10956

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Лекция

Математика и математический анализ

Локальная теорема МуавраЛапласа Несмотря на элементарность формулы Бернулли при большом числе испытаний непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой погрешностью. Разрешить эту проблему поможет локальная теорема МуавраЛапласа:

Русский

2013-04-03

65.77 KB

69 чел.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли  при большом числе испытаний  непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Разрешить эту проблему поможет локальная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от  и , то вероятность  того, что событие  произойдет  раз в  независимых испытаниях при достаточно большом числе , приближенно равна

      (6.1)

где    , и    (6.2)

Данная формула (теорема) тем более точна, чем  Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия  Функция  табулирована и обладает следующими свойствами:

  1.  функция  является четной, т.е. ;
  2.  функция  монотонно убывающая при положительных значениях  причем при .

Уже при

ПРИМЕР 1:  В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют автомобили. Какова вероятность того, что из 400 семей у 300 имеются автомобили?

РЕШЕНИЕ: Вероятность того, что в семье имеется автомобиль, равна  Так как  достаточно велико (условие  выполнено), то применим локальную формулу Муавра - Лапласа:

Замечание  Значение функции  получено из соответствующих статистических таблиц.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть в условиях примера 1 необходимо было бы найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют автомобили. Тогда по теореме сложения вероятностей событий и, учитывая (5.5) получим:

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра-Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет очень трудоемким. В таких случаях справедлива интегральная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от  и , то вероятность того, что число  наступления события  в  независимых испытаниях заключено в пределах от  до  (включительно) при достаточно большом числе , приближенно равна

 (6.3)

где     

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

     (6.4)

обладающая следующими свойствами:

  1.  функция  нечетная, т.е. ;
  2.  функция  монотонно возрастающая, причем при   (практически можно считать, что уже при
    ).

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

 (6.5)

Интегральная формула, как и локальная тем точнее, чем больше . При условии  интегральная формула (6.5) дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.

ПРИМЕР 2:  По данным примера 1 вычислим вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют автомобили.

РЕШЕНИЕ: Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа ().


СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Числовая величина , значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной (СВ).

В рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагаем, что имеется некоторое пространство элементарных исходов , случайной величиной  называют функцию от элементарных исходов :

где .

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные.

Дискретные величины в зависимости от элементарных исходов принимает конечное или счетное число различных значений х с соответствующими вероятностями:

.     (6.6)

Здесь = х, обозначает, что случайная величина принимает значение х, т.е. {}={}. Вероятность события , состоящего в том, что случайная величина принимает одно из значений х, лежащих в пределах  , есть

.    (6.7)

В формуле (6.7) суммирование производится по конечному или счетному числу х, которые может принимать дискретная случайная величина .

Соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями этих значений называют распределением вероятностей СВ и обозначают .

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Тогда о СВ можно говорить, что она подчинена данному закону. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.

....

....

Такую таблицу будем называть рядом распределения дискретной СВ.

События , состоящие в том, что в результате испытаний случайная величина  примет соответственно значения , являются несовместными и единственно возможными (в таблице перечислены все возможные значения СВ), т.е. составляют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины справедливо соотношение:

   (6.8)

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид часто прибегают к его графическому отображению.

 0     x1        x2         x3               x4   x5    X

 P

p2

p1

p4

p5

Многоугольник распределения

p3

Такая фигура называется многоугольником распределения.

ПРИМЕР 3:  Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

РЕШЕНИЕ: СВ  – число неизрасходованных патронов имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно:

0

1

2

3

0.064

0.096

0.24

0.6

Очевидно, что ряд распределения не универсальная характеристика. Нетрудно убедиться, что для непрерывной СВ такую характеристику построить нельзя (т.к. СВ имеет бесчисленное множество значений). Поэтому составить таблицу, в которой бы были перечислены все возможные значения СВ невозможно. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной СВ обычно не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

Однако различные области возможных значений СВ все же не являются одинаково вероятными и для непрерывной СВ существует "распределение вероятностей", хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Для количественного описания этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностного события , а вероятностью события  где  некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , и является некоторой функцией от . Эта функция называется функция распределения случайной величины Х и обозначается :

    (6.9)

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика СВ. Она существует как для дискретных, так и непрерывных СВ. Функция распределения полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Общие свойства интегральной функции распределения:

  1.  Функция распределения  неубывающая функция своего аргумента, т.е. при
  2.  На минус бесконечности функция распределения равна нулю:
  3.  На плюс бесконечности функция распределения равна единице:
  4.  

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.

Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины.

Действительно: .

ПРИМЕР 4:  Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие . Вероятность события  равна . СВ  число появлений события  в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ.

РЕШЕНИЕ: Ряд распределения СВ  имеет вид:

0

1

Построим функцию распределения СВ

  1.  
  2.  
  3.  при

ПРИМЕР 5:  При тех же условиях (пример 4) провели 4 независимых опыта. Постройте функцию распределения числа появлений события .

РЕШЕНИЕ: Пусть СВ  число появлений события  в 4 опытах. Эта величина имеет ряд распределения:

0

1

2

3

4

> 4

0.2401

0.4116

0.2646

0.0756

0.0081

0

0.2401

0.6517

0.9163

0.9919

1

Построим функцию распределения СВ Х:

  1.  при  F(x) = 0;
  2.  0 < x  1  F(x) = 0.2401;
  3.  0 < x  2  F(x) = 0.6517;
  4.  0 <x  3  F(x) = 0.9163;
  5.  0 < x  4  F(x) = 0.9919;
  6.  x > 4   F(x) = 1.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78460. Синдром легочной гипертензии (ЛГ). Пульмональные и кардиоваскулярные причины ЛГ. Принципы дифференциального диагноза острой и хронической ЛГ 83.5 KB
  Легочная гипертензия ЛГ это состояние являющееся возможным следствием целого ряда заболеваний или имеющее идиопатическую природу которое характеризуется постепенным повышением легочного сосудистого сопротивления и давления в легочной артерии что приводит к развитию правожелудочковой недостаточности и гибели пациентов. Диагноз ЛГ определяется при среднем давлении в легочной артерии более 25 мм. Патогенез: Вазоконстрикция Редукция легочного сосудистого русла Снижение эластичности легочных сосудов Облитерация легочных сосудов...
78461. Кровохарканье и легочные кровотечения. Дифференциальный диагноз. Тактика ведения больных с кровохарканьем и легочным кровотечением 84.5 KB
  Кровохарканье появление в мокроте крови в виде прожилок или равномерной примеси яркокрасного цвета. Отхаркивание большого количества крови и наличие примеси крови в каждом плевке мокроты свидетельствуют о легочном кровотечении. Кровохарканье и легочное кровотечение могут быть обусловлены: аррозией сосудов опухоли каверны бронхоэктазы; разрывом сосудистой стенки артериовенозные аневризмы телеангиэктазии легочная форма болезни ОслераРандю; излиянием крови в альвеолы из бронхиальных артерий инфаркт легкого; диапедезным...
78462. Синдром легочно-сердечной недостаточности (ЛСН, «легочное сердце»). Тромбоэмболия легочных артерий (ТЭЛА) 85.5 KB
  Классификация: Острое лёгочное сердце клинический симптомокомплекс возникающий прежде всего вследствие развития тромбоэмболии лёгочной артерии а также при ряде заболеваний сердечнососудистой и дыхательной систем. Основные причины: массивная тромбоэмболия в системе лёгочной артерии; клапанный пневмоторакс; тяжёлый затяжной приступ бронхиальной астмы; распространённая острая пневмония.; 3Васкулярные болезни первичная лёгочная гипертензия тромбоэмболия в системе лёгочной артерии васкулиты аллергический облитерирующий...
78463. Синдром дыхательной недостаточности. Основные причины ДН, клинические и функциональные критерии. Классификации различных видов ДН 128.5 KB
  Дыхательная недостаточность ДН тяжелое нарушение обмена дыхательных газов или состояние характеризующееся ограничением способности легких обеспечивать нормальный газовый состав артериальной крови. Факторы снижающие вентиляторное обеспечение: Нарушение механики дыхания обструкция ВП: Бронхиальная астма ХОБЛ; Деформация грудной клетки: Кифосколиоз травмы грудной клетки; Уменьшение объема легких: Пневмония интерстициальные поражения легких большой плевральный выпот; Нарушение функции диафрагмальных нервов: Синдром...
78464. Рестриктивный тип дыхательной недостаточности. Клинические и функциональные признаки, характерные для ДН рестриктивного типа 70 KB
  Рестриктивный тип ДН – вариант вентиляционной (гиперкапнической) ДН, характеризующийся снижением способности легких, грудной клетки или плевры к расправлению во время вдоха.
78465. Обструктивный тип дыхательной недостаточности. Клинические и функциональные признаки, характерные для ДН обструктивного типа 85 KB
  Встречается при: Хронический бронхит; Бронхиальная астма; Эмфизема; ХОБЛ; Синдром бронхиальной обструкции; Стенозы трахеи и крупных бронхов; Бронхоэктатическая болезнь; Причины сужения просвета бронхов: бронхоспазм; аллергический отёк; воспалительный отёк; инфильтрация слизистой оболочки бронхов; закупорка бронхов мокротой; склероз бронхиальных стенок; деструкция каркаса бронхиальных стенок; Патогенез: Сужение просвета бронхов является причиной роста сопротивления потоку воздуха в бронхах что в свою очередь приводит к снижению...
78466. Дыхательная недостаточность по смешанному типу. Клинические и функциональные признаки, характерные для ДН смешанного типа 86.5 KB
  Пневмосклероз различной этиологии; Обструктивный тип ДН: Хронический бронхит; Бронхиальная астма; Эмфизема; ХОБЛ; Синдром бронхиальной обструкции; Стенозы трахеи и крупных бронхов; Бронхоэктатическая болезнь; Развивается при длительном течении сердечнолегочных заболеваний; Диагностика: признаки ДН клиника; исследование ФВД характеризуется снижением практически всех показателей...
78467. Тяжелое течение острой дыхательной недостаточности: астматический статус. Принципы диагностики и лечения 98.5 KB
  Возросшее сопротивление воздухоносных путей преодолевается за счет больших колебаний внутриплеврального давления чрезмерно низкого на вдохе и очень высокого на выдохе что приводит к резкому увеличению работы быстрому утомлению и снижению функции дыхательной мускулатуры; Клиника: I стадия относительной компенсации: выраженный приступ удушья не купирующийся ранее эффективными ЛС; мучительный приступообразный кашель без мокроты; вынужденное положение больного; диффузный цианоз; потливость; возбуждение больного; перкуторно:...
78468. Тяжелое течение острой дыхательной недостаточности: острый респираторный дистресс-синдром взрослых (ОРДСВ). Причины ОРДСВ 124 KB
  Острый респираторный дистресссиндром ОРДС особая форма дыхательной недостаточности возникающая при острых повреждениях легких различной этиологии и характеризуется образованием в обоих легких диффузных легочных инфильтратов резким нарушением растяжимости легочной ткани развитием некардиогенного отека легких и выраженной гипоксемии резистентности к кислородотерапии.; При остром повреждении легкого происходит воспаление = Скопление активированных лейкоцитов и тромбоцитов = Протеолитические ферменты Простагландины Активные...