10654

Уточнение корней уравнений методом итераций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 5 Уточнение корней уравнений методом итераций. Цель работы. Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности используя метод итераций построить график сходимости и сравнить его с методом Ньютона. Теоретиче

Русский

2013-03-30

147.5 KB

29 чел.

Лабораторная  работа  5

Уточнение корней уравнений методом итераций.

Цель работы.  Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности, используя метод  итераций, построить график сходимости и сравнить его с методом  Ньютона.

Теоретические положения.  Пусть дано уравнение

                  (1),

при этом известно, что в интервале    есть один корень. Для его уточнения методом итераций с точностью     преобразуем  (1)  в равно-сильное ему

                   (2).

Заметим, что в нашем случае, т.е. для уравнения

x3x2+Bx+C = 0        (3)

эта задача может быть решена тремя способами (см. лекцию).

Согласно теории, из уравнения (2) можно образовать итерационный процесс, если                       (4)

для всех  . В этом случае каждое последующее уточненное значение  получается, если в правую часть (2) подставить предыдущее  , т.е.

                  (5).

Процесс (5) следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие:

    (6).

Порядок выполнения работы.  

- переписать из лабораторной работы 4 исходные данные:  уравнение  (3) и два интервала изоляции    и    (один из них будет резервным),

- преобразовать уравнение (3) в три равносильные ему  ,   и   ,

- найти три производные   ,    и  .

- выбор одной из трех функций вида (2) для  образования итерационного процесса  (5) выполняется следующим образом:

    а) взяв  , подставим туда   и  . Если процесс будет сходиться для , то должно выполняться условие (4) на обоих концах отрезка,

    б) если (4) не выполняется, взять , подставить туда ,   и  вновь проверить условие  (4),

    в) если условие (4)  опять не выполняется, то взять  функцию   , сделать подстановку  и  , а затем проверку по формуле (4).

    г) в случае любого выполнения  пунктов  а) – в), остановиться на соответствующей функции   и записать вывод в следующем виде:

          подходит уравнение  (например)   

- взять в качестве начального приближения  корня  величину ,

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (5), при этом на каждом шаге следует проверять условие (6),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  ,  а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.  Исходные данные для расчетов :

- алгебраическое уравнение   x3x2+Bx+C = 0   из лабораторной работы 4,

- два найденных ранее интервала изоляции :    и  .

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: решить алгебраическое уравнение методом итераций, т.е.определить его корень   с заданной погрешностью  .
  2.  Исходные данные.

1)  x3 - 0,240x2 - 1,329x + 0.433 = 0 ,  

2)  погрешность уточнения   =  10-8 .

3)  интервал  уточнения корня    [0.3  ;0.4] ,

3. Результаты расчетов:

   1)  Заменим уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением x =   

  

  1.  Вычислим производные от функций  .

                      

  1.  Благоприятный результат подстановки границ интервала изоляции в производную, чтобы выполнялось условие:  < 1,

                      

из этого следует, что процесс итераций будет сходящимся, т к    на обоих концах интервала меньше 1. Таким образом,  в качестве   берем  функцию

       

  1.  Возьмем за начальное приближение    = 0.3
  2.  Критерий окончания счета.

              D = |xn+1xn | < 10-8

  1.  Программа итерационного процесса в Mathcad.

             

  1.  Расчетная таблица

n

Xn

Dn

0

0,30000000

 

1

0,32987208

0,02987208

2

0,33316740

0,00329532

3

0,33359040

0,00042300

4

0,33364558

0,00005518

5

0,33365280

0,00000722

6

0,33365374

0,00000094

7

0,33365386

0,00000012

8

0,33365388

0,00000002

9

0,33365388

0,00000000

4.Вывод по работам №4 и №5: во время выполнения этой работы, я научилась находить корни алгебраических уравнений методом Ньютона и методом итераций. Оба способа имеют свои преимущества и недостатки. При решении различных алгебраических уравнений возможно использование любого из двух предложенных методов по желанию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73497. Организации производства, конспект лекций 311.5 KB
  Организация производства на предприятии осуществляется в системе менеджмента в рамках разработанной стратегии развития предприятия, системы долгосрочного планирования, в рамках закона РФ, организация осуществляется в соответствии с законодательными и нормативно-правовыми актами, методиками, и т.д.
73498. МЕЖДУНАРОДНАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕГРАЦИЯ 314 KB
  Международная экономическая интеграция МЭИ процесс экономического взаимодействия стран приводящий к сближению взаимопроникновению и сращиванию национальных хозяйств в единую систему экономических отношений сопровождающийся заключением интеграционных договоров и согласованно регулируемый межгосударственными и наднациональными органами власти Региональное интеграционное соглашение РИС международный...
73499. ПЛАТЕЖНЫЙ БАЛАНС 172.5 KB
  Принцип единой единицы учета единица учета должна быть стабильной чтобы изменения ее курса в течение учетного периода не отражались на итоговых показателях единица учета должна быть стабильной на протяжении нескольких учетных периодов для сравнения и анализа в динамике страна должна использовать расчетную единицу применяемую во внутренних расчетах и учете для пересчета в иностранную валюту используется курс фактически действовавший на рынке на дату составления ПБ Структура ПБ торговый баланс баланс услуг и некоммерческих операций...
73500. МИРОВАЯ ВАЛЮТНАЯ СИСТЕМА И ВАЛЮТНЫЙ РЫНОК 251.5 KB
  Характерные черты НВС исторически возникла первой является относительно самостоятельной частью денежной системы страны выходит за национальные границы ее особенности определяются степенью развития спецификой экономики и внешнеэкономических связей страны ее элементы тесно взаимосвязаны Структура НВС национальная валютная единица валюта степень обратимости национальной валюты механизм установления и поддержания вал. характер ее функционирования и стабильность зависят от степени соответствия ее принципов структуре международной...
73501. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ ПОЛИТИКА В ОТКРЫТОЙ ЭКОНОМИКЕ 255 KB
  Справедливое распределение доходов Инструменты макроэкономической политики в открытой экономике Регулирование спроса Денежная политика Бюджетная политика Внешнеэкономическая политика Операции на открытом рынке Ограничение расходов Валютный курс Операции схожие с операциями на открытом рынке Рост налогов доходов Тарифные ограничения на движение товаров Прямой контроль Расширение источников финансирования Нетарифные ограничения на движение товаров Регулирование внебюджетных фондов Ограничения на движение...
73502. МЕЖДУНАРОДНАЯ ЭКОНОМИКА (МнЭ): СТРУКТУРА И ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ 212 KB
  Мировая экономика из экономической географии Мировое хозяйство из экономической теории и политической экономии Мировая экономика = Мировое хозяйство Международная экономика теория МЭ и МЭО Всемирное хозяйство система состоящая из трех самостоятельных подсистем с различным политическим строем и формами хозяйствования: развитых капиталистических стран I мир социалистических стран IIмир развивающихся стран III мир ПОНЯТИЕ МЕЖДУНАРОДНОЙ ЭКОНОМИКИ МнЭ это часть экономической теории изучающая закономерности...
73503. ТЕОРИИ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ 129.5 KB
  Конъюнктура мирового рынка совокупность условий и факторов определяющих развитие мирового рынка сложившаяся ситуация на мировом рынке товара услуги фактора производства в области уровня и соотношения цен спроса и предложения Виды конъюнктуры По объекту: общехозяйственная отдельного рынка По времени: текущая краткосрочная среднесрочная долгосрочная По стадии экономического цикла: высокая на стадии бума повышательная на стадии...
73504. НАЦИОНАЛЬНОЕ И МЕЖДУНАРОДНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ТОРГОВЛИ 183 KB
  Внешнеторговая политика это система экономических организационных и политических мер по развитию внешнеторговых отношений страны или группы стран Функции внешнеторговой политики защита национальных производителей от конкуренции со стороны импорта обеспечение дополнительных доходов государственного бюджета стимулирование динамичного развития национальной экономики обеспечение возможности для выгодного участия в МРТ Виды государственной внешнеторговой политики Экспортная это мероприятия правительства направленные на: Импортная это...
73505. МЕЖДУНАРОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ КАПИТАЛА 287 KB
  Международная миграция капитала (в широком смысле) - это размещение и функционирование национального капитала за рубежом и иностранного капитала в национальной экономике, т.е это встречное движение капиталов между странами, приносящее их собственникам соответствующий доход