10652

Решение систем линейных уравнений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 3 Решение систем линейных уравнений Цель работы. Выяснить какие технические и технологические задачи встречающиеся на практике приводят к системам линейных уравнений. Исходя из таблиц опытных данных научиться составлять такие сис

Русский

2013-03-30

263.5 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  3

Решение систем линейных уравнений

Цель работы.  Выяснить, какие технические и технологические задачи, встречающиеся на практике, приводят к системам линейных уравнений. Исходя из таблиц опытных данных, научиться  составлять такие системы, а затем решать различными способами. Изучить понятия   матрица  и  определитель,   а также действия над ними.

Теоретические положения. Система линейных алгебраических уравнений  n-го порядка имеет следующий вид:

                            (1)

где       постоянные коэффициенты,

     свободные члены,

   неизвестные величины.

Для решения такой системы методом Крамера следует составить  n+1 опреде-литель:  сначала определитель системы  

, а затем  , ……   .

Неизвестные величины  находятся по формулам Крамера:

                         

Решение  методом Гаусса основано на преобразовании исходной системы (1) к треугольному виду  (2), используя свойства матриц

                                     (2)

Например, любую строку можно умножить на число () и сложить с другой строкой. Принимая в (1) коэффициент  в качестве ведущего, добиваемся, чтобы все остальные коэффициенты в первом столбце оказались равными нулю , т.е.  . Аналогично, принимая   в качестве ведущего элемента, добиваемся нулей во втором столбце и т.д., пока не останется  уравнение . Полученная система (2) полностью эквивалентна исходной и решается обратным ходом, т.е. снизу вверх. Иначе говря, находим вначале   из последнего уравнения, а затем и остальные  неизвестные из вышестоящих уравнений :.

Порядок выполнения работы:

-  после ознакомления со своим вариантом, составить пять опредлителей: определитель системы  , и еще четыре определителя:  , полученные как указано выше,

- определитель   следует вычислить “вручную” , используя свойства определителей, рассмотренные в теории,

-  в MathCad  вычислить

-  найти    по формулам Крамера,

-  сделать проверку полученных результатов, записать ответ,

-  используя свойства матриц, решить ту же систему методом Гаусса, т.е. преобразовать ее к треугольному виду (2), после чего найти  ;

все вычисления удобно выполнить в виде таблицы с указанием  преобра-зований над строками матриц,

-  выписать результат в виде матрицы-столбца,

-  сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.    Каждая система линейных уравнений, предназначенная для решения, задана в виде расширенной матрицы коэффициентов, где первые четыре столбца соответствуют коэффициентам при неизвестных  , а последний – это столбец свободных членов.

 

                                 

 

  

  

Пример расчета.

I.   Цель работы:

Научиться решать системы линейных уравнений высоких порядков методами Крамера и Гаусса, а также вычислять различные определители и выполнять действия над матрицами.

II. Исходные данные -  дана система четвертого порядка:

               

III.  Решение системы методом Крамера:

1).  Вычисление определителя системы    ∆ (“вручную”)

    

Преобразования

стр.1-стр.4

стр.2+стр.4

стр.3+3*стр.1

Понижение порядка определителя;

- ведущий элемент

ст.3 +2*ст.1

Понижение порядка определителя;

- ведущий элемент

-

-(-3*8-7*10)= 94

∆=94

2).  Проверим   ∆  в MathCAD.

       

3).  Составим определители ∆1, ∆2, ∆3, ∆4, заменяя соответствующие столбцы определителя  ∆   свободными членами. Вычислим    ∆1, ∆2, ∆3, ∆4   в MathCAD.


          

4).  Найдем теперь неизвестные   величины:   ,,,.

         

    ,   ,   ,   

5).  Проверка по второму уравнению:

2,383-1,638+3*1,191-3*2,106=-2, след. ответ верный.


IV. Решение системы методом Гаусса:

1).  Вычисление расширенной матрицы С, включающей матрицу ∆ из коэффициентов при x  и свободные члены.

Свободные члены

Преобразования

1.

2

-2

1*

3

9

 

1

-1

3

-3

-2

2стр.-3*1стр.

1

3

-1

-1

4

3стр.+1стр.

3

-2

-1

3

9

4стр.+1стр.

2.

2

-2

1

3

9

1стр.+2*3стр.

-5

5

0

-12

-29

2стр.-5*3стр.

3

1*

0

2

13

 

5

-4

0

6

18

4стр.+4*3стр.

3.

8

0

1

7

35

 

-20

0

0

-22

-94

2стр./(-20)

3

1

0

2

13

 

17

0

0

14

70

 

4.

8

0

1

7

35

 

1*

0

0

1,1

4,7

 

3

1

0

2

13

 

17

0

0

14

70

4стр.-17*2стр.

5.

8

0

1

7

35

 

1*

0

0

1,1

4,7

 

3

1

0

2

13

 

0

0

0

-4,7

-9,9

 

1* -  ведущий элемент.

2).  Решаем получившуюся систему.

           

Ответ:          

V.  Выводы по работе:  Выполняются  студентом  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41596. ИСТОЧНИКИ ТРУДОВОГО ПРАВА 38.5 KB
  Понятие источников трудового права Источники трудового права это формы выражения правовых предписаний через нормативные акты как результат деятельности компетентных органов государства которые устанавливают или санкционируют правовые нормы обязательные для сторон правоотношений которые составляют предмет трудового права. У термина источники права два значения: 1.материальное причины образования права т.
41597. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАМЕДЛЯЮЩИХ СИСТЕМ 76.32 KB
  Овладение методами построения дисперсионных характеристик и расчета сопротивления связи. С помощью петли связи в макете возбуждается стоячая волна амплитуда которой контролируется через петлю связи Конструктивно макет выполнен из колец и диафрагм с прорезанными в них щелями связи. Связь генератора и детекторной головки с макетом ЗС или с калибровочным резонатором осуществляется с помощью входной и индикаторной петель связи.
41598. ЛАНДШАФТНАЯ АРХИТЕКТУРА 3.28 MB
  Два варианта посадки растений для вертикального озеленения 15. Устройство и подбор ассортимента растений 18. При формировании древеснокустарниковых насаждений учитываются не только композиционные но и биологические и экологические особенности растений. Виды растений используемых для солитеров: крупные кустарники 23 м и более сирень обыкновенная и венгерская боярышник туя западная; красиво и обильно цветущие: чубушники ракитники калина розы.
41599. Понятие ландшафта в ландшафтной архитектуре. Природный, антропогенный, культурный и деградированный ландшафты 3.27 MB
  При формировании древеснокустарниковых насаждений учитываются не только композиционные но и биологические и экологические особенности растений. Виды растений используемых для солитеров: крупные кустарники 23 м и более сирень обыкновенная и венгерская боярышник туя западная; красиво и обильно цветущие: чубушники ракитники калина розы. По величине: малые 23 растения; средние 47 растений; большие 1012 растений. Виды растений предназначенных для стрижки: липа тополь боярышник чубушник барбарис можжевельник туя...
41600. Основные понятия баз данных ACCESS 2007 104.45 KB
  Создание базы данных состоящей из одной таблицы. Цели урока: Познакомиться с основными понятиями баз данных; Научиться создавать таблицы баз данных в режиме Конструктор; Освоить переход из режима Конструктор в режим таблицы; Освоить основные приемы заполнения и редактирования таблиц; Познакомиться с простой сортировкой данных и с поиском записей по образцу; Научиться сохранять и загружать базы данных. В окне системы управления базы данных щелкнуть по значку Новая база данных . Справа в появившемся окне дать имя новой...
41601. Background Radioactivity of Environment 19.23 KB
  Shchetynsk ICS 405 Lbortory work Bckground Rdioctivity of Environment im: to lern the methods of mesure of bckground rdioctivity simply gmmrdition. Theoreticl informtion Mny forms of “rdition†re encountered in the nturl environment nd re produced by modern technology. Even sunlight the most essentil rdition of ll cn be hrmful in excessive mounts. Most public ttention is given to the ctegory of rdition known s “ionizing rdition.
41602. Photosynthesis 379.06 KB
  Theoreticl informtion Photosynthesis converts light energy into the chemicl energy of sugrs nd other orgnic compounds. Light energy from light drives the rections. Photosynthesis uses light energy to drive the electrons from wter to their more energetic sttes in the sugr products thus converting solr energy into chemicl energy. The solr energy clled visible light drives photosynthesis.
41603. Hardness of Drinking Water 53.38 KB
  Shchetynsk ICS 405 Lbortory work 3 Hrdness of Drinking Wter im: to reserch the types of the hrdness of drinking wter. Theoreticl informtion Sources of Hrdness Minerls in Drinking Wter Wter is good solvent nd picks up impurities esily. Pure wter tsteless colorless nd odorless is often clled the universl solvent. When wter is combined with crbon dioxide to form very wek crbonic cid n even better solvent results.
41604. Nitrates and Nitrites 19.97 KB
  Shchetynsk ICS 405 Lbortory work 4 Nitrtes nd Nitrites Theoreticl informtion Nitrte nd nitrite re compounds tht contin nitrogen tom joined to oxygen toms with nitrte contining three oxygen toms nd nitrite contining two. In nture nitrtes re redily converted to nitrites nd vice vers. Nitrtes re used primrily to mke fertilizer but they re lso used to mke glss nd explosives. Nitrites re mnufctured minly for use s food preservtive nd both nitrtes nd nitrites re used extensively to enhnce the color nd extend the shelf life of processed mets.