10653

Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 4 Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона. Цель работы. Изучить способы отделения корней уравнений после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав од...

Русский

2013-03-30

146 KB

23 чел.

Лабораторная  работа  4

Отделение корней уравнений. Уточнение корней

методом Ньютона.

Цель работы.   Изучить способы отделения корней уравнений, после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав один из них, уточнить его методом Ньютона с заданной степенью точности.

Теоретические положения.  Алгебраическое уравнение  n-го порядка имеет ровно  n  корней. Для определения интервала, в котором сосредоточены все корни  уравнения   , воспользуемся формулой:

                                         ,                (1)

где  R- наибольшее из абсолютных значений чисел  .

Требуемые интервалы изоляции корней  проще всего искать с помощью программы Excel, приняв за начальное  значение    величину , а в качестве формулы  для    – левую часть заданного уравнения . Далее, используя  условия существования корней на отрезке,  найдем искомые интервалы   ,    и  .

Выбрав в качестве интервала изоляции, например, первый  , определим ту из его границ   или , которую можно принять за начальное приближение   метода Ньютона. Для этого должно выполняться условие

                                                      (2)

где   одна из границ интервала,   левая часть уравнения.

Уточнение корня   выполним с помощью алгоритма Ньютона:

                      (3),

причем вычисления будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие       ,              (4),

где    заданная погрешность.

Порядок выполнения работы:

- исходя из заданного варианта, записать уравнение   x3x2+Bx+C = 0,

- по формуле  (1)  найти интервал, в котором сосредоточены все корни заданного уравнения,

- найти интервалы изоляции  корней  ,    и  , используя программу Excel,

- выбрав один из интервалов, определить начальное приближение корня  , которое бы удовлетворяло условию  (2),

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (3), при этом на каждом шаге следует проверять условие (4),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  , а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Алгебраическое уравнение

 x3x2+Bx+C = 0         задано своими коэффициентами  A, B  и  C, представленными в таблице:  

A

B

C

A

B

C

1

-0.02

-1.2

-0.42

17

-1.51

0.25

0.17

2

-0.89

-0.16

0.11

18

-1.82

0.63

0.09

3

-1.28

0.17

0.13

19

-2,26

1,22

-0.11

4

-1.57

0.18

0.008

20

-2.72

1.96

-0.33

5

-1.19

-0.37

0.49

21

-3.44

3.33

-0.76

6

-2.48

1.66

-0.28

22

-1.37

-0.9

1.15

7

-1.72

0.56

0.042

23

-0.06

-1.39

-0.6

8

-0.3

-0.43

-0.04

24

-0.22

-1.13

0.32

9

-1.42

0.09

0.23

25

-1.56

-0.27

0.47

10

-2.12

0.8

0.27

26

-1.79

-0.74

0.06

11

0.46

-0.54

-0.11

27

1.5

-0.75

-0.13

12

0.19

-0.89

-0.28

28

-1.2

-0.48

0.06

13

0.11

-0.66

-0.15

29

-1.6

-0.84

0.14

14

-0.54

-0.74

-0.085

30

-1.82

-1.08

0.7

15

-1.32

-0.27

0.22

31

-3.38

0.68

0.51

16

-1.4

0.002

0.18

32

-0.78

-1.51

0.93

         Пример расчета.

1.Цель работы: Для заданного алгебраического уравнения третьего порядка найти три интервала изоляции, после чего, используя метод Ньютона, уточнить один корень с необходимой точностью.

2. Исходные данные.

x3x2+Bx+C = 0,     A = -0.240  B = -1.329  C = 0.433.

заданное  уравнение:  x3- 0,240x2- 1,329x+0,433 = 0,      

= 0.1 - погрешность при отделении  корня,  

= 10-8 - погрешность при  уточнении корня.

3. Результаты расчетов.

  1.  Поиск интервала для всех корней.  

<   R/  a0  +1

< 1.329 / 1 +1 = 2.329

< 2.329

    Все корни находятся в интервале:  [-2.3 ; 2.3]

  1.  Интервалы  изоляции, найденные с помощью Excel:

x1 [-1.2 ; -1.1],

x2  [0.3  ;0.4],

x3  [1.0  ;1.1] .

  1.  Определяем начальное приближение   в Mathcad

                       

   x0 = -1.2

  1.  Алгоритм решения методом Ньютона в Mathcad 

 (здесь показан первый шаг  n=1)

                            

  1.  Расчетная таблица

n

x

d

0

-1,20000000

0,00000000

1

-1,18716008

0,01283100

2

-1,18697818

0,00018180

3

-1,18697816

0,00000003

4

-1,18697816

0,00000000

  1.  Точное значение корня :         = -1.18697816

  4. Выводы по работе.  Выполняются студентом самостоятельно!


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29408. Взрывозащищенное электрооборудование 43.5 KB
  Взрывозащищенное электрооборудование различается по уровню взрывозащиты группам и температурным классам. Установлены следующие уровни взрывозащиты электрооборудования: 1. Вид взрывозащиты определяется установленным набором средств взрывозащиты. Для взрывозащищенного электрооборудования установлены следующие виды взрывозащиты: Взрывонепроницаемая оболочка [d].
29409. Дизель-электрический привод буровых установок 28 KB
  В последние годы существует тенденция расширения номенклатуры и объемов производства буровых установок с дизельэлектрическим приводом. Переход к автономному энергоснабжению позволяет решить проблему энергоснабжения удаленных от базы буровых установок проблему слабых сетей решить проблему повышения установленной мощности главных и вспомогательных приводов на буровых установках и др. Перечисленные недостатки системы ГД затрудняют ее использование в морских буровых установках.
29410. МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА 56.5 KB
  Она состоит из неподвижного статора и вращающегося якоря в машинах переменного тока вращающаяся часть ротор. Коммутация это процесс переключения секций обмотки якоря из одной параллельной ветви в другую и связанные с этим явления. Концы секций припаивают к пластинам коллектора что образует замкнутую обмотку якоря. Коллектор набран из медных пластин клинообразной формы изолированных друг от друга и корпуса и образующих в сборе цилиндр который крепится на валу якоря.
29411. Характеристика электрооборудования во взрывоопасных зонах в нефтяной и газовой промышленности (НГП) 35 KB
  Взрывоопасной зоной называют помещение или ограниченное пространство в помещении или наружной установке в которых имеются или могут образовываться взрывоопасные смеси. Взрывоопасные смеси горючих газов с воздухом или смеси легковоспламеняющихся жидкостей с воздухам согласно правилам устройства электроустановок ПУЭ классифицируются по категориям I II IIA IIB IIC и группам T1T6. Например ко II категории взрывоопасной смеси относятся промышленные газы и пары к I категории рудничный газ. Безопасный экспериментальный...
29412. Климатические условия эксплуатации и условия размещения электрооборудования 26.5 KB
  Электрооборудование предназначенное для эксплуатации на суше и реках в районах с умеренным климатом имеет обозначение У; с холодным климатом ХЛ; сухим и влажным тропическим Т; для всех макроклиматических районов на суше О. Электрооборудование предназначенное для установки в районах с умеренно холодным морским климатом имеет обозначение М; с тропическим морским ТМ. В зависимости от условий размещения предусматривается различное исполнение электрооборудования которому также присваивается определенное обозначение....
29414. Бюджетный дефицит и государственный долг: основные определения, показатели и проблемы количественной оценки. Государственный долг и дефицит платежного баланса. Влияние государственного долга на накопление частного капитала 50 KB
  Бюджетный дефицит и государственный долг: основные определения показатели и проблемы количественной оценки. Государственный долг и дефицит платежного баланса. Превышение расходов государства над его доходами образует бюджетный дефицит БД. Подавляющее большинство стран сводит свой бюджет с дефицитом.
29415. Ключевые макроэкономические проблемы российской экономики 67 KB
  Можно сделать вывод: главная причина ошибочности социальноэкономической политики использование экономики России стандартных макроэкономических рецептов разработанных для стран с типом экономики зеркально противоположным российскому. Поэтому напрашивается первый рецепт долгосрочной политики сделать диверсификацию экономики главной целью политики государства. Макроэкономические проблемы российской экономики АЛЕКСЕЙ КУДРИН министр финансов РФ выбрал более менее доступное там много Снижение конкурентоспособности К началу 2007 г.
29416. Теоретические подходы к моделированию инфляционных процессов. Типы и виды инфляции. Темп инфляции и его колебания. Возможности инфляционного финансирования дефицита гос. бюджета 1.32 MB
  Темп инфляции и его колебания Инфляция inflation от итальянского слова inflatio что означает вздутие представляет собой устойчивую тенденцию роста общего уровня цен. В этом определении важны следующие слова: 1 устойчивая что означает что инфляция это длительный процесс устойчивая тенденция и поэтому ее следует отличать от скачка цен; 2 общего уровня цен. Это значит что инфляция не означает роста всех цен в экономике. Цены на отдельные товары могут вести себя поразному: повышаться понижаться оставаться без...