10959

Многомерные случайные величины

Лекция

Математика и математический анализ

Многомерные случайные величины Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величины а некоторой системой случайных величин которую называют также многомерной мерной случайной величиной или случайным вектором . Случайные величины в

Русский

2013-04-03

198.57 KB

82 чел.

Многомерные случайные величины

Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величины, а некоторой системой случайных величин , которую называют также многомерной (    мерной) случайной величиной или случайным вектором .

Случайные величины , входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Приведем примеры многомерных случайных величин:

  1.  физическое состояние человека можно охарактеризовать системой случайных величин: рост, вес, возраст, и т.п.
  2.  успеваемость студента можно описать многомерной случайной величиной , где оценка по му предмету.

Геометрически двумерную и трехмерную случайные величины можно интерпретировать случайной точкой (вектором) на плоскости или в трехмерном пространстве . Как отмечалось ранее, наиболее полным описанием СВ является закон ее распределения. Дальнейшее рассмотрение многомерных СВ проведем на примере двумерных случайных величин.

Определим, как и для одномерной СВ, интегральную функцию распределения двумерной СВ:

    (9.1)

Геометрически функция распределения означает вероятность попадания случайной точки в заштрихованную область – бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки  (рис. 9.1). Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются – это значит, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле:

Рис. 9.1.

    (9.2)

Здесь (9.2) суммирование вероятностей производится по всем значениям , для которых и по всем , для которых .

Свойства двумерной функции распределения

  1.  Функция распределения  есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е.

.      (9.3)

Это утверждение следует из того, что интегральная функция распределения двумерной СВ есть вероятность.

  1.  Функция распределения  есть неубывающая функция, по каждому из аргументов, т.е.

  

      (9.4)

Т.к. при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рис.9.1 увеличивается, то вероятность попадания случайной точки в эту область, по крайней мере, уменьшиться не может.

  1.  Если хотя бы один из аргументов обращается в , функция распределения  равна нулю, т.е.

  (9.5)

Функция распределения в данных случаях равна нулю, т.к. события и их произведение представляют невозможные события.

  1.  Если один из аргументов равен , двумерная функция распределения  становится равной одномерной функции распределения от другого аргумента:

    

      (9.6)

где . Очевидность данного свойства (9.6) вытекает из того, что произведение события и достоверного события есть само событие , аналогично можно показать и для .

  1.  Если оба аргумента равны , то функция распределения  равна единице:

.      (9.7)

Это свойство обусловлено тем фактом, что совместная реализация двух достоверных событий и есть событие достоверное, а вероятность достоверного события равна единице.

Рассмотрим вероятность попадания двумерной СВ в некоторый прямоугольник (см. рис. 9.2). Вероятность попадания случайной точки в указанный прямоугольник можно записать:

.   (9.8)

Рис.9.2. Вероятность попадания в прямоугольник

Зная функцию распределения , выразим искомую вероятность. Эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной , минус вероятности попадания в квадранты с вершинами и плюс вероятность попадания в квадрант (т.к. эта вероятность вычиталась дважды). Окончательно получим:

(9.9)

Плотность вероятности двумерной случайной величины

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения - непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная .

Как и для одномерной случайной величины, введем понятие плотности вероятности двумерной СВ.

Оценим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и . Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике равна отношению вероятности к площади прямоугольника . Будем неограниченно уменьшать стороны прямоугольника, устремив и к нулю. С учетом (9.9) получим:

 

    (9.10)

Учитывая то, что функция  непрерывна и дифференцируемая по каждому аргументу, выражение (9.10) примет вид:

 (9.11)

Плотностью вероятности (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

   (9.12)

Плотность распределения двумерной СВ обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной СВ:

  1.  Плотность распределения двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, т.е.

     (9.13)

Это свойство вытекает из того, что  – функция неубывающая по каждому аргументу.

  1.  Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область равна

   (9.14)

По аналогии с одномерной СВ, для двумерной СВ введем понятие "элемент вероятности", равный . Он представляет (с точностью до бесконечно малых более высоких порядков) вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и . Тогда вероятность попадания двумерной СВ в область на плоскости геометрически изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область , а аналитически – двойным интегралом (9.14).

  1.  Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины выражается через ее плотность вероятности по формуле:

   (9.15)

Функция распределения  есть вероятность попадания в бесконечный квадрант , который можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами и и ординатами и .

  1.  Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной СВ равен единице.

    (9.16)

Несобственный интеграл (9.16) есть вероятность попадания во всю плоскость , т.е. вероятность достоверного события, равная 1.

Зная плотность вероятности двумерной СВ можно найти функции распределения и плотности вероятностей ее одномерных составляющих и . Учитывая (9.6) и (9.15), получим:

  (9.17)

Дифференцируя функции распределения и по аргументам и соответственно, получим плотности вероятности одномерных СВ:

 (9.18)

т.е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной плотности двумерной случайной величины по аргументу дает плотность вероятности , а по аргументу – плотность вероятности .

ПРИМЕР 1:  Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y

X

3

10

12

4

0.17

0.13

0.25

5

0.10

0.30

0.05

Требуется: a) найти законы распределения составляющих и ;
b) составить функцию распределения.

РЕШЕНИЕ: а) Сложив вероятности “по столбцам”, найдем закон распределения составляющей :

X

3

10

12

>12

P

0.27

0.43

0.3

F

0

0.27

0.7

1

Сложив вероятности "по строкам", аналогично найдем закон распределения составляющей :

Y

4

5

>5

P

0.55

0.45

F

0

0.55

1

b) Составим функцию распределения:

Y

X

3

10

12

>12

4

0

0

0

0

5

0

0.17

0.30

0.55

>5

0

0.27

0.7

1

ПРИМЕР 2:  (Задача Бюффона)

Иглу длиной бросают на плоскость, на которой на расстоянии друг от друга проведены параллельные линии. Определите вероятность пересечения иглой одной из линий, если .

РЕШЕНИЕ. Введем систему случайных величин , где расстояние от середины игла до ближайшей линии, а острый угол между иглой и линией (см. рис.). Очевидно, что распределено равномерно в интервале , а распределен равномерно в интервале . Учитывая, что СВ и независимые, получим при .

Пересечение иглой одной из линий происходит при заданном угле , если . Отсюда получим искомую вероятность:

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77936. СПОСОБЫ ОПТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ЗОНЫ ОБРАБОТКИ 16.5 KB
  Сигнал о распределении освещенности по длине получают дифференцируя выходной сигнал датчика по напряжению сканирования. Траектория сканирования обычно круговая если ось сканирования совпадает с осью засветки изменений сигнала нет в противном случае амплитуда пульсаций зависит от величины смещения а фаза от направления. Различия в устройстве сканаторов дают разные траектории и параметры сканирования: Качающиеся и вращающиеся зеркала расположенные до или после объектива перемещают изображение по окружности с угловой скоростью вдвое выше...
77937. СРЕДСТВА ОПТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ 33.5 KB
  При оптическом контроле зоны технологического процесса безотносительно к типу датчика необходимо решить ряд вопросов: Спроецировать изображение зоны в плоскость преобразователя. Обеспечить соответствие диапазона яркостей изображения динамическому диапазону датчика. За редким исключением оптический датчик невозможно разместить в зоне технологического процесса и световую картину проецируют на чувствительную поверхность датчика обычно с помощью линзовых объективов. Как правило обрамление лазерного луча в виде сопла...
77938. Температурные измерения 21.5 KB
  Температурные измерения Основным эффектом лазерных технологий является термическое воздействие по этому измерение температуры при контроле процесса во многих случаях эквивалентно измерению параметров изделия. Диапазон температур регистрируемых в технологии совпадает обычно с диапазоном температур фазовых превращений иногда фиксируют более высокие температуры парогазового канала. Термопары используют эффект Зеебека состоящий в возникновении ЭДС на спае двух металлов контактной разности потенциалов зависящей как от материалов так и от...
77939. ПАРАМЕТРЫ ПЛАЗМЕННОГО ФАКЕЛА 34.5 KB
  Кроме геометрических следует назвать такие интегральные параметры факела: температура плазмы поглошение излучения преломление излучения рассеяние излучения концентрация частиц интенсивность излучения общая и отдельных линий Дифференциальные параметры представляют собой зависимость измерения от положения точки измерения. Поскольку процесс фиксации массива даже минимальной размерности занимает время порядка миллисекунд то динамика поведения плазмы с характеристическими временами в доли микросекунд остается не зафиксированной. К таким параметрам...
77940. АКУСТИЧЕСКАЯ ЭМИССИЯ ПРИ СВАРОЧНЫХ ПРОЦЕССАХ 16.5 KB
  9 АКУСТИЧЕСКАЯ ЭМИССИЯ ПРИ СВАРОЧНЫХ ПРОЦЕССАХ Кроме активных методов акустической дефектоскопии находит применение пассивное фиксирование возникающих в материале звуков акустической эмиссии. Образ источника акустической эмиссии как совокупность параметров сигналов датчиков при определенных механических воздействиях на изделие. Характеристики акустической эмиссии получают из сигналов датчиков подобных датчикам УЗК. Однако если для УЗК требуется уская полоса чтобы обеспечить требуемую чувствительность и помехоустойчивость то для...
77941. ИНДУКТИВНЫЕ И ЕМКОСТНЫЕ ДАТЧИКИ В ЛТК 94 KB
  Поэтому магнитное поле зондирования делают переменным питая подмагничивающую катушку датчика током от генератора сигнала синусоидальной формы. Иногдав целях упрощения используют сигналы прямоугольной формы но разные спектральные компаненты сигнала преобразуются датчиком по разному и сигналы нерабочих участков спектра являются помехами. Любое изменение симметрии приведет к нарушению баланса и появлению отличного от нуля сигнала. Возможно два варианта формирования управляющего сигнала: Выпрямление преобразование в постоянный ток сигналов от...
77942. КОНТРОЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 18 KB
  В лазерных технологиях существенное значение имеют параметры потоков жидкостей и газов: равномерность движения рабочего тела газового лазера расход охлаждающей жидкости квантрона твердотельного лазера параметры струи защитного газа параметры струи продуктов распада и испарения материала из зоны обработки Стабилизация параметров потока путем стабилизации параметров устройств формирующих поток исчерпала свои возможности. Компенсацию влияния процесса на параметы потока можно организовать при помощи системы...
77943. Эффективность функционирования маркетинговой деятельности организации 109.5 KB
  Контроль маркетинговой деятельности. Маркетинговый контроль позволяет выявить положительные и отрицательные моменты в конкурентных возможностях организации и внести соответствующие коррективы в ее маркетинговые программы и планы предпринимательской деятельности. Контроль маркетинговой деятельности как правило предполагает: контроль за реализацией и анализ возможностей сбыта; контроль прибыльности и анализ маркетинговых затрат; стратегический контроль и ревизию маркетинга.
77944. Товар и его маркетинговая характеристика 67 KB
  Качество совокупность характеристик продукта которые отвечают на вопрос: Какой продукт произведен. Казалось бы вопрос о качестве продукта прост. Потребители могут не замечать очень важных характеристик продукта которые действительно в нем присутствуют и дополнять свой образ качества продукта такими характеристиками положительными или отрицательными которые в продукте отсутствуют но включаются в понятие качества продукта . Качество продукта в маркетинговом понимании – это множество совокупностей характеристик составляющих...