10657

Численное дифференцирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 8 Численное дифференцирование. Цель работы. Научиться выполнять дифференцирование функций заданных в виде таблиц опытных данных а также уметь оценивать погрешность численного метода. Теоретические положения. Источником форм

Русский

2013-03-30

157 KB

125 чел.

Лабораторная  работа  8

Численное дифференцирование.

Цель работы.  Научиться выполнять дифференцирование функций, заданных в виде  таблиц  опытных данных, а также  уметь оценивать погрешность  численного метода.

Теоретические положения.  Источником формул численного диффе-ренцирования является полиномиальная интерполяция. Зная в точках  (i=0, 1, 2,…n) значения     данной функции   можно найти конечные разности   и записать для нее,  например,  первый интер-поляционный полином Ньютона   

               (1)

где   - вспомогательная переменная.

Дифференцируя  приближенное равенство  , можно построить формулы приближенного  дифференцирования  разной точности в зави-симости от степени . Так, первая производная  имеет вид

,  (2)

Повторное дифференцирование (1) приводит к конечноразностной формуле вычисления второй производной

    .              (3)

Часто требуется вычислить производную от функции   в точках   (i=0, 1, 2….n). Так как каждое табличное значение можно считать за началь-ное, то положим  ,  .  Тогда из формулы (2) будем иметь

,                    (4)

аналогично из формулы (3) получим

.                      (5)

Таблица требуемых конечных разностей   легко находится в Excel.

Порядок выполнения работы.   

- задать таблицу 1  опытных данных из лабораторной работы  7,

- записать формулу найденного полинома  ,

- принять в расчетах погрешность  ,

- так как формулы (4) и (5) получены на основе полинома Ньютона, для которого  шаг интерполяции  , в то время как в заданной таблице 1 опытных данных  , то следует преобразовать ее к требуемому виду  (назовем ее таблица 2), приняв  n=8:

а) начальные   и конечные   данные таблицы 1 переходят без изменений в таблицу 2 – это будут  точки  и , (поскольку интервал, вообще говоря, остался тот же самый),

         б) для заполнения клеток   найти шаг новой таблицы  ,

   в) заполнить строку аргументов по формуле  ,

г) заполнить строку значений функции  ,

- создать в Excel таблицу  разностей (таблица 3),

- по формуле (4) вычислить значения первой производной:

- по формуле (5) вычислить значения второй производной:

- составить таблицу 4   из найденных значений,

- построить на одном рисунке три графика:  ,

- сделать проверку и числовую оценку полученных данных,

- выводы по работе.

Варианты исходных данных.  В качестве исходных данных для настоящей работы использовать таблицу экспериментальных  данных из лабораторной работы 7: “Интерполирование функций методом Лагранжа”, а также формулу полученного в этой работе полинома  .  

         Пример расчета .      

1.  Цель работы:

Освоить метод численного дифференцирования с помощью конечных разностей.

2.  Исходные данные:

Таблица1.

X

x0= -5

x1= -4

x2= 2

x3= 4

Y

y0= -144

y1= -75

y2= 3

y3= 45

;

ε = 10-3заданная точность.

3. Преобразование таблицы 1 в таблицу 2  с постоянным шагом h:

;

Найдем yi в Excel.

Таблица2.

X

-5

-3,875

-2,75

-1,625

-0,5

0,625

1,75

2,875

4

Y

-144

-68,35

-24,63

-4,329

1,112

0,229

1,566

13,666

45

4.  Составим в Excel таблицу 3 - конечных разностей:

X

Y

ΔY

2Y

Δ3Y

0

-5,000

-144,018

75,667

-31,952

8,543

1

-3,875

-68,351

43,715

-23,409

8,543

2

-2,750

-24,635

20,306

-14,866

8,543

3

-1,625

-4,329

5,440

-6,323

8,543

4

-0,500

1,112

-0,883

2,220

8,543

5

0,625

0,229

1,337

10,763

8,543

6

1,750

1,566

12,100

19,306

7

2,875

13,666

31,406

8

4,000

45,072

В связи с тем, что конечные разности Δ3Y постоянны, все дальнейшие разности равны нулю.

5.  Найдем производные   и  . Занесем результаты  в таблицу.

; за можно считать любое табличное значение .

X

t

L3(x)

-5,000

0

-144,018

83,979

-31,996

-3,875

0

-68,351

51,793

-25,246

-2,750

0

-24,635

27,189

-18,496

-1,625

0

-4,329

10,177

-11,746

-0,500

0

1,112

0,760

-4,996

0,625

0

0,229

-1,064

1,754

1,750

1

1,566

4,707

8,504

2,875

2

13,666

18,070

15,254

4,000

3

45,072

39,028

22,004

6.  Построить графики функций   L3(x),     и   .

7.  Проверка  результатов:  результаты, полученные путем расчетов, сравнить с теоретическими. Это можно сделать, например, в трех точках, – в начале,  середине  и в конце таблицы.

8.  Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

509. Общественное здание. Гостиница 125 KB
  Проект Гостиница разработан на основе задания по архитектурному проектированию. Категория и класс в зависимости от вида предоставляемых услуг в соответствии с принятой в стране системной стандартов. Благоустроенные площадки перед входами в помещения общественного и жилого назначения.
510. Особенности налоговой политики в современной России 131.5 KB
  Понятие, сущность и основные виды налоговой политики. Изучение теоретических аспектов налоговой политики, а также определение основных направлений и механизма реализации налоговой политики в Российской Федерации.
511. Масштабирование и растеризация. Составление программы по алгоритму Брезенхема на языке Phyton 226 KB
  Составление программы по алгоритму Брезенхема на языке Phyton. Рассмотрение координаты в ГМ и окне отображения на экране относительно левой нижней точки соответствующего окна. Рисование линий по алгоритму Брезенхема.
512. Формирование цен на продукцию растениеводства в СПК Полтавский Полтавского района Омской области 221 KB
  Ценовая политика предприятия СПК Полтавский Полтавского района Омской области. Краткая природная и экономическая характеристика. Механизм ценообразования на сельскохозяйственную продукцию. Формирование цен на предприятии СПК Полтавский.
513. Технология производства лесных культур 264.5 KB
  Расчетно-технологическая карта на производство и выращивание лесных культур. Потребное количество посевного и посадочного материала, их стоимость. Техническая приемка, инвентаризация и перевод лесных культур в покрытую лесом площадь.
514. Проектування та розробка бази даних 267.4 KB
  Розробка бази даних в SQL Manager Lite for MySQL, яка зберігає інформацію про Internet магазин Sport-Device. Створення запиту на визначення найдорожчого товару, визначення коду товару з мінімальними вартостями. Результати застосування розробленої програмної системи.
515. Обработка одномерных массивов. Формирование новых массивов 246 KB
  Получить навыки разработки и реализации типовых алгоритмов обработки одномерных массивов на языке Delphi. Научиться формировать новые массивы из заданных массивов в соответствии с некоторым условием.
516. Исследование управляемого тиристора выпрямителя в схеме с нулевой точкой 231.5 KB
  Получение знаний физики электромагнитных процессов, протекающих в однофазном двухполупериодном регулируемом выпрямителе на тиристорах с нулевой точкой, овладение методом исследования кривых токов и напряжений на элементах выпрямителя при работе на активную и активно-индуктивную нагрузки.
517. Абстрактные типы данных. Списки 273 KB
  Абстрактные типы данных. Понятие объектно-ориентированного про-граммирования. Линейные односвязные списки. На языке С++ программа с объектно-ориентированной структурой для реализации линейных односвязных списков.