10956

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Лекция

Математика и математический анализ

Локальная теорема МуавраЛапласа Несмотря на элементарность формулы Бернулли при большом числе испытаний непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой погрешностью. Разрешить эту проблему поможет локальная теорема МуавраЛапласа:

Русский

2013-04-03

65.77 KB

67 чел.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли  при большом числе испытаний  непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Разрешить эту проблему поможет локальная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от  и , то вероятность  того, что событие  произойдет  раз в  независимых испытаниях при достаточно большом числе , приближенно равна

      (6.1)

где    , и    (6.2)

Данная формула (теорема) тем более точна, чем  Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия  Функция  табулирована и обладает следующими свойствами:

  1.  функция  является четной, т.е. ;
  2.  функция  монотонно убывающая при положительных значениях  причем при .

Уже при

ПРИМЕР 1:  В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют автомобили. Какова вероятность того, что из 400 семей у 300 имеются автомобили?

РЕШЕНИЕ: Вероятность того, что в семье имеется автомобиль, равна  Так как  достаточно велико (условие  выполнено), то применим локальную формулу Муавра - Лапласа:

Замечание  Значение функции  получено из соответствующих статистических таблиц.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть в условиях примера 1 необходимо было бы найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют автомобили. Тогда по теореме сложения вероятностей событий и, учитывая (5.5) получим:

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра-Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет очень трудоемким. В таких случаях справедлива интегральная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от  и , то вероятность того, что число  наступления события  в  независимых испытаниях заключено в пределах от  до  (включительно) при достаточно большом числе , приближенно равна

 (6.3)

где     

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

     (6.4)

обладающая следующими свойствами:

  1.  функция  нечетная, т.е. ;
  2.  функция  монотонно возрастающая, причем при   (практически можно считать, что уже при
    ).

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

 (6.5)

Интегральная формула, как и локальная тем точнее, чем больше . При условии  интегральная формула (6.5) дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.

ПРИМЕР 2:  По данным примера 1 вычислим вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют автомобили.

РЕШЕНИЕ: Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа ().


СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Числовая величина , значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной (СВ).

В рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагаем, что имеется некоторое пространство элементарных исходов , случайной величиной  называют функцию от элементарных исходов :

где .

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные.

Дискретные величины в зависимости от элементарных исходов принимает конечное или счетное число различных значений х с соответствующими вероятностями:

.     (6.6)

Здесь = х, обозначает, что случайная величина принимает значение х, т.е. {}={}. Вероятность события , состоящего в том, что случайная величина принимает одно из значений х, лежащих в пределах  , есть

.    (6.7)

В формуле (6.7) суммирование производится по конечному или счетному числу х, которые может принимать дискретная случайная величина .

Соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями этих значений называют распределением вероятностей СВ и обозначают .

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Тогда о СВ можно говорить, что она подчинена данному закону. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.

....

....

Такую таблицу будем называть рядом распределения дискретной СВ.

События , состоящие в том, что в результате испытаний случайная величина  примет соответственно значения , являются несовместными и единственно возможными (в таблице перечислены все возможные значения СВ), т.е. составляют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины справедливо соотношение:

   (6.8)

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид часто прибегают к его графическому отображению.

 0     x1        x2         x3               x4   x5    X

 P

p2

p1

p4

p5

Многоугольник распределения

p3

Такая фигура называется многоугольником распределения.

ПРИМЕР 3:  Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

РЕШЕНИЕ: СВ  – число неизрасходованных патронов имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно:

0

1

2

3

0.064

0.096

0.24

0.6

Очевидно, что ряд распределения не универсальная характеристика. Нетрудно убедиться, что для непрерывной СВ такую характеристику построить нельзя (т.к. СВ имеет бесчисленное множество значений). Поэтому составить таблицу, в которой бы были перечислены все возможные значения СВ невозможно. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной СВ обычно не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

Однако различные области возможных значений СВ все же не являются одинаково вероятными и для непрерывной СВ существует "распределение вероятностей", хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Для количественного описания этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностного события , а вероятностью события  где  некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , и является некоторой функцией от . Эта функция называется функция распределения случайной величины Х и обозначается :

    (6.9)

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика СВ. Она существует как для дискретных, так и непрерывных СВ. Функция распределения полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Общие свойства интегральной функции распределения:

  1.  Функция распределения  неубывающая функция своего аргумента, т.е. при
  2.  На минус бесконечности функция распределения равна нулю:
  3.  На плюс бесконечности функция распределения равна единице:
  4.  

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.

Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины.

Действительно: .

ПРИМЕР 4:  Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие . Вероятность события  равна . СВ  число появлений события  в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ.

РЕШЕНИЕ: Ряд распределения СВ  имеет вид:

0

1

Построим функцию распределения СВ

  1.  
  2.  
  3.  при

ПРИМЕР 5:  При тех же условиях (пример 4) провели 4 независимых опыта. Постройте функцию распределения числа появлений события .

РЕШЕНИЕ: Пусть СВ  число появлений события  в 4 опытах. Эта величина имеет ряд распределения:

0

1

2

3

4

> 4

0.2401

0.4116

0.2646

0.0756

0.0081

0

0.2401

0.6517

0.9163

0.9919

1

Построим функцию распределения СВ Х:

  1.  при  F(x) = 0;
  2.  0 < x  1  F(x) = 0.2401;
  3.  0 < x  2  F(x) = 0.6517;
  4.  0 <x  3  F(x) = 0.9163;
  5.  0 < x  4  F(x) = 0.9919;
  6.  x > 4   F(x) = 1.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14766. ҚАЗАҚ ХАЛҚЫНЫҢ АСПАПТЫҚ МУЗЫКАСЫНДАҒЫ ДӘСТҮРЛІ ЖАНРЛАР 21.83 KB
  ҚАЗАҚ ХАЛҚЫНЫҢ АСПАПТЫҚ МУЗЫКАСЫНДАҒЫ ДӘСТҮРЛІ ЖАНРЛАР Қазақ халқының аспапта жеке шығарма орындаушылық яғни күйшілік өнері сонау көне заманнан келе жатқан ұлтымыздың рухани мәдениетінің аса бір маңызды саласы. Күй көбінесе белгілі оқиғаға тарихи мазмұнға орай ш
14767. МАҢҒЫСТАУ ӨҢІРІІҢ КҮЙШІЛІК ДӘСТҮРІ 25.96 KB
  МАҢҒЫСТАУ ӨҢІРІІҢ КҮЙШІЛІК ДӘСТҮРІ Маңғыстау өңірінде күйшілік өнер ерекше дамып өзіндік өрнегімен ерекшеленеді. Ұрпақтан ұрпаққа беріліп келе жатқан күй өнері Абыл Есбай Есір Құлшар Өскенбай Картбай Байшағыр Шамғүл Мұұрат сияқты біртуар есімдер арқылы өз жал
14768. Ахмет Жұбанов 149.5 KB
  Ахмет Жұбанов Aлпысыншы жылдарғы Алматы. Жасыл мәуеге малынған маужыр қала. Соғыс кезінде азды кем тұрып дәмін татып көзі жұмылғанша тамсана мадақтап өткен ақын Владимир Луговской тауып айтқандай – €œГород вещих снов€. Жайраңдаған жайдарман ортадағы жадыра думанн
14769. Ғарифолла Құрманғалиев 31 KB
  Ғарифолла Құрманғалиев Ғарифолла Құрманғалиев – ХХ ғасырдағы қазақ музыка мәдениетінің ерен құбылысы. Бүгінгінің Мұхиты атанған ондаған жылдар бойы ол жалғыз өзі Батыс Қазақстанның көне де жоғары дәрежеде дамыған вокалдыаспаптық дәстүрін паш еткен. ХІХ ғасырд...
14770. ӘН ЖАНРЛАРЫ МЕН МЕКТЕПТЕРІ 21.16 KB
  ӘН ЖАНРЛАРЫ МЕН МЕКТЕПТЕРІ Қазақ әндерінің жанрлық сипаттамасы ретінде оқыту тәжірибесінде этномузыкатанушы – Б.Ерзаковичтің тұжырымдамасы қолданылып келеді. Ғалым өзінің Қазақ халқының ән мәдениеті еңбегінде мынадай жанрлық анықтамаларды келтіреді: 1. Т...
14771. Дәулет Мықтыбаев (1904-1976) мектебінің өзіндік қасиеттері мен ерекшеліктері 30.47 KB
  Дәулет Мықтыбаев 1904-1976 мектебінің өзіндік қасиеттері мен ерекшеліктері. Қазақ өнерінің бастауында үркердей аз ғана топ ішінен айрықша табиғи талантдарынымен жарқырап көрінгендердің бірі қобызшы Дәулет Мықтыбаев. Д. Мықтыбаев 1904 жылы Ақмола облысы Қорғ
14772. Жаңғали ұстаздың еңбегінен дәм татыңыздар 176 KB
  Жаңғали ұстаздың еңбегінен дәм татыңыздар 1.Алғы сөз 2.Домбыра аспабы 3.Күйдің аймақтық дамуы 4.Шертпе күйдің аймақтық ұялары 5.Шығыс Қазақстан күйшілік мектебі 6.Арқа күйшілік мектебі 7.Жетіс
14773. ӘУЕНІМЕН ӘЙГІЛІ ӘБІЛҚАЙЫР ӘУЛЕТІ 241 KB
  ӘУЕНІМЕН ӘЙГІЛІ ӘБІЛҚАЙЫР ӘУЛЕТІ Көне кептің байыбына салсақ көмейіне Жошы хан қорғасын құйғызған домбыра қайтып үн қатпастай тұншықпақ еді. Алайда ғасырлар өткенде басқа емес – нақ осы әміршінің өзінен өрбіген жұлдызды шоғыр азалы да жазалы аспаптың құдіретіне...
14774. Жамал Омарова 190 KB
  Жамал Омарова Омарова Жамал 19121976 әнші контральто. Қазақстанның халық артисі. Өзбек ССРнің Янгиюль қаласында туған. Ташкент педагогикалық училищесінде оқу бітірген. Ж. Омарова қазақ ұлттық операсымен ән мәдениетін дамытуға үлкен үлес қосты. Ол 19341936 жж....