10656

Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 7 Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция. Цель работы. По результатам эксперимента заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости построить интерполяционную функцию методом Лагранжа...

Русский

2013-03-30

291 KB

77 чел.

Лабораторная  работа  7

Интерполирование функций методом Лагранжа.

Линейная интерполяция.

Цель работы. По результатам эксперимента, заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости - , построить интерполяционную функцию методом Лагранжа - . Выполнить линейную интерполяцию между двумя любыми соседними узлами, оценить точность полученных результатов.  

Теоретические положения .  Пусть в некоторых точках   известны значения функции  :   .  Необходимо определить величины функции  при других  значениях . Связь  неизвестна. Для решения этой задачи функцию   требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией  так, чтобы отклонение  от  в заданной области было наименьшим. На практике чаще всего применяется аппроксимация многочленами, т.е.

.             (1)

Если коэффициенты   определяются из условия совпадения  

,                                 (2)

то такой способ аппроксимации называется интерполяцией. Точки  называ-ются узлами интерполяции, а  - интерполирующей функцией. Заметим, что при интерполировании  .

Рассмотрим процесс интерполирования функций с помощью полино-мов Лагранжа. Исходя из условия задачи, т.е.  для   ,  имеем полином третьего порядка:

          (3)

для которого, очевидно, должно выполняться:   .

Форма (3) наглядно показывает, как получается полином любого порядка, но имеет больше теоретическое значение.  Для практического  же применения  более удобна запись в форме (1),  которую нетрудно получить из (3),  подставляя  туда заданные числа   и  , и выполняя очевидные преобразования.

Для реализации линейной интерполяции следует взять два любых соседних узла, например,   и    и по заданному  промежуточному значению аргумента  найти  соответствующее значение функции по формуле:

,                      (4)                       

Графически линейная интерполяция сводится к соединению прямой линией точек с координатами   и .

Порядок выполнения работы.  

- переписать требуемый вариант задания,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- записать теоретическую функцию  ,

- преобразуем полином Лагранжа   к виду

,                     (5)

для чего найдем коэффициенты  :

 а) для суммы (3) вначале вычислим четыре константы:

,           

,

,                 (6)

,

Проверка:          .

б) все числители (3) представляют собой выражения вида (например, для первого слагаемого)

 ,        (7)

для вычисления  коэффициентов   воспользуемся теоремой Виета

                     (8)

в) итоговая функция (4) находится так:

         (9)

- записать полином (5) с вычисленными коэффициентами  ,

- по формуле    построить график по 21 точке с шагом  ,

- между двух любых крайних узлов  или   выполнить линейную интерполяцию по формуле (4), взяв в качестве   середину выбранного отрезка. Найти  . Весь процесс нанести на координатную плоскость, объединив его с функцией  .

- Оценка результатов:  

принимая в качестве точного значения величину , найти  абсолютную погрешность , а затем величину относительной погрешности     для линейной зависимости.

Варианты исходных данных.  Функция    задана в четырех точках       своими значениями   :

1

X

-1

1

2

7

2

X

-5

-1

2

3

Y

0

4

15

400

Y

-156

-4

5

20

3

X

-5

-2

2

3

4

X

-5

-2

1

2

Y

-96

-3

9

32

Y

-144

-9

0

3

5

X

-3

-2

1

3

6

X

-4

-3

1

3

Y

-34

-11

-2

14

Y

-51

-20

4

40

7

X

-3

1

2

4

8

X

-5

-4

3

4

Y

-40

0

5

51

Y

-96

-45

32

75

9

X

-5

-4

2

4

10

X

-3

-1

2

4

Y

-144

-75

3

45

Y

-34

-2

1

43

11

X

-6

-2

2

3

12

X

-7

-5

-2

1

Y

-185

-5

15

40

Y

-400

-156

-15

0

13

X

-4

-1

3

5

14

X

-5

-3

1

4

Y

-45

0

32

144

Y

-144

-32

0

45

15

X

-3

0

4

5

16

X

-6

-3

1

2

Y

-34

-1

43

94

Y

-185

-20

4

15

17

X

-4

-2

3

6

18

X

-4

-2

4

5

Y

-85

-15

20

185

Y

-45

-3

75

144

19

X

-4

-3

4

5

20

X

-2

2

3

5

Y

-75

-32

45

96

Y

-11

1

14

94

21

x

-4

-2

3

7

22

X

-4

-1

4

5

y

-51

-5

40

400

Y

-85

-4

51

104

23

x

-2

-1

2

5

24

X

-3

-2

2

5

y

-3

0

9

144

Y

-32

-9

3

96

25

x

-2

-1

4

5

26

X

-1

1

2

7

y

-11

-2

43

94

Y

0

4

15

400

27

x

-5

-1

2

3

28

X

-5

-2

2

3

y

-156

-4

5

20

Y

-96

-3

9

32

29

x

-5

-2

1

2

30

X

-3

-2

1

3

y

-144

-9

0

3

Y

-34

-11

-2

14

         Пример расчета .

  1.  Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью построения интерполяционной функции методом Лагранжа.
  2.  Исходные данные: таблица опытных данных.

 

X0

x1

x2

x3

x

-5

-4

3

4

y

-96

-45

32

75

 

Y0

y1

y2

y3

 

               

               

               

               Погрешность расчетов   =  10-3 ,      

  1.  Интерполяционный полином Лагранжа:

Требуется получить функцию , так чтобы

,       

  1.  Находим коэффициенты ,
  2.  Находим  константы   по формулам (6):

           

             

              Проверка:

                 

              k0= 1.333     k1= -0.804    k2= -0.571   k3=1.042

  1.  Все числители представляют собой выражения вида (7) (назовем их частными многочленами):

,  где коэффициенты находятся по теореме Виета  - формулы (8):

                            

  

  

      

         

  

  1.  Найдем итоговую функцию:

- умножим вначале частные многочлены на соответствующие коэффициенты  ,   

- сложим коэффициенты при одинаковых степенях  , найдем числа  и запишем требуемую функцию  

                                                                                     .

8.Таблица из 21 точки  в диапазоне исходных данных ,

X

-5,000

-4,550

-4,100

-3,650

-3,200

-2,750

-2,300

-1,850

-1,400

-0,950

Y

-95,976

-69,943

-49,031

-32,693

-20,382

-11,552

-5,655

-2,146

-0,477

-0,101

X

-0,500

-0,050

0,400

0,850

1,300

1,750

2,200

2,650

3,100

3,550

4,000

Y

-0,473

-1,044

-1,269

-0,600

1,509

5,605

12,234

21,944

35,281

52,792

75,024

9.Между двух крайних узлов [-5;-4] выполняем линейную интерполяцию, взяв в качестве xпромежуточного середину выбранного отрезка. Надо найти yпромежуточное.

Линейная интерполяция – это замена на отрезке x0-x1 неизвестной нам кривой y = f(x) прямой линией. Такая замена приводит к погрешности. Но из-за явной простоты метода он находит широкое применение. Максимальная погрешность около середины отрезка. Уравнение прямой проходящей через две точки имеет вид:

              вместо x  при xпр получим y=yпр

 

подставляем значения, получаем:

тогда

разница между точным значение y и промежуточным значением y 

абсолютная погрешность      

По результатам  п.8  и  п.9  выполнить рисунок.

10.Выводы  по  работе:   Делаются  студентом  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38005. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОСФОРА ПО РЕАКЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ ГЕТЕРОПОЛИКОМПЛЕКСА 42.5 KB
  I Повторите по лекционному конспекту и учебникам [I 2] материал о реакции образования ГПК их устойчивости и оптическим свойствам. Определение фосфора и кремния по реакции образования их ГПК является важнейшим а для малых количеств практически единственным способом определения. ГПК имеют формулу вида ЭхОу nМezОt в случае двойных комплексов где Me = Mo V W и другие металлы образующие лиганд анионного характера; Э= Р Si s Ge неметалл.
38006. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТАВА КОМПЛЕКСНЫХ СОЕДИНЕНИЙ МЕТОДОМ НАСЫЩЕНИЯ 42 KB
  При этом выход единственного комплекса увеличивается соответственно увеличивается и оптическая плотность раствора измеренная на длине волны максимального поглощения комплекса. Точка пересечения прямых соответствует стехиометрическому соотношению СR CM = M n для комплекса состава MnRM. В случае образования малопрочного комплекса точку пересечения находят экстрополяцией линейных участков кривой. Применяется в тех случаях когда мы не можем надежно определить точку излома малопрочный комплекс побочные процессы при насыщении сдвиг рН...
38007. Изучение устойчивости комплексного соединения в растворе при разбавлении и при введении посторонних веществ 197.5 KB
  Теоретическое введение Предположим что мы определяем металл М по фотометрической реакции М iR = MRi измеряя поглощение образующегося комплекса на длине волны λ остальные компоненты и комплексы М и с R стехиометрии на этой длине не поглощают. МRi = βRi [R]` φ Обозначая индексами Л и П величины относящиеся соответственно к пробе и эталону запишем : `MRi = ``MRi...
38008. Диагностика и лечение дисфагии при заболеваниях центральной нервной системы. Клинические рекомендации 352 KB
  При отборе публикаций, как потенциальных источников доказательств, использованная каждым исследователем методология изучалась для того, чтобы убедиться в ее валидности. Результат изучения влияет на уровень доказательств, присваеваемый публикации, что в свою очередь влияет на силу, вытекающих из нее рекомендаций.
38009. Методы защиты речевой конфиденциальной информации от утечки по воздушному акустическому каналу 747.5 KB
  Получить практические навыки по: работе с измерительными приборами: генератором среднегеометрических частот октавных полос речевого сигнала шумомером акустическими излучателями прибором для определения уровня звукового давления акустического сигнала на базе ПЭВМ; расчету параметров несущих конструкций определяющих возможность образования канала утечки речевой информации их анализу и разработке предложений по повышению уровня защищённости защищаемого помещения пассивными методами защиты; работе с нормативными документами...
38010. ИССЛЕДОВАНИЕ СОРТИРОВОК РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ 156 KB
  Задача работы: овладеть навыками написания программ при исследовании различных методов сортировки. Теория Среди улучшенных методов сортировки встречаются как доработанные прямые методы так и методы уже более высокого уровня т. с новой идеей где одним из элементов сортировки является прямой метод.
38011. ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ НА ГРАФАХ 1.78 MB
  Краткая теория Представление графов Для представления графов чаще всего применяется матрица смежности – это матрица [n n] где n число элементов а элементы [i j] могут быть равны значению 0 или x – flse или 1 – true в зависимости от того присутствует ли дуга из вершины i в вершину j рис.n] of integer то можно составить оператор L_SMEG_V который определяет множество смежных вершин для заданной вершины v и записывает их в вектор типа ms. function L_SMEG_Vv2 n1:integer; vr k1:integer:ms; {v2 – это вершина для которой ищут все...
38012. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ И СЛОЖНОСТИ ИССЛЕДУЕМЫХ АЛГОРИТМОВ 146.5 KB
  Краткая теория Теория сложности алгоритмов Сложность алгоритма характеристика алгоритма определяющая зависимость времени выполнения программы описывающей этот алгоритм от объёма обрабатываемых данных. Формально определяется как порядок функции выражающей время работы алгоритма. Эффективность алгоритма – временная сложность в самом худшем случае Ofn или просто fn.
38013. ИЗУЧЕНИЕ БЕТА –АКТИВНОСТИ 145.5 KB
  10 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 95 ИЗУЧЕНИЕ БЕТА –АКТИВНОСТИ Цель работы Изучение явления бета распада определение длины пробега –частиц и максимальной энергии –частиц радиоактивного источника. Например радиоактивный изотоп водорода испускает –частицы с Еmx = 18 кэВ а изотоп азота – с Еmx = 166 МэВ. Типичная кривая распределения –частиц по энергиям изображена на рис.1 где dN dE– число –частиц имеющих полную энергию от Е до Е dЕ Еmx –максимальная энергия –частиц данного радиоактивного вещества.