10654

Уточнение корней уравнений методом итераций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 5 Уточнение корней уравнений методом итераций. Цель работы. Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности используя метод итераций построить график сходимости и сравнить его с методом Ньютона. Теоретиче

Русский

2013-03-30

147.5 KB

29 чел.

Лабораторная  работа  5

Уточнение корней уравнений методом итераций.

Цель работы.  Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности, используя метод  итераций, построить график сходимости и сравнить его с методом  Ньютона.

Теоретические положения.  Пусть дано уравнение

                  (1),

при этом известно, что в интервале    есть один корень. Для его уточнения методом итераций с точностью     преобразуем  (1)  в равно-сильное ему

                   (2).

Заметим, что в нашем случае, т.е. для уравнения

x3x2+Bx+C = 0        (3)

эта задача может быть решена тремя способами (см. лекцию).

Согласно теории, из уравнения (2) можно образовать итерационный процесс, если                       (4)

для всех  . В этом случае каждое последующее уточненное значение  получается, если в правую часть (2) подставить предыдущее  , т.е.

                  (5).

Процесс (5) следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие:

    (6).

Порядок выполнения работы.  

- переписать из лабораторной работы 4 исходные данные:  уравнение  (3) и два интервала изоляции    и    (один из них будет резервным),

- преобразовать уравнение (3) в три равносильные ему  ,   и   ,

- найти три производные   ,    и  .

- выбор одной из трех функций вида (2) для  образования итерационного процесса  (5) выполняется следующим образом:

    а) взяв  , подставим туда   и  . Если процесс будет сходиться для , то должно выполняться условие (4) на обоих концах отрезка,

    б) если (4) не выполняется, взять , подставить туда ,   и  вновь проверить условие  (4),

    в) если условие (4)  опять не выполняется, то взять  функцию   , сделать подстановку  и  , а затем проверку по формуле (4).

    г) в случае любого выполнения  пунктов  а) – в), остановиться на соответствующей функции   и записать вывод в следующем виде:

          подходит уравнение  (например)   

- взять в качестве начального приближения  корня  величину ,

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (5), при этом на каждом шаге следует проверять условие (6),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  ,  а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.  Исходные данные для расчетов :

- алгебраическое уравнение   x3x2+Bx+C = 0   из лабораторной работы 4,

- два найденных ранее интервала изоляции :    и  .

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: решить алгебраическое уравнение методом итераций, т.е.определить его корень   с заданной погрешностью  .
  2.  Исходные данные.

1)  x3 - 0,240x2 - 1,329x + 0.433 = 0 ,  

2)  погрешность уточнения   =  10-8 .

3)  интервал  уточнения корня    [0.3  ;0.4] ,

3. Результаты расчетов:

   1)  Заменим уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением x =   

  

  1.  Вычислим производные от функций  .

                      

  1.  Благоприятный результат подстановки границ интервала изоляции в производную, чтобы выполнялось условие:  < 1,

                      

из этого следует, что процесс итераций будет сходящимся, т к    на обоих концах интервала меньше 1. Таким образом,  в качестве   берем  функцию

       

  1.  Возьмем за начальное приближение    = 0.3
  2.  Критерий окончания счета.

              D = |xn+1xn | < 10-8

  1.  Программа итерационного процесса в Mathcad.

             

  1.  Расчетная таблица

n

Xn

Dn

0

0,30000000

 

1

0,32987208

0,02987208

2

0,33316740

0,00329532

3

0,33359040

0,00042300

4

0,33364558

0,00005518

5

0,33365280

0,00000722

6

0,33365374

0,00000094

7

0,33365386

0,00000012

8

0,33365388

0,00000002

9

0,33365388

0,00000000

4.Вывод по работам №4 и №5: во время выполнения этой работы, я научилась находить корни алгебраических уравнений методом Ньютона и методом итераций. Оба способа имеют свои преимущества и недостатки. При решении различных алгебраических уравнений возможно использование любого из двух предложенных методов по желанию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72189. Базы данных: учебно-методический комплекс 3.24 MB
  Дисциплина посвящена изучению вопросов организации баз данных и систем управления базами данных. В основных ее разделах изучаются принципы построения, функционирования и оценки характеристик баз данных и их систем управления.
72190. УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ «ХИМИЯ ПИЩИ» 1.54 MB
  В основе производства пищевых продуктов лежат превращения основных компонентов пищи воды белковых веществ липидов углеводов солей и витаминов. Их классификацию состав и строение; пищевую энергетическую и биологическую ценность основных нутриентов...
72191. Захист інформації та інформаційна безпека: посібник 998.5 KB
  Інформація, будучи продуктом діяльності, виступає як власність держави, підприємств, установ, організацій, громадян, і, як об’єкт власності, вимагає захищеності. Проте проблема захисту інформації не зводиться тільки до захисту прав її власників, але і містить в собі такий важливий аспект...
72192. БАЗЫ ДАННЫХ: УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС 7.9 MB
  Методические указания к выполнению лабораторных работ являются составной частью раздела «Информационные ресурсы дисциплины» учебно-методического комплекса и содержат описание лабораторных работ, порядок их выполнения и требования к оформлению отчета.
72193. Безопасность жизнедеятельности: Учебно-методический комплекс 503.5 KB
  Безопасность жизнедеятельности БЖД –- наука о сохранении здоровья и безопасности человека в процессе жизнедеятельности; об опасностях среды обитания в том числе производственной среды; о выявлении и анализе опасностей и защите от них.
72194. Высокотехнологичное оборудование предприятий общественного питания: Учебное пособие 2.76 MB
  К механическому высокотехнологичному оборудованию для предприятий общественного питания относятся: ленточные пилы; мясорубки с системой охлаждения в процессе измельчения продукта; иньекторы; вакуумные массажеры-маринаторы; вакуумные упаковочные машины.
72195. Схемотехника аналоговых электронных устройств: Учебное пособие 3.54 MB
  В учебном пособии рассмотрены теоретические основы и принципы действия аналоговых устройств на биполярных и полевых транзисторах. Анализируются основные схемы , используемые в аналоговых трактах типовой радиоэлектронной аппаратуры, приводятся расчетные формулы, позволяющие определить элементы...
72196. Спектроскопические методы. Атомно-эмиссионный спектральный анализ. Фотометрические методы анализа 1.35 MB
  Спектроскопические методы анализа основаны на взаимодействии электромагнитного излучения с веществом. Это взаимодействие сопровождается явлениями из которых наиболее важны испускание поглощение и рассеяние излучения. К оптическим спектральным методам анализа относятся методы...