10661

Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 11. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выр...

Русский

2013-03-30

322 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  11.

Интегрирование дифференциальных уравнений

первого порядка методом Эйлера.

Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выражением.

 Теоретические положения.  Пусть задано уравнение

,                         (1)

с начальными условиями  . Значения функции в узлах  заменим сеточной функцией  .  Для простоты примем постоянный шаг  ,  - отрезок для поиска решения,  - количество точек деления отрезка.

Заменим производную конечно-разностным отношением

.                       (2)

Отсюда получаем алгоритм Эйлера:

.                    (3)

Зная значение функции в начальной точке  , можно последовательно найти значения функции во всех точках сетки. Результатом решения ДУ по форму-ле (3) является ломаная линия, проходящая через точки .

Порядок выполнения работы.  

- переписать исходные данные к работе:

    - дифференциальное уравнение,

    - начальные условия,

    - отрезок для поиска  решения,

     - точное решение.

- количество точек ломаной Эйлера  ,

- точность расчетов принять  равной  ,

- вычислить  в MathCad точки ломаной  Эйлера   по формуле (3), считая

   ,

- все данные расчетов занести в таблицу:

   -  номер шага,

    - дискретный аргумент,

     - решение ДУ методом Эйлера,  

     - точное решение.

- по данным таблицы построить графики   и  ,

- в точке   вычислить абсолютную и относительную погрешности

,    .

Варианты исходных данных.  Задано дифференциальное уравнение первого порядка   и  начальные условия  . Для проверки на интервале    его решения методом Эйлера - ,  приводится формула решения, полученного аналитическим  путем -   (из задачника).

Дифференциальное уравнение

Формула точного решения

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера.

  1.  Исходные данные:

           - дифференциальное уравнение,

           - интервал для поиска решения,      

    - начальные условия,      

   - точное решение,

- точность расчетов,

 - количество точек графиков.

  1.   Алгоритм Эйлера:

                   ,

  1.  Обозначим:

- решение полученное методом Эйлера,

- точное решение, данное в условии задачи,

- дискретный аргумент.

  1.  Все расчеты выполним в  Mathcad  по программе:

  1.  Составим таблицу  

i

0

1,047197551

0,523598776

0,523598776

1

1,256637061

0,314159265

0,314159266

2

1,466076571

0,104719755

0,104719756

3

1,675516081

-0,104719754

-0,104719754

4

1,884955591

-0,314159264

-0,314159264

5

2,094395101

-0,523598774

-0,523598774

6

2,303834611

-0,733038284

-0,733038284

7

2,513274121

-0,942477794

-0,942477794

8

2,722713631

-1,151917304

-1,151917304

9

2,932153141

-1,361356814

-1,361356814

10

3,141592651

-1,570796324

-1,570796327

  1.  По данным таблицы строим графики:

8.Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


x

3

:=

y

p

6

:=

y1

y

tan

y

(

)

-

tan

x

(

)

*

(

)

2

×

p

×

30

+

:=

y2

asin

cos

x

(

)

(

)

:=

x1

x

2

p

×

30

+

:=

y1

0.039918945

=

y2

0.523598776

=

x1

1.256637061

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83706. Гидравлический расчет наружного объединенного водопровода населенного пункта 152.5 KB
  Определение водопотребителей и расчет потребного расхода воды на хозяйственнопитьевые производственные и пожарные нужды поселка и предприятия. Расчет требуемого расхода воды на хозяйственно-питьевые и производственные нужды. Определение расчетных расходов воды на пожаротушение.
83707. Сооружение гидроизоляционного ограждения шахтного ствола методом тампонажа 326.62 KB
  В ходе выполнения работы следует разработать технологию тампонажа и технологические схемы производства тампонажных работ, выбрать необходимые технические средства для сооружения гидроизоляционной завесы в определенных горнотехнических условиях, основываясь на комплексе исходных данных...
83708. Разработка проекта маркетингового исследования для компании Schwarzkopf 216.5 KB
  Довольно сложно выявить какие-то конкретные недостатки в продукции, разве что индивидуальную непереносимость на какой-либо из компонентов. Но и это маловероятно, потому что состав продукции тщательно разрабатывался, а затем тестировался, чтобы заранее выявить возможные побочные эффекты...
83709. Малое архитектурное сооружение 4.47 MB
  Целью данного курсового проекта являются систематизация, закрепление, углубление, развитие и расширение полученных теоретических и практических знаний по разделу « Теория исследования в проектировании». Основными задачами курсового проекта являются: изучить государственные стандарты изображений...
83711. Влияние распределения внимания на продуктивность деятельности 30.92 KB
  Распределение внимания означает одновременное сосредоточение на двух или более видах деятельности. В исследованиях распределения внимания испытуемым обычно предлагается выполнить две задачи одновременно. Если одна из деятельностей полностью автоматизирована и не требует сознательного контроля...
83712. Исследование электрических цепей синусоидального тока. Резонанс напряжений 325.13 KB
  Исследование явления резонанса напряжений при последовательном соединении катушки индуктивности и конденсатора. Используя полученные значения и вычислим В В мкФ Изменением положения сердечника катушки индуктивности при максимуме тока в цепи добиваемся резонанса напряжений...
83713. Исследование электронного осциллографа 922.34 KB
  Цель работы: Ознакомление с принципом действия и приобретение навыков работы с электронным осциллографом. Выполнение работы: Электронные осциллограф предназначен для исследования форм электрических сигналов путем визуального наблюдения и измерения их амплитудных и временных параметров.
83714. Исследование эффекта Джоуля-Томпсона при адиабатическом истечении газа 438 KB
  Идеальный газ – модель газа, в которой пренебрегаются размеры молекул по сравнению с расстоянием между ними, т.е. молекулы рассматриваются как материальные точки, также пренебрегаются силы взаимодействия между молекулами (за исключением моментов столкновения).