10657

Численное дифференцирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 8 Численное дифференцирование. Цель работы. Научиться выполнять дифференцирование функций заданных в виде таблиц опытных данных а также уметь оценивать погрешность численного метода. Теоретические положения. Источником форм

Русский

2013-03-30

157 KB

125 чел.

Лабораторная  работа  8

Численное дифференцирование.

Цель работы.  Научиться выполнять дифференцирование функций, заданных в виде  таблиц  опытных данных, а также  уметь оценивать погрешность  численного метода.

Теоретические положения.  Источником формул численного диффе-ренцирования является полиномиальная интерполяция. Зная в точках  (i=0, 1, 2,…n) значения     данной функции   можно найти конечные разности   и записать для нее,  например,  первый интер-поляционный полином Ньютона   

               (1)

где   - вспомогательная переменная.

Дифференцируя  приближенное равенство  , можно построить формулы приближенного  дифференцирования  разной точности в зави-симости от степени . Так, первая производная  имеет вид

,  (2)

Повторное дифференцирование (1) приводит к конечноразностной формуле вычисления второй производной

    .              (3)

Часто требуется вычислить производную от функции   в точках   (i=0, 1, 2….n). Так как каждое табличное значение можно считать за началь-ное, то положим  ,  .  Тогда из формулы (2) будем иметь

,                    (4)

аналогично из формулы (3) получим

.                      (5)

Таблица требуемых конечных разностей   легко находится в Excel.

Порядок выполнения работы.   

- задать таблицу 1  опытных данных из лабораторной работы  7,

- записать формулу найденного полинома  ,

- принять в расчетах погрешность  ,

- так как формулы (4) и (5) получены на основе полинома Ньютона, для которого  шаг интерполяции  , в то время как в заданной таблице 1 опытных данных  , то следует преобразовать ее к требуемому виду  (назовем ее таблица 2), приняв  n=8:

а) начальные   и конечные   данные таблицы 1 переходят без изменений в таблицу 2 – это будут  точки  и , (поскольку интервал, вообще говоря, остался тот же самый),

         б) для заполнения клеток   найти шаг новой таблицы  ,

   в) заполнить строку аргументов по формуле  ,

г) заполнить строку значений функции  ,

- создать в Excel таблицу  разностей (таблица 3),

- по формуле (4) вычислить значения первой производной:

- по формуле (5) вычислить значения второй производной:

- составить таблицу 4   из найденных значений,

- построить на одном рисунке три графика:  ,

- сделать проверку и числовую оценку полученных данных,

- выводы по работе.

Варианты исходных данных.  В качестве исходных данных для настоящей работы использовать таблицу экспериментальных  данных из лабораторной работы 7: “Интерполирование функций методом Лагранжа”, а также формулу полученного в этой работе полинома  .  

         Пример расчета .      

1.  Цель работы:

Освоить метод численного дифференцирования с помощью конечных разностей.

2.  Исходные данные:

Таблица1.

X

x0= -5

x1= -4

x2= 2

x3= 4

Y

y0= -144

y1= -75

y2= 3

y3= 45

;

ε = 10-3заданная точность.

3. Преобразование таблицы 1 в таблицу 2  с постоянным шагом h:

;

Найдем yi в Excel.

Таблица2.

X

-5

-3,875

-2,75

-1,625

-0,5

0,625

1,75

2,875

4

Y

-144

-68,35

-24,63

-4,329

1,112

0,229

1,566

13,666

45

4.  Составим в Excel таблицу 3 - конечных разностей:

X

Y

ΔY

2Y

Δ3Y

0

-5,000

-144,018

75,667

-31,952

8,543

1

-3,875

-68,351

43,715

-23,409

8,543

2

-2,750

-24,635

20,306

-14,866

8,543

3

-1,625

-4,329

5,440

-6,323

8,543

4

-0,500

1,112

-0,883

2,220

8,543

5

0,625

0,229

1,337

10,763

8,543

6

1,750

1,566

12,100

19,306

7

2,875

13,666

31,406

8

4,000

45,072

В связи с тем, что конечные разности Δ3Y постоянны, все дальнейшие разности равны нулю.

5.  Найдем производные   и  . Занесем результаты  в таблицу.

; за можно считать любое табличное значение .

X

t

L3(x)

-5,000

0

-144,018

83,979

-31,996

-3,875

0

-68,351

51,793

-25,246

-2,750

0

-24,635

27,189

-18,496

-1,625

0

-4,329

10,177

-11,746

-0,500

0

1,112

0,760

-4,996

0,625

0

0,229

-1,064

1,754

1,750

1

1,566

4,707

8,504

2,875

2

13,666

18,070

15,254

4,000

3

45,072

39,028

22,004

6.  Построить графики функций   L3(x),     и   .

7.  Проверка  результатов:  результаты, полученные путем расчетов, сравнить с теоретическими. Это можно сделать, например, в трех точках, – в начале,  середине  и в конце таблицы.

8.  Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46247. Классификация дооржно-ремонтных работ, организация содержания и ремонта дорог 13.87 KB
  Текущий ремонт АД 3.Капитальный ремонт АД Содержание АДкомплекс профилактических работ с учетом сезона выполняемый в течении года по уходу за АД сооружениями и полосой отвода по выявлению и устранению незначительных по объему повреждений и дефектов а также по предотвращению их развития . Состав работ устанавливается по результам обследования фактического состояния дороги или по результату осмотров Текущий ремонт Это комплекс или отдельные виды работ выполняемых с целью предотвращения интенсивного износа покрытий и развития дефектов...
46248. Основные закономерности развития ребенка в младенческом возрасте 13.83 KB
  Основные закономерности развития ребенка в младенческом возрасте. Социальная ситуация психического развития ребенка ситуация мы Л. Ведущий тип деятельности: эмоционально непосредственное общение предметом которого для ребенка является взрослый человек. Дефицит общения в младенческом возрасте оказывает отрицательное влияние на дальнейшее психическое развитие ребенка Эриксон: базовое недоверие к миру.
46250. Виды взрослости в подростковом возрасте 13.76 KB
  Виды взрослости в подростковом возрасте. Подростковый период переходный период от детства к взрослости. Центральное новообразование подросткового возраста возникновение представления о себе как не о ребенке; подросток начинает чувствовать себя взрослым стремится быть и считаться взрослым но у него нет еще ощущения подлинной полноценной взрослости зато есть огромная потребность в признании его взрослости окружающими. Итак чувство взрослости по определению Д.
46251. Система права. Метод правового регулирования 38.5 KB
  Именно предмет и метод правового регулирования – основа разделения системы права на отрасли. Предметом правового регулирования являются те общественные отношения...
46252. Языковая просодия, уровни изучения. Фразовая интонация: составляющие факторы. Фразовое ударение в высказывании. Проблема экспрессивного выделения 13.67 KB
  Звуковой такт звуковая синтагма совокупность нескольких слогов объединённых одним ударением это часть звуковой фразы. Выделение голосом слов в предложении или во фразе называется фразовым ударением. В русском предложении cлова не выделяются так резко фразовым ударением и оно падает почти на каждое слово; русская речь по сравнению с английской производит впечатление более плавной. Конечно и в русской речи есть слова которые не выделяются ударением но их не так много.
46253. Понятие о постоянстве объекта в концепции Ж. Пиаже 13.64 KB
  Пиаже Поскольку объективное знание не может приобретаться посредством простой регистрации внешней информации а имеет свой источник во взаимодействиях между субъектом и объектами оно с необходимостью предполагает два типа активности: с одной стороны координацию самих действий и с другой стороны установление взаимоотношений между объектами. Эти два типа активности взаимозависимы поскольку данные отношения устанавливаются единственно через действия. Отсюда следует что объективное знание всегда подчинено определенным структурам действия. Но...
46255. Основные направления научного изучения языковой лексики 13.53 KB
  Лексиколо́гия наука о слове; это раздел языкознания изучающий словарный состав языка или лексику. В лексикологии рассматриваются: слово и его значение система взаимоотношений слов история формирования современной лексики функциональностилевое различие слов в разных сферах речи Объектом изучения является слово. Оно изучается также в морфологии и словообразовании. Однако если в них слова оказываются средством для изучения грамматического строя и словообразовательных моделей и правил языка то в лексикологии слова изучаются для...