10659

Численное интегрирование методом Симпсона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 10 Численное интегрирование методом Симпсона. Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теоретичес

Русский

2013-03-30

193.5 KB

104 чел.

Лабораторная  работа  10

Численное интегрирование методом Симпсона.

Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

Теоретические положения. Пусть требуется найти значение нтеграла                                                        (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=2, будем иметь  известную   формулу Симпсона (парабол):

         ,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Согласно теории этот шаг находится на основе остаточного члена формулы Симпсона –

,                                       (3)

и определяется как:

,  где                                           (4)

 - четвертая производная от подинтегральной функции , вычисление которой встречает немалые трудности, даже с учетом использо-вания  пакета MathCad. Остаточный член  -   можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью

,                                                  (5)

где   - шаг разбиения отрезка  ,

      - интеграл, вычисленный при шаге  ,

    - интеграл, вычисленный при шаге  .

Если добиться, что

    ,                                                        (6)

то требуемая точность будет достигнута и процесс уточнения интеграла следует прекратить.

Порядок выполнения работы.  

-  записать коэффициент    (или   )  по формуле Фурье,

- погрешность вычислений  установить  ,

- принять за начальное значение  n=4:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,   - Таблица 1,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

- уменьшить шаг вдвое, т.е. взять  n=8:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,   - Таблица 2,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

г) подставить эти данные в формулу (5) и проверить условие (6),

- если оно не выполняется, то вновь уменьшить шаг вдвое, т.е. взять n=16:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,  - Таблица 3,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это  будет , в то    время как интеграл, вычисленный при  n=8  будем считать  как ,

г) опять подставляем данные в формулу (5) и проверяем условие (6),

- этот процесс продолжаем до тех пор, пока неравенство (6) не выполнится,

- все итоговые расчеты удобно оформить в виде таблицы 4:

        

         Таблица 4 (пример)

4

0,152037465

--

8

0,107661871

0,002958373

16

0,106389767

0,000084807

32

0,106320676

0,000004606

64

0,106316498

0,000000278

- Таблицы  1 – 4 вставить в отчет,

- вычислить точное значение тнтеграла с помощью  MathCad, приняв ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности,

- сделать выводы по работе.

 Варианты исходных данных. В качестве исходных данных для расчетов взять коэффициенты    или   ,  из РГР  № 2 “ Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий “.

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом Симпсона.
  2.  Исходные данные:

         , .   

  1.  Остаточный член формулы Симпсона R можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью:

   где    - шаг разбиения отрезка  Sh – интеграл вычисленный при шаге h  Sh/2 – интеграл вычисленный при шаге h/2.

  1.  Если добиться, что , то требуемая точность  будет достигнута и  процесс уточнения интеграла следует прекратить.
  2.   Для выполнения  этой задачи рекомендуется следующий алгоритм вычисления интеграла с точностью .

а).   Принимаем  n=4, находим  и создаем в Excel таблицу:

I

0

1

2

3

4

X

          0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Y

0,000000000

-0,176987727

-0,499998573

0,880710438

0,009555885

б).    Вычисляем заданный интеграл по формуле Симпсона

в).     Уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. берем   n=8 ,  h=0.125

I

0

1

2

3

4

X

0

0,125

0,25

0,375

0,5

Y

0,000000000

-0,577281757

-0,176987727

-0,047628434

-0,499998573

I

5

6

7

8

X

0,625

0,75

0,875

1

Y

-0,33726056

0,880710438

1,503890935

0,009555885

г).      Подставляем Sh и Sh/2 в формулу и проверяем условие требуемой точности:

,  ,

д).     Так как условие не выполняется, то вновь уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. берем   n=16,  h=0.0625

i

0

1

2

3

4

5

x

0

0,0625

0,125

0,1875

0,25

0,3125

y

0,000000000

-0,451199054

-0,577281757

-0,429169852

-0,176987727

-0,012284658

i

6

7

8

9

10

11

x

0,375

0,4375

0,5

0,5625

0,625

0,6875

Y

-0,047628434

-0,259470767

-0,499998573

-0,572659835

-0,337260555

0,203859266

I

12

13

14

15

16

X

0,75

0,8125

0,875

0,9375

1

Y

0,880710438

1,408779516

1,503890935

1,013711459

0,009555885

       Будем продолжать этот процесс, пока не выполнится условие  (6).

е).     Составим сводную таблицу всех итоговых расчетов.

4

0,152037465

--

8

0,107661871

0,002958373

16

0,106389767

0,000084807

32

0,106320676

0,000004606

64

0,106316498

0,000000278

  , следовательно условие заданной точности  

при   n=64  выполняется.

ж).     Проверим значение интеграла, вычисленное методом Симпсона, посчитав его теперь в Mathcad.

,

убедились, что результат соответствует заданной точности.

  1.  Выводы  по  работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12054. Концепція управління персоналом в комерційному банку АКБ Приватбанк 1.13 MB
  ДИПЛОМНА РОБОТА спеціаліста Концепція управління персоналом в комерційному банку АКБ Приватбанк АНОТАЦІЯ Предметом дипломного проекту є вивчення стосунків працівників у процесі роботи комерційного банку з точки зору найбільш повного та ефект...
12055. ШЛЯХИ ВДОСКОНАЛЕННЯ ЕФЕКТИВНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ УПРАВЛІННЯ ПЕРСОНАЛОМ БАНКУ 436 KB
  PAGE 4 ЗМІСТ ВСТУП РОЗДІЛ I МЕНЕДЖМЕНТ ПЕРСОНАЛУ В СИСТЕМІ СТРАТЕГІЧНОГО УПРАВЛІННЯ БАНКОМ Сутність банківського персоналу Оцінка персоналу банку Заходи стратегічної маркетингової кадрової політики банку ...
12056. ВАЛЮТНЫЕ ОПЕРАЦИИ КОМЕРЧЕСКИХ БАНКОВ (ПО МАТЕРИАЛАМ ОАО «БАНК УРАЛСИБ») 553.5 KB
  ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Тема ВАЛЮТНЫЕ ОПЕРАЦИИ КОМЕРЧЕСКИХ БАНКОВ ПО МАТЕРИАЛАМ ОАО БАНК УРАЛСИБ СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕОСНОВЫ ПРОВЕДЕНИЯ ВАЛЮТНЫХ ОПЕРАЦИЙ КОММЕРЧЕСКИМИ БАНКАМИ 1.1 Понятие ва
12057. ИПОТЕКА В ГРАЖДАНСКОМ ПРАВЕ 402.5 KB
  Шелудько М. А. ИПОТЕКА В ГРАЖДАНСКОМ ПРАВЕ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Глава 1. Общая характеристика ипотеки по российскому гражданскому праву Понятие и основания возникновения ипотеки Предмет ипотеки Государственная регистрация ипотеки ...
12058. Кредитование юридических лиц и перспективы его развития в современных условиях (на примере Гродненского регионального отделения ОАО «Белвнешэкономбанк») 617 KB
  ДИПЛОМНАЯ РАБОТА на тему: Кредитование юридических лиц и перспективы его развития в современных условиях на примере Гродненского регионального отделения ОАО Белвнешэкономбанк ВВЕДЕНИЕ 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОРГАНИЗАЦИИ КРЕДИТНЫХ ОТНОШЕНИЙ БАНКА С
12059. Валютная система и валютная политика России 245 KB
  ВВЕДЕНИЕ Валютная система – это совокупность двух понятий – валютного механизма и валютных отношений. Под валютным механизмом понимаются правовые нормы и институты представляющие их на национальном и международном уровнях. Валютные отношения – это повседневные свя
12060. Разработка экономического обоснования целесообразности открытия автосервиса ООО «Нижегородец» 396.5 KB
  Реферат Выпускная квалификационная работа бакалавра 51 с. 2 разд. 6 рис. 11 табл. 14 источников. БИЗНЕСПЛАН АВТОСЕРСВИС НИЖЕГОРОДЕЦ ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ СПРОСА АВТОМОЙКА ШИНОМОНТАЖ ИНСТРУМЕНТЫ Объектом работы является деятельность ООО Нижегородец. Целью выпускн...
12061. ДЕЙСТВУЮЩАЯ ПРАКТИКА ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕТА ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ 978.5 KB
  СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕТА ОПЛАТЫ ТРУДА 1.1. Сущность понятие оплаты труда и ее формы 1.2. Исследование нормативной базы по оплате труда 1.3. Особенности деятельности предприятия и его учетная политика . ГЛАВА 2. ДЕЙСТВУЮ...
12062. Проблеми та перспективи розвитку валютних операцій в АКБ «Фінанси та кредит» та у банках України 411 KB
  Вступ Актуальність обраної теми полягає в тому що валютні операції банків займають важливе місце серед статей прибутку сучасного банку але питання здійснення зазначених операцій є досить складним і потребує детального вивчення. Сьогодні банк може запропонувати кл