10658

Интегрирование функций, заданных таблично

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет

Русский

2013-03-30

240 KB

62 чел.

Лабораторная  работа  9.

Интегрирование функций, заданных таблично.

Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

 Теоретические положения.  Пусть требуется найти значение интеграла                                   (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=1, будем иметь  простейшую    формулу трапеций:

,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Так как остаточный член формулы трапеций

,  ,                  (3)

то исходя из условия   , получаем рабочую формулу для вычисления шага       ,                            (4)

где      ,  .             (5)

Порядок выполнения работы.   

- в качестве исходных данных переписать подинтегральную функцию , а также  пределы интегрирования    и   ,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- для вычисления шага   вначале найдем величину  . Это можно сделать тремя способами:

а) аналитически, по правилам и формулам дифференцирования,

б) численным методом, как в лабораторной работе  8,

в) с помощью  MathCad - например, получить график второй производ-ной  ,  на котором визуально определить величину ,

- по формуле (4) вычислить шаг,

- найти количество точек разбиения отрезка   (это необходимо для определения количества значений   функции   ),

- если число   окажется дробным, то округлить его до большего целого,

- если  хотя бы как-то изменилось,  следует уточнить шаг  ,

- найти в Excel   значение  подинтегральной функции  , выписать числа    и  ,

- подставить    и   в формулу трапеций  (2),

- в MathCad  найти точное значение заданного интеграла  с  ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности .

 Варианты исходных данных.   

Функция  f(x)

a

b

1

0

1

2

4

9

3

1

4

4

0

1

5

-3

0

6

-3

-2

7

0

1

8

-1

1

9

3

8

10

3

4

11

0

1

12

0

13

2

3,5

14

0

1

15

1

e

16

2

4

17

1

18

0

19

0

20

1

21

1

22

2

3

23

0

24

0

1

25

26

0

1

27

0

5

28

0

29

1

2

30

-2

-1

        

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом трапеций.
  2.  Исходные данные:

           a=-1         b=1          =  10-3   

  1.  Вычислим   h  по формуле:

а затем   n  по формуле:

  1.  Величину M2 , входящую в формулу для  h можно найти 3-мя способами:

а). Аналитически

б). Как в лабораторной работе №8 (численным методом)

в). В Mathcad      где

  1.  Строим график - второй производной данной функции в Mathcad

На втором графике представлена производная   в увеличенном масштабе, вблизи конца отрезка  .

Из графика видно, что максимальное значение                

  1.  Рассчитываем шаг по формуле:

тогда  .  Так как n не целое число, округляем его до целого в большую сторону. Тогда   n=147  и, следовательно пересчитываем    

  1.  Найдем в  Excel n+1 значение подынтегральной функции f(x), выпишем   y0=-1.000,   yn=0.332 ,    .

  1.  По формуле трапеций вычисляем

 

  1.  В Mathcad находим точное значение интеграла

  1.  Найдем относительную погрешность

  1.  Вывод по работе:  Выполняется  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39089. Отраслевой резервноинвестиционный фонд развития энергетики ГКД 34. 273.78 KB
  Пересчет характеристик газообразного топлива Приложение В. Пересчет характеристик топлива Приложение Г. Состав и характеристики разных видов органического топлива Приложение Д.
39090. Чернобыль 49.44 KB
  Могло быть такое стечение обстоятельств случайным Исследования показали: не исключенная вероятность того что вибрационнонезащищенная система реактора 4го блока ЧАЭС в период работы в внештатной ситуации за 16 сек. Причина аварии по этой версии связывается не с конструктивными недостатками а с сбоем в работе электротехнического оснащения которое привело к отключению электродвигателей которые обеспечивают подачу воды для охлаждения реактора. Взрывы в 4м реакторе ЧАЭС сдвинули со своего места металлоконструкции верха реактора...
39092. Челябинская ТЭЦ-1 2.88 MB
  Технические характеристики ежегодно корректируют с учетом проведенных модернизаций оборудования а также изменившихся условий работы. На основе технических характеристик составляются режимные карты графики или таблицы экономических режимов работы оборудования цеха устанавливается распределение нагрузок между параллельно работающими турбогенераторами и очередности пуска и остановки агрегатов.Режимные карты и другие материалы по поддержанию экономических режимов работы оборудования доводятся до всего эксплуатационного персонала цеха.Перед...
39093. Чернобыльская авария – причины и последствия 1 MB
  Ко времени аварии на ЧАЭС использовались четыре реактора РБМК1000 реактор большой мощности канального типа с электрической мощностью 1000 МВт тепловая мощность 3200 МВт каждый. После аварии на 4м энергоблоке работа электростанции была приостановлена изза опасной радиационной обстановки. Радиоактивное облако от аварии прошло над европейской частью СССР Восточной Европой Скандинавией Великобританией и восточной частью США. Подход к интерпретации фактов и обстоятельств аварии менялся с течением времени и полностью единого...
39094. Достижения и трудности на пути к устойчивому развитию России 116 KB
  Глава I Основные принципы устойчивого развития в России [1.2] Глава II Основные этапы обеспечения устойчивого развития России [1.3] Глава III Проблемы на пути к устойчивому развитию [2] Заключение [3] Список используемой литературы: Введение Переход к устойчивому развитию весьма сложный долговременный и многофакторный процесс достижения равновесного взаимодействия между обществом и окружающей природной средой гармонизации их отношений на основе соблюдения законов развития биосферы. Этот процесс затрагивает весь комплекс внутренних...
39095. Важнейшие функции системы обеспечения экономической безопасности России 96 KB
  Экономическая безопасность Структура экономической безопасности Заключение Список литературы Введение Для того чтобы понять и осознать значение категории экономическая безопасность необходимо дать характеристику термину безопасность и определит в чем его суть. Таким образом не менее важным для субъекта является правильная оценка уровня безопасности. Оценка безопасности субъектом может не совпадать с ее реальным уровнем.
39096. Территориальное планирование для устойчивого развития 82.5 KB
  Назначение территориального планирования и виды документов территориального планирования Территориальное планирование направлено на определение в документах территориального планирования назначения территорий исходя из совокупности социальных экономических экологических и иных факторов в целях обеспечения устойчивого развития территорий развития инженерной транспортной и социальной инфраструктур обеспечения учета интересов граждан и их объединений Российской Федерации субъектов Российской Федерации муниципальных образований. При...
39097. Формирование массового экологического мировоззрения 71.5 KB
  Министрами образования и охраны окружающей среды европейских стран принята европейская стратегия образования для устойчивого развития. Цель экологического образования: формирование ноосферного мышления человека способного жить в гармонии с собой и окружающим миром. Школа является одним из звеньев непрерывного экологического образования охватывающего все уровни жизни человека. И именно она должна готовить граждан которые ориентируются в основных экологических проблемах усвоивших основные экологические законы главные принципы...