10652

Решение систем линейных уравнений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 3 Решение систем линейных уравнений Цель работы. Выяснить какие технические и технологические задачи встречающиеся на практике приводят к системам линейных уравнений. Исходя из таблиц опытных данных научиться составлять такие сис

Русский

2013-03-30

263.5 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  3

Решение систем линейных уравнений

Цель работы.  Выяснить, какие технические и технологические задачи, встречающиеся на практике, приводят к системам линейных уравнений. Исходя из таблиц опытных данных, научиться  составлять такие системы, а затем решать различными способами. Изучить понятия   матрица  и  определитель,   а также действия над ними.

Теоретические положения. Система линейных алгебраических уравнений  n-го порядка имеет следующий вид:

                            (1)

где       постоянные коэффициенты,

     свободные члены,

   неизвестные величины.

Для решения такой системы методом Крамера следует составить  n+1 опреде-литель:  сначала определитель системы  

, а затем  , ……   .

Неизвестные величины  находятся по формулам Крамера:

                         

Решение  методом Гаусса основано на преобразовании исходной системы (1) к треугольному виду  (2), используя свойства матриц

                                     (2)

Например, любую строку можно умножить на число () и сложить с другой строкой. Принимая в (1) коэффициент  в качестве ведущего, добиваемся, чтобы все остальные коэффициенты в первом столбце оказались равными нулю , т.е.  . Аналогично, принимая   в качестве ведущего элемента, добиваемся нулей во втором столбце и т.д., пока не останется  уравнение . Полученная система (2) полностью эквивалентна исходной и решается обратным ходом, т.е. снизу вверх. Иначе говря, находим вначале   из последнего уравнения, а затем и остальные  неизвестные из вышестоящих уравнений :.

Порядок выполнения работы:

-  после ознакомления со своим вариантом, составить пять опредлителей: определитель системы  , и еще четыре определителя:  , полученные как указано выше,

- определитель   следует вычислить “вручную” , используя свойства определителей, рассмотренные в теории,

-  в MathCad  вычислить

-  найти    по формулам Крамера,

-  сделать проверку полученных результатов, записать ответ,

-  используя свойства матриц, решить ту же систему методом Гаусса, т.е. преобразовать ее к треугольному виду (2), после чего найти  ;

все вычисления удобно выполнить в виде таблицы с указанием  преобра-зований над строками матриц,

-  выписать результат в виде матрицы-столбца,

-  сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.    Каждая система линейных уравнений, предназначенная для решения, задана в виде расширенной матрицы коэффициентов, где первые четыре столбца соответствуют коэффициентам при неизвестных  , а последний – это столбец свободных членов.

 

                                 

 

  

  

Пример расчета.

I.   Цель работы:

Научиться решать системы линейных уравнений высоких порядков методами Крамера и Гаусса, а также вычислять различные определители и выполнять действия над матрицами.

II. Исходные данные -  дана система четвертого порядка:

               

III.  Решение системы методом Крамера:

1).  Вычисление определителя системы    ∆ (“вручную”)

    

Преобразования

стр.1-стр.4

стр.2+стр.4

стр.3+3*стр.1

Понижение порядка определителя;

- ведущий элемент

ст.3 +2*ст.1

Понижение порядка определителя;

- ведущий элемент

-

-(-3*8-7*10)= 94

∆=94

2).  Проверим   ∆  в MathCAD.

       

3).  Составим определители ∆1, ∆2, ∆3, ∆4, заменяя соответствующие столбцы определителя  ∆   свободными членами. Вычислим    ∆1, ∆2, ∆3, ∆4   в MathCAD.


          

4).  Найдем теперь неизвестные   величины:   ,,,.

         

    ,   ,   ,   

5).  Проверка по второму уравнению:

2,383-1,638+3*1,191-3*2,106=-2, след. ответ верный.


IV. Решение системы методом Гаусса:

1).  Вычисление расширенной матрицы С, включающей матрицу ∆ из коэффициентов при x  и свободные члены.

Свободные члены

Преобразования

1.

2

-2

1*

3

9

 

1

-1

3

-3

-2

2стр.-3*1стр.

1

3

-1

-1

4

3стр.+1стр.

3

-2

-1

3

9

4стр.+1стр.

2.

2

-2

1

3

9

1стр.+2*3стр.

-5

5

0

-12

-29

2стр.-5*3стр.

3

1*

0

2

13

 

5

-4

0

6

18

4стр.+4*3стр.

3.

8

0

1

7

35

 

-20

0

0

-22

-94

2стр./(-20)

3

1

0

2

13

 

17

0

0

14

70

 

4.

8

0

1

7

35

 

1*

0

0

1,1

4,7

 

3

1

0

2

13

 

17

0

0

14

70

4стр.-17*2стр.

5.

8

0

1

7

35

 

1*

0

0

1,1

4,7

 

3

1

0

2

13

 

0

0

0

-4,7

-9,9

 

1* -  ведущий элемент.

2).  Решаем получившуюся систему.

           

Ответ:          

V.  Выводы по работе:  Выполняются  студентом  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3583. Здоровий спосіб життя. Методичний посібник для вчителів загальноосвітніх навчальних закладів 1.59 MB
  Здоров’я школярів багато в чому залежить від їхніх теоретичних знань і практичних навичок, які сприяють збереженню здоров’я. Найбільш серйозні соціальні проблеми й проблеми охорони здоров’я, поширені в наш час, багато в чому виз...
3584. Механічні коливання і хвилі 17.83 KB
  Механічні коливання і хвилі Мета уроку: повторити, узагальнити та систематизувати знання учнів з теми «Механічні коливання і хвилі», розвивати вміння творчо мислити, вчити цінувати думку та працю інших, виховувати етику та культуру спілкування. Тип...
3585. Електричний струм в електролітах. Застосування електролізу 39.45 KB
  Електричний струм в електролітах. Застосування електролізу Мета: дати учням уявлення про електроліз як окисно-відновний процес: розвивати вміння спостерігати, аналізувати фізичні й хімічні явища, робити висновки; закріпити поняття «електролітична ди...
3586. Електричний струм у газах. Несамостійний і самостійний розряди у газах. 27.41 KB
  Електричний струм у газах. Несамостійний і самостійний розряди у газах. Мета: розкрити фізичну природу електричної провідності газів з точки зору електронної теорії, з'ясувати види розрядів; розвивати логічне мислення; виховувати спостережливість, увагу...
3587. Закони постійного струму. Урок-змагання 71.68 KB
  Закони постійного струму. Урок-змагання. Узагальнити і поглибити знання учнів за темою «Закони постійного струму»; закріпити уміння і навички розв'язування розрахункових та експериментальних задач; формувати навички колективної праці в поєднанні з індивідуальною.
3588. Сценарій Вернісаж особистостей 14.63 KB
  Сценарій Вернісаж особистостей Ведуча: шановні учні, вчителі! Сьогодні ми зібрались в цій залі, щоб подумати, помріяти, відпочити і підтримувати учасників «Вернісаж особистостей». У конкурсі приймають участь 15 учасників. Ведучий: і як водиться, на ...
3589. Випускний вечір 2012 118.5 KB
  Випускний вечір 2012 Святково прибрана актова зала. Під тиху музику ведуча звертається до присутніх. Ведуча: Доброго вам вечора, шановні батьки, вчителі, гості! Здається, що тільки вчора пролунав останній дзвоник, позаду - напружена пора іспитів, і ...
3590. Відпрацювання навиків розв’язування вправ на застосування відсоткових відношень 112.5 KB
  Відпрацювання навиків розв’язування вправ на застосування відсоткових відношень. розвивати елементи логічного мислення, виховувати культуру математичної мови та запису. Обладнання: ілюстрації до задач, картки із самостійною роботою у вигл...
3591. Використання комп’ютерних мереж у навчальному процесі 114.5 KB
  Використання комп’ютерних мереж у навчальному процесі Відомий американський вчений науковець Джон Нейсбіт в минулому виконавчий директор ІБМ (IBM - International Business Machine Corp., одна з найвідоміших корпорацій у світі, яка займається вип...