10654

Уточнение корней уравнений методом итераций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 5 Уточнение корней уравнений методом итераций. Цель работы. Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности используя метод итераций построить график сходимости и сравнить его с методом Ньютона. Теоретиче

Русский

2013-03-30

147.5 KB

29 чел.

Лабораторная  работа  5

Уточнение корней уравнений методом итераций.

Цель работы.  Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности, используя метод  итераций, построить график сходимости и сравнить его с методом  Ньютона.

Теоретические положения.  Пусть дано уравнение

                  (1),

при этом известно, что в интервале    есть один корень. Для его уточнения методом итераций с точностью     преобразуем  (1)  в равно-сильное ему

                   (2).

Заметим, что в нашем случае, т.е. для уравнения

x3x2+Bx+C = 0        (3)

эта задача может быть решена тремя способами (см. лекцию).

Согласно теории, из уравнения (2) можно образовать итерационный процесс, если                       (4)

для всех  . В этом случае каждое последующее уточненное значение  получается, если в правую часть (2) подставить предыдущее  , т.е.

                  (5).

Процесс (5) следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие:

    (6).

Порядок выполнения работы.  

- переписать из лабораторной работы 4 исходные данные:  уравнение  (3) и два интервала изоляции    и    (один из них будет резервным),

- преобразовать уравнение (3) в три равносильные ему  ,   и   ,

- найти три производные   ,    и  .

- выбор одной из трех функций вида (2) для  образования итерационного процесса  (5) выполняется следующим образом:

    а) взяв  , подставим туда   и  . Если процесс будет сходиться для , то должно выполняться условие (4) на обоих концах отрезка,

    б) если (4) не выполняется, взять , подставить туда ,   и  вновь проверить условие  (4),

    в) если условие (4)  опять не выполняется, то взять  функцию   , сделать подстановку  и  , а затем проверку по формуле (4).

    г) в случае любого выполнения  пунктов  а) – в), остановиться на соответствующей функции   и записать вывод в следующем виде:

          подходит уравнение  (например)   

- взять в качестве начального приближения  корня  величину ,

- выполнить  в  MathCad  уточнение корня с точностью до    в соответствии с алгоритмом (5), при этом на каждом шаге следует проверять условие (6),

- результаты уточнения  занести в таблицу  , где  ,  а  n – номер шага,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.  Исходные данные для расчетов :

- алгебраическое уравнение   x3x2+Bx+C = 0   из лабораторной работы 4,

- два найденных ранее интервала изоляции :    и  .

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: решить алгебраическое уравнение методом итераций, т.е.определить его корень   с заданной погрешностью  .
  2.  Исходные данные.

1)  x3 - 0,240x2 - 1,329x + 0.433 = 0 ,  

2)  погрешность уточнения   =  10-8 .

3)  интервал  уточнения корня    [0.3  ;0.4] ,

3. Результаты расчетов:

   1)  Заменим уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением x =   

  

  1.  Вычислим производные от функций  .

                      

  1.  Благоприятный результат подстановки границ интервала изоляции в производную, чтобы выполнялось условие:  < 1,

                      

из этого следует, что процесс итераций будет сходящимся, т к    на обоих концах интервала меньше 1. Таким образом,  в качестве   берем  функцию

       

  1.  Возьмем за начальное приближение    = 0.3
  2.  Критерий окончания счета.

              D = |xn+1xn | < 10-8

  1.  Программа итерационного процесса в Mathcad.

             

  1.  Расчетная таблица

n

Xn

Dn

0

0,30000000

 

1

0,32987208

0,02987208

2

0,33316740

0,00329532

3

0,33359040

0,00042300

4

0,33364558

0,00005518

5

0,33365280

0,00000722

6

0,33365374

0,00000094

7

0,33365386

0,00000012

8

0,33365388

0,00000002

9

0,33365388

0,00000000

4.Вывод по работам №4 и №5: во время выполнения этой работы, я научилась находить корни алгебраических уравнений методом Ньютона и методом итераций. Оба способа имеют свои преимущества и недостатки. При решении различных алгебраических уравнений возможно использование любого из двух предложенных методов по желанию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76137. Безработица: сущность причины формы и последствия 30.04 KB
  Безработица это социальноэкономическое явление при котором часть трудоспособного населения не находит применения своему труду не получает работу причиной этого является превышение числа желающих найти работу над числом имеющихся рабочих мест.
76138. Элементы процесса управления. Функции управления 52.65 KB
  Актуальность темы контрольной работы состоит в том что эффективность управления определяется степенью взаимодействия сознательной управленческой деятельности с законами рыночной экономики. Цель работы: изучить вопросы определения менеджмента как вида деятельности его место в процессе управления.
76139. Несогласованность расчетов рассеивания в атмосфере вредных веществ и нормирование их концентрации 263.5 KB
  В 1951 г. в нашей стране были утверждены ПДК для 10 наиболее распространенных атмосферных загрязнителей. Это были первые в мире нормативы качества воздуха введенные работами проф. В.А. Рязанова и его последователей.
76140. WiFi технология беспроводной связи 180.5 KB
  Во всем мире стремительно растет потребность в беспроводных соединениях особенно в сфере бизнеса. Пользователи с беспроводным доступом к информации всегда и везде могут работать гораздо более производительно и эффективно чем их коллеги привязанные к проводным телефонным и компьютерным сетям.
76141. ДОПИНГ В СПОРТЕ И ЖИЗНИ 147.5 KB
  В настоящее время для профессионального спорта остро стоит проблема применения спортсменами допинга. Решение данной задачи сразу же влечёт за собой цепь сопутствующих вопросов: как совершенствовать систему допингконтроля какие препараты запретить к использованию...
76142. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 493.5 KB
  Если известен момент инерции тела относительно оси проходящей через центр масс то момент инерции тела относительно любой параллельной оси можно определить воспользовавшись теоремой Штейнера согласно которой момент инерции...
76143. Обонятельная ольфакторная сенсорная система 334.64 KB
  Сруктурно функциональная характеристика обонятельного анализатора. По волокнам обонятельного нерва импульсы поступают на обонятельную луковицу структуру переднего мозга в которой осуществляется обработка информации и далее следуют в корковый обонятельный центр.
76144. Сучасні імена українців 29.38 KB
  Візантійські імена крім давньогрецьких охоплювали давньоримські і давньоєврейські а також незначну частину імен тих народів з якими греки візантійської епохи підтримували торговельні і культурні звязки.
76145. Сущность и особенности функционирования рынка недвижимости 449.5 KB
  Одним из его видов является рынок недвижимости в котором главную роль играет недвижимое имущество его стоимость и участники рынка. Обязательным условием оценки недвижимости является учет специфики функционирования рынка недвижимости так как состояние рынка недвижимости оказывает существенное влияние...