10651

Действия над приближенными числами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 2 Действия над приближенными числами Цель работы. Изучить правила округления приближенных чисел на примере сходимости степенного ряда к известному значению и с заданной точностью. Освоить понятия абсолютной и относительной погрешностей и ...

Русский

2013-03-30

153.5 KB

60 чел.

Лабораторная  работа  2

Действия над приближенными числами

Цель работы.  Изучить правила округления приближенных чисел на примере сходимости степенного ряда к известному значению и с заданной точностью. Освоить понятия абсолютной и относительной погрешностей и научиться строить графики сходимости этих погрешностей.

Теоретические положения.   Пусть x - точное значение числа,  а - его приближенное значение, тогда абсолютная погрешность числа определяется как   , а его относительная погрешность  .      Если  a  и  bприближенные числа, то

,

                          (1)

                      

При анализе вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Он означает близость полученного численного решения к истинному. Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса. Этот процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого процесса (или итераций) получаем последовательность значений  . Эта последовательность сходится к точному значению x, если при неограниченном возрастании числа итераций n предел этой последовательности существует и равен X.  В этом случае имеем сходящийся численный ряд, т.е. решение с заданной точностью можно получить при конечном числе итераций.

В лабораторной работе понятие сходимости рассматривается на примере  частичных сумм ряда Маклорена для функций sin x, cos x, ln(1+x) и . Напомним, что сумма  n  первых членов ряда называется его n-ой  частичной суммой, т.е.    .

Разложения исследуемых функций в ряд имеют следующий вид:

                             (2)

                                   (3)

                                                   (4)

     (5)

                 ( -1<x<1 )

Формулы с использованием  сумм   можно применять для организации повторяющихся вычислений, что позволяет сразу получить  сходимость ряда  в виде таблицы. Это, однако, не исключает и других способов вычислений в MathCad.

Порядок выполнения работы. 

- выписать в соответствии со своим вариантом исследуемую функцию и два значения аргумента,      

- для заданной функции записать ее разложение в ряд Маклорена,

- процессы расчетов закончить, когда абсолютная погрешность  ,

- в MathCad установить разрядность, равную 9;  результаты расчетов округлять до 8 разрядов после запятой,

- в MathCad вычислить два точных значения функции для двух аргументов,

- составить и ввести в MathCad программу для вычисления частичной суммы заданного ряда,

- последовательно увеличивать количество слагаемых частичной суммы - k, вычисляя ее величину   и соответствующую абсолютную погрешность  . Процесс продолжать до тех пор, пока погрешность не станет < заданной. Результаты расчетов для каждого шага занести в две таблицы , в соответствии с количеством аргументов. Таблицы должны состоять из трех колонок: шага  k, частичной суммы    и  абсолютной погрешности  .

- построить 2 графика сходимости     в виде ломаных линий   (соединяя отрезками прямых нанесенные на координатную плоскость точки:  [k ; ]  ).

Рисунки  выполнить для двух аргументов.

- сформулировать выводы по работе.

Варианты исходных данных.        

N

Функция

X1=

X2=

1

Exp(x)

0.46

1.54

2

Sin(x)

0.97

1.99

3

Cos(x)

0.73

1.78

4

Exp(x)

0.48

1.51

5

Sin(x)

0.95

1.97

6

Cos(x)

0.71

1.76

7

Exp(x)

0.50

1.47

8

Sin(x)

0.93

1.95

9

Cos(x)

0.69

1.74

10

Exp(x)

0.47

1.55

11

Sin(x)

0.91

1.93

12

Cos(x)

0.67

1.72

13

Exp(x)

0.49

1.58

14

Sin(x)

0.87

2.02

15

Cos(x)

0.65

1.73

16

Exp(x)

0.51

1.41

17

Sin(x)

0.85

2.04

18

Cos(x)

0.72

1.77

19

Exp(x)

0.54

1.40

20

Sin(x)

0.88

1.98

21

Cos(x)

0.64

1.75

22

Exp(x)

0.56

1.33

23

Sin(x)

0.86

1.96

24

Cos(x)

0.68

1.73

25

Exp(x)

0.52

1.43

26

Sin(x)

0.84

1.94

27

Cos(x)

0.66

1.80

28

Exp(x)

0.45

1.39

29

Sin(x)

0.92

2.00

30

Cos(x)

0.70

1.78

         Пример расчета.

  1.  Цель работы: изучить правила округления на примере сходимости степенного ряда к известному значению с заданной точностью.
  2.  Исходные данные.
  3.  Функция    y=ex
  4.  Разложение в ряд:  ex=1+x/1+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!
  5.  Два значения аргумента x1=0.71000000     x2=1.62000000
  6.  Заданная точность = 10-8
  7.  Результаты расчетов.

1). Два точных значения

e = 2.03399126

e = 5.05309032

2).    Программа в Mathcad  (используем повторяющиеся вычисления).

    

где S(n) – частичные суммы ряда;  d(n) – абсолютные погрешности.

3).  Расчетные таблицы.

x=0.71000000

N

S(n)

d(n)

1

1.00000000

1.03399126

2

1.71000000

0.32399126

3

1.96205000

0.07194126

4

2.02170184

0.01228942

5

2.03229004

0.00170122

6

2.03379356

0.00019770

7

2.03397148

0.00001978

8

2.03398952

0.00000174

9

2.03399112

0.00000014

10

2.03399124

0.00000001

        

x=1.62000000

n

S(n)

d(n)

1

1.00000000

4.05309032

2

2.62000000

2.43309032

3

3.93220000

1.12089032

4

4.64078800

0.41230232

5

4.92776614

0.12532418

6

5.02074706

0.03234326

7

5.04585190

0.00723842

8

5.05166188

0.00142844

9

5.05283840

0.00025192

10

5.05305018

0.00004014

11

5.05308448

0.00000584

12

5.05308954

0.00000078

13

5.05309022

0.00000010

14

5.05309030

0.00000002

15

5.05309032

0.00000000

4) Графики сходимости.  В одной координатной плоскости, для обоих аргументов сделать графики   d = f(n)  в виде ломаных линий (при этом по оси  d   использовать линейно-логарифмический масштаб).

  1.  Выводы по работе:  сделать самостоятельно, исходя из двух факторов-

                                       цели  работы и полученных  результатов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81774. Сатирическое мастерство М. А. Булгакова 32.21 KB
  Удивительный талант Михаила Афанасьевича Булгакова позволяет ему следуя традициям писателейсатириков XIX века использовать этот художественный прием в своих произведениях Примером таких сатирических произведений могут служить повести Роковые яйца и Собачье сердце такой же прием использует автор и в своем романе Мастер и Маргарита . В основе повести Собачье сердце рискованный эксперимент. Отсюда ирония звучащая на страницах повести. Самым ярким представителем этой жизни на страницах повести является Швондер который норовит немедленно...
81775. Роль отцовского завета в судьбах героев произведений отечественной классики 19 века 33.3 KB
  Главный герой Петр Гринев отправляясь на службу получает наказ от отца: Прощай Петр. Петр Гринев являясь главным участником событий повествователеммемуаристом следует завету своего отца. Сын своего отца честного служаки времен Елизаветы который ушел в отставку чтобы не присягать Екатерине продолжает традиции своей семьи построенных на любви к ближним уважении к родителям любви к своей Родине и с честью выходит из всех испытаний. Главная героиня романа Маша Миронова дочь бедных дворян бесприданница олицетворение любви и...
81776. Художественные приемы создания образа Печорина в романе М. Лермонтова «Герой нашего времени» 47.87 KB
  Образ Печорина одно из главных открытий Лермонтова. Изображению и раскрытию образа Печорина как героя особой исторической эпохи и подчинена своеобразная композиционносюжетная структура романа. Одна представляет собою объективное повествование о Печорине извне в записках странствующего офицера Бэла Максим Максимыч Предисловие к Журналу Печорина другая субъективноисповедальное самораскрытие героя изнутри в его Журнале Тамань Княжна Мери Фаталист .
81777. Символизм как литературное направление. Анализ стихотворения одного из поэтов-символистов 47.33 KB
  Бальмонта Ю. В поэтических формулах Бальмонта Сологуба Гиппиус Мережковского отрицается истинность реального мира объявляемого лишь комплексом ощущений творцахудожника: . Бальмонта М. В 90х годах вышли сборники его стихотворений: Под северным небом 1894 В безбрежности 1895 Тишина 1897; в 900е годы в период творческого взлета Бальмонта Горящие здания 1900 Будем как солнце 1903 Только любовь 1903.
81778. Образ метели в произведениях отечественной литературы 32.93 KB
  Все ее действие развертывается на фоне разгулявшихся природных стихий: Ветер ветер На всем божьем свете Ветер хлесткий гуляет свищет и зол и рад Разыгралась чтойто вьюга ох пурга какая спасе Вьюга долгим смехом Заливается в снегах Очевидно что образы ветра метели романтичны и имеют символический смысл. Ветер ветер На ногах не стоит человек. Ветер ветер На всем Божьем свете. Во второй строфе напор стихии как бы смягчается ее действия становятся не гневны а почти нежны и появляются уменьшительноласкательные...
81779. Наука и философия. Статус научной философии 28.69 KB
  Многолетний спор философии и науки о том в чем больше нуждается общество в философии или науке и какова их действительная взаимосвязь породил множество точек зрения обилие возможных трактовок и интерпретаций этой проблемы. Остановимся на основных тезисах раскрывающих суть соотношения философии и науки: Специальные науки служат отдельным конкретным потребностям общества: технике экономике искусству врачевания искусству обучения законодательству и др. Частные науки ограничиваются отдельными частями мира. Философия задумывается о...
81780. Функции науки. Роль науки в современном образовании и формировании личности 28.41 KB
  Роль науки в современном образовании и формировании личности. Проблема связанная с классификацией функций науки до сих пор остается спорной отчасти потому что последняя развивалась возлагая на себя новые и новые функции отчасти в силу того что выступая в роли социокультурного феномена она начинает больше заботиться не об объективной и безличностной закономерности а о коэволюционном вписывании в мир всех достижений научнотехнического прогресса. В качестве особой и приоритетной проблемы выделяют вопрос о социальных функциях науки...
81781. Преднаука и наука. Генезис науки и проблема периодизации её истории 31.74 KB
  Генезис науки и проблема периодизации её истории. Исследуя историю любого материального или духовного явления в том числе и науки следует иметь в виду что это сложный диалектический поступательный процесс появления различий включающий в себя ряд качественно своеобразных этапов фаз и т. Применяя сказанное о периодизации к истории науки следует прежде всего подчеркнуть следующее. Вопрос о периодизации истории науки и ее критериях по сей день является дискуссионным и активно обсуждается в отечественной и зарубежной литературе.