10958

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Лекция

Математика и математический анализ

Числовые характеристики одномерной случайной величины Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянная константа обозначаемая символом и определяемая равенством: 8.1 ПРИМЕР 1: Известны законы распределения СВ и чи

Русский

2013-04-03

163.51 KB

30 чел.

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянная (константа), обозначаемая символом  () и определяемая равенством:

 (8.1)

ПРИМЕР 1:  Известны законы распределения СВ  и  числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелками:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.15

0.11

0.04

0.05

0.04

0.10

0.10

0.04

0.05

0.12

0.20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.01

0.03

0.05

0.09

0.11

0.24

0.21

0.10

0.10

0.04

0.02

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

РЕШЕНИЕ: Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков. Тогда по формуле (8.1) вычислим

Т.к. среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое, то предпочтение нельзя отдать ни одному стрелку – они равносильны.

ПРИМЕР 2:  Непрерывная СВ  равномерно распределена на отрезке . Определим .

РЕШЕНИЕ: а) Прежде всего, определим плотность распределения. Из условия задачи известно:

Используем свойство:


Свойства математического ожидания

  1.  Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

      (8.2)

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

    (8.3)

  1.  Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.

    (8.4)

  1.  Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (покажем это свойство для двух СВ).

 (8.5)

  1.  Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Пусть математическое ожидание СВ Х равно а, тогда:

(8.6)

Математическое ожиданиеодна из характеристик положения СВ. С этой точки зрения математическое ожидание СВ – есть некоторое число, являющееся как бы ее "представителем" и заменяющее СВ при грубых (ориентировочных) расчетах.

ПРИМЕР 1:  Найти математическое ожидание случайной величины  если известно, что

РЕШЕНИЕ: Используя свойства математического ожидания (8.2), (8.3) и (8.4), найдем

Моменты случайной величины

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статистические моменты, момент инерции и т.п.).

Начальный момент го порядка случайной величины обозначается символом и определяется выражением:

 (8.7)

Нетрудно убедиться, что введенная выше характеристика математическое ожидание представляет собой не что иное, как первый начальный момент. Используя символ математического ожидания, выражение (8.7) можно представить в следующем виде:

.     (8.8)

Пусть имеется СВ с математическим ожиданием . Введем новое понятие.

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение СВ от ее математического ожидания:

    (8.9)

Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной СВ равна 0:

 (8.10)

Моменты центрированной СВ называются центральными моментами.

Центральным моментом го порядка случайной величины называется математическое ожидание й степени соответствующей центрированной СВ:

 (8.11)

Очевидно, что для любой СВ центральный момент первого порядка равен нулю.

Второй центральный момент СВ, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается :

     (8.12)

Дисперсией  случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

(8.13)

Дисперсия СВ характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия  имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину равную .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом)  случайной величины   называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

    (8.14)

Свойства дисперсии

  1.  Дисперсия константы равна нулю:

(8.15)

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

(8.16)

  1.  Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых СВ равна сумме их дисперсий. Покажем это свойство для двух СВ:

    

  

    

     (8.17)

Учтем, что и независимые случайные величины, для которых выполняются свойства (8.5) и (8.10), т.е.:

(8.18)

С учетом (8.18) выражение (8.17) примет окончательный вид:

    (8.19)

Вычислим дисперсию разности СВ:

 

  (8.20)

Т.о. мы доказали следующее свойство: Дисперсия разности равна сумме дисперсий.

  1.  Второй центральный момент случайной величины равен разности между вторым начальным моментом и квадратом первого начального момента этой случайной величины. Другими словами:

Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

   

  

    (8.21)

  1.  Дисперсия произведения независимых СВ и равна произведению дисперсии на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию . Покажем это:

      

     

    (8.22)

Асимметрия и эксцесс

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Т.к. третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то чтобы получить безразмерную характеристику, третий центральный момент делят на куб среднего квадратического отклонения СВ :

     (8.23)

Величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

Рис. 8.1. Характеристика асимметрии распределений

На рис.8.1 показаны два распределения, имеющих положительную (распределение 1) и отрицательную (распределение 2) асимметрию. Естественно, что для симметричного распределения .

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

    (8.24)

Рис.8.2. Характеристика островершинности распределений

Число 3 в выражении (8.24) вычитается из отношения потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения это отношение равно 3. Т.о. распределения более островершинные, чем нормальное имеют положительный эксцесс, распределения с меньшей крутостью, чем нормальное – отрицательный эксцесс, для нормального распределения эксцесс равен нулю (см. рис. 8.2).

ПРИМЕР 3  Для равномерно распределенной СВ (см. пример 2) необходимо вычислить .

РЕШЕНИЕ:  а) Вспомним, что . Дисперсию вычислим по формуле (8.21):

 

   

  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77464. Антимонопольное законодательство и иные акты о защите конкуренции. Цель и метод правового регулирования, предусмотренного антимонопольным законодательством 18.32 KB
  Понятие конкуренции недобросовестная конкуренция понятие формы. Принцип: регулирование и контроль монополистической деятельности осуществление монополистической деятельности допускается если это не нарушает свободу конкуренции. При обнаружении факти или угроза нарушения конкуренции монополистическая деятельность признается незаконной.
77465. Монополистическая деятельность: понятие, виды, формы 20.37 KB
  Однако картельное соглашение не касалось производственной и тем более снабженческо-бытовой деятельности предприятия. При этом обычно различают одноотраслевой и комбинированный многоотраслевой трест когда объединение захватывает предприятия другой отрасли. Комбинированный трест объединяющий предприятия разных отраслей получает возможность извлекать дополнительную прибыль вопервых за счет использования побочных продуктов и отходов другой отрасли вовторых за счет организации вертикального комбинирования когда одно предприятие...
77466. Понятие правовой конструкции «доминирующие положения» по антимонопольному законодательству и ее правовое значение 17.51 KB
  Механизм включения хозяйствующих субъектов в реестр хозяйствующих субъектов имеющих долю на рынке определенного товара более 35.5 это такое положение субъекта группы лиц нескольких хозяйствующих субъектов на рынке определенного товара которое дает им возможность оказывать решающее влияние на условия обращения товара на рынке устранять или затруднять доступ на данный товарный рынок. Предполагается доминирующее положение субъекта если доля его на рынке определенного товара превышает 50.е субъект имеет возможность доказать отсутствие у...
77467. Запрет на ограничивающие конкуренцию акты, действия (бездействия), соглашения, согласованные действия органов власти и местного самоуправления 15.6 KB
  ОГВ и ОМСУ запрещается принимать акты и или осуществлять действия бездействие которые приводят или могут привести к недопущению ограничению устранению конкуренции за исключением предусмотренных федеральными законами случаев принятия актов и или осуществления таких действий бездействия в частности запрещаются:  введение ограничений в отношении создания хозяйствующих субъектов в какой-либо сфере деятельности а также установление запретов или введение ограничений в отношении осуществления отдельных видов деятельности или...
77468. Понятие экономической концентрации по антимонопольному законодательству. Формы государственного контроля за экономической концентрацией 15.74 KB
  Правовые последствия нарушения порядка получения предварительного согласия антимонопольного органа на осуществление сделок и иных действий а также нарушения порядка его уведомления о совершении сделок и иных действий. Государственный контроль за экономической концентрацией подразделяется на два основных типа: Предварительный контроль осуществляется до момента совершения сделок и или процессов выступающих в качестве объектов антимонопольного контроля или обстоятельств которые могут приводить к увеличению экономической концентрации. В данном...
77469. Государственный орган, осуществляющий контроль за соблюдением антимонопольного законодательства (название органа, функции и полномочия) 23.47 KB
  Возбуждение и рассмотрение дела о нарушениях антимонопольного законодательства. Способы реагирования антимонопольного органа по результатам рассмотрения дела. Осуществляет след функции: по принятию НА контролю за соблюдением антимонопольного законодательства законодательства в сфере деятельности субъектов естественных монополий контроль за соблюдением законодательства о рекламе И иные полномочия.
77471. Понятие, способы, формы и особенности защиты прав предпринимателей 30.46 KB
  Под защитой прав предпринимателей понимается совокупность нормативно установленных мер механизмов по восстановлению или признанию нарушенных или оспариваемых прав и интересов их обладателей которые осуществляются в определенных формах определенными способами в законодательно определенных границах с применением к нарушителям мер юридической ответственности а также механизма по практической реализации исполнимости этих мер. Понятие защита права следует отличать от понятия охрана права которое обычно трактуется более широко так как...
77472. Правовое регулирование рекламной деятельности 36.5 KB
  Участниками рекламной деятельности являются рекламодатели рекламо-производители распространители рекламы. Ситуация когда отсутствие правового регулирования рекламы имеет неблагоприятные последствия наблюдалась в период становления рыночных отношений. Основные направления государственного регулирования рекламы...