10955

Повторение испытаний (Схема Бернулли)

Лекция

Математика и математический анализ

Повторение испытаний Схема Бернулли Если производится несколько испытаний опытов причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний то такие испытания называются независимыми относительно события . В схеме Я. Бернулли рассматр

Русский

2013-04-03

90.31 KB

50 чел.

Повторение испытаний (Схема Бернулли)

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события  в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события .

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из  независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события  (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна
– постоянна и не зависит от номера испытаний. Следовательно, вероятность неуспеха  тоже постоянна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при  испытаниях событие  осуществится ровно  раз и, следовательно, не осуществится  раз (см. рис.):

По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность будет равна:

  (5.1)

Однако интересующее нас событие ( успехов при  опытах) может произойти не только одним способом. Число возможных вариантов (комбинаций) выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

Окончательно получим:

   (5.2)

Это и есть формула Бернулли (Биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

   (5.3)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (5.2) следует:

(5.4)

Очевидно этот же результат получится, если вспомнить, что для
получим полную группу событий, вероятность которой равна 1.

ПРИМЕР 1:  В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0.5, найдем вероятность того, что в семье имеются 0, 1, ..., 10 мальчиков.

РЕШЕНИЕ: Отметим, что в силу предположения  и равенства  имеют место равенства:  Отсюда получим:

В многодетной семье с десятью детьми мальчиков и девочек будет поровну с вероятностью ~ 0.25. Вероятность того, что в семье будут дети одного пола (мальчики или девочки) – чуть меньше одной пятисотой.

Введем следующее обозначение, пусть  означает вероятность того, что в  испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем  раз, и не более чем  раз . Т.к. события, соответствующие различному числу успехов попарно несовместны, то имеет место формула:

   (5.5)

Вероятность  того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:

  (5.6)

На рис.5.1 приведен типичный график биномиального распределения для

Необходимо найти  наивероятнейшее число успехов, т.е. такое , вероятность которого максимальна.

Запишем условия максимума вероятности:

Рис. 5.1. График вероятностей биномиального распределения (p=0.5; n=20)

Запишем неравенства  и  в явном виде:

  1.  

;

  1.  

;

Учитывая оба неравенства, окончательно получим:

.     (5.7)

В  испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха  наиболее вероятным числом успехов является

  1.  единственное число  если число  не целое;
  2.  два числа  и , если число  целое;

При достаточно большом числе испытаний ( из выражения (5.7) получим – (вспомним частотное определение вероятности).

При больших значениях  наиболее вероятная относительная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР 2:  Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода . Вероятность перерасхода . Искомая вероятность по формуле Бернулли:

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли.

Производим  независимых испытаний, каждое из которых имеет  
попарно несовместных и единственно возможных исходов, которые обозначим  События  составляют полную группу событий. Вероятности наступления каждого события  в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел  таких, что , определим вероятность  того, что при
 испытаниях исход  наступит ровно  раз, исход   раз и т.д., исход  произойдет  раз:

  (5.8)

Это и есть полиномиальное распределение.

ПРИМЕР 3:  Игральная кость подбрасывается 15 раз. Какова вероятность события – выпало ровно десять шестерок и три единицы?

РЕШЕНИЕ: Вероятности выпадения шестерки и единицы равны , а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна . Тогда вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и 2 других очка равна:

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравнительно небольшом числе испытаний  При больших значениях  пользоваться этой формулой неудобно. Еще большая проблема возникает, если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность успеха мала.

Пусть  так, что  Тогда для любого  вероятность получить  успехов в  испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха  стремится к величине

  (5.9)

При решении конкретных задач понятия число испытаний - велико и вероятность успеха - мала – субъективные. В этом случае можно воспользоваться оценкой погрешности формулы Пуассона:

 (5.10)

ПРИМЕР 3:  На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0.0001. Какова вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три битых бутылки?

РЕШЕНИЕ: Воспользуемся формулой Пуассона, учитывая, что

По формуле (5.10) вычислим погрешность, которая не превышает , т.о. искомая вероятность не превысит 0.0085.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38570. Анализ сортамента и марки сталей прокатываемых на стане 1200 на ООО «ВИЗ-Сталь» 832.5 KB
  Назначение: обработка полосы анизотропной трансформаторной стали с целью улучшения электромагнитных характеристик материала. при остановке обработки рулона вызванной технологической необходимостью удаление дефектов выравнивание полосы и т. при выполнении операций допускается наличие участков полосы с двойной лазерной обработкой. Заправка полосы должна производиться путем протяжки ее от разматывателя через механизмы и системы роликов на толчковом режиме и заправочной скорости только клещами.
38571. Роль античных аллюзий в произведениях Хильды Дулиттл 375.5 KB
  Творчество Хильды Дулиттл. Роль и функции античных аллюзий в поэзии Хильды Дулиттл. Античные мотивы в сборнике стихов Хильды Дулиттл Морской сад . Дулиттл.
38573. Разработка брендбука новой организации (на примере кофейни «Coffee Shop») 348 KB
  Понятия брендбука и фирменного стиля.2 Разработка фирменного стиля кофейни Coffee Shop.3 Оценка эффективности разработанного фирменного стиля и брендбука. Однако мало просто разработать фирменный стиль для достижения максимального взаимодействия между рекламистами маркетологами дизайнерами и прочими сотрудниками необходимо создать документ содержащий в себе основные константы фирменного стиля макеты рекламной и сувенирной продукции а так же объектов документооборота.
38574. РАЗРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПО ОБСЛУЖИВАНИЮ КЛИЕНТОВ СОЛ «РОВЕСНИК» 2.8 MB
  Язык программирования Object Pscl Среда разработки Delhi 7 СУБД SQL Нормативно-техническая документация Перечень вопросов подлежащих разработке Анализ требований Изучение и анализ предметной области задачи Разработка функциональной модели Как есть Разработка функциональной модели Как надо Обзор существующих решений Разработка технического задания Проектирование системы Построение логической модели БД Построение физической модели БД Разработка проекта системы...
38575. Исследование зрительной памяти дошкольников с интеллектуальной недостаточностью 10.18 MB
  ГЕРЦЕНА факультет коррекционной педагогики кафедра олигофренопедагогики Иванова Алёна Анатольевна Исследование зрительной памяти дошкольников с интеллектуальной недостаточностью. Литературный обзор проблемы формирования зрительной памяти у детей с интеллектуальной недостаточностью в психологопедагогической литературе 730 1.Вопросы изучения зрительной памяти в специальной литературе.Особенности нарушений зрительной памяти у детей дошкольного возраста с интеллектуальной недостаточностью .
38576. УДОСКОНАЛЕННЯ ГОСПОДАРСЬКОЇ ДІЯЛЬНОСТІ НА ДП «САРНЕНСЬКЕ ЛІСОВЕ ГОСПОДАРСТВО» 1.81 MB
  Комплексний аналіз діяльності підприємства.46 Аналіз фінансового стану підприємства.46 Аналіз персоналу підприємства58 Аналіз виробничого процесу на ДП Сарненське лісове господарство. Ринкова економіка формує нові вимоги до підприємства і його працівників.
38577. Анализ и совершенствование комплекса маркетинга на многофункциональном предприятии ООО Альфа Спа группа компаний ВНИИМИ 1.82 MB
  В комплекс маркетинга входит все, что фирма может предпринять для оказания воздействия на спрос своего товара. Многочисленные возможности можно объединить в четыре основные группы: товар, цена, методы распространения и стимулирования. Это четыре ключевых параметра, по которым и анализируется деятельность предприятия.
38578. Процессы формирования логистической стратегии управления закупками ООО «Политех-Инструмент» 1.61 MB
  От эффективной организации и управления процессом закупок во многом зависит финансовый успех большинства компаний работающих как в сфере производства так и в сфере услуг поскольку рациональное планирование величины закупок и запасов материальных ресурсов оказывает прямое влияние на цели стратегии компании и результаты ее выполнения. В процессе функционирования предприятия могут возникать дефициты запасов материальных ресурсов сырья материалов полуфабрикатов. Таким образом рациональное планирование величины закупок и запасов...