10658

Интегрирование функций, заданных таблично

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет

Русский

2013-03-30

240 KB

60 чел.

Лабораторная  работа  9.

Интегрирование функций, заданных таблично.

Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

 Теоретические положения.  Пусть требуется найти значение интеграла                                   (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=1, будем иметь  простейшую    формулу трапеций:

,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Так как остаточный член формулы трапеций

,  ,                  (3)

то исходя из условия   , получаем рабочую формулу для вычисления шага       ,                            (4)

где      ,  .             (5)

Порядок выполнения работы.   

- в качестве исходных данных переписать подинтегральную функцию , а также  пределы интегрирования    и   ,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- для вычисления шага   вначале найдем величину  . Это можно сделать тремя способами:

а) аналитически, по правилам и формулам дифференцирования,

б) численным методом, как в лабораторной работе  8,

в) с помощью  MathCad - например, получить график второй производ-ной  ,  на котором визуально определить величину ,

- по формуле (4) вычислить шаг,

- найти количество точек разбиения отрезка   (это необходимо для определения количества значений   функции   ),

- если число   окажется дробным, то округлить его до большего целого,

- если  хотя бы как-то изменилось,  следует уточнить шаг  ,

- найти в Excel   значение  подинтегральной функции  , выписать числа    и  ,

- подставить    и   в формулу трапеций  (2),

- в MathCad  найти точное значение заданного интеграла  с  ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности .

 Варианты исходных данных.   

Функция  f(x)

a

b

1

0

1

2

4

9

3

1

4

4

0

1

5

-3

0

6

-3

-2

7

0

1

8

-1

1

9

3

8

10

3

4

11

0

1

12

0

13

2

3,5

14

0

1

15

1

e

16

2

4

17

1

18

0

19

0

20

1

21

1

22

2

3

23

0

24

0

1

25

26

0

1

27

0

5

28

0

29

1

2

30

-2

-1

        

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом трапеций.
  2.  Исходные данные:

           a=-1         b=1          =  10-3   

  1.  Вычислим   h  по формуле:

а затем   n  по формуле:

  1.  Величину M2 , входящую в формулу для  h можно найти 3-мя способами:

а). Аналитически

б). Как в лабораторной работе №8 (численным методом)

в). В Mathcad      где

  1.  Строим график - второй производной данной функции в Mathcad

На втором графике представлена производная   в увеличенном масштабе, вблизи конца отрезка  .

Из графика видно, что максимальное значение                

  1.  Рассчитываем шаг по формуле:

тогда  .  Так как n не целое число, округляем его до целого в большую сторону. Тогда   n=147  и, следовательно пересчитываем    

  1.  Найдем в  Excel n+1 значение подынтегральной функции f(x), выпишем   y0=-1.000,   yn=0.332 ,    .

  1.  По формуле трапеций вычисляем

 

  1.  В Mathcad находим точное значение интеграла

  1.  Найдем относительную погрешность

  1.  Вывод по работе:  Выполняется  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1865. АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА СМЫСЛОВОЙ ОБРАБОТКИ ТЕКСТОВ ПРИ СОЗДАНИИ ЭЛЕКТРОННЫХ ФОНДОВ БИБЛИОТЕКИ 1.25 MB
  Автоматизированная система смысловой обработки текстов. Описание работы системы автоматизированного смыслового анализа текстов. Экспертные системы и система визуального эвристического анализа – сходства и отличия. Алгоритм отбора слов в естественно-тематический словарь. Система смысловой обработки текстов в современной библиотеке как перспективное направление развития ИРБИС.
1866. ПРОЕКТИРОВАНИЕ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ В УСЛОВИЯХ ЛИЧНОСТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ 1.25 MB
  ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА УЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ЛИЧНОСТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ДИДАКТИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ В ЛИЧНОСТНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ СИСТЕМЕ ОБУЧЕНИЯ. ОБОСНОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ В УСЛОВИЯХ ЛИЧНОСТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ ЕГО РАЗВИТИЯ.
1867. Курс лекций по микроконтроллерам 1.79 MB
  Основные определения. Классификация МПК. Основные архитектуры процессоров ОМК. Проектирование МПУ на основе периферийных ОМК. Основные особенности периферийных ОМК. Модуль таймера/счетчика контроллера PIC16C58. Система команд контроллера PIC16С58. Встроенные таймеры счетчики контроллера К1816ВЕ51. Принципы организации систем дискретного ввода-вывода в МПС.
1868. ХУДОЖЕСТВЕННОЕ СВОЕОБРАЗИЕ ПРОЗЫ М.ОНДААТЖЕ: ЭВОЛЮЦИЯ ТВОРЧЕСТВА 1.24 MB
  Идейно-философский и литературный контекст творчества М. Ондаатже. Постколониальный дискурс и новейшая англо-канадская художественная практика. Ранняя проза М.Ондаатже: эксперимент с границами художественного письма и литературного рода. В львиной шкуре: репрезентация маргинальных групп в альтернативной истории Торонто и значение устного повествования.
1869. ЭТНОКОНФЕССИОНАЛЬНАЯ ТОЛЕРАНТНОСТЬ КАК ФАКТОР ОБЕСПЕЧЕНИЯ МИРА И БЕЗОПАСНОСТИ НА СЕВЕРНОМ КАВКАЗЕ 1.24 MB
  Теоретические основы исследования этноконфессиональной толерантности как фактора обеспечения мира и безопасности. Роль этноконфессиональной толерантности в обеспечении мира и безопасности в современных условиях. Вопросы формирования этноконфессиональной толерантности как фактора обеспечения мира и безопасности на Северном Кавказе. Совершенствование деятельности социально-политических институтов по формированию этноконфессиональной толерантности.
1870. Виды рода Astragalus L. и их роль в растительном покрове Предкавказья 1.23 MB
  История изучения видового состава рода на территории Северного Кавказа. Ключ для определения видов рода Astragalus. Распространение, фитоценотическая приуроченность и роль видов рода Astragalus L. в растительном покрове Предкавказья. Перспективы использования видов астрагала. Фитохимическая оценка предкавказских астрагалов.
1871. ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ К ПРОСВЕТИТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ОБЛАСТИ ОСНОВ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗДОРОВЬЯ ШКОЛЬНИКОВ 1.23 MB
  Теоретические основы подготовки учителя к просветительской деятельности в области сохранения индивидуального здоровья школьников. Педагогическая система подготовки будущего учителя к просветительской деятельности в области основ индивидуального здоровья школьников (на материале деятельности учителя - биолога).
1872. ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ С КЛИЕНТАМИ НА ОСНОВЕ ПРЕЦИЗИОННОГО МАРКЕТИНГ- МЕНЕДЖМЕНТА 1.23 MB
  Маркетинг-менеджмент как основа интенсификации бизнеса. Проблемы управления маркетингом в условиях информатизации. Разработка принципов и структуры построения системы взаимосвязи предприятия с клиентами. Обеспечение сетевой поддержки системы, ориентированной на задачи управления клиентами. Оценка составляющих экономического эффекта от внедрения рекомендаций по системе взаимодействия с клиентами на основе использования современных информационных технологий.
1873. Образовательные, развивающие и воспитательные задачи внедрения ИКТ в учебный процесс на уроках ОБЖ 14.17 KB
  Школьники по-разному осваивают новый материал – с неодинаковой скоростью и различными способами. У одних лучше развито слуховое восприятие, у других – зрительное, у третьих – кинестетическое и поэтому усваивание новых знаний происходит не одинаково.