10954

Формула полной вероятности

Лекция

Математика и математический анализ

Формула полной вероятности Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события которое может произойти и...

Русский

2013-04-03

60.55 KB

27 чел.

Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти или не произойти вместе с одним из событий: , образующих полную группу несовместных событий, т.е.  
. Будем эти события называть гипотезами. В этом случае сформулируем формулу (теорему) полной вероятности.

Теорема 1. Вероятность события  равна сумме произведения вероятности гипотеза на соответствующую условную вероятность этого события:

   (4.1)

Доказательство:  Вспомним операции над событиями,

. Так-так , то и , т. е. события  и  также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий , т.е.  По теореме произведения вероятностей , откуда и следует формула (4.1). Теорема доказана.

ПРИМЕР 1:  Имеются три одинаковые урны:

  1.  В первой урне находятся два белых и один черный шар;
  2.  Во второй – три белых и один черный;
  3.  В третей – два белых и два черных.

Какова вероятность того, что некто подойдет и из произвольной урны вынимает белый шар?

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим 3 гипотезы:

выбор первой  урны;

выбор второй урны;

выбор третей урны.

Событие  вынут белый шар. Т.к. по условию задачи гипотезы равновозможны, то . Если случайно подойти к первой урне, то вероятность вытащить из нее белый шар равна . Рассуждая аналогичным образом, вычислим условные вероятности события  при этих гипотезах соответственно  По формуле полной вероятности (4.1) окончательно получим:

ПРИМЕР 2:  Представим себе странника, идущего из некоторого пункта  и на разветвлении дорог выбирающего наугад один из возможных путей. Какова вероятность того, что странник из пункта  попадет в пункт ?

РЕШЕНИЕ: Как видно из рисунка, странник обязательно проходит через один из пунктов  и . Обозначим  гипотезы, состоящие в том, что путник при своем движении попадет из пункта  в пункт . Очевидно, что события  и  образуют полную группу событий. Эти гипотезы (события) равновероятны, т.к. по условию задачи, странник наугад выбирает один из путей  или . Тогда  Из пункта  в  можно прийти лишь по одному из трех равновероятных направлений. Так что условная вероятность достичь  при условии  равна . Аналогично рассуждая, получим:  Теперь по формуле полной вероятности:

Теорема гипотез (Формула Байеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Сформулируем задачу.  Имеется полная группа несовместных событий (гипотез)  Вероятности этих гипотез известны и равны соответственно  Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие  Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Фактически нам необходимо найти условную вероятность  для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей (3.12) имеем:

Отсюда:

Окончательно получим:

  (4.2)

Выражая  с помощью формулы полной вероятности (4.1) получим формулу Байеса:

 (4.3)

ПРИМЕР 3:  Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных деталей и их надежность за время  равно 95 %. Приборы из обычных деталей за время  имеют надежность 0.7. Прибор испытан и за время  работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

РЕШЕНИЕ: Возможны 2 гипотезы:

прибор собран из высококачественных деталей;

прибор собран из обычных деталей.

Вероятность этих гипотез до опыта:  

В результате опыта наблюдалось событие  прибор безотказно работал время . Условные вероятности этого события при гипотезах  и  соответственно равны:

По формуле Байеса находим условную вероятность гипотезы :

ПРИМЕР 4:  В урне содержится три шара белого и черного цвета, причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате испытания из урны извлекли один шар. а) Сформулировать гипотезы о содержимом урны до испытания и указать их вероятности. б) Найти вероятности гипотез после испытания, состоящего в извлечении из урны белого шара.

РЕШЕНИЕ:

а) До испытания выскажем четыре попарно несовместимых и равновероятных гипотезы:

в урне 3 белых и 0 черных шаров;

в урне 2 белых и 1 черных шаров;

в урне 1 белых и 2 черных шаров;

в урне 0 белых и 3 черных шаров.

б) Т.к. извлечен белый шар – событие , то условные вероятности этого события соответственно равны:   По формуле Байеса вычислим:



ПРИМЕР 5:  Три организации представили в налоговую инспекцию отчеты для выборочной проверки. Первая организация представила 15 отчетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления отчетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0.9, 0.8, 0.85. Наугад был выбран один отчет, и он оказался правильным. Какова вероятность того, что этот отчет принадлежит второй организации?

РЕШЕНИЕ: Пусть  гипотезы, соответствующие выбору отчета у первой, второй и третьей организации. Вероятности гипотез равны:

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события  выбран правильно оформленный отчет

По формуле Байеса вычислим исходную вероятность:

Формула Байеса (4.2) называется формулой апостериорной (обратной) вероятности, т.к. в ней используется информация о произошедшем событии. Это позволяет корректировать уровень имеющейся априорной вероятности по мере поступления сведений о рассматриваемых событиях на основе проводимых экспериментов. Поэтому байесовский подход получил широкое распространение в статистических исследованиях.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18131. Зниження роботи виходу плівкових катодів 179.1 KB
  Зниження роботи виходу плівкових катодів пояснюється таким чином. Розглянемо спочатку WCs катод. Як відомо у. Потенціал іонізації атому. Потенціальна діаграма системи WCs це має такий вигляд: На цьому рисунку адатом цезію знаходиться на великі
18132. Фотоелектронна емісія 247.05 KB
  Фотоелектронна емісія Фотоелектронна емісія або зовнішній фотоелектричний ефект це випромінювання електронів поверхнею твердого тіла або рідини під впливом падаючих на неї квантів світла. Фотоефект був відкритий Герцем у 1882 році. Осн...
18133. Автоелектронна емісія 449.19 KB
  Автоелектронна емісія Автоелектронною емісією називається емісія електронів яка обумовлена сильним електричним полем у поверхні твердого тіла. Цю емісію ще називають холодною емісією електростатичною емісією тунельною емісією. При розгляданні впливу на термо...
18134. Вплив електричного поля на поверхневу іонізацію (автоіонізація) 350.78 KB
  Вплив електричного поля на поверхневу іонізацію автоіонізація Експериментальні дослідження ПІ відразу показали що зовнішнє електричне поле якщо воно тягне іони тобто на катоді €œ€ а на колекторі іонів €œ€œ поліпшує процес іонної емісії: ступінь поверхне...
18135. Развитие волоконно-оптических систем в мире и на Украине 724.12 KB
  Лекция 1. Развитие волоконнооптических систем в мире и на Украине Основное направление в применении волоконнооптических систем – это создание и эксплуатация волоконных линий связи. Необходимость развития волоконнооптических линий связи ВОЛС была определена потр
18136. Геометрическая оптика световодов 1.5 MB
  Лекция 2. Геометрическая оптика световодов Световод представляет собой две диэлектрические среды – сердечник и оболочку. Электромагнитные колебания распространяются по сердечнику благодаря явлению полного внутреннего отражения ПВО. Условия прохождения луча чер
18137. Фокон, как один из элементов ВОЛС 501.69 KB
  Лекция 3. Фокон как один из элементов ВОЛС Как оптический элемент фокон имеет важное значение. Он может быть применен для согласования источника излучения и световода световода и фотоприемника соединения световодов разных диаметров между собой и в других функциона
18138. Волоконный световод как канал передачи информации. Затухание в оптических волокнах и кабелях 712.6 KB
  Лекция 4. Волоконный световод как канал передачи информации. Затухание в оптических волокнах и кабелях Процесс распространения электромагнитной волны в оптическом волокне можно анализировать методами геометрической оптики и методами волновой теории путем решен
18139. Дисперсия и параметры быстродействия световодов 155.6 KB
  Лекция 5. Дисперсия и параметры быстродействия световодов Одним из важных явлений процесса распространения импульсных сигналов по оптическим кабелям является дисперсия – рассеяние во времени спектральных или модовых составляющих оптического сигнала. В результате д...