10955

Повторение испытаний (Схема Бернулли)

Лекция

Математика и математический анализ

Повторение испытаний Схема Бернулли Если производится несколько испытаний опытов причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний то такие испытания называются независимыми относительно события . В схеме Я. Бернулли рассматр

Русский

2013-04-03

90.31 KB

50 чел.

Повторение испытаний (Схема Бернулли)

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события  в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события .

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из  независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события  (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна
– постоянна и не зависит от номера испытаний. Следовательно, вероятность неуспеха  тоже постоянна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при  испытаниях событие  осуществится ровно  раз и, следовательно, не осуществится  раз (см. рис.):

По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность будет равна:

  (5.1)

Однако интересующее нас событие ( успехов при  опытах) может произойти не только одним способом. Число возможных вариантов (комбинаций) выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

Окончательно получим:

   (5.2)

Это и есть формула Бернулли (Биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

   (5.3)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (5.2) следует:

(5.4)

Очевидно этот же результат получится, если вспомнить, что для
получим полную группу событий, вероятность которой равна 1.

ПРИМЕР 1:  В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0.5, найдем вероятность того, что в семье имеются 0, 1, ..., 10 мальчиков.

РЕШЕНИЕ: Отметим, что в силу предположения  и равенства  имеют место равенства:  Отсюда получим:

В многодетной семье с десятью детьми мальчиков и девочек будет поровну с вероятностью ~ 0.25. Вероятность того, что в семье будут дети одного пола (мальчики или девочки) – чуть меньше одной пятисотой.

Введем следующее обозначение, пусть  означает вероятность того, что в  испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем  раз, и не более чем  раз . Т.к. события, соответствующие различному числу успехов попарно несовместны, то имеет место формула:

   (5.5)

Вероятность  того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:

  (5.6)

На рис.5.1 приведен типичный график биномиального распределения для

Необходимо найти  наивероятнейшее число успехов, т.е. такое , вероятность которого максимальна.

Запишем условия максимума вероятности:

Рис. 5.1. График вероятностей биномиального распределения (p=0.5; n=20)

Запишем неравенства  и  в явном виде:

  1.  

;

  1.  

;

Учитывая оба неравенства, окончательно получим:

.     (5.7)

В  испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха  наиболее вероятным числом успехов является

  1.  единственное число  если число  не целое;
  2.  два числа  и , если число  целое;

При достаточно большом числе испытаний ( из выражения (5.7) получим – (вспомним частотное определение вероятности).

При больших значениях  наиболее вероятная относительная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР 2:  Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода . Вероятность перерасхода . Искомая вероятность по формуле Бернулли:

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли.

Производим  независимых испытаний, каждое из которых имеет  
попарно несовместных и единственно возможных исходов, которые обозначим  События  составляют полную группу событий. Вероятности наступления каждого события  в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел  таких, что , определим вероятность  того, что при
 испытаниях исход  наступит ровно  раз, исход   раз и т.д., исход  произойдет  раз:

  (5.8)

Это и есть полиномиальное распределение.

ПРИМЕР 3:  Игральная кость подбрасывается 15 раз. Какова вероятность события – выпало ровно десять шестерок и три единицы?

РЕШЕНИЕ: Вероятности выпадения шестерки и единицы равны , а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна . Тогда вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и 2 других очка равна:

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравнительно небольшом числе испытаний  При больших значениях  пользоваться этой формулой неудобно. Еще большая проблема возникает, если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность успеха мала.

Пусть  так, что  Тогда для любого  вероятность получить  успехов в  испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха  стремится к величине

  (5.9)

При решении конкретных задач понятия число испытаний - велико и вероятность успеха - мала – субъективные. В этом случае можно воспользоваться оценкой погрешности формулы Пуассона:

 (5.10)

ПРИМЕР 3:  На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0.0001. Какова вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три битых бутылки?

РЕШЕНИЕ: Воспользуемся формулой Пуассона, учитывая, что

По формуле (5.10) вычислим погрешность, которая не превышает , т.о. искомая вероятность не превысит 0.0085.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30706. Новая социалистическая «волна» в Западной Европе: приход к власти лейбористов в Великобритании, социалистов во Франции, социал-демократов в Германии (опыт 1990-х гг.) 27.5 KB
  Германия В Западной Германии СоцДемокрПартГерм выиграла выборы в ФРГ в 1969 и находилась у власти до 1982 правительства в эти годы возглавлял Вилли Брандт а затем с 1974 Гельмут Шмидт. Вначале СДПГ выступала против перевооружения Западной Германии и вступления её в НАТО но впоследствии её позиция резко изменилась. В советском секторе оккупации где впоследствии была провозглашена ГДР СДПГ и Коммунистическая партия Германии объединились в Социалистическую единую партию Германии.
30707. Буржуазно-демократические революции в Германии, Австрии, Венгрии (1918): общее и особенное 23.5 KB
  Вслед за Германией буржуазнодемократические революции начались в Австрии и Венгрии что привело к свержению монархии и провозгласило республику во главе с коалиционным правительством и с буржуазнодемократическими правами и свободами. В Венгрии была объявлена республика а потом ее провозгласили Советской республикой по примеру России но она не сумела удержать власть и распалась в 1919 г. в Венгрии была установлена авторитарная диктатура и она была провозглашена монархическим государством.
30708. Политика правящих кругов и усиление левой оппозиции во Франции (1919 – 1923 гг.) 22.5 KB
  В отношении рабочего класса применялась политика уступок которые чередовались репрессиями. Политика правящих кругов также отразилась и на политическом уровне впервые были проведены выборы в парламент и объединение в Национальный блок целью которого стала борьба с большевизмом.
30709. Проблемы антифашистской борьбы в Европе 1920 – 1930 гг 23.5 KB
  В 1935 во Франции был создан Народный фронт в состав которого вошли как коммунистические и социалистические партии так и левобуржуазные политические организации. Народный фронт представляет собой политический союз который как правило объединяет левые и центральные силы для осуществления противодействия правым силам представителей власти. Основной целью возникновения народных фронтов стала борьба за защиту экономических интересов рабочего класса и противопоставление войне и фашизму. Самый первый народный фронт был образован во...
30710. Основные тенденции и итоги развития Европейского Сообщества в 1990-е 23.5 KB
  ЕЕА провозгласил создание Европейского Союза на основе существующих Сообществ и углубление компетенции союза ЕС в области координации экономической валютной социальной политики социальноэкономического сплочения исследований и технологического развития защиты окружающей среды а также развитие европейского сотрудничества в области внешней политики. Амстердамский договор 1997 подтвердил основные цели Союза и дополнил раздел общей внешней политики и политики безопасности. При анализе политики Европейского Союза...
30711. Создание и основные направления деятельности антигитлеровской коалиции 24 KB
  Черчилль и США Рузвельт заявили о своем желании оказать помощь Сов. Великобритания и США подписывают Атлантическую Хартию о совместных действиях против Гитлера СССР присоединилась к ней. Нападение Японии на США ускорило формирование Антигитлеровской коалиции. В декабре 1941 США официально вступает во 2у мировую войну.
30712. Парижская мирная конференция и ее решения. Версальский мирный договор 24 KB
  Возглавлял конференцию Климансо присутствовали лидеры ведущих стран ЛлойдДжордж Великобритания Вильсон США и др. Но главные решения принимались в узком кругу сначала пяти государств Франция Великобритания США Италия Япония а затем только трех Франции Великобритании США таким образом сохранялась практика тайной дипломатии т. Американский конгресс не утвердил вступление США в эту организацию. Франция и Италия за военное давление на Сов России; Великобритания и США более осторожны за переговоры.
30713. США динамика развития в двухполюсном мире 31 KB
  Вторая мировая война стимулировала быстрое экономическое развитие США. Изменилась отраслевая структура экономики США успешнее решались проблемы занятости населения. В первые послевоенные годы в США была успешно проведена конверсия военного производства. С конца 40х годов устойчивый и непрерывный экономический рост стал отличительной особенностью функционирования экономической системы США.
30714. Противоречия Версальско-Вашингтонской системы международных отношений 26.5 KB
  Франция требовала вернуть им Эльзас и Лотарингию установить контроль за промышленным Рурским районом претендовали на германские колонии в Африке и Средиземноморье и т. Великобритания хотели сохранить единство Германии установив контроль над её экономикой.