1095

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Лекция

Математика и математический анализ

Общие характеристики цифровых фильтров. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра.

Русский

2013-01-06

200.5 KB

112 чел.

Лекция № 7

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Рассматриваются следующие вопросы:

- общие характеристики цифровых фильтров;

- математические модели цифровых нерекурсивных фильтров;

- методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров;

- алгоритм Ремеза.

1.1. Общие характеристики цифровых фильтров

Для выделения частотных составляющих акустического дискретного сигнала применяются цифровые нерекурсивные и рекурсивные фильтры [5,6]. Выделим наиболее распространенные типы фильтров (фильтры с симметричной импульсной характеристикой), обрабатывающие частотный диапазон , где  - частота дискретизации:

- фильтр нижних частот (ФНЧ), выделяющий частоты ниже частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода между ними - ;

- фильтр высоких частот (ФВЧ), выделяющий выше частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода - ;

- полосовой фильтр (ФП), выделяющий частоты выше частоты среза  и ниже , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полосы непропускания -  и , полосы    перехода -  и ;

- режекторный фильтр (ФР), выделяющий частоты ниже частоты среза  и выше , при этом полосы пропускания лежат в диапазоне  и , полоса непропускания - , полосы перехода -  и .

Максимальные пульсации в полосах пропускания и непропускания обозначаются через ,  соответственно. На рис.1.1 представлены передаточные функции четырех типов фильтров.

а) ФНЧ

                                               

в) ФП

                                             

г) ФР

Рис. 1.1. Передаточные функции цифровых фильтров

1.2. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров

Свойство нерекурсивный фильтр обозначает, что выходной сигнал фильтра зависит только от значения входного сигнала. Поэтому этот фильтр всегда устойчив. Нерекурсивный фильтр имеет импульсную характеристику конечной длины и поэтому еще называется фильтром с импульсной характеристикой конечной длины (или КИХ-фильтром).

Нерекурсивный фильтр можно представить в виде (1.1)

или   (1.1)

Нерекурсивные ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выглядят следующим образом

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где  M - порядок фильтра, .

Связь между передаточной функцией (частотной характеристикой)  и переходной функцией (импульсной характеристикой)  цифрового нерекурсивного фильтра, например нерекурсивного ФНЧ, может быть представлена в виде (1.6) или с помощью  z-преобразования в виде (1.7).

,   (1.6)

,   (1.7)

где  - шаг квантования,  - частота дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) (1.8) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ) (1.9) нерекурсивного фильтра выглядят в виде

(1.8)

. (1.9)

Если фильтр обрабатывает дискретный сигнал, временной интервал которого имеет конечную длину N, то возможно искажение спектра. Для уменьшения искажения спектра используем окна (весовые функции) . Например, для нерекурсивного ФНЧ

, . (1.10)

Приведем наиболее распространенные типы окон:

Треугольное окно (окно Бартлета)

,   для , (1.11)

Окно Ганна

,   для , (1.12)

Окно Хемминга

,   для , (1.13)

Окно Блэкмана

,   для , (1.14)

Окно Кайзера

,   для , (1.15)

где   - константа,  - функция Бесселя нулевого порядка,            N – четное

Обработку дискретного сигнала нерекурсивным фильтром, например ФНЧ (рис.1.2), можно представить в виде параметрической структуры, в которой используются коэффициенты фильтра , , и его порядок M .

Рис. 1.2. Структура фильтрации дискретного сигнала

В качестве входных переменных блока фильтрации выступают дискретный сигнал x(n), его  длина N, функция окна w(n), частота среза , частота дискретизации , а в качестве выходных – фильтрованный сигнал xН(n).

Цифровая фильтрация нерекурсивным фильтром требует  умножений.

1.3. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров

При синтезе нерекурсивных фильтров равенство (1.6), с учетом обратного преобразования Фурье, заменяется на (1.16), при этом считаем, что  является парной функцией, т.е. .

,  (1.16)

Если считать, что ФНЧ является идеальным, т.е.

при ,  при ,  

то на основании (1.16) получим

,   (1.17)

Спектр сигнала, обработанного ФВЧ, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФНЧ. Исходный спектр сигнала можно связать со всечастотным (или всепропускающим) фильтром, пропускающим все частоты. Коэффициенты всечастотного фильтра определены в виде

,    (1.18)

Исходя из этого

 (1.19)

Спектр сигнала, обработанного ФП, можно представить как разность спектров, полученных в результате применения двух ФНЧ, взятых с частотами среза  соответственно.

 (1.20)

Спектр сигнала, обработанного ФР, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФР. Исходя из (1.14), получим

или   (1.21)

1.4. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра

Для цифрового нерекурсивного фильтра важную роль играет точность аппроксимации реализованной передаточной функции. Для оптимизации нерекурсивных фильтров наиболее распространен алгоритм Ремеза (рис.1.3). В основу алгоритма лежит представление задачи проектирования оптимального нерекурсивного фильтра с передаточной функцией  как задачи чебышевской аппроксимации, причем функция , аппроксимирующая передаточную функцию идеального фильтра , является суммой M-1 косинусоидальных функций.

,  (1.22)

В блоке 1.1 вычисляются частоты в полосах пропускания и непропускания , функции  - передаточная функция идеального фильтра,  - весовая функция ошибки аппроксимации, , ,  и  начальные экстремальные частоты .

Рис. 1.3. Алгоритм Ремеза

Таблица 8.1

Функции  и

Тип

ФНЧ

ФВЧ

ФП

ФР

Частоты ,  выбираются в полосах пропускания и непропускания, но не в полосах перехода. Для  ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выбор  производится следующим образом

 (1.23)

 (1.24)

 (1.25)

(1.26)

где  ,  - шаг между выбираемыми частотами.

Начальные экстремальные частоты   выбираются из частот .

, , .  (1.27)

Функция  определена в виде

,  (1.28)

,   (1.29)

,   (1.30)

и  для приведены в табл. 8.1.

В блоке 1.2 вычисляется ошибка согласно (1.31)

,   (1.31)

В блоке 1.3 производится интерполяция функции

,      (1.32)

где ,

, .

В блоке 1.4 вычисляется взвешенная ошибка аппроксимации

,   (1.33)

В блоке 1.5 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.6.

В блоке 1.6 определяется количество локальных максимумов, обозначенное через R. В этом случае формулы (1.31)-(1.33) выполняются для частот , т.е. вычисляется количество  в которых .

В блоке 1.7 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.2.

В блоке 1.8 из R максимумов выбирается  M+1 наибольших и производится соответствующее изменение .

В блоке 1.9 на основании (8.1) вычисляются коэффициенты  с помощью обратного ДПФ

,  (1.34)

где , ,

В блоке 1.10 вычисляется импульсная характеристика для нерекурсивных фильтров с нечетным (1.35) и четным (1.36)  порядком M.

 (1.35)

 (1.36)


 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24784. Региональная экономика и управление 100 KB
  Место региональной экономики и управления в современной системе наук. Главными составляющими предмета региональной экономики и управления являются: экономика отдельного региона как субъекта РФ; экономические связи между регионами; региональные системы национальная экономика как система взаимодействующих регионов; размещение производительных сил как процесса стихийного или целенаправленного распределения по территории средств производства и людей занятых в производстве. региональные аспекты экономической жизни госрегулирование...
24785. ТЕРРИТОРИАЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ НАСЕЛЕНИЯ 89 KB
  Территориальные факторы и особенности расселения населения Размещение населения показывает распределение жителей по отдельным частям территории страны. Показателями размещения являются численность населения или доля от общей численности и плотность населения количество жителей на единицу площади. Если динамика населения страны в целом зависит в основном от естественного движения населения то изменение размещения населения внутри России связано в основном с миграционными процессами.
24786. ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ 168 KB
  В изучаемом курсе нас будет интересовать общая теория управления. И Кнорринг считает что управление в широком понимании этого термина непрерывный процесс воздействия на объект управления личность коллектив технологический процесс предприятие государство для достижения оптимальных результатов при наименьших затратах времени и ресурсов[19]. Понятие управление используется в следующих значениях: 1 управление как наука система упорядоченных знаний в виде концепций теорий принципов способов и форм управления; 2 управление как...
24787. Направления административных реформ в странах Запада и в России: сравнительный анализ 75 KB
  Суть административной реформы АР в Российской Федерации в комплексной трансформации системы органов государственного управления с целью обеспечения их большей гибкости и эффективности. Концепция нового государственного управления: мировая практика. Стремление осуществить АР в РФ соответствует идеям и мировой практике совершенствования государственного управления. во многих странах Запада был реализован значительный объем широкомасштабных и комплексных программ реформирования системы государственного управления на основе концептуальных...
24788. ТЕОРИЯ ОРГАНИЗАЦИИ. Сущность системного подхода к организациям. Синергетический эффект в организациях 97.5 KB
  Системный подход стал фактически тем инструментом который позволил создать современную теорию организации. Можно сказать что теория организации как наука родилась именно в рамках этого подхода. Цели организации задаются извне или вырабатываются внутри нее с учетом этих целей выбираются форма и устройство организации.
24789. УПРАВЛЕНИЕ ПРСОНАЛОМ 147.5 KB
  Набор персонала заключается в комплектовании необходимого резерва кандидатов на все должности и специальности из которых организация отбирает подходящих для нее работников.; составление базы данных по кандидатам на вакантные должности; отбор персонала выявление различий между кандидатами и соответствующими требованиями будущей деятельности выбор лучших кандидатов; решение о приеме на работу; введение в должность адаптация работника. Это более тонкая по сравнению с отбором процедура идентификации характеристик человека и...
24790. РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 73 KB
  Требования предъявляемые к управленческим решениям Сущность и виды управленческих решений Решение это выбор альтернативы. Решения принимаемые в процессе управления могут быть классифицированы по различным признакам. По уровню управления различают решения принимаемые на разных уровнях: начальника цеха начальника отдела; заместителя директора; директора; министра.
24791. УПРАВЛЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННЫМИ ОТНОШЕНИЯМИ 42 KB
  Организация связей с общественностью в системе государственного и муниципального управления: общее и особенное. управления можно отнести: участие в демократизации государственного управления содействие становлению гражданского общества. Существует прямая зависимость между уровнем управления и особенностями служб PR: в региональных и муниципальных органах власти широко реализуется коммуникативная функция и общение с гражданами постоянно и организованно. Возможности PR могут быть использованы в целях повышения открытости государственного...
24792. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ 59.5 KB
  наличие централизованных информационных центров генераторов баз данных 2. Например: Федеральная налоговая служба организовала Банк Данных глобальную базу данных. Локальные и распределенные базы данных системы управления базами данных. Информационные ресурсы представляют собой отдельные документы и отдельные массивы документов в информационных системах библиотеках архивах фондах банках данных других видах информационных систем.