109

Загальна теорія лінійних операторів

Курсовая

Математика и математический анализ

Лінійні оператори в комплексному Евклідовому просторі. Основний вигляд матриці лінійного оператора. Одним з найважливіших моментів у створенні основ цих математичних дисциплін є введення поняття функція.

Украинкский

2012-12-29

598.5 KB

84 чел.

Вступ

Курс«Алгебра та геометрія » займає особливе місце в системі математичних дисциплін, що вивчаються студентами спеціальностей ПМ, САУ та ІНФ, як базовий курс. Мабуть, немає жодної математичної дисципліни, в якій би не застосовувалися поняття алгебри та геометрії.

Одним з найважливіших моментів у створенні основ цих математичних дисциплін є введення поняття функція. Певне місце у вивченні теорії функцій займає тема оператори, зокрема лінійних.


                                 
Теоретична частина 

                              Загальна теорія операторів

Одним з найважливіших моментів у створенні основ математичного аналізу є введення поняття функція. Згідно з визначенням для того щоб задати функцію необхідно вказати дві множини X таY дійсних чисел та сформулювати правило, за яким кожному числу .Це правило  представляє собою однозначну функцію дійсної змінної х, задану на множині Х.

При реалізації загальної ідеї функціональної залежності зовсім не обов’язково  вимагати, щоб X таY, були множинами дійсних чисел. Розуміючи під X таY самі різноманітні множини елементів, ми приходимо до наступного визначення, що узагальнює поняття функції.

Правило за яким кожному елементу «х» деякої не порожньої множини Х ставиться у відповідність  єдиний елемент «у» не порожньої множини Y,називається оператором. Результатом «у»  використання оператора А до елементу «х» записують символами

                                   

и кажуть, кажуть, що оператор А  діє з X вY або відображає X вY.Елемент «у»  називають образом «х», а «х» прообразом «у».

 Оператор А що діє в лінійному просторі £ називається лінійним якщо будуть виконуватись правила:

                                  1)

                                  2)  де  число

1)Прикладом лінійних операторів можуть бути:

     1.1)Нульовий оператор: 0

     

                                  

     

      1.2)Одиничний оператор або тотожній оператор:

   

                                  

   

      1.3)Оператор подібності:

                                  

2)Прикладами операторів що не є лінійними можуть бути:

     

      2.1)                            

     

      2.2)                      

     

      2.3)                           

3)Дії над лінійними операторами:

     3.1)Два лінійних оператора А та В називаються рівними якщо :

                                 

     

     3.2)Сумою лінійних операторів А та В називається оператор   

           такий що :

  

                                

    3.3)Добутком числа  на лінійний оператор А називається оператор

            такий що:

 

                                

    

     3.4)Добутком лінійного оператора А на В називається оператор  такий

             що:

  

                                

     3.5)Лінійний оператор називається оберненим по відношенню до А

      якщо:

                         

      3.6)Лінійний оператор А називається невиродженним якщо detA≠0, де

        А матриця оператора А А в заданому просторі в заданому базисі

                        Матриця лінійного оператора   

Нехай А –лінійний оператор у n-вимірному просторі   і  - деякий фіксований базис. Розкладаємо вектори   за   :

                                

Тоді матриця:

                                 

називається матрицею лінійного оператора А в базисі .Стовпці цієї матриці складені з коефіцієнтів розкладу векторів  за базисом .

Лінійний оператор А у n-вимірному просторі   однозначно визначається заданою матрицею, тобто:

                          

де X,Y- стовпці координат векторів  А- матриця оператора А у базисі .Отже координати вектора  виражається через координати вектора  за формулами :

 

                                    

Нехай А і А′- матриці оператори А у  базисах  і ′, а Т-матриця переходу від базису до базису ′. Тоді формула перетворення матриці оператора при зміні базису має вигляд:

                                      

Матриці А і А′ називаються подібними.

  

                    

                           Ранг, дефект, ядро,образ оператора

Множина векторів називається образом лінійного оператора А або областю значень цього оператора. Позначається образ лінійного оператора ImA.

Множина векторів  для яких  називається ядром лінійного оператора А.Ядро лінійного оператора позначається KerA.

Ядро і образ лінійного оператора утворюють підпростори у просторі . При цьому вимірність ядра  називається дефектом оператора А;вимірність образу - ранг оператора А.Тобто

                                       

                                      

Для n- вимірного простору  справедлива рівність:

                                       .

                             Власні вектори та власні значення

Нехай лінійний оператор А діє в просторі Х.Це значить, що кожному вектору ставиться у відповідність деякий вектор з того ж простору Х. Деколи може трапитись, що для деякого ненульового вектора «х» образ та прообраз колінеарні.

Число  називається власним значенням, а ненульовий вектор х- власний вектор лінійного оператора А, якщо вони зв’язані між собою відношенням .

1)Кожному власному вектору  лінійного оператора А відповідає

 єдиневласне значення .

2)Якщо власний вектор лінійного оператора А з власним значенням   

 ,то  також власний вектор лінійного оператора А з тим же  

   власнимзначенням , С константа ,С≠0 , .

3)Якщо  власні вектори лінійного оператора А з власним

  значенням  то  теж власний вектор с тим же значенням

  .

4)Якщо  власні вектори А з власним значенням  то  

    також власний вектор лінійного оператора А з тим

    же значенням .

5)Якщо лінійний оператор А що діє в  має n- Власних значень,

  дійсних та різних за значенням  то відповідні їм

  власні  вектори лінійно незалежні.

6) Сукупність власних векторів лінійного оператора А що діє в   

   утворює підпростір лінійного простору, якщо до цієї сукупності

   приєднати нульовий вектор.

7)Якщо лінійний оператор А що діє в  має n  лінійно незалежних  

  власних векторів, то вони можуть бути прийняті за базис цього

  простору.

Теорема 1

У власному комплексному просторі  існує хоча б один власний вектор лінійного оператора  А який діє в цьому просторі .

Доведення

Нехай лінійний оператор А діє в просторі .- комплексний лінійний простір .Поставимо у відповідність лінійного оператора А матрицю А .

Перейдемо до матричної форми запису:

                                   

                                

                                

Маємо однорідну систему рівнянь, маємо нетривіальні розв’язки, якщо det цієї системи дорівнює 0.

                                

(наведений вираз називається характеристичним рівнянням)

В розгорнутому вигляді отримаємо:

                                =0

Якщо розкрити визначник то зліва маємо многочлен n-го степеню відносно  який має назву характеристичний многочлен. З матриці, що записана вище слідує що:    

                                  

дана матриця має хоча б один корінь дійсний або комплексний в комплексному просторі  нехай цей корінь .

Тоді підставивши це значення в початкову систему рівнянь знайдемо її розв’язок

Отже ми довели що в комплексному просторі існує хоча б один власний вектор лінійного оператора А.Слід зауважити, що вимога розглядати саме комплексний лінійний простір виникає з того, що рівняння  не завжди має розв’язки в дійсному просторі.

Таким чином, для того щоб знайти власні значення та власні вектори лінійного оператора А, що має матрицю А у деякому базисі, треба виконати такі дії:

1)Спочатку треба виписати характеристичне  рівняння.

2)Звести характеристичне рівняння до вигляду   

   ; власних значень може бути менше ніж  

   вимірність,
3)Підставимо  в систему, розв’язуємо цю систему отримуємо власні  

  вектори лінійного оператора які відповідають (один або

  декілька).Якщо їх декілька то об’єднуємо  ці вектори, тобто

  записуємо сукупність цих векторів введенням довільних сталих.

Зведення матриці лінійного оператора до діагонального вигляду

Якщо оператор А, що діє у просторі , має n лінійно незалежних власних векторівщо відповідають власним значенням, то у базисі з цих векторів матриця оператора А має діагональний вигляд:

                                  .

Зауважимо, що лінійний оператор називається оператором простої структури, якщо існує базис, складений з власних векторів цього оператора.

Можна довести, що власні вектори, що відповідають різним власним значенням, лінійно незалежні і отже можуть бути вибрані за базис простору. Крім того має місце теорема:

Теорема 2

Якщо лінійний оператор А, що діє в  має n лінійно незалежних власних векторів, то в базисі з цих власних векторів матриця лінійного оператора має діагональний вигляд.

Доведення

Нехай  лінійно незалежні власні вектори лінійного оператора А, вони утворюють базис в  і с того що вони власні вектори, має співвідношення:

                                   

звідси випливає, що:

                                            

                                            

Теорема доведена.

Квадратна матриця А називається діагоналізовною, якщо існує така не вироджена матриця Т, що матриця  діагональна.

Нехай задано два базиси  та , причому  складено з власних векторів лінійного оператора А , матриці  - матриці лінійного оператора А у цих базисах відповідно, причому згідно з теорією . Тоді склавши матрицю переходу Т (її стовпцями і вектори  ), знайдемо  де .Якщо матриця Т – ортогональна, тобто , то маємо спрощену формулу .

   Лінійні оператори в комплексному Евклідовому просторі

1)Лінійні перетворення спряжені до даного.

Нехай існує деякий комплексний Евклідів простір .Лінійне перетворення А називається спряженим по відношенню до лінійного перетворення А, що діє в  якщо виконується:

                         

Теорема 3

Для того щоб А* було спряженим по відношенню до А, необхідно та достатньо, щоб матриця оператора А* була:

I      А* спряжене А.

II    В=А*

?

Необхідність

                                

    Перейдемо до матричного вигляду:

                                 

Достатність

    Розглянемо вираз:

                               

Розглянувши ліву частину одержимо:

                                

Розглянувши Праву частину отримаємо:

                                

Тепер розглянемо вираз: В=А*

                                

Звідси випливає що:

                                

2)Самоспряжений  оператор     

Лінійний оператор А, що діє вназивається самоспряженим, якщо виконується така умова:

                              

Теорема 4

Для того щоб лінійний оператор А, що діє в був самоспряженим необхідно та достатньо, щоб в ортонормованому базисі цього матриця була ермітова, тобто  

Доведення

Аналогічно попередньому про спряжений оператор до даного.

3)Властивості власних векторів та власних значень самоспряженого   

  оператора, що діє в

Теорема 5

Власні значення самоспряженого оператора А, що діє в  всі дійсні.

Доведення

Нехай дано А-самоспряжений що задовольняє умові:

                                 

довести що   тобто  .

Покладемо, що , тоді отримаємо:

                               

враховуємо, що власний вектор з власним значенням  

                                            

що й треба було довести.

Теорема 6

Власні вектори самоспряженого оператора, що діє в які відповідають різним власним значенням ,ортогональні, тобто .

Доведення

Нехай А-самоспряжений оператор,- власні вектори тобто:

                                 

довести:

                                 

                                 .

Покладемо, що  тоді попередній вираз перепишеться як:

                                  

Враховуючи перший вираз:одержимо:

            

                                  

                                  .

 

Враховуючи, що  за теоремою 5, одержимо:

                                   

Що й треба було довести.

Доводиться що для самоспряженого оператора А, що діє  існує базис складений з власних векторів, в цьому базисі матриця самоспряженого оператора зводиться до діагонального вигляду, причому цей діагональний вигляд такий(при А- дійсна):

                                   

Доведення аналогічне з доведенням теореми 2 про  зведення матриці лінійного оператора до діагонального вигляду.

4)Унітарні оператори у комплексному  Евклідовому просторі

Лінійний оператор U що діє в просторі  називається унітарним якщо виконується умова:

 

                                    

Теорема 7

Для того, щоб лінійний U що діє в був унітарним необхідно та достатньо, щоб в ортонормованому базисі його матриця була унітарна, тобто .

Доведення

Аналогічно з теоремою 3 про оператор спряжений до даного.

Властивості унітарних операторів:

1)Унітарний оператор зберігає скалярний добуток

  векторів(випливає з означення)

2)Унітарний оператор зберігає довжину векторів (це випливає з означення, якщо в ньому покласти, що)

                                

3)Має місце властивість матриці унітарного оператора, тобто унітарна матриця, наведена при розгляданні унітарних матриць.

4)Матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого є унітарна.

5)Власні значення унітарного оператора U, що діє в задовольняють таку умову:   

          Лінійні оператори в дійсному Евклідовому просторі

1)Самоспряжений оператор в дійсному Евклідовому просторі

Лінійний оператор А що діє в  називається самоспряженим, якщо виконується умова:   .

Теорема 8

Для того, щоб лінійний оператор А, що діє  ,був самоспряженим необхідно та достатньою, щоб в ортонормованому базисі його матриця була симетрична, тобто

Доведення

Аналогічно до доведення до теореми 3,про спряжений оператор до даного.

2) Ортогональний оператор в дійсному Евклідовому просторі

Лінійний оператор А називається ортогональним, якщо :

                                 

3)Спряжений оператор має такі властивості  

3.1)                       

3.2)                      ;

3.3)                      

3.4)                       

3.5)                       

Оператори А та А* називають взаємоспряженими.

                       Теоретичні питання

5.36 

Що таке- ядро лінійного оператора?

Множина векторів  для яких  називається ядром лінійного оператора А.

5.37

Як позначається ядро лінійного оператора?

Ядро лінійного оператора позначається KerA.

5.38

Що називається образом лінійного оператора(областю значень)?

Множина векторів називається образом лінійного оператора А або областю значень цього оператора.

5.39

Як позначається область значень лінійного оператора?

Позначається образ лінійного оператора ImA.

5.40

Що називається рангом лінійного оператора?

Вимірність образу - ранг оператора А.

5.41

Що називається дефектом оператора?

Вимірність ядра  називається дефектом оператора.

5.42

Нехай А матриця лінійного оператора де V –лінійне дійсний простір розмірності n.Як знайти:

1)Ранг та дефект

2)Ядро оператора

3)Образ

1)Образ:

                                 

Ранг матриці дорівнює n

dim KerA=n-Rgf=n-n=0  - дефект оператора.

2)

 , якщо , де - ядро оператора.

                                 

 

                                        

                            

                                 Практична частина

Завдання 1

Довести лінійність, знайти матрицю, область значень(образ), ядро, ранг і дефект оператора проектування на вісь Oy.

Розв’язання

Застосуємо оператор А до базисних векторів i,j,k.

                                            Ai =i= (0,0,0)

                                            Aj =j= (0,1,0)

                                            Ak=k=(0,0,0)

Звідси матриця А оператора проектування на вісь Oy така:

 

                                             

Сам оператор має вигляд .Доведемо його лінійність:

 1)                                   

                                       

                                       

                                       

                                       

2)                                    

                                       

                                  

З цих двох рівностей випливає що оператор лінійний.

, якщо , де - ядро оператора.

 

                                 

 

           

Знайдемо дефект оператора А

                                       

                                       

Образ

                                     

Образ оператора ImA співпадає з лінійною системою стовпців матриці А. Ранг ImA=2.

Завдання 2

Довести лінійність, знайти матрицю, область значень(образ), ядро, ранг і дефект оператора проектування на площину y+z=0.

Розв’язання

 Проекція точки  на площину =?.Рівняння прямої L яка проходить через точку М та перпендикулярна ( y+z=0) є:

                                 

Знайдемо т. перетину прямої L та площини

                                 

                                   

Тоді                                

                                 

Матриця оператора А

                                 

Доведемо лінійність

1)

                              

2)

                              

Лінійність доведено.

, якщо , де - ядро оператора.

                                

   

Dim KerA=n-RgA=3-2=1  дефект оператора А. Образ:

                  

Образ оператора ImA співпадає з лінійним системами стовпців матриці А. Ранг dim Im A=2.

Завдання 3

Довести лінійність, знайти матрицю, область значень(образ), ядро, ранг і дефект оператора проектування на площину y=0

Розв’язання

Проекція точки  на площину =?.Рівняння прямої L яка проходить через точку М та перпендикулярна (у=0)

                                 

Знайдемо т. перетину прямої L та площини

                                 

                                 

Матриця оператора А

                                  

Доведемо лінійність

1)   

                                           

2)

                                   

Лінійність доведено.

, якщо , де - ядро оператора

                                 

Dim KerA=n-RgA=3-3=0  дефект оператора А. Образ:

                                 

Ранг dim Im A=3

Завдання 4

Довести лінійність, знайти матрицю, область значень(образ), ядро, ранг і дефект оператора проектування на площину

Розв’язання

Проекція точки  на площину =?.Рівняння прямої L яка проходить через точку М та перпендикулярна ()

                                 

Знайдемо т. перетину прямої L та площини

                                 

                                 

                                 

Тоді

                                 

Тепер доведемо лінійність

1)         

                                   

                       

2)

                                   

Лінійність доведено.

, якщо , де - ядро оператора

 

                                 

dim KerA=n-RgA=3-3=0  дефект оператора А. Образ:

                                

Ранг dim Im A=3

Завдання 5

Довести лінійність, знайти матрицю, область значень(образ), ядро, ранг і дефект оператора дзеркального відображення відносно площини y+z=0

Розв’язання

Проекція точки  на площину =?.Рівняння прямої L яка проходить через точку М та перпендикулярна ( y+z=0) є:

                                 

Знайдемо т. перетину прямої L та площини

                                 

                                   

Тоді                                

а т. К. Знайдемо точку В(a,b,c) симетричну т.

               

                                          

 

                                 

Матриця оператора А має вигляд:

                                 

Доведемо лінійність оператора

1)

                                 

2)

                                 

Лінійність доведено.

, якщо , де - ядро оператора

                                 

dim KerA=n-RgA=3-3=0  дефект оператора А. Образ:

                       

Ранг dim ImA=3

Завдання 6

Довести лінійність, знайти матрицю, область значень(образ), ядро, ранг і дефект оператора дзеркального відображення відносно площини Оху

Розв’язання

                  

                                 

Побудуємо матрицю оператора

                                 

Доведемо лінійність

1)

                                 

2)

                                 

Лінійність доведено.

, якщо , де - ядро оператора

                                 

dim KerA=n-RgA=3-3=0  дефект оператора А. Образ:

                                 

Ранг dim ImA=3

Завдання 7

Довести лінійність, знайти матрицю, область значень(образ), ядро, ранг і дефект оператора повороту осі Оу в додатному напрямі на кут:

Розв’язання

Застосуємо оператор А до i,j,k.

                                 

Тепер побудуємо матрицю оператора А

                                 

Доведемо лінійність оператора

                                 

Перевіримо лінійність оператора

1)

                                    

  

2)

                                 

Лінійність доведено.

, якщо , де - ядро оператора

                                 

dim KerA=n-RgA=3-3=0  дефект оператора А. Образ:

            

Образ оператора ImA співпадає з лінійною системою стовпців матриці А. Ранг ImA=3.

1) При

2) При

                                    Висновок

В моїй курсовій роботі, я виклав основну теорію лінійних операторів.

В  теоретичній частині викладена загальна теорія лінійних операторів, зазначив основний вигляд матриці лінійного оператора, дав означення основним термінам, таким як: ранг, дефект, образ, ядро лінійного оператора.

Також я розглядав лінійні оператори в комплексному Евклідовому просторі, та дійсному Евклідовому просторі.

В практичній частині я розглянув деякі лінійні оператори, довів їх лінійність, знайшов їхні матриці, області значень цих операторів, ядро, ранг, дефект.

                                Список джерел

1.Апатенок Р.Ф. та ін. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.-Мінськ: Вишейш. шк.,1986.-272 с.

2.Клиот- Дашинський М.И.Алгебра матриць та векторів.-Л.:Вид. ЛГУ,1974.-160

3.Тевяшев А.Д., Литвин О.Г.Алгебра та геометрія: Лінійна алгебра. Аналітична геометрія.- Харків: ХТУРЕ, 2000.-388 с.

4.Мишкіс А.Д. Лекції з вищої математики. - М.: Наука, 1967.- 638 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64947. УЧЕНЫЙ ЗОЛОТОЙ ОРДЫ АЛА-ЭД-ДИН ЭННОМАН ЭЛЬХАРЕЗМИ, КАК ПРЕДСТАВИТЕЛЬ ОРДЫНСКОЙ КУЛЬТУРНОЙ ТРАДИЦИИ 46 KB
  В представлении современного образованного человека наличие какой-либо научной деятельности в степных кочевых государствах абсолютно не возможно. Известно что Алаэд Дин Энноман Эльхарезми родился в начале сентября 1259 г. Алаэд Дин Энноман вернулся в Хорезм в 701 г.
64948. «МАМАЕВА ОРДА» 139 KB
  Временная самоизоляция этой провинции происходит на фоне дальнейшего возвышения на политической авансцене золотоордынского государства небезызвестного эмира Мамая. Следует также отметить что в историографии деятельность Мамая характеризуется как правило...
64950. Ярлыки ордынских ханов русским митрополитам 71.5 KB
  Золотоордынские ханы стремясь обеспечить себе поддержку русской церкви давали русскому духовенству льготы которые были строго определены в их льготных имущественных грамотах-ярлыках. Ярлыки освобождали духовенство от поборов в пользу ханов и их ставленников.
64951. ВЕЛИКАЯ ЯСА 549 KB
  В сохранившихся фрагментах Ясы лишь одна статья рассматривающая императорский титул касается этого предмета. Однако одна важная статья относительно наследования была включена в Ясу: У умершего человека не имеющего наследника ничего не изымается в пользу хана...
64952. Поминки - «тыш» в контексте взаимоотношений Руси - России с Золотой Ордой и Крымским юртом 75 KB
  Многие историки тяготели и тяготеют к той точке зрения что изначально поминки являлись подарками позже со второй половины XVI в. слово поминки либо в сочетании с другими терминами либо без них обязательно присутствует в терминологии употреблявшейся русской стороной для обозначения выплат Крымскому ханству...
64953. Знаменный комплекс в военно-политической культуре средневековых кочевников Центральной Азии 126 KB
  Предметом исследования данной статьи является такой феномен военно-политической культуры средневековых кочевников Центральной Азии имеющий ярко выраженные корни в этнографическом субстрате как знамя или знаменный комплекс. От этого значения идет ряд производных например...
64954. Ненайденные монеты Каракорума 172.5 KB
  Распределение найденных монет собранных на любом городище по датам их выпуска и месту чекана позволяют определить с высокой степенью достоверности торговые связи с другими странами и периоды активного денежного обращения в раскапываемых городах.