10735

СТАТИСТИКА Учебно-методическое пособие

Книга

Социология, социальная работа и статистика

Л. Г. Чичкан Г. Я. Житкевич СТАТИСТИКА Учебнометодическое пособие ВВЕДЕНИЕ В современном обществе статистика стала одним из важнейших инструментов управления народным хозяйством. Она собирает информацию характеризующую развитие экономики стран...

Русский

2013-04-01

1.01 MB

139 чел.

Л. Г. Чичкан, Г. Я. Житкевич

СТАТИСТИКА

Учебно-методическое
пособие

ВВЕДЕНИЕ

В современном обществе статистика стала одним из важнейших инструментов управления народным хозяйством. Она собирает информацию, характеризующую развитие экономики страны, культуры и жизненного уровня народа. С помощью статистической методологии вся полученная информация обобщается, анализируется и в результате дает возможность увидеть стройную систему взаимосвязей в экономике, яркую картину и динамику развития, позволяет делать международные сопоставления.

В условиях перехода к рыночным отношениям перед статистической теорией и практикой встает новая задача – реформирование общеметодологических и организационных ее основ.

Особое место отводится такой отрасли статистической науки, как теория статистики, которая является важным инструментом, обеспечивающим теоретическую и методологическую подготовку специалистов высшей квалификации, а также менеджеров, коммерсантов, бухгалтеров и тех, кто избрал статистику свой профессией.

Курс «Статистика» является первой частью единой статистической науки. В курсе изучаются общие категории, принципы и методы статистической науки, последовательно рассматриваются вопросы, возникающие на стадии статистического наблюдения, сводки первичного материала и его последующей обработки.

Задачи изучения теории статистики. В результате изучения курса теории статистики студенты должны овладеть знаниями общих основ статистической науки и общими навыками проведения статистического исследования.

Студенты должны знать: научные принципы организации статистических служб, их современную организацию; принципы и методы организации сбора статистических данных; принципы и методы обработки результатов статистического наблюдения (его материалов); сущность обобщающих статистических показателей – абсолютных статистических величин, средних, показателей вариации, динамики, взаимосвязи, основы анализа статистических данных.

Студенты должны уметь: организовать и провести сплошное и несплошное наблюдение; строить статистические таблицы; исчислять различные статистические показатели (абсолютные и относительные, средние, показатели вариации, аналитические показатели динамики, показатели тесноты связи); анализировать статистические данные и формулировать выводы, вытекающие из анализа данных.

Тема 1

ПРЕДМЕТ И МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ НАУКИ

Статистика имеет свой предмет изучения. Она изучает количественную сторону массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной, исследует количественное выражение закономерностей общественного развития в конкретных условиях места и времени.

Свой предмет статистика изучает при помощи определенных категорий, т. е. понятий, отражающих наиболее общие и существенные свойства, признаки, связи и отношения предметов и явлений объективного мира.

В статистике таких показателей пять.

  1.  Статистическая совокупность – это совокупность объектов, явлений, объединенных общей связью, но отличающихся друг от друга отдельными признаками.
  2.  Единица совокупности – это первичный элемент, являющийся носителем признаков.
  3.  Признак – это черты и свойства единиц совокупности.
  4.  Статистический показатель – это понятие (категория), отражающее количественные характеристики соотношения признаков общественных явлений. Статистические данные – это конкретные числовые значения статистических показателей.
  5. Система статистических показателей – это совокупность статистических показателей, отражающая взаимосвязи, которые существуют между явлениями.

Специфические приемы, с помощью которых статистика изучает свой предмет, образуют статистическую методологию.

Во всяком статистическом исследовании можно выделить три последовательные стадии.

  1. Статистическое наблюдение, т. е. сбор первичного статистического материала.
  2. Сводка результатов наблюдения в определенные совокупности.
  3. Анализ полученных сводных материалов.

На этих стадиях статистического исследования применяются специфические методы, образующие статистическую методологию и обусловленные спецификой предмета статистики.

Метод массовых наблюдений и закон больших чисел. На первой стадии статистической работы – на стадии статистического наблюдения – перед статистикой стоит задача: учесть каждый единичный факт и индивидуальные значения присущих ему признаков. Характерным для этой стадии является метод массовых наблюдений. Статистическое наблюдение всегда массовое. Это объясняется тем, что статистика изучает закономерности, которые проявляются в массовых явлениях. В индивидуальных значениях признаков проявляются не только общие для всех единиц совокупности обстоятельства и причины, но и индивидуальные причины, случайные для всей массы фактов. Так, на выработку каждого отдельного рабочего в определенный день влияют не только общие условия производства, но и индивидуальные причины. Эти индивидуальные факторы могут влиять как на увеличение, так и на уменьшение индивидуальной выработки. В обобщающих показателях, исчисленных на основе массового наблюдения, взаимно погашаются следствия, порожденные этими случайными причинами, и остаются следствия, обусловленные общими для всех фактов причинами. В этом проявляется действие закона больших чисел, который требует достаточно большого числа наблюдений для того, чтобы статистические характеристики были типичны и свободны от влияния случайных факторов.

ТЕСТЫ

1. Статистика изучает:

а) политическое состояние государства;

б) состояние государства в словесной форме, без цифр и вне динамики;

в) массовые явления и характеризует их с количественной и качественной сторон и выявляет закономерности;

г) общественные явления с помощью числовых характеристик.

2. Органы государственной статистики финансируются за счет:

а) кредитов банка;

б) средств государственного бюджета;

в) средств заказчиков;

г) средств государственного бюджета и средств заказчиков.

3. Закон РБ «О государственной статистике» был принят в:

а) 1998г.;

б) 1997г.;

в) 1996г.;

г) 1995г.

4. Основой статистики являются следующие науки:

а) история, макроэкономика;

б) география, обществоведение, экономика;

в) экономическая теория, микро- и макроэкономика;

г) история, география, экономика.

5. Статистика использует в своих исследованиях следующие методы:

а) индексный метод и метод сводки;

б) методы средних и относительных величин, метод группировки;

в) метод статистического наблюдения, метод средних величин;

г) метод сводки и группировки, метод статистического наблюдения, метод средних и относительных величин, индексный метод.

6. Закон «О государственной статистике РБ» распространяется на:

а) государственные предприятия;

б) юридические лица;

в) юридические лица всех форм собственности, предпринимателей и физических лиц;

г) предпринимателей с образованием юридического лица.


Тема 2 

ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО НАБЛЮДЕНИЯ

Обеспечение статистики материалами, необходимыми для успешного выполнения стоящих перед ней задач, требует соответствующей организации статистического наблюдения. Статистическое наблюдение – это научно организованное получение сведений о явлениях и процессах общественной жизни. Статистическое наблюдение – первый этап статистической работы. Например, необходимо изучить состав рабочих и служащих промышленного предприятия зарегистрировать данные о возрасте, поле, профессии, квалификации, стаже работы, заработной плате.

Собранные массовые данные должны быть строго достоверными, полными, объективными. Только в этом случае они обеспечат правильность выводов. Регистрация первичного материала должна проводиться по заранее составленному плану, в котором предусматриваются программные и организационные вопросы.

Организационные мероприятия по осуществлению наблюдения включают:

Во-первых, определение цели и задачи статистического наблюдения. При этом указываются то общественное явление и те стороны, которые подлежат изучению исходя из практических и научных нужд.

Во-вторых, установление объекта и единицы наблюдения. Объектом статистического наблюдения является совокупность, в рамках которой проводится исследование. Заводы, выпускающие грузовые и легковые автомобили, выделенные для исследования, представляют собой статистическую совокупность. Правильное установление объекта наблюдения и его границ имеет важное значение как при организации специальных статистических обследований, так и при организации статистической отчетности.

В третьих, разработку программы наблюдения и инструкции к ней. Самым основным моментом организации статистического наблюдения является составление программы.

Программа статистического наблюдения определяется задачами статистического исследования. Она содержит в себе перечень признаков, которые подразделяются на:

  1. признаки сходства;
  2. определяющие признаки;
  3. варьирующие признаки.

В-четвертых, разработку статистического формуляра (особого документа): отчета, карточки, анкеты.

Например, сведения о каждом из автомобильных заводов (единице наблюдения) могут быть занесены в карточку такой формы:

Наименование и марки
автомашин

Единица измерения

Виды
автомашин

Фактический выпуск за год

Действующая оптовая цена предприятия
за единицу, р.

Стоимость выпуска, р.

Кому
отпускается

А

Б

1

2

3

4

5

Статистическая теория установила ряд принципов и правил организации и проведения наблюдения. Прежде всего, это одновременность и периодичность наблюдения, т. е. необходимо собирать статистический материал одновременно на всей территории страны и периодически это повторять. Примером тому может служить действующая государственная система отчетности, а также различные переписи.

Основным законом статистики является строгая достоверность статистического материала. Это требование относится прежде всего к статистическому наблюдению. Ошибки, возникающие в процессе наблюдения, могут быть различны. Так, при составлении отчетности источником ошибок могут быть ошибки первичного учета, но возможны и преднамеренные ошибки с целью завышения показателей фактического выполнения плана. Эти ошибки преследуются как преступление уголовного характера. Органы государственной статистики, вышестоящие органы должны тщательно контролировать статистическую отчетность.

В процессе проведения специального статистического обследования возможны ошибки регистрации. Они также могут быть преднамеренными и непреднамеренными. Устранение этих ошибок достигается путем тщательного контроля собранного материала и путем организации контрольной выборочной проверки. Кроме того, для предупреждения этих ошибок необходимо тщательно подбирать и инструктировать кадры.

Ошибки наблюдения можно выявить и при хорошей организации контроля статистических отчетов, статистических бланков. Применяются два вида контроля: счетный (арифметический) и логический. Счетный контроль – это проверка итогов, отдельных числовых показателей, вытекающих один из другого. Логический контроль – это сопоставление ответов на взаимосвязанные между собой вопросы программы наблюдения.

Формы статистического наблюдения. В статистике используются три организационные формы (типы) статистического наблюдения:

  1. отчетность предприятий;
  2. специально организованное статистическое наблюдение (переписи, единовременные учеты, обследования сплошного и несплошного характера);
  3. регистры.

Статистическая отчетность. Отчетность – это основная форма статистического наблюдения, с помощью которой статистические органы в определенные сроки получают от предприятий, учреждений и организаций необходимые данные в виде установленных в законном порядке отчетных документов, скрепляемых подписями лиц, ответственных за представление и достоверность собираемых сведений.

Отчетность – это официальный документ, содержащий статистические сведения о работе предприятия, учреждения, организации, фирмы.

Статистическую отчетность делят на типовую и специализированную.

Для отчетности характерно то, что она:

  1. утверждается органами государственной статистики;
  2. имеет обязательный характер;
  3. имеет юридическую силу, так как подписывается руководителем предприятия;
  4. имеет документальную обоснованность, т. к. все данные базируются на документах первичного учета.

По срокам представления отчетность бывает ежедневная, недельная, двухнедельная, месячная, квартальная и годовая.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1

Цель статистического наблюдения – изучить состав студентов группы 22.

Определить, какие признаки следует включать в программу данного наблюдения.

Решение:

В программу статистического наблюдения должны быть включены самые существенные признаки, такие как:

фамилия, имя, отчество;

год рождения;

место рождения;

пол;

образование;

стаж работы;

состояние в браке (состоит, не состоит);

средний балл аттестата, диплома и др.

Задача 2

Сведения о промышленных предприятиях района за 2001 г.

Наименование предприятия

Выпуск
продукции, тыс. р.

Производительность труда, р.

Средняя месячная заработная плата, дол.

Обувная фабрика

7300

8500

121

Мебельная фабрика

2850

6380

138

Машиностроительный завод

13925

9430

144

Определите:

что является объектом и единицей статистического наблюдения;

какими признаками характеризуются единицы данного статистического наблюдения;

какие признаки являются определяющими, а какие варьирующими.

Решение:

  1. Объектом статистического наблюдения является совокупность промышленных предприятий.
  2. Единицей статистического наблюдения является каждое отдельное промышленное предприятие.
  3. Каждая единица статистического наблюдения характеризуется следующими признаками: выпуском продукции, производительностью труда, средней месячной заработной платой.
  4. Определяющим признаком является то, что все предприятия – промышленные.
  5. Варьирующими признаками будут: выпуск продукции, производительность труда, средняя месячная заработная плата.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

Составьте перечень важнейших признаков, характеризующих следующие единицы статистического наблюдения:

  1. совместное предприятие;
  2. фермерское хозяйство;
  3. негосударственное учебное заведение: школа, вуз;
  4. коммерческий банк;
  5. некоммерческая организация (выберите организацию сами).

Задача 2

Составьте инструментарий статистического обследования по сбору данных для анализа:

  1. экологической обстановки в регионе;
  2. эффективности рекламных объявлений;
  3. качества и стоимости обучения в вузе.

Задача 3

Составьте анкету опроса покупателей лыж или другой спортивной продукции, в которой все вопросы были бы:

  1. открытыми;
  2. закрытыми.

Задача 4

Определите форму, способ и виды следующих статистических наблюдений:

  1. всеобщей переписи населения страны;
  2. обследования цен производителей продукции;
  3. обследования потребительских цен;
  4. бюджетных обследований.

Задача 5

Определите вид статистического наблюдения, который целесообразно избрать при проведении следующего обследования:

  1. книжному киоску вашего вуза необходима информация об оценке студентами состава предлагаемой им учебной литературы.

Задача 6

Определите вид статистического наблюдения, который целесообразно избрать при проведении следующих обследований:

  1. фирме, выпускающей диетические продукты питания, требуется информация о потребностях жителей региона в продукции;
  2. редакции газеты нужна информация об отношении населения региона к строительству крупного промышленного объекта.

ТЕСТЫ

1. Статистическое наблюдение – это:

а) учет фактов путем регистрации фактов;

б) анкетирование;

в) научно-организованный по единой программе учет фактов о процессах общественной жизни;

г) наблюдение, основанное на использовании данных бухгалтерского и оперативного учета.

2. Статистическая совокупность – это:

а) все объекты наблюдения;

б) первичный элемент объекта статистического наблюдения, являющийся носителем признаков;

в) качественно однородные группы фактов, явлений, людей по одному или нескольким признакам;

г) перечень признаков, характеризующих статистическую совокупность.

3. Ценз – это:

а) черты и свойства единиц совокупности;

б) численно выраженные варианты;

в) признаки, на основании которых явления и предметы объединены в одну группу;

г) признак ограничительный, которому должны удовлетворять все единицы совокупности.

4. Видами статистического наблюдения являются:

а) учетно-статистическое, специально организованное, реестровое;

б) сплошное, текущее, единовременное, специально организованное;

в) текущее, единовременное, сплошное и несплошное;

г) специально организованное, сплошное, единовременное, реестровое.

5. Корреспондентский способ опроса означает:

а) лицо само регистрирует факты;

б) регистратор опрашивает лицо и с его слов заполняет бланк обследования;

в) организация рассылает бланки к отдельным лицам с просьбой их заполнить;

г) получение анкет, форм отчетности.

6. Статистическая отчетность – это:

а) показатели, характеризующие работу предприятий;

б) табель отчетности;

в) официальный документ, содержащий статистические сведения о работе подотчетного предприятия;

г) перечень отчетных форм, которые предприятие должно представить в статистические органы;

7. За несвоевременное предоставление отчетности налагается штраф в размере:

а) 10–20 минимальных заработных плат;

б) 150–300 минимальных заработных плат;

в) 50–100 минимальных заработных плат;

г) 20–50 минимальных заработных плат;


Тема 3 

СВОДКА И ГРУППИРОВКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

 

В результате статистического наблюдения получают большое количество данных, сведений, характеризующих каждую единицу совокупности. Первичные данные необходимо систематизировать и обобщить, т. е. надо перейти от характеристики единичного факта к характеристике групп единиц и совокупности в целом. Поэтому вторым этапом статистического исследования является статистическая сводка. Статистическая сводка – это научная обработка первичных данных для обобщенной характеристики всей совокупности. Например, в результате переписи населения поступили данные о каждом гражданине страны по ряду признаков. Этот первичный материал подвергается научной обработке: определяется общая численность населения, численность мужчин и женщин, численность городского и сельского населения отдельных городов, областей, краев, республик и т. д.

Основная задача сводки – обобщить материал, дать характеристику всей совокупности, выявить закономерности массовых процессов, которые в ней содержатся и проявляются в обобщающих показателях. Содержание статистической сводки можно представить в виде следующих элементов:

  1. статистической группировки, т. е. расчленения исследуемого явления на части (группы и подгруппы);
  2. разработки системы показателей, характеризующих эти группы и подгруппы;
  3. подсчета групповых и общих итогов;
  4. изложения полученных результатов в виде таблиц.

Пример. Рассмотрим значение статистической сводки и сущность перечисленных ее элементов. В процессе статистического наблюдения экспериментального участка приборостроительного завода собраны следующие сведения:

Табельный номер рабочего

Образование, окончено классов

Разряд

Степень выполнения нормы, %

Стаж работы (общий)

Заработная плата за месяц, тыс. р.

001

7

6

102

27

165

002

10

5

107

10

135

003

10

4

109

8

122

004

10

6

120

24

172

005

10

4

105

7

120

006

10

4

103

11

119

007

10

5

130

12

146

008

10

4

110

8

124

На основании материалов наблюдения сделаем сводку, т. е. подсчитаем общее количество рабочих (8 чел.), общий стаж работы (107 лет) и общую сумму начисленной заработной платы за месяц (1103 тыс. р.). В процессе сводки статистический материал упорядочивают, систематизируют, делят на группы по существенным признакам.

Группировкой называется распределение изучаемого явления на однородные группы. Признаки, по которым производится распределение единиц изучаемой совокупности на группы, называются группировочными признаками или основанием группировки.

В зависимости от вида группировочных признаков различают группировки по:

  1. атрибутивным (качественным) признакам – пол, образование, семейное положение;
  2. количественным признакам:
  3. дискретные, которые имеют одно количественное значение (тарифный разряд, число членов семьи, число комнат в квартире);
  4. интервальные – значение варианты даны в виде интервалов (до 100%, от 100 до 120%, от 120 до 150% и т. д.).

При составлении структурных группировок на основе варьирующих количественных признаков определяют:

  1. количество групп по формуле американского ученого Стерджесса:

,

где N – число единиц совокупности.

  1. величину интервала по формуле

,

где i – размер интервала; хmax – максимальное значение признака; хmin – минимальное число признака; n – число групп.

Количество групп и величина интервала связаны между собой: чем больше образовано групп, тем меньше интервал, и наоборот. При определении количества групп необходимо стремиться к тому, чтобы были учтены особенности изучаемого явления.

Интервалы могут быть:

  1. равными;
  2. неравными – прогрессивно возрастающие или убывающие;
  3. открытыми – когда имеется только верхняя либо нижняя граница (до 100%; свыше 100%).
  4. закрытыми (от 100 до 110%).

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1

Произвести группировку с равными интервалами по данным об уровне производительности труда рабочих, которая в 2002 г. колебалась в пределах от 600 до 750 тыс. рублей. При этом выделить 5 групп.

Решение:

  1. Определяем величину интервала: .
  2. Образуем группы по уровню производительности труда с равным интервалом – 30 тыс. рублей.
  3. 600–630;
  4. 630–660;
  5. 660–690;
  6. 690–720;
  7. 720–750.

Задача 2

Имеются следующие данные о добыче угля за 2002г. по 20 шахтам:


шахты

Среднесуточная добыча угля, т


шахты

Среднесуточная добыча угля, т


шахты

Среднесуточная добыча угля, т


шахты

Среднесуточная добыча угля, т

1

594

6

1315

11

1946

16

2156

2

1102

7

1903

12

2057

17

1210

3

1068

8

1481

13

1681

18

2345

4

2015

9

1542

14

1984

19

1982

5

925

10

826

15

2116

20

1359

Проведите группировку по размерам среднесуточной добычи угля, образовав 5 групп.

Определите в каждой группе: а) число шахт; б) общую добычу угля по группам шахт; в) среднюю добычу угля на 1 шахту по группам и по всем шахтам.

Решение:

  1. Определяем размер интервала: .
  2. Построим таблицу и рассчитаем показатели:

Группы по размерам
среднесуточной добычи угля, т

Количество шахт

Общая добыча угля
по группам шахт, т

Средняя добыча угля
по группам, т

1

2

3

4

594–944

3

2345

781,7

Окончание табл.

1

2

3

4

944–1294

3

3380

1126,7

1294–1644

4

5697

1424,2

1644–1994

5

9499

1899,8

1994–2345

5

10 689

2137,8

Итого:

20

31 610

1580,5

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

В литейном цехе черновой вес отливок детали № 6 в килограммах равен:

16,0

16,4

16,2

16,1

16,3

16,0

16,1

16,3

16,2

16,5

16,0

16,4

16,4

16,1

16,2

16,4

16,2

16,1

16,4

16,2

16,0

16,4

16,3

16,2

16,3

16,4

16,5

16,1

16,2

16,3

16,5

16,2

16,1

16,2

16,4

16,5

16,4

16,2

16,2

16,3

Допустимая черновая масса отливок составляет от 16,1 до 16,4 кг.

Распределите отливки на группы с одинаковым весом в убывающем порядке. Определите количество деталей в каждой группе.

Установите, сколько отливок и по каким группам пойдет в брак.

Задача 2

Ниже приведен список рабочих цеха металлоизделий – мебельной фурнитуры:

Абакумов В. К. – зенковщик

Акопян В. Л.  – сборщик мебельной фурнитуры

Антонов С. Я.  – штамповщик

Антропов В. Я. – никелировщик

Бабочкин А. С. – кочегар

Белов Л. А.  – сборщик мебельной фурнитуры

Боброва Ф. А.  – штамповщица

Бубнова П. Х.  – зенковщица

Воронцова М. Ф. – подсобная рабочая

Голицын С. Н. – сборщик мебельной фурнитуры

Громова М. А. – никелировщица

Дунаев К. В.  – шлифовщик

Ляпин Г. В.   – электромонтер

Матушевич А. Г. – никелировщик

Москвина Е. Г. – шлифовщица

Носко П. И.   – зенковщица

Орлов В. С.   – никелировщик

Остапенко Ф. С.  – никелировщик

Ошейнин П. К. – шлифовщик

Пантелеева М. З. – зенковщица

Пастухова Я. П.  – сборщица мебельной фурнитуры

Румянский С. П.  – штамповщик

Сапожникова Г. С. – сборщица мебельной фурнитуры

Сенина В. Г.   – никелировщица

Проведите группировку рабочих по профессиям.

Задача 3

Ниже приведены данные оперативного учета качества работ на одном из участков цеха:

Табельный номер рабочего

Шифр качества работ2*

Табельный номер рабочего

Шифр качества работ*

Табельный номер рабочего

Шифр качества работ*

875

02

596

01

763

02

943

03

738

02

859

03

679

02

937

01

647

01

514

02

626

02

995

03

725

01

844

02

831

02

621

02

719

02

656

02

742

03

617

01

789

03

Распределите на группы рабочих по качеству выполненных ими за отчетный период работ.

Задача 4

Имеются следующие данные о работе 20 предприятий:


п/п

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн дол.

Среднегодовое число
работающих за отчетный период, чел.

Производство продукции
за отчетный период,
млн дол.

Выполнение плана, %

1

2

3

4

5

1

400

360

700

95,3

2

480

380

740

98,2

3

600

220

1100

112,6

4

700

460

1220

100,6

5

450

395

780

105,1

Окончание табл.

1

2

3

4

5

6

480

280

630

100,5

7

680

580

890

90,1

8

730

200

1100

120,9

9

1200

470

2180

115,1

10

890

340

1420

114,7

11

1020

530

1680

102,1

12

560

250

710

100,9

13

480

180

620

105,0

14

730

270

1470

119,1

15

660

235

1110

116,3

16

930

610

1170

98,7

17

520

380

790

100,0

18

670

290

970

107,1

19

740

310

1200

109,2

20

820

470

1370

100,8

13 740

7 210

21 850

  1. По данным таблицы построить ряд распределения по стоимости основных фондов с равными закрытыми интервалами, образовав пять групп предприятий. Подсчитать количество заводов в каждой группе. Сделать выводы.
  2. По данным таблицы построить ряд распределения по числу работающих, образовав пять групп предприятий с равными интервалами. По каждой группе определить:
  3. число предприятий;
  4. стоимость основных производственных фондов;
  5. объем производства продукции.

Задача 5

В результате обследования специалистов конструкторского и технологического отделов завода по уровню образования получены следующие данные:


п/п

Образование

Пол


п/п

Образование

Пол

1

2

3

1

2

3

1

Высшее

Муж.

5

Среднетехническое

Жен.

2

Среднетехническое

Муж.

6

Среднетехническое

Муж.

3

Высшее

Муж.

7

Высшее

Жен.

4

Среднетехническое

Жен.

8

Высшее

Жен.

Окончание табл.

1

2

3

1

2

3

5

Среднетехническое

Жен.

15

Среднетехническое

Муж.

6

Среднетехническое

Муж.

16

Среднее

Жен.

7

Высшее

Жен.

17

Высшее

Муж.

8

Высшее

Жен.

18

Высшее

Жен.

9

Среднее

Жен.

19

Среднетехническое

Жен.

10

Высшее

Жен.

20

Среднетехническое

Жен.

11

НСШ

Жен.

21

Высшее

Муж.

12

Среднетехническое

Муж.

22

Высшее

Муж.

13

Высшее

Жен.

23

Среднетехническое

Муж.

14

Высшее

Жен.

24

Высшее

Муж.

Произвести группировку специалистов:

  1. по уровню образования;
  2. по полу.

Задача 6

Имеются данные о стаже работы и средней месячной заработной плате рабочих механического цеха.


п/п

Стаж
работы, лет

Среднемесячная
заработная плата, дол.


п/п

Стаж
работы, лет

Среднемесячная
заработная плата, дол.

1

2,0

45

16

10,5

68

2

1,0

44

17

7,5

48

3

6,0

56

18

5,0

47

4

6,5

55

19

4,0

46

5

10,5

80

20

4,5

48

6

13,0

82

21

15,0

85

7

13,5

83

22

8,0

68

8

4,5

46

23

8,2

69

9

6,0

47

24

9,0

60

10

12,0

69

25

6,0

46

11

14,5

81

26

4,5

44

12

16,0

83

27

5,0

46

13

1,0

44

28

8,0

49

14

9,0

50

29

10,0

68

15

8,3

48

30

6,5

50

Произвести группировку рабочих по стажу работы, образовав 4 группы с неравными интервалами. Каждую группу охарактеризовать следующими показателями:

  1. число рабочих;
  2. средний стаж работы;
  3. среднемесячная заработная плата одного рабочего.

Результаты группировки представить в виде аналитической таблицы. Сделать краткие выводы о зависимости уровня заработной платы рабочих от стажа работы.

Задача 7

По 20 предприятиям отрасли имеются следующие данные об электровооруженности труда и средней выработке продукции рабочего за отчетный период:


предприятия

Электровооруженность труда,
квт-ч/чел-час

Средняя выработка продукции, тыс. долл.


предприятия

Электровооруженность труда,
квт-ч/чел-час

Средняя выработка продукции, млн р.

1

7

8,0

11

3

4,0

2

5

6,7

12

6

7,8

3

4

5,3

13

4

6,3

4

5

6,3

14

5

7,0

5

4

5,6

15

4

6,1

6

3

3,5

16

6

7,6

7

6

7,3

17

5

6,9

8

6

8,0

18

6

7,9

9

5

6,0

19

7

8,7

10

5

6,4

20

3

3,9

Провести аналитическую группировку предприятий по уровню электровооруженности труда. Каждую выделенную группу охарактеризовать следующими признаками:

  1. количество предприятий – всего и в процентах к итогу;
  2. средняя выработка продукции на одного рабочего.

Результаты группировки представить в виде статистической таблицы. Сделать краткие выводы.

ТЕСТЫ

1. Статистическая группировка – это:

а) научная обработка первичных данных для обобщенной характеристики всей совокупности;

б) переход от единичных сведений к сведениям о совокупности в целом и о группах единиц;

в) распределение единиц совокупности на однородные группы;

г) выявление и характеристика социально-экономических типов.

2. Величина равного интервала определяется по формуле:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Интервалы бывают:

а) результативными, открытыми;

б) атрибутивными, равными, неравными;

в) открытыми, альтернативными, закрытыми;

г) открытыми, закрытыми, равными, неравными.

4. Атрибутивные ряды распределения – это:

а) ряды, где значения варианты дают в виде интервалов;

б) ряды, где значения варианты имеют количественный признак;

в) ряды, где значения варианты не имеют количественной меры;

г) ряды, где показывается состав совокупности по признакам.

5. Вариационные ряды – это:

а) распределение единиц совокупности на группы по количественным признакам;

б) распределение единиц совокупности по возрастанию или убыванию значений варьирующего признака;

в) ряды, где значения варианты не имеют количественной меры;

г) упорядоченное распределение единиц совокупности.

6. Вариационные ряды бывают:

а) атрибутивными;

б) альтернативными;

в) интервальными;

г) дискретными.

Статистические таблицы

Результаты сводки и группировки материалов статистического наблюдения излагаются в виде таблиц.

Статистической называется таблица, которая содержит сводную числовую характеристику исследуемой совокупности по одному или нескольким существенным признакам.

Основные элементы статистической таблицы

Название таблицы

(общий заголовок)

Содержание строк

Наименование граф (верхние заголовки)

А

1

2

3

4

5

6

Наименование строк (боковые заголовки)

Итоговая строка

Итоговая графа

Внешне статистическая таблица представляет определенную комбинацию вертикальных граф и горизонтальных строк, которые еще не заполнены цифрами и называется макетом таблицы. Каждая статистическая таблица (макет) имеет подлежащее и сказуемое.

Подлежащее таблицы – это объект нашего изучения. Обычно подлежащее располагается слева в виде наименования горизонтальных строк.

Сказуемое – это система показателей, которыми характеризуется объект изучения, т. е. подлежащее таблицы, и располагается справа в виде наименования вертикальных граф.

В зависимости от содержания таблицы подлежащее и сказуемое иногда могут меняться местами.

В зависимости от построения подлежащего различают виды таблиц: простые, групповые, комбинационные.

Простыми называются таблицы, в подлежащем которых нет группировок, а дается лишь перечень единиц совокупности с количественной характеристикой каждой из них (перечневые), административных районов (территориальные таблицы) или периодов времени (хронологические таблицы).

Групповыми таблицами называются такие таблицы, которые в подлежащем содержат группировку единиц совокупности по одному признаку.

Комбинационными таблицами называются такие таблицы, в которых подлежащее содержит группировку единиц совокупности по двум и более признакам, взятым в сочетании.

Практикой выработаны следующие основные правила составления и оформления статистических таблиц:

  1. Таблица должна быть по возможности небольшой по размерам, т. к. краткую таблицу легче проанализировать. Иногда целесообразнее построить две-три небольшие таблицы, чем одну большую.
  2. Название таблицы, заглавия строк подлежащего и граф сказуемого должны быть сформулированы точно, кратко и ясно и, если это требуется, должны иметь единицы измерения. В названии таблицы следует указать территорию и период, к которым относятся приводимые данные. Не следует название показателей в таблице сопровождать инструкционными пояснениями, раскрывающими их содержание. Лучше эти пояснения вынести в примечание.
  3. Строки подлежащего и графы сказуемого обычно размещаются по принципу: от частного к общему, т. е. сначала показывают слагаемые, а в конце подлежащего или сказуемого подводят итоги. Если приводятся не все слагаемые, а выделяются наиболее важные из них, то сначала показывают общие итоги, а затем выделяют наиболее важные их составные части, для этого после итоговой строки дают пояснения «в том числе».
  4. Строки в подлежащем и графи в сказуемом часто нумеруют для того, чтобы удобнее было ссылаться на цифры таблицы. При этом в сказуемом нумеруются только графы, в которые вписываются цифры. Графы подлежащего либо совсем не нумеруются, либо обозначаются литерами («а», «б» и т. д.).
  5. При заполнении таблицы пользуются следующими условными обозначениями: если данное явление совсем не имеет места, ставят тире; если сведения о данном явлении отсутствуют, ставят многоточие или пишут «нет сведений»; если сведения имеются, но числовые значения меньше принятой в таблице точности, ставят 0, 0.
  6. Округленные числа приводятся в таблице с одинаковой степенью точности (до 0,1, до 0,01 и т. д.). когда показатели в процентах выражаются большими числами, например четырехзначными, целесообразно заменить их выражением «во столько-то раз больше или меньше» Например, вместо 2489% лучше написать «в 24,9 раза больше».
  7. Если приводятся не только отчетные данные, но и данные, полученные в результате расчетов, целесообразно об этом сделать оговорку в таблице или в примечании к ней.
  8. Таблица может сопровождаться примечаниями, в которых указываются источники данных, более подробное содержание показателей и другие необходимые пояснения.

Нужно уметь пользоваться таблицами. Прежде чем приступить к анализу данных таблицы, следует ознакомиться с названием таблицы, заголовками граф и строк, установить, на какую дату приводятся данные, уяснить, какие процессы характеризуются относительными величинами.

Анализ данных статистической таблицы следует начинать с итогов. Ознакомление с итогами дает общее представление о данных таблицы. Затем необходимо перейти к анализу данных отдельных строк и граф, но их нужно читать не подряд, а выбирать сначала частные итоги и наиболее характерные данные, а затем анализировать все остальные.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

Постройте макет таблицы, в которой должны быть показаны результаты статистического наблюдения работы промышленных предприятий № 1, 2, 3 и т. д. за 2002 г. по следующим основным показателям: стоимости выработанной продукции, тыс. р.; численности рабочих; фонду заработной платы рабочих, р.; стоимости основных средств предприятия на конец 2002 г., тыс. р.

Задача 2

Имеются следующие данные, характеризующие производство автомобилей:

  1. в 1997г. произведено автомобилей – всего 616,3, в том числе грузовых и автобусов 415,1, легковых – 201,2;
  2. в 1998г. – всего 916,1, в том числе грузовых и автобусов – 571,9, легковых – 344,2;
  3. в 1999г. – всего 1142,6, в том числе грузовых и автобусов – 613,6, легковых – 529,0;
  4. в 2000г. – всего 1378,8, в том числе грузовых и автобусов – 648,7, легковых – 730,1;
  5. в 2001г. – всего 1602,2, в том числе грузовых и автобусов – 685,5, легковых – 916,7;
  6. в 2002г. – всего 1846,3, в том числе грузовых и автобусов – 726,9, легковых – 1119,4 (в тыс. шт.)

Постройте по этим данным таблицу.

Задача 3

Спроектируйте макет комбинационной таблицы, показывающей состав рабочих машиностроительного завода по профессиям (токари, фрезеровщики, слесари) и по квалификации (второй – шестой разряды тарифной сетки).

Задача 4

По плану на 2002г. завод текстильного машиностроения должен был выпустить: чесальных машин для хлопка – 55, прядильных машин – 42, ткацких станков – 63, в том числе автоматических ткацких станков – 46. Фактически в 2002г. завод произвел: чесальных машин для хлопка – 36, прядильных машин – 48, ткацких станков – 60, в том числе автоматических ткацких станков – 40.

Постройте таблицу и отразите в ней плановые, фактические показатели и проценты выполнения плана производства каждого вида продукции завода. Сделайте вывод о выполнении плана заводов по выпуску отдельных видов станков.

Задача 5

Имеются следующие сведения о выпуске продукции и численности рабочих по 30 предприятиям местной деревообрабатывающей промышленности за месяц:

Номер
предприятия

Выпуск
продукции, тыс. р.

Число рабочих

Номер
предприятия

Выпуск
продукции, тыс. р.

Число рабочих

1

387

615

16

469

689

2

65

190

17

250

460

3

180

375

18

149

325

4

45

124

19

427

660

5

226

430

20

53

135

6

110

249

21

209

410

7

351

558

22

550

771

8

108

245

23

97

227

9

146

318

24

314

527

10

175

367

25

187

380

11

316

531

26

60

161

12

176

369

27

118

268

13

100

230

28

106

250

14

264

470

29

591

810

15

67

170

30

214

421

Распределите эти предприятия по объему выпущенной продукции на следующие четыре группы: 1 – предприятия с выпуском продукции до 100 тыс. р., 2 – 101–200 тыс. р., 3 – 201–300 тыс. р., 4 – 301–400 тыс. р., 5 – свыше 400 тыс. р.

Определите в каждой группе:

  1. число предприятий;
  2. объем выпущенной продукции;
  3. число рабочих;
  4. среднюю выработку одного рабочего (р.)

Определите среднюю выработку одного рабочего по всем предприятиям (р.)

Постройте таблицу и заполните ее исчисленными показателями. Установите связь между производительностью труда (средней выработкой одного рабочего) и размером предприятия по выпуску продукции.

Задача 6

Построить макет таблицы, указать подлежащее, сказуемое. Указать виды построенных статистических таблиц:

  1. для изучения распределения предприятий по размеру выпуска продукции;
  2. для характеристики распределения работающих по размеру заработной платы;
  3. для характеристики распределения предприятий по проценту выполнения плана;
  4. для характеристики распределения населения по возрасту.

Задача 7

Для изучения качества работы предприятий построить макет таблицы, в подлежащем которой должны быть группы предприятий по проценту выполнения плана, а в сказуемом число предприятий, число рабочих, размер валовой продукции по плану и фактически. Указать подлежащее, сказуемое и вид таблицы.

ТЕСТЫ

1. Статистическая таблица – это:

а) ряд взаимопересекающихся горизонтальных и вертикальных линий, образующих по горизонтали – графы, а по вертикали – строки;

б) это особый способ краткой и наглядной записи сведений об изучаемых явлениях;

в) статистическая совокупность, о которой идет речь;

г) показатели, характеризующие данную совокупность.

2. Статистические таблицы бывают:

а) простые, перечневые, групповые;

б) хронологические, комбинационные, простые;

в) простые, групповые, комбинационные;

г) групповые, территориальные, комбинационные.

3. Если данное явление совсем не имеет места в таблице, ставят:

а) 0.0;

б) –;

в) нет сведений;

г) … .

4. Статистическое подлежащее – это:

а) числовые показатели, располагаемые в графах;

б) статистическая совокупность, о которой идет речь;

в) графы – заголовки и числа, расположенные вертикально;

г) наглядная запись сведений об изучаемых явлениях.


Тема 4 

ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Статистический показатель – это количественная характеристика социально-экономических явлений и процессов, который получается расчетным путем, – подсчет, суммирование, сравнение.

По форме выражения статистические показатели делятся на абсолютные, относительные и средние.

Абсолютные величины показывают размеры (уровни, объемы) общественных явлений в данных условиях места и времени или величины признаков, характеризующих эти явления, и подразделяются на индивидуальные и суммарные.

Индивидуальные абсолютные величины служат основой любого статистического наблюдения и фиксируются в первичных учетных документах.

Суммарные абсолютные величины получаются путем прямого подсчета числа единиц наблюдения либо в результате суммирования значений признака у отдельных единиц совокупности.

Абсолютные статистические величины всегда являются числами именованными и выражаются в различных единицах измерения: натуральных, трудовых и денежных. При учете продукции и товаров в натуральном выражении часто применяются условные единицы измерения. Сущность применения условных единиц измерения состоит в том, что отдельные разновидности изучаемой совокупности выражаются в единицах одного признака, условно принятого за единицу измерения. Для этого используют коэффициент пересчета.

Коэффициент пересчета = .

Условные натуральные измерители не заменяют, а дополняют натуральные и в экономическом анализе их используют совместно.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1

Определить общий объем поставки молочной продукции в торговую сеть за сентябрь месяц на основании следующих данных:

Наименование продукции

Объем поставки

Коэффициенты пересчета

1

2

3

Молоко 3,2%, л

144,0

1,0

Молоко 6,0%, л

107,0

2,0

Окончание табл.

1

2

3

Кефир, л

37,0

1,0

Ацидофилин, л

12,0

1,0

Ряженка, л

6,2

2,0

Сметана, кг

113,0

8,5

Решение:

Объем поставок молочной продукции за сентябрь месяц в натурально-условных единицах.

Наименование
продукции

Объем поставки

Коэффициенты
пересчета

Объем поставки в натурально-условных единицах

Молоко 3,2%, л

144,0

1,0

144,0

Молоко 6,0%, л

107,0

2,0

214,0

Кефир, л

37,0

1,0

37,0

Ацидофилин, л

12,0

1,0

12,0

Ряженка, л

6,2

2,0

12,4

Сметана, кг

113,0

8,5

960,5

Итого:

1379,9

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

В отчетном периоде консервными предприятиями города и района произведено продукции:

Консервы

Масса или объем банки

Количество банок, шт.

Соус томатный

535 г

120 000

Икра кабачковая

510 г

150 000

Огурцы соленые

1000 см3

300 000

Томаты натуральные

800 см3

200 000

Молоко сгущенное

400 г

500 000

Исчислить общий объем производства консервов в отчетном периоде в условных единицах.

Примечание: за условную банку принимается:

  1. банка с массой продукции нетто (варенья, джема, повидла, желе, томатных соусов, стерилизованных фруктовых соков, овощных и фруктовых маринадов, а также концентрированных томатопродуктов, приведенных к 12%-ной плотности), 400г;
  2. банка (со всеми другими видами продукции) емкостью 353,4 см3.

Задача 2

В отчетном периоде на производственные нужды на заводе торгового машиностроения израсходованы следующие виды топлива: мазут топочный – 800т, уголь донецкий – 460 т, газ природный – 940 тыс. м3.

Исчислить общий размер потребленного топлива в условных единицах измерения, используя средние калорийные эквиваленты.

Вид топлива

Калорийные эквиваленты

Уголь донецкий, т

0,9

Мазут, т

1,37

Газ природный, тыс. м3

1,2

Задача 3

Имеются следующие данные о выпуске отдельных видов продукции химзаводом:

Наименование

Выпуск, тыс. т

Коэффициент пересчета

Мыло хозяйственное:

60%-ное

42,0

1,75

40%-ное

29,0

1,0

Мыло туалетное

40,0

1,75

Порошок стиральный

25,0

0,5

Определить объем продукции в натурально-условных единицах измерения.

Задача 4

Выплавка чугуна по цехам завода в отчетном периоде характеризуется следующими данными:

Вид чугуна

Выпуск, тыс. т

Коэффициент пересчета

Ванадиевый

52

1,35

Зеркальный

76

1,50

Ковкий и валкий

94

1,15

Литейный

110

1,15

Передельный

126

1,00

Хромоникелевый

126

1,50

Исчислить общий объем выплавки чугуна в натуральном выражении и в условных единицах. Объяснить разницу в исчисленных показателях объема выпуска продукции.

Относительные показатели

Все относительные статистические показатели можно подразделить на следующие виды:

  1. динамики;
  2. плана;
  3. реализации плана;
  4. структуры;
  5. координации;
  6. интенсивности и уровня экономического развития;
  7. сравнения.

Относительный показатель динамики (ОПД) представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) и уровня этого же процесса или явления в прошлом:

.

Рассчитанная таким образом величина показывает, во сколько раз текущий уровень превышает предшествующий (базисный) или какую долю от последнего составляет. Если данный показатель выражен кратным отношением, он называется коэффициентом роста, при домножении этого коэффициента на 100% получают темп роста.

Все субъекты финансово-хозяйственной сферы, начиная от небольших семейных предприятий и заканчивая крупными концернами, в той или иной степени осуществляют перспективное планирование своей деятельности, а также сравнивают реально достигнутые результаты с ранее намеченными. Для этой цели используются относительные показатели плана (ОПП) и реализации плана (ОПРП):

,

.

Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики существует взаимосвязь:

.

Относительный показатель структуры (ОПС) – это соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого.

.

Относительный показатель структуры выражается в долях единицы или в % и называется долями или удельными весами.

Относительный показатель интенсивности (ОПИ) характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления в присущей ему среде:

.

Этот показатель исчисляется, когда абсолютная величина оказывается недостаточной для формулировки обоснованных выводов о масштабе явления, его размерах, насыщенности, плотности распространения. Как в предшествующем случае, он может выражаться в процентах, промили или быть именованной величиной. Например, для определения уровня рождаемости, измеряемого в %, рассчитывается число родившихся на 100 человек населения, для определения плотности населения рассчитывается число людей, приходящихся на 1 км2 территории.

Расчет относительных показателей интенсивности в ряде случаев связан с проблемой выбора наиболее обоснованной, соответствующей данному процессу или явлению базы сравнения.

Разновидностью относительных показателей интенсивности являются относительные показатели уровня экономического развития, характеризующие производство продукции в расчете на душу населения.

Относительные показатели координации (ОПК) характеризуют соотношение отдельных частей целого между собой:

.

При этом в качестве базы сравнения выбирается та часть, которая имеет наибольший удельный вес или является приоритетной с экономической, социальной или какой-либо другой точки зрения. В результате получают, сколько единиц каждой структурной части приходится на 1 единицу (иногда на 100, 1000 и т. д. единиц) базисной структурной части.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1

На основании следующих данных определите % выполнения плана, решение оформите в виде таблицы. Планом предусмотрено выпустить продукции предприятиями машиностроения и металлообработки на сумму 63 млн дол., текстильной промышленности на 18 млн дол., пищевой промышленности на 21,5 млн дол. Фактический выпуск продукции составил соответственно: 66,4; 17,6 и 22,1 млн дол.

Решение:

Предприятия отрасли

По плану,
млн дол.

Фактически,
млн дол.

Процент
выполнения плана

Машиностроения и металлообработки

63,0

66,4

105,4

Текстильной промышленности

18,0

17,6

97,8

Пищевой промышленности

21,5

22,1

102,7

Итого:

102,5

106,1

103,3

Задача 2

Планом намечено снижение себестоимости изделия на 1,5 тыс. р. при уровне себестоимости этого изделия 75 тыс. р. Фактическая себестоимость этого изделия составила 73,44 тыс. р. Определить относительную величину выполнения плана по снижению себестоимости этого изделия.

Решение:

Для вычисления процента выполнения плана по снижению себестоимости изделия находим фактическую величину снижения себестоимости:

Теперь рассчитаем относительную величину фактического снижения себестоимости (1,56 тыс. р.) к плановой величине снижения:

Относительная величина выполнения плана .

Таким образом, плановое задание по снижению себестоимости данного изделия перевыполнено на 4%.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

Фактическая себестоимость 1 т продукции по заводу в прошлом году составила 54 р. В плане на текущий год предусмотрено снизить себестоимость 1 т этой продукции до 52 р.

Выразите плановое задание в относительных показателях.

Задача 2

По плану на текущий год завод должен был выпустить продукции на 1700 тыс. р. при средней численности работающих 680 человек. Фактически же в этом году завод выпустил продукции на 1856 тыс. р. при средней численности работающих 673 человека.

Определите показатели выполнения плана на заводе: а) по выпуску продукции; б) по численности работающих; в) по производительности труда.

Задача 3

Имеются следующие данные о производстве сахара отдельными заводами области:

Заводы

Фактический выпуск сахара, т

Процент выполнения плана

№ 1

161 000

115

№ 2

124 800

96

№ 3

96 900

102

№ 4

112 000

100

Определите средний процент выполнения плана производства сахара всеми заводами области.

Задача 4

Ниже приведены данные о плане и степени выполнения плана по численности рабочих в цехах станкостроительного завода за год:

Цех завода

Число рабочих по плану

Процент выполнения плана
по численности рабочих

Сборочный

550

102

Механический

480

95

Литейный

375

104

Ремонтный

160

100

Энергетический

40

90

Определите средний процент выполнения плана по численности рабочих завода в целом.

Задача 5

На заводе «Искра» общее число работников на 1 января 1995 г. составило 4750 человек, из них рабочих 3725 человек, в том числе основных рабочих 2271 человек.

Определите: а) какой процент составляют рабочие от общей численности работников завода; б) каков удельный вес основных рабочих в общем числе рабочих; в) какую часть составляют основные рабочие от все численности работников завода.

Задача 6

Общая сумма затрат машиностроительного завода на изготовление продукции составила за год 18 750 тыс. р., из них на материалы затрачено 10 687,5 тыс. р., на топливо и энергию – 675,0 тыс. р., на прочие расходы – 731,2 тыс. р., на з/плату – 5 906,3 тыс. р., на амортизацию – 750 тыс. р.

Исчислите относительные величины, характеризующие структуру затрат машиностроительного завода. Запишите заданные абсолютные и исчисленные относительные величины в таблицу.

Задача 7

Первый механический цех завода за год выработал продукции на 1200 тыс. р., второй механический цех – на 1600 тыс. р. В первом цехе брак продукции составил 0,8%, во втором – 0,5%.

Определите, какой процент составил брак в двух механических цехах вместе.

Задача 8

Планом предусматривалось снизить себестоимость сравнимой товарной продукции по предприятию на 4,2%. Фактически она снизилась на 5,5% по отношению к уровню прошлого года.

Определите степень выполнения предприятием планового задания по снижению себестоимости сравнимой товарной продукции.

Задача 9

Планом был предусмотрен рост промышленной продукции в размере 8%. Фактический объем промышленного производства возрос на 12%.

Исчислите степень выполнения предприятием планового задания по росту выпуска промышленной продукции.

Задача 10

Среднегодовая численность населения района в прошлом году составляла 31 550 человек. Площадь района равна 997 км2. ЗАГС зарегистрировал за прошлый год 495 случаев рождения детей.

Определите: а) плотность населения района; б) коэффициент рождаемости.

К какому виду относительных величин принадлежат эти показатели?

Задача 11

На машиностроительном заводе имеются данные о затратах на производство серии картофелеочистительных машин (тыс. дол.):

Элементы затрат на производство

Фактические затраты

Базисный период

Отчетный период

1

2

3

Сырье и основные материалы за вычетом отходов

371

415

В т.ч.: покупные изделия, комплектующие

190

265

Вспомогательные материалы

160

192

Окончание табл.

1

2

3

Топливо

24

26

Энергия

84

104

Заработная плата (основная и дополнительная)

562

596

Отчисления в фонд социальной защиты

197

209

Другие отчисления

112

119

Амортизация основных фондов

150

152

Прочие расходы

69

68

Итого затраты на производство:

Исчислить:

  1. структуру затрат на производство в отчетном и базисном периодах;
  2. изменения по каждому элементу затрат на производство в отчетном периоде по сравнению с базисным (в долларах и процентах). Полученные результаты проанализировать и сделать выводы.

ТЕСТЫ

1. Относительные величины могут выражаться в следующих единицах измерения:

а) в натуральных, в %;

б) в промилях, условно-натуральных единицах;

в) в %, промилях, коэффициентах;

г) коэффициентах, денежном выражении, в %.

2. Относительная величина, характеризующая структуру совокупности – это:

а) отношение величины текущего периода к величине базисного периода;

б) отношение части совокупности ко всей совокупности;

в) отношение фактического уровня к запланированному;

г) отношение планового уровня к базисному.

3. Коэффициент интенсивности равен:

а) отношению качественно разнородных совокупностей;

б) отношению частей данной совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения;

в) отношению одноименных показателей;

г) отношению величины текущего периода к базисной.

4. Абсолютные величины выражают:

а) суммарные величины;

б) уровни, характеризующие состояние явления на определенный момент либо за определенный период времени;

в) расчетные абсолютные величины;

г) объем признака.


Тема 5 

ТЕОРИЯ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

Часто необходимо исчислять показатели, дающие обобщенную характеристику совокупности по тому или иному признаку. Среди обобщающих показателей, характеризующих общественные явления, большое значение имеют средние величины.

Для характеристики земледелия приводят данные среднего урожая с 1 га. Уровень продуктивности животноводства показывают величины среднего надоя молока на одну корову, среднего настрига шерсти на одну овцу и т. д.; производительность труда и промышленности выражают средней выработкой продукции на одного человека.

Средние величины исчисляют для того, чтобы дать сводную обобщающую характеристику всей совокупности или группы общественных явлений по одному какому-то признаку.

Размер заработной платы у рабочих одной профессии может быть различным, но в то же время в данных конкретных условиях места и времени существует какой-то характерный размер их заработка в отличие от заработка других профессий.

Средняя величина представляет собой обобщающую характеристику единиц совокупности по какому-либо варьирующему признаку. Основой для получения правильных средних является научная группировка статистических материалов, в результате которой получаются однородные данные по тому или иному группировочному признаку. Итак, средняя может служить обобщенной характеристикой совокупности только тогда, когда совокупность состоит из однотипных единиц. Если же средние исчисляются для разнокачественных, разнотипных явлений, то они теряют реальный смысл.

Статистика устанавливает следующие принципы научного применения метода средних величин:

  1. Прежде чем исчислять среднюю, необходимо тщательно проанализировать состав совокупности.
  2. Не следует исчислять средние только для совокупности в целом, а надо широко использовать групповые средние для отдельных частей совокупности.
  3. Необходимо правильно выбирать вид средней.

Средние величины делятся на 2 класса:

  1. Степенные средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая).
  2. Структурные (мода, медиана).

Степенные средние объединяются общей формулой (при различных значениях m)

,

где – среднее значение исследуемого явления; m – показатель степени средней; х – текущее значение осредняемого признака; n – число признаков.

Исчисление средней арифметической
простой и взвешенной

В общем виде формулу простой арифметической можно записать так:

,

где – средняя (читается «икс с чертой»); х – индивидуальные значения величины признака (варианты); n – число единиц совокупности (частоты или веса); Σ – знак суммирования (буква греческого алфавита – «сигма»).

В ряде случаев эта формула может иметь несколько иной виды, т. к. варианты могут встречаться по нескольку раз.

Формулу средней арифметической можно записать так:

,

где f – число единиц, имеющих данную величину признака.

Итак, если отдельные значения признака (варианты) повторяются в совокупности по нескольку раз, то исчисляется средняя арифметическая взвешенная. Чтобы ее определить, надо:

  1. варианты умножить на соответствующие частоты (веса);
  2. произведения сложить;
  3. сумму произведений разделить на сумму частот.

Простая средняя арифметическая – частный случай средней арифметической взвешенной.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1

В бригаде 12 слесарей-сборщиков. В январе каждый рабочий по календарю должен отработать 180 часов. Фактически каждый член бригады отработал следующее число часов: 180, 178, 175, 177, 180, 173, 177, 180, 179, 176, 175, 180.

Решение:

Задача 2

Имеются данные о выпуске продукции по машиностроительным предприятиям отрасли (млн дол.):

№ заводов

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Выпуск продукции

9,4

8,6

6,0

5,6

5,0

4,9

3,6

3,4

3,5

2,8

Исчислить средний размер продукции на один завод.

Решение:

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

В ткацком цехе фабрики соревнуются две бригады. В первой бригаде восемь ткачих, во второй девять. Ткачихи первой бригады выработали за смену следующее число метров ткани: 41, 38, 43, 39, 37, 40, 42, 40; ткачихи же второй бригады – 40, 39, 37, 41, 38, 43, 39, 40, 40.

Определите, в какой бригаде средняя выработка ткани выше и на сколько метров.

Задача 2

Рабочие-станочники механосборочного цеха завода распределяются в соответствии с их квалификацией следующим образом:

Основные элементы тарифной системы оплаты труда

Число рабочих

Тарифный разряд

Тарифный коэффициент

2001 г.

2002 г.

1

1,0

80

50

2

1,13

250

150

3

1,29

330

300

4

1,48

400

500

5

1,72

600

700

6

2,0

140

200

Определите: а) средний тарифный разряд; б) средний тарифный коэффициент рабочих цеха отдельно за 2001 г. и 2002 г.

Сделайте выводы о характере изменений квалификации рабочих в 2002 г. по сравнению с 2001 г.

Задача 3

Завод пишущих машинок изготовил в I квартале 280 машинок, во II – 300, в III – 310, в IV – 330. Затраты на их выпуск составили: в I квартале 25 200 р., во II – 26 400 р., в III – 27 590 р., в IV – 28 050 р.

Определите среднюю себестоимость пишущей машинки: а) в каждом квартале; б) в целом за год.

Представьте решение в виде таблицы.

Задача 4

На мебельной фабрике № 2 себестоимость одного письменного стола в I квартале составила 20 р., во II – 19 р., в III – 18,5р., в IV – 18 р. В I квартале изготовлено 200 письменных столов, во II – 250, в III – 270, в IV – 300.

Определите: а) среднюю себестоимость одного письменного стола за год; б) средний квартальный выпуск письменных столов.

Оформите решение в виде таблицы.

Исчисление средней в случае интервального ряда

На практике часто приходится исчислять среднюю величину для интервального вариационного ряда. В интервальных рядах значение вариант дано в виде интервала «от… до…». Поэтому для расчета средней надо прежде всего освободиться от интервалов, т. е. по каждой группе исчислять среднее значение интервала.

Среднее значение интервала находят как полусумму его верхней и нижней границ. После того как найдено среднее значение интервалов, их умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), т. е. так же, как исчисляется средняя арифметическая взвешенная.

Пример. Имеются данные группировки заводов по стоимости готовой продукции. Надо определить среднюю стоимость готовой продукции на один завод.

№ групп

Группы заводов по стоимости готовой продукции, млн дол.

Число заводов

1

до 2

10

2

2–3

20

3

3–4

30

4

4–5

25

5

5–6

10

6

свыше 6

5

Итого:

100

Решение:

Для исчисления средней в интервальном ряду нужно прежде всего получить середину интервала каждой группы.

Для второй группы (2 + 3): 2 = 2,5 и т. д.

Имеются интервалы с так называемыми открытыми границами в первой и шестой группах (до 2 и выше 6). В таких случаях берется значение последующего интервала (для первого 3 – 2 = 1) и определяется размер интервала и нижняя его граница 2 – 1 = 1 (нижняя граница) (1 + 2) : 2 = 1,5 – среднее значение для первой группы. И для последней группы размер интервала в предыдущей группе (5-й) 6 – 5 = 1. Определяем верхнюю границу шестого интервала 6 + 1 = 7. Определяем середину 6-й группы: (6 + 7) : 2 = 6,5 – середина интервала шестой группы.

После того как найдено среднее значение интервалов, расчет производится по формуле средней арифметической взвешенной: .

Расчет средней стоимости готовой продукции на один завод:

№ групп

Группы заводов
по стоимости готовой
продукции, млн дол.

Число
заводов (
f)

Среднее значение
интервала и расчет его (
х), млн дол.

Произведение вариант
на частоты (
xf), млн дол.

1

до 2

10

(1+2):2=1,5

15

2

2–3

20

(2+3):2=2,5

50

3

3–4

30

(3+4):2=3,5

105

4

4–5

25

(4+5):2=4,5

112,5

5

5–6

10

(5+6):2=6,5

55

6

свыше 6

5

(6+1):2=6,5

32,5

Итого:

.

Таким образом, мы рассчитали, что 3,7 млн дол. в среднем приходится на один завод из 100.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

В течение смены (7 ч.) один рабочий изготовил 28 деталей одного наименования, второй – 30, третий – 21.

Определите, сколько времени (в мин.) в среднем затрачивается на изготовление одной детали.

Задача 2

По отчетным данным о размерах заработной платы за месяц 720 рабочих завода распределены на следующие группы:

Заработная плата в месяц, дол.

Число рабочих

Заработная плата в месяц, дол.

Число рабочих

до 90

20

130–139

140

90–99

30

140–149

100

100–109

45

150–159

90

110–119

100

160 и выше

75

120–129

120

Определите средний месячный заработок одного рабочего.

Задача 3

Рабочие механического завода распределяются по возрасту следующим образом:

Группы по возрасту, лет

Число рабочих

Группы по возрасту, лет

Число рабочих

до 20

160

35–40

40

20–25

150

40–45

30

25–30

105

45 и более

20

30–35

45

Определите средний возраст рабочих завода.

Задача 4

Рабочие механического завода распределяются по стажу работы следующим образом:

Стаж работы на данном заводе, лет

Число рабочих

Стаж работы на данном заводе, лет

Число рабочих

до 1 года

50

5–8

250

1–3

140

8–12

200

3–5

200

12 и более

160

Вычислите средний стаж работы рабочих на заводе.

Средняя хронологическая величина

Если числовые значения (варианты) известны на определенные периоды времени – моменты, но средняя исчисляется по формуле средней хронологической.

.

Пример. Определить среднюю годовую стоимость нормируемых оборотных средств за год, если известны их остатки на первые числа месяца (млн р.):

Январь  – 520

Февраль – 540

Март  – 535

Апрель – 525

Май  – 570

Июнь  – 560

Июль  – 520

Август  – 550

Сентябрь – 510

Октябрь  – 530

Ноябрь  – 560

Декабрь  – 580

Январь следующего года – 540

Решение:

Средняя гармоническая величина

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Иногда бывают известны лишь сведения о значении признака и его общем объеме, а число единиц неизвестно. В зависимости от характера анализируемого материала ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или умножать на обратное их значение.

Различают среднюю гармоническую простую и взвешенную.

Средняя гармоническая простая определяется по формуле: .

Пример. Представлены следующие данные о выработке однородной продукции рабочими в каждой бригаде:

Номер
бригады

Средняя выработка
на одного рабочего, шт. (
х)

Общая выработка
всеми рабочими, шт. (
хТ)

Количество человек
в каждой бригаде (
Т)

1

х1 = 20

х1Т = 1 000

Т1 = 50

2

х2 = 22

х2Т = 1 100

Т2 = 50

3

х3 = 24

х3Т = 1 440

Т3 = 60

Итого:

3 540 = ΣхТ

160=ΣТ

Определить среднюю выработку на одного рабочего по всем бригадам вместе, используя формулу средней гармонической взвешенной.

Решение:

Для исчисления общей средней надо определить количество человек, работающих в каждой бригаде, путем деления общей выработки деталей в каждой бригаде на их среднюю, т. е. в бригаде № 1: , и т. д. определяем по остальным бригадам. Затем общую выработку делим на общее количество человек:

Запишем, как был получен этот результат из первоначальных данных, приведенных во 2-й и 3-й графах таблицы:

Число рабочих можно также определить, умножив общую выработку в каждой бригаде на обратную величину значения признака (среднюю выработку):

.

Формулу средней гармонической можно записать так:

,

где х – отдельные варианты; Т – веса.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

По семи цехам швейной фабрики имеются данные о расходовании ткани на производство продукции.

Определить расход ткани на одно изделие в среднем по фабрике:

Номера цехов

1

2

3

4

5

6

7

Расход ткани на все изделия, м

150

126

261

200

250

260

420

Расход ткани на одно изделие, м

0,6

0,7

0,9

0,4

0,5

1,3

1,4

Задача 2

Выпуск товарной продукции станкостроительным заводом характеризуется следующими данными:

Виды товарной продукции

Фактический выпуск товарной
продукции в отпускных ценах, тыс. дол.

Выполнение плана, %

Готовые изделия

23 000

97

Полуфабрикаты, поставленные на сторону

19 000

100

Работы и услуги на сторону

3000

99

Прочая продукция

1000

105

Определить средний процент выполнения плана в целом по заводу по выпуску товарной продукции.

Задача 3

Имеются данные по группам заводов города по двум отраслям хозяйства:

I отрасль

II отрасль

№ завода

Фактический выпуск, тыс.дол.

Выполнение плана, %

№ завода

Плановое задание, тыс.дол.

Выполнение плана, %

1

4600

101,3

4

37 000

102,2

2

37 000

102,7

5

48 000

100,9

3

28 000

99,2

6

39 000

97,3

Вычислить средний процент выполнения плана:

  1. по первой отрасли;
  2. по второй отрасли.

Указать, какие виды средних необходимо применить при расчетах.

Средняя геометрическая величина

Для определения среднего темпа роста используют среднюю геометрическую:

невзвешенную: ,

где к – количество осредняемых величин;

взвешенную: .

Средняя квадратическая величина

В основе вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая:

невзвешенная: ; взвешенная: .

В статистической практике находят применение средние 3-го и более высоких порядков.

Исчисление средней арифметической взвешенной
по способу моментов

Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими, если варианты (значения признака) и веса имеют очень большие или очень малые значения и затрудняется сам процесс подсчета. Тогда для простоты счета используется ряд свойств средней арифметической:

  1. если уменьшить (увеличить) все варианты на какое-либо произвольное число А, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число А, т. е. изменится на А;
  2. если уменьшить все варианты (значения признака) в одинаковое число раз (К), то средняя уменьшится во столько же раз, а при увеличении в (К) раз – увеличится в (К) раз;
  3. если уменьшить или увеличить веса (частоты) всех вариант на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится;
  4. сумма отклонений всех вариант от общей средней равна нулю.

Перечисленные свойства средней арифметической позволяют в случае необходимости упрощать расчеты путем замены абсолютных частот относительными, уменьшать варианты (значения признака) на какое-либо число А, сокращать их в К раз и рассчитывать среднюю арифметическую из уменьшенных вариант, а затем переходить к средней первоначального ряда.

Способ исчисления средней арифметической с использованием ее свойств известен в статистике как «способ условного нуля», или «условной средней», или как «способ моментов».

Кратко этот способ можно записать в виде формулы

.

Если уменьшенные варианты (значения признака ), обозначить через , то приведенную выше формулу можно переписать в виде .

При использовании формулы для упрощения исчисления средней арифметической взвешенной интервального ряда при определении величины какого-либо числа А используют такие приемы его определения.

Величина А равна величине:

  1. первого значения средней величины интервала (продолжим на примере задачи, где млн дол., а .

Расчет средней из уменьшенных вариант

Интервалы

Среднее значение интервала

Число заводов, f

Произведение

До 2

1,5

0 (1,5–1,5)

10

0

2–3

2,5

1 (2,5–1,5)

20

20

3–4

3,5

2 (3,5–1,5)

30

60

4–5

4,5

3 (4,5–1,5)

25

75

5–6

5,5

4 (5,5–1,5)

10

40

Свыше 6

6,5

5 (6,5–1,5)

5

25

Итого:

3,7

,

;

  1. величину А берем равной величине среднего значения интервала с наибольшей частотой повторений, в данном случае А = 3,5 при (f = 30), или значение серединной варианты, или наибольшей варианты (в данном случае наибольшее значение признака Х = 6,5) и деленное на размер интервала (в данном примере 1).

Расчет средней при А = 3,5, f = 30, К = 1 на том же примере.

Расчет средней способом моментов

Интервалы

Среднее значение интервала

Число заводов, f

Произведение

До 2

1,5

(1,5  3,5) : 1 = 2

10

20

2–3

2,5

(2,5  3,5) : 1 = 1

20

20

3–4

3,5

(3,5  3,5) : 1 = 0

30

0

4–5

4,5

(4,5  3,5) : 1 = 1

25

25

5–6

5,5

(5,5  3,5) : 1 = 2

10

20

Свыше 6

6,5

(6,5  3,5) : 1 = 3

5

15

Итого:

3,7

; ; ;

Способ моментов, условного нуля или условной средней заключается в том, что при сокращенном способе расчета средней арифметической мы выбираем такой момент, чтобы в новом ряду одной из значений признака , т. е. приравниваем и отсюда выбираем величину А и К.

Надо иметь в виду, что если (ХА) : К, где К – равная величина интервала, то полученные новые варианты образуют в равноинтервальном ряду ряды натуральных чисел (1, 2, 3 и т. д.) положительных вниз и отрицательных вверх от нуля. Среднюю арифметическую из этих новых вариант называют моментом первого порядка и выражают формулой

.

Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину момента первого порядка умножить на величину того интервала (К), на который делим все варианты, и прибавить к полученному произведению величину варианты (А), которую вычитали.

;

Таким образом, способом моментов или условного нуля рассчитать среднюю арифметическую из вариационного ряда, если ряд равноинтервальный, значительно легче.

Мода

Мода – есть величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианты с наибольшей частотой.

Пример. При определении плана по производству мужских туфлей фабрикой было произведено изучение покупательского спроса по результатам продажи. Распределение проданной обуви характеризовалось следующими показателями:

Размер обуви

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45 и выше

Число пар в % к итогу

1

6

8

22

30

20

11

1

1

Наибольшим спросом пользовалась обувь 41 размера и составила 30% от проданного количества. В этом ряду распределения М= 41.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле

.

Прежде всего, необходимо найти интервал, в котором находится мода, т. е. модальный интервал.

В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределения, где:  – величина нижней границы интервала, содержащего моду; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному, т. е. предмодального; – частота интервала, следующего за модальным, т. е. послемодального.

Пример расчета моды в интервальном ряду

Группы предприятий по числу работающих, чел.

100–200

200–300

300–400

400–500

500–600

600–700

700–800

Итого

Число предприятий

1

3

7

30

19

15

5

80

Дана группировка предприятий по численности промышленно-производственного персонала. Найти моду. В нашей задаче наибольшее число предприятий (30) имеет группировка с численностью работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распространения с равными интервалами. Введем следующие обозначения:

; ; ; ; .

Подставим эти значения в формулу вычисления моды и произведем расчет:

Таким образом, мы определили значение модальной величины признака, заключенного в этом интервале (400–500), т. е. М= 467 чел.

Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщающего показателя отдается предпочтение моде, а не средней арифметической. Так, при изучении цен на рынке фиксируется и изучается в динамике не средняя цена на определенную продукцию, а модальная. При изучении спроса населения на определенный размер обуви или одежды представляет интерес определение модального номера, а не средний размер, который вообще не имеет значения. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, значит она типична.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

На сортосеменной станции при определении качества семян пшеницы было получено следующее определение семян по проценту всхожести:

Процент всхожести

70

75

80

83

85

90

92

93

Свыше 93

Число проб в % к итогу

0,5

0,5

6,0

12

30

40

7

2

2

Определить моду.

Задача 2

При регистрации цен в часы наиболее оживленной торговли у отдельных продавцов были зарегистрированы следующие цены фактической продажи (дол. за кг):

Картофель: 0,2; 0,12; 0,12; 0,15; 0,2; 0,2; 0,2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; 0,12; 0,12; 0,12; 0,15.

Говядина: 2; 2,5; 2; 2; 1,8; 1,8; 2; 2,2; 2,5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2,2; 2; 2; 2; 2.

Какие цены на картофель и говядину являются модальными?

Задача 3

Имеются данные о заработной плате 16 слесарей цеха. Найти модальную величину заработной платы.

В долларах:  118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.

Расчет медианы

Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если дискретный ряд распределения имеет нечетное число членов ряда, то медианой будет варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда, т. е. к сумме частот прибавить 1 и все разделить на 2 – результат и даст порядковый номер медианы.

Если в вариационном ряду четное число вариант, тогда медианой будет половина суммы двух серединных вариант.

Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала медианный интервал по накопленным частотам. Таким интервалом будет такой, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот. Накопленные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.

Расчет медианы в интервальном вариационном ряду

Интервалы

Частоты (f)

Кумулятивные (накопленные) частоты

60–70

10

10 (10)

70–80

30

40 (10+30)

80–90

50

90 (40+50)

90–100

60

15 (90+60)

100–110

145

295 (150+145)

110–120

110

405 (295+110)

120–130

80

485 (405+80)

130–140

15

500 (485+15)

Сумма:

f  = 500

Половина суммы накопленных частот в примере равна 250 (500 : 2). Следовательно, медианным интервалом будет интервал со значением признака 100–110.

До этого интервала сумма накопленных частот составила 150. Следовательно, чтобы получить значение медианы, необходимо прибавить еще 100 единиц (250 – 150). При определении значения медианы предполагается, что значение признака в границах интервала распределяется равномерно. Следовательно, если 145 единиц, находящихся в этом интервале, распределить равномерно в интервале, равно 10, то 100 единицам будет соответствовать величина:

10 : 145 100 = 6,9.

Прибавив полученную величину к минимальной границе медианного интервала, получим искомое значение медианы:

.

Или медиану в вариационном интервальном ряду можно исчислить по формуле:

,

где – величина нижней границы медианного интервала ();  – величина медианного интервала (=10); – сумма частот ряда (численность ряда 500); – сумма накопленных частот в интервале, предшествующем медианному ( = 150); – частота медианного интервала ( = 145).

Подставим в формулу значения и получим:

.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

Определить медиану по следующим данным:

Произведено продукции, шт.

16

18

19

20

21

22

24

Всего

Число рабочих, чел.

4

7

12

11

10

4

3

51

Задача 2

Себестоимость одного центнера зерна по хозяйствам района характеризуется следующими показателями:

Себестоимость 1 ц зерна, дол.

24

25

26

28

29

31

34

37

39

45

50

Всего

Число хозяйств
в % к итогу

3

7

12

14

14

25

12

6

4

2

1

100

Определить медиану себестоимости 1 ц зерна.

Задача 3

Имеются данные о работе прядильщиц комбината:

Количество веретен, обслуживаемых одной прядильщицей, шт.

1160

1230

1300

1340

1400

1450

Всего

Число прядильщиц, чел.

8

12

20

15

15

10

80

Определить медиану количества веретен, обслуживаемых одной прядильщицей.

ТЕСТЫ

1. Средняя арифметическая взвешенная равна:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. В статистике модой называют:

а) кумулятивную частоту, которая равна или превышает половину суммы частот;

б) варианту, которая находится в середине вариационного ряда;

в) сумму накопленных частот;

г) величину признака, которая чаще встречается в данной совокупности.

3. Средняя гармоническая величина:

а);

б) ;

в) ;

г) .

4. Средняя квадратическая величина:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

5. Медиана – это:

а) вариант, который находится в середине вариационного ряда;

б) величина, которая делит ряда на две неравные части по числу единиц;

в) наиболее часто встречающаяся величина;

г) средняя величина из двух вариантов.


Тема 6 

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВАРИАЦИИ

Средняя величина не раскрывает строения совокупности, она не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака. Исследование вариации (колеблемости) в статистике дает возможность оценить степень воздействия на признак других варьирующих признаков. Для измерения вариации признака в совокупности применяют ряд обобщающих показателей:

  1. размах вариации;
  2. коэффициент осцилляции;
  3. среднее линейное отклонение;
  4. средний квадрат отклонений (дисперсия);
  5. среднее квадратическое отклонение;
  6. коэффициент вариации.

Наиболее простым измерителем вариации является разность между наибольшим и наименьшим значением признака и называется размах вариации и исчисляется по формуле:

,

где R – размах вариации; – наибольшее значение признака; – наименьшее значение признака.

Показатель вариации учитывает крайние значения признака, которые сильно могут отличаться от всех других единиц, поэтому иногда пользуются показателем осцилляции:

,

где K – коэффициент осцилляции; R – размах вариации; – средняя арифметическая этого ряда.

Среднее линейное отклонение представляет среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариаций (значений признака) от их средней арифметической (знаки отклонений не учитываются). Среднее линейное отклонение может быть простым и взвешенным и измеряется в тех же единицах, что и величина признака. Вычисление среднего линейного отклонения производится по формулам:

  1.  для несгруппированных данных

,

где – среднее линейное отклонение; – значения признака; – среднее значение признака; n – численность признаков.

.

  1.  если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, тогда .

Число повторений вариантов значений признака, называют частотой повторений. Если частоты представлены в относительных величинах, то их называют частостями.

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия еще называется средним квадратом отклонений и обозначается (сигма квадрат). В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

 – простая дисперсия; 

– взвешенная дисперсия.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается (сигма).

– простое (невзвешенное квадратическое отклонение) среднее;

– среднее квадратическое отклонение взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности и выражается в тех же единицах измерения, что и сам признак (в метрах, тоннах, гектарах и т. д.). Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.

Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической: %.

В отличие от среднего квадратического отклонения коэффициент вариации является относительной величиной, что используется при сравнении вариаций любых совокупностей.

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупностей. Чем меньше значение коэффициента вариации, тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее явление. И чем больше его величина (V), тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1

Имеются данные о распределении посевной площади колхоза по урожайности:

Урожайность зерновых, ц/га

Посевная площадь, га

14–16

100

16–18

300

18–20

400

20–22

200

Итого:

1000

Определить показатели вариации.

Решение:

Урожайность
зерновых, ц/га

Посевная площадь, га

Ср. значение интервала

14–16

100

15

1500

–3,4

11,56

1156

16–18

300

17

5100

–1,4

1,96

588

18–20

400

19

7600

0,6

0,36

144

20–22

200

21

4200

26

6,76

1352

Итого:

1000

18400

3240

  1.  Средняя арифметическая (взвешенная) равна:

  1.  Исчисляем дисперсию (взвешенную):

  1.  Среднее квадратическое отклонение (взвешенное):

  1.  Определяем коэффициент вариации:

Задача 2

Имеются следующие данные о выработке продукции (шт.) рабочих:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

9

9

10

12

13

14

14

15

17

Определить:

  1.  среднюю выработку рабочих;
  2.  дисперсию.

Решение:

Расчет дисперсии

Выработка рабочих, х

1

7

–5

25

2

9

–3

9

3

9

–3

9

4

10

–2

4

5

12

0

0

6

13

1

1

7

14

2

4

8

14

2

4

9

15

3

9

10

17

5

25

Итого:

120

90

;

.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

По двум бригадам слесарей, занятым на ремонте оборудования, начислена за месяц заработная плата в следующих размерах:

Заработная плата 1 слесаря, дол.

134

130

126

122

108

Итого

Численность слесарей в бригадах, чел.

№1

3

3

3

3

12

№2

2

7

3

12

Вычислить:

  1.  среднюю заработную плату по каждой бригаде;
  2.  размах вариации;
  3.  показатель осцилляции;
  4.  дисперсию;
  5.  среднее квадратическое отклонение.

Задача 2

С участков был получен следующий урожай пшеницы:

Средняя урожайность с отдельных участков, ц с 1 га

10

13

16

19

22

Итого

Число участков в % к итогу

6,6

26,7

40,0

16,7

10,0

100,0

Вычислить:

  1.  среднюю урожайность;
  2.  размах вариации;
  3.  дисперсию.

Задача 3

Для определения скорости износа резцов проведено обследование 1000 резцов. Получены следующие данные:

Время работы резца, час.

2

3

5

8

10

11

12

15

16

20

Число резцов, шт.

20

30

40

100

110

240

300

110

30

20

По данным обследования вычислить:

  1.  дисперсию;
  2.  среднее квадратическое.

Задача 4

Для изучения норм выработки на заводе проведено обследование затрат времени рабочих-станочников. Распределение рабочих по затратам времени на обработку одной детали представлены в таблице:

Затраты времени на одну деталь, мин.

до 24

24–26

26–28

28–30

30–32

32–34

Итого

Число рабочих в процентах к итогу

2

12

34

40

10

2

100

Определить среднее квадратическое отклонение затрат времени на одну деталь.

Задача 5

По десяти однородным предприятиям имеются данные об энерговооруженности труда на одного работника:

Номер предприятия

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Энерговооруженность труда, кВт/ч

5

4

6

7

3

5

6

7

4

3

Определить:

  1.  среднее линейное отклонение;
  2.  дисперсию;
  3.  среднее квадратическое отклонение.

Расчет дисперсии упрощенными способами

Расчет дисперсии по формуле: .

Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии:

  1.  Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.
  2.  Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.
  3.  Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз K соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в K2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в K раз.
  4.  Дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней .

Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено произвольно или в сочетании с другими.

Пример. Имеются данные о производительности труда рабочих:

Табельный номер рабочего

1

2

3

4

5

Итого

Произведено продукции, шт. (вариант, х)

8

9

10

11

12

50

64

81

100

121

144

510

Определить дисперсию.

Решение:

Для расчета дисперсии в дискретном вариационном ряду используем формулу средней арифметической простой:

.

Для определения дисперсии в интервальном ряду распределения используют формулу средней арифметической взвешенной:

.

Для расчета дисперсии по способу моментов используют формулу

,

где i – величина интервала; – момент второго порядка; – момент первого порядка; – исходя из свойств дисперсии.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1

При определении качества электрических ламп на продолжительность горения при выборочном наблюдении получены следующие данные:

Группы эл. ламп по времени горения

800–1000

1000–1200

1200–1400

1400–1600

1600–1800

1800–2000

Число эл. ламп

20

80

160

90

40

10

Определить дисперсию способом моментов и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Группы эл. ламп по времени
горения, час.

Число
эл. ламп,

Середина
интервала,

1

2

3

4

5

800–1000

20

900

-40

80

1000–1200

80

1100

-80

80

Окончание табл.

1

2

3

4

5

1200–1400

160

1300

0

0

1400–1600

90

1500

90

90

1600–1800

40

1700

80

160

1800–2000

10

1900

30

90

Итого:

400

80

500

А – постоянное число с наибольшей частотой (160); i – размер интервала (200).

;

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

Глубина скважин в районе бурения характеризуется данными:

Группы скважин по глубине, м

200–400

400–600

600–800

800–1000

1000–1200

1200–1400

Число скважин, шт.

4

8

32

30

18

8

Исчислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение глубины скважин, используя способ моментов.

Задача 2

В результате выборочного обследования дневного удоя коров, проведенного на молочной ферме, получены данные:

Группы коров по дневному удою, кг

6–8

8–10

10–12

12–14

14–16

Свыше 16

Итого

Число коров

2

5

51

37

3

2

100

Применяя способ моментов, исчислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение удоя коров.

Задача 3

В лаборатории трикотажной фабрики проведена проверка на крепость (в г) пряжи, поставленной прядильной фабрикой. Получены следующие данные:

Крепость пряжи, г

150

160

170

180

190

200

210

Итого

Кол-во проб

1-я партия

4

26

47

63

40

18

2

200

2-я партия

12

53

90

42

3

200

Определить:

  1.  по каждой партии коэффициент вариации крепости пряжи;
  2.  указать, в какой партии колеблемость крепости пряжи меньше.

Задача 4

На сахарном заводе для переработки колхозами сдана сахарная свекла, при приемке которой была установлена следующая сахаристость (процент содержания сахара).

Сахаристость, %

15,4

16,6

17,0

17,1

17,3

17,4

Итого

Количество свеклы в % к итогу

4,5

11,3

20,0

29,0

25,0

10,2

100

Вычислить коэффициент вариации сахаристости сахарной свеклы.

Расчет групповой, межгрупповой и общей дисперсии
(по правилу сложения дисперсий)

Если совокупность разбита на группы (или части) по изучаемому признаку, то для такой совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсий: общая, групповая, средняя из групповых, межгрупповая.

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в совокупности, и исчисляется по формуле

– простая дисперсия;

– взвешенная дисперсия.

Общая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака от общей средней .

Групповая (частная) дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней). Эта дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.

Простая ;  – взвешенная.

Средняя из групповых дисперсий – это средняя арифметическая взвешенная из групповых дисперсий: – или ее называют остаточной.

Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней и обозначается ς (малая сигма): .

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий: .

РЕШЕНИЕ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ

Задача 1

Имеются данные о производительности ткачей за час работы:

I группа

II группа

 п/п

Изготовление ткани за час работы

 п/п

Изготовление ткани за час работы

1

13

1

18

2

14

2

19

3

15

3

22

4

17

4

20

5

16

5

24

6

15

6

23

Итого:

90

Итого:

126

Определить общую, групповые и межгрупповые дисперсии.

Решение:

I группа

II группа


п/п

Изготовлено ткани за 1 час, м
х


п/п

Изготовлено ткани за 1 час, м
х

1

13

2

4

7

18

3

9

2

14

1

1

8

19

2

4

3

15

0

0

9

22

1

1

4

17

2

4

10

20

1

1

5

16

1

1

11

24

3

9

6

15

0

0

12

23

2

4

Итого:

90

10

Итого:

126

28

  1.  Для расчета групповых дисперсий исчислим средние по каждой группе:

; .

Расчет дисперсий по группам представим в таблице. Полученные значения подставляем в формулу и получаем:

;

.

  1.  Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:

.

  1.  Исчислим межгрупповую дисперсию. Для этого исчислим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

.

Теперь рассчитаем межгрупповую дисперсию:

.

  1.  Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

.

Проверим полученный результат исчислив общую дисперсию обычным способом:

.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

Имеются данные о производительности труда 5 рабочих в дневную и ночную смены:

 п/п

Произведено продукции

Дневная

Ночная

1

2

3

4

5

5

8

7

4

6

5

6

4

4

6

Рассчитать:

  1.  групповые дисперсии;
  2.  среднюю из групповых дисперсий;
  3.  межгрупповую дисперсию;
  4.  общую дисперсию (по правилу сложения дисперсий и обычным способом).

Задача 2

Бригада литейщиков, состоящая из 10 человек, к концу месяца имела следующие показатели по выполнению норм выработки:

Группы рабочих по степени выполнения плана, %

Процент выполнения плана

До 100

Свыше 100

90, 95, 84, 92

100, 102, 104, 103, 105, 104

Рассчитать:

  1.  групповые дисперсии;
  2.  межгрупповые дисперсии;
  3.  общую дисперсию (обычным способом и по правилу сложения дисперсий).

Задача 3

Имеются данные о распределении рабочих по проценту допускаемого брака в процессе производства:

Процент брака

Число
рабочих

Средний % брака продукции
на 1 человека

Среднее квадратическое
отклонение

До 1

1–3

3–5

5–7

свыше 7

7

20

15

5

3

0,8

2,3

3,7

5,9

7,8

0,67

0,65

0,51

0,48

0,82

Исчислить общую дисперсию допускаемого рабочими брака продукции, применяя правило сложения дисперсий.

Задача 4

Имеются данные о часовой производительности труда рабочих цеха:

Группы рабочих по количеству продукции, выработанной за 1 час одним рабочим, шт.

Число рабочих

Средняя выработка
на одного рабочего, шт.

Групповые
дисперсии

9–10

10–12

12–17

14–17

10

11

16

13

9,5

11,6

13,4

16,4

0,25

0,23

0,23

0,53

Итого:

50

13,0

Определить общую дисперсию.

ТЕСТЫ

1. Среднее квадратическое отклонение находят по формуле:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Дисперсию признака находят по формуле:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. К показателям вариации относятся:

а) дисперсия, медиана, коэффициент вариации;

б) размах вариации, средняя величина;

в) среднее квадратическое отклонение, коэффициент и размах вариации, мода;

г) коэффициент вариации, размах, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

4. Среднее линейное отклонение для группированных данных:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Дисперсия это:

а) средний квадрат отклонений от средней величины;

б) разность между наибольшими и наименьшими значениями варьирующего признака;

в) разность между вариантой и средней;

г) отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.


Тема 7 

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД В СТАТИСТИКЕ

Выборочное наблюдение – это такое несплошное наблюдение, при котором отбор подлежащих обследованию единиц совокупности осуществляется случайно, отобранная часть подвергается обследованию, после чего результаты распространяются на всю исходную совокупность.

К использованию выборочного метода (или выборки) прибегают в различных случаях, когда само наблюдение связано с порчей или уничтожением наблюдаемых единиц (например, при контроле качества: испытание пряжи на крепость, консервов на доброкачественность), когда сплошное наблюдение нельзя осуществить из-за большого объема совокупности, когда исследование нужно провести в сжатые сроки при небольших затратах, и др.

Естественно, что при выборочном наблюдении возникают расхождения между показателями выборочной и генеральной совокупности. Ошибки выборки при строгом соблюдении принципа случайного отбора носят случайный характер.

Зависимость величины ошибки выборки от ее абсолютной численности и от степени варьирования признака находит выражение в формулах средней ошибки выборки.

Когда выборочное обследование ставит своей задачей измерить среднее значение многозначного признака при случайном повторном отборе, средняя ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле

,

где (мю) – средняя ошибка выборочной средней; – дисперсия выборочной совокупности; n – численность выборки.

При бесповторном отборе она рассчитывается по формуле

,

где N – численность генеральной совокупности.

Доказано, что генеральные характеристики не отклоняются от выборочных на величину бльшую, чем ошибка выборки , и всегда имеют постоянную степень вероятности равную 0,683, т. е. из 1000 случаев в 683 случаях сводная генеральная совокупность отличается от сводной выборочной совокупности на величину , а в остальных 317 случаях может отличаться и в большей степени. При удвоенном значении ошибки вероятность нашего утверждения достигает 0,954. Это означает, что в 954 случаях из 1000 достигает вероятность утверждения, и лишь в 46 случаях выйдет за пределы .

Значит, с определенной степенью вероятности мы можем утверждать, что отклонения выборочных характеристик от генеральных не превышает некоторой величины, которая называется предельной ошибкой выборки и исчисляется по формуле

или ,

где ∆ – предельная ошибка выборки; t – коэффициент кратности ошибки (или еще его называют – коэффициент доверия); t – коэффициент доверия, зависит от значения вероятности P.

Ошибка выборки определяется степенью варьирования изучаемого признака, которая характеризуется дисперсией для альтернативного признака: .

Средняя ошибка выборки для доли альтернативного признака определяется по формуле

,

где р – доля признака в выборочной совокупности.

Расчетная формула средней ошибки выборки для доли альтернативного признака при случайном повторном отборе: .

При бесповторном отборе для частости: .

При проектировании выборочного наблюдения с заданным значением допустимой ошибки выборки необходимо определить численность выборочной совокупности исходя из формул: , отсюда , для доли (альтернативного признака) , .

Аналогично из формул предельной ошибки выборки для бесповторного отбора (для доли): .

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1

Методом случайной выборки было взято для проверки на вес 200 шт. деталей алюминиевого литья в литейном цехе завода. В результате был установлен средний вес детали 30 г при среднем квадратическом отклонении с вероятностью Р = 0,954.

Определить пределы, в которых находится средний вес детали в генеральной совокупности.

Решение:

  1. Определяем предельную ошибку выборки по формуле:

.

Ответ: средний вес детали в генеральной совокупности находится в пределах от 29,44 до 30,56 г.

Задача 2

По схеме повторной выборки произведено выборочное измерение выработки на земляных работах у 144 рабочих. Средняя выработка составила 4,95 м3 на одного рабочего, а средний квадрат отклонений 2,25.

Определить среднюю ошибку выборки.

Решение:

.

Ответ: с вероятностью 0,683 можно утверждать, что средняя выработка у всех рабочих находится в пределах от 4,825 до 5,075 м3.

Задача 3

Среди выборочно обследованных 1000 семей по уровню душевого дохода (выборка 2%, механическая) малообеспеченных оказалось 300 семей.

Определить с вероятностью 0,997 долю малообеспеченных семей во всем регионе.

Решение:

  1. определяем долю малообеспеченных семей:

;

  1. определяем предельную ошибку доли:

.

Вывод: доля малообеспеченных семей в регионе колеблется от 28,6% до 31,4 %.

Задача 4

Для определения среднего возраста 1200 студентов экономического факультета необходимо провести выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора. Среднее квадратическое отклонение возраста студентов 10 лет.

Определить: сколько студентов нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 средняя ошибка выборки не превышала 3 года.

Решение:

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

На заводе с числом работающих 5000 человек было проведено 4%-ное выборочное обследование квалификации рабочих методом случайного бесповторного отбора. Получены следующие данные:

Квалификация рабочих (тарифные разряды)

1

2

3

4

5

6

Число рабочих

10

30

40

70

30

20

С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых находится средний тарифный разряд рабочих завода. Среднее квадратическое отклонение – 1,1.

Задача 2

В порядке механической выборки пряжи было подвергнуто испытанию на разрыв 10 нитей из партии. В результате обследования установлена средняя крепость пряжи при среднем квадратическом отклонении σ = 20 г с вероятностью Р = 0,954. Определить пределы, в которых находится средняя крепость пряжи в партии.

Задача 3

В порядке случайной повторной выборки из партии, поступившей на хлебозавод, было взято 100 проб муки пшеничной. В результате исследования была установлена средняя влажность муки в выборке 9% при среднем квадратическом отклонении 1,5% с вероятностью 0,954. Определить пределы, в которых находится средняя влажность муки в партии.

Задача 4

В лесхозе в порядке случайной выборки обследовано 900 деревьев. По этим данным установлен средний диаметр одного дерева 235 мм, и среднее квадратическое отклонение равно 27 мм с вероятностью 0,683. Определить границы, в которых будет находиться средний диаметр деревьев в генеральной совокупности.

Задача 5

При обследовании 500 образцов изделий на фурнитурной фабрике, отобранных из партии готовой продукции в случайном порядке, 40 оказались нестандартными. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится доля нестандартной продукции, выпускаемой фабрикой.

Задача 6

В порядке случайной повторной выборки было обследовано 80 предприятий отрасли, из которых 20 предприятий имели долю нестандартной продукции выше 0,5%. С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых находится доля предприятий, выпускающих более 0,5% нестандартной продукции в этой отрасли.

Задача 7

В порядке изучения мнения студентов о проведении определенных мероприятий из совокупности 10 тыс. человек методом случайного бесповторного отбора опрошено 600 студентов. Из них 240 одобрили план мероприятий. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится доля студентов, одобривших мероприятия, во всей совокупности.

Задача 8

На ткацкой фабрике работает 6 тыс. ткачих. Для установления норм выработки предполагается провести случайный бесповторный отбор ткачих. Предварительным обследованием установлено, что среднее квадратическое отклонение дневной выработки составляет 25 м. Определить необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит 5 м.

Задача 9

С целью определения качества пряжи на прядильной фабрике предполагается провести выборочное обследование пряжи методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 4 г при среднем квадратическом отклонении 20 г?

Задача 10

На заводе предполагается провести выборочное обследование средней часовой выработки рабочих методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5 шт., если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 225?

Задача 11

В районе проживает 2000 человек. Определить необходимую численность выборки с вероятностью 0,954 для определения среднего размера семьи при условии, что предельная ошибка выборки не должна превышать 0,8 человека. Среднее квадратическое отклонение 2 человека.

ТЕСТЫ

1. Генеральная средняя – это:

а) обобщающая характеристика совокупностей;

б) среднее значение варьирующего признака во всей совокупности;

в) среднее значение признака у единиц, которые подвергались выборочному наблюдению;

г) часть совокупности единиц, которая подвергалась выборочному обследованию.

2. Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Формула средней ошибки выборки для средней при бесповторной выборке:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Доля выборки – это:

а) средняя величина количественного признака;

б) относительная величина альтернативного признака;

в) средняя ошибка выборки;

г) отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности.


Тема 8 

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ

Процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени в статистике называют динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики, которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и показатели времени.

По времени ряды динамики абсолютных величин характеризуют либо уровни развития общественных явлений на определенные моменты времени (моментные ряды), либо процессы их развития за определенные периоды времени (интервальные ряды).

Анализ скорости и интенсивности развития явления во времени осуществляется с помощью следующих показателей: абсолютного прироста, темпа роста, темпа прироста, абсолютного значения 1% прироста.

Абсолютный прирост (сокращение) характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени. Абсолютный прирост с переменной базой называется скоростью роста.

Абсолютный прирост

(цепной)

,

где – уровень сравниваемого периода; – уровень предшествующего периода

Абсолютный прирост

(базисный)

,

где – уровень базисного периода

Интенсивность процесса роста характеризуется темпами роста и темпами прироста и выражается в коэффициентах и процентах и исчисляется по формулам:

Темпы роста:  в коэффициентах в процентах

базисные          

 цепные         

Темпы прироста: в коэффициентах в процентах   базисные  ;    

цепные  ;  ;

или    ;  

Между базисными и цепными темпами роста, выраженными в коэффициентах, существует взаимосвязь: произведение последующих цепных темпов роста равно базисному темпу роста за соответствующий период и выражается формулой: .

Абсолютное значение 1% прироста исчисляется по формулам:

; .

В случаях, когда сравнение производится с отдалением периода времени, принятого за базу сравнения рассчитывают так называемые пункты роста, которые представляют собой разность базисных темпов роста.

.

РЕШЕНИЕ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ 1

Имеются сведения о выплавке чугуна на заводе с 1999 по 2002 г. В 1999 г. выплавлено чугуна 459 т, в 2000 г. – 507 т, в 2001 г. – 545 т, в 2002 г. – 589 т.

Определить показатели интервального динамического ряда.

Решение:

Сведения о производстве продукции на заводе с 1999 по 2002 г.

Показатели

1999

2000

2001

2002

1

2

3

4

5

Объем продукции, т

459

507

545

589

Абсолютный прирост, т

Цепной

48

38

44

Базисный

48

86

130

Темп роста

Цепной

110,5

107,5

108,1

Базисный

110,5

118,7

128,3

Темп прироста

Цепной

10,5

7,5

8,1

Окончание табл.

1

2

3

4

5

Базисный

10,5

18,7

28,3

Абсолютное значение 1% прироста

Цепное

4,6

5,1

5,4

Базисное

4,6

4,6

4,6

Пункт роста

10,5

8,2

9,6

Средние показатели ряда динамики

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние показатели: средние уровни ряда и средние показатели изменения уровней ряда.

Для интервальных рядов динамики средний уровень ряда определяется по формуле средней арифметической:

  1.  при равных интервалах – средняя арифметическая простая: , где у – уровень ряда;
  2.  при неравных интервалах – средняя арифметическая взвешенная: , где t – длительность интервалов между датами.

Средний уровень моментного ряда динамики с равностоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической моментного ряда:

.

Средний уровень моментного ряда с неравностоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:

.

РЕШЕНИЕ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ 2

Масса остатков топлива на складах в тоннах составила на:

01.01.2001

01.03.2001

01.04.2001

01.09.2001

01.01.2002

40

60

100

10

30

Определить среднюю массу остатков топлива на складе.

Решение:

Обобщающий показатель скорости изменения уровней во времени – средний абсолютный прирост (убыль), определяется по формуле средней арифметической простой: , где n – число цепных абсолютных приростов или .

Средний темп роста рассчитывается по формуле средней геометрической:

,

где n – число цепных коэффициентов роста; – цепные коэффициенты роста; – базисный коэффициент роста.

Средние темпы прироста рассчитываются путем вычитания из средних коэффициентов роста 1.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 3

Определить средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста исходя из условия задачи № 1.

Решение:

  1.  средний абсолютный прирост:  или   ;
  2.  средний темп роста: или 108,7% или ;
  3.  средний темп прироста: .

Задача 4

На основании выработки продукции в двух бригадах за 7 месяцев, определить среднюю выработку по каждой бригаде и коэффициент опережения:

Бригады

Январь

Февраль

Март

Апрель

Май

Июнь

Июль

1

61

58

56

58

59

60

62

2

93

89

87

92

92

92

92

Решение:

Определим средние уровни по формуле:

;

;

,

т. е. средняя выработка во второй бригаде выше, чем в первой в 1,5 раза.

Задача 5

Имеются данные об изменении списочной численности работников завода за август 2001 г., чел.:

Состояло по списку на 01.08.2001 г.  – 839

Выбыло с 10.08 – 14

Зачислено с 15.08 – 2

Зачислено с 16.08 – 5

Определить среднесписочную численность работников завода за август 2001 г.

Решение:

Для расчета средней численности работников определим продолжительность t каждого календарного периода с постоянной численностью работающих и общее число человеко-дней:

Календарные периоды

Число работников, У

Длина периода, дней, t

Число человеко-дней, У/t

С 1 по 9.08

839

9

7551

С 10 по 14.08

825

5

4125

С 15 по 25.08

827

11

9097

С 26 по 31.08

832

6

4992

Итого:

t = 31

Уt = 25765

чел.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

В автопарке города число автомашин составило: на 01.01.2001 г. – 6980 шт.; 1 марта поступило новых 40 шт. и списано пришедших в негодность 15 штук; 1 августа поступило – 164 шт. и списано 18 шт.; 1 октября поступило 72 шт.

По приведенным данным:

  1. построить ряд динамики, характеризующий наличие автомашин;
  2. определить среднегодовую численность автомашин в автопарке;
  3. среднемесячный абсолютный прирост за 2001 год.

Задача 2

На 01.01.2001 г. в торговой сети потребкооперации района имелось 1346 телевизоров разных марок:

За I квартал: поступило – 1680 шт. и продано – 1716 шт.;

За II квартал: поступило – 1690 шт.; продано – 1744 шт.;

За III квартал: поступило – 1720 шт.; продано – 1918 шт.;

За IV квартал: поступило – 1646 шт.; продано – 1492 шт.

По приведенным данным построить ряд динамики, характеризующий наличие телевизоров в торговой сети района на начало каждого квартала. Определить:

  1. среднегодовой остаток телевизоров в торговой сети района;
  2. вид ряда динамики;
  3. темпы роста и прироста;
  4. абсолютный прирост базисным и цепным методом.

Задача 3

Движение денежных средств на валютном счете вкладчика в банке за 2001 г. характеризуется следующими данными, дол. США.

Остаток на 01.01.2001 г. – 650; 16.03 – выдано – 100; 01.04 – списано по перечислению – 140; 20.07 – внесено – 200; 01.11 – поступило по перечислению – 350; 01.12 выдано – 150.

Определить:

  1. средний остаток средств на счете;

а) за I полугодие;

б) за II полугодие;

  1. абсолютный прирост изменения среднего остатка вклада во втором полугодии по сравнению с первым.

Задача 4

В следующей таблице приведены абсолютные величины, характеризующие добычу нефти в 1996–2001 гг.

Показатель

1996

1997

1998

1999

2000

2001

Добыча нефти, млн т.

328,4

353,0

377,1

400,4

429,0

458,9

Абсолютные изменения добычи нефти, млн т

Темпы роста (в % к предыдущему году)

Темпы прироста (в %)

Исчислите абсолютные изменения, темпы роста и темпы прироста добычи нефти.

Задача 5

Темпы роста парка машин в строительстве (в % к 1995 г.)

1996

1997

1998

1999

2001

2002

Экскаваторы:

Одноковшовые

135

159

166

168

165

163

Многоковшовые

142

153

153

149

144

132

Скреперы

141

149

133

130

126

120

Бульдозеры

139

159

154

153

150

148

Передвижные краны

139

171

179

177

174

173

Определить:

  1. средние темпы роста по видам машин;
  2. средние темпы прироста.

Задача 6

Имеются данные о производстве минеральных удобрений (в пересчете на 100% питательных веществ, млн т):

Заводы

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

1

13,1

22,0

24,8

33,2

34,7

36,3

37,1

2

14,8

17,1

22,5

22,3

18,2

21,4

22,4

Определить:

  1. средний уровень производства продукции по заводам;
  2. средний темп роста;
  3. абсолютный прирост;
  4. абсолютное значение 1% прироста.

Задача 7

Имеются следующие отчетные данные завода о производстве радиоприемников за 1997–2000 гг.: в 1997 г. завод выпустил 12 000 шт., в 1998 г. – 12 600, в 1999 г. – 13 200, в 2000 г. – 14 060 шт.

Исчислите абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста производства радиоприемников.

Задача 8

Имеются следующие данные о выпуске культтоваров на заводе сельхозмашин за первое полугодие 2001 г.: в январе выпущено 368 шт., в феврале – 356, в марте – 376, в апреле – 376, в мае – 388, в июне – 400 шт.

Исчислите темпы роста и темпы прироста выпуска культтоваров в кадом месяце по сравнению с предыдущим. Оформите абсолютные данные, приведенные в условии задачи и полученные относительные величины в виде таблицы.

ТЕСТЫ

1. Статистические ряды динамики – это:

а) ряд единиц совокупности, расположенных в порядке возрастания или убывания варьирующего признака;

б) ряды абсолютных величин;

в) показатели, характеризующие процесс развития общественного явления во времени;

г) ряды, где значения варианты даны в виде интервалов.

2. Моментные динамические ряды – это:

а) процесс развития общественного явления во времени;

б) ряд количественных показателей, характеризующих данное явление на определенные даты;

в) ряд количественных показателей, характеризующих данное явление за определенный промежуток времени;

г) ряд относительных величин.

3. Темп роста – это:

а) разность между уровнями двух сравниваемых периодов;

б) отношение уровня одного периода к уровню предшествующего периода;

в) отношение абсолютного прироста к темпу роста;

г) отношение абсолютного прироста к уровню того периода, с которым производится сравнение.

4. Средний темп роста определяется по формуле:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Абсолютное значение 1% прироста – это:

а) отношение уровней двух периодов;

б) отношение абсолютного прироста к темпу прироста;

в) отношение абсолютного прироста к уровню того периода, с которым сравнивают;

г) разность между уровнями двух периодов.

6. Система показателей динамического ряда включает:

а) средний уровень ряда, дисперсию;

б) цепные и базисные индексы, темп прироста;

в) абсолютное значение 1% прироста, темп роста, темп прироста, абсолютный прирост;

г) базисный абсолютный прирост, коэффициент вариации, темп роста.


Тема 9 

ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД В СТАТИСТИЧЕСКИХ
ИССЛЕДОВАНИЯХ

Особым видом относительных величин являются индексы. Слово «индекс» означает показатель.

Индексами в статистике называют относительные показатели, характеризующие степень выполнения плана, изменение во времени или пространстве как однородных, так и разнородных явлений.

Для исчисления индекса необходимо иметь показатели за два сопоставляемых периода. Величину, с которой сравнивают, называют основанием, или базой индекса, или базисной величиной. Изучаемую величину, которую сопоставляют (сравнивают) с величиной базисного периода, называют отчетной или текущей. Индекс, таким образом, есть отношение отчетной величины к базисной.

Различают два вида индексов: индивидуальные и общие.

Индивидуальные, или частные, индексы характеризуют соотношение показателей однородных явлений. Примером индивидуальных индексов может быть процент выполнения плана или динамика выпуска одного какого-нибудь вида продукции, процент выполнения плана, или динамика себестоимости одного вида продукции, или соотношение выпуска какого-либо вида продукции за один и тот же период в разных областях или республиках.

Общий, или групповой, индекс характеризует соотношение показателей разнородных явлений, абсолютные величины которых непосредственно нельзя суммировать; их можно суммировать только после приведения к одному выражению. Примером общего индекса является индекс, характеризующий степень изменения общего выпуска продукции завода.

Чтобы вычислить индивидуальный индекс, надо показатель отчетного периода разделить на показатель базисного периода. При исчислении индексов для удобства введем условные обозначения – латинские буквы. Индивидуальный индекс обозначают буквой i, количество продукции или товара в натуральном выражении – буквой q, буквой р – цену единицы каждого продукта (товара).

Формула индивидуального индекса объема продукции имеет следующий вид: , где подстрочный знак «1» означает текущий или отчетный период, а «0» – базисный период.

Итак, индивидуальный индекс объема продукции получают путем деления количества продукции отчетного периода на количество продукции этого же вида в базисном периоде. Формула индивидуального индекса цен имеет такой вид: , т. е. индивидуальный индекс цен получают путем деления цены за единицу продукции текущего периода на ее цену в базисном периоде.

Групповой индекс стоимости продукции представляет собой отношение фактической стоимости всей продукции в отчетном периоде к фактической стоимости всей продукции в базисном периоде. Формула индекса стоимости продукции имеет следующий вид: .

Эта формула показывает, что для получения индекса стоимости продукции количество каждого продукта умножают на его цену, а затем произведения по всем продуктам суммируют. Полученный таким образом итог стоимости продукции за отчетный период сопоставляют со стоимостью продукции за базисный период.

Групповой индекс объема продукции – это отношение стоимости всей продукции отчетного периода в ценах базисного периода к фактической стоимости продукции базисного периода по базовым ценам.

Формула этого индекса имеет вид: .

Групповой индекс цен получает путем отношения фактической стоимости продукции отчетного периода по ценам отчетного периода к стоимости этой продукции по ценам базисного периода.

Формула этого индекса будет иметь вид: .

Между индексами цен, физического объема продукции и стоимости существует взаимосвязь: .

При изучении динамики за три и большее количество периодов индексы могут быть исчислены двумя путями:

  1. путем сопоставления абсолютных величин (показателей) всех периодов поочередно с показателем одного периода, принятого за постоянную базу. Индексы с постоянным основанием называют базисными;
  2. путем сопоставления абсолютной величины каждого периода с абсолютной величиной непосредственно предшествующего периода, т. е. меняющейся базой. Индексы с основанием предыдущих периодов называют цепными.

Базисные и цепные индексы связаны между собой. Перемножив все цепные, получим последний базисный индекс; разделив каждый последующий базисный индекс на предшествующий, получим соответствующий цепной индекс.

На практике не всегда имеются индексируемые величины и веса. И тогда агрегатные индексы преобразуются в средние индексы: средний арифметический и средний гармонический.

При этом средний индекс является правильным в том случае, если он тождественен агрегатному индексу.

Агрегатный индекс физического объема . (1)

Индивидуальный индекс физического объема . (2)

Отсюда  (3)

преобразуем и в формулу (1) подставим значение q1 из формулы (3) и получим:

средний арифметический индекс физического объема.

, , тогда средний арифметический индекс цен .

В тех случаях, когда нет данных о количестве произведенной (реализованной) продукции, но есть индивидуальные индексы цен и стоимость произведенной (реализованной) продукции в отчетном периоде в ценах отчетного периода.

, , то , тогда – средний гармонический индекс цен.

Средний гармонический индекс цен часто используется в торговле, где в отчетности имеются данные о стоимости проданного товара (Pq) и отсутствуют данные о количестве проданных товаров по отдельным видам (q). Поэтому широко используется в торговле при исчислении индексов розничных цен.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1

Рассчитайте по следующим данным индивидуальные индексы динамики объема продукции, цен и стоимости:

Показатели

2000 г.

2001 г.

Объема продукции, шт.

1600

1768

Цена, р.

1150

1100

Решение:

Задача 2

Имеются следующие сведения о выпуске продукции завода и ценах на продукцию за 2000 и 2001 г.

Виды продукции

Единица
измерения

Выпущено единиц

Цена за единицу, тыс. р.

2000 г.

2001 г.

2000 г.

2001 г.

Токарно-винторезные станки

Штук

1600

1768

1150

1100

Чугунное литье

Тонн

3500

3945

370

349

Исчислить индивидуальные и групповые индексы объема продукции.

Решение:

Вычисление покажем в таблице:

Виды продукции

Единица измерения

Выпущено
единиц

Цена за единицу в 2000 г., тыс. р.
р0

Стоимость продукции
в ценах 2000 г., тыс. р.

Индексы объема продукции (гр.2/гр.1
и в итоге – гр.5/гр.4)

2000 г.
р0

2001 г.
q1

2000 г. (гр.1  гр.3)
р0q0

2001 г.
(гр.2 
 гр.3)
р0q1

Токарно-винторезные станки

Штук

1600

1768

1150

1840 000

2033 200

110,5

Чугунное литье

Тонн

3500

3945

370

1295 000

1459 650

112,7

Итого:

3135 000

3492 850

111,4

Задача 3

На основании условия задачи 2 определите индексы цен.

Решение:

Виды продукции

Единица измерения

Цена за единицу, р.

Выпущено единиц
в 2001 г.
q1

Стоимость продукции, тыс. р.

Индексы цен (гр.2/гр.1
и в итоге – гр.5/гр.4)

2000 г.
р0

2001 г.
р1

в ценах 2000 г. (гр.1  гр.3)
р0q1

в ценах 2001 г.
(гр.2 
 гр.3)
р1q1

Токарно-винторезные станки

Штук

1150

1100

1768

2033 200

1944 800

95,7

Чугунное литье

Тонн

370

349

3495

1459 650

1376 805

94,3

Итого:

3492 850

3321 605

95,1

Задача 4

Используя условие задачи 2 исчислите индексы стоимости продукции. Решение представьте в виде таблицы.

Решение:

Виды продукции

Единица измерения

Выпущено
единиц

Цена за единицу

Стоимость продукции

Индексы стоимости (гр.6/гр.5)

2000 г.
q0

2001 г.
q1

2000 г.
р1

2001 г.
р1

2000 г. (гр.3  гр.1)
р0q0

2001 г.
(гр.4 
 гр.2)
р1q1

Токарно-винторезные станки

Штук

1600

1768

1150

1100

1840 000

1944 800

105,7

Чугунное литье

Тонн

3500

3945

370

349

1295 000

1376 805

106,3

Итого:

3135 000

3321 605

105,9

Задача 5

Индекс физического объема продукции составил 105%, цена увеличилась на 12%. Определите как изменилась стоимость продукции.

Решение:

Ответ: стоимость продукции увеличилась на 17,6%.

Задача 6

Определить среднеарифметический индекс физического объема на основании следующих данных:

Продукты

, млн р.

А

1,10

300

Б

0,90

250

В

0,75

400

Решение:

.

Вывод: объем продукции в целом снизился на 10%.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

Рассчитайте по следующим данным индексы:

  1. физического объема товарооборота;
  2. цен;
  3. стоимости продукции.

Товар

Индивидуальный индекс цен

Стоимость проданной продукции, млн р.

июль

август

Картофель

104

118

99

Молоко

102

26

28

Яйцо

96

142

155

Ответ: 1) 98,6; 2) 99,26; 3) 99,34.

Задача 2

Рассчитайте по следующим данным индексы:

  1. затрат времени на производство продукции;
  2. физического объема продукции;
  3. трудоемкости.

Вид продукции

Количество произведенной продукции

Трудоемкость производства единицы продукции, чел/ч

q0

q1

t0

t1

А

480

550

1,12

1,08

Б

304

434

1,18

1,09

В

571

617

1,76

1,72

Ответ: 111,94; 2) 116,45; 3)104,03.

Задача 3

Объем продукции завода увеличился на 15%. Стоимость продукции осталась без изменения.

Определите среднее изменение цен.

Задача 4

Стоимость продукции на заводе синтетического каучука в 2001 г. увеличилась по сравнению с 2000 г. на 7,1%. Индекс цен составил 97,2%.

Определите, как изменился физический объем выпущенной продукции за 2001 г.

Задача 5

Объем продукции возрос на 12%, а цены снизились на 6%, стоимость продукции за тот же период возросла за счет увеличения объема продукции на 240 тыс. рублей.

Определите, на какую сумму снизилась фактическая стоимость продукции в отчетном периоде за счет снижения цен.

Задача 6

Численность рабочих увеличилась на 5%, а производительность труда – на 10%.

Определите, как изменился объем выпущенной продукции.

Задача 7

Объем продукции увеличился на 8%, а производительность труда рабочих – на 3,7%.

Определите, как изменилась численность рабочих.

Задача 8

Численность промышленно-производственного персонала сократилась на 2%, объем продукции увеличился при этом на 3,9%.

Определите, как изменилась в среднем производительность труда.

Задача 9

В отчетном году продано кожаной обуви на 50 млрд. р., резиновой – на 20 млрд. р. и комбинированной – на 10 млрд. рублей. Исчислить общий индекс цен по обуви, если известно, что цены возросли на кожаную обувь на 20%, на резиновую – на10% и комбинированную – на 3%.

Задача 10

Имеются данные о снижении себестоимости по отдельным видам продукции и о сумме затрат в производстве:

Вид продукции

Снижение себестоимости, %

Сумма затрат в производстве
в отчетном периоде, тыс. дол.

Картофелечистки

МОК-250

3

100

МОК-350

4

275

МОК-400

2

65

Протирочные

МП-800

5

540

МП-1000

7

160

Исчислить индекс себестоимости:

  1. по картофелечисткам;
  2. по протирочным машинам;
  3. по всей продукции вместе.

Задача 11

Исчислить общий индекс физического объема товарооборота:

Товары

Мясо

Масло

Овощи

Индивидуальные индексы физического товарооборота

1,1

0,9

1,2

Товарооборот базисного периода, млн р.

120

180

140

Индексы структурных сдвигов

На динамику качественных показателей, уровни которых выражены средними величинами, оказывает влияние изменение структуры изучаемого явления.

Для характеристики изменения структуры совокупности в динамике рассчитывают интегральный коэффициент структурных различий А. Салаи:

,

где – относительные показатели структуры изучаемой совокупности в отчетном и базисном периоде; n – число групп.

Изменение коэффициента от 0 до 1 показывает меру структурных различий совокупностей.

На изменение среднего значения показателя могут оказывать воздействие одновременно два фактора:

  1.  изменение значений осредняемого признака;
  2.  изменение структуры явления.

Для определения степени влияния этих факторов используют индексы переменного, постоянного состава и структуры сдвигов.

Индекс переменного состава – это относительная величина, характеризующая совместное влияние двух средних показателей для однородной совокупности (изменяется и цена, и количество или урожайность и посевная площадь).

,

где – осредненный признак; f – вес (доля) изучаемого признака.

– индекс себестоимости переменного состава.

– индекс цены переменного состава.

Чтобы исключить влияние изменения структуры совокупности, т. е. чтобы исчислить влияние только индексируемой величины (цены, себестоимости) исчисляется индекс постоянного (фиксированного) состава.

– индекс постоянного состава.

Индекс цен – .

Индекс себестоимости – .

Индекс урожайности – .

Индекс посевных площадей – .

Чтобы исчислить влияние структуры (состава, доли) на динамику среднего показателя, исчисляется индекс структурных сдвигов как отношение среднего уровня индексируемого показателя базисного периода на отчетную структуру к фактической средней этого показателя в базисном периоде:

.

В качестве весов средних величин могут быть использованы и относительные величины (доли) d, тогда:

Между индексами переменного, постоянного составов и структурных сдвигов имеется взаимосвязь.

.

.

.

РЕШЕНИЕ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ

Задача 1

Данные о производстве зерновых культур:

Зерновые культуры

Валовой сбор, ц

Посевная площадь, га

Урожайность, ц/га

2000 г.

2001 г.

2000 г.

2001 г.

2000 г.

2001 г.

Рожь

14 400

18 000

800

900

18

20

Овес

6400

6400

400

400

16

16

Гречка

2400

1400

200

100

12

14

Итого:

23 200

25 800

1400

1400

Исчислить:

  1.  Индекс средней урожайности переменного состава.
  2.  Индекс средней урожайности постоянного состава.
  3.  Индекс структурных сдвигов.

Решение:

,

,

.

.

Средняя урожайность в 2001 г. увеличилась на 11,2% или на 1,86 ц/га (18,43–16,57).

Изменение средней урожайности происходило под влиянием двух факторов:

  1.  изменение урожайности отдельных культур;
  2.  изменение структуры посевных площадей.

На основе индекса средней урожайности постоянного состава определим изменение урожайности отдельных культур при одинаковой структуре посевных площадей:

.

Увеличение валового сбора зерна за счет роста урожайности культур составило 2000 ц, т. е. (25 800 – 23 800):

.

Увеличение валового сбора за счет изменения структуры посевных площадей составило: 23 800 – 23 200 = 600 (ц).

Проверка:

2000 + 600 = 2600 (ц)

25 800 – 23 200 = 2600 (ц)

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

Определите индексы переменного, фиксированного состава и структурных сдвигов по следующим данным:

Номер предприятия

Произведено продукции, тыс. шт.

Стоимость единицы продукции, тыс. р.

Базисный период

Текущий период

Базисный период

Текущий период

1

470

250

12,5

13,0

2

920

940

10,1

103,0

3

380

690

4,2

5,0

Задача 2

По двум швейным фабрикам имеются данные:

Изделия

Фабрика № 1

Фабрика № 2

Себестоимость 1 единицы продукции, дол.

Произведено, тыс. шт.

Себестоимость 1 единицы продукции, дол.

Произведено, тыс. шт.

базисный

отчетный

базисный

отчетный

базисный

отчетный

базисный

отчетный

А

75

72

200

150

60

63

100

200

Б

30

28

100

160

35

32

180

150

В

50

45

500

600

60

58

400

400

Г

10

8

700

600

8

6

500

800

Исчислить индексы по каждой фабрике отдельно:

  1. средней себестоимости переменного состава;
  2. средней себестоимости постоянного состава;
  3. структурных сдвигов.

Задача 3

Имеются данные об объеме продаж и ценах:

Товар

Государственная торговля

Колхозная торговля

Цена, дол.

Объем продаж

Цена, дол.

Объем продаж

базисный

отчетный

базисный

отчетный

базисный

отчетный