10655

Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 6 Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов. Цель работы. Для опытных данных представленных в виде таблицы подобрать такую аналитическую зависимость которая бы приближенно выражала исследуемый процесс.

Русский

2013-03-30

280 KB

22 чел.

Лабораторная  работа  6

Построение эмпирической формулы

методом наименьших квадратов.

Цель работы.   Для опытных данных, представленных в виде таблицы   , подобрать такую аналитическую зависимость , которая бы приближенно выражала исследуемый процесс  .  Построить на координатной плоскости обе зависимости :   и  , дать  их сравни-тельную оценку.

Теоретические положения.   Если количество узлов интерполирова-ния   велико,  то получается высокая степень многочлена в случае интерпо-яции. Кроме того, данные могут содержать ошибки, которые при интерполи-ровании  повторятся  и  будет искажена.  В этом случае подбирается многочлен, график которого проходит не через заданные точки  (), а близко от них. Одним из эффективных методов такой реализации является  среднеквадратическое  приближение функции с помощью многочлена

                ,       (1)

где  .

На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (обычно m=1,2,3). Мерой отклонения    от функции    на множестве заданных точек () является  величина

.       (2)

Коэффициенты многочлена (1) надо подобрать так, чтобы  S была минимальной. В этом и состоит     метод наименьших квадратов. 

Минимум функции  S  обычно находится, если приравнять нулю частные производные  …В результате получим систему линейных уравнений   m-го  порядка.

Для случая, когда  m=1 имеем линейную  зависимость  :

        ,                    (3)

коэффициенты которой находятся из нормальной системы

  ,

  .              (4)

Если  m=2, то    представляет собой квадратный трехчлен:

,                       (5)

коэффициенты которого вычислим, решая систему

,

,          (6)

,

например, методом Крамера.

Составление системы линейных уравнений для случая  m=3, имея ввиду выражения (4) и (6), не представляет большой трудности и может быть выполнено студентом самостоятельно.

Порядок выполнения работы.  

- в соответствии с заданным номером варианта, переписать таблицу опытных данных,

- во всех расчетах принять  ,

- по опытным данным определить “скрытую” зависимость , для чего нанести точки () на координатную плоскость и провести через них пунктирной линией наиболее вероятную функцию (прямую, параболу или кубическую параболу),

- после определения функции сделать вывод, например.

                      “вид зависимости  КВАДРАТИЧНАЯ”,

- записать предполагаемую эмпирическую формулу  в виде (3) или (5),

- в зависимости от вида , переписать требуемую нормальную систему

(4) или (6),

- для преобразования теоретической нормальной системы  к системе с числовыми коэффициентами, составить расчетную таблицу, в которую включить: , а также их суммы,

- подставить найденные суммы в систему (4) или (6) и решить ее, например, методом Крамера, записав при этом все определители и их значения,

- вычислить  коэффициенты  ,

- записать окончательное выражение для эмпирической формулы  ,

- сделать таблицу зависимости    для 21 значения аргумента, приняв шаг таблицы  ,

- на координатную плоскость нанести  график   (сплошная линия)  и  опытные данные  (в виде точек),

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.   Результаты  некоторого эксперимента     заданы  в табличной  форме  :

1

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

6

1

2

0.8

7

9

13

2

x

1

2

3

4

5

6

y

4

4

1

3

7

6

3

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-12

-5

-4

-1

-5

-4

-12

4

x

0

2

4

6

8

10

y

-7

-1

-2

-1.5

-6

-10

5

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1.4

-2

2

6

11

6

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-8

-5

-2.2

-1.3

-3

-4

-12

7

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

3

4

0.5

3

3

11

12

8

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7

8

2

3

2

7

6

9

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-8

-7

-2

-3

-2.5

-8

-9

10

x

0

2

4

6

8

10

y

-4

-3

0

-2

-4.3

-12

11

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

11

5

2

-1

3

3

9

12

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-6

-2

-0.3

1

-0.6

-4

-8

13

x

-6.5

-5.5

-4.5

-3.5

-2.5

-1.5

-1

y

9

2

3

0

4

6

11

14

x

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

y

9

3

4

2

5

7

15

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-5.4

-1.7

-3.3

-2.2

-8.2

-9.6

16

x

0

2

4

6

8

10

y

-6.1

-1.4

-2.3

-1.4

-7.3

-8.8

17

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

7.4

3.5

1.4

-1.5

2

5

9

18

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-12.4

-5

-1.5

1.2

-3

-7

-16.3

19

x

-6.5

-5.5

-4.5

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

y

12.2

4.3

5.1

0.4

6.3

5.7

11.8

20

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7.3

5.4

5.9

1.4

5.2

6.8

9.8

21

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-13

-4.5

-4.2

-3.1

-6.3

-7.1

-8.5

22

x

0

2

4

6

8

10

y

-7.4

-1.3

-2.5

-1

-6.8

-8.6

23

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

6.4

3.2

4.2

0.5

5.1

4.3

7.6

24

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-6.4

-2.1

-3.4

-1.3

-2.9

-2.4

-7.3

25

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

6.3

2.5

2.2

-1.3

2.8

3.4

5.4

26

x

0

1

2

3

4

5

6

y

9.5

4.4

2.1

0.3

3.2

5.8

10.3

27

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-4.4

-1.9

-2.4

-2.2

-5.8

-5.2

-9.4

28

x

0

2

4

6

8

10

y

-10

-2

-3.5

-2.1

-6.4

-12.3

29

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

15.4

8.6

2.8

3.5

3.4

7.3

14.2

30

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-14.6

-8.4

-3.2

0.4

-2.4

-7.2

-11.8

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью подбора к ним формулы, найти эмпирическую формулу и построить график квадратичной зависимости через опытные данные, с минимумом квадратичного отклонения.
  2.  Исходные данные:

    - таблица опытных данных.

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7

8

2

3

2

7

6

      

               

               

             - погрешность расчетов   =  10-3

             - количество данных  n = 7  

  1.  Определение «скрытой» зависимости  по опытным данным.

(сделать рисунок),

  1.  Вывод:  вид зависимости – КВАДРАТИЧНАЯ.

          

где неизвестные  найдем из нормальной системы

      

  требуемые  суммы найдем из таблицы.

  1.  Таблица расчетов сумм  для нормальной системы:

X

Y

x*x

x*x*x

x*x*x*x

x*y

x*x*y

0

7

0

0

0

0

0

1

8

1

1

1

8

8

2

2

4

8

16

4

8

3

3

9

27

81

9

27

4

2

16

64

256

8

32

5

7

25

125

625

35

175

6

6

36

216

1296

36

216

сумма

21

35

91

441

2275

100

466

                

  

  Запишем систему уравнений, подставляя суммы в нормальную систему.

    

  1.  Система уравнений

                         

  1.  Решаем систему методом Крамера.

 

 

                       

  1.  Эмпирическая  формула:

 

9.  Таблица из 21  точки в диапазоне исходных данных   ,

 

X

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3

Y

7,976

7,088

6,288

5,575

4,950

4,414

3,965

3,603

3,330

3,145

3,047

x

3,3

3,6

3,9

4,2

4,5

4,8

5,1

5,4

5,7

6

y

3,037

3,115

3,281

3,535

3,876

4,306

4,823

5,428

6,121

6,902

10.  График эмпирической зависимости   и опытные данные  ().

Вывод по работе: в результате проделанной работы мы смогли построить график, который проходит в среднем через опытные данные, обеспечивая минимум квадратичного отклонения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37503. Философия. Ответы к экзамену 368.5 KB
  Осознание специфики человека. Все животные растения объекты вроде Солнца и весны рассматриваются как существа похожие на человека живущие и действующие так же как он. Философское произведение обращается не только к разуму но и к чувствам человека доставляет эстетическое переживание. Их объединяют в первую очередь рассматриваемые проблемы как устроен мир каково назначение человека как ему следует жить Принципиальное различие состоит в том что ф.
37504. Философия. Тесты 79.5 KB
  Социальнофилософским учением является 1.в этом проявляется безусловный рефлекс 4.Учение Платона о первичности мира идей вне зависимости от субъективного отношения к нему является 1.Основателем теории объясняющей роль бессознательного в жизни человека и общества является 1.
37505. Философия эпохи Возрождения 60 KB
  Для характеристики человека он вводит понятие микрокосм в нем как бы свернут большой космос он так же сложен так же важен подобен Вселенной. Человек в бесконечности что он значит Но: в эпоху Возрождения сформировалась альтернативная культурная ориентация подчеркнувшая как раз достоинство человека. Гуманизм это мировоззренческий принцип согласно которому признается безусловная ценность человека как личности его права на свободное развитие и проявление своих способностей утверждается благо человека как критерий оценки...
37506. Философия Платона, концепция идей 12.37 KB
  Для каждой вещи фиксируется ее смысл идея которая как выясняется для любой вещи данного класса вещей одна и та же и обозначается одним именем. Идея это то самое единое которое составляет суть многообразия. Итак проблему единого и многого Платон разрешает следующим образом: единое это идея а ее проявления это многое. Какая идея наиважнейшая Платон не считал все идеи равнозначными.
37507. Особенности Русской философии 72.99 KB
  Учитывая весь тысячелетний опыт русской истории можно говорить об исторической миссии России. Миссия России определяется ее положением среди других народов тем что в ее составе объединилось до трехсот народов больших великих и малочисленных требовавших защиты. Культура России сложилась в условиях этой многонациональности. на новом витке развития России Русская идея стала предметом пристального внимания русских мыслителей.
37508. Философия. Основные понятия и термины 95.72 KB
  ИСТОРИЯ ТЕХНИКИ наука о развитии технических систем см. С точки зрения естественных наук история техники изучает этапы овладения человеком законами природы что обеспечивает более глубокое и разностороннее использование и применение вещества и энергии природы. С социальной точки зрения история техники изучает общественные движущие силы общественные условия развития техники и роль творцов техники. К наиболее крупным периодам истории техники относятся: история каменного века и ручных орудий техники машин и механизации техники...
37509. Апология Сократа 15.75 KB
  Ксенофонт посвятил Сократу и его учению свои произведения Апология Сократа и Воспоминания о Сократе . Платон же почти все свое учение приписал Сократу так что трудно сказать где кончается Сократ а где начинается Платон Отсутствие прямой информации непосредственно исходящей от Сократа приводит к тому что некоторые историки античной философии в последние десятилетия не раз делали попытки доказать что Сократ всего лишь литературный персонаж. Вопросный метод Сократа Подход Сократа к вопросному методу основан на ведении последовательного...
37510. Патристика и Схоластика 93.75 KB
  К этим принципам относятся: теоцентризм признание в качестве источника всего сущего Бога; креационизм признание того что Бог создал все из ничего; провиденциализм признание того что Бог правит всем; персонализм признание того что человек “персона†сотворен Богом по собственному подобию и наделен совестью; ревеляционизм признание того что самый надежный путь познания наиболее важных для человека истин состоит в постижении смысла Священного писания. И все же на переднем плане осталась проблема человека и его...
37511. Философия. Сборник тестов 425.5 KB
  Предмет и специфика философии. Мировоззрение и философия. Общий обзор исторических типов философии. Античная философия.2 Философия. Средневековья. Философия Возрождения. Философия Нового времени. Немецкая классическая философия. Философия марксизма. Русская философия. Современная западная философия...