10958

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Лекция

Математика и математический анализ

Числовые характеристики одномерной случайной величины Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянная константа обозначаемая символом и определяемая равенством: 8.1 ПРИМЕР 1: Известны законы распределения СВ и чи

Русский

2013-04-03

163.51 KB

28 чел.

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянная (константа), обозначаемая символом  () и определяемая равенством:

 (8.1)

ПРИМЕР 1:  Известны законы распределения СВ  и  числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелками:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.15

0.11

0.04

0.05

0.04

0.10

0.10

0.04

0.05

0.12

0.20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.01

0.03

0.05

0.09

0.11

0.24

0.21

0.10

0.10

0.04

0.02

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

РЕШЕНИЕ: Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков. Тогда по формуле (8.1) вычислим

Т.к. среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое, то предпочтение нельзя отдать ни одному стрелку – они равносильны.

ПРИМЕР 2:  Непрерывная СВ  равномерно распределена на отрезке . Определим .

РЕШЕНИЕ: а) Прежде всего, определим плотность распределения. Из условия задачи известно:

Используем свойство:


Свойства математического ожидания

  1.  Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

      (8.2)

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

    (8.3)

  1.  Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.

    (8.4)

  1.  Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (покажем это свойство для двух СВ).

 (8.5)

  1.  Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Пусть математическое ожидание СВ Х равно а, тогда:

(8.6)

Математическое ожиданиеодна из характеристик положения СВ. С этой точки зрения математическое ожидание СВ – есть некоторое число, являющееся как бы ее "представителем" и заменяющее СВ при грубых (ориентировочных) расчетах.

ПРИМЕР 1:  Найти математическое ожидание случайной величины  если известно, что

РЕШЕНИЕ: Используя свойства математического ожидания (8.2), (8.3) и (8.4), найдем

Моменты случайной величины

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статистические моменты, момент инерции и т.п.).

Начальный момент го порядка случайной величины обозначается символом и определяется выражением:

 (8.7)

Нетрудно убедиться, что введенная выше характеристика математическое ожидание представляет собой не что иное, как первый начальный момент. Используя символ математического ожидания, выражение (8.7) можно представить в следующем виде:

.     (8.8)

Пусть имеется СВ с математическим ожиданием . Введем новое понятие.

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение СВ от ее математического ожидания:

    (8.9)

Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной СВ равна 0:

 (8.10)

Моменты центрированной СВ называются центральными моментами.

Центральным моментом го порядка случайной величины называется математическое ожидание й степени соответствующей центрированной СВ:

 (8.11)

Очевидно, что для любой СВ центральный момент первого порядка равен нулю.

Второй центральный момент СВ, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается :

     (8.12)

Дисперсией  случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

(8.13)

Дисперсия СВ характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия  имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину равную .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом)  случайной величины   называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

    (8.14)

Свойства дисперсии

  1.  Дисперсия константы равна нулю:

(8.15)

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

(8.16)

  1.  Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых СВ равна сумме их дисперсий. Покажем это свойство для двух СВ:

    

  

    

     (8.17)

Учтем, что и независимые случайные величины, для которых выполняются свойства (8.5) и (8.10), т.е.:

(8.18)

С учетом (8.18) выражение (8.17) примет окончательный вид:

    (8.19)

Вычислим дисперсию разности СВ:

 

  (8.20)

Т.о. мы доказали следующее свойство: Дисперсия разности равна сумме дисперсий.

  1.  Второй центральный момент случайной величины равен разности между вторым начальным моментом и квадратом первого начального момента этой случайной величины. Другими словами:

Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

   

  

    (8.21)

  1.  Дисперсия произведения независимых СВ и равна произведению дисперсии на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию . Покажем это:

      

     

    (8.22)

Асимметрия и эксцесс

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Т.к. третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то чтобы получить безразмерную характеристику, третий центральный момент делят на куб среднего квадратического отклонения СВ :

     (8.23)

Величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

Рис. 8.1. Характеристика асимметрии распределений

На рис.8.1 показаны два распределения, имеющих положительную (распределение 1) и отрицательную (распределение 2) асимметрию. Естественно, что для симметричного распределения .

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

    (8.24)

Рис.8.2. Характеристика островершинности распределений

Число 3 в выражении (8.24) вычитается из отношения потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения это отношение равно 3. Т.о. распределения более островершинные, чем нормальное имеют положительный эксцесс, распределения с меньшей крутостью, чем нормальное – отрицательный эксцесс, для нормального распределения эксцесс равен нулю (см. рис. 8.2).

ПРИМЕР 3  Для равномерно распределенной СВ (см. пример 2) необходимо вычислить .

РЕШЕНИЕ:  а) Вспомним, что . Дисперсию вычислим по формуле (8.21):

 

   

  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47241. Инвестиционный климат и привлекательность Вологодской области 507 KB
  Удельный вес топлива и энергии в структуре затрат на производство и реализацию продукции доходит до 40. Принятие Закона обусловлено существенным реформированием системы установления обязательных требований к продукции и процессам ее производства а также действующего в настоящее время порядка стандартизации и сертификации продукции работ услуг. В первую очередь Закон призван приблизить российские нормативы предъявляемые к качеству продукции и процессам производства к действующим международным стандартам в частности стандартам...
47242. ФАКТОРЫ, ОКАЗЫВАЮЩИЕ ВЛИЯНИЕ НА ТОЧНОСТЬ ПОКАЗАНИЙ СВИДЕТЕЛЯ 179.01 KB
  ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СВИДЕТЕЛЯ КАК ОДНОГО ИЗ УЧАСТНИКОВ УГОЛОВНОГО ПРОЦЕССА. Правовой статус свидетеля. ФАКТОРЫ ОКАЗЫВАЮЩИЕ ВЛИЯНИЕ НА ТОЧНОСТЬ ПОКАЗАНИЙ СВИДЕТЕЛЯ. По ранее действующему уголовно-процессуальному законодательству процессуально-правовое положение свидетеля как участника уголовного судопроизводства не определялось.
47243. Менеджмент организации 607.5 KB
  Рассматриваются этапы выполнения дипломного проекта имеющего большое значение в подготовке специалистов. Анализируется структура и содержание даются методические советы по вопросам выполнения и оформления дипломного проекта. Определяются принципы оценки уровня проектов и требования в соответствии с которыми должна быть подготовлена и проведена защита дипломного проекта. Включает формы основных документов используемых при оформлении дипломного проекта и примерную тематику.
47244. Обcтоятельcтва, подлежащие уcтановлению при раccледовании преcтуплений cвязанных c незаконным оборотом наркотичеcких cредcтв 158.95 KB
  Криминалиcтичеcкая характериcтика cодержит данные о типичных cпоcобах cовершения и cокрытия преcтупления, механизме преcтупного поcягательcтва, cледах, обcтановке, в которой готовилоcь и проиcходило преcтупное cобытие, предметах преcтупного поcягательcтва, чертах личноcти преcтупника и потерпевшего
47247. Разработка методов защиты волоконно-оптических линий связи от несанкционированного доступа на основе использования концепции кодового зашумления 393.75 KB
  Безразрывный без принудительного отвода мощности Безразрывный с принудительным отводом мощности. Расчет зависимостей вероятности ошибки в канале перехвата от уровня отводимой мощности Комментарий к расчету. Тогда он может какимлибо способом отвести часть оптической мощности из световода а затем направить ее в свое приемное устройство. Тут встречается вторая сложность: величины оптической мощности которую обычно удается отвести очень малы.
47248. Оценка технико-экономического и «рыночного уровня» новизны выпускаемого продукта 2.27 MB
  ТЭО можно рассматривать как конкретную форму проявления научного подхода к обоснованному выбору направления разработок, рациональных путей и всесторонней оценке социально-экономической эффективности принимаемых решений и способов их реализации.
47249. Организация и методы исследования адаптации выпускников Колледжа туризма на предприятиях отрасли 178.5 KB
  Мониторинг адаптации. Это связано с рядом причин: уровнем готовности студентов поступающих в колледжи особенностями адаптации иногородних студентов с формированием профессиональной идентичности уровнем мотивации. В связи с этим важным становится мониторинг трудоустройства и адаптации выпускников учреждений профессионального образования на рынке труда. Ведущим из стратегических приоритетов развития системы профессионального образования на котором основывается практический аспект трудоустройства и адаптации выпускников на современном...