10655

Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 6 Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов. Цель работы. Для опытных данных представленных в виде таблицы подобрать такую аналитическую зависимость которая бы приближенно выражала исследуемый процесс.

Русский

2013-03-30

280 KB

22 чел.

Лабораторная  работа  6

Построение эмпирической формулы

методом наименьших квадратов.

Цель работы.   Для опытных данных, представленных в виде таблицы   , подобрать такую аналитическую зависимость , которая бы приближенно выражала исследуемый процесс  .  Построить на координатной плоскости обе зависимости :   и  , дать  их сравни-тельную оценку.

Теоретические положения.   Если количество узлов интерполирова-ния   велико,  то получается высокая степень многочлена в случае интерпо-яции. Кроме того, данные могут содержать ошибки, которые при интерполи-ровании  повторятся  и  будет искажена.  В этом случае подбирается многочлен, график которого проходит не через заданные точки  (), а близко от них. Одним из эффективных методов такой реализации является  среднеквадратическое  приближение функции с помощью многочлена

                ,       (1)

где  .

На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (обычно m=1,2,3). Мерой отклонения    от функции    на множестве заданных точек () является  величина

.       (2)

Коэффициенты многочлена (1) надо подобрать так, чтобы  S была минимальной. В этом и состоит     метод наименьших квадратов. 

Минимум функции  S  обычно находится, если приравнять нулю частные производные  …В результате получим систему линейных уравнений   m-го  порядка.

Для случая, когда  m=1 имеем линейную  зависимость  :

        ,                    (3)

коэффициенты которой находятся из нормальной системы

  ,

  .              (4)

Если  m=2, то    представляет собой квадратный трехчлен:

,                       (5)

коэффициенты которого вычислим, решая систему

,

,          (6)

,

например, методом Крамера.

Составление системы линейных уравнений для случая  m=3, имея ввиду выражения (4) и (6), не представляет большой трудности и может быть выполнено студентом самостоятельно.

Порядок выполнения работы.  

- в соответствии с заданным номером варианта, переписать таблицу опытных данных,

- во всех расчетах принять  ,

- по опытным данным определить “скрытую” зависимость , для чего нанести точки () на координатную плоскость и провести через них пунктирной линией наиболее вероятную функцию (прямую, параболу или кубическую параболу),

- после определения функции сделать вывод, например.

                      “вид зависимости  КВАДРАТИЧНАЯ”,

- записать предполагаемую эмпирическую формулу  в виде (3) или (5),

- в зависимости от вида , переписать требуемую нормальную систему

(4) или (6),

- для преобразования теоретической нормальной системы  к системе с числовыми коэффициентами, составить расчетную таблицу, в которую включить: , а также их суммы,

- подставить найденные суммы в систему (4) или (6) и решить ее, например, методом Крамера, записав при этом все определители и их значения,

- вычислить  коэффициенты  ,

- записать окончательное выражение для эмпирической формулы  ,

- сделать таблицу зависимости    для 21 значения аргумента, приняв шаг таблицы  ,

- на координатную плоскость нанести  график   (сплошная линия)  и  опытные данные  (в виде точек),

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.   Результаты  некоторого эксперимента     заданы  в табличной  форме  :

1

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

6

1

2

0.8

7

9

13

2

x

1

2

3

4

5

6

y

4

4

1

3

7

6

3

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-12

-5

-4

-1

-5

-4

-12

4

x

0

2

4

6

8

10

y

-7

-1

-2

-1.5

-6

-10

5

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1.4

-2

2

6

11

6

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-8

-5

-2.2

-1.3

-3

-4

-12

7

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

3

4

0.5

3

3

11

12

8

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7

8

2

3

2

7

6

9

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-8

-7

-2

-3

-2.5

-8

-9

10

x

0

2

4

6

8

10

y

-4

-3

0

-2

-4.3

-12

11

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

11

5

2

-1

3

3

9

12

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-6

-2

-0.3

1

-0.6

-4

-8

13

x

-6.5

-5.5

-4.5

-3.5

-2.5

-1.5

-1

y

9

2

3

0

4

6

11

14

x

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

y

9

3

4

2

5

7

15

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-5.4

-1.7

-3.3

-2.2

-8.2

-9.6

16

x

0

2

4

6

8

10

y

-6.1

-1.4

-2.3

-1.4

-7.3

-8.8

17

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

7.4

3.5

1.4

-1.5

2

5

9

18

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-12.4

-5

-1.5

1.2

-3

-7

-16.3

19

x

-6.5

-5.5

-4.5

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

y

12.2

4.3

5.1

0.4

6.3

5.7

11.8

20

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7.3

5.4

5.9

1.4

5.2

6.8

9.8

21

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-13

-4.5

-4.2

-3.1

-6.3

-7.1

-8.5

22

x

0

2

4

6

8

10

y

-7.4

-1.3

-2.5

-1

-6.8

-8.6

23

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

6.4

3.2

4.2

0.5

5.1

4.3

7.6

24

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-6.4

-2.1

-3.4

-1.3

-2.9

-2.4

-7.3

25

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

6.3

2.5

2.2

-1.3

2.8

3.4

5.4

26

x

0

1

2

3

4

5

6

y

9.5

4.4

2.1

0.3

3.2

5.8

10.3

27

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-4.4

-1.9

-2.4

-2.2

-5.8

-5.2

-9.4

28

x

0

2

4

6

8

10

y

-10

-2

-3.5

-2.1

-6.4

-12.3

29

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

15.4

8.6

2.8

3.5

3.4

7.3

14.2

30

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-14.6

-8.4

-3.2

0.4

-2.4

-7.2

-11.8

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью подбора к ним формулы, найти эмпирическую формулу и построить график квадратичной зависимости через опытные данные, с минимумом квадратичного отклонения.
  2.  Исходные данные:

    - таблица опытных данных.

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7

8

2

3

2

7

6

      

               

               

             - погрешность расчетов   =  10-3

             - количество данных  n = 7  

  1.  Определение «скрытой» зависимости  по опытным данным.

(сделать рисунок),

  1.  Вывод:  вид зависимости – КВАДРАТИЧНАЯ.

          

где неизвестные  найдем из нормальной системы

      

  требуемые  суммы найдем из таблицы.

  1.  Таблица расчетов сумм  для нормальной системы:

X

Y

x*x

x*x*x

x*x*x*x

x*y

x*x*y

0

7

0

0

0

0

0

1

8

1

1

1

8

8

2

2

4

8

16

4

8

3

3

9

27

81

9

27

4

2

16

64

256

8

32

5

7

25

125

625

35

175

6

6

36

216

1296

36

216

сумма

21

35

91

441

2275

100

466

                

  

  Запишем систему уравнений, подставляя суммы в нормальную систему.

    

  1.  Система уравнений

                         

  1.  Решаем систему методом Крамера.

 

 

                       

  1.  Эмпирическая  формула:

 

9.  Таблица из 21  точки в диапазоне исходных данных   ,

 

X

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3

Y

7,976

7,088

6,288

5,575

4,950

4,414

3,965

3,603

3,330

3,145

3,047

x

3,3

3,6

3,9

4,2

4,5

4,8

5,1

5,4

5,7

6

y

3,037

3,115

3,281

3,535

3,876

4,306

4,823

5,428

6,121

6,902

10.  График эмпирической зависимости   и опытные данные  ().

Вывод по работе: в результате проделанной работы мы смогли построить график, который проходит в среднем через опытные данные, обеспечивая минимум квадратичного отклонения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8141. Совершенствование технологии механической обработки детали Корпус редуктора 849.24 KB
  Введение Данный дипломный проект выполнен на тему Совершенствование технологии механической обработки детали Корпус редуктора. В современном машиностроительном производстве обработка резанием является главным технологическим методом, обеспечив...
8142. модернизация электропривода механизма изменения вылета стрелы портального крана Кондор 1.07 MB
  Аннотация В дипломном проекте осуществлена модернизация электропривода механизма изменения вылета стрелы портального крана Кондор. Вместо асинхронного электродвигателя с фазным ротором, скорость которого регулируется изменением сопротивления цепи ро...
8143. Проектирование станка, предназначенного для чеканки (раскатки) верхнего торца алюминиевых стержней в пазах сердечника ротора 459.5 KB
  Электромашиностроение является основной отраслью электротехнической промышленности, изготовляющей генераторы для энергетической промышленности и электродвигатели для различных отраслей народного хозяйства. В дореволюционной России было тол...
8147. Реконструкция моторного участка МУ ПАТП-7 г.Омска 15.49 MB
  Тема данного проекта - реконструкция моторного участка МУ ПАТП-7г.Омска. Основными задачами современного развития автомобильного транспорта Перечисленные мероприятия ведут к снижению себестоимости перевозок, затрат на обслуживание и ремонт подвижного состава...
8148. Управление электрохозяйством предприятий 679.68 KB
  Рассмотрены структура, организация и комплексная система управления электрохозяйством предприятий (организаций) в соответствии с требованиями законодательных, правовых и подзаконных актов, норм и правил работы в электроустановках. Приведен необходим...
8149. Моделирование систем. Учебное пособие 1011.5 KB
  Учебное пособие соответствует программе семестрового курса лекций по моделированию систем. Содержит общие сведения о моделировании систем, рассмотрены математические схемы моделирования, а также формализация и алгоритмизация процесса функционировани...