10651

Действия над приближенными числами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 2 Действия над приближенными числами Цель работы. Изучить правила округления приближенных чисел на примере сходимости степенного ряда к известному значению и с заданной точностью. Освоить понятия абсолютной и относительной погрешностей и ...

Русский

2013-03-30

153.5 KB

59 чел.

Лабораторная  работа  2

Действия над приближенными числами

Цель работы.  Изучить правила округления приближенных чисел на примере сходимости степенного ряда к известному значению и с заданной точностью. Освоить понятия абсолютной и относительной погрешностей и научиться строить графики сходимости этих погрешностей.

Теоретические положения.   Пусть x - точное значение числа,  а - его приближенное значение, тогда абсолютная погрешность числа определяется как   , а его относительная погрешность  .      Если  a  и  bприближенные числа, то

,

                          (1)

                      

При анализе вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Он означает близость полученного численного решения к истинному. Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса. Этот процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого процесса (или итераций) получаем последовательность значений  . Эта последовательность сходится к точному значению x, если при неограниченном возрастании числа итераций n предел этой последовательности существует и равен X.  В этом случае имеем сходящийся численный ряд, т.е. решение с заданной точностью можно получить при конечном числе итераций.

В лабораторной работе понятие сходимости рассматривается на примере  частичных сумм ряда Маклорена для функций sin x, cos x, ln(1+x) и . Напомним, что сумма  n  первых членов ряда называется его n-ой  частичной суммой, т.е.    .

Разложения исследуемых функций в ряд имеют следующий вид:

                             (2)

                                   (3)

                                                   (4)

     (5)

                 ( -1<x<1 )

Формулы с использованием  сумм   можно применять для организации повторяющихся вычислений, что позволяет сразу получить  сходимость ряда  в виде таблицы. Это, однако, не исключает и других способов вычислений в MathCad.

Порядок выполнения работы. 

- выписать в соответствии со своим вариантом исследуемую функцию и два значения аргумента,      

- для заданной функции записать ее разложение в ряд Маклорена,

- процессы расчетов закончить, когда абсолютная погрешность  ,

- в MathCad установить разрядность, равную 9;  результаты расчетов округлять до 8 разрядов после запятой,

- в MathCad вычислить два точных значения функции для двух аргументов,

- составить и ввести в MathCad программу для вычисления частичной суммы заданного ряда,

- последовательно увеличивать количество слагаемых частичной суммы - k, вычисляя ее величину   и соответствующую абсолютную погрешность  . Процесс продолжать до тех пор, пока погрешность не станет < заданной. Результаты расчетов для каждого шага занести в две таблицы , в соответствии с количеством аргументов. Таблицы должны состоять из трех колонок: шага  k, частичной суммы    и  абсолютной погрешности  .

- построить 2 графика сходимости     в виде ломаных линий   (соединяя отрезками прямых нанесенные на координатную плоскость точки:  [k ; ]  ).

Рисунки  выполнить для двух аргументов.

- сформулировать выводы по работе.

Варианты исходных данных.        

N

Функция

X1=

X2=

1

Exp(x)

0.46

1.54

2

Sin(x)

0.97

1.99

3

Cos(x)

0.73

1.78

4

Exp(x)

0.48

1.51

5

Sin(x)

0.95

1.97

6

Cos(x)

0.71

1.76

7

Exp(x)

0.50

1.47

8

Sin(x)

0.93

1.95

9

Cos(x)

0.69

1.74

10

Exp(x)

0.47

1.55

11

Sin(x)

0.91

1.93

12

Cos(x)

0.67

1.72

13

Exp(x)

0.49

1.58

14

Sin(x)

0.87

2.02

15

Cos(x)

0.65

1.73

16

Exp(x)

0.51

1.41

17

Sin(x)

0.85

2.04

18

Cos(x)

0.72

1.77

19

Exp(x)

0.54

1.40

20

Sin(x)

0.88

1.98

21

Cos(x)

0.64

1.75

22

Exp(x)

0.56

1.33

23

Sin(x)

0.86

1.96

24

Cos(x)

0.68

1.73

25

Exp(x)

0.52

1.43

26

Sin(x)

0.84

1.94

27

Cos(x)

0.66

1.80

28

Exp(x)

0.45

1.39

29

Sin(x)

0.92

2.00

30

Cos(x)

0.70

1.78

         Пример расчета.

  1.  Цель работы: изучить правила округления на примере сходимости степенного ряда к известному значению с заданной точностью.
  2.  Исходные данные.
  3.  Функция    y=ex
  4.  Разложение в ряд:  ex=1+x/1+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!
  5.  Два значения аргумента x1=0.71000000     x2=1.62000000
  6.  Заданная точность = 10-8
  7.  Результаты расчетов.

1). Два точных значения

e = 2.03399126

e = 5.05309032

2).    Программа в Mathcad  (используем повторяющиеся вычисления).

    

где S(n) – частичные суммы ряда;  d(n) – абсолютные погрешности.

3).  Расчетные таблицы.

x=0.71000000

N

S(n)

d(n)

1

1.00000000

1.03399126

2

1.71000000

0.32399126

3

1.96205000

0.07194126

4

2.02170184

0.01228942

5

2.03229004

0.00170122

6

2.03379356

0.00019770

7

2.03397148

0.00001978

8

2.03398952

0.00000174

9

2.03399112

0.00000014

10

2.03399124

0.00000001

        

x=1.62000000

n

S(n)

d(n)

1

1.00000000

4.05309032

2

2.62000000

2.43309032

3

3.93220000

1.12089032

4

4.64078800

0.41230232

5

4.92776614

0.12532418

6

5.02074706

0.03234326

7

5.04585190

0.00723842

8

5.05166188

0.00142844

9

5.05283840

0.00025192

10

5.05305018

0.00004014

11

5.05308448

0.00000584

12

5.05308954

0.00000078

13

5.05309022

0.00000010

14

5.05309030

0.00000002

15

5.05309032

0.00000000

4) Графики сходимости.  В одной координатной плоскости, для обоих аргументов сделать графики   d = f(n)  в виде ломаных линий (при этом по оси  d   использовать линейно-логарифмический масштаб).

  1.  Выводы по работе:  сделать самостоятельно, исходя из двух факторов-

                                       цели  работы и полученных  результатов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36572. Структурный тип строка. Основы обработки строк 29 KB
  Основы обработки строк. Строки относятся к важным средствам представления нечисловой информации и обработка строк имеет широкие приложения во многих областях использования нечисловой информации редактирование текстов логический анализ автоматизация перевода распознавание текстов и др. Поскольку строки указанного типа являются разновидностями массива для них можно применять всё что применимо к массивам.
36573. Расчёт электроснабжения района 2.81 MB
  Определение расчетной нагрузки коммунально-бытовых, промышленных потребителей; выбора номинальной мощности трансформаторов; определения сечения линий как высокого, так и низкого напряжения; определения величины недоотпущенной электроэнергии; определения годовых потерь электрической энергии в линии 35 кВ
36574. Структурный тип массив. Обработка массивов 31 KB
  Такие операторы присваивания могут использоваться для копирования одного массива в другой. Однако над массивами не определены отношения. Кроме того, в Турбо Паскале нельзя использовать выражения над массивами.
36575. Структурный тип маcсив. Описание мас и доступ к эл мас 33 KB
  Идея массива состоит в том чтобы объединить в одно целое фиксированное количество элементов одного и того же типа. Общая форма описания массива имеет вид: type имя типамассива = rry [ тип индекса ] of тип элементов ; где: имя типамассива имя выбираемое программистом. тип индекса любой порядковый тип кроме longint или типдиапазон.
36576. Оператор выбора CASE OF 31 KB
  Оператор выбора является обобщением оператора ifthenelse на случай выбора одного из нескольких возможных продолжений выполнения программы. Выбор осуществляется по ключу выбора селектору. Синтаксическая структура этого оператора такова: cse ключ выбора of константа выбора 1 : оператор 1 ; .
36577. Концепция типа данных. простой тип данных 38 KB
  К любому порядковому типу применимы следующие функции: OrdX порядковый номер значения выражения Х этого типа; PredX предыдущее значение выражения Х этого типа; SuccX следующее значение выражения Х этого типа; HighX наибольшее значение диапазона аргумента Х; LowX наименьшее значение диапазона аргумента Х; Функция Ord определена для любого значения порядкового типа причём нумерация значений начинается от номера 0 номера наименьшего значения типа. Функции Pred и Succ не определены соответственно для левой и правой границы...
36578. Концепция типа данных. Тип данных в ТР 29.5 KB
  Тип данных в ТР. Ранее мы познакомились с некоторыми стандартными типами данных: числовыми символьным строковым и булевским. Стандартные типы данных это лишь частный случай общей концепции типа данных Паскаля.
36579. Оператор итерационного цикла ( repeat , while ) 31 KB
  В каждом операторе итерационного цикла будем различать условие и тело цикла повторяющееся действие. Тело цикла whiledo это один оператор записанный после do а для цикла repetuntil тело цикла может быть и последовательностью операторов записанных между repet и until. Если условие есть true выполняется тело цикла и повторно вычисляется значение условия.
36580. Композиция условий и операторов. Оператор условного перехода 32.5 KB
  Оператор условного перехода. Композиция условий и операторов. Простые операторы несмотря на свою важность недостаточны для того чтобы представлять любые алгоритмы задач.