10955

Повторение испытаний (Схема Бернулли)

Лекция

Математика и математический анализ

Повторение испытаний Схема Бернулли Если производится несколько испытаний опытов причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний то такие испытания называются независимыми относительно события . В схеме Я. Бернулли рассматр

Русский

2013-04-03

90.31 KB

50 чел.

Повторение испытаний (Схема Бернулли)

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события  в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события .

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из  независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события  (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна
– постоянна и не зависит от номера испытаний. Следовательно, вероятность неуспеха  тоже постоянна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при  испытаниях событие  осуществится ровно  раз и, следовательно, не осуществится  раз (см. рис.):

По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность будет равна:

  (5.1)

Однако интересующее нас событие ( успехов при  опытах) может произойти не только одним способом. Число возможных вариантов (комбинаций) выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

Окончательно получим:

   (5.2)

Это и есть формула Бернулли (Биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

   (5.3)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (5.2) следует:

(5.4)

Очевидно этот же результат получится, если вспомнить, что для
получим полную группу событий, вероятность которой равна 1.

ПРИМЕР 1:  В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0.5, найдем вероятность того, что в семье имеются 0, 1, ..., 10 мальчиков.

РЕШЕНИЕ: Отметим, что в силу предположения  и равенства  имеют место равенства:  Отсюда получим:

В многодетной семье с десятью детьми мальчиков и девочек будет поровну с вероятностью ~ 0.25. Вероятность того, что в семье будут дети одного пола (мальчики или девочки) – чуть меньше одной пятисотой.

Введем следующее обозначение, пусть  означает вероятность того, что в  испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем  раз, и не более чем  раз . Т.к. события, соответствующие различному числу успехов попарно несовместны, то имеет место формула:

   (5.5)

Вероятность  того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:

  (5.6)

На рис.5.1 приведен типичный график биномиального распределения для

Необходимо найти  наивероятнейшее число успехов, т.е. такое , вероятность которого максимальна.

Запишем условия максимума вероятности:

Рис. 5.1. График вероятностей биномиального распределения (p=0.5; n=20)

Запишем неравенства  и  в явном виде:

  1.  

;

  1.  

;

Учитывая оба неравенства, окончательно получим:

.     (5.7)

В  испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха  наиболее вероятным числом успехов является

  1.  единственное число  если число  не целое;
  2.  два числа  и , если число  целое;

При достаточно большом числе испытаний ( из выражения (5.7) получим – (вспомним частотное определение вероятности).

При больших значениях  наиболее вероятная относительная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР 2:  Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода . Вероятность перерасхода . Искомая вероятность по формуле Бернулли:

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли.

Производим  независимых испытаний, каждое из которых имеет  
попарно несовместных и единственно возможных исходов, которые обозначим  События  составляют полную группу событий. Вероятности наступления каждого события  в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел  таких, что , определим вероятность  того, что при
 испытаниях исход  наступит ровно  раз, исход   раз и т.д., исход  произойдет  раз:

  (5.8)

Это и есть полиномиальное распределение.

ПРИМЕР 3:  Игральная кость подбрасывается 15 раз. Какова вероятность события – выпало ровно десять шестерок и три единицы?

РЕШЕНИЕ: Вероятности выпадения шестерки и единицы равны , а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна . Тогда вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и 2 других очка равна:

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравнительно небольшом числе испытаний  При больших значениях  пользоваться этой формулой неудобно. Еще большая проблема возникает, если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность успеха мала.

Пусть  так, что  Тогда для любого  вероятность получить  успехов в  испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха  стремится к величине

  (5.9)

При решении конкретных задач понятия число испытаний - велико и вероятность успеха - мала – субъективные. В этом случае можно воспользоваться оценкой погрешности формулы Пуассона:

 (5.10)

ПРИМЕР 3:  На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0.0001. Какова вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три битых бутылки?

РЕШЕНИЕ: Воспользуемся формулой Пуассона, учитывая, что

По формуле (5.10) вычислим погрешность, которая не превышает , т.о. искомая вероятность не превысит 0.0085.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81198. Синтоизм как национальная религия Японии 24.16 KB
  Императорский двор стал руководить деятельностью главных синтоистских храмов; наиболее важные обряды стал совершать император объявленный в 7 в. буддизм играл преобладающую роль в религиозной жизни страны многие японцы стали исповедовать две религии. постепенно стал восстанавливать своё влияние и несколько модернизировал своё учение.
81199. Вероучение и культ синтоизма 22.07 KB
  Священными книгами синтоизма считаются Кодзики и Нихон секи. Кодзики содержит мифы космогонического и героического характера. Нихон секи представляет собой в основном японские исторические хроники есть там и мифы о происхождении мира и Японии частично повторяющие сюжеты Кодзики.
81200. Специфика зороастризма 22.95 KB
  Выделяют два самых важных божества: Ахура Мазда светлое божество олицетворявшее мудрость правду и Ангра Манью тёмный бог. прежде всего почитался АхураМазда осознававшийся как Богтворец воплощение и носитель блага. Демонов противостоящих ахурам возглавляет главный носитель зла АнхраМанью. Борьба Ахура Мазды и Анхра Манью изначальна бескомпромиссна и каждый человек должен занять свою личную позицию в ней.
81201. История формирования иудаизма 26.17 KB
  Выделяют различные периоды формирования и развития иудаизма. Возникновение иудаизма как религии принято связывать с именем Моисея получивший на горе Синай через Откровение десять заповедей образовавших основу монотеизма и религиозной этики. формируются основные черты иудаизма: строгий монотеизм централизация культа канонизация священных книг появлению веры в сверхъестественную помощь для освобождения от угнетателей и веры в избавителямессию.
81202. Догматы и культ иудаизма 26.33 KB
  Центральная доктрина иудаизма вера в единого Бога который бессмертен вечен всемогущ вездесущ и безграничен. В соответствии с нормами иудаизма верующий поддерживает связь с Богом через молитву а божья воля открывается человеку через Танах.
81203. Структура Ветхого завета в иудаизме 22.12 KB
  Книги Ветхого Завета были написаны в период с XIII по I в. Ветхий Завет состоит из следующих книг: 1 Книги закона Тора Учение или Пятикнижие Моисеево составление книг приписывается Моисею: Бытие сотворение мира и человека рай первые люди грехопадение размножение человечества всемирный потоп Ной патриархи родоначальники еврейского народа Авраам Исаак Иаков Иосиф с братьями поселение евреев в Египте; Исход Моисей 10 заповедей освобождение из плена; Левит религиозное законодательство; Числа законодательство и...
81204. Формирование ислама. Жизнь и деятельность Мухаммеда 25.03 KB
  Жизнь и деятельность Мухаммеда. Политическое и религиозное движение возглавил пророк Мухаммед. Мухаммед родился в 570 г. Мать Амина по обычаю мекканцев отдала Мухаммеда кормилицебедуинке у которой он рос до 5 лет.
81205. Вероучение ислама 24.39 KB
  Иман или вера включает: Веру в Единого Бога Аллаха. Веру в Ангелов и демонов. 3Веру в Святые Писания и в святость Корана который считается словом божьим божественным откровением которое передавал Аллах в виде видений Мухаммеду в течение 22 лет т. 4Веру в Пророков и в посланничество Мухаммеда.
81206. Коран – священная книга ислама 24.8 KB
  Главным источником веры является Коран священная книга мусульман состоящая из притч молитв и проповедей Мухаммеда. спустя почти два десятилетия после смерти пророка был составлен свод Коран чтение другие названия: китаб книга зикр предостережение . Святость Корана обусловлена тем что изречения пророку диктовал архангел Джебраил на протяжении 22 лет доносивший слова самого БогаАллаха. эти откровения составили канонический текст Корана который дошел до наших дней в неизменном виде.