1095

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Лекция

Математика и математический анализ

Общие характеристики цифровых фильтров. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра.

Русский

2013-01-06

200.5 KB

105 чел.

Лекция № 7

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Рассматриваются следующие вопросы:

- общие характеристики цифровых фильтров;

- математические модели цифровых нерекурсивных фильтров;

- методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров;

- алгоритм Ремеза.

1.1. Общие характеристики цифровых фильтров

Для выделения частотных составляющих акустического дискретного сигнала применяются цифровые нерекурсивные и рекурсивные фильтры [5,6]. Выделим наиболее распространенные типы фильтров (фильтры с симметричной импульсной характеристикой), обрабатывающие частотный диапазон , где  - частота дискретизации:

- фильтр нижних частот (ФНЧ), выделяющий частоты ниже частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода между ними - ;

- фильтр высоких частот (ФВЧ), выделяющий выше частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода - ;

- полосовой фильтр (ФП), выделяющий частоты выше частоты среза  и ниже , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полосы непропускания -  и , полосы    перехода -  и ;

- режекторный фильтр (ФР), выделяющий частоты ниже частоты среза  и выше , при этом полосы пропускания лежат в диапазоне  и , полоса непропускания - , полосы перехода -  и .

Максимальные пульсации в полосах пропускания и непропускания обозначаются через ,  соответственно. На рис.1.1 представлены передаточные функции четырех типов фильтров.

а) ФНЧ

                                               

в) ФП

                                             

г) ФР

Рис. 1.1. Передаточные функции цифровых фильтров

1.2. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров

Свойство нерекурсивный фильтр обозначает, что выходной сигнал фильтра зависит только от значения входного сигнала. Поэтому этот фильтр всегда устойчив. Нерекурсивный фильтр имеет импульсную характеристику конечной длины и поэтому еще называется фильтром с импульсной характеристикой конечной длины (или КИХ-фильтром).

Нерекурсивный фильтр можно представить в виде (1.1)

или   (1.1)

Нерекурсивные ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выглядят следующим образом

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где  M - порядок фильтра, .

Связь между передаточной функцией (частотной характеристикой)  и переходной функцией (импульсной характеристикой)  цифрового нерекурсивного фильтра, например нерекурсивного ФНЧ, может быть представлена в виде (1.6) или с помощью  z-преобразования в виде (1.7).

,   (1.6)

,   (1.7)

где  - шаг квантования,  - частота дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) (1.8) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ) (1.9) нерекурсивного фильтра выглядят в виде

(1.8)

. (1.9)

Если фильтр обрабатывает дискретный сигнал, временной интервал которого имеет конечную длину N, то возможно искажение спектра. Для уменьшения искажения спектра используем окна (весовые функции) . Например, для нерекурсивного ФНЧ

, . (1.10)

Приведем наиболее распространенные типы окон:

Треугольное окно (окно Бартлета)

,   для , (1.11)

Окно Ганна

,   для , (1.12)

Окно Хемминга

,   для , (1.13)

Окно Блэкмана

,   для , (1.14)

Окно Кайзера

,   для , (1.15)

где   - константа,  - функция Бесселя нулевого порядка,            N – четное

Обработку дискретного сигнала нерекурсивным фильтром, например ФНЧ (рис.1.2), можно представить в виде параметрической структуры, в которой используются коэффициенты фильтра , , и его порядок M .

Рис. 1.2. Структура фильтрации дискретного сигнала

В качестве входных переменных блока фильтрации выступают дискретный сигнал x(n), его  длина N, функция окна w(n), частота среза , частота дискретизации , а в качестве выходных – фильтрованный сигнал xН(n).

Цифровая фильтрация нерекурсивным фильтром требует  умножений.

1.3. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров

При синтезе нерекурсивных фильтров равенство (1.6), с учетом обратного преобразования Фурье, заменяется на (1.16), при этом считаем, что  является парной функцией, т.е. .

,  (1.16)

Если считать, что ФНЧ является идеальным, т.е.

при ,  при ,  

то на основании (1.16) получим

,   (1.17)

Спектр сигнала, обработанного ФВЧ, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФНЧ. Исходный спектр сигнала можно связать со всечастотным (или всепропускающим) фильтром, пропускающим все частоты. Коэффициенты всечастотного фильтра определены в виде

,    (1.18)

Исходя из этого

 (1.19)

Спектр сигнала, обработанного ФП, можно представить как разность спектров, полученных в результате применения двух ФНЧ, взятых с частотами среза  соответственно.

 (1.20)

Спектр сигнала, обработанного ФР, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФР. Исходя из (1.14), получим

или   (1.21)

1.4. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра

Для цифрового нерекурсивного фильтра важную роль играет точность аппроксимации реализованной передаточной функции. Для оптимизации нерекурсивных фильтров наиболее распространен алгоритм Ремеза (рис.1.3). В основу алгоритма лежит представление задачи проектирования оптимального нерекурсивного фильтра с передаточной функцией  как задачи чебышевской аппроксимации, причем функция , аппроксимирующая передаточную функцию идеального фильтра , является суммой M-1 косинусоидальных функций.

,  (1.22)

В блоке 1.1 вычисляются частоты в полосах пропускания и непропускания , функции  - передаточная функция идеального фильтра,  - весовая функция ошибки аппроксимации, , ,  и  начальные экстремальные частоты .

Рис. 1.3. Алгоритм Ремеза

Таблица 8.1

Функции  и

Тип

ФНЧ

ФВЧ

ФП

ФР

Частоты ,  выбираются в полосах пропускания и непропускания, но не в полосах перехода. Для  ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выбор  производится следующим образом

 (1.23)

 (1.24)

 (1.25)

(1.26)

где  ,  - шаг между выбираемыми частотами.

Начальные экстремальные частоты   выбираются из частот .

, , .  (1.27)

Функция  определена в виде

,  (1.28)

,   (1.29)

,   (1.30)

и  для приведены в табл. 8.1.

В блоке 1.2 вычисляется ошибка согласно (1.31)

,   (1.31)

В блоке 1.3 производится интерполяция функции

,      (1.32)

где ,

, .

В блоке 1.4 вычисляется взвешенная ошибка аппроксимации

,   (1.33)

В блоке 1.5 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.6.

В блоке 1.6 определяется количество локальных максимумов, обозначенное через R. В этом случае формулы (1.31)-(1.33) выполняются для частот , т.е. вычисляется количество  в которых .

В блоке 1.7 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.2.

В блоке 1.8 из R максимумов выбирается  M+1 наибольших и производится соответствующее изменение .

В блоке 1.9 на основании (8.1) вычисляются коэффициенты  с помощью обратного ДПФ

,  (1.34)

где , ,

В блоке 1.10 вычисляется импульсная характеристика для нерекурсивных фильтров с нечетным (1.35) и четным (1.36)  порядком M.

 (1.35)

 (1.36)


 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45577. Деловое общение в связях с общественностью 54 KB
  Наиболее распространенная форма общения партнеров диалог разговор по очереди для взаимодействия. Искусство делового общения как основного элемента паблик рилейшнз связано с именем греческого философа Сократа который выработал основные каноны общения: признание равенства и неповторимости каждого из партнеров допустимость присутствия оригинальности в любой точке зрения взаимное обогащение участников деловой встречи. Характерной особенностью делового общения является то что его содержание и цели как правило направлены на решение текущих...
45578. Саморегулирование в сфере рекламы 48 KB
  Целью многочисленных рекламных ассоциаций стала борьба с недобросовестной конкуренцией в сфере рекламного бизнеса искоренение лживой рекламы наносящей вред имиджу всех рекламистов. В своей деятельности ассоциации предпринимают усилия для смягчения критики рекламы со стороны широкой общественности и предотвращения эскалации государства в проблемы отрасли. В целом органы саморегулирования способствуют государственному контролю за соблюдением законодательства в сфере рекламы.
45579. Реклама в системе маркетинговых коммуникаций. Специфика рекламы как вида деятельности 27.5 KB
  Определение рекламодатель спонсор субъект за чей счет и от чьего имени осуществляется реклама. Реклама не претендует на беспристрастность. В теории коммуникации а реклама полностью подчиняется её законам есть 3 фазы:...
45580. Законодательное регулирование рекламной деятельности. Закон РФ «О рекламе» и другие правовые акты 52 KB
  Реклама является одним из инструментов PRдеятельности поэтому при ее осуществлении необходимо не выходить за рамки закона как основополагающего при определении законности той или иной акции. При планировании PRкампаний с привлечением спонсоров необходимо следовать положениям Федерального закона О рекламе: Спонсорская реклама реклама распространяемая на условии обязательного упоминания в ней об определенном лице как о спонсоре. реклама информация распространенная любым способом в любой форме и с использованием любых средств...
45581. Должностные обязанности специалиста по рекламе коммерческой компании. Формы и способы взаимодействия с рекламными агентствами 27.5 KB
  Задача агентства со своей стороны заключить договора со всеми партнерами собрать все отчеты фотоотчеты эфирные справки экземпляры газет и т. Агентство несет ответственность перед заказчиком за все выходы рекламы заказчика и за своевременность этих выходов. Агентство сохраняет все объемные скидки заказчика а иногда и увеличивает. Для принятия правильных решений или при разработке рекламной стратегии всегда необходим взгляд со стороны.
45582. Рекламные агентства: задачи, структура, специализация. Бизнес рекламного агентства 68 KB
  Рекламные агентства: задачи структура специализация. Бизнес рекламного агентства. Рекламные агентства можно классифицировать по многим признакам. По характеру выполняемой работы: Агентства полного цикла; Дизайнстудии творческие мастерские; Медийные агентства.
45583. Общая характеристика рекламного рынка России 50.5 KB
  Скопировано же самое что и в билете про агентства т. Рекламные агентства можно классифицировать по многим признакам. По характеру выполняемой работы: Агентства полного цикла; Дизайнстудии творческие мастерские; Медийные агентства.По географическому признаку: Региональные агентства; Общенациональные агентства; Международные агентства; Глобальные агентства.
45584. Формирование системы периодических изданий в России XVIII в 29.5 KB
  2 блока: Государственная Частная Первые полвека монополизирована правительством: Ведомости Журналистика Академии Наук СПб Ведомости первая русская регулярная газета: 2 раза в неделю Первый русский журнал Примечания к СПбВедомостям: научнопопулярный. Трудолюбивая пчела Сумарокова драматург первый директор русского театра выходит меньше года правительство закрывает за критику Екатерины; Праздноевремя с пользой употребленное сухопутный шляхетный корпус два года: первый литература; второй критический Екатерина...
45585. Русская газета второй половины XIX в 42.5 KB
  60е годы Резкое политические размежевание Типологический рост колич и кач много газеткуча специализированных 7090е Консерваторы: Катков Гражданин Мещерского Новое время Суворина: крупнейшее.11 В связи с этим большинство изданий особенно газеты приобрели более или менее определенную политическую направленность выражали убеждения и интересы той или иной социальной группы. С ростом городов и грамотности их населения расширялся контингент читателей газет за счет мелких служащих купцов ремесленников прислуги.