10658

Интегрирование функций, заданных таблично

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет

Русский

2013-03-30

240 KB

68 чел.

Лабораторная  работа  9.

Интегрирование функций, заданных таблично.

Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

 Теоретические положения.  Пусть требуется найти значение интеграла                                   (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=1, будем иметь  простейшую    формулу трапеций:

,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Так как остаточный член формулы трапеций

,  ,                  (3)

то исходя из условия   , получаем рабочую формулу для вычисления шага       ,                            (4)

где      ,  .             (5)

Порядок выполнения работы.   

- в качестве исходных данных переписать подинтегральную функцию , а также  пределы интегрирования    и   ,

- погрешность расчетов принять равной  ,

- для вычисления шага   вначале найдем величину  . Это можно сделать тремя способами:

а) аналитически, по правилам и формулам дифференцирования,

б) численным методом, как в лабораторной работе  8,

в) с помощью  MathCad - например, получить график второй производ-ной  ,  на котором визуально определить величину ,

- по формуле (4) вычислить шаг,

- найти количество точек разбиения отрезка   (это необходимо для определения количества значений   функции   ),

- если число   окажется дробным, то округлить его до большего целого,

- если  хотя бы как-то изменилось,  следует уточнить шаг  ,

- найти в Excel   значение  подинтегральной функции  , выписать числа    и  ,

- подставить    и   в формулу трапеций  (2),

- в MathCad  найти точное значение заданного интеграла  с  ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности .

 Варианты исходных данных.   

Функция  f(x)

a

b

1

0

1

2

4

9

3

1

4

4

0

1

5

-3

0

6

-3

-2

7

0

1

8

-1

1

9

3

8

10

3

4

11

0

1

12

0

13

2

3,5

14

0

1

15

1

e

16

2

4

17

1

18

0

19

0

20

1

21

1

22

2

3

23

0

24

0

1

25

26

0

1

27

0

5

28

0

29

1

2

30

-2

-1

        

Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом трапеций.
  2.  Исходные данные:

           a=-1         b=1          =  10-3   

  1.  Вычислим   h  по формуле:

а затем   n  по формуле:

  1.  Величину M2 , входящую в формулу для  h можно найти 3-мя способами:

а). Аналитически

б). Как в лабораторной работе №8 (численным методом)

в). В Mathcad      где

  1.  Строим график - второй производной данной функции в Mathcad

На втором графике представлена производная   в увеличенном масштабе, вблизи конца отрезка  .

Из графика видно, что максимальное значение                

  1.  Рассчитываем шаг по формуле:

тогда  .  Так как n не целое число, округляем его до целого в большую сторону. Тогда   n=147  и, следовательно пересчитываем    

  1.  Найдем в  Excel n+1 значение подынтегральной функции f(x), выпишем   y0=-1.000,   yn=0.332 ,    .

  1.  По формуле трапеций вычисляем

 

  1.  В Mathcad находим точное значение интеграла

  1.  Найдем относительную погрешность

  1.  Вывод по работе:  Выполняется  студентами  самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31060. Эпидемический паротит (свинка) 14.68 KB
  Входными воротами являются слизистые оболочки полости рта носа глотки с развитием последующей вирусемии и фиксацией вируса в слюнных и других железах. В слюнных железах вирус размножается и отсюда выделяется со слюной.
31061. Поздние осложнения диабета 17.57 KB
  Наличием диабета обусловлена высокая частота инфарктов миокарда инсультов и случаев гангрены пальцев ног или стопы. Установлено что рядом с геном кодирующим синтез инсулина расположен участок ДНК Uаллель постоянный генетический маркер предрасположенности к атеросклерозу не только у больных диабетом I и II типов но также и у лиц без диабета. Однако у больных диабетом наследственная предрасположенность к атеросклерозу реализуется чаще чем у лиц без диабета.
31062. Цитомегаловирусный сиалоаденит 14.33 KB
  При локализованной форме чаще поражаются околоушные железы где вирус фиксируется в ацинарных и протоковых клетках и может существовать в виде латентной инфекции. Макроскопически слюнные железы увеличены. В исходе локализованной формы цитомегаловирусного сиалоаденита как правило в той или иной степени развивается склероз слюнной железы.
31063. Атоиммунные поражения при ревматических болезнях, активном хроническом вирусном гепатите и струме Хашимото, синдроме Шегрена и синдроме Микулича (сухой синдром) 15.9 KB
  Особую группу заболеваний слюнных желез составляют аутоиммунные поражения при ревматических болезнях активном хроническом вирусном гепатите и струме Хашимото синдроме Шегрена и синдроме Микулича сухой синдром. Для сухого синдрома Шегрена характерно поражение всех слюнных желез что сопровождается ксеростомией сухость слизистой оболочки рта слезных желез с развитием ксерофтальмии и суставов с формированием полиартрита. Для синдрома Микулича характерно поражение больших и малых слюнных желез и слезных желез которые увеличиваются и...
31064. Кисты слюнных желез 14.87 KB
  Кисты слюнных желез. Кисты чаще развиваются в малых слюнных железах. Различают ретенционные и слизистые кисты. Микроскопически стенка кисты представлена соединительной тканью выстлана уплощенным эпителием.
31065. Реактивные опухолеподобные поражения слюнных желез 14.91 KB
  К реактивным опухолеподобным поражениям слюнных желез относят: доброкачественное лимфоэпителиальное поражение сиалоз онкоцитоз некротизирующую сиалометаплазию. Эти поражения проявляются увеличением в размерах слюнных желез чаще околоушных и имеют сходную клиническую картину с опухолями. Функциональная роль онкоцитов в слюнных железах а также в некоторых других органах щитовидная и околощитовидная железы окончательно не определена.
31066. АДЕНОМЫ 21.28 KB
  Значительное присутствие разбросанных миоэпителиальных клеток анастомозирующих между собой можно отметить только среди миксоидноro компонента опухоли не имеющего никакого отношения к строме. В этих двух разновидностях плеоморфной аденомы можно выделить три типа эпителиальных клеток. Первая группа клеток мелкими клетками с гиперхромными ядрами. Второй тип клеток светлыми клетками овальной или округлой формы они образуют мелкие и крупные комплексы или альвеолярные структуры.
31067. КАРЦИНОМЫ (раки) 28.86 KB
  Эпителиально-миоэпителиальная карцинома ЗЛОКАЧЕСТВЕННЫЕ ЭПИТЕЛИАЛЬНЫЕ ОПУХОЛИ СЛЮННЫХ ЖЕЛЕЗ КАРЦИНОМЫ ИЛИ РАКИ Мукоэпидермоидный рак. Чаще всего в ткани опухоли хорошо заметны множественные кисты. И при этом малоподвижные опухоли плотной консистенции обычно оказываются низкодифференцированными при микроскопическом исследовании. Встречаются также многоузелковые опухоли узлы обычно спаяны между собой и имеют плотную консистенцию.
31068. Кисты кожи головы, лица и шеи 29.5 KB
  Кисты лица и шеи: 1 кератиновые кисты к которым относят волосяную кисту и эпидермальную; 2 дермоидная киста; 3 врожденные кисты и свищи лица и шеи. Кератиновые кисты: а полость волосяной кисты содержит аморфную массу белосероватого цвета внутренняя выстилка представлена рядами чешуйчатоподобных клеток б полость эпидермальной кисты заполнена слоями кератина внутренняя выстилка представлена многослойным плоским эпителием. Наиболее частая локализация кератиновых кист кожа лица шеи волосистой части головы; кисты появляются в период...