10658

Интегрирование функций, заданных таблично

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет

Русский

2013-03-30

240 KB

62 чел.

Лабораторная  работа  9.

Интегрирование функций, заданных таблично.

Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

 Теоретические положения.  Пусть требуется найти значение интеграла                                   (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=1, будем иметь  простейшую    формулу трапеций:

,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Так как остаточный член формулы трапеций

,  ,                  (3)

то исходя из условия   , получаем рабочую формулу для вычисления шага       ,                            (4)

где      ,  .             (5)

Порядок выполнения работы.   

- в качестве исходных данных переписать подинтегральную функцию , а также  пределы интегрирования    и   ,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- для вычисления шага   вначале найдем величину  . Это можно сделать тремя способами:

а) аналитически, по правилам и формулам дифференцирования,

б) численным методом, как в лабораторной работе  8,

в) с помощью  MathCad - например, получить график второй производ-ной  ,  на котором визуально определить величину ,

- по формуле (4) вычислить шаг,

- найти количество точек разбиения отрезка   (это необходимо для определения количества значений   функции   ),

- если число   окажется дробным, то округлить его до большего целого,

- если  хотя бы как-то изменилось,  следует уточнить шаг  ,

- найти в Excel   значение  подинтегральной функции  , выписать числа    и  ,

- подставить    и   в формулу трапеций  (2),

- в MathCad  найти точное значение заданного интеграла  с  ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности .

 Варианты исходных данных.   

Функция  f(x)

a

b

1

0

1

2

4

9

3

1

4

4

0

1

5

-3

0

6

-3

-2

7

0

1

8

-1

1

9

3

8

10

3

4

11

0

1

12

0

13

2

3,5

14

0

1

15

1

e

16

2

4

17

1

18

0

19

0

20

1

21

1

22

2

3

23

0

24

0

1

25

26

0

1

27

0

5

28

0

29

1

2

30

-2

-1

        

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом трапеций.
  2.  Исходные данные:

           a=-1         b=1          =  10-3   

  1.  Вычислим   h  по формуле:

а затем   n  по формуле:

  1.  Величину M2 , входящую в формулу для  h можно найти 3-мя способами:

а). Аналитически

б). Как в лабораторной работе №8 (численным методом)

в). В Mathcad      где

  1.  Строим график - второй производной данной функции в Mathcad

На втором графике представлена производная   в увеличенном масштабе, вблизи конца отрезка  .

Из графика видно, что максимальное значение                

  1.  Рассчитываем шаг по формуле:

тогда  .  Так как n не целое число, округляем его до целого в большую сторону. Тогда   n=147  и, следовательно пересчитываем    

  1.  Найдем в  Excel n+1 значение подынтегральной функции f(x), выпишем   y0=-1.000,   yn=0.332 ,    .

  1.  По формуле трапеций вычисляем

 

  1.  В Mathcad находим точное значение интеграла

  1.  Найдем относительную погрешность

  1.  Вывод по работе:  Выполняется  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21043. УСТАНОВКА ВИРТУАЛЬНОЙ МАШИНЫ и ОС WINDOWS XP 763 KB
  Представьте как это удобно если вы хотите разрешить виртуальной машине полный доступ к вашим файлам на реальной машине. При выборе этого пункта создается лишь файл виртуальной машины без дефолтного железа после чего открывается окно настройки и на образ навешиваются и настраиваются дополнительные виртуальные комплектующие сетевые адаптеры образа дисков и прочее. Нажмите кнопку Next На третьем экране нам предлагают ввести имя нашей виртуальной машины и место где мы ее разместим на физическом диске компьютера.
21044. Работа с файлами и дисками в ОС Windows XP 161.46 KB
  В 32битной ОС Windows XP в виде командной оболочки методом эмуляции реализован режим MSDOS позволяющий выполнять все указанные выше действия по работе с файлами и дисками. Подготовка к выполнению лабораторной работы К числу основных команд и служебных утилит используемых при работе с файлами дисками и томами в ОС Windows XP посредством командной оболочки относятся: Assoc Attrib Cacls Cd Chdir Chkdsk Chkntfs Comp Compact Convert Copy Date Del Dir Diskcomp Diskcopy Erase Fc Find Findstr Format Label Md Mkdir Move...
21045. Патофизиология гемостаза 37.5 KB
  Этиология патогенез и патогенетическая терапия наследственной и приобретенной патологии сосудистотромбоцитарного гемостаза. Этиология патогенез и патогенетическая терапия вторичных нарушений коагуляционного гемостаза. Функции системы гемостаза: В норме поддержание жидкого состояния крови При патологии повышение свертываемости крови Патология гемостаза делится на 2 группы: гиперкоагуляция гипокоагуляция МЕХАНИЗМЫ ГЕМОСТАЗА а тромбоцитарнососудистый б коагуляционный Оба механизма включаются одновременно.
21046. Патофизиология почек и кислотно-щелочного равновесия 19 KB
  ПЛАН ЛЕКЦИИ : Определение и классификация почечной недостаточности. Этиология патогенез принципы диагностики и патогенетической терапии острой почечной недостаточности. Этиология патогенез принципы диагностики и патогенетической терапии хронической почечной недостаточности. Классификация почечной недостаточности по этиопатогенезу: Преренальная характеризуется нарушением притока крови по a.
21047. Патофизиология язвенной болезни, голодание 54.5 KB
  Цель лекции: Изучить этиологию патогенез и принципы терапии язвенной болезни желудка и двенадцатиперстной кишки. Язвенная болезнь это заболевание с наследственной предрасположенностью с полигенным типом наследования основным морфологическим субстратом которой является формирование одиночного либо множественных язвенных дефектов на слизистой желудка либо ДПК. Наиболее часто язвенные дефекты формируются в антральном отделе желудка и в луковице ДПК. Язвы тела и дна желудка наблюдаются редко и рассматриваются как предраковые изменения.
21048. Патофизиология экстремальных состояний 23 KB
  Рассмотреть вопросы этиологии патогенеза и патогенетической терапии шока коллапса комы и обморока. Определение виды патогенез принципы патогенетической терапии шока. Характеристика шока. Классификация шока.
21049. Общий адаптационный синдром (стресс) 17 KB
  Дать патофизиологическую оценку стадиям стресса. Определение стресса виды стресса. Патофизиологическая характеристика Дистресса. Впервые описал оси стресса и дал их патофизиологическую оценку.
21050. Предмет, методы и задачи патологической физиологии. История патологической физиологии. Общая нозология 31 KB
  Характеристика этиологии патогенеза цепи патогенеза определение понятий здоровье и болезнь. В его основе лежит цепь патогенеза. Цепь патогенеза: стержневой механизм формирования болезни. Следующие друг за другом важнейшие факторы патогенеза связанные между собой причинноследственными взаимоотношениями.
21051. Повреждающее действие на клетки фактороввнешней среды. Перекисное окисление липидов (ПОЛ) 50 KB
  Перекисное окисление липидов ПОЛ. ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Изучить механизмы ПОЛ и их роль в повреждении клеток. Общая характеристика ПОЛ. Механизмы ПОЛ.