10653

Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 4 Отделение корней уравнений. Уточнение корней методом Ньютона. Цель работы. Изучить способы отделения корней уравнений после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав од...

Русский

2013-03-30

146 KB

25 чел.

Лабораторная  работа  4

Отделение корней уравнений. Уточнение корней

методом Ньютона.

Цель работы.   Изучить способы отделения корней уравнений, после чего методом дихотомии найти три интервала изоляции для алгебраического уравнения третьего порядка. Выбрав один из них, уточнить его методом Ньютона с заданной степенью точности.

Теоретические положения.  Алгебраическое уравнение  n-го порядка имеет ровно  n  корней. Для определения интервала, в котором сосредоточены все корни  уравнения   , воспользуемся формулой:

                                         ,                (1)

где  R- наибольшее из абсолютных значений чисел  .

Требуемые интервалы изоляции корней  проще всего искать с помощью программы Excel, приняв за начальное  значение    величину , а в качестве формулы  для    – левую часть заданного уравнения . Далее, используя  условия существования корней на отрезке,  найдем искомые интервалы   ,    и  .

Выбрав в качестве интервала изоляции, например, первый  , определим ту из его границ   или , которую можно принять за начальное приближение   метода Ньютона. Для этого должно выполняться условие

                                                      (2)

где   одна из границ интервала,   левая часть уравнения.

Уточнение корня   выполним с помощью алгоритма Ньютона:

                      (3),

причем вычисления будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие       ,              (4),

где    заданная погрешность.

Порядок выполнения работы:

- исходя из заданного варианта, записать уравнение   x3x2+Bx+C = 0,

- по формуле  (1)  найти интервал, в котором сосредоточены все корни заданного уравнения,

- найти интервалы изоляции  корней  ,    и  , используя программу Excel,

- выбрав один из интервалов, определить начальное приближение корня  , которое бы удовлетворяло условию  (2),

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (3), при этом на каждом шаге следует проверять условие (4),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  , а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Алгебраическое уравнение

 x3x2+Bx+C = 0         задано своими коэффициентами  A, B  и  C, представленными в таблице:  

A

B

C

A

B

C

1

-0.02

-1.2

-0.42

17

-1.51

0.25

0.17

2

-0.89

-0.16

0.11

18

-1.82

0.63

0.09

3

-1.28

0.17

0.13

19

-2,26

1,22

-0.11

4

-1.57

0.18

0.008

20

-2.72

1.96

-0.33

5

-1.19

-0.37

0.49

21

-3.44

3.33

-0.76

6

-2.48

1.66

-0.28

22

-1.37

-0.9

1.15

7

-1.72

0.56

0.042

23

-0.06

-1.39

-0.6

8

-0.3

-0.43

-0.04

24

-0.22

-1.13

0.32

9

-1.42

0.09

0.23

25

-1.56

-0.27

0.47

10

-2.12

0.8

0.27

26

-1.79

-0.74

0.06

11

0.46

-0.54

-0.11

27

1.5

-0.75

-0.13

12

0.19

-0.89

-0.28

28

-1.2

-0.48

0.06

13

0.11

-0.66

-0.15

29

-1.6

-0.84

0.14

14

-0.54

-0.74

-0.085

30

-1.82

-1.08

0.7

15

-1.32

-0.27

0.22

31

-3.38

0.68

0.51

16

-1.4

0.002

0.18

32

-0.78

-1.51

0.93

         Пример расчета.

1.Цель работы: Для заданного алгебраического уравнения третьего порядка найти три интервала изоляции, после чего, используя метод Ньютона, уточнить один корень с необходимой точностью.

2. Исходные данные.

x3x2+Bx+C = 0,     A = -0.240  B = -1.329  C = 0.433.

заданное  уравнение:  x3- 0,240x2- 1,329x+0,433 = 0,      

= 0.1 - погрешность при отделении  корня,  

= 10-8 - погрешность при  уточнении корня.

3. Результаты расчетов.

  1.  Поиск интервала для всех корней.  

<   R/  a0  +1

< 1.329 / 1 +1 = 2.329

< 2.329

    Все корни находятся в интервале:  [-2.3 ; 2.3]

  1.  Интервалы  изоляции, найденные с помощью Excel:

x1 [-1.2 ; -1.1],

x2  [0.3  ;0.4],

x3  [1.0  ;1.1] .

  1.  Определяем начальное приближение   в Mathcad

                       

   x0 = -1.2

  1.  Алгоритм решения методом Ньютона в Mathcad 

 (здесь показан первый шаг  n=1)

                            

  1.  Расчетная таблица

n

x

d

0

-1,20000000

0,00000000

1

-1,18716008

0,01283100

2

-1,18697818

0,00018180

3

-1,18697816

0,00000003

4

-1,18697816

0,00000000

  1.  Точное значение корня :         = -1.18697816

  4. Выводы по работе.  Выполняются студентом самостоятельно!


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9043. ФИЛОСОФИЯ МИЛЕТСКОЙ ШКОЛЫ 15.2 KB
  Философия Милетской школы. Античная философия сформировалась в VIII-VII вв. до н.э. К этому существовало несколько предпосылок: развитие демократии, оживленная торговля, развитое ремесло, развитие культуры и искусства. Первые философские системы был...
9044. Методы научного познания. Наука - целостная динамическая система 13.43 KB
  Методы научного познания. Наука - целостная динамическая система. В философии наука рассматривается с точки зрения научного познания. Научное познание отличается от любого другого. Критерии научности - совокупность нормативных правил...
9045. Стадиальная и цивилизационная парадигмы общественного развития в философии 15.01 KB
  Стадиальная и цивилизационная парадигмы общественного развития в философии. Общественную жизнь нельзя представить как нечто застывшее, неизменное, раз и навсегда данное. Общество постоянно находится в изменении, развитии. Это развитие многолико и сл...
9046. Идея общественного прогресса и его критериев 15.49 KB
  Идея общественного прогресса и его критериев. При осмыслении процесса развития общества неизменно возникает вопрос и о том, какова его направленность, то есть регрессивно или прогрессивно его движение. В философии по этому поводу создавались и разви...
9047. ПИФАГОР И ПИФАГОРЕЙЦЫ 14.55 KB
  Пифагор и пифагорейцы. Основателем пифагорейства является Пифагор Самосский (580-500 гг.). Пифагор был учеником Анаксимандра, а также изучал математику и астрономию в Египте. Особенностью изучения пифагорейства является то, что письменных трудов Пиф...
9048. Философия Платона - образец классического объективного идеализма 14.72 KB
  Философия Платона. Платон (также Аристокл, 427-347 гг.), как ученик Сократа, продолжает изучать этические и политические проблемы, обращаясь, однако,, и к космологическим вопросам. Около 387 г. он основывает в Афинах специальную школу - Академи...
9049. Политика в общественной жизни людей. Государство и его роль в развитии общества 14.08 KB
  Политика в общественной жизни людей. Государство и его роль в развитии общества. Политика - специфическая сфера общественной жизни. Политика есть стремление к участию во власти или оказанию влияние на распределение власти между различными...
9050. Практика и познание. Гносеология - теория познания 15.72 KB
  Практика и познание. Проблемой познания занимается такой раздел философии, как гносеология – теория познания. Под познанием подразумевается процесс получения знания, деятельность по получению, хранению, переработке и систематизации информации...
9051. Сознание, его природа и сущность. Индивидуальное и общественное сознание 15.38 KB
  Сознание, его природа и сущность. Индивидуальное и общественное сознание. Еще одно свойство материи – отражение - способность тела в результате взаимодействия с другими телами воспроизводить некоторые особенности этого взаимодействия в сво...