10662

Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 12 Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом РунгеКутта. Цель работы. Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующ

Русский

2013-03-30

310 KB

23 чел.

Лабораторная  работа  12

Интегрирование дифференциальных уравнений

второго порядка методом Рунге-Кутта.

Цель работы.  Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующим  использованием алгоритма  Рунге-Кутта.

 Теоретические положения .  Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

                          (1)

с начальными условиями

,                                 

.                                (2)

Требуется найти его решение    на отрезке  ,  где

,  ,                  (3)

.

Если ввести  вспомогательную функцию   такую, что

 

с начальным условием   ,

то уравнение (1) можно преобразовать к системе  уравнений вида:

                          (4)

Согласно методу Рунге-Кутта система (4) решается следующим образом:  cчитая известными величины    и  ,

- найдем две группы чисел

,

,

,                                (5)

,

и

,

,             

,            (6)

.

- на основании (5)  и  (6) имеем

,                             (7)

- последующие значения переменных найдем как

                                      (8)

Подставив в (5) и (6) вместо  соответственно  , по формулам (7)  найдем  , после чего  и т.д., пока не будет пройден  весь отрезок   и найдена искомая  функция  .

Порядок выполнения работы.   

- переписать  исходные данные к работе:

     - дифференциальное уравнение,

    ,   -  начальные  условия,

      - отрезок  для поиска решения,

- количество точек решения  ,

- точность расчетов принять равной  .

- ввести вспомогательную функцию , найти к ней начальное условие  ,

- преобразовать ДУ второго порядка в систему уравнений первого порядка,

- выполнить в  MathCad  расчеты  по формулам (5) – (8):

а) задать функцию ,

б) ввести начальные условия,

в) вычислить  ,

г) задать выражения из формул (5) и (6)  в следующем порядке:

,

д) по формулам (7) найти   и  ,

е) по формулам (8) найти последующие значения переменных,

ж) вычисления по пунктам б) – е) повторить еще 9 раз,

- составить итоговую таблицу расчетов ( колонки - ),

- выполнить проверку результатов:

а) сделать в Excel таблицу разностей по функции  ,

б) вычислить  по формуле численного дифференцирования,

в) подставить  в правую часть (1) величины   и найти  ,

г) сравнить   и   (теоретически они должны совпасть).

д) найти абсолютную и относительную погрешности метода,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных. Задано дифференциальное уравнение второго порядка,  начальные условия,  и интервал   для поиска его решения методом Рунге-Кутта.

Дифференциальное уравнение

Начальные

условия

Интервал

решения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

  

         Пример расчета.   

  1.  Цель работы: проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка методом Рунге-Кутта.
  2.  Исходные данные:

                                 n=10    h=(b-a)/10   

  1.   Преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в систему уравнений первого порядка.

          

  1.  Реализация в Mathcad , все расчеты выполним по следующей схеме:

                                      Продолжение                    Продолжение

                                        

 

  1.  Составляем таблицу:

I

X

dy

dz

yi

zi

0

0,000

0,013

0,251

0,000

0,000

1

0,105

0,039

0,250

0,013

0,251

2

0,210

0,066

0,249

0,052

0,502

3

0,315

0,066

0,247

0,118

0,751

4

0,420

0,091

0,244

0,184

0,749

5

0,525

0,091

0,241

0,275

0,995

6

0,630

0,117

0,237

0,366

0,990

7

0,735

0,116

0,232

0,483

1,232

8

0,840

0,141

0,227

0,624

1,464

9

0,945

0,165

0,221

0,765

1,459

10

1,050

0,164

0,214

0,930

1,685

  1.  Проверка:

x1=0.105

y1=0.013

y1’=z1=0.251

y’’1=z1                   найдем из последней колонки, создав таблицу разностей

                        dz,  d2z,  d3z,  d4z

dz

d2z

d3z

d4z

0

0,251

0

-0,002

-0,247

0,251

0,251

-0,002

-0,249

 

0,502

0,249

-0,251

 

 

0,751

-0,002

 

 

 

0,749

 

 

 

 

Для  определения точного значения, берем первые две разности  из

таблицы:

посчитаем погрешность при расчете методом Рунге-Кутта

7.Выводы по работе:  Выполняются студентом самостоятельно.

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29016. Закрепление грунтов инъекциями цементных или силикатных растворов, битума, синтетических смол. Область применения указанных методов 34 KB
  Закрепление грунтов инъекциями цементных или силикатных растворов битума синтетических смол. Закрепление грунтов заключается в искусственном преобразовании строительных свойств грунтов в условиях их естественного залегания разнообразными физикохимическими методами. Это обеспечивает увеличение прочности грунтов снижение их сжимаемости уменьшение водопроницаемости и чувствительности к изменению внешней среды особенно влажности. Цементация грунтов.
29017. Термическое закрепление грунтов. Область применения и методы контроля качества работ 33.5 KB
  В результате этого образуются прочные водостойкие структурные связи между частицами и агрегатами грунта. Отметим что температура газов которыми производится обработка грунта не должна превышать 750.12 суток в результате чего получается упрочнённый конусообразный массив грунта диаметром поверху 15. Образуется как бы коническая свая из обожжённого непросадочного грунта с прочностью до 10 МПа.
29018. Что называется грунтом, его составные элементы 25 KB
  Структурные связи между частицами грунта. Грунтами называют любые горные породы коры выветривания земли сыпучие или связные прочность связей у которых между частицами во много раз меньше чем прочность самих минеральных частиц или эти связи между частицами отсутствуют вовсе. Вода и газы находятся в порах между твердыми частицами минеральными и органическими. Газообразные включения пары газы всегда в том или ином количестве содержатся в грунтах и могут находиться в следующих состояниях: замкнутом или защемленном располагаясь в...
29019. Назовите виды давления грунта на подпорную стенку в зависимости от ее поступательного движения. Какой вид имеет диаграмма давления грунта на стенку в зависимости от ее перемещения 31.5 KB
  Какой вид имеет диаграмма давления грунта на стенку в зависимости от ее перемещения В зависимости от поступательного движения подпорной стенки на нее могут действовать следующие виды давления грунта: активное давление; пассивное давление; давление покоя. Активным называется минимальное из всех возможных для данной стенки давление на нее грунта проявляющееся в том случае если стенка имеет возможность переместиться в сторону от засыпки рис. Активное давление иногда называют распором. Пассивным называется максимальное из всех возможных...
29020. Напряжения, возникающие в массиве грунта от действия сооружения, накладываются на поле начальных напряжений, к которым относятся напряжения от собственного веса грунта 28 KB
  Напряжения возникающие в массиве грунта от действия сооружения накладываются на поле начальных напряжений к которым относятся напряжения от собственного веса грунта. Как вычислить вертикальные напряжения в массиве грунта от его собственного веса в следующих случаях: однородное основание; многослойное основание; при наличии в толще грунта уровня подземных вод; при наличии ниже уровня подземных вод водоупорного слоя. Вертикальное напряжение от собственного веса грунта σz представляют собой вес столба грунта над рассматриваемой точкой...
29021. От чего зависит глубина заложения фундамента 31.5 KB
  Глубина заложения фундаментов является одним из основных факторов обеспечивающих необходимую несущую способность и деформации основания не превышающие предельных по условиям нормальной эксплуатации здания или сооружения. От чего зависит глубина заложения фундамента Допускается ли закладывать подошвы соседних фундаментов на разных отметках Глубина заложения фундамента определяется: инженерногеологическими условиями площадки строительства физикомеханические свойства грунтов характер напластования и пр.; гидрогеологическими условиями...
29022. В чем заключается метод вытрамбовывания котлованов 32.5 KB
  В чем заключается метод вытрамбовывания котлованов Приведите несколько наиболее распространенных конструкций и способов устройства фундаментов в вытрамбованных котлованах. Рекомендуемая область применения способов устройства фундаментов в вытрамбованных котлованах. Применяется несколько конструкций и способов устройства фундаментов в вытрамбованных котлованах. Фундаменты в вытрамбованных котлованах используются при строительстве каркасных и бескаркасных зданий в первом случае обычно располагают один фундамент под каждой колонной.
29023. Фундаменты мелкого заложения и их основные виды. Применяемые материалы и их выбор 43 KB
  Фундаменты мелкого заложения и их основные виды. К фундаментам мелкого заложения относятся фундаменты имеющие отношение их глубины заложения к ширине подошвы не превышающее 4 и передающие нагрузку на грунты основания преимущественно через подошву. Фундаменты мелкого заложения разделяются на следующие основные типы: отдельные ленточные сплошные и массивные см.2 Отдельные фундаменты устраивают под колонны опоры балок ферм и других элементов промышленных и гражданских зданий и сооружений.
29024. Отдельные фундаменты мелкого заложения. Основные конструктивные решения и применяемые материалы 48 KB
  Отдельные фундаменты мелкого заложения. Отдельные фундаменты устраивают под колонны опоры балок ферм и других элементов промышленных и гражданских зданий и сооружений. Отдельные фундаменты представляют собой кирпичные каменные бетонные или железобетонные столбы с уширенной опорной частью. Отдельные фундаменты могут выполняться в монолитном и сборном варианте.