10662

Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 12 Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом РунгеКутта. Цель работы. Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующ

Русский

2013-03-30

310 KB

23 чел.

Лабораторная  работа  12

Интегрирование дифференциальных уравнений

второго порядка методом Рунге-Кутта.

Цель работы.  Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующим  использованием алгоритма  Рунге-Кутта.

 Теоретические положения .  Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

                          (1)

с начальными условиями

,                                 

.                                (2)

Требуется найти его решение    на отрезке  ,  где

,  ,                  (3)

.

Если ввести  вспомогательную функцию   такую, что

 

с начальным условием   ,

то уравнение (1) можно преобразовать к системе  уравнений вида:

                          (4)

Согласно методу Рунге-Кутта система (4) решается следующим образом:  cчитая известными величины    и  ,

- найдем две группы чисел

,

,

,                                (5)

,

и

,

,             

,            (6)

.

- на основании (5)  и  (6) имеем

,                             (7)

- последующие значения переменных найдем как

                                      (8)

Подставив в (5) и (6) вместо  соответственно  , по формулам (7)  найдем  , после чего  и т.д., пока не будет пройден  весь отрезок   и найдена искомая  функция  .

Порядок выполнения работы.   

- переписать  исходные данные к работе:

     - дифференциальное уравнение,

    ,   -  начальные  условия,

      - отрезок  для поиска решения,

- количество точек решения  ,

- точность расчетов принять равной  .

- ввести вспомогательную функцию , найти к ней начальное условие  ,

- преобразовать ДУ второго порядка в систему уравнений первого порядка,

- выполнить в  MathCad  расчеты  по формулам (5) – (8):

а) задать функцию ,

б) ввести начальные условия,

в) вычислить  ,

г) задать выражения из формул (5) и (6)  в следующем порядке:

,

д) по формулам (7) найти   и  ,

е) по формулам (8) найти последующие значения переменных,

ж) вычисления по пунктам б) – е) повторить еще 9 раз,

- составить итоговую таблицу расчетов ( колонки - ),

- выполнить проверку результатов:

а) сделать в Excel таблицу разностей по функции  ,

б) вычислить  по формуле численного дифференцирования,

в) подставить  в правую часть (1) величины   и найти  ,

г) сравнить   и   (теоретически они должны совпасть).

д) найти абсолютную и относительную погрешности метода,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Задано дифференциальное уравнение второго порядка,  начальные условия,  и интервал   для поиска его решения методом Рунге-Кутта.

Дифференциальное уравнение

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

  

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка методом Рунге-Кутта.
  2.  Исходные данные:

                                 n=10    h=(b-a)/10   

  1.   Преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в систему уравнений первого порядка.

          

  1.  Реализация в Mathcad , все расчеты выполним по следующей схеме:

                                      Продолжение                    Продолжение

                                        

 

  1.  Составляем таблицу:

I

X

dy

dz

yi

zi

0

0,000

0,013

0,251

0,000

0,000

1

0,105

0,039

0,250

0,013

0,251

2

0,210

0,066

0,249

0,052

0,502

3

0,315

0,066

0,247

0,118

0,751

4

0,420

0,091

0,244

0,184

0,749

5

0,525

0,091

0,241

0,275

0,995

6

0,630

0,117

0,237

0,366

0,990

7

0,735

0,116

0,232

0,483

1,232

8

0,840

0,141

0,227

0,624

1,464

9

0,945

0,165

0,221

0,765

1,459

10

1,050

0,164

0,214

0,930

1,685

  1.  Проверка:

x1=0.105

y1=0.013

y1’=z1=0.251

y’’1=z1                   найдем из последней колонки, создав таблицу разностей

                        dz,  d2z,  d3z,  d4z

dz

d2z

d3z

d4z

0

0,251

0

-0,002

-0,247

0,251

0,251

-0,002

-0,249

 

0,502

0,249

-0,251

 

 

0,751

-0,002

 

 

 

0,749

 

 

 

 

Для  определения точного значения, берем первые две разности  из

таблицы:

посчитаем погрешность при расчете методом Рунге-Кутта

7.Выводы по работе:  Выполняются студентом самостоятельно.

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43760. Автотранспортне страхування 186 KB
  Страхові платежі залежать від строку експлуатації транспортного засобу, від стану водія. Як правило, на страхування приймається автотранспортний засіб та причепи до нього в технічно справному вигляді. Страхова премія обчислюється страховиком залежно від страхової суми та обраних страхувальником страхових випадків...
43761. МОРСЬКЕ СТРАХУВАННЯ 110.5 KB
  Суть види та особливості страхування морських ризиків. Страхування морських суден каско. Страхування вантажів що перевозяться морським транспортом.
43762. Авіаційне страхування 142 KB
  Авіаційне страхування Загальні відомості про авіаційне страхування. Законодавча база та вимоги до проведення обов'язкового авіаційного страхування цивільної авіації. Види обов'язкового авіаційного страхування цивільної авіації. Добровільні види авіаційного страхування.
43763. СТРАХУВАННЯ МАЙНА І ВІДПОВІДАЛЬНОСТІ ГРОМАДЯН 138.5 KB
  Особливості сутність та основні умови страхування майна громадян. Страхування будівель громадян. Страхування домашніх тварин. Страхування домашнього майна.
43764. ОСНОВИ ДИСЦИПЛІНИ "СТРАХОВІ ПОСЛУГИ" 40 KB
  Страхування не може вважатися зайвим як для найбільш багатих так і для найбільш бідних верств населення; чим бідніші учасники тим ціннішим має бути страхування. Разом із тим в сучасних умовах при здійсненні процесу страхування застосовується страхова термінологія. Вперше її створили італійські купці страхування ssurzioni ризик risigo премія ргаеmіа поліс polliz . Наприклад термін страхова сума визначається у літературі та законодавстві як: сума в межах якої згідно з договором страхування страховик несе...
43765. СТРАХОВІ ПОСЛУГИ ТА ОСОБЛИВОСТІ ЇХ РЕАЛІЗАЦІЇ 100 KB
  Сутність та характерні ознаки страхових послуг. Класифікація страхових продуктів. Значення маркетингу в основній діяльності страхових компаній. Реалізація страхових послуг.
43766. ПОРЯДОК УКЛАДЕННЯ ДОГОВОРУ СТРАХУВАННЯ ТА ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ 71 KB
  Сутність та порядок укладання договору страхування Вирішення суперечок та припинення дії договору страхування Сутність та порядок укладання договору страхування Договір страхування є правовим документом який опосередковує процес надання страхової послуги страховиком страхувальникові.
43767. Системи автоматичного управління 492.08 KB
  Тимчасові характеристики динамічного ланки являють собою залежність вихідного сигналу системи від часу при подачі на її вхід деякого типового впливу. Зазвичай виконується аналіз виходу системи на одиничний стрибок (функція Хевісайда) та імпульсну функцію
43768. Развитие творчества младших школьников на уроках технологии при работе с бумагой на основе сказочных текстов 10.67 MB
  В соответствии с проблемой целью предметом исследования определены следующие задачи: Изучить и проанализировать психолого-педагогическую литературу по развитию творчества; Рассмотреть особенности развития творчества у младших школьников; Определить наиболее эффективные методы и приемы обучения детей младшего школьного возраста с использованием сказочной литературы и бумаги; Выявить отношение младших школьников к урокам труда; Определить творческие задания на уроках технологии для младших школьников. Изготовление игрушек поделок из...