10957

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывная случайная величина и плотность распределения Случайная величина называется непрерывной если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось либо отрезок отрезки числовой оси а вероятность наступления любого элементарного события р

Русский

2013-04-03

181.23 KB

32 чел.

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Случайная величина  называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

 (7.1)

Пусть имеется непрерывная СВ  с функцией распределения , которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от  до  т.е. приращение функции распределения на этом участке:

  (7.2)

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать  к 0. В пределе получим производную от функции распределения, т.е.:

  (7.3)

Функция  производная функции распределения характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе – "плотностью вероятности") непрерывной СВ .

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, т. к.  существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ X с плотностью распределения  и элементарный участок  примыкающий к точке

Рис. 7.1. Вероятность попадания на элементарный интервал

Вероятность попадания СВ  на этот элементарный участок(с точность до бесконечно малых высшего порядка) равна  Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок  (см. рис. 7.1.).

Выразим вероятность попадания СВ  на отрезок от  до  через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, т.е. интегралу:

   (7.4)

Рис. 7.2. Вероятность попадания на интервал

Т.о. геометрически вероятность попадания величины на отрезок  равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис.7.2.).

Формула (7.3) выражает плотность распределения через функцию распределения. Поставим обратную задачу – выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению

 (7.5)

Из формулы (7.5) с учетом (7.4) получим:

    (7.6)

Геометрически  есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки (см. рис. 7.3).

Рис.7.3. Вычисление функции распределения через плотность

Основные свойства плотности распределения

  1.  Плотность распределения является неотрицательной функцией

      (7.7)

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения  функция неубывающая.

  1.  Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

   (7.8)

Геометрически основные свойства плотности распределения означают следующее:

  1.  вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
  2.  площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров:

ПРИМЕР 1:  Функция распределения непрерывной СВ  равна

Необходимо найти: коэффициент , плотность распределения  и, наконец, вероятность

РЕШЕНИЕ:  а) Т.к.  функция непрерывная, то при ,  т.е.

б)

в)

ПРИМЕР 2:  СВ подчинена закону распределения с плотностью

Необходимо: а) найти коэффициент ; б) построить график плотности распределения  в) найти  и построить график; г) найти вероятность попадания СВ  на участок .

РЕШЕНИЕ:  а)  

б)

в) По формуле (7.6) получим выражение для функции распределения:

г)  

Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой  случайной величины  называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность  или плотность вероятности  достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 7.4).

Рис.7.4. Мода распределения

Медианой  случайной величины  называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ  одинаково вероятна тому, что СВ   и будет равна 0.5.

   (7.9)

  (7.10)

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (функция распределения равна 0.5) (рис. 7.5.).

Рис. 7.5. Медиана распределения

Квантилем уровня  (или  квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , т.е.

   (7.11)

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0.5, т.е.  Квантили  и  получили название нижнего и верхнего квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ной точкой подразумевается квантиль , т.е. такое значение случайной величины , при котором

ПРИМЕР 3:  Необходимо найти моду, медиану, квантиль  и 30%-ную точку СВ  с плотностью вероятности  при

РЕШЕНИЕ: Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции ). Однако данная функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при .

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (7.10):

Отсюда получим  .

По формуле (7.6) получим функцию распределения

Учитывая (7.11), найдем квантиль    откуда  30%-ную точку случайной величины  или квантиль  найдем из уравнения   откуда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22873. Валеология питания 388.5 KB
  Цель занятия: Рассмотреть роль питания в жизнедеятельности человека основные пищевые вещества их функции и значение для организма а также современные концепции сбалансированного питания. Сформировать представление о процессах обмена веществ и энергии в организме человека. На сегодняшней лекции как уже видно из названия темы мы будем изучать влияния питания на состояние здоровья человека. Он заложил основы диетики науки о правильном питании здорового и больного человека и диетотерапии науки о лечебном питании больных людей и о его...
22874. Виды питания 104 KB
  Согласно этой концепции энергетическая ценность пищи должна соответствовать затратам энергии которые у каждого отдельного человека зависят от пола возраста физиологических и генетических особенностей характера выполняемой работы и других факторов. При соблюдении баланса между поглощаемой и затрачиваемой организмом энергией лучше работают ферментативные системы обеспечивающие расщепление и дальнейшее использование веществ пищи а также выведение из организма токсичных продуктов распада. Нормы потребления витаминов зависят от состава пищи...
22875. Влияние вредных привычек на состояние здоровья человека 96.5 KB
  Возможно формирование психической зависимости от алкоголя: влечение к алкоголю и чувствопсихологического комфорта в состоянии опьянения. Лица с начальными признаками алкоголизма им свойственны наличие психической зависимости отсутствие при передозировке алкоголя рвотного рефлекса и чувства отвращения к спиртному по утрам переход к эпизодическому но при этом длительному потреблению появление способности организма к нормальному функционированию при потреблении спиртных напитков отсутствие торможения при потреблении алкоголя и...
22876. Физиология организма человека. Стресс, его роль в адаптации че 70 KB
  Стресс его роль в адаптации человека к социальной и трудовой деятельности. Понятие о стрессе как об общем адаптационном синдроме учение о стрессе Г. Сущность психогенного стресса и его влияние на человека. Степень развития интеллекта; Способность контролировать свои эмоции и поведение в различных ситуациях; Способность справляться со стрессом.
22877. Дійсний простір n – вимірних векторів 40 KB
  Для векторів вводимо дві операції – додавання та множення на скаляри. Під сумою двох векторів a=α1 α2 αn і b=β1 β 2 βn будемо розуміти вектор ab=α1β1 α2 β2 αn βn. Неважко перевірити що операція додавання векторів має такі властивості: .
22878. Лінійно залежні та лінійно незалежні системи векторів 20.5 KB
  Системою векторів в просторі Rn будемо називати будьяку скінчену послідовність векторів Нехай a1 a2 am є Rn Нехай a1 a2 am є Rn деяка система векторів α1 α2 αm є R система скалярів. Тоді вектор a= α1a1α2a2αmam називається лінійною комбінацією системи векторів a1 a2 am. Зрозуміло що тривіальна лінійна комбінація будьякої системи векторів рівна 0.
22879. Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів 22.5 KB
  Якщо до системи входить  то система лінійно залежна. Лінійна комбінація нетривіальна оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1 отже система лінійно залежна. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.
22880. Дії над комплексними числами 1.04 MB
  Тоді . Нехай комплексне число тоді комплексноспряженим до нього назвемо число . Скористаємося правилом множення комплексних чисел: Розглянемо випадок коли тоді . Нехай `відповідає комплексному числу позначимо через довжину вектора а через кут який утворює цей вектор з додатним напрямком осі тоді тригонометрична форма комплексного числа.
22881. Еволюція поняття числа 135 KB
  В основі всіх числових множин лежить натуральний ряд чисел. Відомо що діагональ квадрата в такому випадку рівна Покажемо що не є раціональним числом. Кожне дійсне не раціональне число можна записати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Відрізок ділимо на 10 різних частин за беремо число яке на 1 менше за номер відрізка на якому знаходиться число .