10957

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывная случайная величина и плотность распределения Случайная величина называется непрерывной если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось либо отрезок отрезки числовой оси а вероятность наступления любого элементарного события р

Русский

2013-04-03

181.23 KB

33 чел.

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Случайная величина  называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

 (7.1)

Пусть имеется непрерывная СВ  с функцией распределения , которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от  до  т.е. приращение функции распределения на этом участке:

  (7.2)

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать  к 0. В пределе получим производную от функции распределения, т.е.:

  (7.3)

Функция  производная функции распределения характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе – "плотностью вероятности") непрерывной СВ .

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, т. к.  существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ X с плотностью распределения  и элементарный участок  примыкающий к точке

Рис. 7.1. Вероятность попадания на элементарный интервал

Вероятность попадания СВ  на этот элементарный участок(с точность до бесконечно малых высшего порядка) равна  Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок  (см. рис. 7.1.).

Выразим вероятность попадания СВ  на отрезок от  до  через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, т.е. интегралу:

   (7.4)

Рис. 7.2. Вероятность попадания на интервал

Т.о. геометрически вероятность попадания величины на отрезок  равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис.7.2.).

Формула (7.3) выражает плотность распределения через функцию распределения. Поставим обратную задачу – выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению

 (7.5)

Из формулы (7.5) с учетом (7.4) получим:

    (7.6)

Геометрически  есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки (см. рис. 7.3).

Рис.7.3. Вычисление функции распределения через плотность

Основные свойства плотности распределения

  1.  Плотность распределения является неотрицательной функцией

      (7.7)

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения  функция неубывающая.

  1.  Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

   (7.8)

Геометрически основные свойства плотности распределения означают следующее:

  1.  вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
  2.  площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров:

ПРИМЕР 1:  Функция распределения непрерывной СВ  равна

Необходимо найти: коэффициент , плотность распределения  и, наконец, вероятность

РЕШЕНИЕ:  а) Т.к.  функция непрерывная, то при ,  т.е.

б)

в)

ПРИМЕР 2:  СВ подчинена закону распределения с плотностью

Необходимо: а) найти коэффициент ; б) построить график плотности распределения  в) найти  и построить график; г) найти вероятность попадания СВ  на участок .

РЕШЕНИЕ:  а)  

б)

в) По формуле (7.6) получим выражение для функции распределения:

г)  

Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой  случайной величины  называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность  или плотность вероятности  достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 7.4).

Рис.7.4. Мода распределения

Медианой  случайной величины  называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ  одинаково вероятна тому, что СВ   и будет равна 0.5.

   (7.9)

  (7.10)

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (функция распределения равна 0.5) (рис. 7.5.).

Рис. 7.5. Медиана распределения

Квантилем уровня  (или  квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , т.е.

   (7.11)

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0.5, т.е.  Квантили  и  получили название нижнего и верхнего квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ной точкой подразумевается квантиль , т.е. такое значение случайной величины , при котором

ПРИМЕР 3:  Необходимо найти моду, медиану, квантиль  и 30%-ную точку СВ  с плотностью вероятности  при

РЕШЕНИЕ: Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции ). Однако данная функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при .

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (7.10):

Отсюда получим  .

По формуле (7.6) получим функцию распределения

Учитывая (7.11), найдем квантиль    откуда  30%-ную точку случайной величины  или квантиль  найдем из уравнения   откуда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16993. Профілі обладнання.Створення командних файлів 78.5 KB
  речка Ю.Г. Варіант 4 ВПЗ 2ПМС07 Практична робота №3 Тема: Профілі обладнання.Створення командних файлів. Мета: Навчитися створювати профілі обладнання та тривіальні команд
16994. Створення командних файлів. Створення файлів config.sys, autoexec.bat 36.5 KB
  Практична робота №3 Тема: Створення командних файлів. Створення файлів config.sys autoexec.bat. Мета: Навчитися створювати тривіальні командні файли; створювати файли config.sys autoexec.bat. Устаткування: ПК. Операційна система MSDOS та Windows. Хід роботи I. Слідуючи вказівкам напиш...
16995. Робота з файловими менеджерами для ОС MS-DOS. Настройка і створення меню користувача 294.5 KB
  Практична робота №2 Тема: Робота з файловими менеджерами для ОС MSDOS. Настройка і створення меню користувача. Мета: Навчитися працювати з каталогами файлами а також створювати і настроювати меню користувача. Устаткування: ПК. Файловий менеджер NC операційна система M...
16996. Робота з вікнами. Створення папок, текстових файлів. Копіювання, переміщення, перейменування, відновлення файлів. Створення ярликів 5.35 MB
  Практична робота №4 Тема: Робота з вікнами. Створення папок текстових файлів. Копіювання переміщення перейменування відновлення файлів. Створення ярликів. Мета: Навчитися виконувати основні операції над файлами. Устаткування: ПК. Операційна система Windows. ...
16997. Поняття і сутність менеджменту 6.35 MB
  ТЕМА 1. Поняття і сутність менеджменту Еволюція поглядів на сутність менеджменту Організація як обєкт управління. Менеджмент як вид професійної діяльності. Для позначення діяльності з координації роботи людей на практиці використовують різні по...
16998. Розвиток науки управління 1.77 MB
  ТЕМА 2. Розвиток науки управління. Виникнення науки менеджменту. Ранні теорії менеджменту. 1. Еволюція управлінської думки Хоча організації як форма обєднання людей для досягнення спільної мети існують не одне тисячоліття але до середини ХІХ столітт
16999. Прийняття управлінських рішень 6.78 MB
  ТЕМА 3. Прийняття управлінських рішень. Основи теорії прийняття рішень. Процес прийняття рішень. Методи творчого пошуку альтернатив. 1. Основи теорії прийняття рішень У науковій літературі зустрічається як розширене так і вузьке розуміння процесу
17000. Методи обґрунтування управлінських рішень 5.46 MB
  ТЕМА 4. Методи обґрунтування управлінських рішень. Класифікація методів обґрунтування управлінських рішень. Інструменти обґрунтування управлінських рішень. Обґрунтування рішень в умовах невизначеності. 1. Класифікація методів обґрунтування управ
17001. Планування в організації 13.06 MB
  ТЕМА 5. Планування в організації. Сутність планування як функції управління. Цілі управлінського планування. Стратегічне планування. 1. Сутність планування як функції управління Щоб спільні зусилля співробітників організації були успішними вон