10652

Решение систем линейных уравнений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 3 Решение систем линейных уравнений Цель работы. Выяснить какие технические и технологические задачи встречающиеся на практике приводят к системам линейных уравнений. Исходя из таблиц опытных данных научиться составлять такие сис

Русский

2013-03-30

263.5 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  3

Решение систем линейных уравнений

Цель работы.  Выяснить, какие технические и технологические задачи, встречающиеся на практике, приводят к системам линейных уравнений. Исходя из таблиц опытных данных, научиться  составлять такие системы, а затем решать различными способами. Изучить понятия   матрица  и  определитель,   а также действия над ними.

Теоретические положения. Система линейных алгебраических уравнений  n-го порядка имеет следующий вид:

                            (1)

где       постоянные коэффициенты,

     свободные члены,

   неизвестные величины.

Для решения такой системы методом Крамера следует составить  n+1 опреде-литель:  сначала определитель системы  

, а затем  , ……   .

Неизвестные величины  находятся по формулам Крамера:

                         

Решение  методом Гаусса основано на преобразовании исходной системы (1) к треугольному виду  (2), используя свойства матриц

                                     (2)

Например, любую строку можно умножить на число () и сложить с другой строкой. Принимая в (1) коэффициент  в качестве ведущего, добиваемся, чтобы все остальные коэффициенты в первом столбце оказались равными нулю , т.е.  . Аналогично, принимая   в качестве ведущего элемента, добиваемся нулей во втором столбце и т.д., пока не останется  уравнение . Полученная система (2) полностью эквивалентна исходной и решается обратным ходом, т.е. снизу вверх. Иначе говря, находим вначале   из последнего уравнения, а затем и остальные  неизвестные из вышестоящих уравнений :.

Порядок выполнения работы:

-  после ознакомления со своим вариантом, составить пять опредлителей: определитель системы  , и еще четыре определителя:  , полученные как указано выше,

- определитель   следует вычислить “вручную” , используя свойства определителей, рассмотренные в теории,

-  в MathCad  вычислить

-  найти    по формулам Крамера,

-  сделать проверку полученных результатов, записать ответ,

-  используя свойства матриц, решить ту же систему методом Гаусса, т.е. преобразовать ее к треугольному виду (2), после чего найти  ;

все вычисления удобно выполнить в виде таблицы с указанием  преобра-зований над строками матриц,

-  выписать результат в виде матрицы-столбца,

-  сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.    Каждая система линейных уравнений, предназначенная для решения, задана в виде расширенной матрицы коэффициентов, где первые четыре столбца соответствуют коэффициентам при неизвестных  , а последний – это столбец свободных членов.

 

                                 

 

  

  

Пример расчета.

I.   Цель работы:

Научиться решать системы линейных уравнений высоких порядков методами Крамера и Гаусса, а также вычислять различные определители и выполнять действия над матрицами.

II. Исходные данные -  дана система четвертого порядка:

               

III.  Решение системы методом Крамера:

1).  Вычисление определителя системы    ∆ (“вручную”)

    

Преобразования

стр.1-стр.4

стр.2+стр.4

стр.3+3*стр.1

Понижение порядка определителя;

- ведущий элемент

ст.3 +2*ст.1

Понижение порядка определителя;

- ведущий элемент

-

-(-3*8-7*10)= 94

∆=94

2).  Проверим   ∆  в MathCAD.

       

3).  Составим определители ∆1, ∆2, ∆3, ∆4, заменяя соответствующие столбцы определителя  ∆   свободными членами. Вычислим    ∆1, ∆2, ∆3, ∆4   в MathCAD.


          

4).  Найдем теперь неизвестные   величины:   ,,,.

         

    ,   ,   ,   

5).  Проверка по второму уравнению:

2,383-1,638+3*1,191-3*2,106=-2, след. ответ верный.


IV. Решение системы методом Гаусса:

1).  Вычисление расширенной матрицы С, включающей матрицу ∆ из коэффициентов при x  и свободные члены.

Свободные члены

Преобразования

1.

2

-2

1*

3

9

 

1

-1

3

-3

-2

2стр.-3*1стр.

1

3

-1

-1

4

3стр.+1стр.

3

-2

-1

3

9

4стр.+1стр.

2.

2

-2

1

3

9

1стр.+2*3стр.

-5

5

0

-12

-29

2стр.-5*3стр.

3

1*

0

2

13

 

5

-4

0

6

18

4стр.+4*3стр.

3.

8

0

1

7

35

 

-20

0

0

-22

-94

2стр./(-20)

3

1

0

2

13

 

17

0

0

14

70

 

4.

8

0

1

7

35

 

1*

0

0

1,1

4,7

 

3

1

0

2

13

 

17

0

0

14

70

4стр.-17*2стр.

5.

8

0

1

7

35

 

1*

0

0

1,1

4,7

 

3

1

0

2

13

 

0

0

0

-4,7

-9,9

 

1* -  ведущий элемент.

2).  Решаем получившуюся систему.

           

Ответ:          

V.  Выводы по работе:  Выполняются  студентом  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1510. Понятия миссии и миссионерства/ О православной миссии 107.48 KB
  Понятия миссии и миссионерства. Традиционные и нетрадиционные религии. Причины возникновения миссионерства. Методология миссионерства. Основной принцип миссионера. Оружие миссионера.
1511. Анализ предприятия по его производственных цехов по производству военного оборудования 94.01 KB
  Структура предприятия и ее общая характеристика. Материально техническое снабжение предприятия. КИП и А, технологическое оборудование на предприятии. Анализ поступления изделий на участок. Разработка технологии настройки изделия.
1512. Композиционные материалы 67 KB
  Выбор материала корпуса. Армирующий материал. Выбор материала электродов. Свойства полипропилена, и его производство на предприятиях химической промышленности применяются различная аппаратура: реакторы, технологические газоходы, циклоны, каплеуловители, емкости и т.п.
1513. Проектирование предприятия по производству насосов 98.08 KB
  Определение плана производства и обоснование производственной мощности (на примере производства насосов). Технико-экономическое обоснование варианта размещения предприятия. Транспортные затраты по обеспечению завода материалами и полуфабрикатами.
1514. Принципы работы в основных компьютерных программах Microsoft 478 KB
  Система MIKROSOFT OUTLOOK, в планировании работ и событий. Текстовый редактор MICROSOFT WORD, в организации документоведения. Система Microsoft Exel. Работа с электронными таблицами. Создание презентаций в системе Ms Power Point.
1515. Звіт про виконання лабораторних робіт з дисципліни економічної інформатики 38.22 KB
  Моделювання математичних процесів. Моделювання обчислень в економічних задачах табличного вигляду. Кругові графіки. Моделювання циклічних процесів.
1516. Проект одноступенчатого редуктора для электродвигателя марки А100S2У3 28.75 KB
  Номинальные частоты вращения и угловые скорости редуктора. Делительный диаметр червячного колеса. Предварительный Расчет валов редуктора и конструирование червяка и червячного колеса. Конструкционные размеры корпуса редуктора.
1517. Расчет зоны покрытия и абонентской нагрузкидля базовой станции стандарта GSM 77.97 KB
  Расчет зоны покрытия БС с помощью модели Хата. Расчет нагрузки в соте. Вероятность отказа в обслуживании сотой абонента в зависимости от количества каналов.
1518. Базовая структура системы автоматического управления приводным двигателем постоянного тока 111.02 KB
  Выбор электродвигателя. Выбор силового преобразователя. Выбор сглаживающего дросселя. Определение коэффициентов передачи и постоянных времени силовых элементов. Компоновка и расчет статики САУ. Построение функциональной схемы САУ. Расчет статических характеристик САУ. Выбор элементов САУ и расчет параметров обратных связей.