10957

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывная случайная величина и плотность распределения Случайная величина называется непрерывной если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось либо отрезок отрезки числовой оси а вероятность наступления любого элементарного события р

Русский

2013-04-03

181.23 KB

33 чел.

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Случайная величина  называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

 (7.1)

Пусть имеется непрерывная СВ  с функцией распределения , которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от  до  т.е. приращение функции распределения на этом участке:

  (7.2)

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать  к 0. В пределе получим производную от функции распределения, т.е.:

  (7.3)

Функция  производная функции распределения характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе – "плотностью вероятности") непрерывной СВ .

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, т. к.  существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ X с плотностью распределения  и элементарный участок  примыкающий к точке

Рис. 7.1. Вероятность попадания на элементарный интервал

Вероятность попадания СВ  на этот элементарный участок(с точность до бесконечно малых высшего порядка) равна  Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок  (см. рис. 7.1.).

Выразим вероятность попадания СВ  на отрезок от  до  через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, т.е. интегралу:

   (7.4)

Рис. 7.2. Вероятность попадания на интервал

Т.о. геометрически вероятность попадания величины на отрезок  равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис.7.2.).

Формула (7.3) выражает плотность распределения через функцию распределения. Поставим обратную задачу – выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению

 (7.5)

Из формулы (7.5) с учетом (7.4) получим:

    (7.6)

Геометрически  есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки (см. рис. 7.3).

Рис.7.3. Вычисление функции распределения через плотность

Основные свойства плотности распределения

  1.  Плотность распределения является неотрицательной функцией

      (7.7)

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения  функция неубывающая.

  1.  Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

   (7.8)

Геометрически основные свойства плотности распределения означают следующее:

  1.  вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
  2.  площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров:

ПРИМЕР 1:  Функция распределения непрерывной СВ  равна

Необходимо найти: коэффициент , плотность распределения  и, наконец, вероятность

РЕШЕНИЕ:  а) Т.к.  функция непрерывная, то при ,  т.е.

б)

в)

ПРИМЕР 2:  СВ подчинена закону распределения с плотностью

Необходимо: а) найти коэффициент ; б) построить график плотности распределения  в) найти  и построить график; г) найти вероятность попадания СВ  на участок .

РЕШЕНИЕ:  а)  

б)

в) По формуле (7.6) получим выражение для функции распределения:

г)  

Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой  случайной величины  называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность  или плотность вероятности  достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 7.4).

Рис.7.4. Мода распределения

Медианой  случайной величины  называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ  одинаково вероятна тому, что СВ   и будет равна 0.5.

   (7.9)

  (7.10)

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (функция распределения равна 0.5) (рис. 7.5.).

Рис. 7.5. Медиана распределения

Квантилем уровня  (или  квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , т.е.

   (7.11)

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0.5, т.е.  Квантили  и  получили название нижнего и верхнего квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ной точкой подразумевается квантиль , т.е. такое значение случайной величины , при котором

ПРИМЕР 3:  Необходимо найти моду, медиану, квантиль  и 30%-ную точку СВ  с плотностью вероятности  при

РЕШЕНИЕ: Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции ). Однако данная функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при .

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (7.10):

Отсюда получим  .

По формуле (7.6) получим функцию распределения

Учитывая (7.11), найдем квантиль    откуда  30%-ную точку случайной величины  или квантиль  найдем из уравнения   откуда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12766. АСУ различного назначения, примеры их использования. Демонстрация использования различных видов АСУ на практике в социально-экономической сфере деятельности 57.65 KB
  ТЕМА: АСУ различного назначения примеры их использования. Демонстрация использования различных видов АСУ на практике в социальноэкономической сфере деятельности. ЗАДАНИЕ 1: Найти сведения о станках с ЧПУ в Википедии. Вставить в отчет адреса сайтов на которы
12767. Гипертекстовое представление информации 53.55 KB
  Практическая работа № 15 Гипертекстовое представление информации. Цель: получить представление об OCR программах распознавания текста познакомиться с возможностями данных программ научиться распознавать отсканированный текст передавать и редактировать его ...
12768. Поисковые системы. Пример поиска информации или информационного объекта в тексте, в файловых структурах, на государственных образовательных порталах 313.2 KB
  Практическая работа № 6 Тема: Поисковые системы. Пример поиска информации или информационного объекта в тексте в файловых структурах на государственных образовательных порталах Цель: поиск нужной информации в тексте в файловых структурах; освоение прием...
12769. Создание архива данных. Извлечение данных из архива. Запись информации на компакт-диски различных видов 14.26 KB
  ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5 Тема: Создание архива данных. Извлечение данных из архива. Запись информации на компактдиски различных видов. Цель: освоить работу с программой архиватором WinRar и программой для работы с дисками Nero. Задание: Открыть программу WinRar оз
12770. Использование систем проверки орфографии и грамотки 2.13 MB
  Практическая работа № 13 Использование систем проверки орфографии и грамотки. Графические редакторы подразделяются на системы научной иллюстративной и коммерческой графики. Системы научной графики предназначены для афформления научных расчетов содержащих ф...
12771. Форматирование в текстовом редакторе Word 16.27 KB
  Практическая работа N14.Форматирование в текстовом редакторе Word. Шрифт Настройка формата выделенных символов осуществляется в диалоге и включает такие характеристики: шрифтArial Times Courier; начертаниеОбычный Курсив Полужир
12772. Системы статистического учета (статистическая обработка социальных исследований) 596.83 KB
  Информатика и ИКТ Практическая работа № 17 Системы статистического учета статистическая обработка социальных исследований. Цель: Изучение технологии организации расчетов с использованием встроенных функций в таблицах MS Excel. Оборудование: ПК Программное об
12773. Практикум по программированию на JavaScript 728.5 KB
  Практикум по программированию на JavaScript Введение Цель этих 30 уроков состоит в том чтобы научить читателя самостоятельно создавать сценарии JavaScript. Если вы пытались ознакомиться с JavaScript с помощью книг или Интернет то почти наверняка это оказалось не просто. Изучение J...
12774. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ САЙТА 36.58 KB
  КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ САЙТА Назначение этого типа оценки сайта определить основные характеристики Webсайта чтобы выявить очевидные проблемы связанные с удобством использования и исполнением. Для обнаружения недостатков в исполнении сайта которые не могут быть замечены ...