10662

Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 12 Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом РунгеКутта. Цель работы. Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующ

Русский

2013-03-30

310 KB

23 чел.

Лабораторная  работа  12

Интегрирование дифференциальных уравнений

второго порядка методом Рунге-Кутта.

Цель работы.  Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующим  использованием алгоритма  Рунге-Кутта.

 Теоретические положения .  Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

                          (1)

с начальными условиями

,                                 

.                                (2)

Требуется найти его решение    на отрезке  ,  где

,  ,                  (3)

.

Если ввести  вспомогательную функцию   такую, что

 

с начальным условием   ,

то уравнение (1) можно преобразовать к системе  уравнений вида:

                          (4)

Согласно методу Рунге-Кутта система (4) решается следующим образом:  cчитая известными величины    и  ,

- найдем две группы чисел

,

,

,                                (5)

,

и

,

,             

,            (6)

.

- на основании (5)  и  (6) имеем

,                             (7)

- последующие значения переменных найдем как

                                      (8)

Подставив в (5) и (6) вместо  соответственно  , по формулам (7)  найдем  , после чего  и т.д., пока не будет пройден  весь отрезок   и найдена искомая  функция  .

Порядок выполнения работы.   

- переписать  исходные данные к работе:

     - дифференциальное уравнение,

    ,   -  начальные  условия,

      - отрезок  для поиска решения,

- количество точек решения  ,

- точность расчетов принять равной  .

- ввести вспомогательную функцию , найти к ней начальное условие  ,

- преобразовать ДУ второго порядка в систему уравнений первого порядка,

- выполнить в  MathCad  расчеты  по формулам (5) – (8):

а) задать функцию ,

б) ввести начальные условия,

в) вычислить  ,

г) задать выражения из формул (5) и (6)  в следующем порядке:

,

д) по формулам (7) найти   и  ,

е) по формулам (8) найти последующие значения переменных,

ж) вычисления по пунктам б) – е) повторить еще 9 раз,

- составить итоговую таблицу расчетов ( колонки - ),

- выполнить проверку результатов:

а) сделать в Excel таблицу разностей по функции  ,

б) вычислить  по формуле численного дифференцирования,

в) подставить  в правую часть (1) величины   и найти  ,

г) сравнить   и   (теоретически они должны совпасть).

д) найти абсолютную и относительную погрешности метода,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Задано дифференциальное уравнение второго порядка,  начальные условия,  и интервал   для поиска его решения методом Рунге-Кутта.

Дифференциальное уравнение

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

  

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка методом Рунге-Кутта.
  2.  Исходные данные:

                                 n=10    h=(b-a)/10   

  1.   Преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в систему уравнений первого порядка.

          

  1.  Реализация в Mathcad , все расчеты выполним по следующей схеме:

                                      Продолжение                    Продолжение

                                        

 

  1.  Составляем таблицу:

I

X

dy

dz

yi

zi

0

0,000

0,013

0,251

0,000

0,000

1

0,105

0,039

0,250

0,013

0,251

2

0,210

0,066

0,249

0,052

0,502

3

0,315

0,066

0,247

0,118

0,751

4

0,420

0,091

0,244

0,184

0,749

5

0,525

0,091

0,241

0,275

0,995

6

0,630

0,117

0,237

0,366

0,990

7

0,735

0,116

0,232

0,483

1,232

8

0,840

0,141

0,227

0,624

1,464

9

0,945

0,165

0,221

0,765

1,459

10

1,050

0,164

0,214

0,930

1,685

  1.  Проверка:

x1=0.105

y1=0.013

y1’=z1=0.251

y’’1=z1                   найдем из последней колонки, создав таблицу разностей

                        dz,  d2z,  d3z,  d4z

dz

d2z

d3z

d4z

0

0,251

0

-0,002

-0,247

0,251

0,251

-0,002

-0,249

 

0,502

0,249

-0,251

 

 

0,751

-0,002

 

 

 

0,749

 

 

 

 

Для  определения точного значения, берем первые две разности  из

таблицы:

посчитаем погрешность при расчете методом Рунге-Кутта

7.Выводы по работе:  Выполняются студентом самостоятельно.

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31476. Дослідження логічної організації подання та зберігання даних – методи переводу чисел з однієї позиційної системи числення в іншу 75.5 KB
  2 Дослідження логічної організації подання та зберігання даних – методи переводу чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Мета лабораторної роботи – ознайомитись з методами переводу цілих дробових та змішаних чисел отримати і закріпити практичні навички з переводу чисел у різні системи числення. Короткі теоретичні відомості Перевід цілих чисел Для переводу цілих чисел з однієї системи числення з основою S в іншу з основою S1 потрібно це число послідовно ділити на основу S1 нової системи числення до тих пір поки не отримаємо...
31477. Аналіз майна підприємства та оцінка основного капіталу підприємства 128 KB
  Аналіз майна підприємства Лекція 5 2 год. Мета заняття: ознайомити студентів із значенням аналізу майна підприємства та поглибити їхні знання з питань оцінки основного капіталу підприємства; привчати творчо оперувати набутими знаннями розвивати логічне мислення студентів. ПЛАН Економічна сутність майна підприємства його структура і класифікація. Аналіз основного капіталу необоротних активів підприємства.
31478. Аналіз майна підприємства та оцінка матеріальних активів та фінансових інвестицій підприємства 141 KB
  Оцінка матеріальних активів основних засобів та фінансових інвестицій. Рекомендована література: Дидактична мета заняття: сформувати у студентів сучасне економічне мислення щодо оцінки матеріальних активів основних засобів та фінансових інвестицій дати теоретичні уявлення щодо класифікації та порядку розрахунку й методів оцінки показників що характеризують стан і ефективність використання майна підприємства. Оцінка матеріальних активів основних засобів...
31479. Аналіз оборотних активів та аналіз оборотного капіталу 108.5 KB
  Аналіз оборотних активів Лекція 7 2 год. Мета заняття: ознайомити студентів із завданнями аналізу оборотного капіталу підприємства поглибити їхні знання з питань аналізу обертання активів підприємства та ефективності їх використання розвивати логічне мислення студентів привчати творчо оперувати набутими знаннями виховувати інтерес до обраної професії. Основні показники оцінки стану та ефективності використання оборотних активів підприємства. Рекомендована література: 2 7 8 11 12 13 14 15 16 17 21 22 23 24 29 30 37 38...
31480. Аналіз оборотних активів 84 KB
  Мета заняття: ознайомити студентів із методикою аналізу власних оборотних засобів дебіторської та кредиторської заборгованості поглибити їхні знання з питань аналізу виробничих запасів та готової продукції розвивати логічне мислення студентів привчати творчо оперувати набутими знаннями виховувати інтерес до обраної професії. Аналіз стану та ефективності використання виробничих запасів та готової продукції на підприємстві. Завдання лекції: ознайомитись з методами аналізу наявності власних оборотних коштів; дати теоретичні та...
31481. Аналіз джерел формування капіталу підприємства 108.5 KB
  Аналіз джерел формування капіталу підприємства Лекція 9 2 год. Мета заняття: ознайомити студентів із значенням та методами аналізу капіталу підприємства поглибити їхні знання з питань оцінки складу і динаміки джерел формування капіталу методики оцінки стану та ефективності використання капіталу розвивати логічне мислення студентів привчати творчо оперувати набутими знаннями виховувати інтерес до обраної професії. ПЛАН Значення і методи аналізу капіталу підприємства. Аналіз наявності складу і динаміки джерел формування капіталу.
31482. Аналіз грошових потоків, оцінка руху грошових коштів 164 KB
  Аналіз грошових потоків Лекція 10 2 год. Мета заняття: ознайомити студентів із методами оцінки руху грошових коштів поглибити їхні знання з питань необхідності та мети використання грошових потоків на підприємстві аналізом грошових коштів у розрізі видів діяльності розвивати логічне мислення студентів привчати творчо оперувати набутими знаннями виховувати інтерес до обраної професії. ПЛАН Поняття види та значення грошових потоків для підприємства. Аналіз грошових коштів від основної інвестиційної та фінансової діяльності...
31483. Аналіз грошових потоків, оцінка грошових надходжень 121.5 KB
  Аналіз грошових потоків Лекція 11 2 год. Мета заняття: ознайомити студентів із балансовим методом оцінки грошових надходжень методикою аналізу грошових потоків із застосуванням системи коефіцієнтів поглибити їхні знання стосовно методів розрахунку обертання грошових потоків на підприємстві та їх ефективності розвивати логічне мислення студентів привчати творчо оперувати набутими знаннями виховувати інтерес до обраної професії. ПЛАН Оцінка динаміки грошових потоків по періодах. Балансовий метод оцінки грошових надходжень.
31484. Аналіз ліквідності і платоспроможності підприємства 243.5 KB
  Аналіз ліквідності і платоспроможності підприємства Лекція 12 2 год. Мета заняття: ознайомити студентів та поглибити їхні знання з питань необхідності та методики аналізу показників ліквідності і платоспроможності підприємства розвивати логічне мислення студентів привчати творчо оперувати набутими знаннями виховувати інтерес до обраної професії. ПЛАН Поняття ліквідності і платоспроможності підприємства. Основні показники ліквідності підприємства – порядок їх розрахунку та методи оцінки.