10658

Интегрирование функций, заданных таблично

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет

Русский

2013-03-30

240 KB

64 чел.

Лабораторная  работа  9.

Интегрирование функций, заданных таблично.

Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

 Теоретические положения.  Пусть требуется найти значение интеграла                                   (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=1, будем иметь  простейшую    формулу трапеций:

,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Так как остаточный член формулы трапеций

,  ,                  (3)

то исходя из условия   , получаем рабочую формулу для вычисления шага       ,                            (4)

где      ,  .             (5)

Порядок выполнения работы.   

- в качестве исходных данных переписать подинтегральную функцию , а также  пределы интегрирования    и   ,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- для вычисления шага   вначале найдем величину  . Это можно сделать тремя способами:

а) аналитически, по правилам и формулам дифференцирования,

б) численным методом, как в лабораторной работе  8,

в) с помощью  MathCad - например, получить график второй производ-ной  ,  на котором визуально определить величину ,

- по формуле (4) вычислить шаг,

- найти количество точек разбиения отрезка   (это необходимо для определения количества значений   функции   ),

- если число   окажется дробным, то округлить его до большего целого,

- если  хотя бы как-то изменилось,  следует уточнить шаг  ,

- найти в Excel   значение  подинтегральной функции  , выписать числа    и  ,

- подставить    и   в формулу трапеций  (2),

- в MathCad  найти точное значение заданного интеграла  с  ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности .

 Варианты исходных данных.   

Функция  f(x)

a

b

1

0

1

2

4

9

3

1

4

4

0

1

5

-3

0

6

-3

-2

7

0

1

8

-1

1

9

3

8

10

3

4

11

0

1

12

0

13

2

3,5

14

0

1

15

1

e

16

2

4

17

1

18

0

19

0

20

1

21

1

22

2

3

23

0

24

0

1

25

26

0

1

27

0

5

28

0

29

1

2

30

-2

-1

        

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом трапеций.
  2.  Исходные данные:

           a=-1         b=1          =  10-3   

  1.  Вычислим   h  по формуле:

а затем   n  по формуле:

  1.  Величину M2 , входящую в формулу для  h можно найти 3-мя способами:

а). Аналитически

б). Как в лабораторной работе №8 (численным методом)

в). В Mathcad      где

  1.  Строим график - второй производной данной функции в Mathcad

На втором графике представлена производная   в увеличенном масштабе, вблизи конца отрезка  .

Из графика видно, что максимальное значение                

  1.  Рассчитываем шаг по формуле:

тогда  .  Так как n не целое число, округляем его до целого в большую сторону. Тогда   n=147  и, следовательно пересчитываем    

  1.  Найдем в  Excel n+1 значение подынтегральной функции f(x), выпишем   y0=-1.000,   yn=0.332 ,    .

  1.  По формуле трапеций вычисляем

 

  1.  В Mathcad находим точное значение интеграла

  1.  Найдем относительную погрешность

  1.  Вывод по работе:  Выполняется  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24969. Договор займа и кредитный договор 36 KB
  Договор займа и кредитный договор 1. Понятие Договор займа кредитный договор и договор факторинга оформляют единые экономические кредитные отношения. По договору займа одна сторона заимодавец передает в собственность другой стороне заемщику деньги или другие вещи определенные родовыми признаками а заемщик обязуется возвратить заимодавцу такую же сумму денег сумму займа или равное количество других полученных им вещей того же рода и качества абз. Эта сделка: односторонняя заемщик обязан возвратить сумму займа а займодавец имеет...
24970. Кредитный договор 50.5 KB
  Именно поэтому закон говорит о предоставлении кредита в виде денежных средств п. Вознаграждение кредитору определяется в виде процентов начисленных на сумму кредита за все время его фактического использования. Обязанности заемщика состоят в возврате полученного кредита и уплате предусмотренных договором или законом процентов за его использование. Законом определяется момент исполнения заемщиком обязанности по возврату суммы кредита п.
24971. Договор лизинга (понятие, содержание, виды) 47.5 KB
  Договор лизинга понятие содержание виды Понятие признаки содержание. Договор лизинга является двусторонним взаимным консенсуальным возмездным. Лизингодатель не имеет прямой заинтересованности в конкретном имуществе являющемся предметом лизинга. Главной обязанностью лизингодателя по договору лизинга является финансирование покупки предмета лизинга и получение прибыли на вложенные деньги.
24972. Договор финансирования под уступку денежного требования (факторинг) 41 KB
  Договор финансирования под уступку денежного требования факторинг Договор факторинга является новым для нашего правопорядка. Юридическая сущность этих отношений составляет уступка денежного требования давно известная в обязательственном праве в качестве цессии. Выделяют нераскрытый факторинг должник не знает о состоявшейся уступке прав поскольку фактор здесь не вправе взыскивать долг с должника своего клиента уступки требования здесь не происходит должник осуществляет платеж первоначальному кредитору.829 закреплено что уступка...
24973. Опытное обоснование основных положений МКТ строения вещества. Масса и размер молекул. Постоянная Авогадро 27.5 KB
  Микрохарактеристики вещества. Молекулярнокинетическая теория это раздел физики изучающий свойства различных состояний вещества основывающийся на представлениях о существовании молекул и атомов как мельчайших частиц вещества. Все вещества состоят из мельчайших частиц: молекул атомов или ионов.
24974. Идеальный газ. Основное уравнение МКТ идеального газа. Температура и ее измерение. Абсолютная температура 26.5 KB
  Основное уравнение МКТ идеального газа. Понятие идеального газа свойства. Объяснение давления газа. Для объяснения свойств вещества в газообразном состоянии используется модель идеального газа.
24975. Уравнение состояния идеального газа. (Уравнение Менделеева—Клапейрона.) Изопропессы 41.5 KB
  Процессы в газах. Эти величины называют параметрами состояния газа. Для произвольной массы газа единичное состояние газа описывается уравнением Менделеева Клапейрона: pV = mRT M где р давление V объем т масса М молярная масса R универсальная газовая постоянная.
24976. Испарение и конденсация. Насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность воздуха. Измерение влажности воздуха 23.5 KB
  Поэтому атмосферное давление представляет собой сумму давления сухого воздуха и находящегося в нем водяного пара. Давление водяного пара будет максимальным при насыщении воздуха паром. Так давление насыщенного пара не зависит от объема но зависит от температуры. Эта зависимость не может быть выражена простой формулой поэтому на основе экспериментального изучения зависимости давления насыщенного пара от температуры составлены таблицы по которым можно определить его давление при различных температурах.
24977. Кристаллические и аморфные тела. Упругие и пластические деформации твердых тел 24 KB
  Твердые тела. Кристаллические тела. Аморфные тела.