10959

Многомерные случайные величины

Лекция

Математика и математический анализ

Многомерные случайные величины Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величины а некоторой системой случайных величин которую называют также многомерной мерной случайной величиной или случайным вектором . Случайные величины в

Русский

2013-04-03

198.57 KB

78 чел.

Многомерные случайные величины

Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величины, а некоторой системой случайных величин , которую называют также многомерной (    мерной) случайной величиной или случайным вектором .

Случайные величины , входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Приведем примеры многомерных случайных величин:

  1.  физическое состояние человека можно охарактеризовать системой случайных величин: рост, вес, возраст, и т.п.
  2.  успеваемость студента можно описать многомерной случайной величиной , где оценка по му предмету.

Геометрически двумерную и трехмерную случайные величины можно интерпретировать случайной точкой (вектором) на плоскости или в трехмерном пространстве . Как отмечалось ранее, наиболее полным описанием СВ является закон ее распределения. Дальнейшее рассмотрение многомерных СВ проведем на примере двумерных случайных величин.

Определим, как и для одномерной СВ, интегральную функцию распределения двумерной СВ:

    (9.1)

Геометрически функция распределения означает вероятность попадания случайной точки в заштрихованную область – бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки  (рис. 9.1). Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются – это значит, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле:

Рис. 9.1.

    (9.2)

Здесь (9.2) суммирование вероятностей производится по всем значениям , для которых и по всем , для которых .

Свойства двумерной функции распределения

  1.  Функция распределения  есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е.

.      (9.3)

Это утверждение следует из того, что интегральная функция распределения двумерной СВ есть вероятность.

  1.  Функция распределения  есть неубывающая функция, по каждому из аргументов, т.е.

  

      (9.4)

Т.к. при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рис.9.1 увеличивается, то вероятность попадания случайной точки в эту область, по крайней мере, уменьшиться не может.

  1.  Если хотя бы один из аргументов обращается в , функция распределения  равна нулю, т.е.

  (9.5)

Функция распределения в данных случаях равна нулю, т.к. события и их произведение представляют невозможные события.

  1.  Если один из аргументов равен , двумерная функция распределения  становится равной одномерной функции распределения от другого аргумента:

    

      (9.6)

где . Очевидность данного свойства (9.6) вытекает из того, что произведение события и достоверного события есть само событие , аналогично можно показать и для .

  1.  Если оба аргумента равны , то функция распределения  равна единице:

.      (9.7)

Это свойство обусловлено тем фактом, что совместная реализация двух достоверных событий и есть событие достоверное, а вероятность достоверного события равна единице.

Рассмотрим вероятность попадания двумерной СВ в некоторый прямоугольник (см. рис. 9.2). Вероятность попадания случайной точки в указанный прямоугольник можно записать:

.   (9.8)

Рис.9.2. Вероятность попадания в прямоугольник

Зная функцию распределения , выразим искомую вероятность. Эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной , минус вероятности попадания в квадранты с вершинами и плюс вероятность попадания в квадрант (т.к. эта вероятность вычиталась дважды). Окончательно получим:

(9.9)

Плотность вероятности двумерной случайной величины

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения - непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная .

Как и для одномерной случайной величины, введем понятие плотности вероятности двумерной СВ.

Оценим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и . Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике равна отношению вероятности к площади прямоугольника . Будем неограниченно уменьшать стороны прямоугольника, устремив и к нулю. С учетом (9.9) получим:

 

    (9.10)

Учитывая то, что функция  непрерывна и дифференцируемая по каждому аргументу, выражение (9.10) примет вид:

 (9.11)

Плотностью вероятности (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

   (9.12)

Плотность распределения двумерной СВ обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной СВ:

  1.  Плотность распределения двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, т.е.

     (9.13)

Это свойство вытекает из того, что  – функция неубывающая по каждому аргументу.

  1.  Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область равна

   (9.14)

По аналогии с одномерной СВ, для двумерной СВ введем понятие "элемент вероятности", равный . Он представляет (с точностью до бесконечно малых более высоких порядков) вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и . Тогда вероятность попадания двумерной СВ в область на плоскости геометрически изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область , а аналитически – двойным интегралом (9.14).

  1.  Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины выражается через ее плотность вероятности по формуле:

   (9.15)

Функция распределения  есть вероятность попадания в бесконечный квадрант , который можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами и и ординатами и .

  1.  Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной СВ равен единице.

    (9.16)

Несобственный интеграл (9.16) есть вероятность попадания во всю плоскость , т.е. вероятность достоверного события, равная 1.

Зная плотность вероятности двумерной СВ можно найти функции распределения и плотности вероятностей ее одномерных составляющих и . Учитывая (9.6) и (9.15), получим:

  (9.17)

Дифференцируя функции распределения и по аргументам и соответственно, получим плотности вероятности одномерных СВ:

 (9.18)

т.е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной плотности двумерной случайной величины по аргументу дает плотность вероятности , а по аргументу – плотность вероятности .

ПРИМЕР 1:  Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y

X

3

10

12

4

0.17

0.13

0.25

5

0.10

0.30

0.05

Требуется: a) найти законы распределения составляющих и ;
b) составить функцию распределения.

РЕШЕНИЕ: а) Сложив вероятности “по столбцам”, найдем закон распределения составляющей :

X

3

10

12

>12

P

0.27

0.43

0.3

F

0

0.27

0.7

1

Сложив вероятности "по строкам", аналогично найдем закон распределения составляющей :

Y

4

5

>5

P

0.55

0.45

F

0

0.55

1

b) Составим функцию распределения:

Y

X

3

10

12

>12

4

0

0

0

0

5

0

0.17

0.30

0.55

>5

0

0.27

0.7

1

ПРИМЕР 2:  (Задача Бюффона)

Иглу длиной бросают на плоскость, на которой на расстоянии друг от друга проведены параллельные линии. Определите вероятность пересечения иглой одной из линий, если .

РЕШЕНИЕ. Введем систему случайных величин , где расстояние от середины игла до ближайшей линии, а острый угол между иглой и линией (см. рис.). Очевидно, что распределено равномерно в интервале , а распределен равномерно в интервале . Учитывая, что СВ и независимые, получим при .

Пересечение иглой одной из линий происходит при заданном угле , если . Отсюда получим искомую вероятность:

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80036. Океанология. Динамические явления и процессы в океане 5.52 MB
  Свободная поверхность Мирового океана, не возмущенная динамическими факторами (приливы, течения и др.), определяет фигуру, называемую геоидом. Но наблюдения над уровнем моря в любой точке Мирового океана показывают, что его действительная поверхность не остается в покое, а находится в непрерывном...
80037. Навчальний проект з виявлення, дослідження та впорядкування джерел рідного краю «До чистих джерел» 69.5 KB
  «Не можна двічі увійти в одну і ту ж річку», — сказав знаменитий грецький філософ дві тисячі років тому. У наш час ми розуміємо глибокий зміст цього висловлювання не тільки як метафори, розуміємо буквально — води, що нас оточують, дійсно змінюються прямо на очах, у результаті антропогенного впливу.
80038. Формування інформаційної компетентності особистості в шкільній бібліотеці 72 KB
  Сьогодні шкільна бібліотека володіє значними можливостями щодо вдосконалення освітнього процесу. Нові навчальні програми, нові концепції, різноманітність навчальних курсів, зростаючий інтелектуальний рівень читачів висувають нові вимоги до якості інформаційного забезпечення навчально–виховного процесу.
80039. Школа Успіху, або формуємо компетентності 68.5 KB
  Завдання проекту Виявлення ключових проблем які гальмують підвищення якості освіти та надання рекомендацій щодо розв’язання основних проблем змісту освіти. Створення системи моніторингу формування ключових компетентностей на всіх ступенях освіти дітей.
80040. Довкілля – казка чарівна! 55 KB
  Мета: вчити оцінювати негативне і бездумне ставлення до природи; формувати інтерес до навколишнього середовища; поглиблювати знання про довкілля рідного краю; розвивати комунікативні, творчі здібності, вміння робити висновки, відстоювати свою, думку, презентувати свої дослідження...
80041. Край, у якому ти живеш. Україна – наша Батьківщина 417.5 KB
  Мета: збагачувати знання учнів про Україну, а також активний словниковий запас учнів; пробудити інтерес до вивчання рідного краю; розширити знання народні, історичні та культурні символи українського народу; сприяти формування національної свідомості, осмисленню себе як частини...
80042. Н.В.Гоголь и Т.Г.Шевченко: две судьбы, две личности, два пути великих сыновей украинского народа 134.5 KB
  В своих исследованиях, представленных на конференции по заявленной теме, учащиеся проследили, как среда и время определили разницу в судьбах и литературных путях двух великих украинцев Н.Гоголя и Т.Шевченко. Прилагается электронная презентация темы в формате Pover Point.
80043. Декоративна таця 473 KB
  Необхідність таці люди зрозуміли дуже давно, саме тому її почали використовувати як столове приладдя вже в стародавні часи. Перші таці були зроблені не з каменя, як можна було припустити, а з обпаленої глини, оскільки їм не була потрібна міцність. Представляла вона собою напівкулю.
80044. ПІДПРИЄМЛИВІСТЬ – ОСНОВА КОНКУРЕНТНОСПРОМОЖНОСТІ ВИПУСКНИКА 211.5 KB
  З учнями: діагностика: Виявлення характерних рис дитини Виявлення нахилів і здібностей школярів Виявлення спрямованості учнів 811 класів; анкетування: Мої успіхи і невдачі Формування життєвої компетентності особистості Настрій і його зображення Розуміння почуттів іншої людини...