10661

Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 11. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выр...

Русский

2013-03-30

322 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  11.

Интегрирование дифференциальных уравнений

первого порядка методом Эйлера.

Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выражением.

 Теоретические положения.  Пусть задано уравнение

,                         (1)

с начальными условиями  . Значения функции в узлах  заменим сеточной функцией  .  Для простоты примем постоянный шаг  ,  - отрезок для поиска решения,  - количество точек деления отрезка.

Заменим производную конечно-разностным отношением

.                       (2)

Отсюда получаем алгоритм Эйлера:

.                    (3)

Зная значение функции в начальной точке  , можно последовательно найти значения функции во всех точках сетки. Результатом решения ДУ по форму-ле (3) является ломаная линия, проходящая через точки .

Порядок выполнения работы.  

- переписать исходные данные к работе:

    - дифференциальное уравнение,

    - начальные условия,

    - отрезок для поиска  решения,

     - точное решение.

- количество точек ломаной Эйлера  ,

- точность расчетов принять  равной  ,

- вычислить  в MathCad точки ломаной  Эйлера   по формуле (3), считая

   ,

- все данные расчетов занести в таблицу:

   -  номер шага,

    - дискретный аргумент,

     - решение ДУ методом Эйлера,  

     - точное решение.

- по данным таблицы построить графики   и  ,

- в точке   вычислить абсолютную и относительную погрешности

,    .

Варианты исходных данных.  Задано дифференциальное уравнение первого порядка   и  начальные условия  . Для проверки на интервале    его решения методом Эйлера - ,  приводится формула решения, полученного аналитическим  путем -   (из задачника).

Дифференциальное уравнение

Формула точного решения

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера.

  1.  Исходные данные:

           - дифференциальное уравнение,

           - интервал для поиска решения,      

    - начальные условия,      

   - точное решение,

- точность расчетов,

 - количество точек графиков.

  1.   Алгоритм Эйлера:

                   ,

  1.  Обозначим:

- решение полученное методом Эйлера,

- точное решение, данное в условии задачи,

- дискретный аргумент.

  1.  Все расчеты выполним в  Mathcad  по программе:

  1.  Составим таблицу  

i

0

1,047197551

0,523598776

0,523598776

1

1,256637061

0,314159265

0,314159266

2

1,466076571

0,104719755

0,104719756

3

1,675516081

-0,104719754

-0,104719754

4

1,884955591

-0,314159264

-0,314159264

5

2,094395101

-0,523598774

-0,523598774

6

2,303834611

-0,733038284

-0,733038284

7

2,513274121

-0,942477794

-0,942477794

8

2,722713631

-1,151917304

-1,151917304

9

2,932153141

-1,361356814

-1,361356814

10

3,141592651

-1,570796324

-1,570796327

  1.  По данным таблицы строим графики:

8.Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


x

3

:=

y

p

6

:=

y1

y

tan

y

(

)

-

tan

x

(

)

*

(

)

2

×

p

×

30

+

:=

y2

asin

cos

x

(

)

(

)

:=

x1

x

2

p

×

30

+

:=

y1

0.039918945

=

y2

0.523598776

=

x1

1.256637061

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30794. Виды и назначение отделочных покрытий 14.22 KB
  Их назначение придать зданию или сооружению законченный вид отвечающий заданным утилитарным и эстетическим требованиям. Назначение отделочных работ защита строительных конструкций от вредных воздействий окружающей среды увеличение срока их службы и придание поверхностям красивого внешнего вида.
30795. Классификация штукатурок 12.86 KB
  По сложности выполнения: простая улучшеннаявысококачественная.
30796. Материалы и компоненты штукатурных растворов. Свойства 15.56 KB
  Остальные пески для получения качественного штукатурного раствора необходимо предварительно промывать. Например для обычного раствора среднезернистый песок для отделочных слоев мелкозернистый для декоративной штукатурки крупнозернистые пески. Добавки это такие вещества которые повышают качество раствора усиливают вяжущие свойства и дают штукатурке определенные свойства. При длительном хранении такого раствора вода выступает на его поверхности.
30797. Штукатурный намёт и его состав для различных видов штукатурки 14.39 KB
  Состав обычной штукатурки: Однослойная для подсобных помещений Многослойная в 3 слоя :стена обрызг грунт накрывка Обрызг для сцепления штукатурного намёта с поверхностью не разравнивается. Простая штукатурка 2 слоя обрызгнаркывка 12 мм Улучшенная 3 слоя обрызггрунтнакрывка1520мм Высококачественная 4 слоя обрызггрунтгрунтнакрывка2025 мм Удобоукладываемость: обрызг ОК 1012 грунт ОК 910.
30798. Подготовка к оштукатуриванию. Провешивание. Инструмент 14.9 KB
  Провешивание: Первый маякгвоздь вбивают слева сверху стены оставляя шляпку на толщину штукатурки Отвес. 3 и 4 маяки с другой стороны стены аналогично. Натягиваем нить не должна касаться стены. Если касается стены вынимаем маяки и провешиваем заново.
30799. Технологическая последовательность устройства монолитной штукатурки механизированным способом и вручную 14.28 KB
  Нанесение растворов при механизированном оштукатуривании выполняют форсунками с пневматическим или механическим раздроблением раствора. При пневматическом распылении раствора к форсунке дополнительно подводится по шлангу и сжатый воздух от компрессора. Это делают для лучшего сцепления раствора с поверхностью. Во время нанесения раствора форсунку держат правой рукой у места присоединения к шлангу одновременно поддерживая ее снизу левой рукой.
30800. Применение бетона и железобетона в строительстве. Состав комплексного процесса бетонирования строительных конструкций 15.66 KB
  Состав комплексного процесса бетонирования строительных конструкций. Железобетон и бетон материалы без которых не обходится строительство ни одного объекта. Бетон искусственный каменный строительный материал получаемый в результате формования и затвердевания рационально подобранной и уплотненной смеси состоящей из вяжущего вещества крупных и мелких заполнителей воды.
30801. Приготовление бетонной смеси. Требования к составляющим 17.72 KB
  Приготовление бетонной смеси. Бетонная смесь состоит из вяжущего заполнителя и воды подобранных в требуемом количестве и тщательно перемешанных в бетоносмесителе. В результате формования уплотнения и последующего твердения бетонной смеси получается искусственный каменный материал называемый бетоном. Крупность заполнителей в смесях применяемых для бетонирования армированных конструкций должна быть не больше 150 мм так как щебень более крупных размеров при укладке смеси может повредить арматуру.
30802. Основные способы транспортирования бетонной смеси. Требования 14.25 KB
  Основные способы транспортирования бетонной смеси. Содержание операций по транспортированию бетонной смеси и подаче ее к месту укладки зависит от дальности перевозок положения в пространстве бетонируемого участка свойств бетонной смеси наличия тех или иных транспортных средств климатических и других местных условий. В общем виде этот технологический процесс заключается в приеме бетонной смеси из бункера бетоносмесительной установки доставке перемещении ее различными транспортными средствами к площадке последующей подаче смеси к месту...