1095

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Лекция

Математика и математический анализ

Общие характеристики цифровых фильтров. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра.

Русский

2013-01-06

200.5 KB

112 чел.

Лекция № 7

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Рассматриваются следующие вопросы:

- общие характеристики цифровых фильтров;

- математические модели цифровых нерекурсивных фильтров;

- методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров;

- алгоритм Ремеза.

1.1. Общие характеристики цифровых фильтров

Для выделения частотных составляющих акустического дискретного сигнала применяются цифровые нерекурсивные и рекурсивные фильтры [5,6]. Выделим наиболее распространенные типы фильтров (фильтры с симметричной импульсной характеристикой), обрабатывающие частотный диапазон , где  - частота дискретизации:

- фильтр нижних частот (ФНЧ), выделяющий частоты ниже частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода между ними - ;

- фильтр высоких частот (ФВЧ), выделяющий выше частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода - ;

- полосовой фильтр (ФП), выделяющий частоты выше частоты среза  и ниже , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полосы непропускания -  и , полосы    перехода -  и ;

- режекторный фильтр (ФР), выделяющий частоты ниже частоты среза  и выше , при этом полосы пропускания лежат в диапазоне  и , полоса непропускания - , полосы перехода -  и .

Максимальные пульсации в полосах пропускания и непропускания обозначаются через ,  соответственно. На рис.1.1 представлены передаточные функции четырех типов фильтров.

а) ФНЧ

                                               

в) ФП

                                             

г) ФР

Рис. 1.1. Передаточные функции цифровых фильтров

1.2. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров

Свойство нерекурсивный фильтр обозначает, что выходной сигнал фильтра зависит только от значения входного сигнала. Поэтому этот фильтр всегда устойчив. Нерекурсивный фильтр имеет импульсную характеристику конечной длины и поэтому еще называется фильтром с импульсной характеристикой конечной длины (или КИХ-фильтром).

Нерекурсивный фильтр можно представить в виде (1.1)

или   (1.1)

Нерекурсивные ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выглядят следующим образом

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где  M - порядок фильтра, .

Связь между передаточной функцией (частотной характеристикой)  и переходной функцией (импульсной характеристикой)  цифрового нерекурсивного фильтра, например нерекурсивного ФНЧ, может быть представлена в виде (1.6) или с помощью  z-преобразования в виде (1.7).

,   (1.6)

,   (1.7)

где  - шаг квантования,  - частота дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) (1.8) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ) (1.9) нерекурсивного фильтра выглядят в виде

(1.8)

. (1.9)

Если фильтр обрабатывает дискретный сигнал, временной интервал которого имеет конечную длину N, то возможно искажение спектра. Для уменьшения искажения спектра используем окна (весовые функции) . Например, для нерекурсивного ФНЧ

, . (1.10)

Приведем наиболее распространенные типы окон:

Треугольное окно (окно Бартлета)

,   для , (1.11)

Окно Ганна

,   для , (1.12)

Окно Хемминга

,   для , (1.13)

Окно Блэкмана

,   для , (1.14)

Окно Кайзера

,   для , (1.15)

где   - константа,  - функция Бесселя нулевого порядка,            N – четное

Обработку дискретного сигнала нерекурсивным фильтром, например ФНЧ (рис.1.2), можно представить в виде параметрической структуры, в которой используются коэффициенты фильтра , , и его порядок M .

Рис. 1.2. Структура фильтрации дискретного сигнала

В качестве входных переменных блока фильтрации выступают дискретный сигнал x(n), его  длина N, функция окна w(n), частота среза , частота дискретизации , а в качестве выходных – фильтрованный сигнал xН(n).

Цифровая фильтрация нерекурсивным фильтром требует  умножений.

1.3. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров

При синтезе нерекурсивных фильтров равенство (1.6), с учетом обратного преобразования Фурье, заменяется на (1.16), при этом считаем, что  является парной функцией, т.е. .

,  (1.16)

Если считать, что ФНЧ является идеальным, т.е.

при ,  при ,  

то на основании (1.16) получим

,   (1.17)

Спектр сигнала, обработанного ФВЧ, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФНЧ. Исходный спектр сигнала можно связать со всечастотным (или всепропускающим) фильтром, пропускающим все частоты. Коэффициенты всечастотного фильтра определены в виде

,    (1.18)

Исходя из этого

 (1.19)

Спектр сигнала, обработанного ФП, можно представить как разность спектров, полученных в результате применения двух ФНЧ, взятых с частотами среза  соответственно.

 (1.20)

Спектр сигнала, обработанного ФР, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФР. Исходя из (1.14), получим

или   (1.21)

1.4. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра

Для цифрового нерекурсивного фильтра важную роль играет точность аппроксимации реализованной передаточной функции. Для оптимизации нерекурсивных фильтров наиболее распространен алгоритм Ремеза (рис.1.3). В основу алгоритма лежит представление задачи проектирования оптимального нерекурсивного фильтра с передаточной функцией  как задачи чебышевской аппроксимации, причем функция , аппроксимирующая передаточную функцию идеального фильтра , является суммой M-1 косинусоидальных функций.

,  (1.22)

В блоке 1.1 вычисляются частоты в полосах пропускания и непропускания , функции  - передаточная функция идеального фильтра,  - весовая функция ошибки аппроксимации, , ,  и  начальные экстремальные частоты .

Рис. 1.3. Алгоритм Ремеза

Таблица 8.1

Функции  и

Тип

ФНЧ

ФВЧ

ФП

ФР

Частоты ,  выбираются в полосах пропускания и непропускания, но не в полосах перехода. Для  ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выбор  производится следующим образом

 (1.23)

 (1.24)

 (1.25)

(1.26)

где  ,  - шаг между выбираемыми частотами.

Начальные экстремальные частоты   выбираются из частот .

, , .  (1.27)

Функция  определена в виде

,  (1.28)

,   (1.29)

,   (1.30)

и  для приведены в табл. 8.1.

В блоке 1.2 вычисляется ошибка согласно (1.31)

,   (1.31)

В блоке 1.3 производится интерполяция функции

,      (1.32)

где ,

, .

В блоке 1.4 вычисляется взвешенная ошибка аппроксимации

,   (1.33)

В блоке 1.5 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.6.

В блоке 1.6 определяется количество локальных максимумов, обозначенное через R. В этом случае формулы (1.31)-(1.33) выполняются для частот , т.е. вычисляется количество  в которых .

В блоке 1.7 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.2.

В блоке 1.8 из R максимумов выбирается  M+1 наибольших и производится соответствующее изменение .

В блоке 1.9 на основании (8.1) вычисляются коэффициенты  с помощью обратного ДПФ

,  (1.34)

где , ,

В блоке 1.10 вычисляется импульсная характеристика для нерекурсивных фильтров с нечетным (1.35) и четным (1.36)  порядком M.

 (1.35)

 (1.36)


 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82211. Художнє втілення ідеї гуманізму в романі Ч.Діккенса «Пригоди Олівера Твіста». Соціальна дієвість творчості Ч.Діккенса 38.03 KB
  Діккенс чи не вперше в англійській літературі позбавив злочинний світ будь-якої романтики. Але автор Пригод Олівера Твіста вперто захищав своє право зображувати злодіїв у всій їх потворності такими якими вони були насправді: І тому я не приховав жодної дірки в сюртуку Пронози жодної папільйотки у скуйовдженому волоссі Ненсі.
82213. СТЕЖКАМИ КАЗОК 35.5 KB
  Таку вікторину в своєму закладі ми традиційно проводимо в ході тижня дитячої книги, який припадає на кінець березня. Класоводи 3–4 класів напередодні одержують завдання сприяти формуванню команди гравців чисельністю 5–6 учнів (від одного класу) та придумати назву команди.
82214. Вклонімося хлібу – він святий 71.5 KB
  Виріс у полі на добрій землі Місце найкраще знайшов на столі Що це Учні відповідають: Хліб Слайд Ведуча: Хліб - найдорогоцінніший витвір людського розуму людських рук людської праці Ведуча: Хліб усьому голова. Але до хліба не можна ставитися побуденному. В чому ж ця сила і велич хліба ми спробуємо...
82215. Людиною стати – це мистецтво 76 KB
  Мета: навчити учнів уникати конфлікту у житті, вміти спілкуватися, дружити між собою; розвивати в дітях загальнолюдські чесноти; вчити дітей сприймати ситуації, аналізувати їх і знаходити шляхи виходу з проблемних ситуацій; виховувати товариські стосунки.
82216. Давайте жить мирно! 58.5 KB
  Внекласное мероприятие Давайте жить мирно проведённое в международный День мира направлено на формирование у учащихся чувства сострадания и отвращения к жестокости к жестоким историческим фрагментам во всем мире; на обучение осознанию своей ответственности за процесс обеспечения мира на всей планете.
82217. ДЕНЬ ПРАЦІВНИКА ОСВІТИ 1.09 MB
  Ведучий: Красива осінь вишиває клени, а перший день жовтня дарує нам тепле і радісне свято - День працівника освіти. Викладач... Одна з найважливіших професій. Вона – для обраних. Ви щодня стоїте перед прицілом сотень допитлитвих очей, палите, як хмиз, нерви, і все ж ведете нас на вищі сходинки пізнання.
82218. Воздух – среда нашего обитания 944.87 KB
  Цели: Практическая – учить использовать разные источники, в том числе Интернет (электронные словари и энциклопедии)для поиска необходимой информации. Совершенствовать навыки практической работы с лабораторным оборудованием.
82219. Дружба. Друг, товариш, приятель 1.47 MB
  Передаючи мікрофон діти по черзі висловлюють свою думку на рахунок даного запитання кожен з них виокремлює по одній рисі характеру що притаманна другові. А як на вашу думку хто з казкових чи мультиплікаційних героїв є прикладом справжнього другадіти висловлюють власні припущення.