10654

Уточнение корней уравнений методом итераций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 5 Уточнение корней уравнений методом итераций. Цель работы. Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности используя метод итераций построить график сходимости и сравнить его с методом Ньютона. Теоретиче

Русский

2013-03-30

147.5 KB

29 чел.

Лабораторная  работа  5

Уточнение корней уравнений методом итераций.

Цель работы.  Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности, используя метод  итераций, построить график сходимости и сравнить его с методом  Ньютона.

Теоретические положения.  Пусть дано уравнение

                  (1),

при этом известно, что в интервале    есть один корень. Для его уточнения методом итераций с точностью     преобразуем  (1)  в равно-сильное ему

                   (2).

Заметим, что в нашем случае, т.е. для уравнения

x3x2+Bx+C = 0        (3)

эта задача может быть решена тремя способами (см. лекцию).

Согласно теории, из уравнения (2) можно образовать итерационный процесс, если                       (4)

для всех  . В этом случае каждое последующее уточненное значение  получается, если в правую часть (2) подставить предыдущее  , т.е.

                  (5).

Процесс (5) следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие:

    (6).

Порядок выполнения работы.  

- переписать из лабораторной работы 4 исходные данные:  уравнение  (3) и два интервала изоляции    и    (один из них будет резервным),

- преобразовать уравнение (3) в три равносильные ему  ,   и   ,

- найти три производные   ,    и  .

- выбор одной из трех функций вида (2) для  образования итерационного процесса  (5) выполняется следующим образом:

    а) взяв  , подставим туда   и  . Если процесс будет сходиться для , то должно выполняться условие (4) на обоих концах отрезка,

    б) если (4) не выполняется, взять , подставить туда ,   и  вновь проверить условие  (4),

    в) если условие (4)  опять не выполняется, то взять  функцию   , сделать подстановку  и  , а затем проверку по формуле (4).

    г) в случае любого выполнения  пунктов  а) – в), остановиться на соответствующей функции   и записать вывод в следующем виде:

          подходит уравнение  (например)   

- взять в качестве начального приближения  корня  величину ,

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (5), при этом на каждом шаге следует проверять условие (6),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  ,  а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.  Исходные данные для расчетов :

- алгебраическое уравнение   x3x2+Bx+C = 0   из лабораторной работы 4,

- два найденных ранее интервала изоляции :    и  .

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: решить алгебраическое уравнение методом итераций, т.е.определить его корень   с заданной погрешностью  .
  2.  Исходные данные.

1)  x3 - 0,240x2 - 1,329x + 0.433 = 0 ,  

2)  погрешность уточнения   =  10-8 .

3)  интервал  уточнения корня    [0.3  ;0.4] ,

3. Результаты расчетов:

   1)  Заменим уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением x =   

  

  1.  Вычислим производные от функций  .

                      

  1.  Благоприятный результат подстановки границ интервала изоляции в производную, чтобы выполнялось условие:  < 1,

                      

из этого следует, что процесс итераций будет сходящимся, т к    на обоих концах интервала меньше 1. Таким образом,  в качестве   берем  функцию

       

  1.  Возьмем за начальное приближение    = 0.3
  2.  Критерий окончания счета.

              D = |xn+1xn | < 10-8

  1.  Программа итерационного процесса в Mathcad.

             

  1.  Расчетная таблица

n

Xn

Dn

0

0,30000000

 

1

0,32987208

0,02987208

2

0,33316740

0,00329532

3

0,33359040

0,00042300

4

0,33364558

0,00005518

5

0,33365280

0,00000722

6

0,33365374

0,00000094

7

0,33365386

0,00000012

8

0,33365388

0,00000002

9

0,33365388

0,00000000

4.Вывод по работам №4 и №5: во время выполнения этой работы, я научилась находить корни алгебраических уравнений методом Ньютона и методом итераций. Оба способа имеют свои преимущества и недостатки. При решении различных алгебраических уравнений возможно использование любого из двух предложенных методов по желанию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13584. Инфляция – единственная форма наказания без особого основания 33.5 KB
  Инфляция единственная форма наказания без особого основания. Милтон Фридмен Выбранное мною высказывание затрагивает вопрос о сущности и причинах инфляции. Данная тема несомненно актуальна в настоящее время так как в современном мире экономическая ситуация не...
13585. Инфляция это единственная форма наказания без законного основания 15.64 KB
  Инфляция единственная форма наказания без законного основания М. Фридман Автор данного высказывания затрагивает проблему роли и места инфляции в экономике ее воздействия на субъекты рынка. Данная проблема очень актуальна в наши дни ведь борьба с растущей инфл...
13586. Инфляция – единственная форма наказания без законного основания (Милтон Фридмен) 17.84 KB
  Инфляция единственная форма наказания без законного основания Милтон Фридмен Выбранное мною высказывание посвящено сущности понятия инфляции и ее роли в рыночной системе экономики. Эта проблема всегда остается актуальной особенно в условиях рыночной экономик
13587. Инфляция - единственная форма наказания без законного основания. Милтон Фридман 16.89 KB
  Инфляция единственная форма наказания без законного основания Милтон Фридман Выбранное мною высказывание поднимает проблему роли и места инфляции в экономике а также её воздействия на субъектов рынка. Данная проблема достаточно актуально для многих развивающихся...
13588. Экономическая конкуренция – это не война, а соперничество в интересах друг друга 16.45 KB
  Экономическая конкуренция это не война а соперничество в интересах друг друга. Э. Каннан В выбранном мною высказывании рассматривается сущность такого понятия как экономическая конкуренция ее важность для экономики рыночного типа. В современной России основы р
13589. Конкуренцию никак нельзя соединить с планированием, не ослабляя ее как фактор организации производства 13.98 KB
  Конкуренцию никак нельзя соединить с планированием не ослабляя ее как фактор организации производства. Ф. фон Хайек Выбранное мною высказывание связано с пониманием сущности конкуренции и ее антипода планирования. Именно конкуренция обеспечивает взаимосвязи ры
13590. Слово «кризис», написанное по-китайски, состоит из двух иероглифов: один означает «опасность», другой – «благоприятная возможность» 15.47 KB
  Слово кризис написанное покитайски состоит из двух иероглифов: один означает опасность другой благоприятная возможность Джон Кеннеди В данном высказывании затрагивается проблема сущности экономического кризиса и его последствий. Эта проблема очень актуа
13591. Торговля не разорила еще ни одного народа 18.87 KB
  Торговля не разорила еще ни одного народа. Б. Франклин В выбранном мною высказывании автор рассматривает сущность международной торговли и ее роли и значения для развития национальной экономики. В наше время этот вопрос актуален как никогда. Именно сейчас особо явн...
13592. Цены монополии во всех случаях являются самыми высокими из тех, которые можно выжать из покупателей 30 KB
  Цены монополии во всех случаях являются самыми высокими из тех которые можно выжать из покупателей А. Смит. Выбранное мною высказывание затрагивает вопрос о сущности монополизма и его опасности для потребителя. В России проблема монополизма также стала актуальной ...