10958

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Лекция

Математика и математический анализ

Числовые характеристики одномерной случайной величины Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянная константа обозначаемая символом и определяемая равенством: 8.1 ПРИМЕР 1: Известны законы распределения СВ и чи

Русский

2013-04-03

163.51 KB

30 чел.

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянная (константа), обозначаемая символом  () и определяемая равенством:

 (8.1)

ПРИМЕР 1:  Известны законы распределения СВ  и  числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелками:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.15

0.11

0.04

0.05

0.04

0.10

0.10

0.04

0.05

0.12

0.20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.01

0.03

0.05

0.09

0.11

0.24

0.21

0.10

0.10

0.04

0.02

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

РЕШЕНИЕ: Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков. Тогда по формуле (8.1) вычислим

Т.к. среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое, то предпочтение нельзя отдать ни одному стрелку – они равносильны.

ПРИМЕР 2:  Непрерывная СВ  равномерно распределена на отрезке . Определим .

РЕШЕНИЕ: а) Прежде всего, определим плотность распределения. Из условия задачи известно:

Используем свойство:


Свойства математического ожидания

  1.  Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

      (8.2)

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

    (8.3)

  1.  Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.

    (8.4)

  1.  Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (покажем это свойство для двух СВ).

 (8.5)

  1.  Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Пусть математическое ожидание СВ Х равно а, тогда:

(8.6)

Математическое ожиданиеодна из характеристик положения СВ. С этой точки зрения математическое ожидание СВ – есть некоторое число, являющееся как бы ее "представителем" и заменяющее СВ при грубых (ориентировочных) расчетах.

ПРИМЕР 1:  Найти математическое ожидание случайной величины  если известно, что

РЕШЕНИЕ: Используя свойства математического ожидания (8.2), (8.3) и (8.4), найдем

Моменты случайной величины

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статистические моменты, момент инерции и т.п.).

Начальный момент го порядка случайной величины обозначается символом и определяется выражением:

 (8.7)

Нетрудно убедиться, что введенная выше характеристика математическое ожидание представляет собой не что иное, как первый начальный момент. Используя символ математического ожидания, выражение (8.7) можно представить в следующем виде:

.     (8.8)

Пусть имеется СВ с математическим ожиданием . Введем новое понятие.

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение СВ от ее математического ожидания:

    (8.9)

Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной СВ равна 0:

 (8.10)

Моменты центрированной СВ называются центральными моментами.

Центральным моментом го порядка случайной величины называется математическое ожидание й степени соответствующей центрированной СВ:

 (8.11)

Очевидно, что для любой СВ центральный момент первого порядка равен нулю.

Второй центральный момент СВ, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается :

     (8.12)

Дисперсией  случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

(8.13)

Дисперсия СВ характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия  имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину равную .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом)  случайной величины   называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

    (8.14)

Свойства дисперсии

  1.  Дисперсия константы равна нулю:

(8.15)

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

(8.16)

  1.  Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых СВ равна сумме их дисперсий. Покажем это свойство для двух СВ:

    

  

    

     (8.17)

Учтем, что и независимые случайные величины, для которых выполняются свойства (8.5) и (8.10), т.е.:

(8.18)

С учетом (8.18) выражение (8.17) примет окончательный вид:

    (8.19)

Вычислим дисперсию разности СВ:

 

  (8.20)

Т.о. мы доказали следующее свойство: Дисперсия разности равна сумме дисперсий.

  1.  Второй центральный момент случайной величины равен разности между вторым начальным моментом и квадратом первого начального момента этой случайной величины. Другими словами:

Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

   

  

    (8.21)

  1.  Дисперсия произведения независимых СВ и равна произведению дисперсии на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию . Покажем это:

      

     

    (8.22)

Асимметрия и эксцесс

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Т.к. третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то чтобы получить безразмерную характеристику, третий центральный момент делят на куб среднего квадратического отклонения СВ :

     (8.23)

Величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

Рис. 8.1. Характеристика асимметрии распределений

На рис.8.1 показаны два распределения, имеющих положительную (распределение 1) и отрицательную (распределение 2) асимметрию. Естественно, что для симметричного распределения .

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

    (8.24)

Рис.8.2. Характеристика островершинности распределений

Число 3 в выражении (8.24) вычитается из отношения потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения это отношение равно 3. Т.о. распределения более островершинные, чем нормальное имеют положительный эксцесс, распределения с меньшей крутостью, чем нормальное – отрицательный эксцесс, для нормального распределения эксцесс равен нулю (см. рис. 8.2).

ПРИМЕР 3  Для равномерно распределенной СВ (см. пример 2) необходимо вычислить .

РЕШЕНИЕ:  а) Вспомним, что . Дисперсию вычислим по формуле (8.21):

 

   

  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53472. Рання статева близькість - за і проти». Захворювання статевих органів. Венеричні захворювання, їх профілактика 86 KB
  1 група ЗА 1 учень 1314 років це період статевого дозрівання період коли організм виробляє велику кількість статевих гормонів коли виникає тяга до протилежної статі. 2 учень Іноді статева близькість відбувається в результаті того що дівчина боїться втратити коханої людини. 3 учень Відповідно до статистики більшість підлітків вступають у статевий зв'язок у 1415 років. 4 учень Ви знаєте що в Донбасі жахливе навколишнє середовище.
53473. 3 історії виникнення української писемності та мови 78 KB
  Ушинський Мета: 1 ознайомити учнів із витоками з´ясувати історичний шлях розвитку української писемності та мови її місце серед інших мов; 2 сприяти формуванню елементарних вмінь аналізу різноманітної інформації закріпити навички виразного читання; 3 формувати естетичні уявлення учнів; 4 виховувати почуття патріотизму і пошану до рідної мови та літератури інтерес до історичного минулого. Ми з вами визначаємо свято День української писемності та мови. На сьогоднішньому уроці ви дізнаєтесь про витоки нашої мови її місце серед інших...
53474. Оптимизация процедуры Newman_sort, особенности 19.39 KB
  Формирование результирующего упорядоченного массива осуществляется по этапам. На нулевом этапе считаем, что т исходный массив состоит из кусков, содержащих не менее одного элемента.
53475. Ценностно-ролевая готовность выпускников ВУЗа и персонала промышленного предприятия к работе в условиях инноваций 69.42 KB
  Цель работы: Выявить характеристики ценностно–ролевовой готовности выпускников ВУЗа (на примере финансового факультета и факультета социальных наук ) к работе в условиях инноваций.
53476. Учебное пособие по истории средних веков 2.21 MB
  Урок 5: Образование Франкского государства. Возникновение ислама образование единого государства. Урок 32: Образование централизованного государства в Англии. Урок 36: Завершение складывания централизованного государства в Англии.
53477. Жива історія школи 48 KB
  2012 рік Жива історія школи Мета. Познайомити учнів зі сторінками історії школи через спілкування з випускниками вчителями батьками в телестудії. Дорогі гості шановні колеги сьогодні ми зібралися у кабінеті історії з особливої нагоди відзначити День народження нашої школи. День народження школи це свято всього села Васильківське а також сіл Запоріжжя Русаково Куніново Сидоренково.
53478. Ігровий майданчик на уроках української літератури (5 клас) (розділ «Історичне минуле нашого народу») 238.5 KB
  Але є ще в нас орли Та не тут не в цій палаті А в мужицькій простій хаті Запитання. А тут бємо в мури вже більше як тиждень мури нітрохи не подаються Що се Якісь чари Запитання. Погляньте: став як дуб І стукає в ворота Змій виглянув з вікна І сипле іскри з рота Запитання. Запитання.
53479. Компетентності як ключ до оновлення змісту історичної освіти 80 KB
  Але справжній процес реформування модернізації змісту освіти стартував тільки сьогодні: про це свідчить впровадження з 1 вересня 2012 р Державного стандарту початкової загальної освіти на основі якого розроблено навчальні програми для початкової школи підготовлення підручників і за формою і за змістом нового покоління. Державний стандарт базової і повної ЗСО ще один помітний успіх у процесі модернізації освіти. Під стандартами освіти розуміється система основних параметрів що приймаються за Державну норму...
53480. Менеджмент. Навчально-методичний посібник 536 KB
  Розуміння, знання історії менеджменту визначає можливості його ефективного удосконалення. Знання історії менеджменту має велике значення в формуванні професійної свідомості менеджера, розвиває у нього почуття відповідальності, навички стратегічного та широкомасштабного мислення. Потреба в знаннях історії будь-якої науки виникає на певному етапі розвитку і самої науки і суспільства в цілому.