10654

Уточнение корней уравнений методом итераций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 5 Уточнение корней уравнений методом итераций. Цель работы. Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности используя метод итераций построить график сходимости и сравнить его с методом Ньютона. Теоретиче

Русский

2013-03-30

147.5 KB

29 чел.

Лабораторная  работа  5

Уточнение корней уравнений методом итераций.

Цель работы.  Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности, используя метод  итераций, построить график сходимости и сравнить его с методом  Ньютона.

Теоретические положения.  Пусть дано уравнение

                  (1),

при этом известно, что в интервале    есть один корень. Для его уточнения методом итераций с точностью     преобразуем  (1)  в равно-сильное ему

                   (2).

Заметим, что в нашем случае, т.е. для уравнения

x3x2+Bx+C = 0        (3)

эта задача может быть решена тремя способами (см. лекцию).

Согласно теории, из уравнения (2) можно образовать итерационный процесс, если                       (4)

для всех  . В этом случае каждое последующее уточненное значение  получается, если в правую часть (2) подставить предыдущее  , т.е.

                  (5).

Процесс (5) следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие:

    (6).

Порядок выполнения работы.  

- переписать из лабораторной работы 4 исходные данные:  уравнение  (3) и два интервала изоляции    и    (один из них будет резервным),

- преобразовать уравнение (3) в три равносильные ему  ,   и   ,

- найти три производные   ,    и  .

- выбор одной из трех функций вида (2) для  образования итерационного процесса  (5) выполняется следующим образом:

    а) взяв  , подставим туда   и  . Если процесс будет сходиться для , то должно выполняться условие (4) на обоих концах отрезка,

    б) если (4) не выполняется, взять , подставить туда ,   и  вновь проверить условие  (4),

    в) если условие (4)  опять не выполняется, то взять  функцию   , сделать подстановку  и  , а затем проверку по формуле (4).

    г) в случае любого выполнения  пунктов  а) – в), остановиться на соответствующей функции   и записать вывод в следующем виде:

          подходит уравнение  (например)   

- взять в качестве начального приближения  корня  величину ,

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (5), при этом на каждом шаге следует проверять условие (6),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  ,  а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.  Исходные данные для расчетов :

- алгебраическое уравнение   x3x2+Bx+C = 0   из лабораторной работы 4,

- два найденных ранее интервала изоляции :    и  .

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: решить алгебраическое уравнение методом итераций, т.е.определить его корень   с заданной погрешностью  .
  2.  Исходные данные.

1)  x3 - 0,240x2 - 1,329x + 0.433 = 0 ,  

2)  погрешность уточнения   =  10-8 .

3)  интервал  уточнения корня    [0.3  ;0.4] ,

3. Результаты расчетов:

   1)  Заменим уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением x =   

  

  1.  Вычислим производные от функций  .

                      

  1.  Благоприятный результат подстановки границ интервала изоляции в производную, чтобы выполнялось условие:  < 1,

                      

из этого следует, что процесс итераций будет сходящимся, т к    на обоих концах интервала меньше 1. Таким образом,  в качестве   берем  функцию

       

  1.  Возьмем за начальное приближение    = 0.3
  2.  Критерий окончания счета.

              D = |xn+1xn | < 10-8

  1.  Программа итерационного процесса в Mathcad.

             

  1.  Расчетная таблица

n

Xn

Dn

0

0,30000000

 

1

0,32987208

0,02987208

2

0,33316740

0,00329532

3

0,33359040

0,00042300

4

0,33364558

0,00005518

5

0,33365280

0,00000722

6

0,33365374

0,00000094

7

0,33365386

0,00000012

8

0,33365388

0,00000002

9

0,33365388

0,00000000

4.Вывод по работам №4 и №5: во время выполнения этой работы, я научилась находить корни алгебраических уравнений методом Ньютона и методом итераций. Оба способа имеют свои преимущества и недостатки. При решении различных алгебраических уравнений возможно использование любого из двух предложенных методов по желанию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48048. Генетика. Учебно-методическое пособие 505 KB
  Формы взаимодействия аллельных генов. Контролируются одной парой аллельных генов. Форма взаимодействия аллельных генов – полное доминирование. Определите генотипы и фенотипы потомства при условии что форма взаимодействия аллельных генов полное доминирование.
48049. Генетика. Задачник 3.79 MB
  перед генетикой ставятся все более сложные и важные задачи. Знание основных классических положений общей генетики становится потребностью все большего круга специалистов разного профиля. За период прошедший со времени выхода в свет первого издания Задачника 1976 теоретическая и практическая генетика шагнула далеко вперед. Обогатились понятия о сущности гена и его функциях.
48050. БИОЛОГИЯ С ОСНОВАМИ МЕДИЦИНСКОЙ ГЕНЕТИКИ 278 KB
  Какой цвет глаз будет у детей б Гетерозиготный кареглазый мужчина женился на гетерозиготной кареглазой женщине. Какова вероятность рождения детей с этой аномалией в семье где оба супруга страдают парагемофилией 47. От этого брака родилось двое детей – кареглазая дочь и голубоглазый сын. А Определите вероятность рождения шестипалых детей в семье где оба родителя гетерозиготны.
48051. Явления наследственности и изменчивости на уровне отдельных признаков организма 451.5 KB
  Задача. Задачи к теме 1: Методы оценки вариабельности признака Задача 1. Рассчитать достоверно ли отличие деревьев по весу семян Какие деревья могут быть отобраны для дальнейшей работы по данному признаку Задача 2. Можно ли рекомендовать популяцию ели из которой взята данная выборка для отбора на быстроту роста Групповой или индивидуальный отбор вы будете проводить...
48055. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МЕДИЦИНСКОЙ ГЕНЕТИКЕ 667.5 KB
  УКАЖИТЕ ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ Английский биолог Glton ввел в науку и практику следующие методы генетики человека и медицинской генетики: Близнецовый Дерматоглифический Популяционно-статистический Статистический Цитогенетический Генеалогический
48056. Регіональна економіка 747.5 KB
  Господарський комплекс України 7 Тема 1.1 Природноресурсний потенціал України 7 Тема 1.2 Трудовий потенціал України 8 Тема 1.4 Економічне районування та територіальна організація господарства України.