10661

Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 11. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выр...

Русский

2013-03-30

322 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  11.

Интегрирование дифференциальных уравнений

первого порядка методом Эйлера.

Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выражением.

 Теоретические положения.  Пусть задано уравнение

,                         (1)

с начальными условиями  . Значения функции в узлах  заменим сеточной функцией  .  Для простоты примем постоянный шаг  ,  - отрезок для поиска решения,  - количество точек деления отрезка.

Заменим производную конечно-разностным отношением

.                       (2)

Отсюда получаем алгоритм Эйлера:

.                    (3)

Зная значение функции в начальной точке  , можно последовательно найти значения функции во всех точках сетки. Результатом решения ДУ по форму-ле (3) является ломаная линия, проходящая через точки .

Порядок выполнения работы.  

- переписать исходные данные к работе:

    - дифференциальное уравнение,

    - начальные условия,

    - отрезок для поиска  решения,

     - точное решение.

- количество точек ломаной Эйлера  ,

- точность расчетов принять  равной  ,

- вычислить  в MathCad точки ломаной  Эйлера   по формуле (3), считая

   ,

- все данные расчетов занести в таблицу:

   -  номер шага,

    - дискретный аргумент,

     - решение ДУ методом Эйлера,  

     - точное решение.

- по данным таблицы построить графики   и  ,

- в точке   вычислить абсолютную и относительную погрешности

,    .

Варианты исходных данных.  Задано дифференциальное уравнение первого порядка   и  начальные условия  . Для проверки на интервале    его решения методом Эйлера - ,  приводится формула решения, полученного аналитическим  путем -   (из задачника).

Дифференциальное уравнение

Формула точного решения

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера.

  1.  Исходные данные:

           - дифференциальное уравнение,

           - интервал для поиска решения,      

    - начальные условия,      

   - точное решение,

- точность расчетов,

 - количество точек графиков.

  1.   Алгоритм Эйлера:

                   ,

  1.  Обозначим:

- решение полученное методом Эйлера,

- точное решение, данное в условии задачи,

- дискретный аргумент.

  1.  Все расчеты выполним в  Mathcad  по программе:

  1.  Составим таблицу  

i

0

1,047197551

0,523598776

0,523598776

1

1,256637061

0,314159265

0,314159266

2

1,466076571

0,104719755

0,104719756

3

1,675516081

-0,104719754

-0,104719754

4

1,884955591

-0,314159264

-0,314159264

5

2,094395101

-0,523598774

-0,523598774

6

2,303834611

-0,733038284

-0,733038284

7

2,513274121

-0,942477794

-0,942477794

8

2,722713631

-1,151917304

-1,151917304

9

2,932153141

-1,361356814

-1,361356814

10

3,141592651

-1,570796324

-1,570796327

  1.  По данным таблицы строим графики:

8.Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


x

3

:=

y

p

6

:=

y1

y

tan

y

(

)

-

tan

x

(

)

*

(

)

2

×

p

×

30

+

:=

y2

asin

cos

x

(

)

(

)

:=

x1

x

2

p

×

30

+

:=

y1

0.039918945

=

y2

0.523598776

=

x1

1.256637061

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78259. Смешанное и искусственное вскармливание 197.5 KB
  Эти затруднения могут происходить как со стороны матери так и со стороны ребенка. Существуют абсолютные и относительные противопоказания к кормлению ребенка грудью. Установлено что ВИЧинфицированная женщина с вероятностью 15 заражает ребенка через грудное молоко поэтому в Российской Федерации ребенка рожденного от ВИЧинфицированной матери рекомендуется кормить адаптированными молочными смесями. Не должны кормить ребенка матери страдающие алкогольной и наркотической зависимостью.
78260. Дистрофии у детей 123 KB
  Строится с учетом происхождения типа степени тяжести и этиологии заболевания: По времени возникновения: врожденные дистрофии пренатальные приобретенные дистрофии постнатальные смешанного происхождения. В зависимости от соотношения массы и длины тела то есть по типу: гипотрофия 123 степени паратрофия. Выделяют 3 степени тяжести гипотрофии: 1 степень легкая 2 степень среднетяжелая 3 степень тяжелая. Клиническим выражением степени нарушений при дистрофии является состояние аппетита.
78261. Энзимопатии у детей 122.5 KB
  Это наследственная болезнь обмена тирозина характеризующаяся развитием дистрофии цирроза печени рахитоподобным изменением костей и поражением почечных канальцев. Острый тирозиноз развивается в первые дни жизни ребенка и проявляется рвотой поносом задержкой физического развития увеличением размеров печени и селезенки дыхательной недостаточностью. Кожные покровы постепенно приобретают желтушный оттенок развивается цирроз печени. Особенно тяжело повреждаются клетки центральной нервной системы печени почек развивается помутнение...
78262. Гемолитическая болезнь плода и новорожденного 128 KB
  Гемолитическая болезнь плода и новорожденного это изоиммунная гемолитическая анемия возникающая в случае несовместимости крови матери и плода по эритроцитарным антигенам когда антигеном являются эритроциты плода а антитела вырабатываются в организме матери. Чаще всего это заболевание развивается при несовместимости крови матери и плода по резусантигену и встречается с частотой 1 случай на 200250 родов. Несовместимость по антигенам АВ0 приводящая к гемолитической болезни обычно развивается при группе крови матери I и группе крови...
78263. Перинатальное поражение центральной нервной системы 132 KB
  Среди причин перинатальных поражений мозга ведущее место занимает внутриутробная и интранатальная гипоксия плода. После отхождения околоплодных вод плод испытывает неравномерное давление которое приводит к расстройствам микроциркуляции в предлежащей части и к механическому повреждению тканей мозга плода в родах. Непосредственной причиной возникновения родовой травмы головного мозга является несоответствие размеров костного таза матери и головы плода. Родовая травма головного мозга и гипоксия патогенетически связаны друг с другом и обычно они...
78264. Рахит у детей 138 KB
  Главное значение в этиологии заболевания имеет недостаточное поступление в организм ребенка витаминов группы D а также группы B B1 B2 B6 аскорбиновой кислоты витамина солей кальция фосфора магния и других микроэлементов белка и отдельных аминокислот в периоды внутриутробного и постнатального развития. Эндогенным фоном предрасполагающим к рахиту является свойственная растущему организму высокая скорость перемоделирования и роста скелета особенно в 1ый год жизни и обусловленная этими процессами большая потребность в солях...
78265. Аномалии конституции. Спазмофилия. Гипервитаминоз D у детей 137 KB
  Наличие у ребенка определенного типа диатеза еще не означает что он обречен на ту или иную патологию к которой он предрасположен потому что именно у детей по мере созревания физиологических барьеров а также профилактических мероприятий давление наследственных факторов может ослабнуть. Аллергическое поражение кожи у детей первых 3х месяцев жизни раньше рассматривали как экссудативнокатаральный диатез. Этот диатез встречается у 50 детей первых 2х лет жизни. ткани этих детей повышенно гидрофильны и одновременно гидролабильны.
78266. Гнойно-воспалительные заболевания у детей 164 KB
  В этих случаях с момента рождения у ребенка могут выявляться такие заболевания как везикулопустулез пузырчатка внутриутробная пневмония менингит сепсис и др. Однако основным путем является инфицирование ребенка после рождения. При необильном высыпании общее состояние ребенка не нарушено аппетит сохранен температура тела нормальная и реже субфебрильная а при обильном высыпании появляются симптомы интоксикации. Пузырчатка новорожденного Она развивается чаще в первые 2 недели жизни ребенка.
78267. Острые пневмонии у детей 135 KB
  Некоторые из них в том числе острые пневмонии являются одной из причин смертности детей в раннем возрасте хотя от пневмоний дети не должны умирать. Дети в этом возрасте длительное время находятся в горизонтальном положении что приводит к застою кровообращения в задненижних отделах легких и к более легкому возникновению пневмонии. Возникновению пневмонии способствуют также другие факторы а именно: несоблюдение эпидемиологического режима то есть инфицирование ребенка; неполноценное питание и плохой уход; охлаждение или перегревание...