10662

Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 12 Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом РунгеКутта. Цель работы. Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующ

Русский

2013-03-30

310 KB

22 чел.

Лабораторная  работа  12

Интегрирование дифференциальных уравнений

второго порядка методом Рунге-Кутта.

Цель работы.  Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующим  использованием алгоритма  Рунге-Кутта.

 Теоретические положения .  Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

                          (1)

с начальными условиями

,                                 

.                                (2)

Требуется найти его решение    на отрезке  ,  где

,  ,                  (3)

.

Если ввести  вспомогательную функцию   такую, что

 

с начальным условием   ,

то уравнение (1) можно преобразовать к системе  уравнений вида:

                          (4)

Согласно методу Рунге-Кутта система (4) решается следующим образом:  cчитая известными величины    и  ,

- найдем две группы чисел

,

,

,                                (5)

,

и

,

,             

,            (6)

.

- на основании (5)  и  (6) имеем

,                             (7)

- последующие значения переменных найдем как

                                      (8)

Подставив в (5) и (6) вместо  соответственно  , по формулам (7)  найдем  , после чего  и т.д., пока не будет пройден  весь отрезок   и найдена искомая  функция  .

Порядок выполнения работы.   

- переписать  исходные данные к работе:

     - дифференциальное уравнение,

    ,   -  начальные  условия,

      - отрезок  для поиска решения,

- количество точек решения  ,

- точность расчетов принять равной  .

- ввести вспомогательную функцию , найти к ней начальное условие  ,

- преобразовать ДУ второго порядка в систему уравнений первого порядка,

- выполнить в  MathCad  расчеты  по формулам (5) – (8):

а) задать функцию ,

б) ввести начальные условия,

в) вычислить  ,

г) задать выражения из формул (5) и (6)  в следующем порядке:

,

д) по формулам (7) найти   и  ,

е) по формулам (8) найти последующие значения переменных,

ж) вычисления по пунктам б) – е) повторить еще 9 раз,

- составить итоговую таблицу расчетов ( колонки - ),

- выполнить проверку результатов:

а) сделать в Excel таблицу разностей по функции  ,

б) вычислить  по формуле численного дифференцирования,

в) подставить  в правую часть (1) величины   и найти  ,

г) сравнить   и   (теоретически они должны совпасть).

д) найти абсолютную и относительную погрешности метода,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Задано дифференциальное уравнение второго порядка,  начальные условия,  и интервал   для поиска его решения методом Рунге-Кутта.

Дифференциальное уравнение

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

  

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка методом Рунге-Кутта.
  2.  Исходные данные:

                                 n=10    h=(b-a)/10   

  1.   Преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в систему уравнений первого порядка.

          

  1.  Реализация в Mathcad , все расчеты выполним по следующей схеме:

                                      Продолжение                    Продолжение

                                        

 

  1.  Составляем таблицу:

I

X

dy

dz

yi

zi

0

0,000

0,013

0,251

0,000

0,000

1

0,105

0,039

0,250

0,013

0,251

2

0,210

0,066

0,249

0,052

0,502

3

0,315

0,066

0,247

0,118

0,751

4

0,420

0,091

0,244

0,184

0,749

5

0,525

0,091

0,241

0,275

0,995

6

0,630

0,117

0,237

0,366

0,990

7

0,735

0,116

0,232

0,483

1,232

8

0,840

0,141

0,227

0,624

1,464

9

0,945

0,165

0,221

0,765

1,459

10

1,050

0,164

0,214

0,930

1,685

  1.  Проверка:

x1=0.105

y1=0.013

y1’=z1=0.251

y’’1=z1                   найдем из последней колонки, создав таблицу разностей

                        dz,  d2z,  d3z,  d4z

dz

d2z

d3z

d4z

0

0,251

0

-0,002

-0,247

0,251

0,251

-0,002

-0,249

 

0,502

0,249

-0,251

 

 

0,751

-0,002

 

 

 

0,749

 

 

 

 

Для  определения точного значения, берем первые две разности  из

таблицы:

посчитаем погрешность при расчете методом Рунге-Кутта

7.Выводы по работе:  Выполняются студентом самостоятельно.

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82885. Совершенствование текущей политики управления финансами предприятия (Вариант 8) 97.16 KB
  Целью данной курсовой работы является совершенствование текущей политики управления финансами предприятия. Для достижения цели в работе поставлены и решаются следующие задачи: оценить состояние текущей финансовой политики предприятия; провести анализ текущей производственной программы предприятия и разработать предложения...
82886. Расчет теплового пункта с зависимой и независимой схемами присоединения систем отопления 1.25 MB
  Тепловой пункт — это важный узел в теплосистеме, обеспечивающий передачу тепловой энергии из центральной сети к потребителю. Тепловые пункты обслуживают многоквартирные дома (индивидуальный тепловой пункт) или целые микрорайоны, поселки и группы объектов (центральный тепловой пункт).
82887. Разработка технологического процесса на восстаноление башмака трактора Т-130. Количество деталей в партии – 250 штук 379.33 KB
  С каждым годом растут объёмы строительства автомобильных дорог и твёрдых покрытий. Наряду со строительством новых современных дорог предстоит выполнить огромный объем работ по реконструкции и ремонту существующей дорожной сети.
82888. Морская навигационная техника и её использование в судовождении 1.1 MB
  Оборудование гирокомпаса должно включать картушку компаса или аналоговый репитер для управления судном и дополнительное оборудование для визуального пеленгования. Оно должно быть градуировано в равных интервалах через один градус или десятую часть градуса. Цифровые обозначения
82889. Роль финансового менеджмента в организации финансов на предприятии 1.18 MB
  Цель работы исследовать организационную структуру финансового менеджмента предприятия. Любой бизнес начинается с постановки и ответа на следующие три ключевые вопроса: каковы должны быть величина и оптимальный состав активов предприятия, позволяющие достичь поставленные перед предприятием...
82890. Совершенствование рекламной деятельности предприятия (на примере ОАО «Слуцкий сыродельный комбинат») 5.82 MB
  Цель курсовой работы: изучить рекламную деятельность предприятия ОАО «Слуцкий сыродельный комбинат» и предложить направления ее совершенствования. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи: определить сущность рекламной деятельности; дать характеристику предприятия ОАО «Слуцкий сыродельный комбинат»...
82891. Техника управления затратами предприятия на производство продукции 86.15 KB
  Острая конкурентная борьба заставляет предприятия проявлять пристальный интерес к управлению затратами искать пути по усовершенствованию их учета и мониторинга. Оптимизация процесса управления затратами позволяет предприятию снижать общий уровень затрат. Поэтому основным условием увеличения прибыли предприятия является снижение издержек производства и сбыта продукции в частности снижение себестоимости выпускаемой продукции поэтому организация и управление затратами являются приоритетной задачей для предприятия. Практически на каждом...
82892. Механизм урегулирования торговых споров в условии ВТО 641.5 KB
  Цель работы: Выявление особенностей разрешения торговых споров между субъектами мировой экономики в рамках ВТО. Результаты исследования: рассмотрены теоретические и практические аспекты юридической деятельности ВТО; исследованы прецеденты решения торговых споров в рамках ВТО; дана оценка эффективности...
82893. УЧЕТ РАСЧЕТОВ С ПОДОТЧЕТНЫМИ ЛИЦАМИ НА ПРИМЕРЕ ОАО «АКРОН» 354 KB
  В процессе финансоʙо-хозяйстʙенной деятельности у организаций ʙозникает потребность использоʙать наличные денежные средстʙа для расчетоʙ с работниками по командироʙкам ʙыдачи им средстʙ на предстаʙительские цели для покупки за наличный расчет тоʙароʙ ʙ других организациях или у...