10655

Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 6 Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов. Цель работы. Для опытных данных представленных в виде таблицы подобрать такую аналитическую зависимость которая бы приближенно выражала исследуемый процесс.

Русский

2013-03-30

280 KB

22 чел.

Лабораторная  работа  6

Построение эмпирической формулы

методом наименьших квадратов.

Цель работы.   Для опытных данных, представленных в виде таблицы   , подобрать такую аналитическую зависимость , которая бы приближенно выражала исследуемый процесс  .  Построить на координатной плоскости обе зависимости :   и  , дать  их сравни-тельную оценку.

Теоретические положения.   Если количество узлов интерполирова-ния   велико,  то получается высокая степень многочлена в случае интерпо-яции. Кроме того, данные могут содержать ошибки, которые при интерполи-ровании  повторятся  и  будет искажена.  В этом случае подбирается многочлен, график которого проходит не через заданные точки  (), а близко от них. Одним из эффективных методов такой реализации является  среднеквадратическое  приближение функции с помощью многочлена

                ,       (1)

где  .

На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (обычно m=1,2,3). Мерой отклонения    от функции    на множестве заданных точек () является  величина

.       (2)

Коэффициенты многочлена (1) надо подобрать так, чтобы  S была минимальной. В этом и состоит     метод наименьших квадратов. 

Минимум функции  S  обычно находится, если приравнять нулю частные производные  …В результате получим систему линейных уравнений   m-го  порядка.

Для случая, когда  m=1 имеем линейную  зависимость  :

        ,                    (3)

коэффициенты которой находятся из нормальной системы

  ,

  .              (4)

Если  m=2, то    представляет собой квадратный трехчлен:

,                       (5)

коэффициенты которого вычислим, решая систему

,

,          (6)

,

например, методом Крамера.

Составление системы линейных уравнений для случая  m=3, имея ввиду выражения (4) и (6), не представляет большой трудности и может быть выполнено студентом самостоятельно.

Порядок выполнения работы.  

- в соответствии с заданным номером варианта, переписать таблицу опытных данных,

- во всех расчетах принять  ,

- по опытным данным определить “скрытую” зависимость , для чего нанести точки () на координатную плоскость и провести через них пунктирной линией наиболее вероятную функцию (прямую, параболу или кубическую параболу),

- после определения функции сделать вывод, например.

                      “вид зависимости  КВАДРАТИЧНАЯ”,

- записать предполагаемую эмпирическую формулу  в виде (3) или (5),

- в зависимости от вида , переписать требуемую нормальную систему

(4) или (6),

- для преобразования теоретической нормальной системы  к системе с числовыми коэффициентами, составить расчетную таблицу, в которую включить: , а также их суммы,

- подставить найденные суммы в систему (4) или (6) и решить ее, например, методом Крамера, записав при этом все определители и их значения,

- вычислить  коэффициенты  ,

- записать окончательное выражение для эмпирической формулы  ,

- сделать таблицу зависимости    для 21 значения аргумента, приняв шаг таблицы  ,

- на координатную плоскость нанести  график   (сплошная линия)  и  опытные данные  (в виде точек),

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.   Результаты  некоторого эксперимента     заданы  в табличной  форме  :

1

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

6

1

2

0.8

7

9

13

2

x

1

2

3

4

5

6

y

4

4

1

3

7

6

3

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-12

-5

-4

-1

-5

-4

-12

4

x

0

2

4

6

8

10

y

-7

-1

-2

-1.5

-6

-10

5

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1.4

-2

2

6

11

6

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-8

-5

-2.2

-1.3

-3

-4

-12

7

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

3

4

0.5

3

3

11

12

8

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7

8

2

3

2

7

6

9

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-8

-7

-2

-3

-2.5

-8

-9

10

x

0

2

4

6

8

10

y

-4

-3

0

-2

-4.3

-12

11

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

11

5

2

-1

3

3

9

12

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-6

-2

-0.3

1

-0.6

-4

-8

13

x

-6.5

-5.5

-4.5

-3.5

-2.5

-1.5

-1

y

9

2

3

0

4

6

11

14

x

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

y

9

3

4

2

5

7

15

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-5.4

-1.7

-3.3

-2.2

-8.2

-9.6

16

x

0

2

4

6

8

10

y

-6.1

-1.4

-2.3

-1.4

-7.3

-8.8

17

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

7.4

3.5

1.4

-1.5

2

5

9

18

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-12.4

-5

-1.5

1.2

-3

-7

-16.3

19

x

-6.5

-5.5

-4.5

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

y

12.2

4.3

5.1

0.4

6.3

5.7

11.8

20

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7.3

5.4

5.9

1.4

5.2

6.8

9.8

21

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-13

-4.5

-4.2

-3.1

-6.3

-7.1

-8.5

22

x

0

2

4

6

8

10

y

-7.4

-1.3

-2.5

-1

-6.8

-8.6

23

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

6.4

3.2

4.2

0.5

5.1

4.3

7.6

24

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-6.4

-2.1

-3.4

-1.3

-2.9

-2.4

-7.3

25

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

6.3

2.5

2.2

-1.3

2.8

3.4

5.4

26

x

0

1

2

3

4

5

6

y

9.5

4.4

2.1

0.3

3.2

5.8

10.3

27

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-4.4

-1.9

-2.4

-2.2

-5.8

-5.2

-9.4

28

x

0

2

4

6

8

10

y

-10

-2

-3.5

-2.1

-6.4

-12.3

29

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

15.4

8.6

2.8

3.5

3.4

7.3

14.2

30

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-14.6

-8.4

-3.2

0.4

-2.4

-7.2

-11.8

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью подбора к ним формулы, найти эмпирическую формулу и построить график квадратичной зависимости через опытные данные, с минимумом квадратичного отклонения.
  2.  Исходные данные:

    - таблица опытных данных.

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7

8

2

3

2

7

6

      

               

               

             - погрешность расчетов   =  10-3

             - количество данных  n = 7  

  1.  Определение «скрытой» зависимости  по опытным данным.

(сделать рисунок),

  1.  Вывод:  вид зависимости – КВАДРАТИЧНАЯ.

          

где неизвестные  найдем из нормальной системы

      

  требуемые  суммы найдем из таблицы.

  1.  Таблица расчетов сумм  для нормальной системы:

X

Y

x*x

x*x*x

x*x*x*x

x*y

x*x*y

0

7

0

0

0

0

0

1

8

1

1

1

8

8

2

2

4

8

16

4

8

3

3

9

27

81

9

27

4

2

16

64

256

8

32

5

7

25

125

625

35

175

6

6

36

216

1296

36

216

сумма

21

35

91

441

2275

100

466

                

  

  Запишем систему уравнений, подставляя суммы в нормальную систему.

    

  1.  Система уравнений

                         

  1.  Решаем систему методом Крамера.

 

 

                       

  1.  Эмпирическая  формула:

 

9.  Таблица из 21  точки в диапазоне исходных данных   ,

 

X

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3

Y

7,976

7,088

6,288

5,575

4,950

4,414

3,965

3,603

3,330

3,145

3,047

x

3,3

3,6

3,9

4,2

4,5

4,8

5,1

5,4

5,7

6

y

3,037

3,115

3,281

3,535

3,876

4,306

4,823

5,428

6,121

6,902

10.  График эмпирической зависимости   и опытные данные  ().

Вывод по работе: в результате проделанной работы мы смогли построить график, который проходит в среднем через опытные данные, обеспечивая минимум квадратичного отклонения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82813. Разработка системы стратегического планирования на предприятии Брянский хлебокомбинат ОАО «КАРАВАЙ» 1.33 MB
  Цель курсового исследования состоит в определении путей успешного развития ОАО «Брянский хлебокомбинат КАРАВАЙ» в дальнейшем, повышения уровня его конкурентоспособности с помощью разработки и внедрения программы мероприятий стратегического планирования на предприятии.
82814. Анализ выбора стратегических позиций компании ОАО «Ренессанс Самара Отель Лизинг» 677.71 KB
  В этой ситуации равно как отечественные так и зарубежные компании уже представленные на российском рынке столкнутся с еще более высокой конкуренцией. Для успешного существования компании в конкурентной среде ей необходимо выработка стратегии развития.
82815. Услуги коммерческих банков юридическим лицам 487 KB
  Особенную актуальность создания новых банковских услуг имеет сегмент корпоративного обслуживания, поскольку данный сегмент, с одной стороны, является традиционным для банковского сектора и характеризуется большими, чем в розничном сегменте, объемами оказания услуг.
82817. Защита интеллектуальной собственности 64.4 KB
  Проанализируем права которые включает в себя интеллектуальная собственность относящиеся к: литературным художественным и научным произведениям исполнительской деятельности артистов звукозаписи радио и телевизионным передачам изобретениям во всех областях человеческой деятельности...
82819. Ремонт водяного насосу 783.14 KB
  Залізничний транспорт відіграє важливу роль у функціонуванні та розвитку народного господарства країни і її економічних регіонів. Він забезпечує внутрішні зв’язки в системі матеріального виробництва, а також зовнішньоекономічні зв’язки із зарубіжними країнами.
82820. Выбор видеокарты 768.62 KB
  Задачи наилучшего выбора изучает теория принятия решений. С ее помощью можно научиться осуществлять выбор более обоснованно, эффективно используя имеющуюся в наличии информацию о предпочтениях.
82821. Декарбоксилирование Бартона 410.5 KB
  Декарбоксилирование Бартона - радикальная реакция, в которой карбоновую кислоту сначала преобразуется в гидроксамат эфира (как правило, называют эфир Бартона). Затем продукт нагревают в присутствии радикального инициатора и подходящего донора водорода для завершения восстановительного...