10956

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Лекция

Математика и математический анализ

Локальная теорема МуавраЛапласа Несмотря на элементарность формулы Бернулли при большом числе испытаний непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой погрешностью. Разрешить эту проблему поможет локальная теорема МуавраЛапласа:

Русский

2013-04-03

65.77 KB

67 чел.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли  при большом числе испытаний  непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Разрешить эту проблему поможет локальная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от  и , то вероятность  того, что событие  произойдет  раз в  независимых испытаниях при достаточно большом числе , приближенно равна

      (6.1)

где    , и    (6.2)

Данная формула (теорема) тем более точна, чем  Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия  Функция  табулирована и обладает следующими свойствами:

  1.  функция  является четной, т.е. ;
  2.  функция  монотонно убывающая при положительных значениях  причем при .

Уже при

ПРИМЕР 1:  В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют автомобили. Какова вероятность того, что из 400 семей у 300 имеются автомобили?

РЕШЕНИЕ: Вероятность того, что в семье имеется автомобиль, равна  Так как  достаточно велико (условие  выполнено), то применим локальную формулу Муавра - Лапласа:

Замечание  Значение функции  получено из соответствующих статистических таблиц.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть в условиях примера 1 необходимо было бы найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют автомобили. Тогда по теореме сложения вероятностей событий и, учитывая (5.5) получим:

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра-Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет очень трудоемким. В таких случаях справедлива интегральная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от  и , то вероятность того, что число  наступления события  в  независимых испытаниях заключено в пределах от  до  (включительно) при достаточно большом числе , приближенно равна

 (6.3)

где     

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

     (6.4)

обладающая следующими свойствами:

  1.  функция  нечетная, т.е. ;
  2.  функция  монотонно возрастающая, причем при   (практически можно считать, что уже при
    ).

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

 (6.5)

Интегральная формула, как и локальная тем точнее, чем больше . При условии  интегральная формула (6.5) дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.

ПРИМЕР 2:  По данным примера 1 вычислим вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют автомобили.

РЕШЕНИЕ: Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа ().


СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Числовая величина , значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной (СВ).

В рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагаем, что имеется некоторое пространство элементарных исходов , случайной величиной  называют функцию от элементарных исходов :

где .

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные.

Дискретные величины в зависимости от элементарных исходов принимает конечное или счетное число различных значений х с соответствующими вероятностями:

.     (6.6)

Здесь = х, обозначает, что случайная величина принимает значение х, т.е. {}={}. Вероятность события , состоящего в том, что случайная величина принимает одно из значений х, лежащих в пределах  , есть

.    (6.7)

В формуле (6.7) суммирование производится по конечному или счетному числу х, которые может принимать дискретная случайная величина .

Соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями этих значений называют распределением вероятностей СВ и обозначают .

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Тогда о СВ можно говорить, что она подчинена данному закону. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.

....

....

Такую таблицу будем называть рядом распределения дискретной СВ.

События , состоящие в том, что в результате испытаний случайная величина  примет соответственно значения , являются несовместными и единственно возможными (в таблице перечислены все возможные значения СВ), т.е. составляют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины справедливо соотношение:

   (6.8)

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид часто прибегают к его графическому отображению.

 0     x1        x2         x3               x4   x5    X

 P

p2

p1

p4

p5

Многоугольник распределения

p3

Такая фигура называется многоугольником распределения.

ПРИМЕР 3:  Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

РЕШЕНИЕ: СВ  – число неизрасходованных патронов имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно:

0

1

2

3

0.064

0.096

0.24

0.6

Очевидно, что ряд распределения не универсальная характеристика. Нетрудно убедиться, что для непрерывной СВ такую характеристику построить нельзя (т.к. СВ имеет бесчисленное множество значений). Поэтому составить таблицу, в которой бы были перечислены все возможные значения СВ невозможно. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной СВ обычно не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

Однако различные области возможных значений СВ все же не являются одинаково вероятными и для непрерывной СВ существует "распределение вероятностей", хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Для количественного описания этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностного события , а вероятностью события  где  некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , и является некоторой функцией от . Эта функция называется функция распределения случайной величины Х и обозначается :

    (6.9)

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика СВ. Она существует как для дискретных, так и непрерывных СВ. Функция распределения полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Общие свойства интегральной функции распределения:

  1.  Функция распределения  неубывающая функция своего аргумента, т.е. при
  2.  На минус бесконечности функция распределения равна нулю:
  3.  На плюс бесконечности функция распределения равна единице:
  4.  

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.

Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины.

Действительно: .

ПРИМЕР 4:  Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие . Вероятность события  равна . СВ  число появлений события  в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ.

РЕШЕНИЕ: Ряд распределения СВ  имеет вид:

0

1

Построим функцию распределения СВ

  1.  
  2.  
  3.  при

ПРИМЕР 5:  При тех же условиях (пример 4) провели 4 независимых опыта. Постройте функцию распределения числа появлений события .

РЕШЕНИЕ: Пусть СВ  число появлений события  в 4 опытах. Эта величина имеет ряд распределения:

0

1

2

3

4

> 4

0.2401

0.4116

0.2646

0.0756

0.0081

0

0.2401

0.6517

0.9163

0.9919

1

Построим функцию распределения СВ Х:

  1.  при  F(x) = 0;
  2.  0 < x  1  F(x) = 0.2401;
  3.  0 < x  2  F(x) = 0.6517;
  4.  0 <x  3  F(x) = 0.9163;
  5.  0 < x  4  F(x) = 0.9919;
  6.  x > 4   F(x) = 1.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12152. КОМПОНЕНТЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ СВЯЗИ С БАЗАМИ ДАННЫХ 66 KB
  КОМПОНЕНТЫ ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ СВЯЗИ С БАЗАМИ ДАННЫХ Обзор компонентов используемых для связи с базами данных Компоненты Delphi используемые для работы с базами данных расположены в библиотеке компонентов на страницах Data Access доступ к данным и Data Control управл
12153. Знакомство с интегрированной средой Delphi 136 KB
  Лабораторная работа № 1 Знакомство с интегрированной средой Delphi Загрузка Delphi возможна одним из следующих способов: кнопка Пуск раздел Программы и далее в соответствии с названием программного продукта; ярлык на рабочем столе; быстрая кнопк
12154. СОЗДАНИЕ ОТЧЕТОВ. Система «Быстрый отчет» (Quick Report) 96.18 KB
  СОЗДАНИЕ ОТЧЕТОВ 6.1 Система Быстрый отчет Quick Report Для создания отчетов в Delphi включена система QuickReport все компоненты которой размещены на странице QReport палитры компонентов. Быстрый отчет использует генератор отчетов состоящий из множества полос. Полоса band –э
12155. ПРОГРАММИРОВАНИЕ РАБОТЫ С БАЗАМИ ДАННЫХ 70.04 KB
  ПРОГРАММИРОВАНИЕ РАБОТЫ С БАЗАМИ ДАННЫХ Состояние набора данных Основным свойством компонента Table является свойство State определяющее состояние набора данных. Это свойство доступно только во время выполнения и только для чтения. Набор данных может находиться...
12156. ПРИЛОЖЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ СВЯЗАННЫМИ ТАБЛИЦАМИ 31.5 KB
  ПРИЛОЖЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ СВЯЗАННЫМИ ТАБЛИЦАМИ Рассмотрим принципы построения приложения с несколькими связанными друг с другом таблицами. 8.1 Связь головной и вспомогательной таблиц Две таблицы могут быть связаны друг с другом по ключу. Одна из этих связанных табл...
12157. ТИПЫ ПОЛЕЙ. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТАБЛИЦЫ 61.5 KB
  ТИПЫ ПОЛЕЙ. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТАБЛИЦЫ Типы полей реляционной базы данных Проектирование приложения работающего с базами данных предполагает наличие самих баз данных. Вместе с BDE в Delphi поставляется программа Database Desktop которая позволяет создавать таблицы ба...
12158. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О БАЗЕ ДАННЫХ. МОДЕЛИ ДАННЫХ. СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ БАЗАМИ ДАННЫХ 182.07 KB
  ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О БАЗЕ ДАННЫХ. МОДЕЛИ ДАННЫХ. СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ БАЗАМИ ДАННЫХ База данных Всегда когда возникает потребность манипулирования большими массивами данных используются базы данных. В общем случае под данными понимается информация наход...
12159. ПОСТРОЕНИЕ ЗАПРОСОВ В DELPHI 36 KB
  ПОСТРОЕНИЕ ЗАПРОСОВ В DELPHI Запрос – это вопрос к базе данных возвращающий запись или множество записей удовлетворяющих вопросу. Любой запрос по базе данных выполняется на языке SQL Structured Query Language – язык структурированных запросов который был создан Microsoft в конце 70х год...
12160. Режимы design-time и run-time. Объектные процедурные типы. Работа с ini файлами 148.5 KB
  Лабораторная работа №1 Тема: Режимы designtime и runtime. Объектные процедурные типы. Работа с iniфайлами Цель работы: показать простоту создания приложений в режиме designtime и удобство использования компонентов; показать возможность создания приложений с настраиваемым интер...