10954

Формула полной вероятности

Лекция

Математика и математический анализ

Формула полной вероятности Следствием обеих основных теорем теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события которое может произойти и...

Русский

2013-04-03

60.55 KB

27 чел.

Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти или не произойти вместе с одним из событий: , образующих полную группу несовместных событий, т.е.  
. Будем эти события называть гипотезами. В этом случае сформулируем формулу (теорему) полной вероятности.

Теорема 1. Вероятность события  равна сумме произведения вероятности гипотеза на соответствующую условную вероятность этого события:

   (4.1)

Доказательство:  Вспомним операции над событиями,

. Так-так , то и , т. е. события  и  также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий , т.е.  По теореме произведения вероятностей , откуда и следует формула (4.1). Теорема доказана.

ПРИМЕР 1:  Имеются три одинаковые урны:

  1.  В первой урне находятся два белых и один черный шар;
  2.  Во второй – три белых и один черный;
  3.  В третей – два белых и два черных.

Какова вероятность того, что некто подойдет и из произвольной урны вынимает белый шар?

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим 3 гипотезы:

выбор первой  урны;

выбор второй урны;

выбор третей урны.

Событие  вынут белый шар. Т.к. по условию задачи гипотезы равновозможны, то . Если случайно подойти к первой урне, то вероятность вытащить из нее белый шар равна . Рассуждая аналогичным образом, вычислим условные вероятности события  при этих гипотезах соответственно  По формуле полной вероятности (4.1) окончательно получим:

ПРИМЕР 2:  Представим себе странника, идущего из некоторого пункта  и на разветвлении дорог выбирающего наугад один из возможных путей. Какова вероятность того, что странник из пункта  попадет в пункт ?

РЕШЕНИЕ: Как видно из рисунка, странник обязательно проходит через один из пунктов  и . Обозначим  гипотезы, состоящие в том, что путник при своем движении попадет из пункта  в пункт . Очевидно, что события  и  образуют полную группу событий. Эти гипотезы (события) равновероятны, т.к. по условию задачи, странник наугад выбирает один из путей  или . Тогда  Из пункта  в  можно прийти лишь по одному из трех равновероятных направлений. Так что условная вероятность достичь  при условии  равна . Аналогично рассуждая, получим:  Теперь по формуле полной вероятности:

Теорема гипотез (Формула Байеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Сформулируем задачу.  Имеется полная группа несовместных событий (гипотез)  Вероятности этих гипотез известны и равны соответственно  Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие  Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Фактически нам необходимо найти условную вероятность  для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей (3.12) имеем:

Отсюда:

Окончательно получим:

  (4.2)

Выражая  с помощью формулы полной вероятности (4.1) получим формулу Байеса:

 (4.3)

ПРИМЕР 3:  Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных деталей и их надежность за время  равно 95 %. Приборы из обычных деталей за время  имеют надежность 0.7. Прибор испытан и за время  работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

РЕШЕНИЕ: Возможны 2 гипотезы:

прибор собран из высококачественных деталей;

прибор собран из обычных деталей.

Вероятность этих гипотез до опыта:  

В результате опыта наблюдалось событие  прибор безотказно работал время . Условные вероятности этого события при гипотезах  и  соответственно равны:

По формуле Байеса находим условную вероятность гипотезы :

ПРИМЕР 4:  В урне содержится три шара белого и черного цвета, причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате испытания из урны извлекли один шар. а) Сформулировать гипотезы о содержимом урны до испытания и указать их вероятности. б) Найти вероятности гипотез после испытания, состоящего в извлечении из урны белого шара.

РЕШЕНИЕ:

а) До испытания выскажем четыре попарно несовместимых и равновероятных гипотезы:

в урне 3 белых и 0 черных шаров;

в урне 2 белых и 1 черных шаров;

в урне 1 белых и 2 черных шаров;

в урне 0 белых и 3 черных шаров.

б) Т.к. извлечен белый шар – событие , то условные вероятности этого события соответственно равны:   По формуле Байеса вычислим:



ПРИМЕР 5:  Три организации представили в налоговую инспекцию отчеты для выборочной проверки. Первая организация представила 15 отчетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления отчетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0.9, 0.8, 0.85. Наугад был выбран один отчет, и он оказался правильным. Какова вероятность того, что этот отчет принадлежит второй организации?

РЕШЕНИЕ: Пусть  гипотезы, соответствующие выбору отчета у первой, второй и третьей организации. Вероятности гипотез равны:

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события  выбран правильно оформленный отчет

По формуле Байеса вычислим исходную вероятность:

Формула Байеса (4.2) называется формулой апостериорной (обратной) вероятности, т.к. в ней используется информация о произошедшем событии. Это позволяет корректировать уровень имеющейся априорной вероятности по мере поступления сведений о рассматриваемых событиях на основе проводимых экспериментов. Поэтому байесовский подход получил широкое распространение в статистических исследованиях.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59260. Де Купало ночувало 43 KB
  Дівчата готують святкові строї хлопці приладдя для парубоцьких ігор старі жіночки випікають солодощі для гостини. За день до проведення свята пізно ввечері хлопці ховають у схованки сюрпризи для дівчат а дівчата мають знайти їх пізно ввечері перед закінченням свята.
59261. Малі олімпійські ігри 43.5 KB
  Ознайомити дітей з історією Олімпійських ігор; З культурою і традиціями Стародавньої Греції символікою Олімпійських ігор прапор факел; Поглибити знання дітей про видатних спортсменів України; Розвивати інтерес до пізнання історії спорту нашої країни...
59262. ПІСНЯ – ДУША НАРОДУ 55.5 KB
  Яке диво дивне народна пісня Яку владну силу таїть вона в собі Минають віки змінюються суспільні устрої потрясають світ нищівні війни і голодомори на зміну одним поколінням приходять інші у кожного свої смаки свої уподобання.
59263. Разработка внутрифирменных практик ускоренного развития Менеджеров отделений страховой компании «АЛИКО» в интересах лидерства в темпах роста 3.33 MB
  Значение страхования жизни для экономики Российской Федерации остается пока минимальным в связи с небольшим объемом рынка по страхованию жизни. Доля премий по страхованию жизни в ВВП по-прежнему снижается
59264. Сценарій спортивного вечора у початковій школі 32.5 KB
  Вчитель. Змагання буде проводити вчитель фізвиховання судитимуть змагання. Вчитель фізкультури. Вчитель фізкультури.
59265. Інсценізація за мотивами української народної казки Украдене щастя (Естрадна казка) 42.5 KB
  Відбувається на хуторі, біля ґрунтової дороги, неподалік від хати Газди. На дорозі через весь шлях велика холобина, де завжди грузнуть коні і вози, просто навпроти хати Газди.
59266. Розцвіла верба – прийшла справжня весна 30 KB
  Ми чекаємо коли весна прижене холод устелить землю травичкою уквітчає квітами а пташки наповнять ліс веселими співами. Весела гарна кучерява маленька дівчинка Весна Біжить сміється сіє трави І пісня ллється голосна.
59267. Сценарій проведення спортивного свята 35 KB
  Дорога класна родино гості Сьогодні як і щорічно ми зібралися на наше улюблене фізкультурнохудожнє свято щоб позмагатись у силі спритності і просто відпочити. Вчитель фізкультури: Учасники змагань слухайте мою команду.