10657

Численное дифференцирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 8 Численное дифференцирование. Цель работы. Научиться выполнять дифференцирование функций заданных в виде таблиц опытных данных а также уметь оценивать погрешность численного метода. Теоретические положения. Источником форм

Русский

2013-03-30

157 KB

126 чел.

Лабораторная  работа  8

Численное дифференцирование.

Цель работы.  Научиться выполнять дифференцирование функций, заданных в виде  таблиц  опытных данных, а также  уметь оценивать погрешность  численного метода.

Теоретические положения.  Источником формул численного диффе-ренцирования является полиномиальная интерполяция. Зная в точках  (i=0, 1, 2,…n) значения     данной функции   можно найти конечные разности   и записать для нее,  например,  первый интер-поляционный полином Ньютона   

               (1)

где   - вспомогательная переменная.

Дифференцируя  приближенное равенство  , можно построить формулы приближенного  дифференцирования  разной точности в зави-симости от степени . Так, первая производная  имеет вид

,  (2)

Повторное дифференцирование (1) приводит к конечноразностной формуле вычисления второй производной

    .              (3)

Часто требуется вычислить производную от функции   в точках   (i=0, 1, 2….n). Так как каждое табличное значение можно считать за началь-ное, то положим  ,  .  Тогда из формулы (2) будем иметь

,                    (4)

аналогично из формулы (3) получим

.                      (5)

Таблица требуемых конечных разностей   легко находится в Excel.

Порядок выполнения работы.   

- задать таблицу 1  опытных данных из лабораторной работы  7,

- записать формулу найденного полинома  ,

- принять в расчетах погрешность  ,

- так как формулы (4) и (5) получены на основе полинома Ньютона, для которого  шаг интерполяции  , в то время как в заданной таблице 1 опытных данных  , то следует преобразовать ее к требуемому виду  (назовем ее таблица 2), приняв  n=8:

а) начальные   и конечные   данные таблицы 1 переходят без изменений в таблицу 2 – это будут  точки  и , (поскольку интервал, вообще говоря, остался тот же самый),

         б) для заполнения клеток   найти шаг новой таблицы  ,

   в) заполнить строку аргументов по формуле  ,

г) заполнить строку значений функции  ,

- создать в Excel таблицу  разностей (таблица 3),

- по формуле (4) вычислить значения первой производной:

- по формуле (5) вычислить значения второй производной:

- составить таблицу 4   из найденных значений,

- построить на одном рисунке три графика:  ,

- сделать проверку и числовую оценку полученных данных,

- выводы по работе.

Варианты исходных данных.  В качестве исходных данных для настоящей работы использовать таблицу экспериментальных  данных из лабораторной работы 7: “Интерполирование функций методом Лагранжа”, а также формулу полученного в этой работе полинома  .  

         Пример расчета .      

1.  Цель работы:

Освоить метод численного дифференцирования с помощью конечных разностей.

2.  Исходные данные:

Таблица1.

X

x0= -5

x1= -4

x2= 2

x3= 4

Y

y0= -144

y1= -75

y2= 3

y3= 45

;

ε = 10-3заданная точность.

3. Преобразование таблицы 1 в таблицу 2  с постоянным шагом h:

;

Найдем yi в Excel.

Таблица2.

X

-5

-3,875

-2,75

-1,625

-0,5

0,625

1,75

2,875

4

Y

-144

-68,35

-24,63

-4,329

1,112

0,229

1,566

13,666

45

4.  Составим в Excel таблицу 3 - конечных разностей:

X

Y

ΔY

2Y

Δ3Y

0

-5,000

-144,018

75,667

-31,952

8,543

1

-3,875

-68,351

43,715

-23,409

8,543

2

-2,750

-24,635

20,306

-14,866

8,543

3

-1,625

-4,329

5,440

-6,323

8,543

4

-0,500

1,112

-0,883

2,220

8,543

5

0,625

0,229

1,337

10,763

8,543

6

1,750

1,566

12,100

19,306

7

2,875

13,666

31,406

8

4,000

45,072

В связи с тем, что конечные разности Δ3Y постоянны, все дальнейшие разности равны нулю.

5.  Найдем производные   и  . Занесем результаты  в таблицу.

; за можно считать любое табличное значение .

X

t

L3(x)

-5,000

0

-144,018

83,979

-31,996

-3,875

0

-68,351

51,793

-25,246

-2,750

0

-24,635

27,189

-18,496

-1,625

0

-4,329

10,177

-11,746

-0,500

0

1,112

0,760

-4,996

0,625

0

0,229

-1,064

1,754

1,750

1

1,566

4,707

8,504

2,875

2

13,666

18,070

15,254

4,000

3

45,072

39,028

22,004

6.  Построить графики функций   L3(x),     и   .

7.  Проверка  результатов:  результаты, полученные путем расчетов, сравнить с теоретическими. Это можно сделать, например, в трех точках, – в начале,  середине  и в конце таблицы.

8.  Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80147. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ ФИНАНСОВО-ПРАВОВЫХ НОРМ 53.5 KB
  Как и любая другая норма права финансовоправовая норма представляет собой установленное и охраняемое государством правило поведения участников общественных отношений выраженное в их юридических правах и обязанностях. Особенности финансовоправовой нормы обусловлены тем что она в отличие от норм других отраслей права регулирует отношения возникающие в процессе планового образования распределения и использования государством и органами местного самоуправления финансовых ресурсов необходимых им для осуществления своих задач. Это...
80148. ВИДЫ ФИНАНСОВОГО КОНТРОЛЯ 53.5 KB
  Одним из важнейших принципов контроля в государстве является финансовый контроль. Финансовый контроль в России особенно актуален в период перехода от командноадминистративных к рыночным формам управления экономикой. По мере развития рыночной экономики тем более с усилением ее социальной ориентации контрольнофинансовые функции государства все более усложняются все большее число функций по защите финансовых прав и интересов граждан ложится на плечи государства.
80149. ПРАВОВОЙ РЕЖИМ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ВНЕБЮДЖЕТНЫХ ФОНДОВ 99.5 KB
  Бюджеты государственных внебюджетных фондов Российской Федерации рассматриваются и утверждаются Федеральным Собранием в форме федеральных законов одновременно с принятием федерального закона о федеральном бюджете на очередной финансовый год. Проекты бюджетов территориальных государственных внебюджетных фондов представляются органами исполнительной власти субъектов Российской Федерации одновременно с представлением проектов законов субъектов Российской Федерации о бюджете на очередной финансовый год и утверждаются одновременно с принятием...
80150. СУЩНОСТЬ И ЗНАЧЕНИЕ ГОСУДАРСТВЕННОГО КРЕДИТА 131 KB
  Функционирование системы государственного кредита ведет к образованию государственного долга. Под управлением государственным кредитом в узком смысле понимается совокупность действий связанных с подготовкой к выпуску и размещению долговых обязательств государства регулированию рынка государственных ценных бумаг обслуживанию и погашению государственного долга представлению кредитов и гарантий. Рефинансирование государственного долга погашение старой государственной задолженности путем выпуска новых займов; 3. Аннулирование...
80154. СТАДИЯ ИСПОЛНЕНИЯ БЮДЖЕТА 33 KB
  Исполнение бюджета обеспечивает в установленном порядке Министерство финансов РФ вся система органов управления финансами РФ. В процессе исполнения бюджета органы исполнительной и представительной власти осуществляют корректировку бюджетных назначений с учетом динамики цен и поступлений доходов в федеральный бюджет осуществляют контроль за исполнением федерального бюджета и целевым использованием средств выделяемых из федерального бюджета предприятиям учреждениям и организациям. Главный распорядитель средств федерального бюджета орган...
80155. ИСТОЧНИКИ ФИНАНСОВОГО ПРАВА. ФИНАНСОВОЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО 47 KB
  Нормы финансового права Российской Федерации содержатся в большом числе разнообразных правовых нормативных актов или источниках. В дореволюционном российском праве под источниками права понимались формы выражения положительного права которые имеют значение обязательных средств ознакомления с действующим правом. В современной российской юридической науке под источником права обычно понимают форму выражения правила сообщающую ему качество правовой нормы; тот единственный резервуар в котором пребывают...