10654

Уточнение корней уравнений методом итераций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 5 Уточнение корней уравнений методом итераций. Цель работы. Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности используя метод итераций построить график сходимости и сравнить его с методом Ньютона. Теоретиче

Русский

2013-03-30

147.5 KB

29 чел.

Лабораторная  работа  5

Уточнение корней уравнений методом итераций.

Цель работы.  Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности, используя метод  итераций, построить график сходимости и сравнить его с методом  Ньютона.

Теоретические положения.  Пусть дано уравнение

                  (1),

при этом известно, что в интервале    есть один корень. Для его уточнения методом итераций с точностью     преобразуем  (1)  в равно-сильное ему

                   (2).

Заметим, что в нашем случае, т.е. для уравнения

x3x2+Bx+C = 0        (3)

эта задача может быть решена тремя способами (см. лекцию).

Согласно теории, из уравнения (2) можно образовать итерационный процесс, если                       (4)

для всех  . В этом случае каждое последующее уточненное значение  получается, если в правую часть (2) подставить предыдущее  , т.е.

                  (5).

Процесс (5) следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие:

    (6).

Порядок выполнения работы.  

- переписать из лабораторной работы 4 исходные данные:  уравнение  (3) и два интервала изоляции    и    (один из них будет резервным),

- преобразовать уравнение (3) в три равносильные ему  ,   и   ,

- найти три производные   ,    и  .

- выбор одной из трех функций вида (2) для  образования итерационного процесса  (5) выполняется следующим образом:

    а) взяв  , подставим туда   и  . Если процесс будет сходиться для , то должно выполняться условие (4) на обоих концах отрезка,

    б) если (4) не выполняется, взять , подставить туда ,   и  вновь проверить условие  (4),

    в) если условие (4)  опять не выполняется, то взять  функцию   , сделать подстановку  и  , а затем проверку по формуле (4).

    г) в случае любого выполнения  пунктов  а) – в), остановиться на соответствующей функции   и записать вывод в следующем виде:

          подходит уравнение  (например)   

- взять в качестве начального приближения  корня  величину ,

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (5), при этом на каждом шаге следует проверять условие (6),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  ,  а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.  Исходные данные для расчетов :

- алгебраическое уравнение   x3x2+Bx+C = 0   из лабораторной работы 4,

- два найденных ранее интервала изоляции :    и  .

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: решить алгебраическое уравнение методом итераций, т.е.определить его корень   с заданной погрешностью  .
  2.  Исходные данные.

1)  x3 - 0,240x2 - 1,329x + 0.433 = 0 ,  

2)  погрешность уточнения   =  10-8 .

3)  интервал  уточнения корня    [0.3  ;0.4] ,

3. Результаты расчетов:

   1)  Заменим уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением x =   

  

  1.  Вычислим производные от функций  .

                      

  1.  Благоприятный результат подстановки границ интервала изоляции в производную, чтобы выполнялось условие:  < 1,

                      

из этого следует, что процесс итераций будет сходящимся, т к    на обоих концах интервала меньше 1. Таким образом,  в качестве   берем  функцию

       

  1.  Возьмем за начальное приближение    = 0.3
  2.  Критерий окончания счета.

              D = |xn+1xn | < 10-8

  1.  Программа итерационного процесса в Mathcad.

             

  1.  Расчетная таблица

n

Xn

Dn

0

0,30000000

 

1

0,32987208

0,02987208

2

0,33316740

0,00329532

3

0,33359040

0,00042300

4

0,33364558

0,00005518

5

0,33365280

0,00000722

6

0,33365374

0,00000094

7

0,33365386

0,00000012

8

0,33365388

0,00000002

9

0,33365388

0,00000000

4.Вывод по работам №4 и №5: во время выполнения этой работы, я научилась находить корни алгебраических уравнений методом Ньютона и методом итераций. Оба способа имеют свои преимущества и недостатки. При решении различных алгебраических уравнений возможно использование любого из двух предложенных методов по желанию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22794. Німецько-фашистський окупаційний режим в Україні 37 KB
  На землях південної України між Дністром і Південним Бугом із центром в Одесі утворено Трансністрію яку разом із Північними Буковиною та Бессарабією передано Румунії. Найбільші підприємства України були поділені між німецькими промисловими магнатами. Жодних законів на захист населення окупованої України не існувало. Керівник рейхс комісаріату Україна Еріх Кох заявив своїм підлеглим у вересні 1941 року: Наше завдання полягає в тому щоб вилучити з України все до чого дійдуть наші руки і в цьому ми не звертатимемо жодної уваги на...
22795. Окупаційний режим та Рух Опору в Україні 30.5 KB
  польські організації; сили ОУН . До початку війни ОУН співробітничала з гітлерівцями у німецькій армії був створений Легіон укр. Прагнення ОУН знайти рівновагу між власними інтересами і цілями фашистів не дали результату. ОУНБ починає формувати армію до якої були включені сили ОУНМ та всі розрізнені загони.
22796. Звільнення України від німецько-фашистських загарбників. Політичні наслідки Другої світової війни та українське питання 25.5 KB
  Гітлерівське командування втратило 73 тис. солдатів і офіцерів у тому числі 182 тис. Фашисти втратили 100 тис. солдатів і офіцерів; 615 тис.
22797. Курс на перебудову: плани та реальності його здійснення в Україні 37 KB
  Перш ніж горбачовські реформи дійшли до України тут сталася катастрофа глобального значення: 26 квітня 1986 р. Величезна радіоактивна хмара покрила багато районів України Росії Білорусії а згодом поширилася на землі Польщі та Скандинавії. Постали Українська республіканська партія Демократична партія України партія зелених та ін. На діаметрально протилежних позиціях стояла Комуністична партія України.
22798. Разработка заказной спецификации на аппаратные средства ЭВМ 30.85 KB
  Наличие хорошего сетевого адаптера, встроенного или внешнего; Наличие мощного процессора и видеоадаптера, необходимого для обработки трехмерной графической информации, а так же достаточная емкость ОЗУ.
22799. Визнання Української держави світовим співтовариством. Міжнародне співробітництво незалежної України 31 KB
  Міжнародне співробітництво незалежної України. Важливим кроком в цьому відношенні став робочий візит міністра закордонних справ України Б. Визначною подією в двосторонніх відносинах України з Канадою став офіційний візит до Києва премєрміністра Канади Ж. Важливим кроком на шляху підтвердження вірності України європейському вибору поглиблення її відносин з Францією стало проведення 1 березня 1999р.
22800. Походження назви «Україна» та «українці» 41.5 KB
  Походження назви Україна та українці Назва Україна щодо українських земель вперше зустрічається в Київському літописі 1187 р. За тих часів назва Україна поширювалася на Київщину Переяславщину Чернігівщину. Про походження назви Україна існує кілька припущень. Надєждін пояснив значення слова Україна.
22801. Ранній залізний вік на території України 63 KB
  Протягом тисячолітнього існування в Північному Причорномор'ї античні містадержави справили значний вплив на розвиток місцевих племен: скіфів сарматів слов'ян. Етногенез словян. Перші писемні згадки про словян. Існує кілька концепцій походження словян з яких найпоширеніша така: витоки слов'янської історії сягають щонайменше II тис.
22802. Походження Русі 28 KB
  Основними ознаками будьякої середньовічної держави в тому числі Київської Русі були: розміщення населення не за національним у той період за племінним принципом а за територіальним поява влади не пов'язаної з волевиявленням народу збирання данини для утримання цієї влади династичний спадковий характер влади вождя.