10655

Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 6 Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов. Цель работы. Для опытных данных представленных в виде таблицы подобрать такую аналитическую зависимость которая бы приближенно выражала исследуемый процесс.

Русский

2013-03-30

280 KB

22 чел.

Лабораторная  работа  6

Построение эмпирической формулы

методом наименьших квадратов.

Цель работы.   Для опытных данных, представленных в виде таблицы   , подобрать такую аналитическую зависимость , которая бы приближенно выражала исследуемый процесс  .  Построить на координатной плоскости обе зависимости :   и  , дать  их сравни-тельную оценку.

Теоретические положения.   Если количество узлов интерполирова-ния   велико,  то получается высокая степень многочлена в случае интерпо-яции. Кроме того, данные могут содержать ошибки, которые при интерполи-ровании  повторятся  и  будет искажена.  В этом случае подбирается многочлен, график которого проходит не через заданные точки  (), а близко от них. Одним из эффективных методов такой реализации является  среднеквадратическое  приближение функции с помощью многочлена

                ,       (1)

где  .

На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (обычно m=1,2,3). Мерой отклонения    от функции    на множестве заданных точек () является  величина

.       (2)

Коэффициенты многочлена (1) надо подобрать так, чтобы  S была минимальной. В этом и состоит     метод наименьших квадратов. 

Минимум функции  S  обычно находится, если приравнять нулю частные производные  …В результате получим систему линейных уравнений   m-го  порядка.

Для случая, когда  m=1 имеем линейную  зависимость  :

        ,                    (3)

коэффициенты которой находятся из нормальной системы

  ,

  .              (4)

Если  m=2, то    представляет собой квадратный трехчлен:

,                       (5)

коэффициенты которого вычислим, решая систему

,

,          (6)

,

например, методом Крамера.

Составление системы линейных уравнений для случая  m=3, имея ввиду выражения (4) и (6), не представляет большой трудности и может быть выполнено студентом самостоятельно.

Порядок выполнения работы.  

- в соответствии с заданным номером варианта, переписать таблицу опытных данных,

- во всех расчетах принять  ,

- по опытным данным определить “скрытую” зависимость , для чего нанести точки () на координатную плоскость и провести через них пунктирной линией наиболее вероятную функцию (прямую, параболу или кубическую параболу),

- после определения функции сделать вывод, например.

                      “вид зависимости  КВАДРАТИЧНАЯ”,

- записать предполагаемую эмпирическую формулу  в виде (3) или (5),

- в зависимости от вида , переписать требуемую нормальную систему

(4) или (6),

- для преобразования теоретической нормальной системы  к системе с числовыми коэффициентами, составить расчетную таблицу, в которую включить: , а также их суммы,

- подставить найденные суммы в систему (4) или (6) и решить ее, например, методом Крамера, записав при этом все определители и их значения,

- вычислить  коэффициенты  ,

- записать окончательное выражение для эмпирической формулы  ,

- сделать таблицу зависимости    для 21 значения аргумента, приняв шаг таблицы  ,

- на координатную плоскость нанести  график   (сплошная линия)  и  опытные данные  (в виде точек),

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.   Результаты  некоторого эксперимента     заданы  в табличной  форме  :

1

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

6

1

2

0.8

7

9

13

2

x

1

2

3

4

5

6

y

4

4

1

3

7

6

3

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-12

-5

-4

-1

-5

-4

-12

4

x

0

2

4

6

8

10

y

-7

-1

-2

-1.5

-6

-10

5

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1.4

-2

2

6

11

6

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-8

-5

-2.2

-1.3

-3

-4

-12

7

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

3

4

0.5

3

3

11

12

8

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7

8

2

3

2

7

6

9

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-8

-7

-2

-3

-2.5

-8

-9

10

x

0

2

4

6

8

10

y

-4

-3

0

-2

-4.3

-12

11

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

11

5

2

-1

3

3

9

12

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-6

-2

-0.3

1

-0.6

-4

-8

13

x

-6.5

-5.5

-4.5

-3.5

-2.5

-1.5

-1

y

9

2

3

0

4

6

11

14

x

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

y

9

3

4

2

5

7

15

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-5.4

-1.7

-3.3

-2.2

-8.2

-9.6

16

x

0

2

4

6

8

10

y

-6.1

-1.4

-2.3

-1.4

-7.3

-8.8

17

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

7.4

3.5

1.4

-1.5

2

5

9

18

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-12.4

-5

-1.5

1.2

-3

-7

-16.3

19

x

-6.5

-5.5

-4.5

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

y

12.2

4.3

5.1

0.4

6.3

5.7

11.8

20

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7.3

5.4

5.9

1.4

5.2

6.8

9.8

21

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-13

-4.5

-4.2

-3.1

-6.3

-7.1

-8.5

22

x

0

2

4

6

8

10

y

-7.4

-1.3

-2.5

-1

-6.8

-8.6

23

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

6.4

3.2

4.2

0.5

5.1

4.3

7.6

24

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-6.4

-2.1

-3.4

-1.3

-2.9

-2.4

-7.3

25

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

6.3

2.5

2.2

-1.3

2.8

3.4

5.4

26

x

0

1

2

3

4

5

6

y

9.5

4.4

2.1

0.3

3.2

5.8

10.3

27

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

-4.4

-1.9

-2.4

-2.2

-5.8

-5.2

-9.4

28

x

0

2

4

6

8

10

y

-10

-2

-3.5

-2.1

-6.4

-12.3

29

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

15.4

8.6

2.8

3.5

3.4

7.3

14.2

30

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-14.6

-8.4

-3.2

0.4

-2.4

-7.2

-11.8

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью подбора к ним формулы, найти эмпирическую формулу и построить график квадратичной зависимости через опытные данные, с минимумом квадратичного отклонения.
  2.  Исходные данные:

    - таблица опытных данных.

x

0

1

2

3

4

5

6

y

7

8

2

3

2

7

6

      

               

               

             - погрешность расчетов   =  10-3

             - количество данных  n = 7  

  1.  Определение «скрытой» зависимости  по опытным данным.

(сделать рисунок),

  1.  Вывод:  вид зависимости – КВАДРАТИЧНАЯ.

          

где неизвестные  найдем из нормальной системы

      

  требуемые  суммы найдем из таблицы.

  1.  Таблица расчетов сумм  для нормальной системы:

X

Y

x*x

x*x*x

x*x*x*x

x*y

x*x*y

0

7

0

0

0

0

0

1

8

1

1

1

8

8

2

2

4

8

16

4

8

3

3

9

27

81

9

27

4

2

16

64

256

8

32

5

7

25

125

625

35

175

6

6

36

216

1296

36

216

сумма

21

35

91

441

2275

100

466

                

  

  Запишем систему уравнений, подставляя суммы в нормальную систему.

    

  1.  Система уравнений

                         

  1.  Решаем систему методом Крамера.

 

 

                       

  1.  Эмпирическая  формула:

 

9.  Таблица из 21  точки в диапазоне исходных данных   ,

 

X

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3

Y

7,976

7,088

6,288

5,575

4,950

4,414

3,965

3,603

3,330

3,145

3,047

x

3,3

3,6

3,9

4,2

4,5

4,8

5,1

5,4

5,7

6

y

3,037

3,115

3,281

3,535

3,876

4,306

4,823

5,428

6,121

6,902

10.  График эмпирической зависимости   и опытные данные  ().

Вывод по работе: в результате проделанной работы мы смогли построить график, который проходит в среднем через опытные данные, обеспечивая минимум квадратичного отклонения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8591. Сциентистское направление: позитивизм. Формы позитивизма 29.5 KB
  Сциентистское направление: позитивизм. Формы позитивизма. Сциентистское направление: позитивизм. Сциентизм в философии возникает как реакция на натурфилософичность и абстрактность схем классической философии, которые, по мнению представителей данног...
8592. Постпозитивизм и философия науки 31 KB
  Постпозитивизм и философия науки. Понятие постпозитивизм охватывает собой пришедшую на смену неопозитивизму широкую совокупность концепций. Постпозитивизм в настоящее время не отличается большой внутренней однородностью: по многим вопросам существуе...
8593. Основные идеи феноменологии 31 KB
  Основные идеи феноменологии. Феноменология - течение западной философии 20 в. Хотя сам термин Феноменология использовался еще Кантом и Гегелем, широкое распространение он получил благодаря Гуссерлю, который создал масштабный проект феноменологи...
8594. Основные идеи русской религиозной философии 31 KB
  Основные идеи русской религиозной философии. Самобытная русская философия в своих новаторских исканиях теснейшим образом была связана с религиозным мировоззрением, за которым стояли века духовного опыта России. И не просто с религиозным, а именно с ...
8595. Метафизика всеединства В.С. Соловьева. 31 KB
  Метафизика всеединства В.С. Соловьева. Философская теория всеединства восходит к античности, к таким изречениям древнегреческих философов V-VI вв. до н.э., как: И из всего одно, и из одного - все (Гераклит) Все едино, единое же есть Бог (К...
8596. Экзистенциализм Н.А. Бердяева 30.5 KB
  Экзистенциализм Н.А. Бердяева. Экзистенциализм, философия существования - направление в философии XX века, рассматривающее человека как уникальное духовное существо, способное к выбору собственной судьбы. Экзистенция трактуется как противополо...
8597. Структура и признаки сознания. Природа идеального 35 KB
  Структура и признаки сознания. Природа идеального. Структура сознания. Одни из первых представлений о структуре сознания принадлежат З. Фрейду. Его иерархическая структура: подсознание, сознание, сверхсознание, - видимо, уже исчерпала свой...
8598. Проблема источника знания. Единство чувственного и рационального в познании 34 KB
  Проблема источника знания. Единство чувственного и рационального в познании. Проблема источника знания. Все попытки определить источник человеческих знаний можно разделить на два направления. Первое можно обозначить, как подход...
8599. Основные концепции истины. Истина как процесс. Проблема объективности истины 32 KB
  Основные концепции истины. Истина как процесс. Проблема объективности истины. Основные концепции истины. В современной философии особенно отчетливо выделяются три концепции истины: концепция соответствия (корреспонденции, классическая), когеренции и...