10956

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Лекция

Математика и математический анализ

Локальная теорема МуавраЛапласа Несмотря на элементарность формулы Бернулли при большом числе испытаний непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой погрешностью. Разрешить эту проблему поможет локальная теорема МуавраЛапласа:

Русский

2013-04-03

65.77 KB

69 чел.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли  при большом числе испытаний  непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Разрешить эту проблему поможет локальная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от  и , то вероятность  того, что событие  произойдет  раз в  независимых испытаниях при достаточно большом числе , приближенно равна

      (6.1)

где    , и    (6.2)

Данная формула (теорема) тем более точна, чем  Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия  Функция  табулирована и обладает следующими свойствами:

  1.  функция  является четной, т.е. ;
  2.  функция  монотонно убывающая при положительных значениях  причем при .

Уже при

ПРИМЕР 1:  В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют автомобили. Какова вероятность того, что из 400 семей у 300 имеются автомобили?

РЕШЕНИЕ: Вероятность того, что в семье имеется автомобиль, равна  Так как  достаточно велико (условие  выполнено), то применим локальную формулу Муавра - Лапласа:

Замечание  Значение функции  получено из соответствующих статистических таблиц.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть в условиях примера 1 необходимо было бы найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют автомобили. Тогда по теореме сложения вероятностей событий и, учитывая (5.5) получим:

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра-Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет очень трудоемким. В таких случаях справедлива интегральная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от  и , то вероятность того, что число  наступления события  в  независимых испытаниях заключено в пределах от  до  (включительно) при достаточно большом числе , приближенно равна

 (6.3)

где     

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

     (6.4)

обладающая следующими свойствами:

  1.  функция  нечетная, т.е. ;
  2.  функция  монотонно возрастающая, причем при   (практически можно считать, что уже при
    ).

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

 (6.5)

Интегральная формула, как и локальная тем точнее, чем больше . При условии  интегральная формула (6.5) дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.

ПРИМЕР 2:  По данным примера 1 вычислим вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют автомобили.

РЕШЕНИЕ: Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа ().


СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Числовая величина , значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной (СВ).

В рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагаем, что имеется некоторое пространство элементарных исходов , случайной величиной  называют функцию от элементарных исходов :

где .

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные.

Дискретные величины в зависимости от элементарных исходов принимает конечное или счетное число различных значений х с соответствующими вероятностями:

.     (6.6)

Здесь = х, обозначает, что случайная величина принимает значение х, т.е. {}={}. Вероятность события , состоящего в том, что случайная величина принимает одно из значений х, лежащих в пределах  , есть

.    (6.7)

В формуле (6.7) суммирование производится по конечному или счетному числу х, которые может принимать дискретная случайная величина .

Соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями этих значений называют распределением вероятностей СВ и обозначают .

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Тогда о СВ можно говорить, что она подчинена данному закону. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.

....

....

Такую таблицу будем называть рядом распределения дискретной СВ.

События , состоящие в том, что в результате испытаний случайная величина  примет соответственно значения , являются несовместными и единственно возможными (в таблице перечислены все возможные значения СВ), т.е. составляют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины справедливо соотношение:

   (6.8)

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид часто прибегают к его графическому отображению.

 0     x1        x2         x3               x4   x5    X

 P

p2

p1

p4

p5

Многоугольник распределения

p3

Такая фигура называется многоугольником распределения.

ПРИМЕР 3:  Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

РЕШЕНИЕ: СВ  – число неизрасходованных патронов имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно:

0

1

2

3

0.064

0.096

0.24

0.6

Очевидно, что ряд распределения не универсальная характеристика. Нетрудно убедиться, что для непрерывной СВ такую характеристику построить нельзя (т.к. СВ имеет бесчисленное множество значений). Поэтому составить таблицу, в которой бы были перечислены все возможные значения СВ невозможно. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной СВ обычно не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

Однако различные области возможных значений СВ все же не являются одинаково вероятными и для непрерывной СВ существует "распределение вероятностей", хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Для количественного описания этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностного события , а вероятностью события  где  некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , и является некоторой функцией от . Эта функция называется функция распределения случайной величины Х и обозначается :

    (6.9)

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика СВ. Она существует как для дискретных, так и непрерывных СВ. Функция распределения полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Общие свойства интегральной функции распределения:

  1.  Функция распределения  неубывающая функция своего аргумента, т.е. при
  2.  На минус бесконечности функция распределения равна нулю:
  3.  На плюс бесконечности функция распределения равна единице:
  4.  

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.

Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины.

Действительно: .

ПРИМЕР 4:  Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие . Вероятность события  равна . СВ  число появлений события  в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ.

РЕШЕНИЕ: Ряд распределения СВ  имеет вид:

0

1

Построим функцию распределения СВ

  1.  
  2.  
  3.  при

ПРИМЕР 5:  При тех же условиях (пример 4) провели 4 независимых опыта. Постройте функцию распределения числа появлений события .

РЕШЕНИЕ: Пусть СВ  число появлений события  в 4 опытах. Эта величина имеет ряд распределения:

0

1

2

3

4

> 4

0.2401

0.4116

0.2646

0.0756

0.0081

0

0.2401

0.6517

0.9163

0.9919

1

Построим функцию распределения СВ Х:

  1.  при  F(x) = 0;
  2.  0 < x  1  F(x) = 0.2401;
  3.  0 < x  2  F(x) = 0.6517;
  4.  0 <x  3  F(x) = 0.9163;
  5.  0 < x  4  F(x) = 0.9919;
  6.  x > 4   F(x) = 1.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63858. Социальная идентичность: гендерный аспект 54 KB
  Социологическое определение идентичности отражает в свою очередь ее непосредственное отношение к личности и обществу. В своей книге Детство и общество Эриксон писал: Я могу попытаться более явно представить суть идентичности только рассмотрев ее с разных точек зрения.
63859. Экономические условия и политические аспекты трансформации социокультурного пространства в истории России 59.5 KB
  Если говорить о категориях институциональной жизни общества то можно выделить множество сфер которые подвергаются изменениям. Оно определяет общие ориентиры поведения людей совокупность социокультурных норм и ценностей общества которые и определяют это поведение.
63860. Анализ организационно-экономических основ инвестиционной деятельности муниципального образования 24.12 KB
  В условиях ограниченности собственных финансовых средств требующихся для реализации планов социально-экономического развития муниципальных образований а также отдельных целевых программ необходимо привлекать инвестиции аккумулировать сбережения и накопления граждан...
63861. Проблемы защиты коренных народов 44 KB
  В Приангарье проживает 1950 человек которые относятся к категории коренных малочисленных народов КМН 1272 эвенка и 678 тофаларов по переписи населения 2010 года. Постановлением Правительства Иркутской области от 1 апреля 2013 года № 106пп утверждена долгосрочная целевая программа...
63862. Причины изменения языка в разных социальных группах 47.5 KB
  Эти слова прижились и использует в повседневной речи. Часто употребляемые молодыми людьми слова и выражения не понятны взрослым нашим родителям бабушкам дедушкам. От слова ботать учиться эти и многие другие слова и выражения привносят собой в язык особый смысловой оттенок.
63863. «Другие»: оценка гомосексуальности в разных культурах 24.08 KB
  Сегодня СМИ затрагивают абсолютно любые темы. Общество стало свободным, открытым. На просторах интернета можно найти ответы на любую тему. Эти изменения коснулись не только, каких либо масштабных процессов (внутренняя и внешняя политика), но и более личностных.
63864. Анализ государственной языковой политики республик в составе Российской Федерации через призму Интернет-сайтов их органов власти 39.33 KB
  Российская Федерация состоит из 83 субъектов 21 из которых являются республиками. Таблица 1 Государственные языки и титульные этносы в республиках России Республика Государственные языки Доля титульного этноса...
63865. Изменение социальных отношений и институтов 23.82 KB
  Меняется время меняются социальные институты и социальные отношения. Социальные институты от лат. Институты характеризуются своими возможностями влиять на поведение людей посредством установленных правил определяющих так её поведение.
63866. Мировоззрение молодежи в трансформационном аспекте 33.94 KB
  Мировоззрение система взглядов на объективный мир и место человека в нём на отношение человека к окружающей его действительности и самому себе а также обусловленные этими взглядами основные жизненные позиции людей их убеждения идеалы принципы познания и деятельности ценностные ориентации.