10657

Численное дифференцирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 8 Численное дифференцирование. Цель работы. Научиться выполнять дифференцирование функций заданных в виде таблиц опытных данных а также уметь оценивать погрешность численного метода. Теоретические положения. Источником форм

Русский

2013-03-30

157 KB

126 чел.

Лабораторная  работа  8

Численное дифференцирование.

Цель работы.  Научиться выполнять дифференцирование функций, заданных в виде  таблиц  опытных данных, а также  уметь оценивать погрешность  численного метода.

Теоретические положения.  Источником формул численного диффе-ренцирования является полиномиальная интерполяция. Зная в точках  (i=0, 1, 2,…n) значения     данной функции   можно найти конечные разности   и записать для нее,  например,  первый интер-поляционный полином Ньютона   

               (1)

где   - вспомогательная переменная.

Дифференцируя  приближенное равенство  , можно построить формулы приближенного  дифференцирования  разной точности в зави-симости от степени . Так, первая производная  имеет вид

,  (2)

Повторное дифференцирование (1) приводит к конечноразностной формуле вычисления второй производной

    .              (3)

Часто требуется вычислить производную от функции   в точках   (i=0, 1, 2….n). Так как каждое табличное значение можно считать за началь-ное, то положим  ,  .  Тогда из формулы (2) будем иметь

,                    (4)

аналогично из формулы (3) получим

.                      (5)

Таблица требуемых конечных разностей   легко находится в Excel.

Порядок выполнения работы.   

- задать таблицу 1  опытных данных из лабораторной работы  7,

- записать формулу найденного полинома  ,

- принять в расчетах погрешность  ,

- так как формулы (4) и (5) получены на основе полинома Ньютона, для которого  шаг интерполяции  , в то время как в заданной таблице 1 опытных данных  , то следует преобразовать ее к требуемому виду  (назовем ее таблица 2), приняв  n=8:

а) начальные   и конечные   данные таблицы 1 переходят без изменений в таблицу 2 – это будут  точки  и , (поскольку интервал, вообще говоря, остался тот же самый),

         б) для заполнения клеток   найти шаг новой таблицы  ,

   в) заполнить строку аргументов по формуле  ,

г) заполнить строку значений функции  ,

- создать в Excel таблицу  разностей (таблица 3),

- по формуле (4) вычислить значения первой производной:

- по формуле (5) вычислить значения второй производной:

- составить таблицу 4   из найденных значений,

- построить на одном рисунке три графика:  ,

- сделать проверку и числовую оценку полученных данных,

- выводы по работе.

Варианты исходных данных.  В качестве исходных данных для настоящей работы использовать таблицу экспериментальных  данных из лабораторной работы 7: “Интерполирование функций методом Лагранжа”, а также формулу полученного в этой работе полинома  .  

         Пример расчета .      

1.  Цель работы:

Освоить метод численного дифференцирования с помощью конечных разностей.

2.  Исходные данные:

Таблица1.

X

x0= -5

x1= -4

x2= 2

x3= 4

Y

y0= -144

y1= -75

y2= 3

y3= 45

;

ε = 10-3заданная точность.

3. Преобразование таблицы 1 в таблицу 2  с постоянным шагом h:

;

Найдем yi в Excel.

Таблица2.

X

-5

-3,875

-2,75

-1,625

-0,5

0,625

1,75

2,875

4

Y

-144

-68,35

-24,63

-4,329

1,112

0,229

1,566

13,666

45

4.  Составим в Excel таблицу 3 - конечных разностей:

X

Y

ΔY

2Y

Δ3Y

0

-5,000

-144,018

75,667

-31,952

8,543

1

-3,875

-68,351

43,715

-23,409

8,543

2

-2,750

-24,635

20,306

-14,866

8,543

3

-1,625

-4,329

5,440

-6,323

8,543

4

-0,500

1,112

-0,883

2,220

8,543

5

0,625

0,229

1,337

10,763

8,543

6

1,750

1,566

12,100

19,306

7

2,875

13,666

31,406

8

4,000

45,072

В связи с тем, что конечные разности Δ3Y постоянны, все дальнейшие разности равны нулю.

5.  Найдем производные   и  . Занесем результаты  в таблицу.

; за можно считать любое табличное значение .

X

t

L3(x)

-5,000

0

-144,018

83,979

-31,996

-3,875

0

-68,351

51,793

-25,246

-2,750

0

-24,635

27,189

-18,496

-1,625

0

-4,329

10,177

-11,746

-0,500

0

1,112

0,760

-4,996

0,625

0

0,229

-1,064

1,754

1,750

1

1,566

4,707

8,504

2,875

2

13,666

18,070

15,254

4,000

3

45,072

39,028

22,004

6.  Построить графики функций   L3(x),     и   .

7.  Проверка  результатов:  результаты, полученные путем расчетов, сравнить с теоретическими. Это можно сделать, например, в трех точках, – в начале,  середине  и в конце таблицы.

8.  Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10193. Создание и совершенствование ЭВМ. Роль электроники и компьютерных технологий в современном мире 47.5 KB
  Создание и совершенствование ЭВМ. Роль электроники и компьютерных технологий в современном мире Логическим результатом эволюции радиоэлектронных технологий стало создание ЭВМ. Назвать точную дату изобретения и автора первой электронной вычислительной машины достат
10194. Формирование и развитие системы наука - техника во второй половине ХХ - начале ХХI вв. Задачи гуманитаризации технических наук на современном этапе 30 KB
  Формирование и развитие системы наука техника во второй половине ХХ начале ХХI вв. Задачи гуманитаризации технических наук на современном этапе На современном этапе задачи гуманитаризации науки все более и более актуально встают перед всем человечеством. Это связ...
10195. Образ и его представление, место и метод. Психический аспект образа 60.5 KB
  Образ и его представление место и метод Метод в отношении природы Психический аспект образа. Образ и его представление место и метод По утверждению русского философа В.Ф. Эрна в книге Верховное постижение Платона образ пещеры выдуман сами
10196. Философия как мировоззрение 41 KB
  Философия как мировоззрение: Учение теоретическое т.е. наиболее общее представление о мире и о природе человека и перспективах его познания выраженное в категориях. Насущные вопросы с точки зрения науки Критическое отношение к наукам к обучению стремление больш
10197. От досократиков к Аристотелю: основные проблемы и теоретическая необходимость 755 KB
  От досократиков к Аристотелю: основные проблемы и теоретическая необходимость Ранее были представлены вводные замечания и мы можем двигаться производя примерный хронологический обзор различных предыдущих эпох мысли или практик повлиявших на развитие психологиче...
10198. Краткий обзор представление о нравственности в религии 64 KB
  Краткий обзор представление о нравственности в религии План. 1. Введение. Современность о религии и этике 2. Отношение религии к философии и науке. Премудрость и ее два вида Отношение к ее видам в различные времена 3. Краткий исторический обзор религии в отношении ...
10199. Сократ, Платон и Аристотель 705.5 KB
  Сократ Платон и Аристотель Соответствующий контраст между позицией софистов и тем что Сократ вытолкнувший классический период греческой мысли предложил явный объективный идеализм и позицию косвенного реализма впрочем и аналогичные воззрения Платона и Аристотеля...
10200. Вычисление арифметических выражений. Структура следования 50 KB
  Тема: Вычисление арифметических выражений Структура следования Цель работы: освоить линейную алгоритмическую структуру а также работу команд в данной структуре. Образец решения задач. Задача № 1. Найти и выдать на печать значение выражения: Анализ постановки за
10201. Психолого-педагогическое сопровождение застенчивых детей старшего дошкольного возраста в группе ДОУ 307.5 KB
  Застенчивые люди испытывают большие трудности в установлении межличностных контактов; пассивны в деятельности и жизнедеятельности в целом; чрезмерно озабочены оценкой себя другими людьми; более зависимы от других, ранимы, внушаемы, поддаются давлению со стороны окружения