10656

Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 7 Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция. Цель работы. По результатам эксперимента заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости построить интерполяционную функцию методом Лагранжа...

Русский

2013-03-30

291 KB

77 чел.

Лабораторная  работа  7

Интерполирование функций методом Лагранжа.

Линейная интерполяция.

Цель работы. По результатам эксперимента, заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости - , построить интерполяционную функцию методом Лагранжа - . Выполнить линейную интерполяцию между двумя любыми соседними узлами, оценить точность полученных результатов.  

Теоретические положения .  Пусть в некоторых точках   известны значения функции  :   .  Необходимо определить величины функции  при других  значениях . Связь  неизвестна. Для решения этой задачи функцию   требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией  так, чтобы отклонение  от  в заданной области было наименьшим. На практике чаще всего применяется аппроксимация многочленами, т.е.

.             (1)

Если коэффициенты   определяются из условия совпадения  

,                                 (2)

то такой способ аппроксимации называется интерполяцией. Точки  называ-ются узлами интерполяции, а  - интерполирующей функцией. Заметим, что при интерполировании  .

Рассмотрим процесс интерполирования функций с помощью полино-мов Лагранжа. Исходя из условия задачи, т.е.  для   ,  имеем полином третьего порядка:

          (3)

для которого, очевидно, должно выполняться:   .

Форма (3) наглядно показывает, как получается полином любого порядка, но имеет больше теоретическое значение.  Для практического  же применения  более удобна запись в форме (1),  которую нетрудно получить из (3),  подставляя  туда заданные числа   и  , и выполняя очевидные преобразования.

Для реализации линейной интерполяции следует взять два любых соседних узла, например,   и    и по заданному  промежуточному значению аргумента  найти  соответствующее значение функции по формуле:

,                      (4)                       

Графически линейная интерполяция сводится к соединению прямой линией точек с координатами   и .

Порядок выполнения работы.  

- переписать требуемый вариант задания,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- записать теоретическую функцию  ,

- преобразуем полином Лагранжа   к виду

,                     (5)

для чего найдем коэффициенты  :

 а) для суммы (3) вначале вычислим четыре константы:

,           

,

,                 (6)

,

Проверка:          .

б) все числители (3) представляют собой выражения вида (например, для первого слагаемого)

 ,        (7)

для вычисления  коэффициентов   воспользуемся теоремой Виета

                     (8)

в) итоговая функция (4) находится так:

         (9)

- записать полином (5) с вычисленными коэффициентами  ,

- по формуле    построить график по 21 точке с шагом  ,

- между двух любых крайних узлов  или   выполнить линейную интерполяцию по формуле (4), взяв в качестве   середину выбранного отрезка. Найти  . Весь процесс нанести на координатную плоскость, объединив его с функцией  .

- Оценка результатов:  

принимая в качестве точного значения величину , найти  абсолютную погрешность , а затем величину относительной погрешности     для линейной зависимости.

Варианты исходных данных.  Функция    задана в четырех точках       своими значениями   :

1

X

-1

1

2

7

2

X

-5

-1

2

3

Y

0

4

15

400

Y

-156

-4

5

20

3

X

-5

-2

2

3

4

X

-5

-2

1

2

Y

-96

-3

9

32

Y

-144

-9

0

3

5

X

-3

-2

1

3

6

X

-4

-3

1

3

Y

-34

-11

-2

14

Y

-51

-20

4

40

7

X

-3

1

2

4

8

X

-5

-4

3

4

Y

-40

0

5

51

Y

-96

-45

32

75

9

X

-5

-4

2

4

10

X

-3

-1

2

4

Y

-144

-75

3

45

Y

-34

-2

1

43

11

X

-6

-2

2

3

12

X

-7

-5

-2

1

Y

-185

-5

15

40

Y

-400

-156

-15

0

13

X

-4

-1

3

5

14

X

-5

-3

1

4

Y

-45

0

32

144

Y

-144

-32

0

45

15

X

-3

0

4

5

16

X

-6

-3

1

2

Y

-34

-1

43

94

Y

-185

-20

4

15

17

X

-4

-2

3

6

18

X

-4

-2

4

5

Y

-85

-15

20

185

Y

-45

-3

75

144

19

X

-4

-3

4

5

20

X

-2

2

3

5

Y

-75

-32

45

96

Y

-11

1

14

94

21

x

-4

-2

3

7

22

X

-4

-1

4

5

y

-51

-5

40

400

Y

-85

-4

51

104

23

x

-2

-1

2

5

24

X

-3

-2

2

5

y

-3

0

9

144

Y

-32

-9

3

96

25

x

-2

-1

4

5

26

X

-1

1

2

7

y

-11

-2

43

94

Y

0

4

15

400

27

x

-5

-1

2

3

28

X

-5

-2

2

3

y

-156

-4

5

20

Y

-96

-3

9

32

29

x

-5

-2

1

2

30

X

-3

-2

1

3

y

-144

-9

0

3

Y

-34

-11

-2

14

         Пример расчета .

  1.  Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью построения интерполяционной функции методом Лагранжа.
  2.  Исходные данные: таблица опытных данных.

 

X0

x1

x2

x3

x

-5

-4

3

4

y

-96

-45

32

75

 

Y0

y1

y2

y3

 

               

               

               

               Погрешность расчетов   =  10-3 ,      

  1.  Интерполяционный полином Лагранжа:

Требуется получить функцию , так чтобы

,       

  1.  Находим коэффициенты ,
  2.  Находим  константы   по формулам (6):

           

             

              Проверка:

                 

              k0= 1.333     k1= -0.804    k2= -0.571   k3=1.042

  1.  Все числители представляют собой выражения вида (7) (назовем их частными многочленами):

,  где коэффициенты находятся по теореме Виета  - формулы (8):

                            

  

  

      

         

  

  1.  Найдем итоговую функцию:

- умножим вначале частные многочлены на соответствующие коэффициенты  ,   

- сложим коэффициенты при одинаковых степенях  , найдем числа  и запишем требуемую функцию  

                                                                                     .

8.Таблица из 21 точки  в диапазоне исходных данных ,

X

-5,000

-4,550

-4,100

-3,650

-3,200

-2,750

-2,300

-1,850

-1,400

-0,950

Y

-95,976

-69,943

-49,031

-32,693

-20,382

-11,552

-5,655

-2,146

-0,477

-0,101

X

-0,500

-0,050

0,400

0,850

1,300

1,750

2,200

2,650

3,100

3,550

4,000

Y

-0,473

-1,044

-1,269

-0,600

1,509

5,605

12,234

21,944

35,281

52,792

75,024

9.Между двух крайних узлов [-5;-4] выполняем линейную интерполяцию, взяв в качестве xпромежуточного середину выбранного отрезка. Надо найти yпромежуточное.

Линейная интерполяция – это замена на отрезке x0-x1 неизвестной нам кривой y = f(x) прямой линией. Такая замена приводит к погрешности. Но из-за явной простоты метода он находит широкое применение. Максимальная погрешность около середины отрезка. Уравнение прямой проходящей через две точки имеет вид:

              вместо x  при xпр получим y=yпр

 

подставляем значения, получаем:

тогда

разница между точным значение y и промежуточным значением y 

абсолютная погрешность      

По результатам  п.8  и  п.9  выполнить рисунок.

10.Выводы  по  работе:   Делаются  студентом  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44548. Средства стратегического планирования 31.5 KB
  Как известно для решения подобных задач применяются системы управления проектами например Microsoft Project Symntec Time Line. Практически все системы управления проектами СУП берут за основу некий план проекта составляемый на предварительном этапе. Чисто технически интеграция современных САДП и СУП не вызывает вопросов поскольку обе системы как правило соответствуют стандартам межпрограммного взаимодействия и могут разделять данные.5 позволяет получать доступ к данным о проекте используя внешние приложения в том числе и...
44549. Понятие КИС. Основные этапы и принципы построения 30 KB
  Основные этапы и принципы построения Комплексная информационная система это совокупность технических и программных средств предприятия реализующих идеи и методы автоматизации. И использование специальных программных средств обеспечивающих информационную поддержку бизнеспроцессов в качестве основы КИС представляется наиболее оправданным и эффективным. Среди преимуществ такого подхода следует отметить возможность внесения изменений в отдельные программные компоненты расположенные в одном слое без необходимости коренных переделок на...
44550. Использование языка функиональных блоков ТехноIL, FBD при программирование алгоритмов в КИС 41 KB
  Программа созданная на этом языке называется FBDпрограммой. Для разработки FBDпрограмм в редакторе базы каналов предусмотрены два окна FBD программы и LD программы. Для входа в первое из них нужно выполнить команду FBD программы меню Окна или нажать сочетание клавиш LT3 или нажать ЛК на иконке панели инструментов.
44551. Понятие КИС и её основные части 32 KB
  Современные системы управления деловыми процессами позволяют интегрировать вокруг себя различное программное обеспечение формируя единую информационную систему. Основными функциями управления являются как известно планирование организация активизация координация контроль и анализ которые осуществляются в многомерном пространстве различных областей деятельности предприятия. Очевидно что в состав КИС должны войти средства для документационного обеспечения управления информационной поддержки предметных областей коммуникационное...
44552. Проблемы защиты информации в современных КИС 30.5 KB
  Достаточно сложно решить и проблему надежной аутентификации пользователей. При аутентификации пользователей локальной сети успешно решить эту задачу помогают организационные меры отсечение посторонних пользователей от клиентских компьютеров и терминалов контроль за подключениями к кабельной системе здания и т. Новые проблемы создает проблема аутентификации пользователей при ведении бизнеса через Internet. Число пользователей вырастает настолько что количество переходит в качество и старые методы аутентификации на основе индивидуальных...
44553. Обеспечение иерархии скоростей и качества обслуживания 31.5 KB
  Возможность поэтапного внедрения новой технологии в существующие сети не требующего чрезмерных разовых вложений. Все работы по созданию технологий удовлетворяющих этим требованиям можно разделить на три большие группы: Создание масштабируемой по скорости технологии на основе технологии Ethernet: линия Ethernet FstEthernet GigbitEthernet. Создание технологии с масштабируемой скоростью частично совместимой с Ethernet и имеющей встроенные возможности для обеспечения начального уровня качества обслуживания для трафика реального...
44554. Стратегическое планирование КИС 29 KB
  При стратегическом планировании сети нужно принять решения по четырем группам вопросов: Какие новые идеи решения и продукты являются стратегически важными Какие решения в стратегически важных областях являются перспективными Какие из них могут оказаться полезными в вашей корпоративной сети Каким образом новые решения и продукты нужно внедрять в существующую сеть На какие этапы нужно разбить процесс перехода на новые решения и продукты как обеспечить максимально безболезненное взаимодействие новых и старых частей и компонентов сети...
44555. Многослойное представление корпоративной сети 30.5 KB
  Иерархия слоев корпоративной сети Над транспортной системой работает слой сетевых операционных систем который организует работу приложений в компьютерах и предоставляет через транспортную систему ресурсы своего компьютера в общее пользование. Над операционной системой работают различные приложения но изза особой роли систем управления базами данных хранящих в упорядоченном виде основную корпоративную информацию и производящих над ней базовые операции поиска этот класс системных приложений обычно выделяют в отдельный слой корпоративной...
44556. Выбор технологии магистрали для больших локальных сетей 31 KB
  Магистраль это одна из наиболее дорогостоящих частей любой сети. Кроме того так как через нее проходит значительная часть трафика сети то ее свойства сказываются практически на всех сервисах корпоративной сети которыми пользуются конечные пользователи. Эта структура будет затем положена в основу структуры кабельной системы стоимость которой может составлять 15 и более процентов всей стоимости сети.