10662

Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 12 Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом РунгеКутта. Цель работы. Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующ

Русский

2013-03-30

310 KB

23 чел.

Лабораторная  работа  12

Интегрирование дифференциальных уравнений

второго порядка методом Рунге-Кутта.

Цель работы.  Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующим  использованием алгоритма  Рунге-Кутта.

 Теоретические положения .  Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

                          (1)

с начальными условиями

,                                 

.                                (2)

Требуется найти его решение    на отрезке  ,  где

,  ,                  (3)

.

Если ввести  вспомогательную функцию   такую, что

 

с начальным условием   ,

то уравнение (1) можно преобразовать к системе  уравнений вида:

                          (4)

Согласно методу Рунге-Кутта система (4) решается следующим образом:  cчитая известными величины    и  ,

- найдем две группы чисел

,

,

,                                (5)

,

и

,

,             

,            (6)

.

- на основании (5)  и  (6) имеем

,                             (7)

- последующие значения переменных найдем как

                                      (8)

Подставив в (5) и (6) вместо  соответственно  , по формулам (7)  найдем  , после чего  и т.д., пока не будет пройден  весь отрезок   и найдена искомая  функция  .

Порядок выполнения работы.   

- переписать  исходные данные к работе:

     - дифференциальное уравнение,

    ,   -  начальные  условия,

      - отрезок  для поиска решения,

- количество точек решения  ,

- точность расчетов принять равной  .

- ввести вспомогательную функцию , найти к ней начальное условие  ,

- преобразовать ДУ второго порядка в систему уравнений первого порядка,

- выполнить в  MathCad  расчеты  по формулам (5) – (8):

а) задать функцию ,

б) ввести начальные условия,

в) вычислить  ,

г) задать выражения из формул (5) и (6)  в следующем порядке:

,

д) по формулам (7) найти   и  ,

е) по формулам (8) найти последующие значения переменных,

ж) вычисления по пунктам б) – е) повторить еще 9 раз,

- составить итоговую таблицу расчетов ( колонки - ),

- выполнить проверку результатов:

а) сделать в Excel таблицу разностей по функции  ,

б) вычислить  по формуле численного дифференцирования,

в) подставить  в правую часть (1) величины   и найти  ,

г) сравнить   и   (теоретически они должны совпасть).

д) найти абсолютную и относительную погрешности метода,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Задано дифференциальное уравнение второго порядка,  начальные условия,  и интервал   для поиска его решения методом Рунге-Кутта.

Дифференциальное уравнение

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

  

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка методом Рунге-Кутта.
  2.  Исходные данные:

                                 n=10    h=(b-a)/10   

  1.   Преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в систему уравнений первого порядка.

          

  1.  Реализация в Mathcad , все расчеты выполним по следующей схеме:

                                      Продолжение                    Продолжение

                                        

 

  1.  Составляем таблицу:

I

X

dy

dz

yi

zi

0

0,000

0,013

0,251

0,000

0,000

1

0,105

0,039

0,250

0,013

0,251

2

0,210

0,066

0,249

0,052

0,502

3

0,315

0,066

0,247

0,118

0,751

4

0,420

0,091

0,244

0,184

0,749

5

0,525

0,091

0,241

0,275

0,995

6

0,630

0,117

0,237

0,366

0,990

7

0,735

0,116

0,232

0,483

1,232

8

0,840

0,141

0,227

0,624

1,464

9

0,945

0,165

0,221

0,765

1,459

10

1,050

0,164

0,214

0,930

1,685

  1.  Проверка:

x1=0.105

y1=0.013

y1’=z1=0.251

y’’1=z1                   найдем из последней колонки, создав таблицу разностей

                        dz,  d2z,  d3z,  d4z

dz

d2z

d3z

d4z

0

0,251

0

-0,002

-0,247

0,251

0,251

-0,002

-0,249

 

0,502

0,249

-0,251

 

 

0,751

-0,002

 

 

 

0,749

 

 

 

 

Для  определения точного значения, берем первые две разности  из

таблицы:

посчитаем погрешность при расчете методом Рунге-Кутта

7.Выводы по работе:  Выполняются студентом самостоятельно.

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20160. Приборы для измерения угловых величин. Уровни. Квадранты 480 KB
  Преобразователи угловых перемещений. Преобразователи угловых перемещений. непосредственное измерение углов в угловых величинах по угловым шкалам.
20161. Механические и гидростатические приборы при измерении отклонений от прямолинейности и плоскостности 1.31 MB
  Для более точной оценки просвета используют образец просвета рис. Рис.1 Рис.2 На рис.
20162. Оптико-механические и оптические приборы при измерении отклонений от прямолинейности и плоскостности 393 KB
  При проверке автоколлимационным и коллимационным методами измеряют углы наклона последовательно расположенных участков равных шагу измерения по отношению к исходной прямой заданной оптической осью трубы. Сущность метода визирования заключается в измерении расстояния от проверяемой поверхности до оптической оси зрительной трубы. Визирную ось зрительной трубы устанавливают параллельной прямой проходящей через крайние точки проверяемой поверхности при этом отсчёты в крайних точках должны быть одинаковыми. Этот недостаток можно устранить...
20163. Средства измерения отклонения форм цилиндрических поверхностей 94.5 KB
  К отклонениям формы цилиндрических поверхностей относятся: о отклонение от цилиндричности ; о отклонение от круглости ; = отклонения профиля продольного сечения. f φ 2π = f φ Для анализа отклонения профиля поперечного сечения можно использовать совокупность гармонических составляющих определяемых спектром фазовых углов и спектром амплитуд т. R=f φ х; Для аналитического изображения профиля поперечного сечения пользуются разложением функции погрешностей профиля в ряд Фурье: R0 R = ∆ = f φ fφ=C0 2 ∑Ck coskφ φ0...
20164. Создание удаленных представлений 827 KB
  При создании системы обработки данных не всегда удается обеспечить их хранение в едином формате. Часто возникает необходимость использования данных из уже работающих приложений ктороые написаны не на VFP. Удаленное представление работает на основе соединения которое используя технологию Open Database Connectivity ODBC описывает условия передачи данных.1 Окно диалога Select connection or Available DataSource В списке перечислены соединения определенные в текущей базе данных.
20165. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ OLE 68 KB
  1 был введен новый метод передачи информации в виде объектов между 16разрядными приложениями основанный на модели Object Linking and Embedding OLE 1. Протокол OLE 2. OLE 2.
20166. ХАРАКТЕРИСТИКА ПАКЕТА VISUAL FOXPRO 94.5 KB
  Теперь Visual FoxPro уже не стоит немного особняком от остальных продуктов Microsoft как это было в версиях 2. Более того Visual FoxPro полностью интегрируется с остальными приложениями Microsoft Office с помощью OLE Automation. Программа написанная на Visual FoxPro сможет полноценно общаться с Microsoft Word Microsoft Excel и любыми другими приложениями поддерживающими OLE 2.
20168. Использование функций WinAPI 32.5 KB
  DECLARE DLL Регистрирует функцию во внешней 32разрядной библиотеке динамических связей Windows . Чтобы удалить зарегистрированные функции из памяти выдайте команду CLEAR ALL или CLEAR DLLS.