10651

Действия над приближенными числами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 2 Действия над приближенными числами Цель работы. Изучить правила округления приближенных чисел на примере сходимости степенного ряда к известному значению и с заданной точностью. Освоить понятия абсолютной и относительной погрешностей и ...

Русский

2013-03-30

153.5 KB

59 чел.

Лабораторная  работа  2

Действия над приближенными числами

Цель работы.  Изучить правила округления приближенных чисел на примере сходимости степенного ряда к известному значению и с заданной точностью. Освоить понятия абсолютной и относительной погрешностей и научиться строить графики сходимости этих погрешностей.

Теоретические положения.   Пусть x - точное значение числа,  а - его приближенное значение, тогда абсолютная погрешность числа определяется как   , а его относительная погрешность  .      Если  a  и  bприближенные числа, то

,

                          (1)

                      

При анализе вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Он означает близость полученного численного решения к истинному. Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса. Этот процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого процесса (или итераций) получаем последовательность значений  . Эта последовательность сходится к точному значению x, если при неограниченном возрастании числа итераций n предел этой последовательности существует и равен X.  В этом случае имеем сходящийся численный ряд, т.е. решение с заданной точностью можно получить при конечном числе итераций.

В лабораторной работе понятие сходимости рассматривается на примере  частичных сумм ряда Маклорена для функций sin x, cos x, ln(1+x) и . Напомним, что сумма  n  первых членов ряда называется его n-ой  частичной суммой, т.е.    .

Разложения исследуемых функций в ряд имеют следующий вид:

                             (2)

                                   (3)

                                                   (4)

     (5)

                 ( -1<x<1 )

Формулы с использованием  сумм   можно применять для организации повторяющихся вычислений, что позволяет сразу получить  сходимость ряда  в виде таблицы. Это, однако, не исключает и других способов вычислений в MathCad.

Порядок выполнения работы. 

- выписать в соответствии со своим вариантом исследуемую функцию и два значения аргумента,      

- для заданной функции записать ее разложение в ряд Маклорена,

- процессы расчетов закончить, когда абсолютная погрешность  ,

- в MathCad установить разрядность, равную 9;  результаты расчетов округлять до 8 разрядов после запятой,

- в MathCad вычислить два точных значения функции для двух аргументов,

- составить и ввести в MathCad программу для вычисления частичной суммы заданного ряда,

- последовательно увеличивать количество слагаемых частичной суммы - k, вычисляя ее величину   и соответствующую абсолютную погрешность  . Процесс продолжать до тех пор, пока погрешность не станет < заданной. Результаты расчетов для каждого шага занести в две таблицы , в соответствии с количеством аргументов. Таблицы должны состоять из трех колонок: шага  k, частичной суммы    и  абсолютной погрешности  .

- построить 2 графика сходимости     в виде ломаных линий   (соединяя отрезками прямых нанесенные на координатную плоскость точки:  [k ; ]  ).

Рисунки  выполнить для двух аргументов.

- сформулировать выводы по работе.

Варианты исходных данных.        

N

Функция

X1=

X2=

1

Exp(x)

0.46

1.54

2

Sin(x)

0.97

1.99

3

Cos(x)

0.73

1.78

4

Exp(x)

0.48

1.51

5

Sin(x)

0.95

1.97

6

Cos(x)

0.71

1.76

7

Exp(x)

0.50

1.47

8

Sin(x)

0.93

1.95

9

Cos(x)

0.69

1.74

10

Exp(x)

0.47

1.55

11

Sin(x)

0.91

1.93

12

Cos(x)

0.67

1.72

13

Exp(x)

0.49

1.58

14

Sin(x)

0.87

2.02

15

Cos(x)

0.65

1.73

16

Exp(x)

0.51

1.41

17

Sin(x)

0.85

2.04

18

Cos(x)

0.72

1.77

19

Exp(x)

0.54

1.40

20

Sin(x)

0.88

1.98

21

Cos(x)

0.64

1.75

22

Exp(x)

0.56

1.33

23

Sin(x)

0.86

1.96

24

Cos(x)

0.68

1.73

25

Exp(x)

0.52

1.43

26

Sin(x)

0.84

1.94

27

Cos(x)

0.66

1.80

28

Exp(x)

0.45

1.39

29

Sin(x)

0.92

2.00

30

Cos(x)

0.70

1.78

         Пример расчета.

  1.  Цель работы: изучить правила округления на примере сходимости степенного ряда к известному значению с заданной точностью.
  2.  Исходные данные.
  3.  Функция    y=ex
  4.  Разложение в ряд:  ex=1+x/1+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!
  5.  Два значения аргумента x1=0.71000000     x2=1.62000000
  6.  Заданная точность = 10-8
  7.  Результаты расчетов.

1). Два точных значения

e = 2.03399126

e = 5.05309032

2).    Программа в Mathcad  (используем повторяющиеся вычисления).

    

где S(n) – частичные суммы ряда;  d(n) – абсолютные погрешности.

3).  Расчетные таблицы.

x=0.71000000

N

S(n)

d(n)

1

1.00000000

1.03399126

2

1.71000000

0.32399126

3

1.96205000

0.07194126

4

2.02170184

0.01228942

5

2.03229004

0.00170122

6

2.03379356

0.00019770

7

2.03397148

0.00001978

8

2.03398952

0.00000174

9

2.03399112

0.00000014

10

2.03399124

0.00000001

        

x=1.62000000

n

S(n)

d(n)

1

1.00000000

4.05309032

2

2.62000000

2.43309032

3

3.93220000

1.12089032

4

4.64078800

0.41230232

5

4.92776614

0.12532418

6

5.02074706

0.03234326

7

5.04585190

0.00723842

8

5.05166188

0.00142844

9

5.05283840

0.00025192

10

5.05305018

0.00004014

11

5.05308448

0.00000584

12

5.05308954

0.00000078

13

5.05309022

0.00000010

14

5.05309030

0.00000002

15

5.05309032

0.00000000

4) Графики сходимости.  В одной координатной плоскости, для обоих аргументов сделать графики   d = f(n)  в виде ломаных линий (при этом по оси  d   использовать линейно-логарифмический масштаб).

  1.  Выводы по работе:  сделать самостоятельно, исходя из двух факторов-

                                       цели  работы и полученных  результатов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60612. Методичні рекомендації щодо ефективності проблемного навчання 29 KB
  Ушинського що привчати учнів виконувати розумову працю необхідно поступово починаючи з молодших класів; будувати навчальний процес так щоб вивчення нового матеріалу спиралося на знання попереднього...