10653

Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 4 Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона. Цель работы. Изучить способы отделения корней уравнений после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав од...

Русский

2013-03-30

146 KB

23 чел.

Лабораторная  работа  4

Отделение корней уравнений. Уточнение корней

методом Ньютона.

Цель работы.   Изучить способы отделения корней уравнений, после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав один из них, уточнить его методом Ньютона с заданной степенью точности.

Теоретические положения.  Алгебраическое уравнение  n-го порядка имеет ровно  n  корней. Для определения интервала, в котором сосредоточены все корни  уравнения   , воспользуемся формулой:

                                         ,                (1)

где  R- наибольшее из абсолютных значений чисел  .

Требуемые интервалы изоляции корней  проще всего искать с помощью программы Excel, приняв за начальное  значение    величину , а в качестве формулы  для    – левую часть заданного уравнения . Далее, используя  условия существования корней на отрезке,  найдем искомые интервалы   ,    и  .

Выбрав в качестве интервала изоляции, например, первый  , определим ту из его границ   или , которую можно принять за начальное приближение   метода Ньютона. Для этого должно выполняться условие

                                                      (2)

где   одна из границ интервала,   левая часть уравнения.

Уточнение корня   выполним с помощью алгоритма Ньютона:

                      (3),

причем вычисления будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие       ,              (4),

где    заданная погрешность.

Порядок выполнения работы:

- исходя из заданного варианта, записать уравнение   x3x2+Bx+C = 0,

- по формуле  (1)  найти интервал, в котором сосредоточены все корни заданного уравнения,

- найти интервалы изоляции  корней  ,    и  , используя программу Excel,

- выбрав один из интервалов, определить начальное приближение корня  , которое бы удовлетворяло условию  (2),

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (3), при этом на каждом шаге следует проверять условие (4),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  , а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Алгебраическое уравнение

 x3x2+Bx+C = 0         задано своими коэффициентами  A, B  и  C, представленными в таблице:  

A

B

C

A

B

C

1

-0.02

-1.2

-0.42

17

-1.51

0.25

0.17

2

-0.89

-0.16

0.11

18

-1.82

0.63

0.09

3

-1.28

0.17

0.13

19

-2,26

1,22

-0.11

4

-1.57

0.18

0.008

20

-2.72

1.96

-0.33

5

-1.19

-0.37

0.49

21

-3.44

3.33

-0.76

6

-2.48

1.66

-0.28

22

-1.37

-0.9

1.15

7

-1.72

0.56

0.042

23

-0.06

-1.39

-0.6

8

-0.3

-0.43

-0.04

24

-0.22

-1.13

0.32

9

-1.42

0.09

0.23

25

-1.56

-0.27

0.47

10

-2.12

0.8

0.27

26

-1.79

-0.74

0.06

11

0.46

-0.54

-0.11

27

1.5

-0.75

-0.13

12

0.19

-0.89

-0.28

28

-1.2

-0.48

0.06

13

0.11

-0.66

-0.15

29

-1.6

-0.84

0.14

14

-0.54

-0.74

-0.085

30

-1.82

-1.08

0.7

15

-1.32

-0.27

0.22

31

-3.38

0.68

0.51

16

-1.4

0.002

0.18

32

-0.78

-1.51

0.93

         Пример расчета.

1.Цель работы: Для заданного алгебраического уравнения третьего порядка найти три интервала изоляции, после чего, используя метод Ньютона, уточнить один корень с необходимой точностью.

2. Исходные данные.

x3x2+Bx+C = 0,     A = -0.240  B = -1.329  C = 0.433.

заданное  уравнение:  x3- 0,240x2- 1,329x+0,433 = 0,      

= 0.1 - погрешность при отделении  корня,  

= 10-8 - погрешность при  уточнении корня.

3. Результаты расчетов.

  1.  Поиск интервала для всех корней.  

<   R/  a0  +1

< 1.329 / 1 +1 = 2.329

< 2.329

    Все корни находятся в интервале:  [-2.3 ; 2.3]

  1.  Интервалы  изоляции, найденные с помощью Excel:

x1 [-1.2 ; -1.1],

x2  [0.3  ;0.4],

x3  [1.0  ;1.1] .

  1.  Определяем начальное приближение   в Mathcad

                       

   x0 = -1.2

  1.  Алгоритм решения методом Ньютона в Mathcad 

 (здесь показан первый шаг  n=1)

                            

  1.  Расчетная таблица

n

x

d

0

-1,20000000

0,00000000

1

-1,18716008

0,01283100

2

-1,18697818

0,00018180

3

-1,18697816

0,00000003

4

-1,18697816

0,00000000

  1.  Точное значение корня :         = -1.18697816

  4. Выводы по работе.  Выполняются студентом самостоятельно!


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74499. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. ПОНЯТИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЙЦИИ 92 KB
  К ЭИ относятся сведения которые циркулируют в экономической системе о процессах производства материальных ресурсах процессах управления производством финансовых процессах а также сведения экономического характера которыми обмениваются между собой различные системы управления. Уточним понятие экономической информации на примере системы управления промышленным предприятием. Структура системы управления Система управления предприятием должна обеспечить требуемое состояние производства Zt план выпуска продукции используя вход X t...
74500. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ 112 KB
  Примерами ОС являются MS DOS практически не используется OS 2 семейство Unix семейство Windows. Операционные системы можно классифицировать по различным признакам: По числу параллельно решаемых на компьютере задач ОС разделяют: однозадачные например MS DOS; многозадачные OS 2 UNIX Windows Linux...
74501. Корпоративные информационные системы. Понятие реинжиниринга бизнес- процессов 204 KB
  Другими словами, реинжиниринг бизнес-процессов (РБП, англ. business process reengineering, BPR) в отличие от известных в последние десятилетия многочисленных методов постепенного совершенствования работы компаний
74502. Технологии искусственного интеллекта 231.5 KB
  Основные области применения ИИ: Доказательства теорем; Игры; Распознавание образов; Принятие решений; Адаптивное программирование; Сочинение машинной музыки; Обработка данных на естественном языке; Обучающиеся сети нейросети В экономике в настоящее время получают широкое распространение принятие решений и нейросети. Отметим что в настоящее время используются такие модели представления знаний как продукционная модель основанная на построении правил ЕСЛИ ТО; фреймовая модель в которой описывается один концептуальный объект а...
74503. СЕТЕВЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ 516.5 KB
  Основное назначение концентратора это объединять между собой компьютеры в сегменты а затем сегменты в в единую сети. Сегментом называе6тся обособленная группа компьютеров в сети. Технология соединения сегментов сети с помощью коммутаторов switch появилась в 1990 году для решения проблемы повышения пропускной способности сети. Использование коммутаторов позволяет избежать проблем коллизий в сети Ethernet так как наличие портов и буферизация данных не позволяет распространяться коллизии по всей сети.
74504. Понятие глобальной компьютерной сети Интернет 155.5 KB
  Понятие глобальной компьютерной сети Интернет 24 октября 1995 года Федеральный сетевой совет FNC США единодушно одобрил резолюцию определяющую термин Интернет Это определение разрабатывалось при участии специалистов в области сетей и в области прав на интеллектуальную собственность. Интернет это глобальная информационная система которая: логически взаимосвязана пространством глобальных уникальных адресов основанных на Интернетпротоколе IP или на последующих расширениях или преемниках IP; способна поддерживать коммуникации с...
74505. Модель OSI. Принцип взаимодействия компьютеров в сети 211 KB
  В модели OSI все протоколы сети делятся на семь уровней: физический канальный сетевой транспортный сеансовый представительный и прикладной Рис. Основной задачей канального уровня является прием кадра из сети и отправка его в сеть. Кадр может быть доставлен по сети к другому компьютеру только в том случае если протокол соответствует той топологии для которой он был разработан. Сетевой уровень Network lyer служит для образования единой системы объединяющей несколько сетей причем эти сети могут быть различной топологии...
74506. История развития компьютерных сетей. Глобальные и локальные сети 263 KB
  История развития компьютерных сетей Компьютерные сети являются логическим результатом эволюции развития компьютерных технологий. Такие многотерминальные централизованные системы внешне напоминали локальные вычислительные сети до создания которых в действительности нужно было пройти еще большой путь. Терминалы в этом случае соединялись с компьютером через телефонные сети с помощью специальных устройств модемов. Компьютеры получили возможность обмениваться данными в автоматическом режиме что является базовым механизмом любой компьютерной сети.
74507. Технические средства и системное программное обеспечение корпоративных информационных систем 5.37 MB
  Описание архитектуры фон Неймана В настоящее время используются разнообразные принципы логической и структурной организации ЭВМ. Исторически первыми но не утратившими своего значения являются однопроцессорные ЭВМ фоннеймановской архитектуры. В основу архитектуры положены традиционные принципы построения однопроцессорной ЭВМ сформулированные Дж. Как показывает дальнейшее развитие и совершенствование компьютеров такая архитектура построения ЭВМ является препятствием для дальнейшего роста производительности компьютера.