10656

Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 7 Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция. Цель работы. По результатам эксперимента заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости построить интерполяционную функцию методом Лагранжа...

Русский

2013-03-30

291 KB

77 чел.

Лабораторная  работа  7

Интерполирование функций методом Лагранжа.

Линейная интерполяция.

Цель работы. По результатам эксперимента, заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости - , построить интерполяционную функцию методом Лагранжа - . Выполнить линейную интерполяцию между двумя любыми соседними узлами, оценить точность полученных результатов.  

Теоретические положения .  Пусть в некоторых точках   известны значения функции  :   .  Необходимо определить величины функции  при других  значениях . Связь  неизвестна. Для решения этой задачи функцию   требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией  так, чтобы отклонение  от  в заданной области было наименьшим. На практике чаще всего применяется аппроксимация многочленами, т.е.

.             (1)

Если коэффициенты   определяются из условия совпадения  

,                                 (2)

то такой способ аппроксимации называется интерполяцией. Точки  называ-ются узлами интерполяции, а  - интерполирующей функцией. Заметим, что при интерполировании  .

Рассмотрим процесс интерполирования функций с помощью полино-мов Лагранжа. Исходя из условия задачи, т.е.  для   ,  имеем полином третьего порядка:

          (3)

для которого, очевидно, должно выполняться:   .

Форма (3) наглядно показывает, как получается полином любого порядка, но имеет больше теоретическое значение.  Для практического  же применения  более удобна запись в форме (1),  которую нетрудно получить из (3),  подставляя  туда заданные числа   и  , и выполняя очевидные преобразования.

Для реализации линейной интерполяции следует взять два любых соседних узла, например,   и    и по заданному  промежуточному значению аргумента  найти  соответствующее значение функции по формуле:

,                      (4)                       

Графически линейная интерполяция сводится к соединению прямой линией точек с координатами   и .

Порядок выполнения работы.  

- переписать требуемый вариант задания,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- записать теоретическую функцию  ,

- преобразуем полином Лагранжа   к виду

,                     (5)

для чего найдем коэффициенты  :

 а) для суммы (3) вначале вычислим четыре константы:

,           

,

,                 (6)

,

Проверка:          .

б) все числители (3) представляют собой выражения вида (например, для первого слагаемого)

 ,        (7)

для вычисления  коэффициентов   воспользуемся теоремой Виета

                     (8)

в) итоговая функция (4) находится так:

         (9)

- записать полином (5) с вычисленными коэффициентами  ,

- по формуле    построить график по 21 точке с шагом  ,

- между двух любых крайних узлов  или   выполнить линейную интерполяцию по формуле (4), взяв в качестве   середину выбранного отрезка. Найти  . Весь процесс нанести на координатную плоскость, объединив его с функцией  .

- Оценка результатов:  

принимая в качестве точного значения величину , найти  абсолютную погрешность , а затем величину относительной погрешности     для линейной зависимости.

Варианты исходных данных.  Функция    задана в четырех точках       своими значениями   :

1

X

-1

1

2

7

2

X

-5

-1

2

3

Y

0

4

15

400

Y

-156

-4

5

20

3

X

-5

-2

2

3

4

X

-5

-2

1

2

Y

-96

-3

9

32

Y

-144

-9

0

3

5

X

-3

-2

1

3

6

X

-4

-3

1

3

Y

-34

-11

-2

14

Y

-51

-20

4

40

7

X

-3

1

2

4

8

X

-5

-4

3

4

Y

-40

0

5

51

Y

-96

-45

32

75

9

X

-5

-4

2

4

10

X

-3

-1

2

4

Y

-144

-75

3

45

Y

-34

-2

1

43

11

X

-6

-2

2

3

12

X

-7

-5

-2

1

Y

-185

-5

15

40

Y

-400

-156

-15

0

13

X

-4

-1

3

5

14

X

-5

-3

1

4

Y

-45

0

32

144

Y

-144

-32

0

45

15

X

-3

0

4

5

16

X

-6

-3

1

2

Y

-34

-1

43

94

Y

-185

-20

4

15

17

X

-4

-2

3

6

18

X

-4

-2

4

5

Y

-85

-15

20

185

Y

-45

-3

75

144

19

X

-4

-3

4

5

20

X

-2

2

3

5

Y

-75

-32

45

96

Y

-11

1

14

94

21

x

-4

-2

3

7

22

X

-4

-1

4

5

y

-51

-5

40

400

Y

-85

-4

51

104

23

x

-2

-1

2

5

24

X

-3

-2

2

5

y

-3

0

9

144

Y

-32

-9

3

96

25

x

-2

-1

4

5

26

X

-1

1

2

7

y

-11

-2

43

94

Y

0

4

15

400

27

x

-5

-1

2

3

28

X

-5

-2

2

3

y

-156

-4

5

20

Y

-96

-3

9

32

29

x

-5

-2

1

2

30

X

-3

-2

1

3

y

-144

-9

0

3

Y

-34

-11

-2

14

         Пример расчета .

  1.  Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью построения интерполяционной функции методом Лагранжа.
  2.  Исходные данные: таблица опытных данных.

 

X0

x1

x2

x3

x

-5

-4

3

4

y

-96

-45

32

75

 

Y0

y1

y2

y3

 

               

               

               

               Погрешность расчетов   =  10-3 ,      

  1.  Интерполяционный полином Лагранжа:

Требуется получить функцию , так чтобы

,       

  1.  Находим коэффициенты ,
  2.  Находим  константы   по формулам (6):

           

             

              Проверка:

                 

              k0= 1.333     k1= -0.804    k2= -0.571   k3=1.042

  1.  Все числители представляют собой выражения вида (7) (назовем их частными многочленами):

,  где коэффициенты находятся по теореме Виета  - формулы (8):

                            

  

  

      

         

  

  1.  Найдем итоговую функцию:

- умножим вначале частные многочлены на соответствующие коэффициенты  ,   

- сложим коэффициенты при одинаковых степенях  , найдем числа  и запишем требуемую функцию  

                                                                                     .

8.Таблица из 21 точки  в диапазоне исходных данных ,

X

-5,000

-4,550

-4,100

-3,650

-3,200

-2,750

-2,300

-1,850

-1,400

-0,950

Y

-95,976

-69,943

-49,031

-32,693

-20,382

-11,552

-5,655

-2,146

-0,477

-0,101

X

-0,500

-0,050

0,400

0,850

1,300

1,750

2,200

2,650

3,100

3,550

4,000

Y

-0,473

-1,044

-1,269

-0,600

1,509

5,605

12,234

21,944

35,281

52,792

75,024

9.Между двух крайних узлов [-5;-4] выполняем линейную интерполяцию, взяв в качестве xпромежуточного середину выбранного отрезка. Надо найти yпромежуточное.

Линейная интерполяция – это замена на отрезке x0-x1 неизвестной нам кривой y = f(x) прямой линией. Такая замена приводит к погрешности. Но из-за явной простоты метода он находит широкое применение. Максимальная погрешность около середины отрезка. Уравнение прямой проходящей через две точки имеет вид:

              вместо x  при xпр получим y=yпр

 

подставляем значения, получаем:

тогда

разница между точным значение y и промежуточным значением y 

абсолютная погрешность      

По результатам  п.8  и  п.9  выполнить рисунок.

10.Выводы  по  работе:   Делаются  студентом  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54914. Гражданское общество и государство 36 KB
  Задачи Образовательная: сформировать представление учащихся о структуре и признаках гражданского общества; Развивающая: развивать умения учащихся анализировать тексты документов делать выводы составлять схемы; Воспитательная: Способствовать формированию у учащихся гражданского самосознания...
54915. Религия древних египтян 95 KB
  Тема урока класс: Религия древних египтян 5 А класс и 5 Б клас; Тип урока: урок повторения и проверки полученных ранее знаний получение новых знаний комбинированный.Вигасина Цели урока: 1. Этапы или ход урока: Время Этап урока Цель этапа урока Деятельность учителя Деятельность учеников 2 Орг.
54916. Портрет в музыке 45.5 KB
  Я а сейчас ребята мы поприветствуем друг друга чтоб подарить каждому однокласснику частичку своего тепла и дружелюбности. А сейчас ребята я спою вам небольшую песенку про вас. Подумайте как она может называться В каком классе вы учитесь Правильно Песенка называется Мы третьеклассники...
54918. Жизнь диких животных осенью 72 KB
  Цели: познакомить учащихся с подготовкой к зиме диких животных кроме насекомых и птиц показать связь изменений в жизни животных осенью с изменениями в живой и неживой природе и в мире растений; создать условия для приобретения новых знаний выявить общий уровень знаний о диких животных; расширить и углубить знания о диких животных и привести их в систему; выявить уровень усвоения понятий; обобщить знания детей по теме âЖизнь диких животных осеньюâ. Оборудование: кроссворд плакат; слова отгадки; иллюстрации диких...
54919. Иллюстрирование сказок А.С.Пушкина 61 KB
  Тип урока Комбинированный игровой Цель урока Выполнить: иллюстрацию к Сказке о рыбаке и рыбке А. Задачи Обучать учащихся умению выполнять иллюстрации к сказке передавать основные события произведения смысловую связь между предметами и героями в рисунке; формировать умение располагать лист бумаги по вертикали или по горизонтали в зависимости от замысла правильно выбирать размер изображения в листе...
54920. Ознайомлення учнів із дією множення. Знак множення. Розв’язання задач 33 KB
  Мета уроку: Ознайомлення учнів з дією множенням як знаходження суми однакових доданків; увести назву цієї дії; розвівати абстрактне мислення математичну мову уміння узагальнювати й порівнювати; виховувати старанність у роботіповагу до вчителя та однокласників.
54921. Развитие силовых способностей волейболистов 11-12 лет 376 KB
  В связи с исследованием нами был разработан комплекс упражнений, направленный на развитие силовых способностей волейболистов 11-12 лет, который позволит повысить результативность за менее короткий период обучения.
54922. Environmental Problems 68 KB
  It’s a wonderful world we live in. It is our Earth. For thousands of years the Earth has given support to all forms of life – human beings, animals, birds, fishes, insects and plants. But now people all over the world think about our planet. They think about air, water, plants and animals on the Earth. They say our planet is in danger. We have very serious environmental problems on our Earth. Who can say what these problems are?