10661

Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 11. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выр...

Русский

2013-03-30

322 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  11.

Интегрирование дифференциальных уравнений

первого порядка методом Эйлера.

Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выражением.

 Теоретические положения.  Пусть задано уравнение

,                         (1)

с начальными условиями  . Значения функции в узлах  заменим сеточной функцией  .  Для простоты примем постоянный шаг  ,  - отрезок для поиска решения,  - количество точек деления отрезка.

Заменим производную конечно-разностным отношением

.                       (2)

Отсюда получаем алгоритм Эйлера:

.                    (3)

Зная значение функции в начальной точке  , можно последовательно найти значения функции во всех точках сетки. Результатом решения ДУ по форму-ле (3) является ломаная линия, проходящая через точки .

Порядок выполнения работы.  

- переписать исходные данные к работе:

    - дифференциальное уравнение,

    - начальные условия,

    - отрезок для поиска  решения,

     - точное решение.

- количество точек ломаной Эйлера  ,

- точность расчетов принять  равной  ,

- вычислить  в MathCad точки ломаной  Эйлера   по формуле (3), считая

   ,

- все данные расчетов занести в таблицу:

   -  номер шага,

    - дискретный аргумент,

     - решение ДУ методом Эйлера,  

     - точное решение.

- по данным таблицы построить графики   и  ,

- в точке   вычислить абсолютную и относительную погрешности

,    .

Варианты исходных данных.  Задано дифференциальное уравнение первого порядка   и  начальные условия  . Для проверки на интервале    его решения методом Эйлера - ,  приводится формула решения, полученного аналитическим  путем -   (из задачника).

Дифференциальное уравнение

Формула точного решения

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера.

  1.  Исходные данные:

           - дифференциальное уравнение,

           - интервал для поиска решения,      

    - начальные условия,      

   - точное решение,

- точность расчетов,

 - количество точек графиков.

  1.   Алгоритм Эйлера:

                   ,

  1.  Обозначим:

- решение полученное методом Эйлера,

- точное решение, данное в условии задачи,

- дискретный аргумент.

  1.  Все расчеты выполним в  Mathcad  по программе:

  1.  Составим таблицу  

i

0

1,047197551

0,523598776

0,523598776

1

1,256637061

0,314159265

0,314159266

2

1,466076571

0,104719755

0,104719756

3

1,675516081

-0,104719754

-0,104719754

4

1,884955591

-0,314159264

-0,314159264

5

2,094395101

-0,523598774

-0,523598774

6

2,303834611

-0,733038284

-0,733038284

7

2,513274121

-0,942477794

-0,942477794

8

2,722713631

-1,151917304

-1,151917304

9

2,932153141

-1,361356814

-1,361356814

10

3,141592651

-1,570796324

-1,570796327

  1.  По данным таблицы строим графики:

8.Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


x

3

:=

y

p

6

:=

y1

y

tan

y

(

)

-

tan

x

(

)

*

(

)

2

×

p

×

30

+

:=

y2

asin

cos

x

(

)

(

)

:=

x1

x

2

p

×

30

+

:=

y1

0.039918945

=

y2

0.523598776

=

x1

1.256637061

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48820. Датчики в курсовом проектировании 349.5 KB
  Подробную информацию о датчиках легко найти в Интернете по их названиям Датчики температуры с выходным сигналом в виде напряжения Марка Диапазон измеряемых температур C Напряжение питания V Чувствительность мВ C Диапазон выходных напряжений В Потр. Схема подключения датчика к усилителю с возможным условным обозначением датчика предлагается ниже. Подключение датчика к внешней цепи Если входное сопротивление усилителя не будет велико десятки килоом то сопротивление R1 необходимо включить в состав входного сопротивления. Возможное...
48821. Двойной Т-образный мост. «Заграждающий фильтр» 319.5 KB
  В данной курсовой работе мы провели исследование временных и частотных характеристик частотного - модулированного напряжения, используя в расчетах и построениях графиков, знания, полученные из курсов математического анализа и информатики, построение графиков выполнено с помощью системы Advanced Grapher...
48822. Расчет быстроходного и тихоходного редуктора 1.12 MB
  Принцип работы привода следующий: крутящий момент с вала двигателя передается на приводной вал рабочей машины через клиноременную передачу и цилиндрический редуктор через муфту. Редуктор состоит из двух валов: быстроходного и тихоходного, установленных в корпус редуктора на шариковых радиальных однорядных подшипниках.
48823. Правове регулювання інвестиційної діяльності в спеціальних (вільних) економічних зонах в Україні 152.5 KB
  Вільні економічні зони Вез міцно увійшли у світову господарську практику та діють у різних державах. Зараз у світі по різним даним від 400 до 2000 Вез але до них не можна віднести ні одну українську оскільки ті утворення які в Україні називаються вільними економічними зонами не задовольняють міжнародні вимоги які виставляються до такого роду зонам. Крім того не звертаючи уваги на неодноразові спроби створення реально функціонуючих Вез в Україні вони остаються у вітчизняній економіці явищем скоріш екзотичним...
48824. Повышение эффективности транспортного обслуживания процессов ремонта магистральных нефтепроводов методом вырезки дефектного участка путем снижения суммарных затрат 27.71 MB
  Данные, полученные на основании контрольных измерений, испытаний и профилактических осмотров, систематизируют и используют в качестве основы для планирования и проведения ремонтных работ, в том числе и ремонтных работ связанных с вырезкой «катушки». На проведении ремонтов методом вырезки дефекта задействована спецтехника и оборудование.
48825. Проектирование общественного здания в РБ, г. Давлеканово 560.5 KB
  Проектируемое здание расположено на участке со спокойным рельефом с небольшим уклоном в северо-восточную сторону. Проектируемое здание расположено с отступом от красной линии. Главный фасад расположен на северо-восток. На участке расположены: жилой дом №1, жилой дом №2, больница, здание банка, парк, дом быта, кинотеатр, автомобильная стоянка.
48826. Кольца, полукольца, мера на полукольце 409 KB
  Кольцо множеств есть система множеств, замкнутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности. Любое кольцо содержит пустое множество Ø, так как всегда А\A=Ø. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.
48828. ОРГАНІЗАЦІЯ ДОСЛІДНОЇ ДІЛЬНИЦІ ВИРОБНИЦТВА ОКТАН-КОРЕКТОРА 578.5 KB
  У цій частині курсового проекту розраховуємо дослідну дільницю виробництва Октан - коректора. Вихідними даними для розрахунку будуть: Програма випуску – 100 штук за 1 день. Режим роботи дільниці, що проектується, – одна зміна тривалістю 8 годин. Планово-операційна карта виготовлення виробу.