10653

Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 4 Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона. Цель работы. Изучить способы отделения корней уравнений после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав од...

Русский

2013-03-30

146 KB

22 чел.

Лабораторная  работа  4

Отделение корней уравнений. Уточнение корней

методом Ньютона.

Цель работы.   Изучить способы отделения корней уравнений, после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав один из них, уточнить его методом Ньютона с заданной степенью точности.

Теоретические положения.  Алгебраическое уравнение  n-го порядка имеет ровно  n  корней. Для определения интервала, в котором сосредоточены все корни  уравнения   , воспользуемся формулой:

                                         ,                (1)

где  R- наибольшее из абсолютных значений чисел  .

Требуемые интервалы изоляции корней  проще всего искать с помощью программы Excel, приняв за начальное  значение    величину , а в качестве формулы  для    – левую часть заданного уравнения . Далее, используя  условия существования корней на отрезке,  найдем искомые интервалы   ,    и  .

Выбрав в качестве интервала изоляции, например, первый  , определим ту из его границ   или , которую можно принять за начальное приближение   метода Ньютона. Для этого должно выполняться условие

                                                      (2)

где   одна из границ интервала,   левая часть уравнения.

Уточнение корня   выполним с помощью алгоритма Ньютона:

                      (3),

причем вычисления будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие       ,              (4),

где    заданная погрешность.

Порядок выполнения работы:

- исходя из заданного варианта, записать уравнение   x3x2+Bx+C = 0,

- по формуле  (1)  найти интервал, в котором сосредоточены все корни заданного уравнения,

- найти интервалы изоляции  корней  ,    и  , используя программу Excel,

- выбрав один из интервалов, определить начальное приближение корня  , которое бы удовлетворяло условию  (2),

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (3), при этом на каждом шаге следует проверять условие (4),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  , а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Алгебраическое уравнение

 x3x2+Bx+C = 0         задано своими коэффициентами  A, B  и  C, представленными в таблице:  

A

B

C

A

B

C

1

-0.02

-1.2

-0.42

17

-1.51

0.25

0.17

2

-0.89

-0.16

0.11

18

-1.82

0.63

0.09

3

-1.28

0.17

0.13

19

-2,26

1,22

-0.11

4

-1.57

0.18

0.008

20

-2.72

1.96

-0.33

5

-1.19

-0.37

0.49

21

-3.44

3.33

-0.76

6

-2.48

1.66

-0.28

22

-1.37

-0.9

1.15

7

-1.72

0.56

0.042

23

-0.06

-1.39

-0.6

8

-0.3

-0.43

-0.04

24

-0.22

-1.13

0.32

9

-1.42

0.09

0.23

25

-1.56

-0.27

0.47

10

-2.12

0.8

0.27

26

-1.79

-0.74

0.06

11

0.46

-0.54

-0.11

27

1.5

-0.75

-0.13

12

0.19

-0.89

-0.28

28

-1.2

-0.48

0.06

13

0.11

-0.66

-0.15

29

-1.6

-0.84

0.14

14

-0.54

-0.74

-0.085

30

-1.82

-1.08

0.7

15

-1.32

-0.27

0.22

31

-3.38

0.68

0.51

16

-1.4

0.002

0.18

32

-0.78

-1.51

0.93

         Пример расчета.

1.Цель работы: Для заданного алгебраического уравнения третьего порядка найти три интервала изоляции, после чего, используя метод Ньютона, уточнить один корень с необходимой точностью.

2. Исходные данные.

x3x2+Bx+C = 0,     A = -0.240  B = -1.329  C = 0.433.

заданное  уравнение:  x3- 0,240x2- 1,329x+0,433 = 0,      

= 0.1 - погрешность при отделении  корня,  

= 10-8 - погрешность при  уточнении корня.

3. Результаты расчетов.

  1.  Поиск интервала для всех корней.  

<   R/  a0  +1

< 1.329 / 1 +1 = 2.329

< 2.329

    Все корни находятся в интервале:  [-2.3 ; 2.3]

  1.  Интервалы  изоляции, найденные с помощью Excel:

x1 [-1.2 ; -1.1],

x2  [0.3  ;0.4],

x3  [1.0  ;1.1] .

  1.  Определяем начальное приближение   в Mathcad

                       

   x0 = -1.2

  1.  Алгоритм решения методом Ньютона в Mathcad 

 (здесь показан первый шаг  n=1)

                            

  1.  Расчетная таблица

n

x

d

0

-1,20000000

0,00000000

1

-1,18716008

0,01283100

2

-1,18697818

0,00018180

3

-1,18697816

0,00000003

4

-1,18697816

0,00000000

  1.  Точное значение корня :         = -1.18697816

  4. Выводы по работе.  Выполняются студентом самостоятельно!


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74199. Programming paradigms 45 KB
  Progrmming prdigms. The word progrmming prdigm is used in severl different lthough relted menings in computer science. Progrmming prdigm – pttern tht serves s school of thoughts for progrmming of computers. Progrmming technique – relted to n lgorithmic ide for solving prticulr clss of problems.
74200. Imperative programming languages and tools 78 KB
  Impertive progrmming lnguges nd tools. Progrmming lnguges bsed on the impertive prdigm hve the following chrcteristics: 1 The bsic unit of bstrction is the PROCEDURE whose bsic structure is sequence of sttements tht re executed in succession bstrcting the wy tht the progrm counter is incremented so s to proceed through series of mchine instructions residing in sequentil hrdwre memory cells. Typiclly given vrible my ssume mny different vlues of the course of the execution of progrm just s hrdwre memory cell my contin mny different vlues.1...
74201. Imperative programming languages and tools 56.5 KB
  LGOL gretly influenced mny other lnguges – its mjor contribution is being the root of the tree tht gve rise to mny other progrmming lnguges including BCPL B Pscl PL I Simul C C nd Jv. Niklus Wirth bsed his own LGOL W on LGOL 60 before developing Pscl. This led to the doption of smller nd more compct lnguges such s Pscl...
74202. Functional programming languages and tools 55 KB
  Functional programming languages (FPL) were originally developed specifically to handle symbolic computation and list-processing applications. In FPLs the programmer is concerned only with functionality, not with memory-related variable storage and assignment sequences.
74203. Сылақ және майлау жұмыстарына арналған машиналар 717.44 KB
  Сылақ станциялары мен агрегаттары және қол ысқылауыштарының атқаратын қызметі негізгі параметрлері және қолданылу облысы. Жылжымалы сылау агрегаттары. Еден асты негіздерін дайындауға және шатыр мен гидроизоляциялауға арналған машиналар құрылымы мен жұмысы Жоспар: Сылақ станциялары мен агрегаттары және қол ысқылауыштарының атқаратын қызметі.
74204. Жер жұмыстарына арналған машиналар туралы жалпы мағлұматтар 147.63 KB
  Жұмысшы органдары мен топырақпен өзара әсерлесуі. Топырақтардың физикамеханикалық сипаттамасы Жоспар: Жер жұмыстарына арналған машиналар туралы жалпы мағлұматтар. Жұмысшы органдары мен топырақпен өзара әсерлесуі. Топырақтардың физикамеханикалық сипаттамасы.
74205. Жер қазу-тасымалдау машиналары. Қызметі, қолданылу облысы. Негізгі техника-экономикалық көрсеткіштері 659.49 KB
  Жер қазутасымалдау машиналары ЖҚТМ деп топырақты массивтен тарту күші арқылы ажыратып оны түсіру орнына өз жүрісімен жеткізетін құрылыс машиналарын атайды. Негізгі атқаратын жұмысшы операциялары: топырақты қабаттап өңдеу оны тасымалдау құрылыс объектісі негізіне төсеу немесе төгу топырақ беттерін жоспарлау. Негізгі қызметі: топырақты жер бетімен сүргіш органы арқылы азғана арақашықтыққа 150м жылжыту арқылы қабаттап өңдеу. Мына жағдайларда қолданылады: құрылыс алаңын дайындау барысында топырақтың беткі құнарлы қабатын алу;...
74206. Экскаваторлар. Жіктелуі, қолданылу облысы. Жұмысшы органының негізгі түрлері, параметрлері және құрылыс экскаваторларының индексациясы 885.5 KB
  Біршөмішті экскаватордың жұмыс циклі рет-ретімен орындалатын топырақ қазу, оны шөмішпен төсеу орнына тасымалдау, топырақты үйме мен көлік құралына аудару арқылы шөмішті босату және келесі циклді бастау үшін шөміштің алғашқы позициясына қайтып оралу операцияларынан тұрады
74207. Бұрғылау машиналары және жабдықтары. Бұрғылау құралы. Шпурлар бұрғылауға арналған машиналар. Бұрғылау-кранды машиналар 1.45 MB
  Бұрғылау – бұл топырақ массивінде қирау заттарын сыртқа шығара отырып, цилиндрлік жазықтықтар түзу арқылы топырақты қирату процесі. Егер диаметрі 75 мм дейін және тереңдігі 9 м болса жазықтықтар шпурлар деп, ал өлшемдері үлкен болса бұрғы деп аталынады.