp(x)

0.52

1.43

26

Sin(x)

0.84

1.94

27

Cos(x)

0.66

1.80

28

Exp(x)

0.45

1.39

29

Sin(x)

0.92

2.00

30

Cos(x)

0.70

1.78

         Пример расчета.

  1.  Цель работы: изучить правила округления на примере сходимости степенного ряда к известному значению с заданной точностью.
  2.  Исходные данные.
  3.  Функция    y=ex
  4.  Разложение в ряд:  ex=1+x/1+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!
  5.  Два значения аргумента x1=0.71000000     x2=1.62000000
  6.  Заданная точность = 10-8
  7.  Результаты расчетов.

1). Два точных значения

e = 2.03399126

e = 5.05309032

2).    Программа в Mathcad  (используем повторяющиеся вычисления).

    

где S(n) – частичные суммы ряда;  d(n) – абсолютные погрешности.

3).  Расчетные таблицы.

x=0.71000000

N

S(n)

d(n)

1

1.00000000

1.03399126

2

1.71000000

0.32399126

3

1.96205000

0.07194126

4

2.02170184

0.01228942

5

2.03229004

0.00170122

6

2.03379356

0.00019770

7

2.03397148

0.00001978

8

2.03398952

0.00000174

9

2.03399112

0.00000014

10

2.03399124

0.00000001

        

x=1.62000000

n

S(n)

d(n)

1

1.00000000

4.05309032

2

2.62000000

2.43309032

3

3.93220000

1.12089032

4

4.64078800

0.41230232

5

4.92776614

0.12532418

6

5.02074706

0.03234326

7

5.04585190

0.00723842

8

5.05166188

0.00142844

9

5.05283840

0.00025192

10

5.05305018

0.00004014

11

5.05308448

0.00000584

12

5.05308954

0.00000078

13

5.05309022

0.00000010

14

5.05309030

0.00000002

15

5.05309032

0.00000000

4) Графики сходимости.  В одной координатной плоскости, для обоих аргументов сделать графики   d = f(n)  в виде ломаных линий (при этом по оси  d   использовать линейно-логарифмический масштаб).

  1.  Выводы по работе:  сделать самостоятельно, исходя из двух факторов-

                                       цели  работы и полученных  результатов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70924. Сутність та особливості планування на підприємстві 80 KB
  У наш час, кожна людина, сім’я, колектив чи господарства планують свою діяльність на роботі, у навчанні чи у виробництві на наступний день, тиждень, місяць, а завбачливіші планують свої дії і на триваліший термін.
70925. Система планів підприємства 70.5 KB
  У плануванні виділяють такі три сторони: соціально-економічна, яка базується на пізнанні економічних законів, відображені економічної політики держави при плануванні економічного та соціального розвитку підприємства...
70926. Маркетингові дослідження, планування збуту і контролю продукції 79 KB
  Збут підприємством свого товару це процес реалізації промислової продукції з метою задоволення потреб споживачів та отримання прибутку виручки. Планування збуту полягає у визначенні характеру нових товарів та їх параметричних рядів співвідношення обсягів випуску старих і нових виробів...
70927. Планування виробництва продукції 131 KB
  Структура й показники виробничої програми підприємства Важливим розділом поточного плану підприємства є виробнича програма або план виробництва та реалізації продукції. Виробнича програма визначає необхідний обсяг виробництва продукції у плановому періоді який за номенклатурою...
70928. Оперативно-календарне планування і контроль 100 KB
  Основними завданнями оперативно-календарного планування на підприємстві є: забезпечення ритмічного виробництва відповідно до встановлених обсягів та номенклатури виготовлення і збуту продукції; забезпечення рівномірності та комплектності завантаження устаткування...
70929. Матеріально-технічне забезпечення виробництва. Постачання матеріально-технічних ресурсів на робочі місця 247 KB
  Вивчення ринку сировини й матеріалів. Запаси матеріалів та регулювання їхніх обсягів. Однак служба матеріальнотехнічного забезпечення повинна перевіряти замовлення виробничих підрозділів з огляду на відповідність замовлених матеріалів технічним умовам та даним обліку наявних...
70930. Забезпечення операційної діяльності виробничою потужністю 176 KB
  Виробнича потужність підприємства - це потенційно максимально можливий випуск продукції необхідної номенклатури і якості протягом планового періоду при повному завантаженні обладнання та виробничих площ у прийнятому режимі роботи з урахуванням застосування передової технології організації...
70931. Виробнича інфраструктура 248 KB
  Прикладом є виробництво різних видів енергії та тепла деталей для ремонту обладнання технологічного оснащення та інструменту. Виробнича програма енергетичного цеху в натуральних показниках охоплює такі види робіт: виробництво та розподіл електричної енергії в умовах...
70932. Витрати виробництва 112.5 KB
  Залежність витрат від зміни обсягів господарської діяльності Обсяг господарської діяльності Змінні витрати Постійні витрати Витрати по підприємству разом по підприємству на одиницю продукції разом по підприємству на одиницю продукції разом по підприємству на одиницю...