10658

Интегрирование функций, заданных таблично

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет

Русский

2013-03-30

240 KB

59 чел.

Лабораторная  работа  9.

Интегрирование функций, заданных таблично.

Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

 Теоретические положения.  Пусть требуется найти значение интеграла                                   (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=1, будем иметь  простейшую    формулу трапеций:

,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Так как остаточный член формулы трапеций

,  ,                  (3)

то исходя из условия   , получаем рабочую формулу для вычисления шага       ,                            (4)

где      ,  .             (5)

Порядок выполнения работы.   

- в качестве исходных данных переписать подинтегральную функцию , а также  пределы интегрирования    и   ,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- для вычисления шага   вначале найдем величину  . Это можно сделать тремя способами:

а) аналитически, по правилам и формулам дифференцирования,

б) численным методом, как в лабораторной работе  8,

в) с помощью  MathCad - например, получить график второй производ-ной  ,  на котором визуально определить величину ,

- по формуле (4) вычислить шаг,

- найти количество точек разбиения отрезка   (это необходимо для определения количества значений   функции   ),

- если число   окажется дробным, то округлить его до большего целого,

- если  хотя бы как-то изменилось,  следует уточнить шаг  ,

- найти в Excel   значение  подинтегральной функции  , выписать числа    и  ,

- подставить    и   в формулу трапеций  (2),

- в MathCad  найти точное значение заданного интеграла  с  ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности .

 Варианты исходных данных.   

Функция  f(x)

a

b

1

0

1

2

4

9

3

1

4

4

0

1

5

-3

0

6

-3

-2

7

0

1

8

-1

1

9

3

8

10

3

4

11

0

1

12

0

13

2

3,5

14

0

1

15

1

e

16

2

4

17

1

18

0

19

0

20

1

21

1

22

2

3

23

0

24

0

1

25

26

0

1

27

0

5

28

0

29

1

2

30

-2

-1

        

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом трапеций.
  2.  Исходные данные:

           a=-1         b=1          =  10-3   

  1.  Вычислим   h  по формуле:

а затем   n  по формуле:

  1.  Величину M2 , входящую в формулу для  h можно найти 3-мя способами:

а). Аналитически

б). Как в лабораторной работе №8 (численным методом)

в). В Mathcad      где

  1.  Строим график - второй производной данной функции в Mathcad

На втором графике представлена производная   в увеличенном масштабе, вблизи конца отрезка  .

Из графика видно, что максимальное значение                

  1.  Рассчитываем шаг по формуле:

тогда  .  Так как n не целое число, округляем его до целого в большую сторону. Тогда   n=147  и, следовательно пересчитываем    

  1.  Найдем в  Excel n+1 значение подынтегральной функции f(x), выпишем   y0=-1.000,   yn=0.332 ,    .

  1.  По формуле трапеций вычисляем

 

  1.  В Mathcad находим точное значение интеграла

  1.  Найдем относительную погрешность

  1.  Вывод по работе:  Выполняется  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3118. Алгоритм диагностики трансмиссии автомобиля Daewoo Matiz 243.29 KB
  Daewoo Matiz — микролитражный городской автомобиль класса «А». Разработан и выпускается южнокорейским подразделением General Motors (Daewoo), а также другими автозаводами по лицензии.
3119. Управление затратами транспортного цеха ОАО Омскавтотранс 1.03 MB
  На рынке автотранспортных услуг в новых рыночных условиях управление затратным механизмом перевозок, а значит и повышение их эффективности, является жизненно важной задачей любого автотранспортного предприятия. Одна из наиболее актуальных п...
3120. Множества и операции над ними 133 KB
  Множества и операции над ними Написать программу, в которой для конечных упорядоченных множеств реализовать все основные операции с помощью алгоритма типа слияния. Допустима организация множеств в виде списка или в виде массива...
3121. Написание программы реализующей параллельную работу нескольких процессов 121.5 KB
  Необходимо написать программу, реализующую параллельную работу нескольких процессов. Каждый процесс может состоять из одного или нескольких потоков. Любой из потоков, работающих в составе этих процессов, может быть приостановлен и вновь запущен неко...
3122. Реализация параллельной работы нескольких процессов программным методом 258 KB
  При написании программы выяснилось, что имеющиеся в Borland Pascal функции вывода (Write[Ln]) не подходят, т. к. в том случае, когда несколько процессов выводят информацию на экран может случиться
3123. Платежные карты: Бизнес-энциклопедия 115.64 MB
  Платежные карты: Бизнес-энциклопедия Важнейшая социально-политическая задача, которую решает сегодня банковская система России, —повышение доступности финансовых услуг для граждан страны. Банковская активность, связанная с...
3124. Расчет режима резания при точении аналитическим способом 42 KB
  Расчет режима резания при точении аналитическим способом Цель работы: изучить методику расчета режима резания аналитическим способом. Ознакомиться и приобрести навыки работы со справочной литературой. Задание: На токарно-винторезном станке 16К20 про...
3125. Расчет режима резания при фрезеровании 43 KB
  Расчет режима резания при фрезеровании Цель работы: Изучить методику назначения режима резания по таблицам нормативов. Ознакомиться и приобрести навыки работы с нормативами. Задание: На горизонтально-фрезерном станке 6Р82Г,производиться ...
3126. Адвокатура, общественные и частные правоохранительные органы 93 KB
  Адвокатура, общественные и частные правоохранительные органы ВВЕДЕНИЕ. Адвокатура - это добровольное профессиональное объединение граждан, осуществляющее в установленном законом порядке защиту на предварительном следствии, дознании, в суде по уголов...