10656

Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 7 Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция. Цель работы. По результатам эксперимента заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости построить интерполяционную функцию методом Лагранжа...

Русский

2013-03-30

291 KB

77 чел.

Лабораторная  работа  7

Интерполирование функций методом Лагранжа.

Линейная интерполяция.

Цель работы. По результатам эксперимента, заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости - , построить интерполяционную функцию методом Лагранжа - . Выполнить линейную интерполяцию между двумя любыми соседними узлами, оценить точность полученных результатов.  

Теоретические положения .  Пусть в некоторых точках   известны значения функции  :   .  Необходимо определить величины функции  при других  значениях . Связь  неизвестна. Для решения этой задачи функцию   требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией  так, чтобы отклонение  от  в заданной области было наименьшим. На практике чаще всего применяется аппроксимация многочленами, т.е.

.             (1)

Если коэффициенты   определяются из условия совпадения  

,                                 (2)

то такой способ аппроксимации называется интерполяцией. Точки  называ-ются узлами интерполяции, а  - интерполирующей функцией. Заметим, что при интерполировании  .

Рассмотрим процесс интерполирования функций с помощью полино-мов Лагранжа. Исходя из условия задачи, т.е.  для   ,  имеем полином третьего порядка:

          (3)

для которого, очевидно, должно выполняться:   .

Форма (3) наглядно показывает, как получается полином любого порядка, но имеет больше теоретическое значение.  Для практического  же применения  более удобна запись в форме (1),  которую нетрудно получить из (3),  подставляя  туда заданные числа   и  , и выполняя очевидные преобразования.

Для реализации линейной интерполяции следует взять два любых соседних узла, например,   и    и по заданному  промежуточному значению аргумента  найти  соответствующее значение функции по формуле:

,                      (4)                       

Графически линейная интерполяция сводится к соединению прямой линией точек с координатами   и .

Порядок выполнения работы.  

- переписать требуемый вариант задания,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- записать теоретическую функцию  ,

- преобразуем полином Лагранжа   к виду

,                     (5)

для чего найдем коэффициенты  :

 а) для суммы (3) вначале вычислим четыре константы:

,           

,

,                 (6)

,

Проверка:          .

б) все числители (3) представляют собой выражения вида (например, для первого слагаемого)

 ,        (7)

для вычисления  коэффициентов   воспользуемся теоремой Виета

                     (8)

в) итоговая функция (4) находится так:

         (9)

- записать полином (5) с вычисленными коэффициентами  ,

- по формуле    построить график по 21 точке с шагом  ,

- между двух любых крайних узлов  или   выполнить линейную интерполяцию по формуле (4), взяв в качестве   середину выбранного отрезка. Найти  . Весь процесс нанести на координатную плоскость, объединив его с функцией  .

- Оценка результатов:  

принимая в качестве точного значения величину , найти  абсолютную погрешность , а затем величину относительной погрешности     для линейной зависимости.

Варианты исходных данных.  Функция    задана в четырех точках       своими значениями   :

1

X

-1

1

2

7

2

X

-5

-1

2

3

Y

0

4

15

400

Y

-156

-4

5

20

3

X

-5

-2

2

3

4

X

-5

-2

1

2

Y

-96

-3

9

32

Y

-144

-9

0

3

5

X

-3

-2

1

3

6

X

-4

-3

1

3

Y

-34

-11

-2

14

Y

-51

-20

4

40

7

X

-3

1

2

4

8

X

-5

-4

3

4

Y

-40

0

5

51

Y

-96

-45

32

75

9

X

-5

-4

2

4

10

X

-3

-1

2

4

Y

-144

-75

3

45

Y

-34

-2

1

43

11

X

-6

-2

2

3

12

X

-7

-5

-2

1

Y

-185

-5

15

40

Y

-400

-156

-15

0

13

X

-4

-1

3

5

14

X

-5

-3

1

4

Y

-45

0

32

144

Y

-144

-32

0

45

15

X

-3

0

4

5

16

X

-6

-3

1

2

Y

-34

-1

43

94

Y

-185

-20

4

15

17

X

-4

-2

3

6

18

X

-4

-2

4

5

Y

-85

-15

20

185

Y

-45

-3

75

144

19

X

-4

-3

4

5

20

X

-2

2

3

5

Y

-75

-32

45

96

Y

-11

1

14

94

21

x

-4

-2

3

7

22

X

-4

-1

4

5

y

-51

-5

40

400

Y

-85

-4

51

104

23

x

-2

-1

2

5

24

X

-3

-2

2

5

y

-3

0

9

144

Y

-32

-9

3

96

25

x

-2

-1

4

5

26

X

-1

1

2

7

y

-11

-2

43

94

Y

0

4

15

400

27

x

-5

-1

2

3

28

X

-5

-2

2

3

y

-156

-4

5

20

Y

-96

-3

9

32

29

x

-5

-2

1

2

30

X

-3

-2

1

3

y

-144

-9

0

3

Y

-34

-11

-2

14

         Пример расчета .

  1.  Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью построения интерполяционной функции методом Лагранжа.
  2.  Исходные данные: таблица опытных данных.

 

X0

x1

x2

x3

x

-5

-4

3

4

y

-96

-45

32

75

 

Y0

y1

y2

y3

 

               

               

               

               Погрешность расчетов   =  10-3 ,      

  1.  Интерполяционный полином Лагранжа:

Требуется получить функцию , так чтобы

,       

  1.  Находим коэффициенты ,
  2.  Находим  константы   по формулам (6):

           

             

              Проверка:

                 

              k0= 1.333     k1= -0.804    k2= -0.571   k3=1.042

  1.  Все числители представляют собой выражения вида (7) (назовем их частными многочленами):

,  где коэффициенты находятся по теореме Виета  - формулы (8):

                            

  

  

      

         

  

  1.  Найдем итоговую функцию:

- умножим вначале частные многочлены на соответствующие коэффициенты  ,   

- сложим коэффициенты при одинаковых степенях  , найдем числа  и запишем требуемую функцию  

                                                                                     .

8.Таблица из 21 точки  в диапазоне исходных данных ,

X

-5,000

-4,550

-4,100

-3,650

-3,200

-2,750

-2,300

-1,850

-1,400

-0,950

Y

-95,976

-69,943

-49,031

-32,693

-20,382

-11,552

-5,655

-2,146

-0,477

-0,101

X

-0,500

-0,050

0,400

0,850

1,300

1,750

2,200

2,650

3,100

3,550

4,000

Y

-0,473

-1,044

-1,269

-0,600

1,509

5,605

12,234

21,944

35,281

52,792

75,024

9.Между двух крайних узлов [-5;-4] выполняем линейную интерполяцию, взяв в качестве xпромежуточного середину выбранного отрезка. Надо найти yпромежуточное.

Линейная интерполяция – это замена на отрезке x0-x1 неизвестной нам кривой y = f(x) прямой линией. Такая замена приводит к погрешности. Но из-за явной простоты метода он находит широкое применение. Максимальная погрешность около середины отрезка. Уравнение прямой проходящей через две точки имеет вид:

              вместо x  при xпр получим y=yпр

 

подставляем значения, получаем:

тогда

разница между точным значение y и промежуточным значением y 

абсолютная погрешность      

По результатам  п.8  и  п.9  выполнить рисунок.

10.Выводы  по  работе:   Делаются  студентом  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71710. Определение данных 85 KB
  Для создания таблицы необходимо указать ее имя и определить столбцы. Определение столбца включает его имя и тип. Если указывается длина столбца, то она заключается в круглые скобки после типа. Кроме того, можно указать ограничения для столбца.
71711. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТЕПЕНИ ОТВЕРЖДЕНИЯ ЛАКОКРАСОЧНЫХ ПОКРЫТИЙ 465.5 KB
  Метод основан на способности лакокрасочных покрытий в зависимости от степени отвержения удерживать на своей поверхности стеклянные шарики или бумагу при заданной нагрузке и заключается в определении времени в течение которого жидкий лакокрасочный слой превращается пленку с требуемой степенью высыхания.
71713. Программирование линейных алгоритмов. Работа с отладчиком 1.58 MB
  Линейная программа Если в программе все операторы выполняются последовательно, один за другим, такая программа называется линейной. Рассмотрим в качестве примера программу, вычисляющую результат по заданной формуле.
71714. Предварительная обработка статистических данных 111 KB
  Предварительная обработка статистических данный включает в себя: Сортировку данных по величине представление их в виде вариационного ряда; Вычисление основных числовых характеристик выборки: выборочного среднего выборочной дисперсии исправленной выборочной дисперсии и дополнительных...
71715. Оценка параметров распределения и проверка статистических гипотез о виде распределения 133 KB
  Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составляют расчетную таблицу по которой находят наблюдаемое значение критерия Пирсона, затем по таблице критических точек распределения, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы...
71716. ОБРАБОТКА АНКЕТЫ 94.5 KB
  Провести оценку по второму вопросу выбор профессии по 3х градусной односторонней шкале: мечта о психологии 10 баллов; желание где-то учиться 5 баллов; все равно где учиться 1 балл. Провести оценку по третьему вопросу жизненная цель по 4 градусной односторонней шкале...
71717. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНУЛОМЕТРИЧЕСКОГО СОСТАВА ГРУНТА 55.5 KB
  Гранулометрическим составом грунта называется содержание в массе грунта частиц (фракций) различной крупности по отношению к общей массе сухого грунта. Определение гранулометрического состава состоит в разделении частиц, составляющих грунт, на отдельные группы (фракции), приведенные...
71718. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ГРУНТА ЕСТЕСТВЕННОЙ (НЕНАРУШЕННОЙ) СТРУКТУРЫ И ЕГО ВЕСОВОЙ ВЛАЖНОСТИ 60.5 KB
  Эта характеристика используется при проектировании фундаментов для определения расчетного давления на основание напряжений от собственного веса грунта давления на ограждающие конструкции при расчете устойчивости откосов и т.