10957

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывная случайная величина и плотность распределения Случайная величина называется непрерывной если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось либо отрезок отрезки числовой оси а вероятность наступления любого элементарного события р

Русский

2013-04-03

181.23 KB

33 чел.

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Случайная величина  называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

 (7.1)

Пусть имеется непрерывная СВ  с функцией распределения , которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от  до  т.е. приращение функции распределения на этом участке:

  (7.2)

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать  к 0. В пределе получим производную от функции распределения, т.е.:

  (7.3)

Функция  производная функции распределения характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе – "плотностью вероятности") непрерывной СВ .

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, т. к.  существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ X с плотностью распределения  и элементарный участок  примыкающий к точке

Рис. 7.1. Вероятность попадания на элементарный интервал

Вероятность попадания СВ  на этот элементарный участок(с точность до бесконечно малых высшего порядка) равна  Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок  (см. рис. 7.1.).

Выразим вероятность попадания СВ  на отрезок от  до  через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, т.е. интегралу:

   (7.4)

Рис. 7.2. Вероятность попадания на интервал

Т.о. геометрически вероятность попадания величины на отрезок  равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис.7.2.).

Формула (7.3) выражает плотность распределения через функцию распределения. Поставим обратную задачу – выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению

 (7.5)

Из формулы (7.5) с учетом (7.4) получим:

    (7.6)

Геометрически  есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки (см. рис. 7.3).

Рис.7.3. Вычисление функции распределения через плотность

Основные свойства плотности распределения

  1.  Плотность распределения является неотрицательной функцией

      (7.7)

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения  функция неубывающая.

  1.  Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

   (7.8)

Геометрически основные свойства плотности распределения означают следующее:

  1.  вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
  2.  площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров:

ПРИМЕР 1:  Функция распределения непрерывной СВ  равна

Необходимо найти: коэффициент , плотность распределения  и, наконец, вероятность

РЕШЕНИЕ:  а) Т.к.  функция непрерывная, то при ,  т.е.

б)

в)

ПРИМЕР 2:  СВ подчинена закону распределения с плотностью

Необходимо: а) найти коэффициент ; б) построить график плотности распределения  в) найти  и построить график; г) найти вероятность попадания СВ  на участок .

РЕШЕНИЕ:  а)  

б)

в) По формуле (7.6) получим выражение для функции распределения:

г)  

Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой  случайной величины  называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность  или плотность вероятности  достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 7.4).

Рис.7.4. Мода распределения

Медианой  случайной величины  называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ  одинаково вероятна тому, что СВ   и будет равна 0.5.

   (7.9)

  (7.10)

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (функция распределения равна 0.5) (рис. 7.5.).

Рис. 7.5. Медиана распределения

Квантилем уровня  (или  квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , т.е.

   (7.11)

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0.5, т.е.  Квантили  и  получили название нижнего и верхнего квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ной точкой подразумевается квантиль , т.е. такое значение случайной величины , при котором

ПРИМЕР 3:  Необходимо найти моду, медиану, квантиль  и 30%-ную точку СВ  с плотностью вероятности  при

РЕШЕНИЕ: Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции ). Однако данная функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при .

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (7.10):

Отсюда получим  .

По формуле (7.6) получим функцию распределения

Учитывая (7.11), найдем квантиль    откуда  30%-ную точку случайной величины  или квантиль  найдем из уравнения   откуда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68977. Одновимірні та багатовимірні масиви 30 KB
  Відповідно до синтаксису Сі в мові існують тільки одновимірні масиви, проте елементами одновимірного масиву, у свою чергу, можуть бути масиви. Тому двовимірний масив визначається як масив масивів. Таким чином, в прикладі визначений масив Z з 13 елементів-масивів, кожний з яких...
68978. Вказівники. Функції динамічного розподілу пам’яті 37 KB
  Кожна змінна в програмі - це об’єкт, який має ім’я і значення. За ім’ям можна звернутися до змінної і отримати (а потім, наприклад, надрукувати) її значення. Щоб отримати адресу в явному вигляді, в мові Сі застосовують унарну операцію. Вираз Е дозволяє отримати адресу ділянки пам’яті, виділеної на машинному рівні для змінної Е.
68979. Функції, їх параметри. Рекурсія. Прототипи функцій 35.5 KB
  Визначення функції Опис функції та її тип Рекурсивні функції Визначення функції. Синонімами цього іншого поняття в інших мовах програмування є процедури підпрограми підпрограми-функції процедури-функції. Всі функції в мові Сі мають рекомендуємий стандартами мови єдиний формат...
68980. Структури, об’єднання 36.5 KB
  Структура - це з’єднане в єдине ціле безліч поіменованих елементів (компонентів) даних. На відміну від масиву, який завжди складається з однотипних елементів, компоненти структури можуть бути різних типів і всі повинні мати різні імена.
68981. Рекурсивні функції і процедури, параметри-процедури 30 KB
  Тобто це є визначенням функції через цю саму функцію, У мові Паскаль рекурсивний опис функції полягає в тому, що в тілі такої функції міститься звертання до цієї ж функції. Наведемо рекурсивний опис функції п...
68982. Файли, робота з файлами 41 KB
  План заняття: Організація файлів Робота з файлами Підготовчі та завершальні операції Операції уведеннявиведення Пересування по файлу Організація файлів Є багато задач коли кількість компонентів певного типу будьякого з відомих уже нам наперед визначити неможливо то її визначають у процесі виконання програми.
68983. Текстові файли 36.5 KB
  В кінці кожного рядка є символ кінець рядка внутрішнє відображення якого залежить від реалізації. Звичайно кінець рядка це комбінація коду переведення каретки символ 13 за яким може бути код переведення рядка символ 10. Для програмування переважно немає потреби знати коди символів...
68984. Модулі. Модуль і його структура 49.5 KB
  Модуль - це сукупність сталих, типів даних, змінних, процедур і функцій, які можна використати у програмі або в іншому модулі. Сам модуль не є виконуваною програмою. Модульний підхід до проектування дає змогу розділити програму на частини, які компілюють окремо.
68985. Вказівники. Вказівний тип 35.5 KB
  У мові Паскаль для роботи з динамічними об’єктами передбачено спеціальний тип значень – вказівний. Це такий же простий тип, якими є цілий, дійсний, логічний. Однак для нього в мові не зарезервовано жодного стандартного ідентифікатора. Загальний вигляд опису вказівного типу такий...