1095

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Лекция

Математика и математический анализ

Общие характеристики цифровых фильтров. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра.

Русский

2013-01-06

200.5 KB

112 чел.

Лекция № 7

Математические модели и синтез цифровых нерекурсивных фильтров

Рассматриваются следующие вопросы:

- общие характеристики цифровых фильтров;

- математические модели цифровых нерекурсивных фильтров;

- методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров;

- алгоритм Ремеза.

1.1. Общие характеристики цифровых фильтров

Для выделения частотных составляющих акустического дискретного сигнала применяются цифровые нерекурсивные и рекурсивные фильтры [5,6]. Выделим наиболее распространенные типы фильтров (фильтры с симметричной импульсной характеристикой), обрабатывающие частотный диапазон , где  - частота дискретизации:

- фильтр нижних частот (ФНЧ), выделяющий частоты ниже частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода между ними - ;

- фильтр высоких частот (ФВЧ), выделяющий выше частоты среза , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полоса непропускания - , полоса перехода - ;

- полосовой фильтр (ФП), выделяющий частоты выше частоты среза  и ниже , при этом полоса пропускания лежит в диапазоне , полосы непропускания -  и , полосы    перехода -  и ;

- режекторный фильтр (ФР), выделяющий частоты ниже частоты среза  и выше , при этом полосы пропускания лежат в диапазоне  и , полоса непропускания - , полосы перехода -  и .

Максимальные пульсации в полосах пропускания и непропускания обозначаются через ,  соответственно. На рис.1.1 представлены передаточные функции четырех типов фильтров.

а) ФНЧ

                                               

в) ФП

                                             

г) ФР

Рис. 1.1. Передаточные функции цифровых фильтров

1.2. Математические модели цифровых нерекурсивных фильтров

Свойство нерекурсивный фильтр обозначает, что выходной сигнал фильтра зависит только от значения входного сигнала. Поэтому этот фильтр всегда устойчив. Нерекурсивный фильтр имеет импульсную характеристику конечной длины и поэтому еще называется фильтром с импульсной характеристикой конечной длины (или КИХ-фильтром).

Нерекурсивный фильтр можно представить в виде (1.1)

или   (1.1)

Нерекурсивные ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выглядят следующим образом

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где  M - порядок фильтра, .

Связь между передаточной функцией (частотной характеристикой)  и переходной функцией (импульсной характеристикой)  цифрового нерекурсивного фильтра, например нерекурсивного ФНЧ, может быть представлена в виде (1.6) или с помощью  z-преобразования в виде (1.7).

,   (1.6)

,   (1.7)

где  - шаг квантования,  - частота дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) (1.8) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ) (1.9) нерекурсивного фильтра выглядят в виде

(1.8)

. (1.9)

Если фильтр обрабатывает дискретный сигнал, временной интервал которого имеет конечную длину N, то возможно искажение спектра. Для уменьшения искажения спектра используем окна (весовые функции) . Например, для нерекурсивного ФНЧ

, . (1.10)

Приведем наиболее распространенные типы окон:

Треугольное окно (окно Бартлета)

,   для , (1.11)

Окно Ганна

,   для , (1.12)

Окно Хемминга

,   для , (1.13)

Окно Блэкмана

,   для , (1.14)

Окно Кайзера

,   для , (1.15)

где   - константа,  - функция Бесселя нулевого порядка,            N – четное

Обработку дискретного сигнала нерекурсивным фильтром, например ФНЧ (рис.1.2), можно представить в виде параметрической структуры, в которой используются коэффициенты фильтра , , и его порядок M .

Рис. 1.2. Структура фильтрации дискретного сигнала

В качестве входных переменных блока фильтрации выступают дискретный сигнал x(n), его  длина N, функция окна w(n), частота среза , частота дискретизации , а в качестве выходных – фильтрованный сигнал xН(n).

Цифровая фильтрация нерекурсивным фильтром требует  умножений.

1.3. Методика синтеза цифровых нерекурсивных фильтров

При синтезе нерекурсивных фильтров равенство (1.6), с учетом обратного преобразования Фурье, заменяется на (1.16), при этом считаем, что  является парной функцией, т.е. .

,  (1.16)

Если считать, что ФНЧ является идеальным, т.е.

при ,  при ,  

то на основании (1.16) получим

,   (1.17)

Спектр сигнала, обработанного ФВЧ, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФНЧ. Исходный спектр сигнала можно связать со всечастотным (или всепропускающим) фильтром, пропускающим все частоты. Коэффициенты всечастотного фильтра определены в виде

,    (1.18)

Исходя из этого

 (1.19)

Спектр сигнала, обработанного ФП, можно представить как разность спектров, полученных в результате применения двух ФНЧ, взятых с частотами среза  соответственно.

 (1.20)

Спектр сигнала, обработанного ФР, можно представить как разность исходного спектра и спектра, полученного в результате применения ФП, взятого с той же частотой среза, что и ФР. Исходя из (1.14), получим

или   (1.21)

1.4. Алгоритм Ремеза для построения оптимального цифрового нерекурсивного фильтра

Для цифрового нерекурсивного фильтра важную роль играет точность аппроксимации реализованной передаточной функции. Для оптимизации нерекурсивных фильтров наиболее распространен алгоритм Ремеза (рис.1.3). В основу алгоритма лежит представление задачи проектирования оптимального нерекурсивного фильтра с передаточной функцией  как задачи чебышевской аппроксимации, причем функция , аппроксимирующая передаточную функцию идеального фильтра , является суммой M-1 косинусоидальных функций.

,  (1.22)

В блоке 1.1 вычисляются частоты в полосах пропускания и непропускания , функции  - передаточная функция идеального фильтра,  - весовая функция ошибки аппроксимации, , ,  и  начальные экстремальные частоты .

Рис. 1.3. Алгоритм Ремеза

Таблица 8.1

Функции  и

Тип

ФНЧ

ФВЧ

ФП

ФР

Частоты ,  выбираются в полосах пропускания и непропускания, но не в полосах перехода. Для  ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выбор  производится следующим образом

 (1.23)

 (1.24)

 (1.25)

(1.26)

где  ,  - шаг между выбираемыми частотами.

Начальные экстремальные частоты   выбираются из частот .

, , .  (1.27)

Функция  определена в виде

,  (1.28)

,   (1.29)

,   (1.30)

и  для приведены в табл. 8.1.

В блоке 1.2 вычисляется ошибка согласно (1.31)

,   (1.31)

В блоке 1.3 производится интерполяция функции

,      (1.32)

где ,

, .

В блоке 1.4 вычисляется взвешенная ошибка аппроксимации

,   (1.33)

В блоке 1.5 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.6.

В блоке 1.6 определяется количество локальных максимумов, обозначенное через R. В этом случае формулы (1.31)-(1.33) выполняются для частот , т.е. вычисляется количество  в которых .

В блоке 1.7 проверяется условие . Если оно выполняется – переход к блоку 1.8, иначе – к блоку 1.2.

В блоке 1.8 из R максимумов выбирается  M+1 наибольших и производится соответствующее изменение .

В блоке 1.9 на основании (8.1) вычисляются коэффициенты  с помощью обратного ДПФ

,  (1.34)

где , ,

В блоке 1.10 вычисляется импульсная характеристика для нерекурсивных фильтров с нечетным (1.35) и четным (1.36)  порядком M.

 (1.35)

 (1.36)


 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67925. ПРАВОВОЙ СТАТУС ФЕДЕРАЛЬНОЙ ТАМОЖЕННОЙ СЛУЖБЫ И ЕЕ МЕСТО В ОРГАНИЗАЦИИ ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ ВЛАСТИ В РОССИИ 94.5 KB
  Раскрывая основные элементы правового статуса Федеральной таможенной службы определяя ее место в системе исполнительной власти в России следует указать что исполнительная власть осуществляется той совокупностью органов которая закреплена в Конституции Российской Федерации а именно...
67926. ОСНОВНЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ТАМОЖЕННЫХ ОРГАНОВ РОССИИ 125.5 KB
  В развитии таможенных органов России можно выделить несколько этапов: дореволюционный период советский период и период деятельности таможенных органов в Российской Федерации с начала 90х годов до настоящего времени. Проблемы таможенной политики организации таможенных органов нашли освещение в трудах...
67927. НЕДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ СДЕЛОК, СОВЕРШЕННЫХ БЕЗ СОГЛАСИЯ ТРЕТЬИХ ЛИЦ 60 KB
  Гражданский кодекс Российской Федерации указывает на сделки которые могут быть признаны недействительными из-за отсутствия согласия третьих лиц на их совершение. Юридически значимой для действительности таких сделок является воля не только сторон сделки но и третьих лиц не выступающих сторонами сделки.
67928. ВОЗВРАЩЕНИЕ УГОЛОВНОГО ДЕЛА ПРОКУРОРУ: ОЦЕНКА ОСНОВАНИЙ 91.5 KB
  Статья 237 Уголовно-процессуального кодекса Российской Федерации впервые предусматривает возвращение судом уголовного дела прокурору не выполняя при этом обвинительной функции. Причем закон в указанной норме позволяет суду наряду со сторонами проявлять инициативу и без заявленных участниками...
67929. ПОНЯТИЕ ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ 73 KB
  Довольно длительное время в юриспруденции юридическая ответственность в частности гражданско-правовая трактовалась в негативно-ретроспективном аспекте. Однако в философской литературе было признано что позитивный и негативный аспекты ответственности необходимо всегда рассматривать в их взаимосвязи и взаимообусловленности.
67930. Вибрационная диагностика. Назначение систем вибрационного мониторинга и диагностики 475 KB
  Оба комплекса включают в себя прибор обеспечивающий измерение и анализ вибрации а также программное обеспечение для персонального компьютера предназначенное для автоматической постановки диагноза и прогноза состояния диагностируемых узлов. Обязательным условием использования обоих комплексов является...
67931. Microsoft Excel 2007. Оформление итогов и создание сводных таблиц 132.5 KB
  На третьем листе построить диаграмму изменения спроса на мармелад, предварительно скопировать на этот лист исходные данные. На диаграмме вставить метки значения, для этого: перейти в режим редактирования диаграммы, выделив ее; в области Работа с диаграммами на вкладке Конструктор выбрать макет диаграммы...
67932. Microsoft Excel 2007. Абсолютная и относительная адресация 66.5 KB
  При изменении позиции ячейки содержащей формулу изменяется и ссылка. При копировании формулы вдоль строк и вдоль столбцов ссылка автоматически корректируется. Абсолютная ссылка ячейки в формуле всегда ссылается на ячейку расположенную в определенном месте. При изменении позиции ячейки содержащей...
67933. Инфекционный процесс, его виды и условия возникновения 78.5 KB
  Инфекционные болезни отличаются от других болезней тем, что они вызываются живыми возбудителями. По характеру взаимоотношений микробы бывают сапрофитами и паразитами. Последние живут за счет других организмов. Какое-либо совместное проживание микроба с макроорганизмом называется симбиозом, который имеет...