10661

Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 11. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выр...

Русский

2013-03-30

322 KB

6 чел.

Лабораторная  работа  11.

Интегрирование дифференциальных уравнений

первого порядка методом Эйлера.

Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выражением.

 Теоретические положения.  Пусть задано уравнение

,                         (1)

с начальными условиями  . Значения функции в узлах  заменим сеточной функцией  .  Для простоты примем постоянный шаг  ,  - отрезок для поиска решения,  - количество точек деления отрезка.

Заменим производную конечно-разностным отношением

.                       (2)

Отсюда получаем алгоритм Эйлера:

.                    (3)

Зная значение функции в начальной точке  , можно последовательно найти значения функции во всех точках сетки. Результатом решения ДУ по форму-ле (3) является ломаная линия, проходящая через точки .

Порядок выполнения работы.  

- переписать исходные данные к работе:

    - дифференциальное уравнение,

    - начальные условия,

    - отрезок для поиска  решения,

     - точное решение.

- количество точек ломаной Эйлера  ,

- точность расчетов принять  равной  ,

- вычислить  в MathCad точки ломаной  Эйлера   по формуле (3), считая

   ,

- все данные расчетов занести в таблицу:

   -  номер шага,

    - дискретный аргумент,

     - решение ДУ методом Эйлера,  

     - точное решение.

- по данным таблицы построить графики   и  ,

- в точке   вычислить абсолютную и относительную погрешности

,    .

Варианты исходных данных.  Задано дифференциальное уравнение первого порядка   и  начальные условия  . Для проверки на интервале    его решения методом Эйлера - ,  приводится формула решения, полученного аналитическим  путем -   (из задачника).

Дифференциальное уравнение

Формула точного решения

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

         Пример расчета.  

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера.

  1.  Исходные данные:

           - дифференциальное уравнение,

           - интервал для поиска решения,      

    - начальные условия,      

   - точное решение,

- точность расчетов,

 - количество точек графиков.

  1.   Алгоритм Эйлера:

                   ,

  1.  Обозначим:

- решение полученное методом Эйлера,

- точное решение, данное в условии задачи,

- дискретный аргумент.

  1.  Все расчеты выполним в  Mathcad  по программе:

  1.  Составим таблицу  

i

0

1,047197551

0,523598776

0,523598776

1

1,256637061

0,314159265

0,314159266

2

1,466076571

0,104719755

0,104719756

3

1,675516081

-0,104719754

-0,104719754

4

1,884955591

-0,314159264

-0,314159264

5

2,094395101

-0,523598774

-0,523598774

6

2,303834611

-0,733038284

-0,733038284

7

2,513274121

-0,942477794

-0,942477794

8

2,722713631

-1,151917304

-1,151917304

9

2,932153141

-1,361356814

-1,361356814

10

3,141592651

-1,570796324

-1,570796327

  1.  По данным таблицы строим графики:

8.Выводы по работе:  Выполняются  студентами  самостоятельно.


x

3

:=

y

p

6

:=

y1

y

tan

y

(

)

-

tan

x

(

)

*

(

)

2

×

p

×

30

+

:=

y2

asin

cos

x

(

)

(

)

:=

x1

x

2

p

×

30

+

:=

y1

0.039918945

=

y2

0.523598776

=

x1

1.256637061

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54612. Молодежь в современном обществе 49 KB
  Работа в группах составление минидоклада используя мультимедийный диск составление вопросов по изучаемому материалу 5мин. Выступление представителя группы знакомство класса с изученным материалом 5 мин 3. Проверка знаний: тестовое задание 5мин ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА Этапы урока Деятельность учителя Деятельность учащихся Конт роль времени Оргмомент Вступительное слово учителя 1 мин. Постановка цели корректировка Формулировка цели урока 3 мин Изучение нового...
54613. Перекрестная эластичность. Эластичность по доходу 26.62 KB
  Под эластичностью спроса по доходам понимается изменение спроса на товар в связи с изменением доходов потребителей. Если рост доходов приводит к росту спроса на товар, то данный товар относится к категории «нормальных», при снижении доходов потребителя и росте спроса на товар – товар относится к категории «низших».
54614. Социум как особенная часть мира. Системное строение общества 66 KB
  Системное строение общества. Для характеристики общества как системы используется понятие подсистема или сфера жизни общества. Черты общества как системы: 1 целостность; 2 наличие и взаимосвязь элементов; 3 качественная определенность т. Признаки общества как динамичной системы: 1 самодостаточность; 2 способность к самовоспроизводству; 3 способность к изменениям саморазвитию как отдельных элементов так и общества в целом.
54615. Стадийный подход 73 KB
  Характерным для традиционного аграрного общества является господство редистрибутивных отношений которые могут выражаться в самых разных формах: централизованное государственное хозяйство древнего Египта и средневекового Китая; русская крестьянская община где редистрибуция выражается в регулярных переделах земли по количеству едоков и т. Эта привязанность проявлялась в том что каждый член общества был включен в какойлибо коллектив и в зависимости каждого от старших по возрасту происхождению общественному положению которые и...
54616. Различные виды чтения применяемые на уроках иностранного языка 57 KB
  Зрелое умение читать предполагает как владение всеми видами чтения так и легкость перехода от одного его вида к другому в зависимости от изменения цели получения информации из данного текста. Это беглое выборочное чтение чтение текста по блокам для более подробного ознакомления с его фокусирующими деталями и частями. Полнота понимания при просмотровом чтении определяется возможностью ответить на вопрос представляет ли данный текст интерес для читающего какие части текста могут оказаться в этом отношении наиболее информативными и должны...
54618. Здоровя – мудрих гонорар 56 KB
  Мати купала своїх діток мила їхні голівоньки різними травами зіллям що позитивно впливало на здоровя і приємно пахло. Це корисно для зміцнення здоровя та закалювання організму. Що більш шкідливо для здоровя...
54619. Подорож океанами 1.19 MB
  Варіант оформлення місця проведення: фізична карта світу для тих етапів де потрібно морські пейзажі корабель з паперу на синьому фоні портрети мореплавців емблеми учасникам на морську тематику та інше. Етап Штурманський Проїдьте світовим океаном і визначте координати наступних географічних обєктів кть обєктів залежить від кількості учасників наприклад: Маріанський жолоб; о. Врангеля; Етап Історикогеографічний Ф Магеллан Ф. Етап Екологічний...
54620. Внутрішні води Північної Америки 386.5 KB
  Найбільші річки це Міссісіпі разом з найбільшою притокою Міссурі. учитель ділить клас на групи кожній групі своя річка яку необхідно охарактеризувати І група Колумбія відноситься до басейну Тихого океану ІІ група Маккензі Північного Льодовитого океану ІІІ група Міссісіпі Атлантичного океану Проблема забруднення вод Північної Америки.км2 Міссісіпі з Міссурі 6420 3268 Маккензі з р. Річка Міссісіпі Найдовша річкова артерія Північної Америки Міссісіпі з притокою Міссурі 6420 км площа водозбору якої становить 3300...