10956

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Лекция

Математика и математический анализ

Локальная теорема МуавраЛапласа Несмотря на элементарность формулы Бернулли при большом числе испытаний непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой погрешностью. Разрешить эту проблему поможет локальная теорема МуавраЛапласа:

Русский

2013-04-03

65.77 KB

66 чел.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли  при большом числе испытаний  непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Разрешить эту проблему поможет локальная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от  и , то вероятность  того, что событие  произойдет  раз в  независимых испытаниях при достаточно большом числе , приближенно равна

      (6.1)

где    , и    (6.2)

Данная формула (теорема) тем более точна, чем  Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия  Функция  табулирована и обладает следующими свойствами:

  1.  функция  является четной, т.е. ;
  2.  функция  монотонно убывающая при положительных значениях  причем при .

Уже при

ПРИМЕР 1:  В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют автомобили. Какова вероятность того, что из 400 семей у 300 имеются автомобили?

РЕШЕНИЕ: Вероятность того, что в семье имеется автомобиль, равна  Так как  достаточно велико (условие  выполнено), то применим локальную формулу Муавра - Лапласа:

Замечание  Значение функции  получено из соответствующих статистических таблиц.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть в условиях примера 1 необходимо было бы найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют автомобили. Тогда по теореме сложения вероятностей событий и, учитывая (5.5) получим:

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра-Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет очень трудоемким. В таких случаях справедлива интегральная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от  и , то вероятность того, что число  наступления события  в  независимых испытаниях заключено в пределах от  до  (включительно) при достаточно большом числе , приближенно равна

 (6.3)

где     

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

     (6.4)

обладающая следующими свойствами:

  1.  функция  нечетная, т.е. ;
  2.  функция  монотонно возрастающая, причем при   (практически можно считать, что уже при
    ).

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

 (6.5)

Интегральная формула, как и локальная тем точнее, чем больше . При условии  интегральная формула (6.5) дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.

ПРИМЕР 2:  По данным примера 1 вычислим вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют автомобили.

РЕШЕНИЕ: Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа ().


СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Числовая величина , значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной (СВ).

В рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагаем, что имеется некоторое пространство элементарных исходов , случайной величиной  называют функцию от элементарных исходов :

где .

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные.

Дискретные величины в зависимости от элементарных исходов принимает конечное или счетное число различных значений х с соответствующими вероятностями:

.     (6.6)

Здесь = х, обозначает, что случайная величина принимает значение х, т.е. {}={}. Вероятность события , состоящего в том, что случайная величина принимает одно из значений х, лежащих в пределах  , есть

.    (6.7)

В формуле (6.7) суммирование производится по конечному или счетному числу х, которые может принимать дискретная случайная величина .

Соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями этих значений называют распределением вероятностей СВ и обозначают .

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Тогда о СВ можно говорить, что она подчинена данному закону. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.

....

....

Такую таблицу будем называть рядом распределения дискретной СВ.

События , состоящие в том, что в результате испытаний случайная величина  примет соответственно значения , являются несовместными и единственно возможными (в таблице перечислены все возможные значения СВ), т.е. составляют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины справедливо соотношение:

   (6.8)

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид часто прибегают к его графическому отображению.

 0     x1        x2         x3               x4   x5    X

 P

p2

p1

p4

p5

Многоугольник распределения

p3

Такая фигура называется многоугольником распределения.

ПРИМЕР 3:  Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

РЕШЕНИЕ: СВ  – число неизрасходованных патронов имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно:

0

1

2

3

0.064

0.096

0.24

0.6

Очевидно, что ряд распределения не универсальная характеристика. Нетрудно убедиться, что для непрерывной СВ такую характеристику построить нельзя (т.к. СВ имеет бесчисленное множество значений). Поэтому составить таблицу, в которой бы были перечислены все возможные значения СВ невозможно. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной СВ обычно не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

Однако различные области возможных значений СВ все же не являются одинаково вероятными и для непрерывной СВ существует "распределение вероятностей", хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Для количественного описания этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностного события , а вероятностью события  где  некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , и является некоторой функцией от . Эта функция называется функция распределения случайной величины Х и обозначается :

    (6.9)

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика СВ. Она существует как для дискретных, так и непрерывных СВ. Функция распределения полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Общие свойства интегральной функции распределения:

  1.  Функция распределения  неубывающая функция своего аргумента, т.е. при
  2.  На минус бесконечности функция распределения равна нулю:
  3.  На плюс бесконечности функция распределения равна единице:
  4.  

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.

Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины.

Действительно: .

ПРИМЕР 4:  Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие . Вероятность события  равна . СВ  число появлений события  в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ.

РЕШЕНИЕ: Ряд распределения СВ  имеет вид:

0

1

Построим функцию распределения СВ

  1.  
  2.  
  3.  при

ПРИМЕР 5:  При тех же условиях (пример 4) провели 4 независимых опыта. Постройте функцию распределения числа появлений события .

РЕШЕНИЕ: Пусть СВ  число появлений события  в 4 опытах. Эта величина имеет ряд распределения:

0

1

2

3

4

> 4

0.2401

0.4116

0.2646

0.0756

0.0081

0

0.2401

0.6517

0.9163

0.9919

1

Построим функцию распределения СВ Х:

  1.  при  F(x) = 0;
  2.  0 < x  1  F(x) = 0.2401;
  3.  0 < x  2  F(x) = 0.6517;
  4.  0 <x  3  F(x) = 0.9163;
  5.  0 < x  4  F(x) = 0.9919;
  6.  x > 4   F(x) = 1.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74188. Object-oriented programming languages and tools 37 KB
  They were working on simultions tht del with exploding ships nd relized they could group the ships into different ctegories. The Smlltlk tem ws inspired by the Simul 67 project but they designed Smlltlk so tht it would be dynmic. The objects could be chnged creted or deleted nd this ws different from the sttic systems tht were commonly used. It is this feture tht llowed Smlltlk to surpss both Simul 67 nd the nlog progrmming systems.
74189. Object-oriented programming languages and tools. Evolution of Smalltalk 41 KB
  The lnguge ws first generlly relesed s Smlltlk80. Smlltlklike lnguges re in continuing ctive development nd hve gthered loyl communities of users round them. NSI Smlltlk ws rtified in 1998 nd represents the stndrd version of Smlltlk.
74190. Logic programming languages and tools 38 KB
  User specifies the specifictions of solution nd the computer derives the execution sequence for tht solution: Let us hve irline flight informtion of the form: flightflight_number from_city to_city deprture_time rrivl_time Then ll the flights from Wshington DC to Snt Clr cn be specified s either direct flights or s flights with n intermedite stop: flightflight_number DC Snt Clr deprture_time rrivl_time or flightflight_number DC X deprt1 rrive1 flightflight_number X Los ngles deprt2 rrive2 deprt2 =rrive130 Unlike...
74191. Logic programming languages and tools. Programming languages versus logic programming 33.5 KB
  Properties: we cn ssign properties to individul entities for exmple fred would hve the property of being crnivore properties look like C function cll the nme of the property then the entity tht hs tht property is given in brckets e. Reltionships fcts: we cn ssign reltionships between entities for exmple fred ets met or wilm ets vegetbles reltionships in Prolog gin look like C function cll we give the reltionship nme first then in brckets the two entities tht re relted e. etswilmmet etswilmvegetbles. For exmple rule...
74192. Visual development languages and tools 32 KB
  But somehow it didn’t hve the sme impct s did integrted development environments IDEs on those newfngled ldquo;microcomputers. Until we hd Windows to provide the bsic ides of displying things in windows PCs hd foot nd hlf bck in the minfrme worldrdquo; he sid. While TurboPscl lunched the ide of n integrted development environment Duntemnn credits Microsoft’s Visul Bsic VB lunched in 1991 with being the first rel IDE. The timing of IDEs ws lso perfect for new form of development: the Web.
74193. Visual development languages and tools 43 KB
  Visul development lnguges nd tools. In the summer of 1991 Microsoft introduced development tool clled Visul Bsic. Visul Bsic revolutionized ll this tedious code. Insted of hving to write lengthy code to mke window respond to mouse Visul Bsic hndled ll of those ctions nd hid them from the progrmmer.
74194. Multiparadigm programming language – Python 50 KB
  Multiprdigm progrmming lnguge – Python.1 Python is generlpurpose progrmming lnguge tht blends procedurl functionl nd objectoriented prdigms. Python is powerful multiprdigm computer progrmming lnguge optimized for progrmmer productivity code redbility nd softwre qulity. Python is populr open source progrmming lnguge used for both stndlone progrms nd scripting pplictions in wide vriety of domins.
74195. Version control software and tools 39 KB
  Version control softwre nd tools1 Version control lso clled subversion control or revision control helps lrge projects from spinning out of control by letting individul progrmmers writers or project mngers tckle project from different ngles without getting in ech other’s wy nd without doing dmge tht cn’t be undone. Version Control lets you trck your files over time. You’ve probbly cooked up your own version control system got ny files like this: Lb1_1. dd version number or dte: Document_V1.
74196. Cloud computing: programming models 35 KB
  Cloud computing: progrmming models1 Cloud computing is computing in which lrge groups of remote servers re networked to llow centrlized dt storge nd online ccess to computer services or resources. Clouds cn be clssified s public privte or hybrid. Cloud computing relies on shring of resources to chieve coherence nd economies of scle similr to utility like the electricity grid over network. t the foundtion of cloud computing is the broder concept of converged infrstructure nd shred services.