10952

Статистическое определение вероятности

Лекция

Математика и математический анализ

ВЕРОЯТНОСТЬ Испытанием называется эксперимент который можно хотя бы принципиально провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходом. При испытании неизбежно наступает какойто исход и тольк

Русский

2013-04-03

92.14 KB

129 чел.

ВЕРОЯТНОСТЬ

Испытанием называется эксперимент, который можно (хотя бы принципиально) провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходом. При испытании неизбежно наступает какой-то исход и только один.

Статистическое определение вероятности

Если событие может привести к n различным равновозможным исходам и если в m случаях появится признак А, то относительная частота (частость) события А обозначается r(A) и равна отношению m к n, то есть

. (2.1)

Это так называемое частотное (комбинаторное) определение вероятности. Событие А, для которого относительная частота r(A) при достаточно больших n мало отличается от некоторого фиксированного числа, не зависящего от серии проводимых испытаний, называется статически устойчивым.

Вероятностью статически устойчивого случайного события А называется число Р(А), около которого группируются относительные частоты этого события в длинных сериях независимых испытаний:

. (2.2)

Вероятности обладают свойствами, аналогичные свойствам частости:

  1.  Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

.

  1.  Статистическая вероятность невозможного события равна нулю:

.

  1.  Статистическая вероятность достоверного события равна единице:

ПРИМЕР 1: При подбрасыванием идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна Р(А) = 1/2. Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

Экспериментатор

n

m(А)

rn(А)

Ж.Л.Л. Бюррон

4040

2048

0,5069

К. Пирсон

12000

6019

0,5016

К. Пирсон

24000

12012

0,5005

ПРИМЕР 2:  Имеется колода тщательно перемешанных карт (36 листов). Наугад вытаскивается одна карта. Сколько, в среднем, надо провести опытов, чтобы этой картой был туз пиковый?

РЕШЕНИЕ: Так как в колоде только одна карта туз пиковый, то частость (относительная вероятность) появления туза пикового равна 1/36. Вспомним, что r(A) = m / n. Отсюда n = m / r(A). В нашем случае m = 1, тогда n = 36.

Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, т.е. предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: . Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной . Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте:

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал “герб”, выпала “цифра”.

Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1, 2, …, 6.

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на n правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до n).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, “бросание” шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее: во-первых, исход опыта является случайным; во-вторых, имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов; в-третьих, все эти исходы равновероятны.

В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события А может быть вычислена по следующей формуле:

, (2.3)

где N – общее число равновозможных и взаимно исключающих друг друга исходов, n(A) – число тех из них, которые приводят к наступлению события A.

ПРИМЕР 3: Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и "прикупом", куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

РЕШЕНИЕ: Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле: . В карточной колоде имеется ровно 4 туза и число различных комбинаций, дающих 2 туза, равно числу сочетаний из 4 по 2: .

ПРИМЕР 4: Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая «даму». При объявлении ранга игры "играющему" приходится учитывать возможность образования у одного из "вистующих" - противников комбинации из трех оставшихся "червей". Какова вероятность этого события?

РЕШЕНИЕ: У двух вистующих 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равна . Если комбинацию "третья дама" зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7, т.е. . Т.о.

.

Вероятность появления третьей дамы у любого из вистующих, очевидно в 2 раза больше.

ПРИМЕР 5: В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся бездефектными?

РЕШЕНИЕ: Введем следующие обозначения:  общее число машинок,  число бездефектных машинок,  число отобранных в партию (подмножество) машинок,  число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по  машинок равно числу сочетаний из  элементов по , т.е. . Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из  элементов по , т.е. . С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из  элементов по  т.е. . Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика – правило произведения) . Согласно (2.3), окончательно получим:

.      (2.4)

Подставим в формулу (2.4) численные значения:

Примечание: Выражение (2.4) носит название формулы гипергеометрического распределения.

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Приведенные выше классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике.

Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым.

При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное событие, а просто элементарное событие любой природы. Множество таких событий образует поле элементарных событий . Из подмножества данного множества составляются некоторые ансамбли, которые и носят название случайного события. Множество таких событий образует поле событий  На этом поле случайных событий вводится числовая функция, называемая вероятностью и определяемая следующими аксиомами.

Аксиома 1.  Каждому случайному событию  из поля событий  поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью, такое, что

Аксиома 2.  Вероятность достоверного события  равна единице:

Аксиома 2.  Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Примечания:

  1.  Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть – пустое множество событий, иначе говоря, означает отсутствие событий. Тогда () = и не имеет общих элементов с . Следовательно:

    (5)

  1.  Аксиоматический подход позволяет с более общих позиций подойти к построению теории вероятностей и преодолевает некоторые недостатки классического и статистического определений вероятности событий. Однако для большинства практических задач рассмотренные ранее определения вероятностей событий оказываются достаточно удобными и надежными, т.ч. в дальнейшем будем опираться именно на них. В этом случае третья аксиома должна быть выражена на основе доказательной базы, что и будет рассмотрено ниже.

Геометрическое определение вероятности

Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности.

Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.

Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.

ПРИМЕР 6: Предположим, что на отрезок длиной L действительной прямой наугад бросается точка, которую обозначим . Какова вероятность того, что она отклонится не дальше, чем на расстояние l, от середины указанного отрезка (см. рис.)?

РЕШЕНИЕ: Здесь имеется бесконечное множество возможных исходов: ведь точка может попасть в любую точку рассматриваемого отрезка длины L. Кроме того, условия опыта таковы, что с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке х этого отрезка. Событие А – точка находится от середины отрезка на расстоянии не больше l, наступает в результате попадания в любую точку х, отстающую от середины не далее, чем на величину l. "Доля" таких точек х на всем отрезке может быть определена как отношение L(A) /L, где L – длина всего рассматриваемого отрезка. L(A) = 2l – длина отрезка, попадание в который влечет за собой наступление события А. Таким образом, искомая вероятность Р(А) есть

    (6)

ПРИМЕР 7: Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1, 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

РЕШЕНИЕ: Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [-1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [-1, 1] оси ординат. Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате (см. рис.). Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой у = -х (см. рис.).

Таким образом, интересующая нас вероятность равна:

Р(А) = 1 / 4.

ПРИМЕР 8: Из промежутка [0;2] наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:

. (I)

РЕШЕНИЕ: Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0;2] пары чисел x и у. Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки М(х, y) из множества всех точек квадрата со стороной равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие неравенству (I), которое для простоты представим эквивалентной системой:

Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая вероятность равна:

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81531. Строение, синтез и метаболизм иодтиронинов. Влияние на обмен веществ. Изменение метаболизма при гипо- и гипертиреозе. Причины и проявление эндемического зоба 160.08 KB
  Биосинтез йодтиронинов. Из цистерн ЭР Тиреоглобулин поступает в аппарат Гольджи включается в состав секреторных гранул и секретируется во внеклеточный коллоид где происходит йодирование остатков тирозина и образование йодтиронинов. Йодирование тиреоглобулина и образование йодтиронинов осуществляется в несколько этапов Транспорт йода в клетки щитовидной железы. Образование йодтиронинов.
81532. Регуляция энергетического метаболизма, роль инсулина и контринсулярных гормонов в обеспечении гомеостаза 107.55 KB
  Абсорбтивный период характеризуется временным повышением концентрации глюкозы аминокислот и жиров в плазме крови. Изменения метаболизма в печени в абсорбтивном периоде После приёма пищи печень становится главным потребителем глюкозы поступающей из пищеварительного тракта. Почти 60 из каждых 100 г глюкозы транспортируемой портальной системой задерживается в печени. Увеличение потребления печенью глюкозы не результат ускорения её транспорта в клетки транспорт глюкозы в клетки печени не стимулируется инсулином а следствие ускорения...
81533. Изменения метаболизма при сахарном диабете. Патогенез основных симптомов сахарного диабета 115.42 KB
  При недостаточности содержания инсулинавозникает заболевание которое носит название сахарный диабет: повышается концентрация глюкозы в крови гипергликемия появляется глюкоза в моче глюкозурия и уменьшается содержание гликогена в печени. При введении инсулина больным диабетом происходит коррекция метаболических сдвигов: нормализуется проницаемость мембранмышечных клеток для глюкозы восстанавливается соотношение между гликолизом и глюконеогенезом. В связи с этим при инсулярной недостаточности и сохранении или даже повышении...
81534. Патогенез поздних осложнений сахарного диабета (макро- и микроангиопатии, нефропатия, ретинопатия, катаракта). Диабетическая кома 108.17 KB
  Диабетическая кома. Диабетическая ретинопатия поражение сетчатки глаза в виде микроаневризм точечных и пятнистых кровоизлияний твёрдых экссудатов отёка образования новых сосудов. Диабетическая микро и макроангиопатия нарушение проницаемости сосудов повышение их ломкости склонность к тромбозам и развитию атеросклероза возникает рано поражаются преимущественно мелкие сосуды. Диабетическая полинейропатия чаще всего в виде двусторонней периферической нейропатии по типу перчаток и чулок начинающаяся в нижних частях конечностей.
81535. Регуляция водно-солевого обмена. Строение и функции альдостерона и вазопрессина 199.48 KB
  Основные гормоны участвующие в тонкой регуляции водносолевого баланса и действующие на дистальные извитые канальцы и собирательные трубочки почек: антидиуретический гормон АДГ альдостерон и предсердный натриуретический фактор ПНФ. Антидиуретический гормон Антидиуретический гормон АДГ или вазопрессин пептид с молекулярной массой около 1100 Д содержащий 9 аминокислот соединённых одним дисульфидным мостиком. АДГ синтезируется в нейронах гипоталамуса в виде предшественника препрогормона который поступает в аппарат Гольджи и...
81536. Система ренин-ангиотензин-альдостерон. Биохимические механизмы возникновения почечной гипертонии, отеков, дегидратации 105.02 KB
  Главным механизмом регуляции синтеза и секреции альдостерона служит система ренинангиотензин. Субстратом для ренина служит ангиотензиноген. Ангиотензиноген α2глобулин содержащий более чем 400 аминокислотных остатков.
81537. Роль гормонов в регуляции обмена кальция и фосфатов (паратгормон, кальцитонин). Причины и проявления гипо- и гиперпаратироидизма 106.8 KB
  Паратгормон Паратгормон ПТГ одноцепочечный полипептид состоящий из 84 аминокислотных остатков около 95 кД действие которого направлено на повышение концентрации ионов кальция и снижение концентрации фосфатов в плазме крови. Скорость распада гормона уменьшается при низкой концентрации ионов кальция и увеличивается если концентрация ионов кальция высока. Секреция ПТГ регулируется уровнем ионов кальция в плазме: гормон секретируется в ответ на снижение концентрации кальция в крови.
81538. Строение, биосинтез и механизм действия кальцитриола. Причины и проявление рахита 137.84 KB
  Действие гормона направлено на повышение концентрации кальция в плазме крови. Низкая концентрация фосфатов и ионов Са2 в крови также ускоряет синтез кальцитриола причём ионы кальция действуют опосредованно через паратгормон. Так например в клетках кишечника кальцитриол индуцирует синтез Са2переносящих белков которые обеспечивают всасывание ионов кальция и фосфатов из полости кишечника в эпителиальную клетку кишечника и далее транспорт из клетки в кровь благодаря чему концентрация ионов кальция во внеклеточной жидкости поддерживается на...