10805

Аппроксимация данных эллиптическими полиномами

Научная статья

Математика и математический анализ

1 Аппроксимация данных эллиптическими полиномами Аннотация В статье предлагается новое поле для приложения эллиптических функций – аппроксимация дискретных значений процессов и сигналов зафиксированных через равные промежутки времени. Аппр

Русский

2013-04-02

154.01 KB

32 чел.

1

Аппроксимация данных эллиптическими полиномами

Аннотация

 В статье предлагается новое поле для приложения эллиптических функций – аппроксимация дискретных значений процессов и сигналов, зафиксированных через равные промежутки времени. Аппроксимирующий полином представляет собой сумму эллиптических синусов и косинусов Якоби. Каждая составляющая полинома определяется четырьмя параметрами, которые подбираются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений полинома от экспериментальных данных.

 Строится в двух проекциях эллиптический спектр процесса.

Полином Фурье рассматривается как частный случай эллиптического полинома. Алгоритм аппроксимации реализован в системе компьютерной алгебры Maple. Приведены конкретные примеры аппроксимации.

Оглавление

     

1.Введение……………………………………………………………………………………………………..3

2.Дискретные последовательности……………………………………………………………………………………………………………………….3

3.Эллиптические функции……………………………………………………...4

4.Эллиптический полином……………………………………………………...5

5.Критерий и методы подбора полинома……………………………………..6

6.Штыревой метод полного перебора…………………………………………8

7. Моделирование меандра……………………………………………………10

8.Анализ солнечной активности……………………………………………...11

9.Выводы………………………………………………………………………...14

10.  Литература………………………………………………………………………………………………14

    


1.Введение. Расширение области анализа колебаний

В настоящее время использование тригонометрических рядов для обработки данных широко распространено.  Однако, во многих случаях первоначальное представление о  гармонической структуре сигналов  и внешних воздействий на технические, биологические и экономические объекты не отражают полностью явлений при этом происходящих. Поэтому помимо гармонических колебаний приходится иметь дело с колебаниями, которые возникают и изменяются по другим законам. К такому случаю относятся сигналы и процессы, аналитическое представление которых имеет в своём составе эллиптические синусы и косинусы.

  Решение многих практически важных  задач механики, теории  электрических цепей, теории сигналов, гидродинамики, астрономии и пр. осуществляется с помощью аппарата  эллиптических функций. В данной работе рассматривается возможность использования эллиптических функций для аппроксимации записей различных  процессов и сигналов, представленных дискретными последовательностями своих значений.  С теорией эллиптических  функций  можно  ознакомиться  по  книгам  [1, 2, 3]. Весьма доходчивое описание, а также графические материалы по эллиптическим функциям приведены  в статье  [4] на сайте www.dsplib.ru/.

2.Дискретные последовательности

Экспериментальная последовательность состоит из n равноотстоящих  наблюдений с интервалом дискретности h:

                      ,

                                         ,                                                      (1)

где  t – аргумент (независимая переменная), T - общая длина записи процесса. В качестве аргументов часто используются время, перемещение, угол поворота. Если в качестве аргумента выбрано время, то последовательность считают временным рядом

Для сравнительного анализа последовательности  и  значений аппроксимирующего полинома , вычисленных при соответствующих значениях аргумента, используется  общеизвестные числовые характеристики: средние, стандартные отклонения, размах, квадрат асимметрии и эксцесс. Ввиду существенной нелинейности по параметрам квадратичных сумм  с эллиптическими выражениями  точно оценить для них число степеней свободы затруднительно. Поэтому вместо дисперсий используются вариации:

                  ,         (2)                

                                                                                                             (3)

Эти вариации носят названия: вариация данных, вариация вычисленных значений полинома, ковариация данных и полинома, остаточная вариация. Совместно с ковариацией часто используется коэффициент корреляции, который даёт количественную характеристику сходства полинома и последовательности данных.

3.Эллиптические функции

Основоположниками теории эллиптических функций являются Н.Абель и  К.Якоби. Эллиптические функции введены ими как обратные к интегралу

                                             

                        .                                                (4)

  Здесь параметр k называется эллиптическим модулем, 0≤k<1. Для инженера эллиптические функции более удобны, чем эллиптические интегралы. В какой-то мере это можно сравнить с переходом от изучения некоторого явления от  функции arcsin x к обратной ей функции sin x. Графики эллиптических функций нагляднее, им легче придать физический смысл. Абстрактную переменную мы будем считать тригонометрическим обобщённым углом, либо придавать ей физический  смысл фазы некоторого колебательного процесса. В нашей задаче она будет иметь угловую размерность .  

При вычислениях   мы будем пользоваться тремя эллиптическими

функциями:

                                                                        (5)

и называть их  косинусом, синусом и дельта-амплитудой. Эти функции периодичны:

               (6)

 Длительность периода  P для синуса и косинуса может быть вычислена с помощью интеграла (2), если в качестве верхнего предела взять величину В таблице 1 представлен набор модулей и соответствующих им периодов:

                                                      Таблица 1.

            № п./п.  1           2        3       4        5        6         7          8

          модуль k=  [0,          0.5       0.7      0.9      0.95     0.99      0.995     0.999 ]

период.

Дельта-амплитуда для каждого модуля имеет период в 2 раза меньший. Тут имеется аналогия с тригонометрическими функциями, когда синус и косинус имеют период , а тангенс . Разница в том, что тригонометрические функции имеют только один угловой период, а эллиптические - множество.

Остановимся детальнее на некоторых свойствах эллиптических функций, которые могут пригодиться при последующей работе. Областью определения эллиптических функций является множество всех действительных чисел. Для синуса и косинуса область значений есть [-1,1]. Синус – нечётная функция фазы, а косинус – чётная.

Многие свойства эллиптических функций можно оценить, рассматривая их графики[4]. Так, из графиков хорошо видно, что синус и косинус одинаковым периодом ортогональны на отрезке, кратном длине периода. Интегрирование их произведения подтверждает это предположение. Например, вычислим такой интеграл при k=0.95 и периоде P=10.36:

.

Мы видим, что он равен нулю с точностью до погрешности округления.

Для эллиптических функций выполняются следующие соотношения:

                                                      ,  

                      ,                                            (7)                       ,  

                ,              (8)             

          .                  

Символ модуля внутри скобок  эллиптических функций  опущен, поскольку подразумевается, что он один и тот же для всех функций. Кроме того, как видим, для выражения функции суммы двух углов через функции слагаемых необходимо три эллиптических функции, а не две, как в тригонометрии.

4.Эллиптический полином

Для проведения аппроксимации последовательность и эллиптические функции должны иметь один и тот же аргумент. Поэтому при формировании полинома мы будем пользоваться эллиптическими функциями вида:

                                     ,                                       (9)

где - положительный множитель, который по аналогии с тригонометрическими полиномами мы будем называть угловой частотой (размерность – .

 Частоты в ряде Фурье определяются  соотношениями:

                                   ,                                                       (10)

где T – длина записи, m – количество составляющих. По аналогии, частоты эллиптических функций мы определим из соотношений:

 q=1. .  ,                                               (11)

где  – угловые периоды,m – количество частот,   – количество рассматриваемых периодов. Качественная разница в том, что у тригонометрических функций период один , а у эллиптических этих периодов множество.

 Эллиптический полином, который осуществляет аппроксимацию, можно задать следующим выражением

                                 ,                              (12)

где – подобранные частоты и модули, M – количество составляющих,  – постоянные для каждой составляющей коэффициенты. Как видим, каждая составляющая имеет четыре параметра. Весь полином имеет 4M параметров. Так, если полином имеет десять составляющих, то число неизвестных параметров равно сорока.

 5.Критерий и методы для подбора полинома

 Параметры полинома необходимо подобрать таким образом, чтобы обеспечить наилучшее  совпадение его значений в точках со значениями реальной последовательности. Иными словами, нужно минимизировать сумму

          .                                           (13)

Решить эту задачу  напрямую весьма сложно  ввиду большого количества определяемых параметров и аналитической сложности  самой функции (19).

Чтобы обойти  эти трудности, было решено использовать  многоступенчатый  алгоритм, «разукрупнить» функцию (19). На каждой ступени  определяются четыре параметра одной составляющей полинома  независимо от других. Эту составляющую будем называть эллиптоидой.  Для одной эллиптоиды сумма (19) упрощается и принимает вид

              .                  (14)

Отдельные слагаемые суммы ,будем называть остатками

Функцию (20), как это принято при решении задач оптимизации, будем называть целевой. Графики эллиптоид с различными  модулями представлены на рис.1.

                  Рис.2. Графики двух эллиптоид с разными параметрами.

    Проанализируем  особенности  целевой функции. Относительно параметров  a и b она линейна, а по параметрам  и k существенно нелинейна. Ввиду периодического характера функций  CN и SN  она так же многоэкстремальна и может иметь несколько минимумов в допустимой области значений пар и k. Не возможно также применить градиентные методы оптимизации целевой функции и другие методы, использующие производные [8].

  Обычно для определения параметров используется метод наименьших квадратов[5]. Нормальные уравнения метода можно получить, если приравнять нулю частные производные по каждому неизвестному параметру. В нашем случае они составят систему из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными , k, a, b.Решая эту систему, можно пытаться получить нужные значения параметров. Проанализируем  производные.  

  С помощью системы компьютерной математики Maple [6] автору удалось их получить.  Две первые оказались настолько громоздкими и аналитически сложными, что решение системы уравнений, в которую они входят,  является нереальным (выражение производной по k занимает восемь строчек на дисплее). Следовательно, метод наименьших квадратов в нашем случае применить нельзя. Не возможно также применить градиентные методы оптимизации  и другие методы, использующие производные [7].

Важную роль для выбора метода оптимизации играют нормальные  уравнения относительно  a и b:                 (15)

          .

Заметим, что эти уравнения линейны  b.

                           Если учесть, что при одинаковом  модуле и частотам, удовлетворяющим соотношению (11), эллиптические  синус и косинус ортогональны, то решение системы имеет вид

,                      (16)

Если значения   и k известны, то соответствующие им значения коэффициентов a и b легко найти по формулам (16), а целевую функцию по формуле  (14). Поэтому для аппроксимации данных мы применим прямой перебор возможных значений  и k.    

  Для построения допустимого множества значений и организации поиска нужно знать пределы изменения величин  и k. Модуль находится в пределах от нуля до единицы. При k=1 у подынтегральной функции (4) появляются особенности. Поэтому  рационально максимальное значение модуля  принимать числом, близким к единице, но не единицей, например,0.95,0.99,0.999.

        Для выбора допустимых значений модуля используем следующие соотношения:

,                               (17)

где – шаг, K – массив значений модуля. Величина может выбираться в пределах где-то от 5 до15. Чем больше величина  тем точнее аппроксимация, но и, естественно, больше затраты машинного времени.

 Диапазоны частот можно определить из таких соображений. Для

тригонометрических гармоник при интервале фиксации h между значениями последовательности  полезная информация может быть получена [7]  только для диапазона частот 0... Для определения параметров наивысшей гармоники необходимо хотя бы три последовательных значения данных.

Эллиптоида  по своей форме довольно сложная кривая  (рис.2) . Для её идентификации не хватит трёх последовательных значений данных как для гармоники. Для неё нужно хотя бы пять последовательных точек. Высшая частота, которую можно оценить при этом (угловой период, соответствующий модулю  k). Низшая  частота   определится    из тех соображений, что эллиптоидная волна должна хотя бы раз полностью уложиться на длине записи T, т.е. .

 Соотношение этих частот (n-1)/4. Ближайшее целое, меньшее или равное этому отношению, даёт нам количество частот m при поиске минимума.

Заметим, что количество перебираемых частот для всех модулей одинаково, не зависит от шага и определяется только количеством данных. Иными словами, значения частот, анализируемых при каждом модуле, будут различны, а вот их количество одинаково.

   6.Штыревой метод полного перебора

           Допустимые пары значений k и  представим в виде точек на плоскости. Получим графическое изображение области поиска (рис.3). Здесь частоты изображены в виде маленьких ромбиков, нанизанных на модульные штыри. Каждому модулю соответствует свой штырь. Расстояния между ромбиками на одном штыре одинаковы, но отличаются от расстояний на другом. Количество ромбиков на всех штырях одинаково.

                    Рис.3.Графическое представление области перебора  параметров k и  при =0.99 и =13.4 .

   При переборе частот можно двигаться только вдоль штыря. Когда все частоты проанализированы, следует переместиться на следующий штырь. Штыри можно перебирать слева направо, либо справа налево.

     До начала процесса аппроксимации необходимо присвоить начальные значения некоторым величинам и сформулировать условия остановки процесса. Величине присвоить значение , величине   присвоить значение , задать допустимое значение относительной ошибки аппроксимации , аналитическому выражению для полинома y задать значение 0. В технических приложениях часто полагают E=0.05. Если относительная ошибка меньше заданной величины результат считается достигнутым и процесс аппроксимации прекращается.

   В процессе перебора для каждого комплекта параметров вычисляются величины:

                                    (18)    

Величина  сравнивается с контрольным значением. Если для определённого комплекта параметров, величина , то

               (19)

С помощью этих операций в результате перебора будут найдены минимальное значение суммы  и соответствующий ему набор параметров  для одной из составляющих полинома.

   После этого можно вычислить остатки

             ,                                (20)

аналитическое выражение для полинома на данной стадии

                  ,                                             (27)

а также  значение относительной погрешности . Если >E, то полученные значения остатков принимаем за новые данные =,    вычисляем их новую вариацию

                                                                                          (21)

и переходим к определению параметров следующей составляющей полинома.

  Если , то требуемая точность аппроксимации достигнута, и подбор параметров прекращается. По завершению каждой стадии формируется одна строка эллиптического спектра процесса

Сюда входят  частота, модуль, угловой  период, период составляющей  в единицах аргумента t, коэффициенты a и b,долевой вклад составляющей в общую вариацию , объяснённая доля вариации по всем составляющим нарастающим итогом и номер составляющей. Во избежание путаницы здесь через   обозначена первоначальная вариация экспериментальных данных.

 Алгоритм аппроксимации помимо основного выхода имеет дополнительные выходы.  Если величина  становится малой, это значит, что вклад составляющей в общую вариацию незначителен и алгоритм «топчется» на месте, практически не улучшая целевую функцию. В этом случае предусмотрен выход из алгоритма перебора. Третий выход - по количеству ступеней. Если количество найденных составляющих превышает заданную величину, то происходит выход из алгоритма перебора.

 Данный алгоритм требует довольно большого количества вычислений, но он обеспечивает приближённое определение глобального минимума и решает проблему многоэкстремальности  целевой функции. Он реализован в системе компьютерной алгебры Maple. Ниже рассмотрены примеры эллиптической аппроксимации различных типов данных.

 7. Моделирование меандра

  Сигнал типа «меандр» хорошо аппроксимировать  эллиптическим полиномом. Для этого меандр нужно задать аналитически, например,

Согласно такому аналитическому выражению можно представить меандр последовательностью значений:

                                                 0,   2,   2,   2,   2,   2,   2,   2,

                                                 2,   2,   2,   2,   2,   2,   2,   0,

     -2,  -2,  -2,  -2,  -2,  -2,  -2,  -2,

                                               -2,  -2,  -2,  -2,  -2,  -2,   0.

 Выше приведенные данные и аппроксимирующий полином представлены на рис.4.

                    Рис.4. Аппроксимация меандра эллиптическим полиномом.

Уравнение полинома имеет вид

Мы видим, что главную роль здесь играет нечётная функция SN. Для аппроксимации меандра с относительной погрешностью 3.2% достаточно одной эллиптоиды.

 8.Анализ солнечной активности

 Интересным примером использования эллиптической аппроксимации является анализ солнечной активности. Данные о среднем количестве солнечных пятен в январе за годы с 1841 по1984 были взяты из книги [9]. График числа солнечных пятен по годам совместно с выявленным трендом представлен на рис.4.

 

                     Рис.4. График изменения числа солнечных пятен за 144 года совместно

   с выявленным трендом этой величины.

 Как видно из графика,  минимум солнечной активности по приведенным данным приходился на период с 1885 по 1901год. Наличия такого тренда данных говорит о наличии периода солнечной активности продолжительностью значительно больше, чем 144 года.

 Для этой последовательности был определён эллиптический полином, отрезок  которого показан ниже

Полный  полином обеспечивает относительную погрешность аппроксимации ниже 5% и имеет 13 составляющих.

 Полиному соответствует матрица спектра. Здесь показан её фрагмент (первых шесть строчек)

                                                                              Таблица 2

                                Матрица эллиптического спектра солнечной активности

                                 k          P                   a           b                   ∑      №

Обозначения первых шести столбцов уже были разъяснены выше. Под солнечной активностью  мы понимаем  относительную величину . Накопленная активность ∑ - это сумма активностей данной составляющей и всех предыдущих.

 На рис. 5 и 6. представлен эллиптический спектр солнечной активности  в двух проекциях. По графикам и матрице спектра видно, что основные колебания солнечной активности имеют период около 11 лет. Кроме того прослеживаются два колебания с одинаковым периодом 11 лет, но разной формы. Также  имеется третье колебание с периодом 10.2 года весьма значительной интенсивности. Различие в периодах меньше шага фиксации данных.

Поэтому все три колебания можно считать одним суммарным негармоническим колебанием (рис.7). Интенсивность такого колебания составляет 65% общих изменений солнечной активности. Естественно, что данные такого углублённого анализа дадут дополнительную пищу для размышлений исследователям солнечной активности. Основное машинное время подбора эллиптического полинома к данным солнечной  активности 84с.

 Рис.5. Проекция эллиптического спектра на плоскость «период – солнечная

активность».

 

              Рис.6. Проекция эллиптического спектра на плоскость «модуль – солнечная

  активность».

 Рис.1.Составляющая солнечной активности с периодом 11 лет (65%

 общей интенсивности).

     

 9.Выводы

 1.Эллиптическая аппроксимация создаёт дополнительное поле для использования классической теории эллиптических функций.

 2. Эллиптический анализ по сравнению с гармоническим позволяет более  глубоко проникнуть в структуру сигнала и извлечь больше информации, так как различает не только частоту, но и форму колебаний.

 3. У эллиптического полинома шире возможности, чем у гармонического,  при моделировании стандартных сигналов.

10.  Литература

1.Аксёнов Е.П. Специальные функции в небесной механике. – М.: Наука,       1986, 320с.

2.Градштейн  И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произ- ведений. – М.: ФИЗМАТГИЗ,1963, 1100 с.

   3.Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука,1961, 228с.

   4.Эллиптические функции Якоби. Эллиптическая дробно-рациональная функция. - www.dsplib.ru.

5.Дрейпер Н. Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М.: Статистика,1973.392с.

6.Дьяконов В.П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчётах. – М.:ДМК Пресс,2011, 800с.

7. Вермишев Ю.Х. Методы автоматического поиска решений при проектировании сложных технических систем. – М: Радио и связь,1982.152с.

   8.Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. – М.: МИР,1971.408с.

      9.Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения.  М.:МИР,1990,584с.

 

          

                        

                        

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51852. Лічба в межах 20. Вправи на засвоєння додавання та віднімання чисел у межах 10 56 KB
  Обладнання: ілюстрації героїв казок: Колобок Заєць Лиса Вовк Ведмідь Белочка Буратіно набори чисел дидактичний матеріал картки тести. Правильно це Колобок. Наш Колобок дуже допитливий тому геть і пішов от бабусі й дідуся щоб навчитися бути економним. Ну що ж у шлях І покотився Колобок.
51854. МИ ЧУЄМО ТЕБЕ, КОБЗАРЮ, КРІЗЬ СТОЛІТТЯ 479.5 KB
  22 Урок Черкащина – земля Тараса Шевченка 33 Урок Черкащина – духовності скарбниця. Шевченка без перебільшення можна назвати геніальним художником. Творчість Шевченка багатогранна як його талант. Літературна спадщина Шевченка обіймає велику збірку поетичних творів Кобзар драму Назар Стодоля і 2 уривки з інших п'єс; 9 повістей щоденник та автобіографію написані російською мовою записки історичноархеологічного характеру Археологічні нотатки 4 статті та понад 250 листів.
51856. Ми чуємо тебе Кобзарю крізь століття 1.78 MB
  Базилевський: Шевченко – явище унікальне Просторо в цьому імені. Справді як поет Тарас Шевченко починає виступати в різноманітних здавалося б майже взаємно виключаючих поетичних жанрах немовби в різних стильових манерах. Питання для обговорення: як ви вважаєте: звідки черпав наснагу Шевченко чи можна на вашу думку роз’єднати Шевченка і Черкащину Свою відповідь обгрунтуйте. Без волi немає щастя – вважав Шевченко: .
51857. The Miracle Drugs Abroad 57.5 KB
  Ech one is mircle drug in its own right nd I hven’t met n mericn tourist yet who isn’t willing to shre his medicines with less fortunte people who live brod. “I hve just the thing for you†the hostess sid. It doesn’t mke you s sleepy nd you only hve to tke two every four hours. I hve bottle t the hotel nd if you stop by I’ll give you some.
51859. Використання ІКТ на уроках математики у школі II ступеня з метою формування профільних компетенцій 71 KB
  А саме: учні активно беруть участь в процесі навчання навчаються самостійно мислити пропонувати свої бачення прогнозувати та моделювати окремі ситуації. Якщо цей вчитель може надати допомогу учням в їх самостійній діяльності з використанням інформаційнокомунікаційних технологій та вказати їм на можливості їх використання для навчання в тому числі самостійно – його авторитет суттєво підвищується. Якщо вчитель може запропонувати учням доступний їм Інтернет–ресурс який містить предметний навчальний матеріал надто – якщо цей матеріал...