10658

Интегрирование функций, заданных таблично

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет

Русский

2013-03-30

240 KB

60 чел.

Лабораторная  работа  9.

Интегрирование функций, заданных таблично.

Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

 Теоретические положения.  Пусть требуется найти значение интеграла                                   (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=1, будем иметь  простейшую    формулу трапеций:

,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Так как остаточный член формулы трапеций

,  ,                  (3)

то исходя из условия   , получаем рабочую формулу для вычисления шага       ,                            (4)

где      ,  .             (5)

Порядок выполнения работы.   

- в качестве исходных данных переписать подинтегральную функцию , а также  пределы интегрирования    и   ,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- для вычисления шага   вначале найдем величину  . Это можно сделать тремя способами:

а) аналитически, по правилам и формулам дифференцирования,

б) численным методом, как в лабораторной работе  8,

в) с помощью  MathCad - например, получить график второй производ-ной  ,  на котором визуально определить величину ,

- по формуле (4) вычислить шаг,

- найти количество точек разбиения отрезка   (это необходимо для определения количества значений   функции   ),

- если число   окажется дробным, то округлить его до большего целого,

- если  хотя бы как-то изменилось,  следует уточнить шаг  ,

- найти в Excel   значение  подинтегральной функции  , выписать числа    и  ,

- подставить    и   в формулу трапеций  (2),

- в MathCad  найти точное значение заданного интеграла  с  ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности .

 Варианты исходных данных.   

Функция  f(x)

a

b

1

0

1

2

4

9

3

1

4

4

0

1

5

-3

0

6

-3

-2

7

0

1

8

-1

1

9

3

8

10

3

4

11

0

1

12

0

13

2

3,5

14

0

1

15

1

e

16

2

4

17

1

18

0

19

0

20

1

21

1

22

2

3

23

0

24

0

1

25

26

0

1

27

0

5

28

0

29

1

2

30

-2

-1

        

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом трапеций.
  2.  Исходные данные:

           a=-1         b=1          =  10-3   

  1.  Вычислим   h  по формуле:

а затем   n  по формуле:

  1.  Величину M2 , входящую в формулу для  h можно найти 3-мя способами:

а). Аналитически

б). Как в лабораторной работе №8 (численным методом)

в). В Mathcad      где

  1.  Строим график - второй производной данной функции в Mathcad

На втором графике представлена производная   в увеличенном масштабе, вблизи конца отрезка  .

Из графика видно, что максимальное значение                

  1.  Рассчитываем шаг по формуле:

тогда  .  Так как n не целое число, округляем его до целого в большую сторону. Тогда   n=147  и, следовательно пересчитываем    

  1.  Найдем в  Excel n+1 значение подынтегральной функции f(x), выпишем   y0=-1.000,   yn=0.332 ,    .

  1.  По формуле трапеций вычисляем

 

  1.  В Mathcad находим точное значение интеграла

  1.  Найдем относительную погрешность

  1.  Вывод по работе:  Выполняется  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52724. До майстерності – через передовий досвід 69 KB
  Авторська школа О. Як це починалось Знайомтесь Авторська школа О. Сахнівська школа славилась Літописом надзвичайних справ а саме: майстрували повітряну кулю; майстрували дво чи триступінчасті ракети які запускали зі шкільного Байконуру; створили €œрозумні двері з кодовим замком для контрольних робіт; створили обчислювальні машини Ромашка і Ромашка 2 €; створили Музей бойової слави; будівництво Палацу здоров’я; спорудження Криниці совісті; випуск шкільної газети €œДівочі гори та інші. І ще...
52725. Створення умов для самореалізації особистості кожного учня на уроках математики 75.5 KB
  Досягти освітньої мети означає озброїти учнів максимумом знань з основ алгебри та геометрії; сприяти формуванню математичних навичок; ознайомити їх з доступними методами сучасної науки математики; показати її місце в суспільнокорисній діяльності. Практичноприкладні цілі передбачають формування в учнів умінь і навичок пов’язувати теорію з практикою: розвязувати задачі виробничого і життєвого характеру математично осмислювати навколишні явища тощо. Учитель не лише має можливість а і зобов’язаний активно формувати в учнів науковий...
52726. Пізнавальний інтерес 269.5 KB
  Так справді нинішній стан навчання учнів молодшого шкільного вікузасвідчує що 80 дітей залишаються пасивними на уроці і ця пасивністьспостерігається упродовж багатьох років навчання в школі. При цьому навчально пізнавальна діяльність організовується так щоб діти шукали різницю між новими та вже отриманими знаннями приймають альтернативні рішення мають змогу зробити відкриття формулювали свої власні ідеї та думки за допомогою різноманітних засобів навчальної співпраці. При цьому ситуативний інтерес який проявляється через позитивні...
52727. Досвід роботи з упровадження інтерактивних і мультимедійних технологій на уроках української літератури як засобу формування компетентної особистості 76 KB
  Моя система роботи будується на сучасних педагогічних технологіях головна мета яких зробити процес навчання творчим особистісно зорієнтованим. Під час етапу цілеутворення та планування роботи учні спільно працюють на уроці з учителем. Продумуючи кожен свій крок надаю перевагу таким формам роботи котрі сприяли б виробленню в учнів психологічних установок на самовдосконалення націлювали б їх на високі моральні цінностівідповідальне ставлення до життя.
52728. Реалізація соціальної, мотиваційної, функціональної компетенцій на уроках української мови та літератури 60 KB
  Насамперед учні мають засвоїти поняття мови і мовлення; стилі мовлення; монологічне і діалогічне мовлення;текст його ознаки; тему та основну думку тексту; типи мовлення. Хто є адресантом а хто – адресатом мовлення У чому полягає діяльність адресанта і діяльність адресата Які умови потрібні щоб відбулося спілкування Від чого залежить успішність спілкування 2. Чи добре ви засвоїли зміст слів мова і мовлення Поширте поданий текст вибравши зі слів у дужках ті які підходять за змістом і поставивши їх у потрібному відмінку. Діти засвоюють...
52729. Формування життєвих компетентностей через проектну діяльність 346.5 KB
  Світові тенденції розвитку середньої загальної освіти характеризуються переходом від традиційної репродуктивної моделі школи до розвиваючої конструктивної моделі, орієнтованої на результат. Обновилася функція школи: не тільки навчання і виховання, але і соціалізація школяра, формування життєвої компетентності, розвиток соціально - значимих якостей особистості.