10658

Интегрирование функций, заданных таблично

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет

Русский

2013-03-30

240 KB

62 чел.

Лабораторная  работа  9.

Интегрирование функций, заданных таблично.

Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

 Теоретические положения.  Пусть требуется найти значение интеграла                                   (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=1, будем иметь  простейшую    формулу трапеций:

,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Так как остаточный член формулы трапеций

,  ,                  (3)

то исходя из условия   , получаем рабочую формулу для вычисления шага       ,                            (4)

где      ,  .             (5)

Порядок выполнения работы.   

- в качестве исходных данных переписать подинтегральную функцию , а также  пределы интегрирования    и   ,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- для вычисления шага   вначале найдем величину  . Это можно сделать тремя способами:

а) аналитически, по правилам и формулам дифференцирования,

б) численным методом, как в лабораторной работе  8,

в) с помощью  MathCad - например, получить график второй производ-ной  ,  на котором визуально определить величину ,

- по формуле (4) вычислить шаг,

- найти количество точек разбиения отрезка   (это необходимо для определения количества значений   функции   ),

- если число   окажется дробным, то округлить его до большего целого,

- если  хотя бы как-то изменилось,  следует уточнить шаг  ,

- найти в Excel   значение  подинтегральной функции  , выписать числа    и  ,

- подставить    и   в формулу трапеций  (2),

- в MathCad  найти точное значение заданного интеграла  с  ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности .

 Варианты исходных данных.   

Функция  f(x)

a

b

1

0

1

2

4

9

3

1

4

4

0

1

5

-3

0

6

-3

-2

7

0

1

8

-1

1

9

3

8

10

3

4

11

0

1

12

0

13

2

3,5

14

0

1

15

1

e

16

2

4

17

1

18

0

19

0

20

1

21

1

22

2

3

23

0

24

0

1

25

26

0

1

27

0

5

28

0

29

1

2

30

-2

-1

        

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом трапеций.
  2.  Исходные данные:

           a=-1         b=1          =  10-3   

  1.  Вычислим   h  по формуле:

а затем   n  по формуле:

  1.  Величину M2 , входящую в формулу для  h можно найти 3-мя способами:

а). Аналитически

б). Как в лабораторной работе №8 (численным методом)

в). В Mathcad      где

  1.  Строим график - второй производной данной функции в Mathcad

На втором графике представлена производная   в увеличенном масштабе, вблизи конца отрезка  .

Из графика видно, что максимальное значение                

  1.  Рассчитываем шаг по формуле:

тогда  .  Так как n не целое число, округляем его до целого в большую сторону. Тогда   n=147  и, следовательно пересчитываем    

  1.  Найдем в  Excel n+1 значение подынтегральной функции f(x), выпишем   y0=-1.000,   yn=0.332 ,    .

  1.  По формуле трапеций вычисляем

 

  1.  В Mathcad находим точное значение интеграла

  1.  Найдем относительную погрешность

  1.  Вывод по работе:  Выполняется  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12318. Виртуалдық лекция бойынша пәнің «Саясаттану» мәліметтері Виртуалдық лекциялық сабақтардың кестесі 142 KB
  Виртуалдық лекция бойынша пәнің Саясаттану мәліметтері Виртуалдық лекциялық сабақтардың кестесі № Тақырыптар Сағат саны 1. Саясаттану–ғылым және оқу пәні 2 ...
12319. Саясаттану пәні бойынша дәріс сабақтарының контактілік мәліметтері Контактілік дәріс сабақтарының кестесі 274.5 KB
  Саясаттану пәні бойынша дәріс сабақтарының контактілік мәліметтері Контактілік дәріс сабақтарының кестесі Тақырыптар Сағат саны 1 Тақырып1.Саясаттану ғылым және оқу пәні. ...
12320. Конвенция о правах ребенка 79 KB
  Конвенция ООН о правах ребёнка — международный правовой документ, определяющий права детей на образование, пользование достижениями культуры, правом на отдых и досуг, и оказание иных услуг детям государствами-членами ООН.
12321. Состояние имиджа интернет-магазина 6cotok.ru и пути его совершенствования 654.5 KB
  Благодаря «имиджу», появилась такая профессия, которая приобретает популярность, как «имиджмейкер». Имиджмейкер – это специализированный сотрудник по связям с общественностью, который разрабатывает и создает специальные рекламные мероприятия, для повышения имиджа организации.
12322. Саясаттанудың заңдары мен категориялары, әдістері мен функциялары 284.5 KB
  САЯСАТТАНУ ҒЫЛЫМ РЕТІНДЕ Саясаттанудың объектісі мен пәні Саясаттанудың заңдары мен категориялары әдістері мен функциялары 1. Саясатты түсіну ежелден бастау алады. Оны ғылыми тұрғыда шешу кейінгі ғасырларға келеді. Саяси ғылым қазіргі кездегі мәнін Х...
12323. Никола Макиавелли 25.77 KB
  СӨЖ Тақырыбы: Никола Макиавелли Никола Макиавелли Қайта өрлеу дәуірінің көрнекті өкілі буржуазиялық саяси ілімінің негізін қалаушы Никола Макиавелли саяси қайраткер дипломат және тарихшы ретінде де кеңінен танылады. Мемлекет және құқық концепциясы тарихын
12324. Әлемдік әлеуметтанудың қалыптасуы мен даму тарихы 132.16 KB
  ІІ дәріс. Әлемдік әлеуметтанудың қалыптасуы мен даму тарихы. 1. Антикалық және Ортағасыр дәуіріндегі әлеуметтік ойлар. 2. Жаңа заман мен Ағартушылар дәуіріндегі әлеуметтік тұжырымдамалар. 3. Әлеуметтану ғылымының классика...
12325. Саясаттану пәнінен 1-аралық бақылау сұрақтары 43.18 KB
  Саясаттану пәнінен 1аралық бақылау сұрақтары Саясаттану ғылым ретінде Саясаттану ғылымының атқаратын қызметтері Саяси ойшылдардың саясатқа берген анықтамалары Саясаттанудың деңгейлері Саясаттанудың парадигмалары Ежелгі дәуірдегі саяси ойшылд
12326. Эмпирикалық әлеуметтану бойынша глоссарий 15.16 KB
  Эмпирикалық әлеуметтану бойынша глоссарий Эмпирикалық әлеуметтану нақты зерттеулер жүргізуді осылардың негізінде арнаулы әдістер қолдану сұрау бақылау тәжірибе арқылы жаңа фактілерді жинап талдауды қорытындылауды айтады Интервью көсемсөз жанры журналист