10656

Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 7 Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция. Цель работы. По результатам эксперимента заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости построить интерполяционную функцию методом Лагранжа...

Русский

2013-03-30

291 KB

76 чел.

Лабораторная  работа  7

Интерполирование функций методом Лагранжа.

Линейная интерполяция.

Цель работы. По результатам эксперимента, заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости - , построить интерполяционную функцию методом Лагранжа - . Выполнить линейную интерполяцию между двумя любыми соседними узлами, оценить точность полученных результатов.  

Теоретические положения .  Пусть в некоторых точках   известны значения функции  :   .  Необходимо определить величины функции  при других  значениях . Связь  неизвестна. Для решения этой задачи функцию   требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией  так, чтобы отклонение  от  в заданной области было наименьшим. На практике чаще всего применяется аппроксимация многочленами, т.е.

.             (1)

Если коэффициенты   определяются из условия совпадения  

,                                 (2)

то такой способ аппроксимации называется интерполяцией. Точки  называ-ются узлами интерполяции, а  - интерполирующей функцией. Заметим, что при интерполировании  .

Рассмотрим процесс интерполирования функций с помощью полино-мов Лагранжа. Исходя из условия задачи, т.е.  для   ,  имеем полином третьего порядка:

          (3)

для которого, очевидно, должно выполняться:   .

Форма (3) наглядно показывает, как получается полином любого порядка, но имеет больше теоретическое значение.  Для практического  же применения  более удобна запись в форме (1),  которую нетрудно получить из (3),  подставляя  туда заданные числа   и  , и выполняя очевидные преобразования.

Для реализации линейной интерполяции следует взять два любых соседних узла, например,   и    и по заданному  промежуточному значению аргумента  найти  соответствующее значение функции по формуле:

,                      (4)                       

Графически линейная интерполяция сводится к соединению прямой линией точек с координатами   и .

Порядок выполнения работы.  

- переписать требуемый вариант задания,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- записать теоретическую функцию  ,

- преобразуем полином Лагранжа   к виду

,                     (5)

для чего найдем коэффициенты  :

 а) для суммы (3) вначале вычислим четыре константы:

,           

,

,                 (6)

,

Проверка:          .

б) все числители (3) представляют собой выражения вида (например, для первого слагаемого)

 ,        (7)

для вычисления  коэффициентов   воспользуемся теоремой Виета

                     (8)

в) итоговая функция (4) находится так:

         (9)

- записать полином (5) с вычисленными коэффициентами  ,

- по формуле    построить график по 21 точке с шагом  ,

- между двух любых крайних узлов  или   выполнить линейную интерполяцию по формуле (4), взяв в качестве   середину выбранного отрезка. Найти  . Весь процесс нанести на координатную плоскость, объединив его с функцией  .

- Оценка результатов:  

принимая в качестве точного значения величину , найти  абсолютную погрешность , а затем величину относительной погрешности     для линейной зависимости.

Варианты исходных данных.  Функция    задана в четырех точках       своими значениями   :

1

X

-1

1

2

7

2

X

-5

-1

2

3

Y

0

4

15

400

Y

-156

-4

5

20

3

X

-5

-2

2

3

4

X

-5

-2

1

2

Y

-96

-3

9

32

Y

-144

-9

0

3

5

X

-3

-2

1

3

6

X

-4

-3

1

3

Y

-34

-11

-2

14

Y

-51

-20

4

40

7

X

-3

1

2

4

8

X

-5

-4

3

4

Y

-40

0

5

51

Y

-96

-45

32

75

9

X

-5

-4

2

4

10

X

-3

-1

2

4

Y

-144

-75

3

45

Y

-34

-2

1

43

11

X

-6

-2

2

3

12

X

-7

-5

-2

1

Y

-185

-5

15

40

Y

-400

-156

-15

0

13

X

-4

-1

3

5

14

X

-5

-3

1

4

Y

-45

0

32

144

Y

-144

-32

0

45

15

X

-3

0

4

5

16

X

-6

-3

1

2

Y

-34

-1

43

94

Y

-185

-20

4

15

17

X

-4

-2

3

6

18

X

-4

-2

4

5

Y

-85

-15

20

185

Y

-45

-3

75

144

19

X

-4

-3

4

5

20

X

-2

2

3

5

Y

-75

-32

45

96

Y

-11

1

14

94

21

x

-4

-2

3

7

22

X

-4

-1

4

5

y

-51

-5

40

400

Y

-85

-4

51

104

23

x

-2

-1

2

5

24

X

-3

-2

2

5

y

-3

0

9

144

Y

-32

-9

3

96

25

x

-2

-1

4

5

26

X

-1

1

2

7

y

-11

-2

43

94

Y

0

4

15

400

27

x

-5

-1

2

3

28

X

-5

-2

2

3

y

-156

-4

5

20

Y

-96

-3

9

32

29

x

-5

-2

1

2

30

X

-3

-2

1

3

y

-144

-9

0

3

Y

-34

-11

-2

14

         Пример расчета .

  1.  Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью построения интерполяционной функции методом Лагранжа.
  2.  Исходные данные: таблица опытных данных.

 

X0

x1

x2

x3

x

-5

-4

3

4

y

-96

-45

32

75

 

Y0

y1

y2

y3

 

               

               

               

               Погрешность расчетов   =  10-3 ,      

  1.  Интерполяционный полином Лагранжа:

Требуется получить функцию , так чтобы

,       

  1.  Находим коэффициенты ,
  2.  Находим  константы   по формулам (6):

           

             

              Проверка:

                 

              k0= 1.333     k1= -0.804    k2= -0.571   k3=1.042

  1.  Все числители представляют собой выражения вида (7) (назовем их частными многочленами):

,  где коэффициенты находятся по теореме Виета  - формулы (8):

                            

  

  

      

         

  

  1.  Найдем итоговую функцию:

- умножим вначале частные многочлены на соответствующие коэффициенты  ,   

- сложим коэффициенты при одинаковых степенях  , найдем числа  и запишем требуемую функцию  

                                                                                     .

8.Таблица из 21 точки  в диапазоне исходных данных ,

X

-5,000

-4,550

-4,100

-3,650

-3,200

-2,750

-2,300

-1,850

-1,400

-0,950

Y

-95,976

-69,943

-49,031

-32,693

-20,382

-11,552

-5,655

-2,146

-0,477

-0,101

X

-0,500

-0,050

0,400

0,850

1,300

1,750

2,200

2,650

3,100

3,550

4,000

Y

-0,473

-1,044

-1,269

-0,600

1,509

5,605

12,234

21,944

35,281

52,792

75,024

9.Между двух крайних узлов [-5;-4] выполняем линейную интерполяцию, взяв в качестве xпромежуточного середину выбранного отрезка. Надо найти yпромежуточное.

Линейная интерполяция – это замена на отрезке x0-x1 неизвестной нам кривой y = f(x) прямой линией. Такая замена приводит к погрешности. Но из-за явной простоты метода он находит широкое применение. Максимальная погрешность около середины отрезка. Уравнение прямой проходящей через две точки имеет вид:

              вместо x  при xпр получим y=yпр

 

подставляем значения, получаем:

тогда

разница между точным значение y и промежуточным значением y 

абсолютная погрешность      

По результатам  п.8  и  п.9  выполнить рисунок.

10.Выводы  по  работе:   Делаются  студентом  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15090. Өлеңге тоқтамайды Шал дегенің 60 KB
  ӨЛЕҢГЕ ТОҚТАМАЙДЫ ШАЛ ДЕГЕНIҢ Шал ақын аталып кеткен Тiлеуке Құлекеұлы қазiргi Ақмола облысы жерiнде Азат темiр жол станциясының маңында 1748 жылы дүниеге келген. Әкесi Құлеке қазаққалмақ соғысының атақты батырларының бiрi. Анасы атақты Төле бидiң қызы. Құлеке мен оның а
15091. Пушкин және Қазақ әдебиеті 357 KB
  Әрбір ұлт әдебиетінің тарихында туған халқының мәдени өмірінде жеке өзі бір кезең – дәуірді түзеп, соңына ұмытылмас, өшпес із-мұра қалдыратын заңғар суреткерлер болады. Сондай тұлға, әлем әдебиетіндегі аса ғажайып орыс ақыны
15092. СҰЛТАНМАХМҰТ ТОРАЙҒЫРОВ РОМАНДАРЫНДАҒЫ ОБРАЗДАР ЖҮЙЕСІ 55 KB
  СҰЛТАНМАХМҰТ ТОРАЙҒЫРОВ РОМАНДАРЫНДАҒЫ ОБРАЗДАР ЖҮЙЕСІ М. Абизенова М.Х Коржумбаева Б.Ахметов атындағы Павлодар педагогикалық коледжі Павлодар қ. Кейіпкерлердің тілдік мінездемесін бір – бірімен салыстыра талдау табиғат суретін кейіпкерлер портретін жа
15093. Сәбит Мұқановтың поэзиясы 45 KB
  Сәбит Мұқанов 1900-1973 Сәбит Мұқанов қазақтың әйгілі жазушысы қазақ әдебиетінің көрнекті қайраткері Қазақ КСР Ғылым академиясының академигі. Оның есімін жалпы қазақ оқырманына кеңінен танытқан Сұлушаш дастаны Адасқандар романы осы кезде өмірге келді. Осыларғ...
15094. Сәкен Сейфуллиннің Көкшетау поэмасын оқыту 36 KB
  Сәкен Сейфуллиннің Көкшетау поэмасын оқыту Ғ.А. Қазанбаева №136 орта мектеп Алматы қаласы Тақырыбы: Сәкен Сейфуллин. Көкшетау поэмасының мазмұны мен идеясы. Мақсаты: а білімділік: Поэманың мазмұнын қайталай отырып жазылу тарихына көтерге...
15095. Сәкен Сейфуллиннің поэзиясы 62.5 KB
  Жаңа тұрмыс жырлары Сәкен Сейфуллинннің поэзиясы Жиырмасыншы жылдары қоғамдық өмірде болған түбегейлі өзгерістер жаңа заман дамуының қарқындылығы тарихи оқиғалардың жедел ауысып отыруы Сәкен поэзиясында сол дәуір бейнесін берерлік екінші образ жүйрік пойыз...
15096. Түркі халықтарының жазба ескерткіші және оның көздері 70.5 KB
  ТҮРКІ ХАЛЫҚТАРЫНЫҢ ЖАЗБА ЕСКЕРТКІШІ ЖӘНЕ ОНЫҢ КӨЗДЕРІ С. Тәжіғұлова Ғ. Мұратбаев атындағы № 17 орта мектеп Тараз қ. Әрбір дәуірдің елеулі кезеңді оқиғаларын заманының белгілі ақынжазушылары дастанжырларға ойшылдары тарихшежіреге айналдыры
15097. У.Шекспир және Д.Дефо шығармашылығы 50.5 KB
  Ағылшын әдебиеті Уильям Шекспир 1564 – 1616 Ағылшынның әлемге аты әйгілі драматургы әрі ақыны Уильям Шекспир 1564 жылы 23 сәуірде Эйвон өзенінің бойындағы Стратфорд деген кішкентай қалада дүниеге келген. Оның әкесі айтарлықтай ауқатты қала тұрғыны еді саудаг
15098. Ұлт-азаттық көтерілістері туралы Қытай қазақтарының тарихи жырлар 197 KB
  ӘОЖ 398.21/22943.42510 Қолжазба құқығында АЯЗБАЕВА ҰЛБОСЫН БАЗАРХАНҚЫЗЫ ҰЛТАЗАТТЫҚ КӨТЕРІЛІСІ ТУРАЛЫ ТАРИХИ ЖЫРЛАР Қытайдағы қазақтардың ХІХ ғасырдың екінші және ХХ ғасырдың бірінші жартысында туған тар...