10951

Теория вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Теория вероятностей – математическая наука изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями понимаются явления с неопределенным исходом происходящие при неоднократном воспроизведении повторении одного и того же опыта при неизменных условиях.

Русский

2013-04-03

164.31 KB

12 чел.

Теория вероятностейматематическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями понимаются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении (повторении) одного и того же опыта при неизменных условиях.

В природе и технике, в экономике и спорте нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы элементы случайности. Разработка и изучение методов теории вероятности и вероятностных моделей дает возможность понять различные свойства случайных явлений на абстрактном и обобщенном уровне, не прибегая к эксперименту.

Цель вероятностных методов состоит в том, чтобы, минуя слишком сложное (а зачастую и невозможное) исследование отдельного случая, изучить закономерности массовых случайных явлений, прогнозировать их характеристики, влиять на ход этих явлений, контролировать их, ограничивать область действия случайности.

Теория вероятностей очень "молодая" наука. Первые работы, посвященные основным понятиям теории вероятности, появились в XVIXVII вв. и связаны с анализом азартных игр в карты и кости. Одними из первых авторов были Дж. Кардано (1501 – 1570), Г.Галилей (1564 – 1642), Б. Паскаль (1623 – 1662) и П. Ферма (1601 – 1665). Первый более или менее полный трактат по теории вероятностей "О расчетах при игре в кости или о расчетах при азартной игре" был написан в 1657 году Х. Гюйгенсом (1629 – 1695). Уже в этой работе Гюйгенс подчеркнул, что дело не в азартных играх, а в том, что "закладывается основа очень интересной и глубокой теории".

Развитие производства, возникшие задачи страхования и демографии, усложнение физических экспериментов и астрономических наблюдений, связанных с измерениями, очень быстро подтвердили предсказание Гюйгенса и резко расширили границы применения теории вероятностей. Эти достижения были связаны с именами таких великих математиков, как Я. Бернулли
(1654 – 1705), А. Муавр (1667 – 1754), Д. Бернулли (1700 – 1782), Т. Байес (1702 – 1761), Л. Эйлер (1707 – 1783), П. Лаплас (1749 – 1827), С. Пуассон (1781 – 1840), К. Гаусс (1777 – 1855).

Современное развитие теории вероятностей связано с именами
П.Л. Чебышева (1821 – 1894), А.А. Маркова (1856 – 1922), А.М. Ляпунова
(1857 – 1918), К. Пирсона (1857 – 1936), Р. Фишера (1890 – 1962), А.Я. Хинчина (1894 – 1959), В.И. Гливенко (1897 – 1940), А.Н. Колмогорова (1903 – 1987), Стьюдента (В. Госсета) (1876 – 1937).

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Правило произведения. Если компоненту х1 строки (х1, х2,....,хк) можно выбрать n1 способами и после каждого такого выбора х1 компоненту х2 можно выбрать n2 – способами. После выбора х1 и х2 компоненту х3 можно выбрать n3 способами и т.д., наконец, хк независимо от выбора всех предыдущих компонент можно выбрать nk способами. Тогда количество возможностей (комбинаций) образования строки (х1, х2,....,хк) равно:

. (1.1)

ПРИМЕР 1: Обед в университетской столовой состоит из трех блюд. Первое блюдо в меню может быть выбрано 5 способами, второе блюдо – 4, а третье блюдо – 3. Сколько дней студент может съедать новый обед, если любая комбинация блюд возможна, и один обед от другого должен отличаться хотя бы одним блюдом?

РЕШЕНИЕ: При решении данной задачи применим правило произведения (комбинаторика), и учтем, что строка состоит из трех элементов. Первое блюдо (первый элемент строки) можно выбрать тремя различными способами, второе – пятью различными способами независимо от выбора первого. Таким образом, первые два блюда можно выбрать различными комбинациями. Учитывая выбор третьего блюда, окончательно получим:

Правило суммы. Пусть множество Е1 содержит n1 элемент, множество Е2n2 элементов, ..., и множество Екnk элементов. И если эти множества попарно не пересекаются, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов, содержащихся в каждом из этих множеств:

. (1.2)

Перестановки. Пусть  – произвольное (неупорядоченное) n – элементное множество. Рассмотрим различные комбинации его упорядочивания. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга только порядком следования входящих в них элементов, и называются перестановками из n – элементов. Число всех таких перестановок обозначается символом Pn и находится по формуле:

. (1.3)

ПРИМЕР 2: Пятеро гостей случайным образом рассаживаются за столом. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы хотя бы 2 гостя поменялись местами (изменился порядок)?

РЕШЕНИЕ: При решении данной задачи, учитывая, что за столом всегда сидят все 5 гостей, применим правило перестановки.

Размещения. Различные упорядоченные m – элементные подмножества данного неупорядоченного множества E(n) (m < n) называются размещениями из n элементов по m. Число таких размещений обозначается и вычисляется по формуле:

. (1.4)

ПРИМЕР 3: Десять участников финала разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть распределены между спортсменами?

РЕШЕНИЕ: По условию данной задачи ясно, что награды получат только три финалиста из десяти, а ценность медалей различна. Тогда для определения числа комбинаций призеров применим правило размещений:

.

Сочетания. Различные неупорядоченные m – элементные подмножества множества E(n) (m < n) называются сочетаниями из n элементов по m. Число всех таких сочетаний обозначается символом и определяется по формуле:

. (1.5)

Можно доказать справедливость следующих формул:

(1.6)

, (1.7)

. (1.8)

ПРИМЕР 4: В полуфинальном забеге участвуют десять спортсменов. Три спортсмена, показавших лучший результат, попадают в финал. Сколько существует различных троек финалистов?

РЕШЕНИЕ: По условию задачи ясно, что в финал войдут только три спортсмена из десяти, причем место в призовой тройке не имеет значение. Тогда для определения числа комбинаций призеров применим правило сочетаний:

Примечания:

Размещения из n – элементов по m представляют собой такие
m – элементные выборки из неупорядоченного множества Е(n), которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Сочетания же из n – элементов по m представляет собой m – элементные выборки, отличающиеся только самими элементами.

Размещения с повторениями. Любая строка длиной m, составленная из элементов множества Е(n), причем элементы в строке могут повторяться, называется размещением с повторением из n – элементов по m. Число всех размещений с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле:

. (1.9)

ПРИМЕР 5:  Для автомобильных номеров используются 10 цифр и 28 букв. Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр. Какое максимальное число машин может получить номера при такой системе нумерации?

РЕШЕНИЕ: Сначала осуществим выбор 4 цифр. Каждый такой комплект цифр представляет собой четырехэлементную выборку из 10 – элементного массива цифр, т.е. является размещением с повторениями из 10 элементов по 4. Следовательно, общее число таких элементов равно 104. Исключим из выборки номер 00-00, если он недопустим. Аналогично выбор трех букв из 28 осуществляется 283 числом способов. Т.к. номер каждой машины есть упорядоченная "пара", состоящая из комплекта цифр и комплекта букв, то по правилу произведения число всех номеров будет равно:

N = (104 – 1) × 283 = 219 498 048.

Сочетания с повторениями. Рассмотрим сочетания из n элементов по m и предположим, что в комбинации возможны повторения. Т.е. выбор элементов комбинации осуществляется не только по одному разу из n элементов, но и еще до (m1) раза одного из этих элементов. В этом случае общее число элементов, из которых осуществляется комбинация, следует увеличить до (n + m – 1) элементов. Следовательно, число сочетаний из n элементов по m с повторениями определяется по формуле

.     (1.10)

ПРИМЕР 6:  В цветочном киоске продается 10 наименований цветов. Покупатель желает приобрести букет из 5 цветов. Сколько существует комбинаций таких букетов?

РЕШЕНИЕ: Очевидно, что цветы одного наименования могут повторяться в букете. Т.к. порядок цветов в букете не имеет значения, то здесь применима формула числа сочетаний с повторениями:

.

Перестановки с повторениями. Рассмотрим перестановки, содержащие одинаковые элементы. Например, в перестановках из n элементов имеются k различных элементов (k < n). При этом первый элемент встречается  раз. Это означает, что общее число перестановок должно быть уменьшено в  раз, т.к. взаимные перестановки одного и того же элемента равнозначны.

Аналогично происходит и с остальными элементами, которые могут встречаться  раз . Поэтому общее число перестановок с повторениями подсчитывается по формуле

.     (1.11)

ПРИМЕР 7:  Имеется шестизначная кодовая комбинация, состоящая из трех цифр 1, 3, 5, в которой цифра 1 встречается один раз, цифра 3 – два раза и цифра 5 – три раза. Сколько существует комбинаций таких наборов?

РЕШЕНИЕ: В данном случае имеют место перестановки с повторениями. Их число будет равно

ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры событий:

А – появился герб при бросании монеты;

В – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

С – попадание в цель при выстреле;

D – появление туза при вынимании карты из колоды; и т.д.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Причем, для некоторых событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, очевидно нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы называем вероятностью события.

Рассмотрим множество событий М, которые можно наблюдать в некотором эксперименте. Выделим, прежде всего, два специальных события – достоверное событиеU, которое обязательно происходит в эксперименте, и невозможное событиеV, которое не может произойти в эксперименте никогда.

Для каждого события А из М введем противоположное событие , которое состоит в том, что событие А не произошло.

Событие А + В (А  В), заключающееся в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно (либо А, либо В, либо А и В вместе), называется суммой (или объединением) событий А и В.

Событие АВ (А  В), заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно, называется произведением (или пересечением) событий А и В.

Событие А \ В называется разностью событий А и В; оно заключается в том, что происходит А и не происходит В.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

  1.   коммутативность сложения,
  2.   ассоциативность сложения,
  3.   коммутативность умножения,
  4.   ассоциативность умножения,
  5.   законы дистрибутивности;

Предположим, что среди всех возможных событий , которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий или элементарных переходов, обладающих следующими свойствами:

  1.  во-первых, все они взаимоисключают друг друга, т.е. являются непересекающимися;
  2.  во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;
  3.  в-третьих, каково бы ни было событие , по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой, а их совокупность   называется пространством элементарных событий.

Достоверное событие U, наступающее в результате любого из элементарных переходов , при таком отождествлении событий множеством совпадает с пространством : U = .

Невозможное событие V, не наступающее ни при каком элементарном переходе , совпадает с пустым множеством и обозначается V = .

Теперь можно указать дополнительные свойства операций над событиями:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.   законы де Моргана

Для наглядной иллюстрации алгебры событий воспользуемся диаграммами ЭйлераВенна.

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий .

Два события А и В несовместимы (или несовместны), если АВ =  
(т.е. событие невозможно).

События Е1, Е2,..., Еn – образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и:

Е1Е2Е3...Еn = Ек = Ек, т.е. из этих событий происходит одно и только одно.

ПРИМЕР 8:  Победитель соревнования награждается: призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют собой события: а) ; б) ; в) ?

РЕШЕНИЕ: а) Событие состоит в том, что победитель награжден призом, или премией, или призом и премией одновременно.

б) Событие состоит в том, что победитель награжден призом, премией и медалью одновременно

в) Событие состоит в награждении победителя призом и премией одновременно, без выдачи медали.

ПРИМЕР 9:  Описать пространство элементарных событий следующего опыта  брошены две игральные кости.

РЕШЕНИЕ: Очевидно, элементарным исходом данного опыта можно считать пару чисел = (a, b), где а – число очков на первой кости, b – число очков на второй кости. Известно, что (1  a, b  6), причем количество очков на первой кости не зависит от того, сколько очков выпадет на второй кости и наоборот. Отсюда получим:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84458. Перевірка мовних знань і вмінь з теми «Іменник» 71 KB
  Послухайте вірш і зловіть зимові іменники хлопками. Чим цікаві виписані іменники пов’язані з зимовою порою Як вони називаються близькі за значенням 2 вручення сніжинки з буквою о Наступне завдання яке пропонує сніговичок це Робота в групах Гра Проціди крізь сито Розписати слова у 3 колонки.
84459. Закріплення знань про слова, які вказують на предмети 47 KB
  Мета. Закріпити знання учнів про слова, які означають назву предмета. Вчити розпізнавати іменники в тексті, будувати з ними речення. Формувати навички правильного написання словникових слів. Розвивати логічне мислення, творчу уяву, самостійність під час сприймання матеріалу.
84460. Поняття про фразеологізми та їх лексичне значення 55.5 KB
  Мета: дати учням загальні відомості про фразеологізми; вчити пояснювати значення фразеологізмів правильно використовувати їх у мовленні; ознайомити із фразеологічним словником української мови; розвивати культуру мовлення образне мислення; виховувати бажання здобути знання.
84461. Апостроф. Литовська народна казка «Чому кіт умивається після сніданку?» 840 KB
  Мета: вчити дітей правильно вимовляти та писати слова з апострофом; формувати вміння ставити апостроф у словах; розвивати зв;язне мовлення навички свідомого виразного читання вміння спостерігати порівнювати; поповнювати словниковий запас; прищеплювати інтерес до усної народної творчості...
84463. Закріплення знань про головні та другорядні члени речення. Встановлення зв’язку слів у реченнях 52.5 KB
  Мета: закріпити знання учнів про члени речення; формувати вміння визначати в реченнях головні й другорядні члени речення встановлювати зв’язок слів у реченні за допомогою питань; розвивати зв’язне мовлення; виховувати любов до природи.
84464. Встановлення зв’язку іменника з прикметником 44 KB
  Мета: формувати в учнів ключові компетентності, а саме: вміння вчитися – самоорганізовуватися до навчальної діяльності у взаємодії, планувати свої дії, доводити роботу до кінця; загальнокультурну компетентність – дотримуватися норм мовленнєвої культури, зв’язно висловлюватися в контексті змісту...
84465. Синоніми – слова, близькі за значенням 45 KB
  Мета. Виробляти вміння добирати синоніми використовувати їх у мовленні. А називають ці слова – синоніми. Синоніми допоможуть зробити нашу мову виразнішою багатшою точнішою і краще допоможуть висловлювати свою думку уникати частого повторення одних і тих самих слів.
84466. Чергування приголосних звуків г,к,х -з,ц,с -ж,ч,ш у коренях слів 38 KB
  Формувати вміння учнів писати і вимовляти слова в яких відбувається чергування голосних у корені слова; знайомити з чергуванням приголосних звуків у коренях слів; розвивати вміння чергувати приголосні звуки в коренях слів вміння аналізувати зіставляти узагальнювати; виховувати охайність під час письма.