10653

Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 4 Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона. Цель работы. Изучить способы отделения корней уравнений после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав од...

Русский

2013-03-30

146 KB

22 чел.

Лабораторная  работа  4

Отделение корней уравнений. Уточнение корней

методом Ньютона.

Цель работы.   Изучить способы отделения корней уравнений, после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав один из них, уточнить его методом Ньютона с заданной степенью точности.

Теоретические положения.  Алгебраическое уравнение  n-го порядка имеет ровно  n  корней. Для определения интервала, в котором сосредоточены все корни  уравнения   , воспользуемся формулой:

                                         ,                (1)

где  R- наибольшее из абсолютных значений чисел  .

Требуемые интервалы изоляции корней  проще всего искать с помощью программы Excel, приняв за начальное  значение    величину , а в качестве формулы  для    – левую часть заданного уравнения . Далее, используя  условия существования корней на отрезке,  найдем искомые интервалы   ,    и  .

Выбрав в качестве интервала изоляции, например, первый  , определим ту из его границ   или , которую можно принять за начальное приближение   метода Ньютона. Для этого должно выполняться условие

                                                      (2)

где   одна из границ интервала,   левая часть уравнения.

Уточнение корня   выполним с помощью алгоритма Ньютона:

                      (3),

причем вычисления будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие       ,              (4),

где    заданная погрешность.

Порядок выполнения работы:

- исходя из заданного варианта, записать уравнение   x3x2+Bx+C = 0,

- по формуле  (1)  найти интервал, в котором сосредоточены все корни заданного уравнения,

- найти интервалы изоляции  корней  ,    и  , используя программу Excel,

- выбрав один из интервалов, определить начальное приближение корня  , которое бы удовлетворяло условию  (2),

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (3), при этом на каждом шаге следует проверять условие (4),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  , а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Алгебраическое уравнение

 x3x2+Bx+C = 0         задано своими коэффициентами  A, B  и  C, представленными в таблице:  

A

B

C

A

B

C

1

-0.02

-1.2

-0.42

17

-1.51

0.25

0.17

2

-0.89

-0.16

0.11

18

-1.82

0.63

0.09

3

-1.28

0.17

0.13

19

-2,26

1,22

-0.11

4

-1.57

0.18

0.008

20

-2.72

1.96

-0.33

5

-1.19

-0.37

0.49

21

-3.44

3.33

-0.76

6

-2.48

1.66

-0.28

22

-1.37

-0.9

1.15

7

-1.72

0.56

0.042

23

-0.06

-1.39

-0.6

8

-0.3

-0.43

-0.04

24

-0.22

-1.13

0.32

9

-1.42

0.09

0.23

25

-1.56

-0.27

0.47

10

-2.12

0.8

0.27

26

-1.79

-0.74

0.06

11

0.46

-0.54

-0.11

27

1.5

-0.75

-0.13

12

0.19

-0.89

-0.28

28

-1.2

-0.48

0.06

13

0.11

-0.66

-0.15

29

-1.6

-0.84

0.14

14

-0.54

-0.74

-0.085

30

-1.82

-1.08

0.7

15

-1.32

-0.27

0.22

31

-3.38

0.68

0.51

16

-1.4

0.002

0.18

32

-0.78

-1.51

0.93

         Пример расчета.

1.Цель работы: Для заданного алгебраического уравнения третьего порядка найти три интервала изоляции, после чего, используя метод Ньютона, уточнить один корень с необходимой точностью.

2. Исходные данные.

x3x2+Bx+C = 0,     A = -0.240  B = -1.329  C = 0.433.

заданное  уравнение:  x3- 0,240x2- 1,329x+0,433 = 0,      

= 0.1 - погрешность при отделении  корня,  

= 10-8 - погрешность при  уточнении корня.

3. Результаты расчетов.

  1.  Поиск интервала для всех корней.  

<   R/  a0  +1

< 1.329 / 1 +1 = 2.329

< 2.329

    Все корни находятся в интервале:  [-2.3 ; 2.3]

  1.  Интервалы  изоляции, найденные с помощью Excel:

x1 [-1.2 ; -1.1],

x2  [0.3  ;0.4],

x3  [1.0  ;1.1] .

  1.  Определяем начальное приближение   в Mathcad

                       

   x0 = -1.2

  1.  Алгоритм решения методом Ньютона в Mathcad 

 (здесь показан первый шаг  n=1)

                            

  1.  Расчетная таблица

n

x

d

0

-1,20000000

0,00000000

1

-1,18716008

0,01283100

2

-1,18697818

0,00018180

3

-1,18697816

0,00000003

4

-1,18697816

0,00000000

  1.  Точное значение корня :         = -1.18697816

  4. Выводы по работе.  Выполняются студентом самостоятельно!


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43244. Процесс синхронизации телевизора LG и компьютера 2.36 MB
  Данное напряжение получается в схеме платы сопряжения из питающего напряжения 5Вольт логических элементов микросхем. Сторона элементов В таблице 4 отразим перечень элементов используемых в разработанной плате сопряжения ПК с телевизором. Таблица 4 Перечень элементов схемы электрической принципиальной сопряжения ПК с телевизором Поз. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ Расчет надежности чаще всего сводится к определению числовых значений наработки на отказ Т0 и вероятности безотказной работы Рt по известным интенсивностям отказов элементов.
43245. Расчёт ПОТС и ЦРБ 605.5 KB
  Техническая служба ГПС включает систему управленческих, производственно-технических и оперативных подразделений, организуемых в целях технического и материального обеспечения оперативно-служебной и хозяйственной деятельности пожарной охраны.
43246. Проектирование технологического процесса изготовления детали типа «корпус редуктора» в условиях крупносерийного производства 1.25 MB
  Курсовой проект является большой самостоятельной работой будущего технолога, направленной на решение конкретных задач в области совершенствования технологии, организации производства и улучшение технико-экономических показателей работы участка. Наряду с этим курсовое проектирование закрепляет умение студента пользоваться справочной литературой, ГОСТами, таблицами, номограммами, нормами и расценками умело, сочетая справочные данные с теоретическими знаниями, полученными в процессе изучения курса. Проект закрепляет, углубляет и обобщает знания, полученные студентами во время лекционных и практических знаний.
43247. Моделирование процесса функционирования ВЦ при условии, что обработать необходимо 100 заданий 2.02 MB
  После обработки на процессоре как коротких так и длинных заданий производится вывод результатов на печать в течение 2 1 мин. Смоделировать процесс функционирования ВЦ при условии что обработать необходимо 100 заданий. Определить число коротких и длинных заданий ожидающих обработки а также число обработанных коротких заданий и коэффициент загрузки процессора.
43248. Проектирование стальной промежуточной опоры с исходными данными для проектирования 902.5 KB
  Характеристика провода. Нахождение исходного режима работы провода. Общая характеристика воздушной линии электропередач Воздушная линия электропередачи ВЛ служит для передачи и распределения электрической энергии по проводам расположенным на открытом воздухе и прикрепленным к опорам или кронштейнам и стойкам на инженерных сооружениях при помощи изоляторов и арматуры. Основными элементами воздушных линий являются провода изоляторы линейная арматура опоры и фундаменты.
43249. РОЗРАХУНОК ХАРАКТЕРИСТИК РАДІОТЕХНІЧНИХ СИГНАЛІВ 226.5 KB
  Розрахунок параметрів первинного аналогового сигналу.Розрахунок параметрів сигналу аналогової модуляції. Розрахунок параметрів первинного цифрового сигналу. Розрахунок параметрів сигналу дискретної модуляції.
43250. Доходи Державного бюджету України 185 KB
  Характеристика доходів державного бюджету. Соціальноекономічна суть призначення і роль доходів Державного бюджету України. Джерела надходжень державного бюджету.Аналіз та склад доходів бюджету за перше півріччя 20092010рр. Одержавлення національного доходу здійснюється державою різними методами. Основним методами, які використовуються органами державної влади для перерозподілу національного доходу та утворення бюджетних доходів, являються податки, державний кредит та емісія грошей.
43251. Полевые транзисторы в интегральных схемах 323.5 KB
  Чем больше обратное напряжение тем глубже обедненный слой и тем соответственно меньше толщина канала w. Таким образом меняя обратное напряжение на затворе можно менять поперечное сечение а значит и сопротивление канала. При наличии напряжения на стоке будет меняться ток канала т. Определим зависимость толщины и сопротивления канала от управляющего напряжения на затворе при нулевом напряжении на стоке.
43252. Расчет токарного сборного резца с треугольной пластиной 386 KB
  Определяем глубину резания. Определяем скорость м мин главного движения резания допускаемую режущими свойствами резца. Определяем главный поправочный коэффициент...