10653

Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 4 Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона. Цель работы. Изучить способы отделения корней уравнений после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав од...

Русский

2013-03-30

146 KB

23 чел.

Лабораторная  работа  4

Отделение корней уравнений. Уточнение корней

методом Ньютона.

Цель работы.   Изучить способы отделения корней уравнений, после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав один из них, уточнить его методом Ньютона с заданной степенью точности.

Теоретические положения.  Алгебраическое уравнение  n-го порядка имеет ровно  n  корней. Для определения интервала, в котором сосредоточены все корни  уравнения   , воспользуемся формулой:

                                         ,                (1)

где  R- наибольшее из абсолютных значений чисел  .

Требуемые интервалы изоляции корней  проще всего искать с помощью программы Excel, приняв за начальное  значение    величину , а в качестве формулы  для    – левую часть заданного уравнения . Далее, используя  условия существования корней на отрезке,  найдем искомые интервалы   ,    и  .

Выбрав в качестве интервала изоляции, например, первый  , определим ту из его границ   или , которую можно принять за начальное приближение   метода Ньютона. Для этого должно выполняться условие

                                                      (2)

где   одна из границ интервала,   левая часть уравнения.

Уточнение корня   выполним с помощью алгоритма Ньютона:

                      (3),

причем вычисления будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие       ,              (4),

где    заданная погрешность.

Порядок выполнения работы:

- исходя из заданного варианта, записать уравнение   x3x2+Bx+C = 0,

- по формуле  (1)  найти интервал, в котором сосредоточены все корни заданного уравнения,

- найти интервалы изоляции  корней  ,    и  , используя программу Excel,

- выбрав один из интервалов, определить начальное приближение корня  , которое бы удовлетворяло условию  (2),

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (3), при этом на каждом шаге следует проверять условие (4),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  , а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Алгебраическое уравнение

 x3x2+Bx+C = 0         задано своими коэффициентами  A, B  и  C, представленными в таблице:  

A

B

C

A

B

C

1

-0.02

-1.2

-0.42

17

-1.51

0.25

0.17

2

-0.89

-0.16

0.11

18

-1.82

0.63

0.09

3

-1.28

0.17

0.13

19

-2,26

1,22

-0.11

4

-1.57

0.18

0.008

20

-2.72

1.96

-0.33

5

-1.19

-0.37

0.49

21

-3.44

3.33

-0.76

6

-2.48

1.66

-0.28

22

-1.37

-0.9

1.15

7

-1.72

0.56

0.042

23

-0.06

-1.39

-0.6

8

-0.3

-0.43

-0.04

24

-0.22

-1.13

0.32

9

-1.42

0.09

0.23

25

-1.56

-0.27

0.47

10

-2.12

0.8

0.27

26

-1.79

-0.74

0.06

11

0.46

-0.54

-0.11

27

1.5

-0.75

-0.13

12

0.19

-0.89

-0.28

28

-1.2

-0.48

0.06

13

0.11

-0.66

-0.15

29

-1.6

-0.84

0.14

14

-0.54

-0.74

-0.085

30

-1.82

-1.08

0.7

15

-1.32

-0.27

0.22

31

-3.38

0.68

0.51

16

-1.4

0.002

0.18

32

-0.78

-1.51

0.93

         Пример расчета.

1.Цель работы: Для заданного алгебраического уравнения третьего порядка найти три интервала изоляции, после чего, используя метод Ньютона, уточнить один корень с необходимой точностью.

2. Исходные данные.

x3x2+Bx+C = 0,     A = -0.240  B = -1.329  C = 0.433.

заданное  уравнение:  x3- 0,240x2- 1,329x+0,433 = 0,      

= 0.1 - погрешность при отделении  корня,  

= 10-8 - погрешность при  уточнении корня.

3. Результаты расчетов.

  1.  Поиск интервала для всех корней.  

<   R/  a0  +1

< 1.329 / 1 +1 = 2.329

< 2.329

    Все корни находятся в интервале:  [-2.3 ; 2.3]

  1.  Интервалы  изоляции, найденные с помощью Excel:

x1 [-1.2 ; -1.1],

x2  [0.3  ;0.4],

x3  [1.0  ;1.1] .

  1.  Определяем начальное приближение   в Mathcad

                       

   x0 = -1.2

  1.  Алгоритм решения методом Ньютона в Mathcad 

 (здесь показан первый шаг  n=1)

                            

  1.  Расчетная таблица

n

x

d

0

-1,20000000

0,00000000

1

-1,18716008

0,01283100

2

-1,18697818

0,00018180

3

-1,18697816

0,00000003

4

-1,18697816

0,00000000

  1.  Точное значение корня :         = -1.18697816

  4. Выводы по работе.  Выполняются студентом самостоятельно!


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83130. До джерела народної мудрості 5.17 MB
  Мета: залучати учнів до джерел і витоків народної мудрості, збагатити та дати ширші уявлення про фольклорні жанри, формувати вміння повноцінно орієнтуватися в літературі, розвивати логічне мислення, пошукові та пізнавальні інтереси; виховувати любов до рідного краю, мови, почуття гордості за свій народ.
83131. Надзвичайні ситуації природного і техногенного характеру, причини їх виникнення. Правила поведінки під час надзвичайних ситуацій 619.5 KB
  Мета: Сформувати поняття «надзвичайна ситуація», «аварія», «катастрофа», уявлення про причини виникнення та наслідки надзвичайних ситуацій, про правила поведінки під час надзвичайних ситуацій. Розвивати вміння поводити себе в надзвичайних ситуаціях; виробляти вольові якості...
83132. Приди, весна красная!... Е. Серова «Ландыш», «Гвоздика», «Незабудки» 227 KB
  Люди любят этот цветок называют его в легендах: фонарики гномов рассыпавшиеся бусы Белоснежки слезы царевны б Чтение учителем стихотворения Что представили себе Почему кажется что ландыш зазвенит Снежно-белые колокольчики словно из тончайшего фарфора с тонким нежным запахом.
83133. Які осінні турботи у людей у містах і селах восени? 93 KB
  Мета: обговорити з учнями, чим займаються люди в місті та селі восени; розвивати логічне мислення; розширювати світогляд; виховати бажання допомагати дорослим. Обладнання: таблиці «Овочі», «Фрукти», «Комахи», оповідання А.М’ясківського «Казка про яблуню».
83134. Які в осені прикмети? Осінні місяці. Творче завдання: складання казки про осінь 102.5 KB
  Мета. Поглиблювати знання учнів про осінні прикмети. З’ясувати походження назв місяців. Розкрити значення понять: рання осінь, золота осінь, підзимок. Виконати творче завдання: скласти казку про осінь. Розвивати логічне мислення, спостережливість, увагу. Захопити дітей красою природи восени.
83135. Алгоритми та виконавці. Стій, готуйсь – командувати буду 190 KB
  Мета. Навчальна. Узагальнити та закріпити знання учнів про інформаційні процеси. Вчити використовувати на практиці здобуті знання, вміння та навички, методи роботи з алгоритмами. Розвивальна. Розвивати алгоритмічне мислення, навички рольової взаємодії та роботи в групах.
83136. Підсумковий урок за темою «Казки народів Європи» 156.5 KB
  Мета: систематизувати знання дітей із розділу «Казки народів Європи», підтримувати інтерес дітей до казки, розвивати пам’ять, спостережливість, уявлення, діалогічне й монологічне мовлення, вміння відтворювати зміст прочитаного, розвивати творчі здібності, уміння перевтілюватися і концентрувати увагу...
83137. Відтворення культурної спадщини українського народу 510.5 KB
  Мета: дати учням уявлення про давні зимові обряди; ознайомити з святами: святого Миколая, Маланки та Василя, Різдва Христового, Водохреща (Йордан); зацікавити учнів народними звичаями, традиціями; збагатити духовний світ дітей; розвивати відчуття святкової піднесеності мовлення...
83138. Інформація. Інформаційні процеси: отримання, зберігання, опрацювання і передавання повідомлень 139.5 KB
  Мета: ознайомити учнів з поняттям інформація з інформаційними процесами: отримання зберігання опрацювання і передавання інформації; розвивати спостережливість пам’ять мову; навички роботи з мишею; виховувати наполегливість у досягненні мети працелюбність інтерес до вивчення інформатики.