10661

Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 11. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выр...

Русский

2013-03-30

322 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  11.

Интегрирование дифференциальных уравнений

первого порядка методом Эйлера.

Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выражением.

 Теоретические положения.  Пусть задано уравнение

,                         (1)

с начальными условиями  . Значения функции в узлах  заменим сеточной функцией  .  Для простоты примем постоянный шаг  ,  - отрезок для поиска решения,  - количество точек деления отрезка.

Заменим производную конечно-разностным отношением

.                       (2)

Отсюда получаем алгоритм Эйлера:

.                    (3)

Зная значение функции в начальной точке  , можно последовательно найти значения функции во всех точках сетки. Результатом решения ДУ по форму-ле (3) является ломаная линия, проходящая через точки .

Порядок выполнения работы.  

- переписать исходные данные к работе:

    - дифференциальное уравнение,

    - начальные условия,

    - отрезок для поиска  решения,

     - точное решение.

- количество точек ломаной Эйлера  ,

- точность расчетов принять  равной  ,

- вычислить  в MathCad точки ломаной  Эйлера   по формуле (3), считая

   ,

- все данные расчетов занести в таблицу:

   -  номер шага,

    - дискретный аргумент,

     - решение ДУ методом Эйлера,  

     - точное решение.

- по данным таблицы построить графики   и  ,

- в точке   вычислить абсолютную и относительную погрешности

,    .

Варианты исходных данных.  Задано дифференциальное уравнение первого порядка   и  начальные условия  . Для проверки на интервале    его решения методом Эйлера - ,  приводится формула решения, полученного аналитическим  путем -   (из задачника).

Дифференциальное уравнение

Формула точного решения

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера.

  1.  Исходные данные:

           - дифференциальное уравнение,

           - интервал для поиска решения,      

    - начальные условия,      

   - точное решение,

- точность расчетов,

 - количество точек графиков.

  1.   Алгоритм Эйлера:

                   ,

  1.  Обозначим:

- решение полученное методом Эйлера,

- точное решение, данное в условии задачи,

- дискретный аргумент.

  1.  Все расчеты выполним в  Mathcad  по программе:

  1.  Составим таблицу  

i

0

1,047197551

0,523598776

0,523598776

1

1,256637061

0,314159265

0,314159266

2

1,466076571

0,104719755

0,104719756

3

1,675516081

-0,104719754

-0,104719754

4

1,884955591

-0,314159264

-0,314159264

5

2,094395101

-0,523598774

-0,523598774

6

2,303834611

-0,733038284

-0,733038284

7

2,513274121

-0,942477794

-0,942477794

8

2,722713631

-1,151917304

-1,151917304

9

2,932153141

-1,361356814

-1,361356814

10

3,141592651

-1,570796324

-1,570796327

  1.  По данным таблицы строим графики:

8.Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


x

3

:=

y

p

6

:=

y1

y

tan

y

(

)

-

tan

x

(

)

*

(

)

2

×

p

×

30

+

:=

y2

asin

cos

x

(

)

(

)

:=

x1

x

2

p

×

30

+

:=

y1

0.039918945

=

y2

0.523598776

=

x1

1.256637061

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16858. Нервная система человека: Свидетельство Разумного Замысла [Часть II] 237.5 KB
  Нервная система человека: Свидетельство Разумного Замысла [Часть II] Брэд Хараб Соматическая нервная система Соматическая нервная система иннервирует возбуждает скелетные мышцы и регулирует деятельность которая находится под сознательным контролем. Такие...
16859. Система кровообращения – не продукт эволюции 232.5 KB
  Система кровообращения – не продукт эволюции Брэд Хараб ВВЕДЕНИЕ Система кровообращения выполняет много различных функций в организме. Мало того что она отвечает за перенос кислорода ко всем клеткам тела но она также поставляет питательные вещества которые и
16860. В отличие от знания, образованности, информированности мудрость есть способность принимать и усваивать опыт жизни предыдущих поколений, без чего невозможно развитие науки и культуры, а значит, и цивилизации 38 KB
  Наука и жизнь 200601 В отличие от знания образованности информированности мудрость есть способность принимать и усваивать опыт жизни предыдущих поколений без чего невозможно развитие науки и культуры а значит и цивилизации. Виктор Садовничий Мн...
16861. КОНЦЕПЦИЯ «ПОТОПА» КАК НОВАЯ ПАРАДИГМА ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ НАУКИ 434.28 KB
  Голубчиков Ю. Н. КОНЦЕПЦИЯ ПОТОПА КАК НОВАЯ ПАРАДИГМА ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ НАУКИ Юрий Николаевич Голубчиков кандидат географических наук ведущий научный сотрудник географического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Преп
16862. Дизайн в живых организмах: моторы 117 KB
  Дизайн в живых организмах: моторы Джонатан Сарфати Из нашего ежедневного опыта мы обычно можем сказать было ли чтото спроектировано или нет. Основным доказательством является высокое информационное содержание.Информационное содержание любой последовательности –
16863. Чудеса воды 67 KB
  PAGE 1 Чудеса воды Джонатан Сарфати Вода Мы пьем ее готовим с ней пищу моемся и плаваем в ней и в основной принимаем ее как данное. Эта прозрачная и безвкусная жидкость является настолько неотъемлемой частью нашей жизни что мы редко задумываемся над е...
16864. Дыхание Жизни — не продукт эволюции 201.5 KB
  Дыхание Жизни не продукт эволюции Брэд Хараб Многие из нас слышали когданибудь такое выражение €œкак рыба вынутая из воды€. Эта известная идиома отображает несомненный факт того что рыбы не могут дышать или перемещаться на суше. Тем не менее учёные которые подд...
16865. Человеческое тело – шедевр, созданный Богом 81 KB
  PAGE 1 Человеческое тело – шедевр созданный Богом Иосиф Патури Доктор Иосиф Патури является Ректором Христианского Колледжа Темпл в Цинциннати Огайо США. Человеческий мозг является наиболее сложным и организованным устройством материи во вс
16866. КАК СООТНОСЯТСЯ ПОСТУЛАТЫ ВЕРЫ ЭВОЛЮЦИОНИЗМА И СОТВОРЕНИЯ МЕЖДУ СОБОЙ И С ЕСТЕСТВОЗНАНИЕМ 196.49 KB
  КАК СООТНОСЯТСЯ ПОСТУЛАТЫ ВЕРЫ ЭВОЛЮЦИОНИЗМА И СОТВОРЕНИЯ МЕЖДУ СОБОЙ И С ЕСТЕСТВОЗНАНИЕМ В.С.Ольховский доктор физикоматематических наук Институт ядерных исслед. НАНУ Научноисслед.центр Відгук Мин.здравоохр.Украиныolkhovsk@kinr.kiev.ua Выступление на открытой дискусс...