10657

Численное дифференцирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 8 Численное дифференцирование. Цель работы. Научиться выполнять дифференцирование функций заданных в виде таблиц опытных данных а также уметь оценивать погрешность численного метода. Теоретические положения. Источником форм

Русский

2013-03-30

157 KB

125 чел.

Лабораторная  работа  8

Численное дифференцирование.

Цель работы.  Научиться выполнять дифференцирование функций, заданных в виде  таблиц  опытных данных, а также  уметь оценивать погрешность  численного метода.

Теоретические положения.  Источником формул численного диффе-ренцирования является полиномиальная интерполяция. Зная в точках  (i=0, 1, 2,…n) значения     данной функции   можно найти конечные разности   и записать для нее,  например,  первый интер-поляционный полином Ньютона   

               (1)

где   - вспомогательная переменная.

Дифференцируя  приближенное равенство  , можно построить формулы приближенного  дифференцирования  разной точности в зави-симости от степени . Так, первая производная  имеет вид

,  (2)

Повторное дифференцирование (1) приводит к конечноразностной формуле вычисления второй производной

    .              (3)

Часто требуется вычислить производную от функции   в точках   (i=0, 1, 2….n). Так как каждое табличное значение можно считать за началь-ное, то положим  ,  .  Тогда из формулы (2) будем иметь

,                    (4)

аналогично из формулы (3) получим

.                      (5)

Таблица требуемых конечных разностей   легко находится в Excel.

Порядок выполнения работы.   

- задать таблицу 1  опытных данных из лабораторной работы  7,

- записать формулу найденного полинома  ,

- принять в расчетах погрешность  ,

- так как формулы (4) и (5) получены на основе полинома Ньютона, для которого  шаг интерполяции  , в то время как в заданной таблице 1 опытных данных  , то следует преобразовать ее к требуемому виду  (назовем ее таблица 2), приняв  n=8:

а) начальные   и конечные   данные таблицы 1 переходят без изменений в таблицу 2 – это будут  точки  и , (поскольку интервал, вообще говоря, остался тот же самый),

         б) для заполнения клеток   найти шаг новой таблицы  ,

   в) заполнить строку аргументов по формуле  ,

г) заполнить строку значений функции  ,

- создать в Excel таблицу  разностей (таблица 3),

- по формуле (4) вычислить значения первой производной:

- по формуле (5) вычислить значения второй производной:

- составить таблицу 4   из найденных значений,

- построить на одном рисунке три графика:  ,

- сделать проверку и числовую оценку полученных данных,

- выводы по работе.

Варианты исходных данных.  В качестве исходных данных для настоящей работы использовать таблицу экспериментальных  данных из лабораторной работы 7: “Интерполирование функций методом Лагранжа”, а также формулу полученного в этой работе полинома  .  

         Пример расчета .      

1.  Цель работы:

Освоить метод численного дифференцирования с помощью конечных разностей.

2.  Исходные данные:

Таблица1.

X

x0= -5

x1= -4

x2= 2

x3= 4

Y

y0= -144

y1= -75

y2= 3

y3= 45

;

ε = 10-3заданная точность.

3. Преобразование таблицы 1 в таблицу 2  с постоянным шагом h:

;

Найдем yi в Excel.

Таблица2.

X

-5

-3,875

-2,75

-1,625

-0,5

0,625

1,75

2,875

4

Y

-144

-68,35

-24,63

-4,329

1,112

0,229

1,566

13,666

45

4.  Составим в Excel таблицу 3 - конечных разностей:

X

Y

ΔY

2Y

Δ3Y

0

-5,000

-144,018

75,667

-31,952

8,543

1

-3,875

-68,351

43,715

-23,409

8,543

2

-2,750

-24,635

20,306

-14,866

8,543

3

-1,625

-4,329

5,440

-6,323

8,543

4

-0,500

1,112

-0,883

2,220

8,543

5

0,625

0,229

1,337

10,763

8,543

6

1,750

1,566

12,100

19,306

7

2,875

13,666

31,406

8

4,000

45,072

В связи с тем, что конечные разности Δ3Y постоянны, все дальнейшие разности равны нулю.

5.  Найдем производные   и  . Занесем результаты  в таблицу.

; за можно считать любое табличное значение .

X

t

L3(x)

-5,000

0

-144,018

83,979

-31,996

-3,875

0

-68,351

51,793

-25,246

-2,750

0

-24,635

27,189

-18,496

-1,625

0

-4,329

10,177

-11,746

-0,500

0

1,112

0,760

-4,996

0,625

0

0,229

-1,064

1,754

1,750

1

1,566

4,707

8,504

2,875

2

13,666

18,070

15,254

4,000

3

45,072

39,028

22,004

6.  Построить графики функций   L3(x),     и   .

7.  Проверка  результатов:  результаты, полученные путем расчетов, сравнить с теоретическими. Это можно сделать, например, в трех точках, – в начале,  середине  и в конце таблицы.

8.  Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45254. Выставка как форма ПР-акции: функции, классификация, этапы разработки и реализации 30.5 KB
  Выставки позволяют наглядно показать каких достижений добилась организация показать фирму с наиболее выгодной стороны и заинтересовать потенциальных потребителей. Функции: организация выставки вызывает у общественности мнение что фирма обладает положительными качествами: солидность успешность компетентность авторитетность. создание благоприятного общественного мнения о фирме в рамках выставки. Для чего проводятся мероприятия: освещение выставки в СМИ интервью доклады выступления с сообщением о деятельности фирмы качествах...
45255. Участие в выставке как В ПР акция: этапы организации, содержание информационной поддержки 31 KB
  Выбор конкретной выставки. стадия работы выставки работа в ходе функционирования выставки 5. Завязывание контактов в деловом мире страны-организатора выставки. Предоставление необходимой информации о самой фирме и ее продуктах формирование у потребителей знаний о конкретном товаре или услуге; формирование положительного имиджа фирмы доброжелательного отношения к ней поддержание репутации строительной фирмы на определенном этапе; поиск новых партнеров или агентов; формирование потребностей и стимулирование сбыта продукта; позиционирование...
45256. Выставочный стенд как форма ПР-коммуникаций: маркетинговые задачи, предметный формат, содержательное оформление 26 KB
  Маркетинговые задачи: Стенд это образ фирмы-экспонента в миниатюре воплощающий его общую предпринимательскую культуру. Отразить лицо фирмы.Иметь свое лицо название фирмы эмблема графическое изображение цвета что помогает идентификации фирмы и создает предпосылки для ее узнавания в будущем. Структура стенда: руководитель стенда документальное обеспечение представительские контакты с выставочным комитетом представление фирмы перед СМИ несколько стендистов рядовая публика привлечение к стенду и менеджер по продажам работа с...
45257. Антикризисная стратегия фирмы: этапы формирования и реализации 28 KB
  Антикризисная стратегия фирмы: этапы формирования и реализации Кризис это событие по вине которого компания попадает в центр не всегда доброжелательного внимания СМИ и других внешних целевых аудиторий в том числе акционеров политиков профсоюзных организации движений в защиту окружающей среды которые по той или иной причине вполне законно интересуются действиями организации. Реагирование на кризис: выявление сути проблемы идентификация источника выявление ключевых аудиторий расчет издержек информирование публичное заявление для СМИ...
45258. СМИ как ресурс реализации антикризисной программы фирмы 28 KB
  СМИ как ресурс реализации антикризисной программы фирмы. Кризис это событие по вине которого компания попадает в центр не всегда доброжелательного внимания СМИ и других внешних целевых аудиторий в том числе акционеров политиков профсоюзных организации движений в защиту окружающей среды которые по той или иной причине вполне законно интересуются действиями организации. Необходимо работать со СМИ они склонны искать и транслировать сенсации конфликты неоднозначные оценки слухи и т. Для СМИ важно кто первый обнародует сенсационный...
45259. Спонсоринг как разновидность PR-технологий: идеология, функции, приоритеты, мотивы, формы 29 KB
  В содержании программы должны быть представлены: Проблема вызывающая необходимость разработки программы. Цели конкретное представление о желаемом результате программы. Бюджет программы с конкретными статьями расходов.
45260. Попечительский совет как PR – ресурс фирмы: миссия, функции, этапы организации, приоритеты деятельности 30.5 KB
  Попечительский совет как PR – ресурс фирмы: миссия функции этапы организации приоритеты деятельности. Но существуют некоторые общие функции которые присущи попечительскому совету любой организации: 1. создание положительного образа организации ПР; 3. лоббирование интересов организации на различных уровнях; 4 контроль за финансовой деятельностью организации; 5.
45261. Партнерские отношения как PR-ресурс организации: алгоритм работы со спонсором, содержание спонсорского пакета 29 KB
  Спонсорство обязано быть выгодным как самому спонсору так и инициатору проекта. описание проекта и его идеи с акцентом на деталях наиболее важных для спонсора дается оценка значения проекта для города региона и нужных спонсору социальных групп. программу с информацией о месте и времени события сценарий графики перечисление авторов и участников проекта. указание о поддержке проекта государственными структурами авторитетными учреждениями культуры известными и уважаемыми людьми копии официальных решений рекомендательных писем обращений...
45262. Имидж фирмы: структура, этапы формирования и реализации 27 KB
  Имидж фирмы: структура этапы формирования и реализации. Имидж фирмы – целостное восприятие фирмы различными группами общественности формирующееся на основе известной им информации о различных сторонах деятельности фирмы. Структура: структуру имиджа фирмы составляют представления людей относительно фирмы которые условно можно разделить на группы: имидж товара или услуги – представления людей относительно уникальных характеристик которыми он обладает его отличительных свойств. внутренний имидж фирмы – представление сотрудников о фирме...