10659

Численное интегрирование методом Симпсона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 10 Численное интегрирование методом Симпсона. Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теоретичес

Русский

2013-03-30

193.5 KB

104 чел.

Лабораторная  работа  10

Численное интегрирование методом Симпсона.

Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

Теоретические положения. Пусть требуется найти значение нтеграла                                                        (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=2, будем иметь  известную   формулу Симпсона (парабол):

         ,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Согласно теории этот шаг находится на основе остаточного члена формулы Симпсона –

,                                       (3)

и определяется как:

,  где                                           (4)

 - четвертая производная от подинтегральной функции , вычисление которой встречает немалые трудности, даже с учетом использо-вания  пакета MathCad. Остаточный член  -   можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью

,                                                  (5)

где   - шаг разбиения отрезка  ,

      - интеграл, вычисленный при шаге  ,

    - интеграл, вычисленный при шаге  .

Если добиться, что

    ,                                                        (6)

то требуемая точность будет достигнута и процесс уточнения интеграла следует прекратить.

Порядок выполнения работы.  

-  записать коэффициент    (или   )  по формуле Фурье,

- погрешность вычислений  установить  ,

- принять за начальное значение  n=4:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,   - Таблица 1,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

- уменьшить шаг вдвое, т.е. взять  n=8:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,   - Таблица 2,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

г) подставить эти данные в формулу (5) и проверить условие (6),

- если оно не выполняется, то вновь уменьшить шаг вдвое, т.е. взять n=16:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,  - Таблица 3,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это  будет , в то    время как интеграл, вычисленный при  n=8  будем считать  как ,

г) опять подставляем данные в формулу (5) и проверяем условие (6),

- этот процесс продолжаем до тех пор, пока неравенство (6) не выполнится,

- все итоговые расчеты удобно оформить в виде таблицы 4:

        

         Таблица 4 (пример)

4

0,152037465

--

8

0,107661871

0,002958373

16

0,106389767

0,000084807

32

0,106320676

0,000004606

64

0,106316498

0,000000278

- Таблицы  1 – 4 вставить в отчет,

- вычислить точное значение тнтеграла с помощью  MathCad, приняв ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности,

- сделать выводы по работе.

 Варианты исходных данных. В качестве исходных данных для расчетов взять коэффициенты    или   ,  из РГР  № 2 “ Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий “.

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом Симпсона.
  2.  Исходные данные:

         , .   

  1.  Остаточный член формулы Симпсона R можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью:

   где    - шаг разбиения отрезка  Sh – интеграл вычисленный при шаге h  Sh/2 – интеграл вычисленный при шаге h/2.

  1.  Если добиться, что , то требуемая точность  будет достигнута и  процесс уточнения интеграла следует прекратить.
  2.   Для выполнения  этой задачи рекомендуется следующий алгоритм вычисления интеграла с точностью .

а).   Принимаем  n=4, находим  и создаем в Excel таблицу:

I

0

1

2

3

4

X

          0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Y

0,000000000

-0,176987727

-0,499998573

0,880710438

0,009555885

б).    Вычисляем заданный интеграл по формуле Симпсона

в).     Уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. берем   n=8 ,  h=0.125

I

0

1

2

3

4

X

0

0,125

0,25

0,375

0,5

Y

0,000000000

-0,577281757

-0,176987727

-0,047628434

-0,499998573

I

5

6

7

8

X

0,625

0,75

0,875

1

Y

-0,33726056

0,880710438

1,503890935

0,009555885

г).      Подставляем Sh и Sh/2 в формулу и проверяем условие требуемой точности:

,  ,

д).     Так как условие не выполняется, то вновь уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. берем   n=16,  h=0.0625

i

0

1

2

3

4

5

x

0

0,0625

0,125

0,1875

0,25

0,3125

y

0,000000000

-0,451199054

-0,577281757

-0,429169852

-0,176987727

-0,012284658

i

6

7

8

9

10

11

x

0,375

0,4375

0,5

0,5625

0,625

0,6875

Y

-0,047628434

-0,259470767

-0,499998573

-0,572659835

-0,337260555

0,203859266

I

12

13

14

15

16

X

0,75

0,8125

0,875

0,9375

1

Y

0,880710438

1,408779516

1,503890935

1,013711459

0,009555885

       Будем продолжать этот процесс, пока не выполнится условие  (6).

е).     Составим сводную таблицу всех итоговых расчетов.

4

0,152037465

--

8

0,107661871

0,002958373

16

0,106389767

0,000084807

32

0,106320676

0,000004606

64

0,106316498

0,000000278

  , следовательно условие заданной точности  

при   n=64  выполняется.

ж).     Проверим значение интеграла, вычисленное методом Симпсона, посчитав его теперь в Mathcad.

,

убедились, что результат соответствует заданной точности.

  1.  Выводы  по  работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31518. Ринок праці: зовнішній та внутрішньофірмовий 171 KB
  Ринок праці: зовнішній та внутрішньофірмовий Зміст учбового матеріалу: І. Зовнішній ринок праці: 1. Поняття ринку праці його елементи та функції 2. Структура типи сегменти ринку праці 3.
31519. Трудові ресурси і трудовий потенціал суспільства 133.5 KB
  Трудові ресурси і трудовий потенціал суспільства Зміст учбового матеріалу: Населення як суб’єкт соціальноекономічних відносин. Населення як суб’єкт соціальноекономічних відносин. Населення – це сукупність людей яка склалася історично та проживає на певній території. В залежності від його ролі у формуванні розвитку та реалізації виробничих відносин можна поділити на три функціональні групи: перша група – населення пов’язане з виконанням господарських функцій промислові сільськогосподарські транспортні тощо.
31520. Зайнятість населення та безробіття 217.5 KB
  Зайнятість населення та безробіття Зміст учбового матеріалу: Зайнятість населення: сутність види класифікація Безробіття як складне економічне соціальне і психологічне явище Система показників оцінки ринку праці зайнятості та безробіття Регулювання зайнятості населення Програми сприяння зайнятості Зайнятість населення: сутність види класифікація Зайнятість населення являє собою діяльність частини населення щодо створення суспільного продукту національного доходу. Економічна сутність зайнятості полягає у тому що вона...
31521. Соціально-трудові відносини та соціальне партнерство 206 KB
  Соціальнотрудові відносини та соціальне партнерство Зміст учбового матеріалу: Сутність соціальнотрудових відносин та особливості формування в умовах ринкової економіки. Система соціального захисту і соціальної забезпеченості Сутність соціального партнерства 1. Сутність соціальнотрудових відносин та особливості формування в умовах ринкової економіки. Соціальнотрудові відносини – це взаємозалежність і взаємодія суб’єктів цих відносин яка виникає в процесі праці і спрямована на регулювання умов трудового життя.
31522. Організація праці 290 KB
  Організація праці Зміст учбового матеріалу: Сутність завдання напрямки об’єкти організації праці Форми організації праці Поділ та кооперація праці Організація та обслуговування робочих місць Оцінювання стану організації праці 1. Сутність завдання напрями об’єкти організації праці Організація праці – це система науково обґрунтованих заходів раціонального поєднання працівників із засобами виробництва з метою створення сприятливих умов праці для одержання високих кінцевих соціальноекономічних результатів. Це процес приведення...
31523. Особливості ринкової економіки та промисловий перворт на українськиї землях, які перебували у складі Російської імперії у першій половині ХІХ століття 112.5 KB
  Можна прорахувати певні наслідки впливу такої країни як Росія на соціально- економічний та політичний стан нашої держави, який ніколи не був дружелюбний і носив більш колоніальний характер.Також, на основі вивчення даної теми, можна дослідити причини прискореного розвитку ринкових відносин і промисловості
31524. Предупреждение рабства и принудительного труда в практике Европейского Суда по правам человека 308.5 KB
  Предмет исследования составляют нормы, содержащиеся в международно-правовых актах в сфере предупреждения и запрещения рабства и принудительного труда (международные конвенции, декларации и рекомендации), а также нормы российского законодательства в указанной области.
31525. Информационный сервис на примере интернет-магазина Аниме 1.65 MB
  Рассмотреть теоретические аспекты разработки и использования информационных систем. Разработать план внедрения автоматизирования бизнес процессов деятельности интернет магазина Разработать “бизнес-план” открытия интернет-магазина “Столица Аниме” Проработать методические аспекты
31526. Размножение организмов. Индивидуальное развитие организмов 709.5 KB
  Способность размножаться, т.е. производить новое поколение особей того же вида, - одна из основных особенностей живых организмов. В процессе размножения происходит передача генетического материала от родительского поколения следующему поколению, что обеспечивает воспроизведение признаков не только данного вида