10659

Численное интегрирование методом Симпсона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 10 Численное интегрирование методом Симпсона. Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теоретичес

Русский

2013-03-30

193.5 KB

108 чел.

Лабораторная  работа  10

Численное интегрирование методом Симпсона.

Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

Теоретические положения. Пусть требуется найти значение нтеграла                                                        (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=2, будем иметь  известную   формулу Симпсона (парабол):

         ,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Согласно теории этот шаг находится на основе остаточного члена формулы Симпсона –

,                                       (3)

и определяется как:

,  где                                           (4)

 - четвертая производная от подинтегральной функции , вычисление которой встречает немалые трудности, даже с учетом использо-вания  пакета MathCad. Остаточный член  -   можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью

,                                                  (5)

где   - шаг разбиения отрезка  ,

      - интеграл, вычисленный при шаге  ,

    - интеграл, вычисленный при шаге  .

Если добиться, что

    ,                                                        (6)

то требуемая точность будет достигнута и процесс уточнения интеграла следует прекратить.

Порядок выполнения работы.  

-  записать коэффициент    (или   )  по формуле Фурье,

- погрешность вычислений  установить  ,

- принять за начальное значение  n=4:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,   - Таблица 1,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

- уменьшить шаг вдвое, т.е. взять  n=8:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,   - Таблица 2,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

г) подставить эти данные в формулу (5) и проверить условие (6),

- если оно не выполняется, то вновь уменьшить шаг вдвое, т.е. взять n=16:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,  - Таблица 3,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это  будет , в то    время как интеграл, вычисленный при  n=8  будем считать  как ,

г) опять подставляем данные в формулу (5) и проверяем условие (6),

- этот процесс продолжаем до тех пор, пока неравенство (6) не выполнится,

- все итоговые расчеты удобно оформить в виде таблицы 4:

        

         Таблица 4 (пример)

4

0,152037465

--

8

0,107661871

0,002958373

16

0,106389767

0,000084807

32

0,106320676

0,000004606

64

0,106316498

0,000000278

- Таблицы  1 – 4 вставить в отчет,

- вычислить точное значение тнтеграла с помощью  MathCad, приняв ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности,

- сделать выводы по работе.

 Варианты исходных данных. В качестве исходных данных для расчетов взять коэффициенты    или   ,  из РГР  № 2 “ Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий “.

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом Симпсона.
  2.  Исходные данные:

         , .   

  1.  Остаточный член формулы Симпсона R можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью:

   где    - шаг разбиения отрезка  Sh – интеграл вычисленный при шаге h  Sh/2 – интеграл вычисленный при шаге h/2.

  1.  Если добиться, что , то требуемая точность  будет достигнута и  процесс уточнения интеграла следует прекратить.
  2.   Для выполнения  этой задачи рекомендуется следующий алгоритм вычисления интеграла с точностью .

а).   Принимаем  n=4, находим  и создаем в Excel таблицу:

I

0

1

2

3

4

X

          0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Y

0,000000000

-0,176987727

-0,499998573

0,880710438

0,009555885

б).    Вычисляем заданный интеграл по формуле Симпсона

в).     Уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. берем   n=8 ,  h=0.125

I

0

1

2

3

4

X

0

0,125

0,25

0,375

0,5

Y

0,000000000

-0,577281757

-0,176987727

-0,047628434

-0,499998573

I

5

6

7

8

X

0,625

0,75

0,875

1

Y

-0,33726056

0,880710438

1,503890935

0,009555885

г).      Подставляем Sh и Sh/2 в формулу и проверяем условие требуемой точности:

,  ,

д).     Так как условие не выполняется, то вновь уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. берем   n=16,  h=0.0625

i

0

1

2

3

4

5

x

0

0,0625

0,125

0,1875

0,25

0,3125

y

0,000000000

-0,451199054

-0,577281757

-0,429169852

-0,176987727

-0,012284658

i

6

7

8

9

10

11

x

0,375

0,4375

0,5

0,5625

0,625

0,6875

Y

-0,047628434

-0,259470767

-0,499998573

-0,572659835

-0,337260555

0,203859266

I

12

13

14

15

16

X

0,75

0,8125

0,875

0,9375

1

Y

0,880710438

1,408779516

1,503890935

1,013711459

0,009555885

       Будем продолжать этот процесс, пока не выполнится условие  (6).

е).     Составим сводную таблицу всех итоговых расчетов.

4

0,152037465

--

8

0,107661871

0,002958373

16

0,106389767

0,000084807

32

0,106320676

0,000004606

64

0,106316498

0,000000278

  , следовательно условие заданной точности  

при   n=64  выполняется.

ж).     Проверим значение интеграла, вычисленное методом Симпсона, посчитав его теперь в Mathcad.

,

убедились, что результат соответствует заданной точности.

  1.  Выводы  по  работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15759. Особенности работы школы по формированию гражданской идентичности младших школьников 199.5 KB
  На основе анализа психолого-педагогической литературы определить теоретическое значение понятия “гражданская идентичность”. Проанализировать психологические особенности младших школьников в контексте развития гражданских качеств личности. Рассмотреть формирование гражданских и патриотических качеств младших школьников как основы гражданской идентичности на уроках.
15760. Объект, предмет, метод и организация статистики промышленности 43 KB
  Тема 1. Объект предмет метод и организация статистики промышленности. Промышленность является основой экономики. Она создает материальнотехническую базу научнотехнического прогресса и средства производства для других отраслей производит большую часть продуктов...
15761. Статистика продукции промышленности 70 KB
  Тема 2. Статистика продукции промышленности Экономический потенциал страны определяется масштабом развития ее промышленности. Цель деятельности любого промышленного предприятия – производство продукции. 2.1. Под продукцией промышленности понимают прямой полезный р...
15762. СТАТИСТИКА ЧИСЛЕННОСТИ РАБОТНИКОВ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАБОЧЕГО ВРЕМЕНИ 73.5 KB
  ТЕМА 3. СТАТИСТИКА ЧИСЛЕННОСТИ РАБОТНИКОВ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАБОЧЕГО ВРЕМЕНИ Персонал предприятия фирмы – это совокупность физических лиц отношения которых с предприятием регулируются договором найма. Согласно общероссийскому классификатору профессии рабочих должн
15763. СТАТИСТИКА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТРУДА 76.5 KB
  Тема 4. СТАТИСТИКА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТРУДА. Под производительностью труда понимают результативность живого конкретного труда его способность производить в единицу времени определенное количество продукта. На практике уровепроизводительности труда ха
15764. Статистика заработной платы 95.5 KB
  ТЕМА 5. Статистика заработной платы Статистика использует различные категории для характеристики оплаты труда наемных работников. Наиболее обобщенной является стоимость труда или затраты на рабочую силу. Согласно классификации расходов на рабочую силу используем
15765. Статистика национального богатства и основных фондов 110 KB
  ТЕМА 6. Статистика национального богатства и основных фондов Национальное богатство – совокупность накопленных материальных и нематериальных активов созданных трудом всех предшествующих поколений национальное имущество принадлежащих стране и ее резидентам на э...
15766. СТАТИСТИКА ОБОРОТНЫХ СРЕДСТВ 43.5 KB
  ТЕМА 7. СТАТИСТИКА ОБОРОТНЫХ СРЕДСТВ К оборотным средствам относятся производственные запасы сырье материалы топливо запчасти инструменты хозтовары и другие незавершенное производство готовая продукция товары для перепродажи а также денежные средства д
15767. СТАТИСТИКА СЕБЕСТОИМОСТИ ПРОДУКЦИИ И ФИНАНСОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 111 KB
  Тема 8. СТАТИСТИКА СЕБЕСТОИМОСТИ ПРОДУКЦИИ И ФИНАНСОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Разные стороны хозяйственной деятельности предприятий фирм компаний отражаются в себестоимости продукции. Себестоимость продукции работ услуг представляет собой стоимостную оценку используе...