10957

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывная случайная величина и плотность распределения Случайная величина называется непрерывной если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось либо отрезок отрезки числовой оси а вероятность наступления любого элементарного события р

Русский

2013-04-03

181.23 KB

33 чел.

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Случайная величина  называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

 (7.1)

Пусть имеется непрерывная СВ  с функцией распределения , которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от  до  т.е. приращение функции распределения на этом участке:

  (7.2)

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать  к 0. В пределе получим производную от функции распределения, т.е.:

  (7.3)

Функция  производная функции распределения характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе – "плотностью вероятности") непрерывной СВ .

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, т. к.  существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ X с плотностью распределения  и элементарный участок  примыкающий к точке

Рис. 7.1. Вероятность попадания на элементарный интервал

Вероятность попадания СВ  на этот элементарный участок(с точность до бесконечно малых высшего порядка) равна  Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок  (см. рис. 7.1.).

Выразим вероятность попадания СВ  на отрезок от  до  через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, т.е. интегралу:

   (7.4)

Рис. 7.2. Вероятность попадания на интервал

Т.о. геометрически вероятность попадания величины на отрезок  равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис.7.2.).

Формула (7.3) выражает плотность распределения через функцию распределения. Поставим обратную задачу – выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению

 (7.5)

Из формулы (7.5) с учетом (7.4) получим:

    (7.6)

Геометрически  есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки (см. рис. 7.3).

Рис.7.3. Вычисление функции распределения через плотность

Основные свойства плотности распределения

  1.  Плотность распределения является неотрицательной функцией

      (7.7)

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения  функция неубывающая.

  1.  Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

   (7.8)

Геометрически основные свойства плотности распределения означают следующее:

  1.  вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
  2.  площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров:

ПРИМЕР 1:  Функция распределения непрерывной СВ  равна

Необходимо найти: коэффициент , плотность распределения  и, наконец, вероятность

РЕШЕНИЕ:  а) Т.к.  функция непрерывная, то при ,  т.е.

б)

в)

ПРИМЕР 2:  СВ подчинена закону распределения с плотностью

Необходимо: а) найти коэффициент ; б) построить график плотности распределения  в) найти  и построить график; г) найти вероятность попадания СВ  на участок .

РЕШЕНИЕ:  а)  

б)

в) По формуле (7.6) получим выражение для функции распределения:

г)  

Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой  случайной величины  называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность  или плотность вероятности  достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 7.4).

Рис.7.4. Мода распределения

Медианой  случайной величины  называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ  одинаково вероятна тому, что СВ   и будет равна 0.5.

   (7.9)

  (7.10)

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (функция распределения равна 0.5) (рис. 7.5.).

Рис. 7.5. Медиана распределения

Квантилем уровня  (или  квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , т.е.

   (7.11)

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0.5, т.е.  Квантили  и  получили название нижнего и верхнего квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ной точкой подразумевается квантиль , т.е. такое значение случайной величины , при котором

ПРИМЕР 3:  Необходимо найти моду, медиану, квантиль  и 30%-ную точку СВ  с плотностью вероятности  при

РЕШЕНИЕ: Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции ). Однако данная функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при .

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (7.10):

Отсюда получим  .

По формуле (7.6) получим функцию распределения

Учитывая (7.11), найдем квантиль    откуда  30%-ную точку случайной величины  или квантиль  найдем из уравнения   откуда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24337. Оценка и аттестация персонала 336 KB
  Оценка более широкое понятие чем аттестация. Оценка может быть формальной и неформальной например ежедневная оценка руководителем подчиненного. Оценка может осуществляться как регулярно так и нерегулярно в зависимости от конкретных потребностей компании.
24338. ПОКАЗАТЕЛИ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПОДРАЗДЕЛЕНИЙ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСОНАЛОМ 66 KB
  Количество жалоб работников Уровень производственного травматизма и профзаболеваний Оценка деятельности кадровой составляющей деятельности организации будет неполной без оценки качества работы работников кадровых служб по следующим показателям: выполнение обязательств по подбору предусмотренного штатным расписанием организации количества работников; выполнение обязательств по обеспечению организации руководителями специалистами и рабочими требуемых профессий специальностей и квалификации; количество случаев нарушений установленного...
24339. Аттестация персонала 205 KB
  Кроме того у аттестации и оценки совершенно разный юридический статус и разные последствия. По результатам оценки нельзя уволить сотрудника а по итогам аттестации можно п. Однако увольнение будет правомерным лишь в том случае если в фирме действует положение об аттестации составленное и утвержденное по всем правилам трудового законодательства. 3 Результаты аттестации важны при проведении процедуры увольнения в связи с сокращением численности или штата п.
24340. АУДИТ ПЕРСОНАЛА 69.5 KB
  Но существуют и специфические показатели: результативность эффективность деятельности структурных подразделений и отдельных работников; удовлетворенность персонала своей работой и принадлежностью к организации; текучесть кадров; соблюдение трудовой дисциплины; наличие конфликтов на всех уровнях отношений; характер социапьнопсихологического климата и особенности организационной культуры в организации. 1 В данном случае термин аудит означает экспертизу соответствия организационной функциональной и...
24341. Традиции, новации, эволюция и революция в науке 39.5 KB
  В науке традиция это система канонизированных общепринятых знаний норм и идеалов научного познания. Традиция подпитывает такой важный феномен в науке как консерватизм позиция направленная на сохранение установившихся правил игры в науке регламентирующих и управляющих творческим процессом. Поэтому можно согласиться с мнением что консерватизм в науке выражает здоровые потенции в ней противостоя некомпетентности дилетантизму.
24342. Развитие научного знания как смена типов научной рациональности доклассическая, классическая и неклассическая 207.5 KB
  В философии науки сложилась традиция выделения следующих типов научной рациональности и соответствующих научных картин мира: классической неклассической постнекдассической.из чего устроен мир как он движется Появляются также онтологические модели устройства мира в целом. Так в модели мира Анаксимандра в центре мира была Земля в форме цилиндра покрытая водой затем воздух и небесная сфера в форме трех вращающихся огненных колец: солнечного лунного звездного. У Гераклита центр мира тоже Земля а от нее к светилам распространялись...
24343. Признаки постнеклассического этапа развития науки (системные и информационный подход, приципы самоорганизации и универсального эволюционизма) 200.5 KB
  В основе системного подхода как методологии научного познания лежит исследование объекта как системы.Иванов писал что соответственно образуется ветвь онтологических определений системы которые трактуют её как объект реальности наделённый определёнными системными свойствами как целостность обладающую некоторой организующей общностью этого целого. Итак в процессе человеческой деятельности реализация принципа системности может идти по следующим направлениям: Исследуются реально существующие объекты рассматриваемые как системы на...
24344. Этические проблемы науки в конце 20 столетия (общечеловеческая и профессиональная этика, принцип «нейтральности» и ответственности ученого на примере биоэтики – клонирование и трансплантации органов) 175 KB
  197 Этика науки Как отмечалось ранее качественные изменения в развитии человечества в начале XXI века связанные с научнотехническим прогрессом отражаются на жизнедеятельности самого человека и приводят к последствиям глобального характера. Проблема взаимоотношения науки и этики решается в двух тесно связанных между собой аспектах: разработки профессиональной этики ученых и решения учеными вопроса о социальной ответственности научного сообщества за негативные последствия применения результатов научных исследований в практике....
24345. Экологическая этика и ее философские основания. Философия русского космизма. Учение о ноосфере 113.5 KB
  Что касается космистского мировоззрения то оно главным предметом своего познавательного и ценностного отношения делает взаимодействие человека и среды последняя понимается чаще всего как Космос. Спирин русский космизм как универсалистский тип миросозерцания отражающий бытие мира и человека в их единстве в нерасторжимой взаимосвязи микрокосма человека и микрокосма природы Казначеев В. Космопланетарный феномен человека: проблемы комплексного изучения. Хотя русский космизм внутренне исключительно разнообразен и включает полярные по...