10952

Статистическое определение вероятности

Лекция

Математика и математический анализ

ВЕРОЯТНОСТЬ Испытанием называется эксперимент который можно хотя бы принципиально провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходом. При испытании неизбежно наступает какойто исход и тольк

Русский

2013-04-03

92.14 KB

129 чел.

ВЕРОЯТНОСТЬ

Испытанием называется эксперимент, который можно (хотя бы принципиально) провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходом. При испытании неизбежно наступает какой-то исход и только один.

Статистическое определение вероятности

Если событие может привести к n различным равновозможным исходам и если в m случаях появится признак А, то относительная частота (частость) события А обозначается r(A) и равна отношению m к n, то есть

. (2.1)

Это так называемое частотное (комбинаторное) определение вероятности. Событие А, для которого относительная частота r(A) при достаточно больших n мало отличается от некоторого фиксированного числа, не зависящего от серии проводимых испытаний, называется статически устойчивым.

Вероятностью статически устойчивого случайного события А называется число Р(А), около которого группируются относительные частоты этого события в длинных сериях независимых испытаний:

. (2.2)

Вероятности обладают свойствами, аналогичные свойствам частости:

  1.  Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

.

  1.  Статистическая вероятность невозможного события равна нулю:

.

  1.  Статистическая вероятность достоверного события равна единице:

ПРИМЕР 1: При подбрасыванием идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна Р(А) = 1/2. Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

Экспериментатор

n

m(А)

rn(А)

Ж.Л.Л. Бюррон

4040

2048

0,5069

К. Пирсон

12000

6019

0,5016

К. Пирсон

24000

12012

0,5005

ПРИМЕР 2:  Имеется колода тщательно перемешанных карт (36 листов). Наугад вытаскивается одна карта. Сколько, в среднем, надо провести опытов, чтобы этой картой был туз пиковый?

РЕШЕНИЕ: Так как в колоде только одна карта туз пиковый, то частость (относительная вероятность) появления туза пикового равна 1/36. Вспомним, что r(A) = m / n. Отсюда n = m / r(A). В нашем случае m = 1, тогда n = 36.

Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, т.е. предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: . Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной . Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте:

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал “герб”, выпала “цифра”.

Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1, 2, …, 6.

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на n правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до n).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, “бросание” шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее: во-первых, исход опыта является случайным; во-вторых, имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов; в-третьих, все эти исходы равновероятны.

В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события А может быть вычислена по следующей формуле:

, (2.3)

где N – общее число равновозможных и взаимно исключающих друг друга исходов, n(A) – число тех из них, которые приводят к наступлению события A.

ПРИМЕР 3: Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и "прикупом", куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

РЕШЕНИЕ: Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле: . В карточной колоде имеется ровно 4 туза и число различных комбинаций, дающих 2 туза, равно числу сочетаний из 4 по 2: .

ПРИМЕР 4: Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая «даму». При объявлении ранга игры "играющему" приходится учитывать возможность образования у одного из "вистующих" - противников комбинации из трех оставшихся "червей". Какова вероятность этого события?

РЕШЕНИЕ: У двух вистующих 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равна . Если комбинацию "третья дама" зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7, т.е. . Т.о.

.

Вероятность появления третьей дамы у любого из вистующих, очевидно в 2 раза больше.

ПРИМЕР 5: В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся бездефектными?

РЕШЕНИЕ: Введем следующие обозначения:  общее число машинок,  число бездефектных машинок,  число отобранных в партию (подмножество) машинок,  число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по  машинок равно числу сочетаний из  элементов по , т.е. . Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из  элементов по , т.е. . С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из  элементов по  т.е. . Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика – правило произведения) . Согласно (2.3), окончательно получим:

.      (2.4)

Подставим в формулу (2.4) численные значения:

Примечание: Выражение (2.4) носит название формулы гипергеометрического распределения.

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Приведенные выше классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике.

Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым.

При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное событие, а просто элементарное событие любой природы. Множество таких событий образует поле элементарных событий . Из подмножества данного множества составляются некоторые ансамбли, которые и носят название случайного события. Множество таких событий образует поле событий  На этом поле случайных событий вводится числовая функция, называемая вероятностью и определяемая следующими аксиомами.

Аксиома 1.  Каждому случайному событию  из поля событий  поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью, такое, что

Аксиома 2.  Вероятность достоверного события  равна единице:

Аксиома 2.  Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Примечания:

  1.  Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть – пустое множество событий, иначе говоря, означает отсутствие событий. Тогда () = и не имеет общих элементов с . Следовательно:

    (5)

  1.  Аксиоматический подход позволяет с более общих позиций подойти к построению теории вероятностей и преодолевает некоторые недостатки классического и статистического определений вероятности событий. Однако для большинства практических задач рассмотренные ранее определения вероятностей событий оказываются достаточно удобными и надежными, т.ч. в дальнейшем будем опираться именно на них. В этом случае третья аксиома должна быть выражена на основе доказательной базы, что и будет рассмотрено ниже.

Геометрическое определение вероятности

Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности.

Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.

Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.

ПРИМЕР 6: Предположим, что на отрезок длиной L действительной прямой наугад бросается точка, которую обозначим . Какова вероятность того, что она отклонится не дальше, чем на расстояние l, от середины указанного отрезка (см. рис.)?

РЕШЕНИЕ: Здесь имеется бесконечное множество возможных исходов: ведь точка может попасть в любую точку рассматриваемого отрезка длины L. Кроме того, условия опыта таковы, что с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке х этого отрезка. Событие А – точка находится от середины отрезка на расстоянии не больше l, наступает в результате попадания в любую точку х, отстающую от середины не далее, чем на величину l. "Доля" таких точек х на всем отрезке может быть определена как отношение L(A) /L, где L – длина всего рассматриваемого отрезка. L(A) = 2l – длина отрезка, попадание в который влечет за собой наступление события А. Таким образом, искомая вероятность Р(А) есть

    (6)

ПРИМЕР 7: Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1, 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

РЕШЕНИЕ: Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [-1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [-1, 1] оси ординат. Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате (см. рис.). Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой у = -х (см. рис.).

Таким образом, интересующая нас вероятность равна:

Р(А) = 1 / 4.

ПРИМЕР 8: Из промежутка [0;2] наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:

. (I)

РЕШЕНИЕ: Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0;2] пары чисел x и у. Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки М(х, y) из множества всех точек квадрата со стороной равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие неравенству (I), которое для простоты представим эквивалентной системой:

Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая вероятность равна:

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47261. Дизайн внутренней предметно-пространственной среды индивидуального малоэтажного жилого дома 7.01 MB
  Деревянные дома из бревна - это некогда забытый вид построек, который сейчас возвращается и становится популярным в разных странах. Такой дом сам по себе имеет уже внутреннюю отделку. Актуальность исследования состоит в изучении незатронутого до настоящего времени подробным анализом, но весьма обширного материала, связанного с различными аспектами формирования внутреннего облика современного загородного жилища.
47262. Методы контроля изнашивания подшипников дизеля 1.27 MB
  Этот фактор так же влияет и на качество очистки масла в системе двигателя где установлены фильтры грубой и тонкой очистки. Для этого всасывающий патрубок первой ступени компрессора соединяют резиновым шлангом с небольшой емкостью переносным ресивером а затем с прибором. Рассчитывается по формуле...
47263. Процедура построения полного дерева поиска и ее особенности 20.87 KB
  Процедура построения полного дерева поиска и ее особенности. Бинарное дерево-это конечное множество элементов, которое либо пусто, либо содержит один элемент, называемый корнем дерева, а остальные элементы множества делятся на два непересекающихся подмножества, каждое из которых само является бинарным деревом
47264. Электроснабжение нового микрорайона города с реконструкцией существующей электрической сети 6.09 MB
  Значения расчетных электрических нагрузок жилых домов зависит от количества квартир, типа энергоносителя для приготовления пищи и количества и номинальной мощности двигателей лифтовых установок.
47265. Электроснабжение жилого района города 1.21 MB
  Проверка выбранных сечений жил кабелей 380 В по допустимым потерям напряжения. Проверка кабелей 10 кВ по потерям напряжения. КАЧЕСТВО НАПРЯЖЕНИЯ НА ЭЛЕКТРОПРИЕМНИКАХ ЖИЛЫХ И ОБЩЕСТВЕННЫХ ЗДАНИЙ. Оценка обеспечение качества напряжения по его отклонениям от номинального.
47268. Разработка модуля добавления и редактирования алгоритмов в системе тестирования учащихся на понимание алгоритмов «СТУПА» 2.81 MB
  Учебный процесс с использованием компьютерных технологий может быть представлен как моделирование учебной деятельности при которой компьютер выполняет ряд функций преподавателя в частности организацию диалога в виде сценария алгоритма управления учебной и познавательной деятельностью обучаемого. Технический аспект связан в первую очередь с проблемой реализации планируемого контроля знаний с выбором подходящего алгоритма для оценки контрольных работ. К техническим аспектам относятся: формирование набора контрольных заданий на основе...