10662

Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 12 Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом РунгеКутта. Цель работы. Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующ

Русский

2013-03-30

310 KB

22 чел.

Лабораторная  работа  12

Интегрирование дифференциальных уравнений

второго порядка методом Рунге-Кутта.

Цель работы.  Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующим  использованием алгоритма  Рунге-Кутта.

 Теоретические положения .  Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

                          (1)

с начальными условиями

,                                 

.                                (2)

Требуется найти его решение    на отрезке  ,  где

,  ,                  (3)

.

Если ввести  вспомогательную функцию   такую, что

 

с начальным условием   ,

то уравнение (1) можно преобразовать к системе  уравнений вида:

                          (4)

Согласно методу Рунге-Кутта система (4) решается следующим образом:  cчитая известными величины    и  ,

- найдем две группы чисел

,

,

,                                (5)

,

и

,

,             

,            (6)

.

- на основании (5)  и  (6) имеем

,                             (7)

- последующие значения переменных найдем как

                                      (8)

Подставив в (5) и (6) вместо  соответственно  , по формулам (7)  найдем  , после чего  и т.д., пока не будет пройден  весь отрезок   и найдена искомая  функция  .

Порядок выполнения работы.   

- переписать  исходные данные к работе:

     - дифференциальное уравнение,

    ,   -  начальные  условия,

      - отрезок  для поиска решения,

- количество точек решения  ,

- точность расчетов принять равной  .

- ввести вспомогательную функцию , найти к ней начальное условие  ,

- преобразовать ДУ второго порядка в систему уравнений первого порядка,

- выполнить в  MathCad  расчеты  по формулам (5) – (8):

а) задать функцию ,

б) ввести начальные условия,

в) вычислить  ,

г) задать выражения из формул (5) и (6)  в следующем порядке:

,

д) по формулам (7) найти   и  ,

е) по формулам (8) найти последующие значения переменных,

ж) вычисления по пунктам б) – е) повторить еще 9 раз,

- составить итоговую таблицу расчетов ( колонки - ),

- выполнить проверку результатов:

а) сделать в Excel таблицу разностей по функции  ,

б) вычислить  по формуле численного дифференцирования,

в) подставить  в правую часть (1) величины   и найти  ,

г) сравнить   и   (теоретически они должны совпасть).

д) найти абсолютную и относительную погрешности метода,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Задано дифференциальное уравнение второго порядка,  начальные условия,  и интервал   для поиска его решения методом Рунге-Кутта.

Дифференциальное уравнение

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

  

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка методом Рунге-Кутта.
  2.  Исходные данные:

                                 n=10    h=(b-a)/10   

  1.   Преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в систему уравнений первого порядка.

          

  1.  Реализация в Mathcad , все расчеты выполним по следующей схеме:

                                      Продолжение                    Продолжение

                                        

 

  1.  Составляем таблицу:

I

X

dy

dz

yi

zi

0

0,000

0,013

0,251

0,000

0,000

1

0,105

0,039

0,250

0,013

0,251

2

0,210

0,066

0,249

0,052

0,502

3

0,315

0,066

0,247

0,118

0,751

4

0,420

0,091

0,244

0,184

0,749

5

0,525

0,091

0,241

0,275

0,995

6

0,630

0,117

0,237

0,366

0,990

7

0,735

0,116

0,232

0,483

1,232

8

0,840

0,141

0,227

0,624

1,464

9

0,945

0,165

0,221

0,765

1,459

10

1,050

0,164

0,214

0,930

1,685

  1.  Проверка:

x1=0.105

y1=0.013

y1’=z1=0.251

y’’1=z1                   найдем из последней колонки, создав таблицу разностей

                        dz,  d2z,  d3z,  d4z

dz

d2z

d3z

d4z

0

0,251

0

-0,002

-0,247

0,251

0,251

-0,002

-0,249

 

0,502

0,249

-0,251

 

 

0,751

-0,002

 

 

 

0,749

 

 

 

 

Для  определения точного значения, берем первые две разности  из

таблицы:

посчитаем погрешность при расчете методом Рунге-Кутта

7.Выводы по работе:  Выполняются студентом самостоятельно.

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78881. Донаучное знание и его особенности 27.5 KB
  Донаучное знание и его особенности Вненаучное знание не является чьейто выдумкой или фикцией. Вненаучное знание – разрозненное несистематическое знание которое находится в противоречии с существующей картиной мира. Одна из форм вненаучного знания это донаучное знание. Донаучное знание выступающее прототипом предпосылочной базой научного.
78882. Рождение античной науки 55.5 KB
  Так в древнеегипетской цивилизации носителями знаний были жрецы в зависимости от уровня посвящения обладавшие той или иной суммой знаний. Знания существовали в религиозномистической форме и только жрецы могли читать священные книги и как носители практических знаний имели власть над людьми. Предпосылкой возникновения научных знаний многие исследователи истории науки считают миф. Особенности греческого мышления которое было рациональным теоретическим что в данном случае равносильно созерцательному наложили отпечаток на формирование...
78883. Наука в условиях европейского Средневековья 28.5 KB
  Большое значение для развития науки имело открытие университетов. Другой предпосылкой будущего расцвета науки послужило развитие техники. Наступала новая эпоха в развитии цивилизации и науки. Однако в сфере науки не было совершено прорыва.
78884. Становление науки классического типа 30.5 KB
  Фарадей обнаружил взаимосвязь между электричеством и магнетизмом, ввел понятия электрического и магнитного полей, выдвинул идею о существовании электромагнитного поля. Максвелл создал электродинамику и статистическую физику, построил теорию электромагнитного поля, предсказал существование электромагнитных волн, выдвинул идею об электромагнитной природе света.
78885. Проблема методов познания в философии Нового времени 29.5 KB
  Проблема методов познания в философии Нового времени Наука находится в центре внимания главных философских направлений XVII XVIII вв. Основные области философии этого времени онтология и гносеология. ontos сущее и logos слово понятие учение учение о бытии как таковом знании об истинно существующем раздел философии изучающий фундаментальные принципы бытия наиболее общие сущности и категории сущего Гносеология позже стал употребляться термин эпистемология в переводе с греческого теория познания раздел философии в...
78886. Особенности неклассической науки 31 KB
  Особенности неклассической науки Опора науки Нового времени на эксперимент развитие механики заложили фундамент для установления связи науки с производством. В результате разрешения кризиса произошла новая научная революция начавшаяся в физике и охватившая все основные отрасли науки Она связана прежде всего с именами МЛланка 1858 1947 и А. Механическая картина мира классической науки была рассчитана на относительно малые скорости которые абсолютно не укладывались во внутреннюю логику новых...
78887. Наука и философия. Концепции взаимоотношений философии и науки 29.5 KB
  Наука и философия Нау́ка особый вид человеческой познавательной деятельности направленный на получениеуточнение и производство объективных системноорганизованных и обоснованных знаний о природе обществе и мышлении. Философия обычно описывается как теория или наука одна из форм мировоззрения одна из форм человеческой деятельности особый способ познания. Отличия философии от науки: 1 философия – целостное знание наука – отдельные дисциплины; 2 философия – ценностное знание в науке главное – истина. Яковлевой...
78888. Структура теоретического знания 32 KB
  Теоретический уровень научного познания как и эмпирический имеет ряд подуровней среди которых можно выделить следующие по степени общности: а аксиомы теоретические законы; б частные теоретические законы описывающие структуру свойства и поведение идеализированных объектов; в частные единичные высказывания утверждающие нечто о конкретных во времени и пространстве состояниях свойствах и отношениях некоторых идеализированных объектов Абстрагирование и идеализация – начало теоретического познания. Научные законы – регулярные...
78889. Соотношение эмпирии и теории 24.5 KB
  Соотношение эмпирии и теории. Осознание этого в методологии науки обострило вопрос о том как же эмпирическое знание может быть критерием истинности теории Дело в том что несмотря на теоретическую нагруженность эмпирический уровень является более устойчивым более прочным чем теоретический. Если бы было иначе то получался бы логический круг и тогда эмпирия ничего не проверяла бы в теории. Поскольку эмпирией проверяются теории другого уровня постольку эксперимент выступает как критерий истинности теории.