ID: 10655

Название работы: Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов

Категория: Лабораторная работа

Предметная область: Информатика, кибернетика и программирование

Описание: Лабораторная работа 6 Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов. Цель работы. Для опытных данных представленных в виде таблицы подобрать такую аналитическую зависимость которая бы приближенно выражала исследуемый процесс.

Язык: Русский

Дата добавления: 2013-03-30

Размер файла: 280 KB

Работу скачали: 23 чел.

Лабораторная  работа  6

Построение эмпирической формулы

методом наименьших квадратов.

Цель работы.   Для опытных данных, представленных в виде таблицы   , подобрать такую аналитическую зависимость , которая бы приближенно выражала исследуемый процесс  .  Построить на координатной плоскости обе зависимости :   и  , дать  их сравни-тельную оценку.

Теоретические положения.   Если количество узлов интерполирова-ния   велико,  то получается высокая степень многочлена в случае интерпо-яции. Кроме того, данные могут содержать ошибки, которые при интерполи-ровании  повторятся  и  будет искажена.  В этом случае подбирается многочлен, график которого проходит не через заданные точки  (), а близко от них. Одним из эффективных методов такой реализации является  среднеквадратическое  приближение функции с помощью многочлена

                ,       (1)

где  .

На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (обычно m=1,2,3). Мерой отклонения    от функции    на множестве заданных точек () является  величина

.       (2)

Коэффициенты многочлена (1) надо подобрать так, чтобы  S была минимальной. В этом и состоит     метод наименьших квадратов. 

Минимум функции  S  обычно находится, если приравнять нулю частные производные  …В результате получим систему линейных уравнений   m-го  порядка.

Для случая, когда  m=1 имеем линейную  зависимость  :

        ,                    (3)

коэффициенты которой находятся из нормальной системы

  ,

  .              (4)

Если  m=2, то    представляет собой квадратный трехчлен:

,                       (5)

коэффициенты которого вычислим, решая систему

,

,          (6)

,

например, методом Крамера.

Составление системы линейных уравнений для случая  m=3, имея ввиду выражения (4) и (6), не представляет большой трудности и может быть выполнено студентом самостоятельно.

Порядок выполнения работы.  

- в соответствии с заданным номером варианта, переписать таблицу опытных данных,

- во всех расчетах принять  ,

- по опытным данным определить “скрытую” зависимость , для чего нанести точки () на координатную плоскость и провести через них пунктирной линией наиболее вероятную функцию (прямую, параболу или кубическую параболу),

- после определения функции сделать вывод, например.

                      “вид зависимости  КВАДРАТИЧНАЯ”,

- записать предполагаемую эмпирическую формулу  в виде (3) или (5),

- в зависимости от вида , переписать требуемую нормальную систему

(4) или (6),

- для преобразования теоретической нормальной системы  к системе с числовыми коэффициентами, составить расчетную таблицу, в которую включить: , а также их суммы,

- подставить найденные суммы в систему (4) или (6) и решить ее, например, методом Крамера, записав при этом все определители и их значения,

- вычислить  коэффициенты  ,

- записать окончательное выражение для эмпирической формулы  ,

- сделать таблицу зависимости    для 21 значения аргумента, приняв шаг таблицы  ,

- на координатную плоскость нанести  график   (сплошная линия)  и  опытные данные  (в виде точек),

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.   Результаты  некоторого эксперимента     заданы  в табличной  форме  :

1	x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
		y	6	1	2	0.8	7	9	13

2	x	1	2	3	4	5	6
		y	4	4	1	3	7	6

3	x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
		y	-12	-5	-4	-1	-5	-4	-12

4	x	0	2	4	6	8	10
		y	-7	-1	-2	-1.5	-6	-10

5	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
		y	9	4	1.4	-2	2	6	11

6	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
		y	-8	-5	-2.2	-1.3	-3	-4	-12

7	x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
		y	3	4	0.5	3	3	11	12

8	x	0	1	2	3	4	5	6
		y	7	8	2	3	2	7	6

9	x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
		y	-8	-7	-2	-3	-2.5	-8	-9

10	x	0	2	4	6	8	10
		y	-4	-3	0	-2	-4.3	-12

11	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
		y	11	5	2	-1	3	3	9

12	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
		y	-6	-2	-0.3	1	-0.6	-4	-8

13	x	-6.5	-5.5	-4.5	-3.5	-2.5	-1.5	-1
		y	9	2	3	0	4	6	11

14	x	0.5	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5
		y	9	3	4	2	5	7

15	x	-5	-4	-3	-2	-1	0
		y	-5.4	-1.7	-3.3	-2.2	-8.2	-9.6

16	x	0	2	4	6	8	10
		y	-6.1	-1.4	-2.3	-1.4	-7.3	-8.8

17	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
		y	7.4	3.5	1.4	-1.5	2	5	9

18	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
		y	-12.4	-5	-1.5	1.2	-3	-7	-16.3

19	x	-6.5	-5.5	-4.5	-3.5	-2.5	-1.5	-0.5
		y	12.2	4.3	5.1	0.4	6.3	5.7	11.8

20	x	0	1	2	3	4	5	6
		y	7.3	5.4	5.9	1.4	5.2	6.8	9.8

21	x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
		y	-13	-4.5	-4.2	-3.1	-6.3	-7.1	-8.5

22	x	0	2	4	6	8	10
		y	-7.4	-1.3	-2.5	-1	-6.8	-8.6

23	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
		y	6.4	3.2	4.2	0.5	5.1	4.3	7.6

24	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
		y	-6.4	-2.1	-3.4	-1.3	-2.9	-2.4	-7.3

25	x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
		y	6.3	2.5	2.2	-1.3	2.8	3.4	5.4

26	x	0	1	2	3	4	5	6
		y	9.5	4.4	2.1	0.3	3.2	5.8	10.3

27	x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
		y	-4.4	-1.9	-2.4	-2.2	-5.8	-5.2	-9.4

28	x	0	2	4	6	8	10
		y	-10	-2	-3.5	-2.1	-6.4	-12.3

29	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
		y	15.4	8.6	2.8	3.5	3.4	7.3	14.2

30	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
		y	-14.6	-8.4	-3.2	0.4	-2.4	-7.2	-11.8

         Пример расчета.  

1.  Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью подбора к ним формулы, найти эмпирическую формулу и построить график квадратичной зависимости через опытные данные, с минимумом квадратичного отклонения.
2.  Исходные данные:

    - таблица опытных данных.

x	0	1	2	3	4	5	6
y	7	8	2	3	2	7	6

      

               

               

             - погрешность расчетов   =  10-3

             - количество данных  n = 7  

1.  Определение «скрытой» зависимости  по опытным данным.

(сделать рисунок),

1.  Вывод:  вид зависимости – КВАДРАТИЧНАЯ.

          

где неизвестные  найдем из нормальной системы

      

  требуемые  суммы найдем из таблицы.

1.  Таблица расчетов сумм  для нормальной системы:

	X	Y	x*x	x*x*x	x*x*x*x	x*y	x*x*y
	0	7	0	0	0	0	0
	1	8	1	1	1	8	8
	2	2	4	8	16	4	8
	3	3	9	27	81	9	27
	4	2	16	64	256	8	32
	5	7	25	125	625	35	175
	6	6	36	216	1296	36	216
сумма	21	35	91	441	2275	100	466

                

  

  Запишем систему уравнений, подставляя суммы в нормальную систему.

    

1.  Система уравнений

                         

1.  Решаем систему методом Крамера.

 

 

                       

1.  Эмпирическая  формула:

 

9.  Таблица из 21  точки в диапазоне исходных данных   ,

 

X			0		0,3		0,6		0,9		1,2		1,5		1,8		2,1		2,4		2,7		3
Y			7,976		7,088		6,288		5,575		4,950		4,414		3,965		3,603		3,330		3,145		3,047
x	3,3			3,6		3,9		4,2		4,5		4,8		5,1		5,4		5,7		6
y	3,037			3,115		3,281		3,535		3,876		4,306		4,823		5,428		6,121		6,902

10.  График эмпирической зависимости   и опытные данные  ().

Вывод по работе: в результате проделанной работы мы смогли построить график, который проходит в среднем через опытные данные, обеспечивая минимум квадратичного отклонения.