10955

Повторение испытаний (Схема Бернулли)

Лекция

Математика и математический анализ

Повторение испытаний Схема Бернулли Если производится несколько испытаний опытов причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний то такие испытания называются независимыми относительно события . В схеме Я. Бернулли рассматр

Русский

2013-04-03

90.31 KB

50 чел.

Повторение испытаний (Схема Бернулли)

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события  в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события .

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из  независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события  (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна
– постоянна и не зависит от номера испытаний. Следовательно, вероятность неуспеха  тоже постоянна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при  испытаниях событие  осуществится ровно  раз и, следовательно, не осуществится  раз (см. рис.):

По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность будет равна:

  (5.1)

Однако интересующее нас событие ( успехов при  опытах) может произойти не только одним способом. Число возможных вариантов (комбинаций) выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

Окончательно получим:

   (5.2)

Это и есть формула Бернулли (Биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

   (5.3)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (5.2) следует:

(5.4)

Очевидно этот же результат получится, если вспомнить, что для
получим полную группу событий, вероятность которой равна 1.

ПРИМЕР 1:  В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0.5, найдем вероятность того, что в семье имеются 0, 1, ..., 10 мальчиков.

РЕШЕНИЕ: Отметим, что в силу предположения  и равенства  имеют место равенства:  Отсюда получим:

В многодетной семье с десятью детьми мальчиков и девочек будет поровну с вероятностью ~ 0.25. Вероятность того, что в семье будут дети одного пола (мальчики или девочки) – чуть меньше одной пятисотой.

Введем следующее обозначение, пусть  означает вероятность того, что в  испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем  раз, и не более чем  раз . Т.к. события, соответствующие различному числу успехов попарно несовместны, то имеет место формула:

   (5.5)

Вероятность  того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:

  (5.6)

На рис.5.1 приведен типичный график биномиального распределения для

Необходимо найти  наивероятнейшее число успехов, т.е. такое , вероятность которого максимальна.

Запишем условия максимума вероятности:

Рис. 5.1. График вероятностей биномиального распределения (p=0.5; n=20)

Запишем неравенства  и  в явном виде:

  1.  

;

  1.  

;

Учитывая оба неравенства, окончательно получим:

.     (5.7)

В  испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха  наиболее вероятным числом успехов является

  1.  единственное число  если число  не целое;
  2.  два числа  и , если число  целое;

При достаточно большом числе испытаний ( из выражения (5.7) получим – (вспомним частотное определение вероятности).

При больших значениях  наиболее вероятная относительная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР 2:  Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода . Вероятность перерасхода . Искомая вероятность по формуле Бернулли:

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли.

Производим  независимых испытаний, каждое из которых имеет  
попарно несовместных и единственно возможных исходов, которые обозначим  События  составляют полную группу событий. Вероятности наступления каждого события  в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел  таких, что , определим вероятность  того, что при
 испытаниях исход  наступит ровно  раз, исход   раз и т.д., исход  произойдет  раз:

  (5.8)

Это и есть полиномиальное распределение.

ПРИМЕР 3:  Игральная кость подбрасывается 15 раз. Какова вероятность события – выпало ровно десять шестерок и три единицы?

РЕШЕНИЕ: Вероятности выпадения шестерки и единицы равны , а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна . Тогда вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и 2 других очка равна:

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравнительно небольшом числе испытаний  При больших значениях  пользоваться этой формулой неудобно. Еще большая проблема возникает, если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность успеха мала.

Пусть  так, что  Тогда для любого  вероятность получить  успехов в  испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха  стремится к величине

  (5.9)

При решении конкретных задач понятия число испытаний - велико и вероятность успеха - мала – субъективные. В этом случае можно воспользоваться оценкой погрешности формулы Пуассона:

 (5.10)

ПРИМЕР 3:  На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0.0001. Какова вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три битых бутылки?

РЕШЕНИЕ: Воспользуемся формулой Пуассона, учитывая, что

По формуле (5.10) вычислим погрешность, которая не превышает , т.о. искомая вероятность не превысит 0.0085.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52422. Дії з натуральними числами 63 KB
  Обладнання: сніжинка переможець проведеного напередодні конкурсу ялинка іграшкиналіпки картина Святий Миколай. Головним його атрибутом є новорічна ялинка. 4м і 6м Яка гарна ялинка виходить У кожного вдома теж буде ялинка. Назва роботи Урокгра математики в 5 класі Новорічна ялинка П.
52423. Загальна характеристика Членистоногих 115.5 KB
  Загальна характеристика Членистоногих Мета уроку: ознайомити із загальними рисами типу; відмітити ускладнення організації членистоногих порівняно з кільчаками; зясувати їхнє походження; розкрити різноманітність членистоногих їхню роль у природі та житті людини; формувати навички роботи з текстом підручника вміння виділяти головне порівнювати робити висновки; розвивати пізнавальні пошукові та творчі можливості учнів під час створення проектів розвивати вміння презентувати власну роботу; формувати основи екологічного мислення Тип уроку:...
52424. Chocolate is good for you 94.5 KB
  INTRODUCTION t the lesson we re going to tlk with you bout chocolte nd its role nd plce in our life.CHOCOLTE: Wlk round the clss nd tlk to other students bout chocolte. studies fntstic news reserch diet hert ttcks milk chocolte risks suffering stroke nutrition blood pressure weight gin clories sweets snck Hve cht bout the topics you liked.
52425. Чорнобиль не має минулого. Історія Чорнобильської трагедії крізь призму української літератури 72.5 KB
  Історія Чорнобильської трагедії крізь призму української літератури Мета: розширити знання дітей про Чорнобильську трагедію розповісти про ліківідаторів аварії на Чорнобильській АЕС розкрити трагедію ЧАЕС через твори українських письменників; розвивати вміння школярів аналізувати та узагальнювати навчальну інформацію вміння виразно декламувати артистичні здібності; виховувати співчуття до чужого болю любов до рідного краю природи; виховувати людяність доброту згуртованість. Драч Чорнобильська мадонна М. І тихо ступає життя у полин...
52427. Чорнобиль – найбільша трагедія світу 50 KB
  Досліджуючи солі урану він виявив що уран випромінює невидимі промені. фізик і хімік Петербурзької Академії наук невидимі промені назвала радіоактивними а явище випромінювання радіоактивністю. У забруднених зонах спостерігаються масові аномалії тому що радіонукліди потрапивши в організм людини випромінюють радіоактивні промені які руйнують клітини. випромінювання це потік позитивно заряджених частинок з масою атома Гелію промені це потік негативно заряджених електронів це потік електромагнітних хвиль подібних до звичайного...
52429. Розпад Радянського Союзу і проголошення незалежності України. (1985 -1991 рр.) 63 KB
  Тип проекту: міжпредметний дослідницько інформаційний творчий груповий. Стадії здійснення проекту: 1. На основі отриманих результатів попередньої підготовки учителі предметники формулюють пізнавальне завдання учасникам проекту виконання яких буде очікуваним результатом та кінцевим продуктом проекту. Повідомляє що проект буде нестандартним оскільки учасникам проекту доведеться проявити свої знання не лише з історії а й з інших наук навчальних предметів.
52430. Систематизація та узагальнення знань учнів з теми “Чотирикутник” 296 KB
  Узагальнити і систематизувати знання учнів про чотирикутники, їх властивості та ознаки. Відпрацьовувати практичні уміння та навички використовувати набуті знання, формувати вміння раціонально використовувати час. Розвивати логічне мислення, вміння аналізувати, робити висновки, геометричну уяву.