10652

Решение систем линейных уравнений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 3 Решение систем линейных уравнений Цель работы. Выяснить какие технические и технологические задачи встречающиеся на практике приводят к системам линейных уравнений. Исходя из таблиц опытных данных научиться составлять такие сис

Русский

2013-03-30

263.5 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  3

Решение систем линейных уравнений

Цель работы.  Выяснить, какие технические и технологические задачи, встречающиеся на практике, приводят к системам линейных уравнений. Исходя из таблиц опытных данных, научиться  составлять такие системы, а затем решать различными способами. Изучить понятия   матрица  и  определитель,   а также действия над ними.

Теоретические положения. Система линейных алгебраических уравнений  n-го порядка имеет следующий вид:

                            (1)

где       постоянные коэффициенты,

     свободные члены,

   неизвестные величины.

Для решения такой системы методом Крамера следует составить  n+1 опреде-литель:  сначала определитель системы  

, а затем  , ……   .

Неизвестные величины  находятся по формулам Крамера:

                         

Решение  методом Гаусса основано на преобразовании исходной системы (1) к треугольному виду  (2), используя свойства матриц

                                     (2)

Например, любую строку можно умножить на число () и сложить с другой строкой. Принимая в (1) коэффициент  в качестве ведущего, добиваемся, чтобы все остальные коэффициенты в первом столбце оказались равными нулю , т.е.  . Аналогично, принимая   в качестве ведущего элемента, добиваемся нулей во втором столбце и т.д., пока не останется  уравнение . Полученная система (2) полностью эквивалентна исходной и решается обратным ходом, т.е. снизу вверх. Иначе говря, находим вначале   из последнего уравнения, а затем и остальные  неизвестные из вышестоящих уравнений :.

Порядок выполнения работы:

-  после ознакомления со своим вариантом, составить пять опредлителей: определитель системы  , и еще четыре определителя:  , полученные как указано выше,

- определитель   следует вычислить “вручную” , используя свойства определителей, рассмотренные в теории,

-  в MathCad  вычислить

-  найти    по формулам Крамера,

-  сделать проверку полученных результатов, записать ответ,

-  используя свойства матриц, решить ту же систему методом Гаусса, т.е. преобразовать ее к треугольному виду (2), после чего найти  ;

все вычисления удобно выполнить в виде таблицы с указанием  преобра-зований над строками матриц,

-  выписать результат в виде матрицы-столбца,

-  сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.    Каждая система линейных уравнений, предназначенная для решения, задана в виде расширенной матрицы коэффициентов, где первые четыре столбца соответствуют коэффициентам при неизвестных  , а последний – это столбец свободных членов.

 

                                 

 

  

  

Пример расчета.

I.   Цель работы:

Научиться решать системы линейных уравнений высоких порядков методами Крамера и Гаусса, а также вычислять различные определители и выполнять действия над матрицами.

II. Исходные данные -  дана система четвертого порядка:

               

III.  Решение системы методом Крамера:

1).  Вычисление определителя системы    ∆ (“вручную”)

    

Преобразования

стр.1-стр.4

стр.2+стр.4

стр.3+3*стр.1

Понижение порядка определителя;

- ведущий элемент

ст.3 +2*ст.1

Понижение порядка определителя;

- ведущий элемент

-

-(-3*8-7*10)= 94

∆=94

2).  Проверим   ∆  в MathCAD.

       

3).  Составим определители ∆1, ∆2, ∆3, ∆4, заменяя соответствующие столбцы определителя  ∆   свободными членами. Вычислим    ∆1, ∆2, ∆3, ∆4   в MathCAD.


          

4).  Найдем теперь неизвестные   величины:   ,,,.

         

    ,   ,   ,   

5).  Проверка по второму уравнению:

2,383-1,638+3*1,191-3*2,106=-2, след. ответ верный.


IV. Решение системы методом Гаусса:

1).  Вычисление расширенной матрицы С, включающей матрицу ∆ из коэффициентов при x  и свободные члены.

Свободные члены

Преобразования

1.

2

-2

1*

3

9

 

1

-1

3

-3

-2

2стр.-3*1стр.

1

3

-1

-1

4

3стр.+1стр.

3

-2

-1

3

9

4стр.+1стр.

2.

2

-2

1

3

9

1стр.+2*3стр.

-5

5

0

-12

-29

2стр.-5*3стр.

3

1*

0

2

13

 

5

-4

0

6

18

4стр.+4*3стр.

3.

8

0

1

7

35

 

-20

0

0

-22

-94

2стр./(-20)

3

1

0

2

13

 

17

0

0

14

70

 

4.

8

0

1

7

35

 

1*

0

0

1,1

4,7

 

3

1

0

2

13

 

17

0

0

14

70

4стр.-17*2стр.

5.

8

0

1

7

35

 

1*

0

0

1,1

4,7

 

3

1

0

2

13

 

0

0

0

-4,7

-9,9

 

1* -  ведущий элемент.

2).  Решаем получившуюся систему.

           

Ответ:          

V.  Выводы по работе:  Выполняются  студентом  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

86122. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ СИСТЕМЫ ДОКУМЕНТООБОРОТА В СФЕРЕ ПЛАНИРОВАНИЕ НА ОАО «ЗАВОД «НЕФТЕПРОММАШ» 1.07 MB
  Тема актуальна для производственных предприятий внедряющих 1С 8.2. (управленческий учет), т.к. в ней описывается процесс планирования и его документооборота, который в дальнейшем может внедряться на других производственных предприятиях. Усовершенствование системы документооборота позволяет предприятию упростить...
86124. Разработка и адаптация модели управления запасами на исследуемом предприятии 774.5 KB
  Объектом исследования данной работы стало предприятие, занимающееся торговлей продукцией. Основная задача состояла в разработке и адаптации системы управления запасами предприятия. В результате работы были изучены входные и выходные параметры модели управления запасами. Адаптирована данная модель на предприятии может быть при помощи разработанной программы, представляющей собой удобное и простое средство оптимизации управления запасами фирмы.
86125. Технічні засоби звукозапису авторського колективу 413 KB
  В даний час існує безліч клубів самодіяльної пісні в містах нашої країни проводиться велика кількість фестивалів і конкурсів присвячених цьому виду творчості. Наше завдання вибрати найбільш оптимальний варіант її еволюції забезпечити організацію АМСТ згодом і забезпечити спадкоємність творчості різних поколінь співаючих поетів. І було б невірним намагатися приписати створення перших зразків авторської творчості чевидно що це явище саме загальносвітове а не виключно вітчизняне. Самодіяльної творчості дуже часто досягнувши певного...
86126. Разработка системы прогнозирования необходимого количества специалистов с учетом выпускников школ, колледжа и лицеев 9.85 MB
  В работе рассматривается проблема разработки системы прогнозирования необходимого количества специалистов для потребностей предприятий. Приводимый в настоящей работе анализ развития региональной образовательной системы и рекомендации по их обоснованию основывающиеся в свою очередь на общих принципах...
86127. Разработка компьютеризированных системы моделирования и управление ценообразованием (на базе ГП ЛДЦ «Ультрамед») 1.81 MB
  В работе детально излагается ценовая политика предприятия, методы формирования цены на предприятии которые могут быть использованы для получения максимальной прибыли. А также в работе приведена структура документооборота, которая требует компьютерной поддержки, получена трендовая модель для прогнозирования...
86130. Блок сепаратора для исследования скважин. Расчет на прочность 72.66 MB
  Целью настоящего расчета является подтверждение прочности сепаратора для исследования скважин ПГМ 301.3012.00.000 при заданных в КД нагрузках и выбранных материалах. Расчет включает задачи, приведенные в содержании настоящего документа.