10954

Формула полной вероятности

Лекция

Математика и математический анализ

Формула полной вероятности Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события которое может произойти и...

Русский

2013-04-03

60.55 KB

27 чел.

Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти или не произойти вместе с одним из событий: , образующих полную группу несовместных событий, т.е.  
. Будем эти события называть гипотезами. В этом случае сформулируем формулу (теорему) полной вероятности.

Теорема 1. Вероятность события  равна сумме произведения вероятности гипотеза на соответствующую условную вероятность этого события:

   (4.1)

Доказательство:  Вспомним операции над событиями,

. Так-так , то и , т. е. события  и  также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий , т.е.  По теореме произведения вероятностей , откуда и следует формула (4.1). Теорема доказана.

ПРИМЕР 1:  Имеются три одинаковые урны:

  1.  В первой урне находятся два белых и один черный шар;
  2.  Во второй – три белых и один черный;
  3.  В третей – два белых и два черных.

Какова вероятность того, что некто подойдет и из произвольной урны вынимает белый шар?

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим 3 гипотезы:

выбор первой  урны;

выбор второй урны;

выбор третей урны.

Событие  вынут белый шар. Т.к. по условию задачи гипотезы равновозможны, то . Если случайно подойти к первой урне, то вероятность вытащить из нее белый шар равна . Рассуждая аналогичным образом, вычислим условные вероятности события  при этих гипотезах соответственно  По формуле полной вероятности (4.1) окончательно получим:

ПРИМЕР 2:  Представим себе странника, идущего из некоторого пункта  и на разветвлении дорог выбирающего наугад один из возможных путей. Какова вероятность того, что странник из пункта  попадет в пункт ?

РЕШЕНИЕ: Как видно из рисунка, странник обязательно проходит через один из пунктов  и . Обозначим  гипотезы, состоящие в том, что путник при своем движении попадет из пункта  в пункт . Очевидно, что события  и  образуют полную группу событий. Эти гипотезы (события) равновероятны, т.к. по условию задачи, странник наугад выбирает один из путей  или . Тогда  Из пункта  в  можно прийти лишь по одному из трех равновероятных направлений. Так что условная вероятность достичь  при условии  равна . Аналогично рассуждая, получим:  Теперь по формуле полной вероятности:

Теорема гипотез (Формула Байеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Сформулируем задачу.  Имеется полная группа несовместных событий (гипотез)  Вероятности этих гипотез известны и равны соответственно  Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие  Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Фактически нам необходимо найти условную вероятность  для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей (3.12) имеем:

Отсюда:

Окончательно получим:

  (4.2)

Выражая  с помощью формулы полной вероятности (4.1) получим формулу Байеса:

 (4.3)

ПРИМЕР 3:  Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных деталей и их надежность за время  равно 95 %. Приборы из обычных деталей за время  имеют надежность 0.7. Прибор испытан и за время  работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

РЕШЕНИЕ: Возможны 2 гипотезы:

прибор собран из высококачественных деталей;

прибор собран из обычных деталей.

Вероятность этих гипотез до опыта:  

В результате опыта наблюдалось событие  прибор безотказно работал время . Условные вероятности этого события при гипотезах  и  соответственно равны:

По формуле Байеса находим условную вероятность гипотезы :

ПРИМЕР 4:  В урне содержится три шара белого и черного цвета, причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате испытания из урны извлекли один шар. а) Сформулировать гипотезы о содержимом урны до испытания и указать их вероятности. б) Найти вероятности гипотез после испытания, состоящего в извлечении из урны белого шара.

РЕШЕНИЕ:

а) До испытания выскажем четыре попарно несовместимых и равновероятных гипотезы:

в урне 3 белых и 0 черных шаров;

в урне 2 белых и 1 черных шаров;

в урне 1 белых и 2 черных шаров;

в урне 0 белых и 3 черных шаров.

б) Т.к. извлечен белый шар – событие , то условные вероятности этого события соответственно равны:   По формуле Байеса вычислим:



ПРИМЕР 5:  Три организации представили в налоговую инспекцию отчеты для выборочной проверки. Первая организация представила 15 отчетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления отчетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0.9, 0.8, 0.85. Наугад был выбран один отчет, и он оказался правильным. Какова вероятность того, что этот отчет принадлежит второй организации?

РЕШЕНИЕ: Пусть  гипотезы, соответствующие выбору отчета у первой, второй и третьей организации. Вероятности гипотез равны:

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события  выбран правильно оформленный отчет

По формуле Байеса вычислим исходную вероятность:

Формула Байеса (4.2) называется формулой апостериорной (обратной) вероятности, т.к. в ней используется информация о произошедшем событии. Это позволяет корректировать уровень имеющейся априорной вероятности по мере поступления сведений о рассматриваемых событиях на основе проводимых экспериментов. Поэтому байесовский подход получил широкое распространение в статистических исследованиях.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51598. Энергетический обмен в клетке 64.5 KB
  Цель урока: раскрыть сущность энергетического обмена подвести учащихся к выводу о значении АТФ как универсального аккумулятора энергии в клетке. Учитель: Вспомните вещество связанное со всеми выписанными словами определите его роль в клетке Ученики: вспоминают АТФ и ее роль в клетке. Учитель: – Итак источником энергии для подавляющего большинства процессов в живых организмах является следующая реакция: АТФ Н2О = АДФ Н3РО4 Q 40 кДж – Известно что в среднем содержание АТФ в клетках составляет от 005 до 05 ее массы. Но...
51600. Интегрированный урок. Чтение и немецкий язык 38.5 KB
  Чтение и немецкий язык во 2ом классе. Сегодня у нас необычный урок потому что на одном уроке будет проходить немецкий язык и чтение. lso wir wiederhojen Повторение алфавита правил чтения Чтение слов: Tier drei Junge Jn jetzt Dch Brigitte Schule Bhn Op Mnn sgen sehen Mutter essen Biene Körper Tür Hnd froh Yter schön lng gro Text Om Mädchen Tnte. Коллективное чтение учащимися стихотворения Н.
51601. Урок позакласного читання «Як сонечко, рідна матінка» 102.5 KB
  Сухомлинського виставка книг малюнків дітей на тему Моя мамаслайди на пісню Н. Оголошення теми і мети уроку Мама матуся мати яким прекрасним світлом сповнені ці слова Вимовляючи їх пригадуєш материнську усмішку лагідність її очей ніжність серця. Підгірянка Слово мама вимовля. Мама Яке б’ється для дитини Мамонька Днями і ночами Мамуся Чи є в світі що дорожче Називаю тебе я Як мама кохана Рідна ненечко моя Що трудиться для дитини До ночі від рана Гарне слово.
51602. Тварини. Охорона тварин 73 KB
  Методи і форми: групова форма роботи асоціативний кущ Компетентність: інформаційна комунікативна соціальна творча. Привітання команд Пізнайки Творча компетентність Ми пі знайки молодці Залюбки читаєм. Розминка для команд Комунікативна компетентність Найбільша тварина на землі. Інформаційна компетентність У зайців хутро посвітлішало – близько зима.
51603. Учимся жить в мире и согласии 47 KB
  Тема: Учимся жить в мире и согласии Цель: Обобщить и расширить знания учащихся о таких понятиях как : друг дружба доброта справедливость ;активизировать словарь по этой теме; учить детей оценивать чувства и поступки сверстников в совместных ситуациях мотивировать . Оборудование: фонограмма песен Улыбка Настоящий друг эмблема кота Леопольда плакат Давайте жить дружно набор пословиц в конвертах для работы в парах законы дружбы на карточках сердечки из бумаги шкатулка. Ученики встают в круг и ...
51604. Узагальнення знань про написання ненаголошених е, и в корені слова 323.5 KB
  Узагальнення знань про написання ненаголошених е и в корені слова. Формувати вміння бачити орфограму в корені слова закріпити знання учнів про особливості перевірних слів і способах перевірки ненаголошених голосних; розвивати увагу мислення мовлення; мотивувати учнів на здоровий спосіб життя. Гра Мишка дірочку прогризла На дошці таблички з порожніми віконечками Впродовж уроку вчитель дописує пропущені букви в вирізані віконечка Діти читають слова. Будемо підбирати перевірні слова.
51605. Закріплення таблиці множення числа 2. Задачі на дві дії різного ступені. Безпека на дорозі. Причини небезпечних ситуацій на дорозі 64.5 KB
  А щоб урок пройшов не марно, треба сісти рівно й гарно. І протягом всього уроку стежити за своєю поставою. Дбати про своє здоровя. Бо у здоровому тілі - здоровий дух і будуть міцні знання.