10957

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывная случайная величина и плотность распределения Случайная величина называется непрерывной если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось либо отрезок отрезки числовой оси а вероятность наступления любого элементарного события р

Русский

2013-04-03

181.23 KB

33 чел.

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Случайная величина  называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

 (7.1)

Пусть имеется непрерывная СВ  с функцией распределения , которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от  до  т.е. приращение функции распределения на этом участке:

  (7.2)

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать  к 0. В пределе получим производную от функции распределения, т.е.:

  (7.3)

Функция  производная функции распределения характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе – "плотностью вероятности") непрерывной СВ .

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, т. к.  существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ X с плотностью распределения  и элементарный участок  примыкающий к точке

Рис. 7.1. Вероятность попадания на элементарный интервал

Вероятность попадания СВ  на этот элементарный участок(с точность до бесконечно малых высшего порядка) равна  Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок  (см. рис. 7.1.).

Выразим вероятность попадания СВ  на отрезок от  до  через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, т.е. интегралу:

   (7.4)

Рис. 7.2. Вероятность попадания на интервал

Т.о. геометрически вероятность попадания величины на отрезок  равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис.7.2.).

Формула (7.3) выражает плотность распределения через функцию распределения. Поставим обратную задачу – выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению

 (7.5)

Из формулы (7.5) с учетом (7.4) получим:

    (7.6)

Геометрически  есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки (см. рис. 7.3).

Рис.7.3. Вычисление функции распределения через плотность

Основные свойства плотности распределения

  1.  Плотность распределения является неотрицательной функцией

      (7.7)

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения  функция неубывающая.

  1.  Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

   (7.8)

Геометрически основные свойства плотности распределения означают следующее:

  1.  вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
  2.  площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров:

ПРИМЕР 1:  Функция распределения непрерывной СВ  равна

Необходимо найти: коэффициент , плотность распределения  и, наконец, вероятность

РЕШЕНИЕ:  а) Т.к.  функция непрерывная, то при ,  т.е.

б)

в)

ПРИМЕР 2:  СВ подчинена закону распределения с плотностью

Необходимо: а) найти коэффициент ; б) построить график плотности распределения  в) найти  и построить график; г) найти вероятность попадания СВ  на участок .

РЕШЕНИЕ:  а)  

б)

в) По формуле (7.6) получим выражение для функции распределения:

г)  

Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой  случайной величины  называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность  или плотность вероятности  достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 7.4).

Рис.7.4. Мода распределения

Медианой  случайной величины  называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ  одинаково вероятна тому, что СВ   и будет равна 0.5.

   (7.9)

  (7.10)

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (функция распределения равна 0.5) (рис. 7.5.).

Рис. 7.5. Медиана распределения

Квантилем уровня  (или  квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , т.е.

   (7.11)

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0.5, т.е.  Квантили  и  получили название нижнего и верхнего квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ной точкой подразумевается квантиль , т.е. такое значение случайной величины , при котором

ПРИМЕР 3:  Необходимо найти моду, медиану, квантиль  и 30%-ную точку СВ  с плотностью вероятности  при

РЕШЕНИЕ: Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции ). Однако данная функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при .

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (7.10):

Отсюда получим  .

По формуле (7.6) получим функцию распределения

Учитывая (7.11), найдем квантиль    откуда  30%-ную точку случайной величины  или квантиль  найдем из уравнения   откуда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81137. «Яке частування - таке й дякування». Вивчення української народної казки «Лисичка та журавель» 45.5 KB
  Вчити дітей виділяти в тексті дійових осіб давати їм елементарну характеристику спостерігати за структурою і сюжетом казки формувати навички правильного і свідомого читання мовчки та вголос. А хто друга дійова особа здогадаєтесь прочитавши назву казки. Чи дружили ці тварини?
81138. Кольорові віршики 77 KB
  Мета: повторити українські назви кольорів; учити використовувати їх у мовленні, збагачувати й активізувати словниковий запас на основі текстів за темою; розвивати мовленневі навички мислення учнів; виховувати інтерес до вивчення української мови, вміння бачити прекрасне довкола.
81139. Задачі на знаходження суми й остачі 39.5 KB
  Мета. Закріплювати навички табличного додавання і віднімання в межах 10, уміння складати й розв’язувати задачі на знаходження суми й остачі; учити вимірювати довжину сторін многокутника та будувати в зошиті чотирикутник за зразком; розвивати просторову уяву; виховувати бажання вчитись.
81140. Социальные конфликты. Управление социальным конфликтом 47.72 KB
  Сущность социального конфликта заключается в столкновении между постоянно обновляемым содержанием жизни и устаревшими отжившими формами культуры. На современном этапе развития социологической науки выделяют две основные парадигмы с точки зрения роли конфликта в обществе. Осознавая причины социального конфликта люди упрочивают социальные связи приспосабливаются друг к другу ассимилируются в группу где отдают предпочтение не конфликтам а другим видам социального взаимодействия. Причина конфликта связана с потребностями конфликтующих сторон.
81141. Динамика социального конфликта 35.58 KB
  Динамика конфликта это процесс изменения конфликта. Этапы конфликта: предконфликтная ситуация это время вызревания конфликта развития и обострения противоречий его вызывающих. Будущие оппоненты конфликта еще не осознают нарастание и последствия уже наметившегося конфликта.
81142. Сущность социальной организации. Миссия, цель организации 40.13 KB
  Миссия цель организации. формализация отношений в организации и нормативная регуляция поведения членов данной организации. Структура организации.
81143. Элементы организации 69.88 KB
  Организации это весьма изменчивые и высокосложные социальные образования. Социальная структура является центральным элементом любой организации. Она относится к шаблонным или регулируемым аспектам взаимоотношений между участниками организации.
81144. Основные понятия теории управления персоналом организации 39.82 KB
  В последние 50 лет термин управление персоналом использовался для описания функции управления посвященной найму развитию обучению ротации обеспечению безопасности и увольнению персонала. Управление персоналом вид деятельности по руководству людьми направленный на достижение целей фирмы предприятия путем использования труда опыта таланта этих людей с учетом их удовлетворенности трудом. В современном подходе управление персоналом включает: планирование потребности в квалифицированных сотрудниках; составление штатного расписания и...
81145. Современные модели управления 262.4 KB
  На сегодня многие признают концепцию управления персоналом известного российского ученого в области менеджмента Л. В рамках органической парадигмы последовательно сложились вторая концепция управления персоналом и третья концепция управления человеческими ресурсами. Научной основой концепции управления персоналом развивавшейся с 30х гг.