10659

Численное интегрирование методом Симпсона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 10 Численное интегрирование методом Симпсона. Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теоретичес

Русский

2013-03-30

193.5 KB

103 чел.

Лабораторная  работа  10

Численное интегрирование методом Симпсона.

Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции, или от функции, заданной в виде таблицы опытных данных;  выполнить оценку полученного результата.

Теоретические положения. Пусть требуется найти значение нтеграла                                                        (1)

для некоторой заданной на отрезке  функции  .

Поскольку в общем случае значения функций находятся лишь приближенно, использование точной формулы Ньютона-Лейбница приводит к приближен-ному результату, который может быть более эффективно получен с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений      подинтегральной функции  .

Если в интеграл (1) вместо  подставить интерполяционный много-член Лагранжа    той или иной степени, то получим так называемые формулы Ньютона-Котеса. Полагая степень полинома  n=2, будем иметь  известную   формулу Симпсона (парабол):

         ,            (2)

где шаг ,  - количество точек разбиения отрезка ,  .

Чтобы обеспечить заданную точность вычисления интеграла  -, необходимо правильно выбрать шаг  . Согласно теории этот шаг находится на основе остаточного члена формулы Симпсона –

,                                       (3)

и определяется как:

,  где                                           (4)

 - четвертая производная от подинтегральной функции , вычисление которой встречает немалые трудности, даже с учетом использо-вания  пакета MathCad. Остаточный член  -   можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью

,                                                  (5)

где   - шаг разбиения отрезка  ,

      - интеграл, вычисленный при шаге  ,

    - интеграл, вычисленный при шаге  .

Если добиться, что

    ,                                                        (6)

то требуемая точность будет достигнута и процесс уточнения интеграла следует прекратить.

Порядок выполнения работы.  

-  записать коэффициент    (или   )  по формуле Фурье,

- погрешность вычислений  установить  ,

- принять за начальное значение  n=4:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,   - Таблица 1,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

- уменьшить шаг вдвое, т.е. взять  n=8:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,   - Таблица 2,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это будет ,

г) подставить эти данные в формулу (5) и проверить условие (6),

- если оно не выполняется, то вновь уменьшить шаг вдвое, т.е. взять n=16:

а) вычислить  ,

б) сделать  в Excel  таблицу  ,  - Таблица 3,

в) вычислить по формуле (2) заданный интеграл - это  будет , в то    время как интеграл, вычисленный при  n=8  будем считать  как ,

г) опять подставляем данные в формулу (5) и проверяем условие (6),

- этот процесс продолжаем до тех пор, пока неравенство (6) не выполнится,

- все итоговые расчеты удобно оформить в виде таблицы 4:

        

         Таблица 4 (пример)

4

0,152037465

--

8

0,107661871

0,002958373

16

0,106389767

0,000084807

32

0,106320676

0,000004606

64

0,106316498

0,000000278

- Таблицы  1 – 4 вставить в отчет,

- вычислить точное значение тнтеграла с помощью  MathCad, приняв ,

- вычислить абсолютную и относительную погрешности,

- сделать выводы по работе.

 Варианты исходных данных. В качестве исходных данных для расчетов взять коэффициенты    или   ,  из РГР  № 2 “ Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий “.

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: вычислить интеграл от заданной функции методом Симпсона.
  2.  Исходные данные:

         , .   

  1.  Остаточный член формулы Симпсона R можно представить в виде, который позволяет упростить вычисление интеграла с заданной точностью:

   где    - шаг разбиения отрезка  Sh – интеграл вычисленный при шаге h  Sh/2 – интеграл вычисленный при шаге h/2.

  1.  Если добиться, что , то требуемая точность  будет достигнута и  процесс уточнения интеграла следует прекратить.
  2.   Для выполнения  этой задачи рекомендуется следующий алгоритм вычисления интеграла с точностью .

а).   Принимаем  n=4, находим  и создаем в Excel таблицу:

I

0

1

2

3

4

X

          0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Y

0,000000000

-0,176987727

-0,499998573

0,880710438

0,009555885

б).    Вычисляем заданный интеграл по формуле Симпсона

в).     Уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. берем   n=8 ,  h=0.125

I

0

1

2

3

4

X

0

0,125

0,25

0,375

0,5

Y

0,000000000

-0,577281757

-0,176987727

-0,047628434

-0,499998573

I

5

6

7

8

X

0,625

0,75

0,875

1

Y

-0,33726056

0,880710438

1,503890935

0,009555885

г).      Подставляем Sh и Sh/2 в формулу и проверяем условие требуемой точности:

,  ,

д).     Так как условие не выполняется, то вновь уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. берем   n=16,  h=0.0625

i

0

1

2

3

4

5

x

0

0,0625

0,125

0,1875

0,25

0,3125

y

0,000000000

-0,451199054

-0,577281757

-0,429169852

-0,176987727

-0,012284658

i

6

7

8

9

10

11

x

0,375

0,4375

0,5

0,5625

0,625

0,6875

Y

-0,047628434

-0,259470767

-0,499998573

-0,572659835

-0,337260555

0,203859266

I

12

13

14

15

16

X

0,75

0,8125

0,875

0,9375

1

Y

0,880710438

1,408779516

1,503890935

1,013711459

0,009555885

       Будем продолжать этот процесс, пока не выполнится условие  (6).

е).     Составим сводную таблицу всех итоговых расчетов.

4

0,152037465

--

8

0,107661871

0,002958373

16

0,106389767

0,000084807

32

0,106320676

0,000004606

64

0,106316498

0,000000278

  , следовательно условие заданной точности  

при   n=64  выполняется.

ж).     Проверим значение интеграла, вычисленное методом Симпсона, посчитав его теперь в Mathcad.

,

убедились, что результат соответствует заданной точности.

  1.  Выводы  по  работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85118. Додавання кількох доданків. Задачі на знаходження довжини сторони трикутника 77.3 KB
  Закріплювати вміння учнів застосовувати сполучний і переставний закони додавання для зручних обчислень та виконувати додавання і віднімання багатоцифрових чисел письмово; вправляти у розв\\\'язуванні задач. б Скільки всього десятків сотень тисяч у числі 109256 в Скласти і розв\\\'язати задачу за поданим скороченим записом. Розв\\\'язання: 1 11650 7650 = 4000л надоїла третя доярка; 2 7650 3750 = 3900 л надоїла друга доярка. Розв\\\'язати задачу.
85119. Знаходження значень виразів на сумісні дії першого ступеня та виразів з дужками 37.15 KB
  Закріплювати вміння учнів виконувати дії додавання і віднімання над багатоцифровими числами; навчати узагальнених прийомів розв\\\'язування задач. а Розв\\\'язати і зробити перевірку. 1 Розв\\\'яжи задачу. Розв\\\'язання.
85120. Додавання і віднімання іменованих чисел, виражених в одиницях довжини та маси 37.67 KB
  Ознайомити учнів із прикладами письмового додавання і віднімання іменованих чисел виражених в одиницях вимірювання довжини та маси; закріплювати вміння учнів розв...
85121. Круглі числа. Периметр прямокутної ділянки. Знаходження суми і різниці багатоцифрових чисел 156 KB
  В ході колективного аналізу задачі на дошці ведеться запис: с км пройшов турист до зустрічі; с 3 км проїхав велосипедист до зустрічі; с с 3 км відстань між містом і селом. Першого дня автомобіль проїхав а км другого Ь кілометрів третього на 385 км менше ніж за перші два дні разом. Скільки кілометрів проїхав автомобіль третього дня Складіть вираз і розвяжіть задачу якщо а = 472; b = 368. а км проїхав автомобіль першого дня; b км проїхав другого дня; а b км проїхав за два дні разом; а b 385 проїхав...
85122. Застосування способу округлення при додаванні і відніманні 38.13 KB
  Ознайомити учнів з прийомом округлення при додаванні і відніманні; закріплювати навички письмового додавання і віднімання багатоцифрових чисел вміння розвязувати задачі. а Записати кожне з чисел 79 і 346 у вигляді суми й різниці круглого числа та одноцифрового. Суму чисел 3600 і 1200 зменшити на 325. Число 100800 збільшити на різницю чисел 19374 і 8752.
85123. Тематичне опитування. Контроль навчальних досягнень учнів з теми Додавання і віднімання багатоцифрових чисел 33.89 KB
  На лісовій ділянці посадили 125 лип берізок на 75 більше ніж лип а дубів на 320 більше ніж беріз. Учні першої школи зібрали 12 кг 400 г шипшини другої на 5 кг 200 г менше ніж першої а третьої на 10 кг 700 г менше ніж учні першої і другої шкіл разом. У перших класах 180 учнів у других на 20 учнів більше ніж у перших а в третіх на 60 учнів менше ніж у других. Перша бригада відремонтувала 5 км 500 м дороги друга на 1 км 100 м більше ніж перша а третя на 4 км 900 м менше ніж перша і друга бригади разом.
85124. Аналіз тематичного опитування. Поняття про швидкість. Задачі на знаходження швидкості руху 86.98 KB
  Поняття про швидкість. Провести аналіз тематичного опитування; зясувати типові помилки; організувати роботу над помилками; ознайомити учнів з поняттям швидкість руху простими і складеними задачами на знаходження швидкості. Таблиця Швидкість. Щоб знайти швидкість треба відстань поділити на час.
85125. Задачі на знаходження відстані за даними швидкістю і часом. Знаходження значень виразів на додавання і віднімання 80.59 KB
  Ознайомити учнів зі способом визначення відстані за відомими швидкістю і часом; формувати вміння розвязувати задачі на основі творчих видів роботи; розвивати обчислювальні навички.
85126. Задачі на знаходження часу за швидкістю і відстанню. Дії над іменованими числами 104.28 KB
  Ознайомити учнів зі способом визначення часу за відомими швидкістю і відстанню; повторити виконання дій над іменованими числами.