10651

Действия над приближенными числами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 2 Действия над приближенными числами Цель работы. Изучить правила округления приближенных чисел на примере сходимости степенного ряда к известному значению и с заданной точностью. Освоить понятия абсолютной и относительной погрешностей и ...

Русский

2013-03-30

153.5 KB

63 чел.

Лабораторная  работа  2

Действия над приближенными числами

Цель работы.  Изучить правила округления приближенных чисел на примере сходимости степенного ряда к известному значению и с заданной точностью. Освоить понятия абсолютной и относительной погрешностей и научиться строить графики сходимости этих погрешностей.

Теоретические положения.   Пусть x - точное значение числа,  а - его приближенное значение, тогда абсолютная погрешность числа определяется как   , а его относительная погрешность  .      Если  a  и  bприближенные числа, то

,

                          (1)

                      

При анализе вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Он означает близость полученного численного решения к истинному. Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса. Этот процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого процесса (или итераций) получаем последовательность значений  . Эта последовательность сходится к точному значению x, если при неограниченном возрастании числа итераций n предел этой последовательности существует и равен X.  В этом случае имеем сходящийся численный ряд, т.е. решение с заданной точностью можно получить при конечном числе итераций.

В лабораторной работе понятие сходимости рассматривается на примере  частичных сумм ряда Маклорена для функций sin x, cos x, ln(1+x) и . Напомним, что сумма  n  первых членов ряда называется его n-ой  частичной суммой, т.е.    .

Разложения исследуемых функций в ряд имеют следующий вид:

                             (2)

                                   (3)

                                                   (4)

     (5)

                 ( -1<x<1 )

Формулы с использованием  сумм   можно применять для организации повторяющихся вычислений, что позволяет сразу получить  сходимость ряда  в виде таблицы. Это, однако, не исключает и других способов вычислений в MathCad.

Порядок выполнения работы. 

- выписать в соответствии со своим вариантом исследуемую функцию и два значения аргумента,      

- для заданной функции записать ее разложение в ряд Маклорена,

- процессы расчетов закончить, когда абсолютная погрешность  ,

- в MathCad установить разрядность, равную 9;  результаты расчетов округлять до 8 разрядов после запятой,

- в MathCad вычислить два точных значения функции для двух аргументов,

- составить и ввести в MathCad программу для вычисления частичной суммы заданного ряда,

- последовательно увеличивать количество слагаемых частичной суммы - k, вычисляя ее величину   и соответствующую абсолютную погрешность  . Процесс продолжать до тех пор, пока погрешность не станет < заданной. Результаты расчетов для каждого шага занести в две таблицы , в соответствии с количеством аргументов. Таблицы должны состоять из трех колонок: шага  k, частичной суммы    и  абсолютной погрешности  .

- построить 2 графика сходимости     в виде ломаных линий   (соединяя отрезками прямых нанесенные на координатную плоскость точки:  [k ; ]  ).

Рисунки  выполнить для двух аргументов.

- сформулировать выводы по работе.

Варианты исходных данных.        

N

Функция

X1=

X2=

1

Exp(x)

0.46

1.54

2

Sin(x)

0.97

1.99

3

Cos(x)

0.73

1.78

4

Exp(x)

0.48

1.51

5

Sin(x)

0.95

1.97

6

Cos(x)

0.71

1.76

7

Exp(x)

0.50

1.47

8

Sin(x)

0.93

1.95

9

Cos(x)

0.69

1.74

10

Exp(x)

0.47

1.55

11

Sin(x)

0.91

1.93

12

Cos(x)

0.67

1.72

13

Exp(x)

0.49

1.58

14

Sin(x)

0.87

2.02

15

Cos(x)

0.65

1.73

16

Exp(x)

0.51

1.41

17

Sin(x)

0.85

2.04

18

Cos(x)

0.72

1.77

19

Exp(x)

0.54

1.40

20

Sin(x)

0.88

1.98

21

Cos(x)

0.64

1.75

22

Exp(x)

0.56

1.33

23

Sin(x)

0.86

1.96

24

Cos(x)

0.68

1.73

25

Exp(x)

0.52

1.43

26

Sin(x)

0.84

1.94

27

Cos(x)

0.66

1.80

28

Exp(x)

0.45

1.39

29

Sin(x)

0.92

2.00

30

Cos(x)

0.70

1.78

         Пример расчета.

  1.  Цель работы: изучить правила округления на примере сходимости степенного ряда к известному значению с заданной точностью.
  2.  Исходные данные.
  3.  Функция    y=ex
  4.  Разложение в ряд:  ex=1+x/1+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!
  5.  Два значения аргумента x1=0.71000000     x2=1.62000000
  6.  Заданная точность = 10-8
  7.  Результаты расчетов.

1). Два точных значения

e = 2.03399126

e = 5.05309032

2).    Программа в Mathcad  (используем повторяющиеся вычисления).

    

где S(n) – частичные суммы ряда;  d(n) – абсолютные погрешности.

3).  Расчетные таблицы.

x=0.71000000

N

S(n)

d(n)

1

1.00000000

1.03399126

2

1.71000000

0.32399126

3

1.96205000

0.07194126

4

2.02170184

0.01228942

5

2.03229004

0.00170122

6

2.03379356

0.00019770

7

2.03397148

0.00001978

8

2.03398952

0.00000174

9

2.03399112

0.00000014

10

2.03399124

0.00000001

        

x=1.62000000

n

S(n)

d(n)

1

1.00000000

4.05309032

2

2.62000000

2.43309032

3

3.93220000

1.12089032

4

4.64078800

0.41230232

5

4.92776614

0.12532418

6

5.02074706

0.03234326

7

5.04585190

0.00723842

8

5.05166188

0.00142844

9

5.05283840

0.00025192

10

5.05305018

0.00004014

11

5.05308448

0.00000584

12

5.05308954

0.00000078

13

5.05309022

0.00000010

14

5.05309030

0.00000002

15

5.05309032

0.00000000

4) Графики сходимости.  В одной координатной плоскости, для обоих аргументов сделать графики   d = f(n)  в виде ломаных линий (при этом по оси  d   использовать линейно-логарифмический масштаб).

  1.  Выводы по работе:  сделать самостоятельно, исходя из двух факторов-

                                       цели  работы и полученных  результатов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21508. Деполяризующий и недеполяризующий блок 41 KB
  Механизм действия Деполяризующие миорелаксанты по структуре напоминающие ацетилхолин взаимодействуют с нхолинорецепторами и вызывают потенциал действия мышечной клетки. Однако в отличие от ацетилхолина деполяризующие миорелаксанты не гидролизуются ацетилхолинэстеразой и их концентрация в синаптической щели достаточно долго не снижается что вызывает длительную деполяризацию конечной пластинки. Деполяризующие и недеполяризующие миорелаксанты Деполяризующие миорелаксанты Недеполяризующие миорелаксанты Короткого действия Длительного...
21509. МИОРЕЛАКСАНТЫ, ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АНЕСТЕЗИОЛОГИИ И РЕАНИМАТОЛОГИИ 186 KB
  Классификация миорелаксантов по химической структуре Дериваты изохинолина Дериваты стероидов Другие препараты Атракурий Доксакурий Метокурий Мивакурий Тубокурарин Панкуроний Пипекуроний Рокуроний Векуроний Галламин Сукцинилхолин По механизму действия миорелаксанты подразделяют на 2 класса: деполяризующие и недеполяризующие. Таблица 2 Классификация миорелаксантов по механизму и длительности действия Деполяризующие Недеполяризующие Короткого действия сукцинилхолин дитилин декаметоний мивакурий мивакрон Средней продолжительности атракурий...
21510. НОВЫЕ ФАРМАКОЛОГИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ПРИ ОКАЗАНИИ АНЕСТЕЗИОЛОГИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ 117 KB
  ФАРМАКОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КЛИНИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ КЛОФЕЛИНА В АНЕСТЕЗИОЛОГИИ Клофелин клонидин синтезирован в 1962 г. Фармакологические эффекты клофелина: как агонист постсинаптических Ф2АР в ЦНС вызывает гипотензию брадикардию аналгезию седативный эффект способствует высвобождению гормонов роста. Периферическое действие клофелина проявляется в усилнии сокращений гладких мышц агрегации тромбоцитов липолизу угнетению секреции ринина и инсулина. При приеме внутрь абсорбция клофелина составляет практически 100.
21511. ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ САНИТАРНО - ГИГИЕНИЧЕСКИХ И ПРОТИВОЭПИДЕМИЧЕСКИХ МЕРОПРИЯТИЙ 134 KB
  ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ САНИТАРНО ГИГИЕНИЧЕСКИХ И ПРОТИВОЭПИДЕМИЧЕСКИХ МЕРОПРИЯТИЙ САНИТАРНОГИГИЕНИЧЕСКИЕ МЕРОПРИЯТИЯ. Санитарногигиенические мероприятия проводятся с целью сохранения боеспособности и укрепления здоровья личного состава путем строгого выполнения установленных гигиенических норм и правил при организации размещения питания водоснабжения баннопрачечного обслуживания обеспечении безопасных условий труда военнослужащих и захоронении погибших в бою умерших а также путем соблюдения правил личной и...
21512. Мероприятия медицинской службы по защите личного состава войск, частей и подразделений медицинской службы от оружия массового поражения 202.5 KB
  Мероприятия медицинской службы по защите личного состава войск частей и подразделений медицинской службы от оружия массового поражения 1.МЕРОПРИЯТИЯ МЕДИЦИНСКОЙ СЛУЖБЫ ПО ЗАЩИТЕ ЛИЧНОГО СОСТАВА ВОЙСК ОТ ОРУЖИЯ МАССОВОГО ПОРАЖЕНИЯ Мероприятия медицинской службы по защите войск от оружия массового поражения являясь с одной стороны частью общего комплекса защиты войск схема 61 а с другой стороны частью медицинского обеспечения войск схема 62 проводится с целью предупреждения или максимального ослабления воздействия...
21513. МЕДИЦИНСКАЯ РАЗВЕДКА 79 KB
  ПОНЯТИЕ О МЕДИЦИНСКОЙ РАЗВЕДКЕ ЕЁ ВИДЫ И ЗАДАЧИ. Медицинская разведка представляет собой совокупность мероприятий проводимых медицинской службой по добыванию разведывательных сведений о природных социальноэкономических условиях территории боевых действий передвижения размещения войск и о противнике необходимых для успешного медицинского обеспечения. При ведении медицинской разведки сбор данных о природных и социальноэкономических условиях территории противнике и его медицинской службе осуществляется различными путями и способами....
21514. Основы организации обеспечения медицинским имуществом частей и соединений 100.5 KB
  Основные задачи медицинского снабжения войск: 1. Накопление запасов медицинского имущества и содержание их в постоянной готовности к выдаче и использованию по предназначению. Создание и поддержание условий обеспечивающих быстрый перевод сил и средств медицинского снабжения с мирного положения на военное. Формы и методы организации снабжения медицинским имуществом находятся в прямой зависимости от принятых в настоящее время общих принципов тылового и медицинского обеспечения ВС а также от экономических возможностей страны уровня развития...
21515. ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ МЕДИЦИНСКОЙ СЛУЖБОЙ 78.5 KB
  ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ МЕДИЦИНСКОЙ СЛУЖБОЙ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРИНЦИПЫ И ТРЕБОВАНИЯ ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К УПРАВЛЕНИЮ МЕДИЦИНСКОЙ СЛУЖБОЙ Управление медицинской службой это особый вид деятельности начальника медицинской службы органов управления заключающейся вопервых в определении целей и способов действий объектов управления вовторых в воздействии на них в интересах достижения намеченных целей. Совершенствование системы управления медицинской службы является одним из условий повышения качества медицинского обеспечения...
21516. Медицинская служба полка 147 KB
  Задачи медицинской службы полка. В условиях современных боевых действий медицинская служба полка призвана решать ответственные задачи по всестороннему медицинскому обеспечению подразделений входящих в состав полка. На нее возлагается проведение таких лечебноэвакуационных мероприятий как: розыск раненых оказание им первой медицинской помощи сбор и вывоз вынос их с поля боя; эвакуация раненых и больных из подразделений полка очагов массового поражения на медицинский пункт оказание раненым и больным доврачебной и первой...