10661

Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 11. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выр...

Русский

2013-03-30

322 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  11.

Интегрирование дифференциальных уравнений

первого порядка методом Эйлера.

Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выражением.

 Теоретические положения.  Пусть задано уравнение

,                         (1)

с начальными условиями  . Значения функции в узлах  заменим сеточной функцией  .  Для простоты примем постоянный шаг  ,  - отрезок для поиска решения,  - количество точек деления отрезка.

Заменим производную конечно-разностным отношением

.                       (2)

Отсюда получаем алгоритм Эйлера:

.                    (3)

Зная значение функции в начальной точке  , можно последовательно найти значения функции во всех точках сетки. Результатом решения ДУ по форму-ле (3) является ломаная линия, проходящая через точки .

Порядок выполнения работы.  

- переписать исходные данные к работе:

    - дифференциальное уравнение,

    - начальные условия,

    - отрезок для поиска  решения,

     - точное решение.

- количество точек ломаной Эйлера  ,

- точность расчетов принять  равной  ,

- вычислить  в MathCad точки ломаной  Эйлера   по формуле (3), считая

   ,

- все данные расчетов занести в таблицу:

   -  номер шага,

    - дискретный аргумент,

     - решение ДУ методом Эйлера,  

     - точное решение.

- по данным таблицы построить графики   и  ,

- в точке   вычислить абсолютную и относительную погрешности

,    .

Варианты исходных данных.  Задано дифференциальное уравнение первого порядка   и  начальные условия  . Для проверки на интервале    его решения методом Эйлера - ,  приводится формула решения, полученного аналитическим  путем -   (из задачника).

Дифференциальное уравнение

Формула точного решения

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера.

  1.  Исходные данные:

           - дифференциальное уравнение,

           - интервал для поиска решения,      

    - начальные условия,      

   - точное решение,

- точность расчетов,

 - количество точек графиков.

  1.   Алгоритм Эйлера:

                   ,

  1.  Обозначим:

- решение полученное методом Эйлера,

- точное решение, данное в условии задачи,

- дискретный аргумент.

  1.  Все расчеты выполним в  Mathcad  по программе:

  1.  Составим таблицу  

i

0

1,047197551

0,523598776

0,523598776

1

1,256637061

0,314159265

0,314159266

2

1,466076571

0,104719755

0,104719756

3

1,675516081

-0,104719754

-0,104719754

4

1,884955591

-0,314159264

-0,314159264

5

2,094395101

-0,523598774

-0,523598774

6

2,303834611

-0,733038284

-0,733038284

7

2,513274121

-0,942477794

-0,942477794

8

2,722713631

-1,151917304

-1,151917304

9

2,932153141

-1,361356814

-1,361356814

10

3,141592651

-1,570796324

-1,570796327

  1.  По данным таблицы строим графики:

8.Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


x

3

:=

y

p

6

:=

y1

y

tan

y

(

)

-

tan

x

(

)

*

(

)

2

×

p

×

30

+

:=

y2

asin

cos

x

(

)

(

)

:=

x1

x

2

p

×

30

+

:=

y1

0.039918945

=

y2

0.523598776

=

x1

1.256637061

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3333. Теория организации. Краткий курс лекций 596 KB
  В учебном пособие представлены основные темы курса, предусмотренные государственным стандартом по специальности 080507 «Менеджмент организации». Представлено краткое содержание основных вопросов изучаемого курса. Учебное пособие дает системное предс...
3334. Дефектація корпусних деталей 106.5 KB
  Дефектація корпусних деталей Обладнання, інструмент. Корпус коробки переключення передач (КПП) трактора Т-170 18-2-156 СБ, стенд для кріплення корпуса, індикаторні нутроміри НИ 100-160, НИ 18-50, мікрометри МК 175-2, МК 150-2, МК 125-2, МК 25-2, шт...
3335. Відновлення деталей вібродуговим наплавленням 1.11 MB
  Відновлення деталей вібродуговим наплавленням Обладнання, інструмент. Наплавочна установка в комплекті: токарний верстат, наплавочна головка ОКС 6569, джерело живлення ВДУ-506, балон з вуглекислим газом, підігрівник, осушувач, редуктор, пульт керува...
3336. Дефектація валів, шестерень, підшипників 521 KB
  Дефектація валів, шестерень, підшипників Обладнання, інструмент. Перший проміжний вал коробки переключення передач трактора Т-170 18-12-132, мікрометри МК 75-2, МЗ 75-2, ролики діаметром 6 мм, ролики зі скосом кромок, різьбові кільця М 52 X 2...
3337. Відновлення деталей газополуменевим напиленням порошків 73.5 KB
  Суть процесу. Порошковий присаджувальний матеріал подається транспортувальним газом у зону полум'я, де обплавляеться і струменем горючих газів вино¬ситься на поверхню деталі. Порошкові суміші можуть подаватися і безпосередньо в полум'я пальника.
3338. Відновлення деталей наплавленням під шаром флюсу 1.02 MB
  Відновлення деталей наплавленням під шаром флюсу Обладнання, інструмент. Установка для наплавлення в комплекті: наплавочна головка А-580М, зварювальний перетворювач ПСО-500, верстат для установки головки, верстат для кріплення котка, щит розподільн...
3339. Оброблення деталей методом пластичного деформування 313.5 KB
  Оброблення деталей методом пластичного деформування. Обладнання, Інструмент. Токарно-гвинторізний верстат, набір накаток: кулькова жорстка, роликова жорстка і пружна, роликова для відновлення пружин, при стрій для кріплення пружин, твердомір Т...
3340. Відновлення деталей електролітичним хромуванням 81 KB
  Відновлення деталей електролітичним хромуванням Обладнання, інструмент. Хромувальна установка, джерело живлення, підвісні пристрої для деталей при хромуванні, ключі ріжкові 10 X 12; 12 X 14; 17 X 19, 22 X 24, мікрометр. МК 25-2, ...
3341. Анализ товарооборота и факторов, влияющих на его изменение 479 KB
  Введение В настоящие время главной целью торговых предприятий должно быть получение максимальной прибыли, при этом товарооборот выступает как важнейшее и необходимое условие, без которого не может быть достигнута эта цель. Поскольку торговое предпри...