10957

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывная случайная величина и плотность распределения Случайная величина называется непрерывной если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось либо отрезок отрезки числовой оси а вероятность наступления любого элементарного события р

Русский

2013-04-03

181.23 KB

33 чел.

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Случайная величина  называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

 (7.1)

Пусть имеется непрерывная СВ  с функцией распределения , которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от  до  т.е. приращение функции распределения на этом участке:

  (7.2)

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать  к 0. В пределе получим производную от функции распределения, т.е.:

  (7.3)

Функция  производная функции распределения характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе – "плотностью вероятности") непрерывной СВ .

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, т. к.  существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ X с плотностью распределения  и элементарный участок  примыкающий к точке

Рис. 7.1. Вероятность попадания на элементарный интервал

Вероятность попадания СВ  на этот элементарный участок(с точность до бесконечно малых высшего порядка) равна  Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок  (см. рис. 7.1.).

Выразим вероятность попадания СВ  на отрезок от  до  через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, т.е. интегралу:

   (7.4)

Рис. 7.2. Вероятность попадания на интервал

Т.о. геометрически вероятность попадания величины на отрезок  равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис.7.2.).

Формула (7.3) выражает плотность распределения через функцию распределения. Поставим обратную задачу – выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению

 (7.5)

Из формулы (7.5) с учетом (7.4) получим:

    (7.6)

Геометрически  есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки (см. рис. 7.3).

Рис.7.3. Вычисление функции распределения через плотность

Основные свойства плотности распределения

  1.  Плотность распределения является неотрицательной функцией

      (7.7)

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения  функция неубывающая.

  1.  Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

   (7.8)

Геометрически основные свойства плотности распределения означают следующее:

  1.  вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
  2.  площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров:

ПРИМЕР 1:  Функция распределения непрерывной СВ  равна

Необходимо найти: коэффициент , плотность распределения  и, наконец, вероятность

РЕШЕНИЕ:  а) Т.к.  функция непрерывная, то при ,  т.е.

б)

в)

ПРИМЕР 2:  СВ подчинена закону распределения с плотностью

Необходимо: а) найти коэффициент ; б) построить график плотности распределения  в) найти  и построить график; г) найти вероятность попадания СВ  на участок .

РЕШЕНИЕ:  а)  

б)

в) По формуле (7.6) получим выражение для функции распределения:

г)  

Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой  случайной величины  называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность  или плотность вероятности  достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 7.4).

Рис.7.4. Мода распределения

Медианой  случайной величины  называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ  одинаково вероятна тому, что СВ   и будет равна 0.5.

   (7.9)

  (7.10)

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (функция распределения равна 0.5) (рис. 7.5.).

Рис. 7.5. Медиана распределения

Квантилем уровня  (или  квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , т.е.

   (7.11)

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0.5, т.е.  Квантили  и  получили название нижнего и верхнего квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ной точкой подразумевается квантиль , т.е. такое значение случайной величины , при котором

ПРИМЕР 3:  Необходимо найти моду, медиану, квантиль  и 30%-ную точку СВ  с плотностью вероятности  при

РЕШЕНИЕ: Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции ). Однако данная функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при .

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (7.10):

Отсюда получим  .

По формуле (7.6) получим функцию распределения

Учитывая (7.11), найдем квантиль    откуда  30%-ную точку случайной величины  или квантиль  найдем из уравнения   откуда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82872. Организация работы производства ресторана с французской кухней на 75 мест 523.5 KB
  Определение количества блюд и напитков подлежащих изготовлению.Разбивка блюд по ассортименту в соответствии с коэффициентами потребления. К региональной кухне относятся блюда которые на протяжении веков готовили жители различных исторических областей страны. Её неповторимые блюда отличались разнообразием и изысканностью.
82873. Разработка всасывающей пневмотранспортной установки производительностью 6 т/ч 375 KB
  Здесь происходит отделение основной массы сыпучего материала от транспортирующего воздуха. Все элементы расположены по направлению движения воздуха после отделителей соединены между собой воздуховодами. Питатель всасывающей установки выполняет функцию загрузочного устройства для подачи материала в движущуюся струю воздуха...
82874. Уровень и качество жизни населения 181.5 KB
  Актуальность темы курсового проекта заключается в том, что уровень и качество жизни населения являются одними из важнейших социально-экономических категорий, характеризующие благосостояние населения в Республике Башкортостан и определяют положение региона в целом.
82875. Оценка приспособленности грузовой платформы автомобиля КАМАЗ-4308-А3 (4х2) с прицепом НЕФАЗ-8560-62-02 к перевозке грузов и исследование расчетным методом тягово-скоростных свойств 276.56 KB
  Величину полезной работы можно оценить объемом перевозок т или производительностью ткм поэтому одним из важнейших условий определяющих эффективность эксплуатации АТС является степень приспособленности кузова АТС к превозке наиболее вероятных грузов.
82876. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ И ЗНАЧЕНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ В ЛОГИСТИКЕ 89.13 KB
  Цель данной работы: раскрыть сущность сбережений и инвестиций в рыночной экономике и на основании теоретических данных рассмотреть проблемы превращения сбережений в инвестиции в России. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи: проанализировать понятие виды и функции инвестиций...
82877. Теоретические и практические аспекты усовершенствования механизма планирования фонда оплаты труда на предприятии ОАО «Русь» 119.89 KB
  Для осуществления этих целей необходимо выполнить следующие задачи. Во-первых, определить сущность категории заработной платы. Во-вторых, рассмотреть существующие формы и системы оплаты труда, порядок начисления некоторых видов заработной платы и то, как эти формы и системы применяются на обследуемом предприятии.
82878. Разработка основных элементов ППР по благоустройству частного сада 1.81 MB
  Нормативные данные на выполненную единицу работ взяты из СНиП, а состав бригады и количество рабочих - из сборника ЕНИР. Определение объемов работ производится на основании рабочих чертежей проекта участка. Объемы работ по проекту исчислены в соответствии с требованиями определения объемов работ, приведенных в технической части нормативных сборник.
82879. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ГТС НА БАЗЕ ТЕХНОЛОГИИ SDH 1.11 MB
  Прагматическая стратегия предусматривает эксплуатацию аналогового оборудования на сети возможно более длительные сроки, замена на цифровое оборудование производиться только в случае, когда это оправдано технически и экономически.
82880. Расчет привод асинхронного двигателя по заданной схеме 255.29 KB
  Основным материалом зубчатых колес служат термически обрабатываемые стали так как по сравнению с другими материалами они в большей степени обеспечивают высокую контактную и изгибную прочность зубьев. Предварительное межосевое расстояние так как Окружная скорость Назначаем 9 степень точности...