10661

Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 11. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выр...

Русский

2013-03-30

322 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  11.

Интегрирование дифференциальных уравнений

первого порядка методом Эйлера.

Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выражением.

 Теоретические положения.  Пусть задано уравнение

,                         (1)

с начальными условиями  . Значения функции в узлах  заменим сеточной функцией  .  Для простоты примем постоянный шаг  ,  - отрезок для поиска решения,  - количество точек деления отрезка.

Заменим производную конечно-разностным отношением

.                       (2)

Отсюда получаем алгоритм Эйлера:

.                    (3)

Зная значение функции в начальной точке  , можно последовательно найти значения функции во всех точках сетки. Результатом решения ДУ по форму-ле (3) является ломаная линия, проходящая через точки .

Порядок выполнения работы.  

- переписать исходные данные к работе:

    - дифференциальное уравнение,

    - начальные условия,

    - отрезок для поиска  решения,

     - точное решение.

- количество точек ломаной Эйлера  ,

- точность расчетов принять  равной  ,

- вычислить  в MathCad точки ломаной  Эйлера   по формуле (3), считая

   ,

- все данные расчетов занести в таблицу:

   -  номер шага,

    - дискретный аргумент,

     - решение ДУ методом Эйлера,  

     - точное решение.

- по данным таблицы построить графики   и  ,

- в точке   вычислить абсолютную и относительную погрешности

,    .

Варианты исходных данных.  Задано дифференциальное уравнение первого порядка   и  начальные условия  . Для проверки на интервале    его решения методом Эйлера - ,  приводится формула решения, полученного аналитическим  путем -   (из задачника).

Дифференциальное уравнение

Формула точного решения

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера.

  1.  Исходные данные:

           - дифференциальное уравнение,

           - интервал для поиска решения,      

    - начальные условия,      

   - точное решение,

- точность расчетов,

 - количество точек графиков.

  1.   Алгоритм Эйлера:

                   ,

  1.  Обозначим:

- решение полученное методом Эйлера,

- точное решение, данное в условии задачи,

- дискретный аргумент.

  1.  Все расчеты выполним в  Mathcad  по программе:

  1.  Составим таблицу  

i

0

1,047197551

0,523598776

0,523598776

1

1,256637061

0,314159265

0,314159266

2

1,466076571

0,104719755

0,104719756

3

1,675516081

-0,104719754

-0,104719754

4

1,884955591

-0,314159264

-0,314159264

5

2,094395101

-0,523598774

-0,523598774

6

2,303834611

-0,733038284

-0,733038284

7

2,513274121

-0,942477794

-0,942477794

8

2,722713631

-1,151917304

-1,151917304

9

2,932153141

-1,361356814

-1,361356814

10

3,141592651

-1,570796324

-1,570796327

  1.  По данным таблицы строим графики:

8.Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


x

3

:=

y

p

6

:=

y1

y

tan

y

(

)

-

tan

x

(

)

*

(

)

2

×

p

×

30

+

:=

y2

asin

cos

x

(

)

(

)

:=

x1

x

2

p

×

30

+

:=

y1

0.039918945

=

y2

0.523598776

=

x1

1.256637061

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7018. Джерела енергії та вибір енергоносія 332 KB
  Джерела енергії та вибір енергоносія Мета цієї лекції допомогти оцінити різні джерела енергії разом з їх перевагами та недоліками. Лекція складається з трьох частин. У першій - розглянуті технічні і економічні аспекти різних типів джер...
7019. Засоби реалізації потенціалу енергозбереження 554 KB
  Засоби реалізації потенціалу енергозбереження Існує багато шляхів реалізації ПЕ. Нижче перерахуємо найбільш вживані і відомі: впровадження нових, досконаліших, способів виробництва, наприклад, сухий спосіб виробництва цементу, не...
7020. Организация управленческого труда 315 KB
  Организация управленческого труда В этой теме изучающие менеджмент и стремящийся приобрести профессию профессионального управляющего-менеджера найдут ответы на следующие вопросы: природа (характер) управленческого труда понятие производ...
7021. Стадии производства по делам об административных правонарушениях 147.5 KB
  Стадии производства по делам об административных правонарушениях Учебные вопросы: Общая характеристика стадий производства по делам об административных правонарушениях. Виды стадий производства по делам об административных правонар...
7022. Система управления 142.5 KB
  Система управления Понятие и содержание системы управления. Элементы системы управления. Процесс управления. Технология управления. Все сферы управления между собой объективно взаимосвязаны, поскольку управление представляет собой системное образ...
7023. Управление конфликтами и стрессами 838.5 KB
  Управление конфликтами и стрессами В этой теме осваивающие менеджмент и стремящиеся стать профессиональными специалистами в области управления производством найдут нужные им ответы на следующие вопросы: понятие конфликта организационный конфлик...
7024. Организационная культура в управлении и ее развитие 146 KB
  Организационная культура в управлении и ее развитие Понятие и элементы организационной культуры. Функции и типы организационной культуры. Виды организационной и управленческой культуры. I. Повышением эффективности управления, наряду с другими важным...
7025. Меры обеспечения производства по делам об административных правонарушениях 113.5 KB
  Меры обеспечения производства по делам об административных правонарушениях Учебные вопросы: Понятие мер обеспечения производства по делам об административных правонарушениях. Виды мер обеспечения производства по делам об а...
7026. Управленческое решение 726 KB
  Управленческое решение Эта тема позволит изучающим менеджмент пополнить свои знания по следующим вопросам: понятие управленческого решения решения в многоярусной экономике содержательные аспекты решения свойства управленческого решения логическа...