1095

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Лекция

Математика и математический анализ

Общие характеристики цифровых фильтров. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра.

Русский

2013-01-06

200.5 KB

103 чел.

Лекция № 7

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Рассматриваются следующие вопросы:

- общие характеристики цифровых фильтров;

- математические модели цифровых нерекурсивных фильтров;

- методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров;

- алгоритм Ремеза.

1.1. Общие характеристики цифровых фильтров

Для выделения частотных составляющих акустического дискретного сигнала применяются цифровые нерекурсивные и рекурсивные фильтры [5,6]. Выделим наиболее распространенные типы фильтров (фильтры с симметричной импульсной характеристикой), обрабатывающие частотный диапазон , где  - частота дискретизации:

- фильтр нижних частот (ФНЧ), выделяющий частоты ниже частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода между ними - ;

- фильтр высоких частот (ФВЧ), выделяющий выше частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода - ;

- полосовой фильтр (ФП), выделяющий частоты выше частоты среза  и ниже , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полосы непропускания -  и , полосы    перехода -  и ;

- режекторный фильтр (ФР), выделяющий частоты ниже частоты среза  и выше , при этом полосы пропускания лежат в диапазоне  и , полоса непропускания - , полосы перехода -  и .

Максимальные пульсации в полосах пропускания и непропускания обозначаются через ,  соответственно. На рис.1.1 представлены передаточные функции четырех типов фильтров.

а) ФНЧ

                                               

в) ФП

                                             

г) ФР

Рис. 1.1. Передаточные функции цифровых фильтров

1.2. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров

Свойство нерекурсивный фильтр обозначает, что выходной сигнал фильтра зависит только от значения входного сигнала. Поэтому этот фильтр всегда устойчив. Нерекурсивный фильтр имеет импульсную характеристику конечной длины и поэтому еще называется фильтром с импульсной характеристикой конечной длины (или КИХ-фильтром).

Нерекурсивный фильтр можно представить в виде (1.1)

или   (1.1)

Нерекурсивные ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выглядят следующим образом

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где  M - порядок фильтра, .

Связь между передаточной функцией (частотной характеристикой)  и переходной функцией (импульсной характеристикой)  цифрового нерекурсивного фильтра, например нерекурсивного ФНЧ, может быть представлена в виде (1.6) или с помощью  z-преобразования в виде (1.7).

,   (1.6)

,   (1.7)

где  - шаг квантования,  - частота дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) (1.8) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ) (1.9) нерекурсивного фильтра выглядят в виде

(1.8)

. (1.9)

Если фильтр обрабатывает дискретный сигнал, временной интервал которого имеет конечную длину N, то возможно искажение спектра. Для уменьшения искажения спектра используем окна (весовые функции) . Например, для нерекурсивного ФНЧ

, . (1.10)

Приведем наиболее распространенные типы окон:

Треугольное окно (окно Бартлета)

,   для , (1.11)

Окно Ганна

,   для , (1.12)

Окно Хемминга

,   для , (1.13)

Окно Блэкмана

,   для , (1.14)

Окно Кайзера

,   для , (1.15)

где   - константа,  - функция Бесселя нулевого порядка,            N – четное

Обработку дискретного сигнала нерекурсивным фильтром, например ФНЧ (рис.1.2), можно представить в виде параметрической структуры, в которой используются коэффициенты фильтра , , и его порядок M .

Рис. 1.2. Структура фильтрации дискретного сигнала

В качестве входных переменных блока фильтрации выступают дискретный сигнал x(n), его  длина N, функция окна w(n), частота среза , частота дискретизации , а в качестве выходных – фильтрованный сигнал xН(n).

Цифровая фильтрация нерекурсивным фильтром требует  умножений.

1.3. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров

При синтезе нерекурсивных фильтров равенство (1.6), с учетом обратного преобразования Фурье, заменяется на (1.16), при этом считаем, что  является парной функцией, т.е. .

,  (1.16)

Если считать, что ФНЧ является идеальным, т.е.

при ,  при ,  

то на основании (1.16) получим

,   (1.17)

Спектр сигнала, обработанного ФВЧ, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФНЧ. Исходный спектр сигнала можно связать со всечастотным (или всепропускающим) фильтром, пропускающим все частоты. Коэффициенты всечастотного фильтра определены в виде

,    (1.18)

Исходя из этого

 (1.19)

Спектр сигнала, обработанного ФП, можно представить как разность спектров, полученных в результате применения двух ФНЧ, взятых с частотами среза  соответственно.

 (1.20)

Спектр сигнала, обработанного ФР, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФР. Исходя из (1.14), получим

или   (1.21)

1.4. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра

Для цифрового нерекурсивного фильтра важную роль играет точность аппроксимации реализованной передаточной функции. Для оптимизации нерекурсивных фильтров наиболее распространен алгоритм Ремеза (рис.1.3). В основу алгоритма лежит представление задачи проектирования оптимального нерекурсивного фильтра с передаточной функцией  как задачи чебышевской аппроксимации, причем функция , аппроксимирующая передаточную функцию идеального фильтра , является суммой M-1 косинусоидальных функций.

,  (1.22)

В блоке 1.1 вычисляются частоты в полосах пропускания и непропускания , функции  - передаточная функция идеального фильтра,  - весовая функция ошибки аппроксимации, , ,  и  начальные экстремальные частоты .

Рис. 1.3. Алгоритм Ремеза

Таблица 8.1

Функции  и

Тип

ФНЧ

ФВЧ

ФП

ФР

Частоты ,  выбираются в полосах пропускания и непропускания, но не в полосах перехода. Для  ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выбор  производится следующим образом

 (1.23)

 (1.24)

 (1.25)

(1.26)

где  ,  - шаг между выбираемыми частотами.

Начальные экстремальные частоты   выбираются из частот .

, , .  (1.27)

Функция  определена в виде

,  (1.28)

,   (1.29)

,   (1.30)

и  для приведены в табл. 8.1.

В блоке 1.2 вычисляется ошибка согласно (1.31)

,   (1.31)

В блоке 1.3 производится интерполяция функции

,      (1.32)

где ,

, .

В блоке 1.4 вычисляется взвешенная ошибка аппроксимации

,   (1.33)

В блоке 1.5 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.6.

В блоке 1.6 определяется количество локальных максимумов, обозначенное через R. В этом случае формулы (1.31)-(1.33) выполняются для частот , т.е. вычисляется количество  в которых .

В блоке 1.7 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.2.

В блоке 1.8 из R максимумов выбирается  M+1 наибольших и производится соответствующее изменение .

В блоке 1.9 на основании (8.1) вычисляются коэффициенты  с помощью обратного ДПФ

,  (1.34)

где , ,

В блоке 1.10 вычисляется импульсная характеристика для нерекурсивных фильтров с нечетным (1.35) и четным (1.36)  порядком M.

 (1.35)

 (1.36)


 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16314. Определение прогибов балки на двух опрах 95 KB
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ БАЛКИ НА ДВУХ ОПОРАХ Цель работы Приобретение практических навыков по измерению прогибов балки. Содержание работы. Балка – это стержень нагруженный силами действующими в направлении перпендикулярном его оси. В инженерной практике часто воз
16315. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 321.5 KB
  ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ Теоретические основы эксперимента Геометрическая лучевая оптика Согласно электромагнитной теории диапазон видимого света представляет собой электромагнитные волны определенной длины : от 40105 см до 7...
16316. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ОКРАШЕННОГО РАСТВОРА ПРИ ПОМОЩИ КОЛОРИМЕТРА КФО 290.5 KB
  Лабораторная работа ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ОКРАШЕННОГО РАСТВОРА ПРИ ПОМОЩИ КОЛОРИМЕТРА КФО Теоретические основы эксперимента Физика взаимодействия света с веществом Взаимодействие света и среды в общих чертах можно представить следующим
16317. ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 66.5 KB
  Лабораторная работа ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Практическая часть Упражнение №1. Изучение состояния поляризации лазерного излучения Оптическая схема лаб
16318. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ФОТОМЕТРИИ 194 KB
  ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ФОТОМЕТРИИ Теоретическая часть Разнообразные действия света обусловлены наличием определенной энергии излучения световой энергии. Непосредственное восприятие света обусловлено действием световой энергии на любой приемник способный реагиро...
16319. Дифракция Фраунгофера 231.5 KB
  Лабораторная работа № 7 Дифракция Фраунгофера Теоретические основы эксперимента Многие явления наблюдаемые в обыденной жизни говорят о том что свет распространяется прямолинейно. Солнечный свет луч прожектора луч лазера ассоциируются в нашем сознании с п...
16320. Дифракция Френеля 292 KB
  Лабораторная работа № 8 Дифракция Френеля Теоретические основы эксперимента Многие явления наблюдаемые в обыденной жизни говорят о том что свет распространяется прямолинейно. Солнечный свет луч прожектора луч лазера ассоциируются в нашем сознании с прямы...
16321. ИЗУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ СВЕТА 139 KB
  Лабораторная работа ИЗУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ СВЕТА Упражнение 1. Поляризация света при отражении от плоской границы. Явление Брюстера Описание лабораторной установки Оптическая схема установки представлена на рис.2.1. На оптичес...
16322. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ И НЕИЗВЕСТНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ САХАРНОГО РАСТВОРА ПРИ ПОМОЩИ ПОЛЯРИМЕТРА СМ – 3 164 KB
  Лабораторная работа ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ И НЕИЗВЕСТНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ САХАРНОГО РАСТВОРА ПРИ ПОМОЩИ ПОЛЯРИМЕТРА СМ – 3 Описание лабораторной установки Поляриметр круговой СМ3 используемый в данной работе применяется для измерения угла вращения пл