10657

Численное дифференцирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 8 Численное дифференцирование. Цель работы. Научиться выполнять дифференцирование функций заданных в виде таблиц опытных данных а также уметь оценивать погрешность численного метода. Теоретические положения. Источником форм

Русский

2013-03-30

157 KB

122 чел.

Лабораторная  работа  8

Численное дифференцирование.

Цель работы.  Научиться выполнять дифференцирование функций, заданных в виде  таблиц  опытных данных, а также  уметь оценивать погрешность  численного метода.

Теоретические положения.  Источником формул численного диффе-ренцирования является полиномиальная интерполяция. Зная в точках  (i=0, 1, 2,…n) значения     данной функции   можно найти конечные разности   и записать для нее,  например,  первый интер-поляционный полином Ньютона   

               (1)

где   - вспомогательная переменная.

Дифференцируя  приближенное равенство  , можно построить формулы приближенного  дифференцирования  разной точности в зави-симости от степени . Так, первая производная  имеет вид

,  (2)

Повторное дифференцирование (1) приводит к конечноразностной формуле вычисления второй производной

    .              (3)

Часто требуется вычислить производную от функции   в точках   (i=0, 1, 2….n). Так как каждое табличное значение можно считать за началь-ное, то положим  ,  .  Тогда из формулы (2) будем иметь

,                    (4)

аналогично из формулы (3) получим

.                      (5)

Таблица требуемых конечных разностей   легко находится в Excel.

Порядок выполнения работы.   

- задать таблицу 1  опытных данных из лабораторной работы  7,

- записать формулу найденного полинома  ,

- принять в расчетах погрешность  ,

- так как формулы (4) и (5) получены на основе полинома Ньютона, для которого  шаг интерполяции  , в то время как в заданной таблице 1 опытных данных  , то следует преобразовать ее к требуемому виду  (назовем ее таблица 2), приняв  n=8:

а) начальные   и конечные   данные таблицы 1 переходят без изменений в таблицу 2 – это будут  точки  и , (поскольку интервал, вообще говоря, остался тот же самый),

         б) для заполнения клеток   найти шаг новой таблицы  ,

   в) заполнить строку аргументов по формуле  ,

г) заполнить строку значений функции  ,

- создать в Excel таблицу  разностей (таблица 3),

- по формуле (4) вычислить значения первой производной:

- по формуле (5) вычислить значения второй производной:

- составить таблицу 4   из найденных значений,

- построить на одном рисунке три графика:  ,

- сделать проверку и числовую оценку полученных данных,

- выводы по работе.

Варианты исходных данных.  В качестве исходных данных для настоящей работы использовать таблицу экспериментальных  данных из лабораторной работы 7: “Интерполирование функций методом Лагранжа”, а также формулу полученного в этой работе полинома  .  

         Пример расчета .      

1.  Цель работы:

Освоить метод численного дифференцирования с помощью конечных разностей.

2.  Исходные данные:

Таблица1.

X

x0= -5

x1= -4

x2= 2

x3= 4

Y

y0= -144

y1= -75

y2= 3

y3= 45

;

ε = 10-3заданная точность.

3. Преобразование таблицы 1 в таблицу 2  с постоянным шагом h:

;

Найдем yi в Excel.

Таблица2.

X

-5

-3,875

-2,75

-1,625

-0,5

0,625

1,75

2,875

4

Y

-144

-68,35

-24,63

-4,329

1,112

0,229

1,566

13,666

45

4.  Составим в Excel таблицу 3 - конечных разностей:

X

Y

ΔY

2Y

Δ3Y

0

-5,000

-144,018

75,667

-31,952

8,543

1

-3,875

-68,351

43,715

-23,409

8,543

2

-2,750

-24,635

20,306

-14,866

8,543

3

-1,625

-4,329

5,440

-6,323

8,543

4

-0,500

1,112

-0,883

2,220

8,543

5

0,625

0,229

1,337

10,763

8,543

6

1,750

1,566

12,100

19,306

7

2,875

13,666

31,406

8

4,000

45,072

В связи с тем, что конечные разности Δ3Y постоянны, все дальнейшие разности равны нулю.

5.  Найдем производные   и  . Занесем результаты  в таблицу.

; за можно считать любое табличное значение .

X

t

L3(x)

-5,000

0

-144,018

83,979

-31,996

-3,875

0

-68,351

51,793

-25,246

-2,750

0

-24,635

27,189

-18,496

-1,625

0

-4,329

10,177

-11,746

-0,500

0

1,112

0,760

-4,996

0,625

0

0,229

-1,064

1,754

1,750

1

1,566

4,707

8,504

2,875

2

13,666

18,070

15,254

4,000

3

45,072

39,028

22,004

6.  Построить графики функций   L3(x),     и   .

7.  Проверка  результатов:  результаты, полученные путем расчетов, сравнить с теоретическими. Это можно сделать, например, в трех точках, – в начале,  середине  и в конце таблицы.

8.  Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47366. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕНТРОБЕЖНОГО НАСОСА. Исследование кавитационных свойств центробежного насоса 306.5 KB
  В ходе выполнения данной лабораторной работы мы исследовали и построили характеристики центробежного насоса, выбрали оптимальный режим работы, были построены характеристики
47367. Специфика проникновения информационно-коммуникативных технологий в жизнь современного российского общества 386.65 KB
  По мере накопления в обществе различных видов информации невиданными темпами возрастает интенсивность её потребления во всех сферах жизнедеятельности общества. Постепенно на первое место выдвигается содержательный аспект информации, её релевантность (значимость, существенность, важность) по отношению к деятельности людей
47368. Операционные системы (ОС) 35.42 KB
  Основная задача операционной системы (ОС) — это обеспечение управления процессом обработки информации взаимодействие между аппаратными, программными средствами и пользователем. В большинстве современных вычислительных систем ОС является основной, наиболее важной (иногда единственной) частью системного программного обеспечения.
47369. Проектирование маршрутных ТП механической обработки деталей 605.5 KB
  Имеется большое количество поверхностей, которые обладают несколькими направлениями доступа и могут обрабатываться или действительно обрабатываются с различных сторон. Для удобства проектирования рекомендуется пронумеровать обрабатываемые поверхности по их направлениям доступа
47370. Основные сведения о работе с программами обработки текстов, таблиц, презентаций, макетирования и верстки 66.3 KB
  В работе специалиста по СсО и рекламе с ПК значительная доля времени расходуется на создание, редактирование и печать документов. Привычные современному пользователю программы для работы с документами редко выпускаются на рынок как отдельные продукты.
47371. Компьютерная графика. Графическое представление информации 57.87 KB
  Графическое представление информации используется во многих областях визуальной коммуникации: от произведений изобразительного искусства, которое призвано будить у человека эмоции и вызывать чувство прекрасного, до всевозможных символов, например дорожных знаков, которые предназначены только для информативных целей и у опытных водителей могут даже не достигать области осознаваемого восприятия.