10657

Численное дифференцирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 8 Численное дифференцирование. Цель работы. Научиться выполнять дифференцирование функций заданных в виде таблиц опытных данных а также уметь оценивать погрешность численного метода. Теоретические положения. Источником форм

Русский

2013-03-30

157 KB

125 чел.

Лабораторная  работа  8

Численное дифференцирование.

Цель работы.  Научиться выполнять дифференцирование функций, заданных в виде  таблиц  опытных данных, а также  уметь оценивать погрешность  численного метода.

Теоретические положения.  Источником формул численного диффе-ренцирования является полиномиальная интерполяция. Зная в точках  (i=0, 1, 2,…n) значения     данной функции   можно найти конечные разности   и записать для нее,  например,  первый интер-поляционный полином Ньютона   

               (1)

где   - вспомогательная переменная.

Дифференцируя  приближенное равенство  , можно построить формулы приближенного  дифференцирования  разной точности в зави-симости от степени . Так, первая производная  имеет вид

,  (2)

Повторное дифференцирование (1) приводит к конечноразностной формуле вычисления второй производной

    .              (3)

Часто требуется вычислить производную от функции   в точках   (i=0, 1, 2….n). Так как каждое табличное значение можно считать за началь-ное, то положим  ,  .  Тогда из формулы (2) будем иметь

,                    (4)

аналогично из формулы (3) получим

.                      (5)

Таблица требуемых конечных разностей   легко находится в Excel.

Порядок выполнения работы.   

- задать таблицу 1  опытных данных из лабораторной работы  7,

- записать формулу найденного полинома  ,

- принять в расчетах погрешность  ,

- так как формулы (4) и (5) получены на основе полинома Ньютона, для которого  шаг интерполяции  , в то время как в заданной таблице 1 опытных данных  , то следует преобразовать ее к требуемому виду  (назовем ее таблица 2), приняв  n=8:

а) начальные   и конечные   данные таблицы 1 переходят без изменений в таблицу 2 – это будут  точки  и , (поскольку интервал, вообще говоря, остался тот же самый),

         б) для заполнения клеток   найти шаг новой таблицы  ,

   в) заполнить строку аргументов по формуле  ,

г) заполнить строку значений функции  ,

- создать в Excel таблицу  разностей (таблица 3),

- по формуле (4) вычислить значения первой производной:

- по формуле (5) вычислить значения второй производной:

- составить таблицу 4   из найденных значений,

- построить на одном рисунке три графика:  ,

- сделать проверку и числовую оценку полученных данных,

- выводы по работе.

Варианты исходных данных.  В качестве исходных данных для настоящей работы использовать таблицу экспериментальных  данных из лабораторной работы 7: “Интерполирование функций методом Лагранжа”, а также формулу полученного в этой работе полинома  .  

         Пример расчета .      

1.  Цель работы:

Освоить метод численного дифференцирования с помощью конечных разностей.

2.  Исходные данные:

Таблица1.

X

x0= -5

x1= -4

x2= 2

x3= 4

Y

y0= -144

y1= -75

y2= 3

y3= 45

;

ε = 10-3заданная точность.

3. Преобразование таблицы 1 в таблицу 2  с постоянным шагом h:

;

Найдем yi в Excel.

Таблица2.

X

-5

-3,875

-2,75

-1,625

-0,5

0,625

1,75

2,875

4

Y

-144

-68,35

-24,63

-4,329

1,112

0,229

1,566

13,666

45

4.  Составим в Excel таблицу 3 - конечных разностей:

X

Y

ΔY

2Y

Δ3Y

0

-5,000

-144,018

75,667

-31,952

8,543

1

-3,875

-68,351

43,715

-23,409

8,543

2

-2,750

-24,635

20,306

-14,866

8,543

3

-1,625

-4,329

5,440

-6,323

8,543

4

-0,500

1,112

-0,883

2,220

8,543

5

0,625

0,229

1,337

10,763

8,543

6

1,750

1,566

12,100

19,306

7

2,875

13,666

31,406

8

4,000

45,072

В связи с тем, что конечные разности Δ3Y постоянны, все дальнейшие разности равны нулю.

5.  Найдем производные   и  . Занесем результаты  в таблицу.

; за можно считать любое табличное значение .

X

t

L3(x)

-5,000

0

-144,018

83,979

-31,996

-3,875

0

-68,351

51,793

-25,246

-2,750

0

-24,635

27,189

-18,496

-1,625

0

-4,329

10,177

-11,746

-0,500

0

1,112

0,760

-4,996

0,625

0

0,229

-1,064

1,754

1,750

1

1,566

4,707

8,504

2,875

2

13,666

18,070

15,254

4,000

3

45,072

39,028

22,004

6.  Построить графики функций   L3(x),     и   .

7.  Проверка  результатов:  результаты, полученные путем расчетов, сравнить с теоретическими. Это можно сделать, например, в трех точках, – в начале,  середине  и в конце таблицы.

8.  Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18569. Оптимизация технических объектов в системах автоматизированного проектирования 272.5 KB
  Оптимизация технических объектов в системах автоматизированного проектирования. Данная глава посвящена вопросам постановки и решения задач оптимизации при техническом проектировании. Главное внимание уделяется параметрической оптимизации непрерывных объектов.
18570. Общие сведения об ОС 124.5 KB
  Общие сведения об ОС. Операционная система комплекс системных управляющих и обрабатывающих программ предназначенных для наиболее эффективного использования всех ресурсов ВС и удобства работы с ней. В настоящее время только с помощью ОС можно полностью загружат
18571. ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР 109 KB
  ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР Структура и требования к ТО САПР Техническое обеспечение САПР включает в себя различные технические средства hardware используемые для выполнения автоматизированного проектирования а именно: ЭВМ периферийные устройства сетевое оборуд
18572. Сети ЭВМ и средства телекоммуникационного метода доступа 63 KB
  Сети ЭВМ и средства телекоммуникационного метода доступа Для современного этапа развития средств вычислительной техники характерно использование сравнительно дешевых мини микро и персональных ЭВМ обладающих достаточно большими вычислительными возможностями. По...
18573. Базы данных. Логическая область базы данных 145.5 KB
  Базы данных. Лекция № 1. 1. Предметная область базы: данных сварное соединение стыковое нахлесточное и т.п. Объекты предметной области. Логическая область базы данных цифры записи и т.п.. 2.Характеристика объекта предметной области называется атрибуткоторый прин
18574. НАЗНАЧЕНИЕ, СУЩНОСТЬ И СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ САПР 93.5 KB
  НАЗНАЧЕНИЕ СУЩНОСТЬ И СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ САПР Основное назначение ИО САПР уменьшение объемов информации требуемой в процессе проектирования от разработчика РЭС и исключение дублирования данных в прикладном программном и техническом обе...
18575. УРОВНИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ 117.5 KB
  УРОВНИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ Существует три уровня представления данных: уровень пользователя предметная область логический и физический. Каждый объект предметной области характеризуется своими атрибутами каждый атрибут имеет имя и значение. Например объект осц
18576. ПРОЕКТИРОВАНИЕ БАЗЫ ДАННЫХ 42.5 KB
  ПРОЕКТИРОВАНИЕ БАЗЫ ДАННЫХ Процесс разработки структуры БД на основании требований пользователя называют проектированием БД ПБД. Результатами ПБД являются структураБД состоящая из логических и физических компонент и руководство для прикладных программистов. Р...
18577. Функции сетевого программного обеспечения 33.5 KB
  Функции сетевого программного обеспечения Принято выделять в ПО АС общесистемное ПО системные среды и прикладное ПО. К общесистемному ПО относят ОС используемых ЭВМ и вычислительных систем а также сетевое ПО типовых телекоммуникационных услуг. Основой системной ср