1095

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Лекция

Математика и математический анализ

Общие характеристики цифровых фильтров. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра.

Русский

2013-01-06

200.5 KB

103 чел.

Лекция № 7

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Рассматриваются следующие вопросы:

- общие характеристики цифровых фильтров;

- математические модели цифровых нерекурсивных фильтров;

- методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров;

- алгоритм Ремеза.

1.1. Общие характеристики цифровых фильтров

Для выделения частотных составляющих акустического дискретного сигнала применяются цифровые нерекурсивные и рекурсивные фильтры [5,6]. Выделим наиболее распространенные типы фильтров (фильтры с симметричной импульсной характеристикой), обрабатывающие частотный диапазон , где  - частота дискретизации:

- фильтр нижних частот (ФНЧ), выделяющий частоты ниже частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода между ними - ;

- фильтр высоких частот (ФВЧ), выделяющий выше частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода - ;

- полосовой фильтр (ФП), выделяющий частоты выше частоты среза  и ниже , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полосы непропускания -  и , полосы    перехода -  и ;

- режекторный фильтр (ФР), выделяющий частоты ниже частоты среза  и выше , при этом полосы пропускания лежат в диапазоне  и , полоса непропускания - , полосы перехода -  и .

Максимальные пульсации в полосах пропускания и непропускания обозначаются через ,  соответственно. На рис.1.1 представлены передаточные функции четырех типов фильтров.

а) ФНЧ

                                               

в) ФП

                                             

г) ФР

Рис. 1.1. Передаточные функции цифровых фильтров

1.2. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров

Свойство нерекурсивный фильтр обозначает, что выходной сигнал фильтра зависит только от значения входного сигнала. Поэтому этот фильтр всегда устойчив. Нерекурсивный фильтр имеет импульсную характеристику конечной длины и поэтому еще называется фильтром с импульсной характеристикой конечной длины (или КИХ-фильтром).

Нерекурсивный фильтр можно представить в виде (1.1)

или   (1.1)

Нерекурсивные ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выглядят следующим образом

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где  M - порядок фильтра, .

Связь между передаточной функцией (частотной характеристикой)  и переходной функцией (импульсной характеристикой)  цифрового нерекурсивного фильтра, например нерекурсивного ФНЧ, может быть представлена в виде (1.6) или с помощью  z-преобразования в виде (1.7).

,   (1.6)

,   (1.7)

где  - шаг квантования,  - частота дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) (1.8) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ) (1.9) нерекурсивного фильтра выглядят в виде

(1.8)

. (1.9)

Если фильтр обрабатывает дискретный сигнал, временной интервал которого имеет конечную длину N, то возможно искажение спектра. Для уменьшения искажения спектра используем окна (весовые функции) . Например, для нерекурсивного ФНЧ

, . (1.10)

Приведем наиболее распространенные типы окон:

Треугольное окно (окно Бартлета)

,   для , (1.11)

Окно Ганна

,   для , (1.12)

Окно Хемминга

,   для , (1.13)

Окно Блэкмана

,   для , (1.14)

Окно Кайзера

,   для , (1.15)

где   - константа,  - функция Бесселя нулевого порядка,            N – четное

Обработку дискретного сигнала нерекурсивным фильтром, например ФНЧ (рис.1.2), можно представить в виде параметрической структуры, в которой используются коэффициенты фильтра , , и его порядок M .

Рис. 1.2. Структура фильтрации дискретного сигнала

В качестве входных переменных блока фильтрации выступают дискретный сигнал x(n), его  длина N, функция окна w(n), частота среза , частота дискретизации , а в качестве выходных – фильтрованный сигнал xН(n).

Цифровая фильтрация нерекурсивным фильтром требует  умножений.

1.3. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров

При синтезе нерекурсивных фильтров равенство (1.6), с учетом обратного преобразования Фурье, заменяется на (1.16), при этом считаем, что  является парной функцией, т.е. .

,  (1.16)

Если считать, что ФНЧ является идеальным, т.е.

при ,  при ,  

то на основании (1.16) получим

,   (1.17)

Спектр сигнала, обработанного ФВЧ, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФНЧ. Исходный спектр сигнала можно связать со всечастотным (или всепропускающим) фильтром, пропускающим все частоты. Коэффициенты всечастотного фильтра определены в виде

,    (1.18)

Исходя из этого

 (1.19)

Спектр сигнала, обработанного ФП, можно представить как разность спектров, полученных в результате применения двух ФНЧ, взятых с частотами среза  соответственно.

 (1.20)

Спектр сигнала, обработанного ФР, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФР. Исходя из (1.14), получим

или   (1.21)

1.4. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра

Для цифрового нерекурсивного фильтра важную роль играет точность аппроксимации реализованной передаточной функции. Для оптимизации нерекурсивных фильтров наиболее распространен алгоритм Ремеза (рис.1.3). В основу алгоритма лежит представление задачи проектирования оптимального нерекурсивного фильтра с передаточной функцией  как задачи чебышевской аппроксимации, причем функция , аппроксимирующая передаточную функцию идеального фильтра , является суммой M-1 косинусоидальных функций.

,  (1.22)

В блоке 1.1 вычисляются частоты в полосах пропускания и непропускания , функции  - передаточная функция идеального фильтра,  - весовая функция ошибки аппроксимации, , ,  и  начальные экстремальные частоты .

Рис. 1.3. Алгоритм Ремеза

Таблица 8.1

Функции  и

Тип

ФНЧ

ФВЧ

ФП

ФР

Частоты ,  выбираются в полосах пропускания и непропускания, но не в полосах перехода. Для  ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выбор  производится следующим образом

 (1.23)

 (1.24)

 (1.25)

(1.26)

где  ,  - шаг между выбираемыми частотами.

Начальные экстремальные частоты   выбираются из частот .

, , .  (1.27)

Функция  определена в виде

,  (1.28)

,   (1.29)

,   (1.30)

и  для приведены в табл. 8.1.

В блоке 1.2 вычисляется ошибка согласно (1.31)

,   (1.31)

В блоке 1.3 производится интерполяция функции

,      (1.32)

где ,

, .

В блоке 1.4 вычисляется взвешенная ошибка аппроксимации

,   (1.33)

В блоке 1.5 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.6.

В блоке 1.6 определяется количество локальных максимумов, обозначенное через R. В этом случае формулы (1.31)-(1.33) выполняются для частот , т.е. вычисляется количество  в которых .

В блоке 1.7 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.2.

В блоке 1.8 из R максимумов выбирается  M+1 наибольших и производится соответствующее изменение .

В блоке 1.9 на основании (8.1) вычисляются коэффициенты  с помощью обратного ДПФ

,  (1.34)

где , ,

В блоке 1.10 вычисляется импульсная характеристика для нерекурсивных фильтров с нечетным (1.35) и четным (1.36)  порядком M.

 (1.35)

 (1.36)


 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36627. ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Курс лекций 1.11 MB
  Понятия объекта класса объектов. Доступность компонентов класса. Статические и константные компоненты класса. Указатели на компоненты класса.
36628. ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА ЯЗЫКЕ ВЫСОКОГО УРОВНЯ 1015 KB
  1 Языки программирования Языки программирования делятся на 3 основных класса как показано на рис.3 Понятие алгоритма и его свойства Алгоритм – это точное предписание о выполнении в определенном порядке некоторых операций приводящих к решению всех задач данного класса. Непосредственный предшественник C – язык Си с классами – появился в 1979 году а в 1997 году был принят международный стандарт C который фактически подвел итоги его 20летнего развития. Если мы говорим об объектноориентированной программе то она должна создать объект...
36629. РЕИНЖИНИРИНГ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ 2.09 MB
  При выстраивании системы управления и взаимодействия в одном процессе непременно придется захватить взаимодействие данного пилотного процесса с другими. Появление эффекта перетягивания одеяла когда руководитель пилотного процесса добивается регламентации и последующего выполнения совместных работ с точки зрения выгоды и преимуществ своего процесса а не всей организации. Воспользовавшись правом преимущественного создания регламентирующих документов владелец пилотного процесса может создать себе более льготные условия по обеспечению...
36630. Наплавка зуба ковша 2.5 MB
  Основным способом соединение деталей является дуговая электрическая сварка. Возможно что, совершенствование существующих способов сварки и резки металлов и их синтез дадут новый способ сварки в твердой фазе
36631. Лекции по финансам 399.5 KB
  А В Воздействует на ставка налога Социальная При помощи Д бюджета Достигается Военная Геополитика Национальная Экономическая Бюджетная Ценовая Таможенная Финансовая Денежная Кредитная Термин финансы возник в XV в. В последнее время стал применяться метод получивший название бюджета ориентированного на результат БОР. Сущность и содержание бюджета определяется функцией государства. Сущность бюджета проявляется в его функциях: Образование общегосударственного фонда денежных средств; Использование общегосударственного фонда денежных...
36632. Инкапсуляция. Уровень абстракции (программирование) 425 KB
  Компилируемые программы. Утверждается что известные визуальные средства разработки приложений Windows также компилируют программы однако это не совсем верно в действительности происходит компиляция только части программы и последующая компоновка программыинтерпретатора и Ркода в исполняемый модуль. Например Delphi не использует ни интерпретатор ни Ркод и создаёт действительно откомпилированные программы готовые для использования. Поэтому программы Delphi быстры и могут могут поставляться в виде единственного используемого модуля...
36633. Конспект сюжетного физкультурного занятия для детей старшего дошкольного возраста 34.5 KB
  Упражнять детей в подбрасывании мяча вверх двумя руками и ловле его в ходьбе отбивании мяча в ходьбе по гимнастической скамейке двумя руками ведении мяча змейкой между предметами поочередно каждой рукой добиваться ритмичности и четкости выполнения движений на каждый таг формировать чувство мяча соотносить силу удара с высотой полета мяча. Проводится комплекс общеразвивающих упражнений с мячами. В: прокатывание мяча между ладонями 6 7 раз. В: прыжки вокруг мяча в чередовании с ходьбой на месте 5x3 раза.
36634. Как устроен компьютер 50.5 KB
  Организационный момент психологический настрой 1 мин: На доске запущена презентация с загадкой: Напишу и сосчитаю ошибку укажу Я и музыку сыграю И картинку покажу Я хотя росточком мал Но большой универсал компьютер Тема нашего урока Как устроен компьютер слайд 2 Постановка целей урока 3 мин Что такое компьютер это универсальное устройство для хранения обработки и передачи информации Из каких устройств состоит компьютер системный блок монитор клавиатура мышь и др....
36635. Количество информации, как мера уменьшения неопределенности знаний 37.5 KB
  Тип урока: комбинированный Цели: Обучающая дать определение единицы измерения информации; развивающая – развивать интерес к изучаемой теме логическое мышление; воспитывающая – воспитывать у ребят дисциплинированность и внимательность на уроке. Тема нашего сегодняшнего занятия Количество информации как мера уменьшения неопределенности знаний. Процесс познания окружающего мира приводит к накоплению информации в форме знаний.