10662

Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 12 Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом РунгеКутта. Цель работы. Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующ

Русский

2013-03-30

310 KB

23 чел.

Лабораторная  работа  12

Интегрирование дифференциальных уравнений

второго порядка методом Рунге-Кутта.

Цель работы.  Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующим  использованием алгоритма  Рунге-Кутта.

 Теоретические положения .  Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

                          (1)

с начальными условиями

,                                 

.                                (2)

Требуется найти его решение    на отрезке  ,  где

,  ,                  (3)

.

Если ввести  вспомогательную функцию   такую, что

 

с начальным условием   ,

то уравнение (1) можно преобразовать к системе  уравнений вида:

                          (4)

Согласно методу Рунге-Кутта система (4) решается следующим образом:  cчитая известными величины    и  ,

- найдем две группы чисел

,

,

,                                (5)

,

и

,

,             

,            (6)

.

- на основании (5)  и  (6) имеем

,                             (7)

- последующие значения переменных найдем как

                                      (8)

Подставив в (5) и (6) вместо  соответственно  , по формулам (7)  найдем  , после чего  и т.д., пока не будет пройден  весь отрезок   и найдена искомая  функция  .

Порядок выполнения работы.   

- переписать  исходные данные к работе:

     - дифференциальное уравнение,

    ,   -  начальные  условия,

      - отрезок  для поиска решения,

- количество точек решения  ,

- точность расчетов принять равной  .

- ввести вспомогательную функцию , найти к ней начальное условие  ,

- преобразовать ДУ второго порядка в систему уравнений первого порядка,

- выполнить в  MathCad  расчеты  по формулам (5) – (8):

а) задать функцию ,

б) ввести начальные условия,

в) вычислить  ,

г) задать выражения из формул (5) и (6)  в следующем порядке:

,

д) по формулам (7) найти   и  ,

е) по формулам (8) найти последующие значения переменных,

ж) вычисления по пунктам б) – е) повторить еще 9 раз,

- составить итоговую таблицу расчетов ( колонки - ),

- выполнить проверку результатов:

а) сделать в Excel таблицу разностей по функции  ,

б) вычислить  по формуле численного дифференцирования,

в) подставить  в правую часть (1) величины   и найти  ,

г) сравнить   и   (теоретически они должны совпасть).

д) найти абсолютную и относительную погрешности метода,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Задано дифференциальное уравнение второго порядка,  начальные условия,  и интервал   для поиска его решения методом Рунге-Кутта.

Дифференциальное уравнение

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

  

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка методом Рунге-Кутта.
  2.  Исходные данные:

                                 n=10    h=(b-a)/10   

  1.   Преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в систему уравнений первого порядка.

          

  1.  Реализация в Mathcad , все расчеты выполним по следующей схеме:

                                      Продолжение                    Продолжение

                                        

 

  1.  Составляем таблицу:

I

X

dy

dz

yi

zi

0

0,000

0,013

0,251

0,000

0,000

1

0,105

0,039

0,250

0,013

0,251

2

0,210

0,066

0,249

0,052

0,502

3

0,315

0,066

0,247

0,118

0,751

4

0,420

0,091

0,244

0,184

0,749

5

0,525

0,091

0,241

0,275

0,995

6

0,630

0,117

0,237

0,366

0,990

7

0,735

0,116

0,232

0,483

1,232

8

0,840

0,141

0,227

0,624

1,464

9

0,945

0,165

0,221

0,765

1,459

10

1,050

0,164

0,214

0,930

1,685

  1.  Проверка:

x1=0.105

y1=0.013

y1’=z1=0.251

y’’1=z1                   найдем из последней колонки, создав таблицу разностей

                        dz,  d2z,  d3z,  d4z

dz

d2z

d3z

d4z

0

0,251

0

-0,002

-0,247

0,251

0,251

-0,002

-0,249

 

0,502

0,249

-0,251

 

 

0,751

-0,002

 

 

 

0,749

 

 

 

 

Для  определения точного значения, берем первые две разности  из

таблицы:

посчитаем погрешность при расчете методом Рунге-Кутта

7.Выводы по работе:  Выполняются студентом самостоятельно.

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39573. Комплексное изучение проблемы уголовной ответственности за убийство при отягчающих обстоятельствах 2.05 MB
  Целью настоящего исследования является комплексное изучение проблемы уголовной ответственности за убийство при отягчающих обстоятельствах п. Для реализации указанной цели решаются задачи: изучения норм предусматривающих ответственность за убийство при отягчающих обстоятельствах в российском уголовном праве в историческом аспекте; юридического анализа соответствующих норм в действующем уголовном законодательстве. Практическая значимость выводов и предложений работы определяется возможностью их использования в правотворческой деятельности по...
39574. ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ «МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИИ» 185 KB
  ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИИ ВВЕДЕНИЕ Данная учебноознакомительная практика была разбита на восемь этапов: Первых шесть этапов посвящены ознакомлению особенностям высшего образования а так же уровню профессиональной подготовки выпускников по направлению Менеджмент специальности Менеджмент организации седьмой этап знакомство с современным предприятием как объектом управления а восьмой посвящен сущности менеджмента. В работе отражена экономическая...
39575. Сфера исследования экономики 21.07 KB
  Объект исследования экономики – это жизнедеятельность экономического человека, группы людей и государства, их «экономическое поведение» и связи с той экономической средой, в которой они находятся.
39576. Психологические особенности политической активности 28.38 KB
  Основой различий между активными и пассивными участниками политической жизни выступают мотивы и установки в соответствии с которыми люди включаются в политическую деятельность. Эгоцентрические это те мотивы которые концентрируются на собственной личности индивида ориентируют его на следование в политической деятельности узколичностным целям. Чтобы разобраться в происходящем выявить разные формы политической активности и политического участия во властных отношениях политическая психология делает определенные обобщения.
39577. Психологические аспекты оппозиционного поведения 1.18 MB
  Чтобы её выработать необходимо иметь представление о явлении оппозиционного поведения и о его носителях. На примере Ульяновской области можно сказать что в борьбу с политическим экстремизмом вкладываются колоссальные ресурсы. Таким образом не вызывает сомнений то что под все эти меры должна быть положена твёрдая научная база. Стоит отметить что проектами по исследованию оппозиции занимается один из фондов исследования общественного мнения что также свидетельствует о наличие интереса к данной теме.
39578. ОСНОВЫ ПОЛИТИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ 2.62 MB
  Данная книга представляет собой впервые осуществленное в России систематическое учебное изложение основных слагаемых новой науки, политической психологии. От ее предмета и задач, через психологию личности, малых и больших групп, а также психологии масс в политике, до исследовательских методов и прикладного использования, читателю предстает широкая панорама роли и потенциала «человеческого фактора» в политике
39579. Электрификация коровника на 200 голов с разработкой кормораздачи в ЗАО «Овощевод» 507.5 KB
  Автоматизация производства это применение автоматических и автоматизированных устройств и систем для полного или частичного освобождения человека от выполняемой им работы по управления и контролю при получении обработке передаче и использовании энергии материалов информации и др. Эти процессы тесно связаны с применением индустриальной технологии производства в сельском хозяйстве совершенствованием планирования и управления. пуск и остановка первичных двигателей регулировка напряжения в сети подача топлива защита от коротких замыканий...
39580. Расчет электрификации коровника на 200 голов с разработкой кормораздачи в ЗАО «Овощевод» 1.68 MB
  Сельскохозяйственная – одна из основных и жизненно важных отраслей народного хозяйства. В нашей стране на эту отрасль приходится около 4% стоимости основных фондов; в ней занято 7,2 млн. человек, что составляет 11% работающего населения. С/х дает 5,4% ВВП, производит продукты питания для населения и сырье для перерабатывающей промышленности.
39581. Связь политически активной студенческой молодёжи как формальность и неформальность с уровнем социальной зрелости 415 KB
  От уровня социальной зрелости зависит нравственнополитический климат и культура нынешнего и будущего общества. не гарантирует высокий уровень социальной зрелости. Эти приписываемые социальнопсихологические признаки по праву можно считать признаками социальной зрелости. Экспериментальные исследования в области социальной зрелости как правило сводятся к изучению школьников и выпускников школ.