10953

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Лекция

Математика и математический анализ

Теорема сложения вероятностей несовместных событий Теорема Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 3.1 Доказательство.Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и . Пусть событию ...

Русский

2013-04-03

59.69 KB

61 чел.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема 1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий  равна сумме вероятностей этих событий:

   (3.1)

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий  и .

Пусть событию  благоприятствуют  элементарных исходов, а событию  исходов. Т.к. события  и  по условию теоремы несовместны, то событию  благоприятствуют  элементарных исходов из общего числа  исходов. Следовательно,

где  и  соответственно вероятности событий  и .

Следствие 1. Если события  образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.      (3.2)

Это следствие очевидно, если вспомнить, что события  составляют полную группу попарно несовместных событий. Тогда их сумма – событие достоверное, а вероятность достоверного события равна 1.

Противоположными событиями называются два несовместных события, составляющие (образующие) полную группу и .

Примеры противоположных событий:

  1.   попадание при выстреле;  промах при выстреле.
  2.   при бросании кубика выпала шестерка;  при бросании кубика шестерка не выпала.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.     (3.3)

ПРИМЕР 1: Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: , .

РЕШЕНИЕ: Т.к. выделение одновременно двух машин – невозможное событие, то по формуле (3.1) вероятность прибытия к складу хотя бы одной из этих машин будет равна:

.

ПРИМЕР 2: В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов выигрыши по 20 рублей, на 100 билетов – выигрыши по 5 рублей, остальные билеты – не выигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

РЕШЕНИЕ: Обозначим события:  выигрыш не менее 20 рублей,
 выигрыш 20 рублей,  выигрыш 100 рублей,  выигрыш 500 рублей.

Очевидно, что события  попарно несовместны, причем справедливо выражение: .

По теореме сложения вероятностей:

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Как было указано выше, теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда два события  и  – совместны, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

  (3.4)

Доказательство. Событие  наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий (3.1) имеем:

  (3.5)

Событие  произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: . Вновь применяя терему (3.1), получим  откуда

      (3.6)

Аналогично для события :  откуда

      (3.7)

Подставив (3.6) и (3.7) в (3.5) получим выражение (3.4), теорема доказана.

Как несложно заметить, формула (3.1) является частным случаем выражения (3.4). Действительно, если события несовместны, то их произведение – пустое множество, т.е. невозможное событие. А вероятность невозможного события равна нулю.

Аналогично выражению (3.4) запишем вероятность суммы трех совместных событий:

  (3.8)

Справедливость формул (3.4) и (3.8) наглядно иллюстрируются рисунками:

А      AB                

В

А

АС

В

АВ

AC  ABC  BC

C

Из выражения (3.4) можно получить формулу для вероятности произведения двух событий. Действительно:

   (3.9)

ПРИМЕР 3: Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

РЕШЕНИЕ: Обозначим события:  появление шестерки на первой кости,  на второй кости. Понятно, что эти события совместные, т.е. шестерка может выпасть как на первой, так и на второй кости.

  1.  Для вычислений воспользуемся формулой (3.4). Однако здесь возникла сложность, как вычислить вероятность произведения, т.е. вероятность того, что на каждой из двух костей выпали шестерки. По формуле классической вероятности, количество "удачных" комбинаций равно 1, а число всех равновозможных  комбинаций вычислим по правилу произведения (комбинаторика):

  1.  Рассмотрим другой способ решения, воспользовавшись следствием закона сложения вероятностей:

Независимость событий

Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем одно важное понятие: понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие  называется независимым от события , если вероятность события  не зависит от того, произошло событие  или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

ПРИМЕР 4:  Подбрасываются 2 монеты. Рассмотрим события:

– появления герба на первой монете;

– появление герба на второй монете.

РЕШЕНИЕ: Очевидно, событие  не зависит от того, произошло событие  или нет. Событие  независимо от события .

ПРИМЕР 5:  В урне два белых шара и один черный. Два человека последовательно вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Рассмотрим события:

– появление белого шара у первого человека,

 – появление белого шара у второго человека.

РЕШЕНИЕ: Вероятность события  равна 2/3. Если стало известно, что событие  произошло, то в урне осталось два шара, из которых только один белый. Тогда вероятность события  становится равной 1/2. Из этого заключаем, что событие  зависит от события .

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события  и обозначается: .

Для ПРИМЕРА 5:  

Теперь условие зависимости / независимости событий можно выразить математически. Если соотношение

     (3.10)

верно, то события и называются независимыми.

Если верно выражение

     (3.11)

то события и называются зависимыми.

Рассмотрим еще раз ПРИМЕР 5, это так называемая "урновая схема". В урне (закрытой емкости) находится белых и черных шаров. Два человека поочередно вынимают по одному шару из урны. Если реализуется схема без возвращения, то события – зависимые. Если реализуется схема с возвращением, после каждого опыта шар возвращается в урну, то события – независимые.

Теорема умножения вероятностей

Теорема 3. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

  (3.12)

Доказательство. Предположим, что из  всевозможных элементарных исходов событию  благоприятствуют  исходов, из которых  исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события  будет
условная вероятность события  относительно события  равна

Произведению событий  и  благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию , и событию  одновременно, т.е.  исходов. Поэтому вероятность произведения событий  и  равна

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим

.

Аналогично можно показать, что

Следствие 1. Если событие  не зависит от события , то и событие  не зависит от события .

Доказательство: Согласно условию, событие  не зависит от события , тогда с учетом (3.10) получим. Подставим это уравнение в формулу (3.12):

Таким образом, следствие доказано.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство: Для независимых событий условные вероятности равны безусловным, т.е.

ПРИМЕР 6:  Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора. За время t вероятность безотказной работы узлов соответственно равны: р1 = 0.8, р2 = 0.9,
р3 = 0.7. Какова надежность прибора (вероятность безотказной работы) за время t?

РЕШЕНИЕ:  Обозначим события:

безотказная работа прибора;

безотказная работа первого узла;

безотказная работа второго узла;

безотказная работа третьего узла.

Безотказная работа прибора обеспечивается независимой и безотказной работой каждого из трех узлов, т.е.: .

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

ПРИМЕР 7: Экзаменующимся по теории вероятностей было предложено 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных (не возвращая их). Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он подготовил лишь 30 билетов и в первый раз вынул "неудачный" билет?

РЕШЕНИЕ:  Испытание состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вынутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие  "в первый раз вынут "неудачный" билет",  "во второй раз вынут "удачный" билет". Очевидно, что события  и  зависимы, т.к. извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события  По формуле умножения вероятностей:

 тогда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26321. Основные этапы Нидерландской буржуазной революции и их характерные особенности 25.61 KB
  В рамках усилий по созданию стабильного и надёжного правительства Нидерландов Филипп назначил Маргариту Пармскую штатгальтером Нидерландов. Он продолжил политику своего отца при назначении членов высшего дворянства Нидерландов в Государственный совет руководящий орган семнадцати провинций. Тем не менее уже в 1558 году штаты провинций и генеральный штат Нидерландов стали противоречить пожеланиям Филиппа возражая против его налоговой политики и требуя вывода испанских войск с юга Нидерландов. Несмотря на это к 1570 году испанцы в целом...
26322. Образование Республики Соединённых провинций 15.94 KB
  Образование Республики Соединённых провинций. Здесь Утрехтская уния заложила основы республики. военный перевес Республики Соединенных провинций и ее союзников над Испанией побудил последнюю начать мирные переговоры которые завершились в 1609 г. знаменовало победоносное завершение революции на севере страны и возникновение там первой в истории Европы и всего мира буржуазной республики.
26323. Англия в XVI в. Причины и последствия огораживаний 44.57 KB
  Англия в XVI в: Для Англии XVI век был временем капиталистической мануфактуры аграрного переворота и основания первых английских колоний. суконное производство в Англии являлось основной отраслью промышленности не только в городах но и в деревнях и небольших местечках. Создавались местные промышленные центры в различных графствах Англии. Широкие и тонкие сукна производились на югозападе и в центре Англии Уилтшир Сомерсетшир Глостершир и Оксфордшир.
26324. Экономические и социальные предпосылки английской революции 32.48 KB
  К середине XVII в. Уже в начале XVII в. Обработка шерсти в начале XVII в. Номенклатура только главных видов шерстяных изделий насчитывала в первой половине XVII в.
26325. олитическая борьба в Англии при первых Стюартах 32.82 KB
  Политическая борьба в Англии при первых Стюартах. Большая европейская война в которой принимали участие прямо или косвенно почти все государства Европы была выгодна для Англии. При этом особенно большие выгоды приносила Англии торговля с Испанией. Томас Уентворт был возведен в пэры Англии получил титул графа Страффорда и был назначен председателем Совета по управлению Севером а в 1633 г.
26326. Созыв Долгого парламента и начало Английской революции. Конституционный этап революции 15.19 KB
  Созыв Долгого парламента и начало Английской революции. Короткий парламент Годы беспарламентского правления 16291640 гг. Военные неудачи и недостаток средств вынудили Карла I созвать парламент. Этот парламент работавший с 13 апреля по 5 мая 1640г.
26327. Первая гражданская война 1642-1646 г 19.56 KB
  В Англии открыто разделившейся на два лагеря: сторонников короля кавалеров и сторонников парламента круглоголовых В отличие от кавалеров они не носили длинных волос ниспадавших на плечи. Экономически отсталые и редко населенные графства Севера и Запада поддерживали короля богатые экономически наиболее развитые графства ЮгоВостока и Центральной Англии столь же единодушно выступили на стороне парламента. Феодальная знать со своими вассалами и дворовыми слугами государственная англиканская церковь придворные чиновники и связанные с...
26328. Политическая борьба в Англии после окончания первой гражданской войны. Левеллеры 38.23 KB
  В годы подъёма революции в армии и среди городских низов обозначилось и новое течение леввелеров уравнителей лидером которых стал Д. Победа над королём вызвала рост авторитета армии Оливера Кромвеля к которой население уже непосредственно обращалось с петициями жалобами прошениями игнорируя парламент. Помимо невзгод принесённых войной на страну обрушилась засуха у парламента не хватало денег на содержание армии и своевременную выплату жалования солдатам. Всё это а также нежелание пресвитериан продолжать революцию выразилось в...
26329. Вторая гражданская война 1648 г. И казнь Карла I 14.88 KB
  Эти переговоры с полностью себя дискредитировавшим монархом оживили крайние настроения в армии где было сильно влияние левеллеров и привели к обострению отношений с парламентом движение в армии целями которого были наказание короля и окончательное свержение монархии. 1 января 1649 года своим решением она объявляет короля главным виновником гражданской войны против парламента союзником ирландцев и шотландцев в борьбе с английским государством. 4 января палата общин принимает при закрытых дверях постановление передававшее ей всю полноту...