10652

Решение систем линейных уравнений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 3 Решение систем линейных уравнений Цель работы. Выяснить какие технические и технологические задачи встречающиеся на практике приводят к системам линейных уравнений. Исходя из таблиц опытных данных научиться составлять такие сис

Русский

2013-03-30

263.5 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  3

Решение систем линейных уравнений

Цель работы.  Выяснить, какие технические и технологические задачи, встречающиеся на практике, приводят к системам линейных уравнений. Исходя из таблиц опытных данных, научиться  составлять такие системы, а затем решать различными способами. Изучить понятия   матрица  и  определитель,   а также действия над ними.

Теоретические положения. Система линейных алгебраических уравнений  n-го порядка имеет следующий вид:

                            (1)

где       постоянные коэффициенты,

     свободные члены,

   неизвестные величины.

Для решения такой системы методом Крамера следует составить  n+1 опреде-литель:  сначала определитель системы  

, а затем  , ……   .

Неизвестные величины  находятся по формулам Крамера:

                         

Решение  методом Гаусса основано на преобразовании исходной системы (1) к треугольному виду  (2), используя свойства матриц

                                     (2)

Например, любую строку можно умножить на число () и сложить с другой строкой. Принимая в (1) коэффициент  в качестве ведущего, добиваемся, чтобы все остальные коэффициенты в первом столбце оказались равными нулю , т.е.  . Аналогично, принимая   в качестве ведущего элемента, добиваемся нулей во втором столбце и т.д., пока не останется  уравнение . Полученная система (2) полностью эквивалентна исходной и решается обратным ходом, т.е. снизу вверх. Иначе говря, находим вначале   из последнего уравнения, а затем и остальные  неизвестные из вышестоящих уравнений :.

Порядок выполнения работы:

-  после ознакомления со своим вариантом, составить пять опредлителей: определитель системы  , и еще четыре определителя:  , полученные как указано выше,

- определитель   следует вычислить “вручную” , используя свойства определителей, рассмотренные в теории,

-  в MathCad  вычислить

-  найти    по формулам Крамера,

-  сделать проверку полученных результатов, записать ответ,

-  используя свойства матриц, решить ту же систему методом Гаусса, т.е. преобразовать ее к треугольному виду (2), после чего найти  ;

все вычисления удобно выполнить в виде таблицы с указанием  преобра-зований над строками матриц,

-  выписать результат в виде матрицы-столбца,

-  сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.    Каждая система линейных уравнений, предназначенная для решения, задана в виде расширенной матрицы коэффициентов, где первые четыре столбца соответствуют коэффициентам при неизвестных  , а последний – это столбец свободных членов.

 

                                 

 

  

  

Пример расчета.

I.   Цель работы:

Научиться решать системы линейных уравнений высоких порядков методами Крамера и Гаусса, а также вычислять различные определители и выполнять действия над матрицами.

II. Исходные данные -  дана система четвертого порядка:

               

III.  Решение системы методом Крамера:

1).  Вычисление определителя системы    ∆ (“вручную”)

    

Преобразования

стр.1-стр.4

стр.2+стр.4

стр.3+3*стр.1

Понижение порядка определителя;

- ведущий элемент

ст.3 +2*ст.1

Понижение порядка определителя;

- ведущий элемент

-

-(-3*8-7*10)= 94

∆=94

2).  Проверим   ∆  в MathCAD.

       

3).  Составим определители ∆1, ∆2, ∆3, ∆4, заменяя соответствующие столбцы определителя  ∆   свободными членами. Вычислим    ∆1, ∆2, ∆3, ∆4   в MathCAD.


          

4).  Найдем теперь неизвестные   величины:   ,,,.

         

    ,   ,   ,   

5).  Проверка по второму уравнению:

2,383-1,638+3*1,191-3*2,106=-2, след. ответ верный.


IV. Решение системы методом Гаусса:

1).  Вычисление расширенной матрицы С, включающей матрицу ∆ из коэффициентов при x  и свободные члены.

Свободные члены

Преобразования

1.

2

-2

1*

3

9

 

1

-1

3

-3

-2

2стр.-3*1стр.

1

3

-1

-1

4

3стр.+1стр.

3

-2

-1

3

9

4стр.+1стр.

2.

2

-2

1

3

9

1стр.+2*3стр.

-5

5

0

-12

-29

2стр.-5*3стр.

3

1*

0

2

13

 

5

-4

0

6

18

4стр.+4*3стр.

3.

8

0

1

7

35

 

-20

0

0

-22

-94

2стр./(-20)

3

1

0

2

13

 

17

0

0

14

70

 

4.

8

0

1

7

35

 

1*

0

0

1,1

4,7

 

3

1

0

2

13

 

17

0

0

14

70

4стр.-17*2стр.

5.

8

0

1

7

35

 

1*

0

0

1,1

4,7

 

3

1

0

2

13

 

0

0

0

-4,7

-9,9

 

1* -  ведущий элемент.

2).  Решаем получившуюся систему.

           

Ответ:          

V.  Выводы по работе:  Выполняются  студентом  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71960. Вправи і задачі на додавання і віднімання в межах 20 38.5 KB
  Вдосконалювати обчислювальні навички в межах 20 закріплювати вміння розв’язувати задачі опрацьованих видів розвивати мислення увагу мовлення виховувати відповідальність взаємодопомогу. Під час подорожі ми будемо розв’язувати приклади і задачі на додавання і віднімання в межах 20.
71961. Число і цифра 7. Утворення числа способом прилічування 1. Порівняння чисел у межах 7. Попереднє і наступне числа. Написання цифри 7 112.5 KB
  Мета: ввести поняття числа сім познайомити з написанням цифри 7; учити порівнювати предмети; вправляти в лічбі предметів; закріплювати вміння співвідносити кількість предметів і число; узагальнити вміння записувати й розв’язувати приклади на додавання; розвивати мислення; виховувати уважність.
71962. Сложение и вычитание в пределах 10 237 KB
  Чтобы попасть к ним нужно переправиться к ним на другой берег так чтобы числа следовали в порядке возрастания. Готовы отправиться в путь 1 Переправа 6 1 препятствие: состав числа 6 8 – 2 препятствие: между какими числами находится. Как называются числа стоящие перед заданным...
71963. Людина починається з добра! 51.5 KB
  Хлопці її однокласники почали голосно сміятися. Але були це факт Жора Горобейко воротар футбольної команди четвертого А класу грався з дівчиськами в ляльки Хлопці похмуро мовчали. Оце так новина І тут хлопці згадали що Жора взагалі останнім часом поводився якось дивно: після школи поспішав...
71964. Закріплення вивченого матеріалу. Складання та обчислення значень виразів на додавання і віднімання в межах 10 42 KB
  Мета: продовжувати формувати вміння виконувати арифметичні дії додавання і віднімання; навчати учнів розв’язувати приклади на додавання і віднімання в межах 10; продовжувати формувати вміння порівнювати числа; повторити склад числа 10; розвивати пізнавальну активність дітей; формувати вміння працювати в парі...
71966. Лицарський турнір 60 KB
  Отже слухайте всі і не кажіть що ви не чули Музика В одній далекій і невідомій нам країні жив Король зі своєю Королевою. А куди ж без нього Король був. Але що розповідати про короля Він був таким яким і мусить бути король і ніжно любив свою королеву А от королева була вередливою і часто страждала від поганого настрою.
71967. Елементарне поняття симетричної форми та осі симетрії. “Світ комах.” 367 KB
  Обладнання: колекція жуків та метеликів під склом коник мураха бабка комар оса малюнки сопілка малюнки луків гуаш пензлик аркуш паперу фарби баночка з водою Червона книга України магнітофон касета знак “Не лови. Метелик 2 А я гарний стрибунець Ось такий я молодець.
71968. Розкажу про мою маму 165 KB
  Мета: виховувати любов і шанобливе ставлення до рідної матері до ненькиУкраїни допомогти учням усвідомити душевні болі Святої Матері Діви Марії через страсті Ісуса Христа. Як ви думаєте чиє серце наповнювалося болем найбільше дивлячись на страждання Сина Божого У Матері Божої.