10658

Интегрирование функций, заданных таблично

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет

Русский

2013-03-30

240 KB

69 чел.

Лабораторная  работа  9.

Интегрирование функций, заданных таблично.

Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

 Теоретические положения.  Пусть требуется найти значение интеграла                                   (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=1, будем иметь  простейшую    формулу трапеций:

,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Так как остаточный член формулы трапеций

,  ,                  (3)

то исходя из условия   , получаем рабочую формулу для вычисления шага       ,                            (4)

где      ,  .             (5)

Порядок выполнения работы.   

- в качестве исходных данных переписать подинтегральную функцию , а также  пределы интегрирования    и   ,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- для вычисления шага   вначале найдем величину  . Это можно сделать тремя способами:

а) аналитически, по правилам и формулам дифференцирования,

б) численным методом, как в лабораторной работе  8,

в) с помощью  MathCad - например, получить график второй производ-ной  ,  на котором визуально определить величину ,

- по формуле (4) вычислить шаг,

- найти количество точек разбиения отрезка   (это необходимо для определения количества значений   функции   ),

- если число   окажется дробным, то округлить его до большего целого,

- если  хотя бы как-то изменилось,  следует уточнить шаг  ,

- найти в Excel   значение  подинтегральной функции  , выписать числа    и  ,

- подставить    и   в формулу трапеций  (2),

- в MathCad  найти точное значение заданного интеграла  с  ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности .

 Варианты исходных данных.   

Функция  f(x)

a

b

1

0

1

2

4

9

3

1

4

4

0

1

5

-3

0

6

-3

-2

7

0

1

8

-1

1

9

3

8

10

3

4

11

0

1

12

0

13

2

3,5

14

0

1

15

1

e

16

2

4

17

1

18

0

19

0

20

1

21

1

22

2

3

23

0

24

0

1

25

26

0

1

27

0

5

28

0

29

1

2

30

-2

-1

        

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом трапеций.
  2.  Исходные данные:

           a=-1         b=1          =  10-3   

  1.  Вычислим   h  по формуле:

а затем   n  по формуле:

  1.  Величину M2 , входящую в формулу для  h можно найти 3-мя способами:

а). Аналитически

б). Как в лабораторной работе №8 (численным методом)

в). В Mathcad      где

  1.  Строим график - второй производной данной функции в Mathcad

На втором графике представлена производная   в увеличенном масштабе, вблизи конца отрезка  .

Из графика видно, что максимальное значение                

  1.  Рассчитываем шаг по формуле:

тогда  .  Так как n не целое число, округляем его до целого в большую сторону. Тогда   n=147  и, следовательно пересчитываем    

  1.  Найдем в  Excel n+1 значение подынтегральной функции f(x), выпишем   y0=-1.000,   yn=0.332 ,    .

  1.  По формуле трапеций вычисляем

 

  1.  В Mathcad находим точное значение интеграла

  1.  Найдем относительную погрешность

  1.  Вывод по работе:  Выполняется  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84167. Абсолютный идеализм Гегеля. Система и метод философии Гегеля. История как процесс саморазвития «абсолютного духа» 35.72 KB
  А что же такое Абсолютный Разум сам по себе Абсолютный Разум сам по себе это есть некая идея его самоочевидного существования идея о том что Абсолютный Разум вообще существует безотносительно того что такое есть при этом Абсолютный Разум. Но если эта идея содержит в себе самоочевидное существование Абсолютного Разума как такового то она же содержит в себе и то каков есть этот Абсолютный Разум по своей природе. Потому что если идея определяет что Абсолютный Разум есть то она же эта самая же идея определяет и то что такое есть...
84168. Антропологический принцип философии Фейербаха. Фейербах о религии как отчуждении родовой сущности человека 40.99 KB
  Фейербах о религии как отчуждении родовой сущности человека. Прежде всего духовное начало не может быть истинным бытием поскольку единственно истинным бесспорным и самоочевидным бытием является не я человека а то что ему дано в ощущениях. Кроме того органом познания является не логическое мышление а непосредственно чувства человека. Потому что не логическое мышление а именно физические чувства человека являются поставщиками бесспорных ощущений.
84169. Характеристика философии позитивизма. Основные этапы ее развития, виднейшие представители 48.8 KB
  Суть этого метода состояла в том чтобы отказаться от традиционной философии как средства познания и создать новую философию которую они называли позитивная синтетическая философия. Таким образом поскольку богословие и традиционная философия оказались практически бесполезными то от них следует отказаться а вместо них создать новую систему объединения научных знаний которая с одной стороны сохранила бы в себе всеобъемлющий характер теологии и философии но с другой стороны приобрела бы характер точной науки. Это есть её главное...
84170. Философия экзистенциализма. Понятие экзистенции. Светский (Хайдеггер, Сартр, Камю) и религиозный (Ясперс) экзистенциализм 37.5 KB
  Поскольку экзистенция есть осознание человеком своей конечности временности то основной характеристикой бытия является время. Но внутреннее переживание человеком будущего есть не что иное как страх смерти осознание человеком своей конечности. Следовательно в дорефлексионном состоянии человеческое сознание было неспособно осознавать себя и воспринимать своё индивидуальное существование и таким образом не способно было осознавать мир ибо не было индивидуальным сознанием то есть сознанием способным вмещать в себя нечто что не есть оно...
84171. Аналитическая философия ХХ столетия. Философская программа неопозитивизма и ее кризис. «Постпозитивизм» и философия науки 46.26 KB
  Постпозитивизм и философия науки. Аналитическая философия пыталась выяснить законы возникновения научного знания корни его противоречий а также причины постоянного опровержения достижений науки развитием самой же науки. Таким образом предмет философии неопозитивизма это язык который и только который является по мнению неопозитивистов виновником несовершенства и постоянной изменчивости основ науки Мур. Это позволит формировать весь язык науки только из логически обоснованных единиц так называемых атомов научных понятий.
84172. Русская философия XIX века: западничество и славянофильство 30-50 гг. Оценка исторического прошлого России и разработка славянофильской идеологии 39.27 KB
  Оценка исторического прошлого России и разработка славянофильской идеологии. Западники стремились к европеизации России к переходу русской жизни на западноевропейские образцы а славянофилы отстаивали традиционные формы национальной жизни России и боролись за ограждение их от иностранного влияния. Западники считали что Россия должна повторить исторический путь стран Западной Европы а славянофилы наоборот полагали что исторический путь России самобытен и неповторим. Проблему национальной самобытности России поставил в 2030х годах XIX...
84173. Философия русской радикальной демократии 50-60 гг. (Н.Г. Чернышевский, Д. Писарев). Народничество в России, его социально-философские позиции 35.41 KB
  Народничество в России его социальнофилософские позиции. В 5060 годах XIX века в России сложился революционный демократизм направление общественнополитической мысли которое соединяло в себе идею крестьянской революции с утопическим социализмом. Революционный демократизм в России проистекал из убеждения его сторонников что в России невозможно придти к общенациональному согласию в отношении крестьянского вопроса. Другой революционный демократ Дмитрий ПИСАРЕВ не верил в способность крестьянства самостоятельно освободить себя и построить...
84174. ИММУНОДЕФИЦИТЫ 24.57 KB
  Синдром Вискотта Олдрича наследственное рецессивное заболевание связанное с X хромосомой которое характеризуется экземой тромбоцитопенией и иммунодефицитом. Дефицит Тлимфоцитов может развиваться в ходе болезни при этом уровень IgM в сыворотке снижен. Атаксиятелеангиоэктазия наследственное заболевание передающееся аутосомно рецессивно характеризуемое мозжечковой атаксией телеангйоэктазией кожи и дефицитами Тлимфоцитов Ig и IgE.
84175. ХИМИЧЕСКИЙ ОНКОГЕНЕЗ 25.72 KB
  Канцерогенные вещества это вещества которые достоверно вызывают образование опухоли или по крайней мере вызывают увеличение частоты заболеваемости раком. Большинство канцерогенных химических веществ вызывают изменения в ДНК включающее повреждение пуриновых и пиримидиновых оснований делецию хромосом разрывы цепей и образование перекрестных связей. Небольшое количество канцерогенных химических веществ действуют эпигенетически т.