10655
Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов
Лабораторная работа
Информатика, кибернетика и программирование
Лабораторная работа 6 Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов. Цель работы. Для опытных данных представленных в виде таблицы подобрать такую аналитическую зависимость которая бы приближенно выражала исследуемый процесс.
Русский
2013-03-30
280 KB
23 чел.
Лабораторная работа 6
Построение эмпирической формулы
методом наименьших квадратов.
Цель работы. Для опытных данных, представленных в виде таблицы , подобрать такую аналитическую зависимость , которая бы приближенно выражала исследуемый процесс . Построить на координатной плоскости обе зависимости : и , дать их сравни-тельную оценку.
Теоретические положения. Если количество узлов интерполирова-ния велико, то получается высокая степень многочлена в случае интерпо-яции. Кроме того, данные могут содержать ошибки, которые при интерполи-ровании повторятся и будет искажена. В этом случае подбирается многочлен, график которого проходит не через заданные точки (), а близко от них. Одним из эффективных методов такой реализации является среднеквадратическое приближение функции с помощью многочлена
, (1)
где .
На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (обычно m=1,2,3). Мерой отклонения от функции на множестве заданных точек () является величина
. (2)
Коэффициенты многочлена (1) надо подобрать так, чтобы S была минимальной. В этом и состоит метод наименьших квадратов.
Минимум функции S обычно находится, если приравнять нулю частные производные …В результате получим систему линейных уравнений m-го порядка.
Для случая, когда m=1 имеем линейную зависимость :
, (3)
коэффициенты которой находятся из нормальной системы
,
. (4)
Если m=2, то представляет собой квадратный трехчлен:
, (5)
коэффициенты которого вычислим, решая систему
,
, (6)
,
например, методом Крамера.
Составление системы линейных уравнений для случая m=3, имея ввиду выражения (4) и (6), не представляет большой трудности и может быть выполнено студентом самостоятельно.
Порядок выполнения работы.
- в соответствии с заданным номером варианта, переписать таблицу опытных данных,
- во всех расчетах принять ,
- по опытным данным определить “скрытую” зависимость , для чего нанести точки () на координатную плоскость и провести через них пунктирной линией наиболее вероятную функцию (прямую, параболу или кубическую параболу),
- после определения функции сделать вывод, например.
“вид зависимости КВАДРАТИЧНАЯ”,
- записать предполагаемую эмпирическую формулу в виде (3) или (5),
- в зависимости от вида , переписать требуемую нормальную систему
(4) или (6),
- для преобразования теоретической нормальной системы к системе с числовыми коэффициентами, составить расчетную таблицу, в которую включить: , а также их суммы,
- подставить найденные суммы в систему (4) или (6) и решить ее, например, методом Крамера, записав при этом все определители и их значения,
- вычислить коэффициенты ,
- записать окончательное выражение для эмпирической формулы ,
- сделать таблицу зависимости для 21 значения аргумента, приняв шаг таблицы ,
- на координатную плоскость нанести график (сплошная линия) и опытные данные (в виде точек),
- сделать выводы по работе.
Варианты исходных данных. Результаты некоторого эксперимента заданы в табличной форме :
1 |
x |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
y |
6 |
1 |
2 |
0.8 |
7 |
9 |
13 |
2 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
y |
4 |
4 |
1 |
3 |
7 |
6 |
3 |
x |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
y |
-12 |
-5 |
-4 |
-1 |
-5 |
-4 |
-12 |
4 |
x |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
y |
-7 |
-1 |
-2 |
-1.5 |
-6 |
-10 |
5 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
9 |
4 |
1.4 |
-2 |
2 |
6 |
11 |
6 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
-8 |
-5 |
-2.2 |
-1.3 |
-3 |
-4 |
-12 |
7 |
x |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
y |
3 |
4 |
0.5 |
3 |
3 |
11 |
12 |
8 |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
y |
7 |
8 |
2 |
3 |
2 |
7 |
6 |
9 |
x |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
y |
-8 |
-7 |
-2 |
-3 |
-2.5 |
-8 |
-9 |
10 |
x |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
y |
-4 |
-3 |
0 |
-2 |
-4.3 |
-12 |
11 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
11 |
5 |
2 |
-1 |
3 |
3 |
9 |
12 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
-6 |
-2 |
-0.3 |
1 |
-0.6 |
-4 |
-8 |
13 |
x |
-6.5 |
-5.5 |
-4.5 |
-3.5 |
-2.5 |
-1.5 |
-1 |
y |
9 |
2 |
3 |
0 |
4 |
6 |
11 |
14 |
x |
0.5 |
1.5 |
2.5 |
3.5 |
4.5 |
5.5 |
|
y |
9 |
3 |
4 |
2 |
5 |
7 |
15 |
x |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
|
y |
-5.4 |
-1.7 |
-3.3 |
-2.2 |
-8.2 |
-9.6 |
16 |
x |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
y |
-6.1 |
-1.4 |
-2.3 |
-1.4 |
-7.3 |
-8.8 |
17 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
7.4 |
3.5 |
1.4 |
-1.5 |
2 |
5 |
9 |
18 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
-12.4 |
-5 |
-1.5 |
1.2 |
-3 |
-7 |
-16.3 |
19 |
x |
-6.5 |
-5.5 |
-4.5 |
-3.5 |
-2.5 |
-1.5 |
-0.5 |
y |
12.2 |
4.3 |
5.1 |
0.4 |
6.3 |
5.7 |
11.8 |
20 |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
y |
7.3 |
5.4 |
5.9 |
1.4 |
5.2 |
6.8 |
9.8 |
21 |
x |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
y |
-13 |
-4.5 |
-4.2 |
-3.1 |
-6.3 |
-7.1 |
-8.5 |
22 |
x |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
y |
-7.4 |
-1.3 |
-2.5 |
-1 |
-6.8 |
-8.6 |
23 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
6.4 |
3.2 |
4.2 |
0.5 |
5.1 |
4.3 |
7.6 |
24 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
-6.4 |
-2.1 |
-3.4 |
-1.3 |
-2.9 |
-2.4 |
-7.3 |
25 |
x |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
y |
6.3 |
2.5 |
2.2 |
-1.3 |
2.8 |
3.4 |
5.4 |
26 |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
y |
9.5 |
4.4 |
2.1 |
0.3 |
3.2 |
5.8 |
10.3 |
27 |
x |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
y |
-4.4 |
-1.9 |
-2.4 |
-2.2 |
-5.8 |
-5.2 |
-9.4 |
28 |
x |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
y |
-10 |
-2 |
-3.5 |
-2.1 |
-6.4 |
-12.3 |
29 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
15.4 |
8.6 |
2.8 |
3.5 |
3.4 |
7.3 |
14.2 |
30 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
-14.6 |
-8.4 |
-3.2 |
0.4 |
-2.4 |
-7.2 |
-11.8 |
Пример расчета.
- таблица опытных данных.
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
y |
7 |
8 |
2 |
3 |
2 |
7 |
6 |
- погрешность расчетов = 10-3
- количество данных n = 7
(сделать рисунок),
где неизвестные найдем из нормальной системы
требуемые суммы найдем из таблицы.
X |
Y |
x*x |
x*x*x |
x*x*x*x |
x*y |
x*x*y |
|
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
8 |
1 |
1 |
1 |
8 |
8 |
|
2 |
2 |
4 |
8 |
16 |
4 |
8 |
|
3 |
3 |
9 |
27 |
81 |
9 |
27 |
|
4 |
2 |
16 |
64 |
256 |
8 |
32 |
|
5 |
7 |
25 |
125 |
625 |
35 |
175 |
|
6 |
6 |
36 |
216 |
1296 |
36 |
216 |
|
сумма |
21 |
35 |
91 |
441 |
2275 |
100 |
466 |
Запишем систему уравнений, подставляя суммы в нормальную систему.
9. Таблица из 21 точки в диапазоне исходных данных ,
X |
0 |
0,3 |
0,6 |
0,9 |
1,2 |
1,5 |
1,8 |
2,1 |
2,4 |
2,7 |
3 |
||||||||||||
Y |
7,976 |
7,088 |
6,288 |
5,575 |
4,950 |
4,414 |
3,965 |
3,603 |
3,330 |
3,145 |
3,047 |
||||||||||||
x |
3,3 |
3,6 |
3,9 |
4,2 |
4,5 |
4,8 |
5,1 |
5,4 |
5,7 |
6 |
|||||||||||||
y |
3,037 |
3,115 |
3,281 |
3,535 |
3,876 |
4,306 |
4,823 |
5,428 |
6,121 |
6,902 |
10. График эмпирической зависимости и опытные данные ().
Вывод по работе: в результате проделанной работы мы смогли построить график, который проходит в среднем через опытные данные, обеспечивая минимум квадратичного отклонения.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
42436. | ИЗУЧЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ЗАРЯДКЕ И РАЗРЯДКЕ КОНДЕНСАТОРА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ «R – C» КОНТУРЕ | 559 KB | |
Расчёт общего вида зависимости напряжения на конденсаторе от времени 5 2. Ветвью называется участок цепи в котором ток в любой данный момент времени имеет одинаковую величину. Расчёт электрических процессов в любой цепи требует умения вычислять зависимости от времени токов в ветвях и напряжения на элементах входящих в... | |||
42437. | ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ | 272 KB | |
Если контур в котором индуцируется ЭДС состоит не изодного витка а из N витков например представляет собойсоленоид то поскольку витки соединяются последовательно будет равна сумме ЭДС индуцированных в каждом витке в отдельности: Величину называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Если поток пронизывающий каждый из витков одинаков то ЭДС индуцируемая в сложном контуре определяется формулой:... | |||
42438. | ГИСТЕРЕЗИС ФЕРРОМАГНЕТИКОВ | 291.5 KB | |
Зависимость намагниченности а также индукции от напряжённости поля нелинейна см. отставание индукции В в веществе от напряжённости Н намагничивающего поля. Если вначале он полностью размагничен то при монотонном увеличении напряжённости Н от нуля изменение индукции В происходит по начальной основной кривой намагничивания ОА см. | |||
42439. | Исследование механического движения при скатывании тел по отвесным нитям на установке Максвелла | 237.51 KB | |
Установка Максвелла представляет собой однородный диск, насаженный на цилиндрический вал, центры масс диска и вала лежат на оси вращения, на диск может насаживаться съёмное кольцо (в дальнейшем будем обозначать это устройство в целом «Диском Максвелла», а входящий в него отдельный элемент «диском». | |||
42440. | ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЁРДОГО ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ | 207 KB | |
Для измерения линейных величин пользуются различными приборами. Измерения длины производят также масштабными линейками. Если измерения длины выполняют с точностью до долей миллиметра то пользуются вспомогательной шкалой измерительного прибора нониусом. | |||
42441. | Electronics Workbench фирмы Interactive Image Technologies Ltd | 517.61 KB | |
Моделирующие программы широко используются в процессе проектирования радиоаппаратуры предприятиями, производящими современную электронную технику. Наибольшее распространение в мире получила программа PSpice фирмы MicroSim, ставшая де-факто стандартом профессиональной моделирующей программы для ПЭВМ. | |||
42442. | Параллельные интерфейсы: CENTRONICS | 69 KB | |
Параллельные интерфейсы как правило используют логические уровни ТТЛ транзисторнотранзисторной логики что ограничивает длину кабеля изза невысокой помехозащищенности ТТЛинтерфейса. Для подключения принтера по интерфейсу Centronics в PC был введен порт параллельного интерфейса так возникло название LPTпорт Line PrinTer построчный принтер.При высоком уровне принтер не воспринимает остальные сигналы интерфейса GND Общий провод интерфейса Традиционный порт SPP Stndrd Prllel Port является однонаправленным портом через... | |||
42443. | Последовательный интерфейс: RS-232C | 686.5 KB | |
Предварительные сведения Последовательный интерфейс: RS232C Последовательный интерфейс для передачи данных использует одну сигнальную линию по которой информационные биты передаются друг за другом последовательно. При асинхронной передаче каждому байту предшествует стартбит сигнализирующий приемнику о начале посылки за которым следуют биты данных и возможно бит паритета четности. Завершает посылку стопбит гарантирующий паузу между посылками рис. Стартбит следующего байта посылается в любой момент после стопбита... | |||
42444. | Устройство инфракрасного интерфейса IrDA | 230 KB | |
Предварительные сведения Как работает IrD IrD относится к категории wireless беспроводных внешних интерфейсов однако в отличие от радиоинтерфейсов канал передачи информации создается с помощью оптических устройств. Протокол IrD Infr red Dt ssotition позволяет соединяться с периферийным оборудованием без кабеля при помощи ИКизлучения с длиной волны 880nm. Порт IrD позволяет устанавливать связь на коротком расстоянии до 1 метра в режиме точкаточка. | |||