10659

Численное интегрирование методом Симпсона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 10 Численное интегрирование методом Симпсона. Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теоретичес

Русский

2013-03-30

193.5 KB

110 чел.

Лабораторная  работа  10

Численное интегрирование методом Симпсона.

Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

Теоретические положения. Пусть требуется найти значение нтеграла                                                        (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=2, будем иметь  известную   формулу Симпсона (парабол):

         ,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Согласно теории этот шаг находится на основе остаточного члена формулы Симпсона –

,                                       (3)

и определяется как:

,  где                                           (4)

 - четвертая производная от подинтегральной функции , вычисление которой встречает немалые трудности, даже с учетом использо-вания  пакета MathCad. Остаточный член  -   можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью

,                                                  (5)

где   - шаг разбиения отрезка  ,

      - интеграл, вычисленный при шаге  ,

    - интеграл, вычисленный при шаге  .

Если добиться, что

    ,                                                        (6)

то требуемая точность будет достигнута и процесс уточнения интеграла следует прекратить.

Порядок выполнения работы.  

-  записать коэффициент    (или   )  по формуле Фурье,

- погрешность вычислений  установить  ,

- принять за начальное значение  n=4:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,   - Таблица 1,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

- уменьшить шаг вдвое, т.е. взять  n=8:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,   - Таблица 2,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

г) подставить эти данные в формулу (5) и проверить условие (6),

- если оно не выполняется, то вновь уменьшить шаг вдвое, т.е. взять n=16:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,  - Таблица 3,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это  будет , в то    время как интеграл, вычисленный при  n=8  будем считать  как ,

г) опять подставляем данные в формулу (5) и проверяем условие (6),

- этот процесс продолжаем до тех пор, пока неравенство (6) не выполнится,

- все итоговые расчеты удобно оформить в виде таблицы 4:

        

         Таблица 4 (пример)

4

0,152037465

--

8

0,107661871

0,002958373

16

0,106389767

0,000084807

32

0,106320676

0,000004606

64

0,106316498

0,000000278

- Таблицы  1 – 4 вставить в отчет,

- вычислить точное значение тнтеграла с помощью  MathCad, приняв ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности,

- сделать выводы по работе.

 Варианты исходных данных. В качестве исходных данных для расчетов взять коэффициенты    или   ,  из РГР  № 2 “ Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий “.

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом Симпсона.
  2.  Исходные данные:

         , .   

  1.  Остаточный член формулы Симпсона R можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью:

   где    - шаг разбиения отрезка  Sh – интеграл вычисленный при шаге h  Sh/2 – интеграл вычисленный при шаге h/2.

  1.  Если добиться, что , то требуемая точность  будет достигнута и  процесс уточнения интеграла следует прекратить.
  2.   Для выполнения  этой задачи рекомендуется следующий алгоритм вычисления интеграла с точностью .

а).   Принимаем  n=4, находим  и создаем в Excel таблицу:

I

0

1

2

3

4

X

          0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Y

0,000000000

-0,176987727

-0,499998573

0,880710438

0,009555885

б).    Вычисляем заданный интеграл по формуле Симпсона

в).     Уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. берем   n=8 ,  h=0.125

I

0

1

2

3

4

X

0

0,125

0,25

0,375

0,5

Y

0,000000000

-0,577281757

-0,176987727

-0,047628434

-0,499998573

I

5

6

7

8

X

0,625

0,75

0,875

1

Y

-0,33726056

0,880710438

1,503890935

0,009555885

г).      Подставляем Sh и Sh/2 в формулу и проверяем условие требуемой точности:

,  ,

д).     Так как условие не выполняется, то вновь уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. берем   n=16,  h=0.0625

i

0

1

2

3

4

5

x

0

0,0625

0,125

0,1875

0,25

0,3125

y

0,000000000

-0,451199054

-0,577281757

-0,429169852

-0,176987727

-0,012284658

i

6

7

8

9

10

11

x

0,375

0,4375

0,5

0,5625

0,625

0,6875

Y

-0,047628434

-0,259470767

-0,499998573

-0,572659835

-0,337260555

0,203859266

I

12

13

14

15

16

X

0,75

0,8125

0,875

0,9375

1

Y

0,880710438

1,408779516

1,503890935

1,013711459

0,009555885

       Будем продолжать этот процесс, пока не выполнится условие  (6).

е).     Составим сводную таблицу всех итоговых расчетов.

4

0,152037465

--

8

0,107661871

0,002958373

16

0,106389767

0,000084807

32

0,106320676

0,000004606

64

0,106316498

0,000000278

  , следовательно условие заданной точности  

при   n=64  выполняется.

ж).     Проверим значение интеграла, вычисленное методом Симпсона, посчитав его теперь в Mathcad.

,

убедились, что результат соответствует заданной точности.

  1.  Выводы  по  работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19564. Грамматические категории 33 KB
  В словаре лингвистических терминов Ахмановой грам. категория определяется как одно из наиболее общих свойств лингвистических единиц или некоторого их класса, получившее в языке грамматическое выражение. Как видим, это очень абстрактное определение.
19565. Особенности правового положения безработных граждан в РФ 78.32 KB
  Уровень развития общества во многом определяется эффективностью правового регулирования общественных отношений. Право на труд относится к основным правам человека, а состояние законодательства и реального положения дел в области реализации данного права не только является показателем цивилизованности общества
19567. Общество, как объект философского анализа 162.5 KB
  Государство - основной институт политической системы общества, осуществляющий управление обществом, охрану его экономической и социальной структуры-Классы (обществ) - исторически сложившиеся большие группы людей, различающиеся по их месту в определенной системе общественного производства...
19568. Художнє конструювання виробу 123 KB
  Тема уроку: Художнє конструювання виробу. Пошук необхідної інформації для проектної роботи. Мета уроку. Засвоєння знань про етапи проектування ескіз технічний опис макет креслення шаблони; формування вмінь застосовувати метод фантазування виконувати ескізне кон
19569. Системы организации оплаты труда в организации на примере ип Кузнецовой С.Ю. 492 KB
  Заработная плата является очень важным вопросом для каждого предприятия, так как от её размера, принципов её организации, премирования работников и прочих составляющих зависит эффективность управления трудом. Что в свою очередь влияет на результаты деятельности предприятия
19570. Типові і спеціальні деталі. Види зєднань деталей 57.5 KB
  Тема 2.1.2. Типові і спеціальні деталі. Види з'єднань деталей Мета: дати поняття про типові й спеціальні деталі; ознайомити з призначенням та загальною будовою коловорота ручного дриля затискачів столярних верстаків; розвивати інтерес до техніки розширювати технічний к
19572. Работа систем СДЦ по структурной схеме ДРЛ 7-СМ 3.9 MB
  Вторичные радиолокаторы (ВРЛ) по принципу построения разделяются на автономные и встроенные. По характеру взаимодействия с бортовыми ответчиками ВРЛ разделяются на радиолокаторы с общим и дискретно- адресным запросом. Современные ВРЛ работают в совмещенном с первичными РЛС режиме.