10653

Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 4 Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона. Цель работы. Изучить способы отделения корней уравнений после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав од...

Русский

2013-03-30

146 KB

24 чел.

Лабораторная  работа  4

Отделение корней уравнений. Уточнение корней

методом Ньютона.

Цель работы.   Изучить способы отделения корней уравнений, после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав один из них, уточнить его методом Ньютона с заданной степенью точности.

Теоретические положения.  Алгебраическое уравнение  n-го порядка имеет ровно  n  корней. Для определения интервала, в котором сосредоточены все корни  уравнения   , воспользуемся формулой:

                                         ,                (1)

где  R- наибольшее из абсолютных значений чисел  .

Требуемые интервалы изоляции корней  проще всего искать с помощью программы Excel, приняв за начальное  значение    величину , а в качестве формулы  для    – левую часть заданного уравнения . Далее, используя  условия существования корней на отрезке,  найдем искомые интервалы   ,    и  .

Выбрав в качестве интервала изоляции, например, первый  , определим ту из его границ   или , которую можно принять за начальное приближение   метода Ньютона. Для этого должно выполняться условие

                                                      (2)

где   одна из границ интервала,   левая часть уравнения.

Уточнение корня   выполним с помощью алгоритма Ньютона:

                      (3),

причем вычисления будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие       ,              (4),

где    заданная погрешность.

Порядок выполнения работы:

- исходя из заданного варианта, записать уравнение   x3x2+Bx+C = 0,

- по формуле  (1)  найти интервал, в котором сосредоточены все корни заданного уравнения,

- найти интервалы изоляции  корней  ,    и  , используя программу Excel,

- выбрав один из интервалов, определить начальное приближение корня  , которое бы удовлетворяло условию  (2),

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (3), при этом на каждом шаге следует проверять условие (4),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  , а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Алгебраическое уравнение

 x3x2+Bx+C = 0         задано своими коэффициентами  A, B  и  C, представленными в таблице:  

A

B

C

A

B

C

1

-0.02

-1.2

-0.42

17

-1.51

0.25

0.17

2

-0.89

-0.16

0.11

18

-1.82

0.63

0.09

3

-1.28

0.17

0.13

19

-2,26

1,22

-0.11

4

-1.57

0.18

0.008

20

-2.72

1.96

-0.33

5

-1.19

-0.37

0.49

21

-3.44

3.33

-0.76

6

-2.48

1.66

-0.28

22

-1.37

-0.9

1.15

7

-1.72

0.56

0.042

23

-0.06

-1.39

-0.6

8

-0.3

-0.43

-0.04

24

-0.22

-1.13

0.32

9

-1.42

0.09

0.23

25

-1.56

-0.27

0.47

10

-2.12

0.8

0.27

26

-1.79

-0.74

0.06

11

0.46

-0.54

-0.11

27

1.5

-0.75

-0.13

12

0.19

-0.89

-0.28

28

-1.2

-0.48

0.06

13

0.11

-0.66

-0.15

29

-1.6

-0.84

0.14

14

-0.54

-0.74

-0.085

30

-1.82

-1.08

0.7

15

-1.32

-0.27

0.22

31

-3.38

0.68

0.51

16

-1.4

0.002

0.18

32

-0.78

-1.51

0.93

         Пример расчета.

1.Цель работы: Для заданного алгебраического уравнения третьего порядка найти три интервала изоляции, после чего, используя метод Ньютона, уточнить один корень с необходимой точностью.

2. Исходные данные.

x3x2+Bx+C = 0,     A = -0.240  B = -1.329  C = 0.433.

заданное  уравнение:  x3- 0,240x2- 1,329x+0,433 = 0,      

= 0.1 - погрешность при отделении  корня,  

= 10-8 - погрешность при  уточнении корня.

3. Результаты расчетов.

  1.  Поиск интервала для всех корней.  

<   R/  a0  +1

< 1.329 / 1 +1 = 2.329

< 2.329

    Все корни находятся в интервале:  [-2.3 ; 2.3]

  1.  Интервалы  изоляции, найденные с помощью Excel:

x1 [-1.2 ; -1.1],

x2  [0.3  ;0.4],

x3  [1.0  ;1.1] .

  1.  Определяем начальное приближение   в Mathcad

                       

   x0 = -1.2

  1.  Алгоритм решения методом Ньютона в Mathcad 

 (здесь показан первый шаг  n=1)

                            

  1.  Расчетная таблица

n

x

d

0

-1,20000000

0,00000000

1

-1,18716008

0,01283100

2

-1,18697818

0,00018180

3

-1,18697816

0,00000003

4

-1,18697816

0,00000000

  1.  Точное значение корня :         = -1.18697816

  4. Выводы по работе.  Выполняются студентом самостоятельно!


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38161. Система культурно-виховної та просвітницької роботи в ЗС України 130.5 KB
  В умовах реалізації Державної програми розвитку ЗС України на 2006 - 2011 роки питання культури, духовного розвитку також отримають особливу важливість. Це обумовлено необхідністю, по-перше, збагачення духовного світу військовослужбовців на основі залучення їх до духовних цінностей українського народу та його війська, кращих зразків української та мирової культури
38163. Організація та зміст інформаційно-пропагандистського забезпечення в ЗС України 146 KB
  Тема №9 Інформаційнопропагандистське забезпечення в Збройних Силах України Заняття №1: Організація та зміст інформаційнопропагандистського забезпечення в ЗС України Час: 2 години Мета заняття: формувати у курсантів риси необхідні військовому керівнику для професійної діяльності;...
38164. Методи проведення занять в системі гуманітарної підготовки 125 KB
  Тема №9 Інформаційнопропагандистське забезпечення в Збройних Силах України Заняття №3: Методи проведення занять в системі гуманітарної підготовки Час: 2 години Мета заняття: формувати у курсантів риси необхідні військовому керівнику для професійної діяльності; сприяти розвитку...
38165. Психологічний відбір військовослужбовців 118.5 KB
  Сутність і принципи психологічного відбору. Системний підхід до організації психологічного відбору. Необхідність професійного психологічного відбору обумовлена: високими вимогами до сучасного військовослужбовця; значимістю наслідків від помилок що виникають під час військової служби; необхідністю зниження матеріальних втрат внаслідок відрахування з навчальних військових частин та дострокового звільнення з військової служби осіб що не відповідають сучасним вимогам. У загальних рисах суть професійного...
38167. Система морально-психологічного забезпечення адаптації молодого поповнення до умов військової служби 134 KB
  Моральнопсихологічне забезпечення адаптації військовослужбовців до умов військової служби Заняття №1: Система моральнопсихологічного забезпечення адаптації молодого поповнення до умов військової служби Час: 2 години Мета заняття: формувати у курсантів риси необхідні військовому...
38168. Вплив сучасного бою на психіку військовослужбовців 141.5 KB
  Характер бойових психічних травм. Моральнопсихологічне забезпечення підготовки та ведення бойових дій: Навчальнометодичний посібник видання ІІ доповнене у двох частинах: частина І. №142 âПро затвердження Концепції моральнопсихологічного забезпечення підготовки та ведення операцій бойових дій Збройних Сил Україниâ. Наприклад психологічні особливості виконання бойових завдань особового складу 72 омб полягали в наступному: думки про фатальну долюâ тих хто там служить зважаючи на кількість втрат 52 62 омб; небезпечні умови...
38169. Культурно-виховна робота під час ведення бойових дій 128 KB
  Тема №5: Моральнопсихологічне забезпечення застосування підрозділів Сухопутних військ Збройних Сил України Заняття №8: Культурновиховна робота під час ведення бойових дій Час: 2 години Мета заняття: формувати у курсантів риси необхідні військовому керівнику для професійної...