10654

Уточнение корней уравнений методом итераций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 5 Уточнение корней уравнений методом итераций. Цель работы. Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности используя метод итераций построить график сходимости и сравнить его с методом Ньютона. Теоретиче

Русский

2013-03-30

147.5 KB

29 чел.

Лабораторная  работа  5

Уточнение корней уравнений методом итераций.

Цель работы.  Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности, используя метод  итераций, построить график сходимости и сравнить его с методом  Ньютона.

Теоретические положения.  Пусть дано уравнение

                  (1),

при этом известно, что в интервале    есть один корень. Для его уточнения методом итераций с точностью     преобразуем  (1)  в равно-сильное ему

                   (2).

Заметим, что в нашем случае, т.е. для уравнения

x3x2+Bx+C = 0        (3)

эта задача может быть решена тремя способами (см. лекцию).

Согласно теории, из уравнения (2) можно образовать итерационный процесс, если                       (4)

для всех  . В этом случае каждое последующее уточненное значение  получается, если в правую часть (2) подставить предыдущее  , т.е.

                  (5).

Процесс (5) следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие:

    (6).

Порядок выполнения работы.  

- переписать из лабораторной работы 4 исходные данные:  уравнение  (3) и два интервала изоляции    и    (один из них будет резервным),

- преобразовать уравнение (3) в три равносильные ему  ,   и   ,

- найти три производные   ,    и  .

- выбор одной из трех функций вида (2) для  образования итерационного процесса  (5) выполняется следующим образом:

    а) взяв  , подставим туда   и  . Если процесс будет сходиться для , то должно выполняться условие (4) на обоих концах отрезка,

    б) если (4) не выполняется, взять , подставить туда ,   и  вновь проверить условие  (4),

    в) если условие (4)  опять не выполняется, то взять  функцию   , сделать подстановку  и  , а затем проверку по формуле (4).

    г) в случае любого выполнения  пунктов  а) – в), остановиться на соответствующей функции   и записать вывод в следующем виде:

          подходит уравнение  (например)   

- взять в качестве начального приближения  корня  величину ,

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (5), при этом на каждом шаге следует проверять условие (6),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  ,  а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.  Исходные данные для расчетов :

- алгебраическое уравнение   x3x2+Bx+C = 0   из лабораторной работы 4,

- два найденных ранее интервала изоляции :    и  .

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: решить алгебраическое уравнение методом итераций, т.е.определить его корень   с заданной погрешностью  .
  2.  Исходные данные.

1)  x3 - 0,240x2 - 1,329x + 0.433 = 0 ,  

2)  погрешность уточнения   =  10-8 .

3)  интервал  уточнения корня    [0.3  ;0.4] ,

3. Результаты расчетов:

   1)  Заменим уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением x =   

  

  1.  Вычислим производные от функций  .

                      

  1.  Благоприятный результат подстановки границ интервала изоляции в производную, чтобы выполнялось условие:  < 1,

                      

из этого следует, что процесс итераций будет сходящимся, т к    на обоих концах интервала меньше 1. Таким образом,  в качестве   берем  функцию

       

  1.  Возьмем за начальное приближение    = 0.3
  2.  Критерий окончания счета.

              D = |xn+1xn | < 10-8

  1.  Программа итерационного процесса в Mathcad.

             

  1.  Расчетная таблица

n

Xn

Dn

0

0,30000000

 

1

0,32987208

0,02987208

2

0,33316740

0,00329532

3

0,33359040

0,00042300

4

0,33364558

0,00005518

5

0,33365280

0,00000722

6

0,33365374

0,00000094

7

0,33365386

0,00000012

8

0,33365388

0,00000002

9

0,33365388

0,00000000

4.Вывод по работам №4 и №5: во время выполнения этой работы, я научилась находить корни алгебраических уравнений методом Ньютона и методом итераций. Оба способа имеют свои преимущества и недостатки. При решении различных алгебраических уравнений возможно использование любого из двух предложенных методов по желанию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81071. Анализ финансового состояния ООО «Люмакс» 1.11 MB
  Рост прибыли создает базу для самофинансирования, расширенного воспроизводства, решения социальных и материальных проблем трудовых коллективов. За счет прибыли выполняется также часть обязательств предприятия перед бюджетом, банками и другими предприятиями.
81072. Внутренний антикризисный менеджмент: содержание, функции и организация на примере ТФ ОАО «ВымпелКом» 4.97 MB
  Таким образом антикризисное управление это: анализ состояния макро- и микросреды и выбор предпочтительной миссии компании; познание экономического механизма возникновения кризисной ситуации и создание системы сканирования внешней и внутренней сред организации с целью...
81073. Система воспитания и образования в Свято-Алексиевской Пустыни как важная составляющая православного образования в постатеистической России 589 KB
  Современное поколение людей, живущих на огромных просторах постатеистического общества, переживает все трудности и нестроения сложной эпохи глубокого социально-экономического, политического и духовного кризиса, охватившего практически все сферы жизни нашего социума.
81074. Повседневные бытовые практики энергопотребления в современном российском обществе 537.5 KB
  В последнее десятилетие в странах Западной Европы и в Америке обсуждается вопрос о влиянии повседневной жизнедеятельности людей на природу и их ответственности за состояние природной среды. Подвергается сомнению привычный образ жизни, при котором природе постоянно наносится ущерб.
81075. Способы графического оформления интернет-видеоэфира средствами технологии Flash и Symfony Framework 3.62 MB
  С помощью технологии Flash и веб-плеера JW player, разработать средства для наложения графического контента на потоковое видео, и разработать модули управления графическим оформлением для их последующей интеграции в систему прямого вещания и систему организации видеоархива.
81076. Разработка комплексных методов обеспечения информационной безопасности в организации, занимающейся разработкой программного обеспечения для банковских терминалов 388.1 KB
  Цели моей выпускной квалификационной работы: Исследование информационной системы коммерческой организации по разработке программного обеспечения для мобильных банковских терминалов Анализ степени защищённости данных, обрабатываемых на исследуемом объекте...
81077. Социальная адаптация детей-сирот в России: история и современность (на примере деятельности КРОМО «Равновесие») 685 KB
  Для человеческого общества проблемы социальной адаптации сопряжены с проблемами социальной безопасности, стабильности и развития. Таким образом, насколько российское общество приблизилось к ответу «как лучше и каким образом» разрешить проблемы детей, оставшихся без попечения родителей...
81078. ПРОЕКТИРОВАНИЕ УЧЕБНЫХ СИТУАЦИЙ НА УРОКАХ ФИЗИКИ КАК СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ МОТИВАЦИИ ДОСТИЖЕНИЯ У СТАРШЕКЛАССНИКОВ 414 KB
  Современное состояние школьного физического образования характеризуется заметным снижением интереса к изучению физики, неумением объяснять сущность физических законов и явлений и их проявление в повседневной жизни.
81079. Экспертиза качества и сертификация услуг и работ в сервисе 2.79 MB
  Теоретическая значимость исследования заключается в сборе и анализе информации по теме дипломной работы, в выявлении основных аспектов изучаемой темы как уже исследованных полностью, так и ещё недостаточно раскрытых. Кроме того, теоретические исследования способствуют развитию профессиональной компетенции автора.