10958

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Лекция

Математика и математический анализ

Числовые характеристики одномерной случайной величины Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянная константа обозначаемая символом и определяемая равенством: 8.1 ПРИМЕР 1: Известны законы распределения СВ и чи

Русский

2013-04-03

163.51 KB

28 чел.

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянная (константа), обозначаемая символом  () и определяемая равенством:

 (8.1)

ПРИМЕР 1:  Известны законы распределения СВ  и  числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелками:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.15

0.11

0.04

0.05

0.04

0.10

0.10

0.04

0.05

0.12

0.20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.01

0.03

0.05

0.09

0.11

0.24

0.21

0.10

0.10

0.04

0.02

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

РЕШЕНИЕ: Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков. Тогда по формуле (8.1) вычислим

Т.к. среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое, то предпочтение нельзя отдать ни одному стрелку – они равносильны.

ПРИМЕР 2:  Непрерывная СВ  равномерно распределена на отрезке . Определим .

РЕШЕНИЕ: а) Прежде всего, определим плотность распределения. Из условия задачи известно:

Используем свойство:


Свойства математического ожидания

  1.  Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

      (8.2)

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

    (8.3)

  1.  Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.

    (8.4)

  1.  Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (покажем это свойство для двух СВ).

 (8.5)

  1.  Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Пусть математическое ожидание СВ Х равно а, тогда:

(8.6)

Математическое ожиданиеодна из характеристик положения СВ. С этой точки зрения математическое ожидание СВ – есть некоторое число, являющееся как бы ее "представителем" и заменяющее СВ при грубых (ориентировочных) расчетах.

ПРИМЕР 1:  Найти математическое ожидание случайной величины  если известно, что

РЕШЕНИЕ: Используя свойства математического ожидания (8.2), (8.3) и (8.4), найдем

Моменты случайной величины

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статистические моменты, момент инерции и т.п.).

Начальный момент го порядка случайной величины обозначается символом и определяется выражением:

 (8.7)

Нетрудно убедиться, что введенная выше характеристика математическое ожидание представляет собой не что иное, как первый начальный момент. Используя символ математического ожидания, выражение (8.7) можно представить в следующем виде:

.     (8.8)

Пусть имеется СВ с математическим ожиданием . Введем новое понятие.

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение СВ от ее математического ожидания:

    (8.9)

Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной СВ равна 0:

 (8.10)

Моменты центрированной СВ называются центральными моментами.

Центральным моментом го порядка случайной величины называется математическое ожидание й степени соответствующей центрированной СВ:

 (8.11)

Очевидно, что для любой СВ центральный момент первого порядка равен нулю.

Второй центральный момент СВ, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается :

     (8.12)

Дисперсией  случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

(8.13)

Дисперсия СВ характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия  имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину равную .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом)  случайной величины   называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

    (8.14)

Свойства дисперсии

  1.  Дисперсия константы равна нулю:

(8.15)

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

(8.16)

  1.  Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых СВ равна сумме их дисперсий. Покажем это свойство для двух СВ:

    

  

    

     (8.17)

Учтем, что и независимые случайные величины, для которых выполняются свойства (8.5) и (8.10), т.е.:

(8.18)

С учетом (8.18) выражение (8.17) примет окончательный вид:

    (8.19)

Вычислим дисперсию разности СВ:

 

  (8.20)

Т.о. мы доказали следующее свойство: Дисперсия разности равна сумме дисперсий.

  1.  Второй центральный момент случайной величины равен разности между вторым начальным моментом и квадратом первого начального момента этой случайной величины. Другими словами:

Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

   

  

    (8.21)

  1.  Дисперсия произведения независимых СВ и равна произведению дисперсии на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию . Покажем это:

      

     

    (8.22)

Асимметрия и эксцесс

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Т.к. третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то чтобы получить безразмерную характеристику, третий центральный момент делят на куб среднего квадратического отклонения СВ :

     (8.23)

Величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

Рис. 8.1. Характеристика асимметрии распределений

На рис.8.1 показаны два распределения, имеющих положительную (распределение 1) и отрицательную (распределение 2) асимметрию. Естественно, что для симметричного распределения .

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

    (8.24)

Рис.8.2. Характеристика островершинности распределений

Число 3 в выражении (8.24) вычитается из отношения потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения это отношение равно 3. Т.о. распределения более островершинные, чем нормальное имеют положительный эксцесс, распределения с меньшей крутостью, чем нормальное – отрицательный эксцесс, для нормального распределения эксцесс равен нулю (см. рис. 8.2).

ПРИМЕР 3  Для равномерно распределенной СВ (см. пример 2) необходимо вычислить .

РЕШЕНИЕ:  а) Вспомним, что . Дисперсию вычислим по формуле (8.21):

 

   

  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43332. Архітектура, історія, перспективи LTE стандарта в Україні та світі 192 KB
  Історія технології LTE Рівень економічного розвитку будьякої країни в даний час визначається ступенем розвитку сучасних технологій. Це досягається за рахунок поступового переходу до мереж наступного покоління NGN Next Genertion Network FGN Future Genertion Network LTE які підтримують широкий спектр інфокомунікаційних послуг. LTE грунтується на фундаментальній ідеї розподілу функцій комутації та функцій надання послуг що дозволяє виконати впровадження глобальної інформаційної інфраструктури ГІІ яка надає можливість...
43333. Интеграл Лебега-Стилтьеса, функции с ограниченным изменение 551 KB
  Рассмотрим подробнее заряды на -алгебре, порожденной полуинтервалами на отрезке. Каждому заряду (как и мере) поставим в соответствие функцию g. Опишем класс функций на , которые соответствуют зарядам. Построение заряда аналогично построению меры Лебега-Стилтьеса по неубывающей функции.
43335. Підсилювач низької частоти 5.68 MB
  Розрахуємо максимальну напругу в навантаження по формулі: В 1 Знайдемо максимальний струм що проходить через навантаження: 2 Розрахуємо необхідний коефіцієнт підсилення підсилювача за формулою: 3 Знайдемо орієнтовну кількість каскадів попереднього підсилення за наступною формулою: 4 Отриману за формулою 4 кількість каскадів округляють до найближчого цілого непарного числа в більшу сторону так як схема з СЕ дає зсув фази на 180 n = 3 Вихідний каскад ставиться на виході підсилювача і забезпечує підсилення...
43336. Регіональні проблеми безробіття в Україні 267.5 KB
  Як економічна категорія безробіття відображає економічні відносини щодо вимушеної незайнятості працездатного населення. Актуальність теми полягає в тому що структурні зрушення які відбуваються на сучасному етапі розвитку національної економіки призводять до суттєвих негативних змін на ринку праці зокрема до достатньо значних обсягів і рівня безробіття економічно активного населення і як наслідок до неефективного використання робочої сили. При цьому розвиток підприємництва малого і середнього бізнесу та інші ринкові перетворення не...
43337. Обхід дерев 22.23 MB
  Теоретична частина Обробка даних у вершинах дерева Лівий спадний обхід Лівий висхідний обхід Лівий змішаний обхід Приклад лівого спадного обходу LPreorder 10 Перелік використаної літератури 11 Код програми реалізації обходу дерев мовою С. На сьогоднішній день дерева є найбільш поширеною структурою. Вони популярні серед людей з технічним напрямком занять і не дарма: дерева забезпечують найшвидші і найоптимальніші умови для знаходження елемента серед інших в певній структурі. Звичайно існують...
43339. Проектування фундаментів під 9-поверхову блок секцію на 36 квартир 530.5 KB
  Результати лабораторних визначень фізикомеханічних характеристик цього ґрунту наведені в табл. Результати лабораторних визначень фізикомеханічних характеристик ґрунту № 102 Таблиця 3 № ґрунту Фізикомеханічні характеристики ґрунту ρs г см3 ρ г см3 W WL WP E МПа φ град. Остаточна назва ґрунту: суглинок твердий Визначаємо розрахункові характеристики ґрунту питому вагу {м с2 – прискорення вільного падіння} кут внутрішнього тертя питоме зчеплення для розрахунків за Ію і ІІю групами граничних станів. Розрахункове значення...
43340. Розробка веб-сайту електронної бібліотеки 394.5 KB
  Завданням даної курсової роботи є розробка веб-сайту електронної бібліотеки. Веб-сайт повинен надавати можливість користувачам виконувати навігацію по категоріям та завантажувати необхідні їм книги. Також необхідний пошук по імені автора, назві книги та по опису. Для наповнення бібліотеки та редагування її вмісту необхідно реалізувати адміністративну частину сайту