10959

Многомерные случайные величины

Лекция

Математика и математический анализ

Многомерные случайные величины Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величины а некоторой системой случайных величин которую называют также многомерной мерной случайной величиной или случайным вектором . Случайные величины в

Русский

2013-04-03

198.57 KB

88 чел.

Многомерные случайные величины

Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величины, а некоторой системой случайных величин , которую называют также многомерной (    мерной) случайной величиной или случайным вектором .

Случайные величины , входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Приведем примеры многомерных случайных величин:

  1.  физическое состояние человека можно охарактеризовать системой случайных величин: рост, вес, возраст, и т.п.
  2.  успеваемость студента можно описать многомерной случайной величиной , где оценка по му предмету.

Геометрически двумерную и трехмерную случайные величины можно интерпретировать случайной точкой (вектором) на плоскости или в трехмерном пространстве . Как отмечалось ранее, наиболее полным описанием СВ является закон ее распределения. Дальнейшее рассмотрение многомерных СВ проведем на примере двумерных случайных величин.

Определим, как и для одномерной СВ, интегральную функцию распределения двумерной СВ:

    (9.1)

Геометрически функция распределения означает вероятность попадания случайной точки в заштрихованную область – бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки  (рис. 9.1). Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются – это значит, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле:

Рис. 9.1.

    (9.2)

Здесь (9.2) суммирование вероятностей производится по всем значениям , для которых и по всем , для которых .

Свойства двумерной функции распределения

  1.  Функция распределения  есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е.

.      (9.3)

Это утверждение следует из того, что интегральная функция распределения двумерной СВ есть вероятность.

  1.  Функция распределения  есть неубывающая функция, по каждому из аргументов, т.е.

  

      (9.4)

Т.к. при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рис.9.1 увеличивается, то вероятность попадания случайной точки в эту область, по крайней мере, уменьшиться не может.

  1.  Если хотя бы один из аргументов обращается в , функция распределения  равна нулю, т.е.

  (9.5)

Функция распределения в данных случаях равна нулю, т.к. события и их произведение представляют невозможные события.

  1.  Если один из аргументов равен , двумерная функция распределения  становится равной одномерной функции распределения от другого аргумента:

    

      (9.6)

где . Очевидность данного свойства (9.6) вытекает из того, что произведение события и достоверного события есть само событие , аналогично можно показать и для .

  1.  Если оба аргумента равны , то функция распределения  равна единице:

.      (9.7)

Это свойство обусловлено тем фактом, что совместная реализация двух достоверных событий и есть событие достоверное, а вероятность достоверного события равна единице.

Рассмотрим вероятность попадания двумерной СВ в некоторый прямоугольник (см. рис. 9.2). Вероятность попадания случайной точки в указанный прямоугольник можно записать:

.   (9.8)

Рис.9.2. Вероятность попадания в прямоугольник

Зная функцию распределения , выразим искомую вероятность. Эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной , минус вероятности попадания в квадранты с вершинами и плюс вероятность попадания в квадрант (т.к. эта вероятность вычиталась дважды). Окончательно получим:

(9.9)

Плотность вероятности двумерной случайной величины

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения - непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная .

Как и для одномерной случайной величины, введем понятие плотности вероятности двумерной СВ.

Оценим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и . Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике равна отношению вероятности к площади прямоугольника . Будем неограниченно уменьшать стороны прямоугольника, устремив и к нулю. С учетом (9.9) получим:

 

    (9.10)

Учитывая то, что функция  непрерывна и дифференцируемая по каждому аргументу, выражение (9.10) примет вид:

 (9.11)

Плотностью вероятности (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

   (9.12)

Плотность распределения двумерной СВ обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной СВ:

  1.  Плотность распределения двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, т.е.

     (9.13)

Это свойство вытекает из того, что  – функция неубывающая по каждому аргументу.

  1.  Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область равна

   (9.14)

По аналогии с одномерной СВ, для двумерной СВ введем понятие "элемент вероятности", равный . Он представляет (с точностью до бесконечно малых более высоких порядков) вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и . Тогда вероятность попадания двумерной СВ в область на плоскости геометрически изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область , а аналитически – двойным интегралом (9.14).

  1.  Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины выражается через ее плотность вероятности по формуле:

   (9.15)

Функция распределения  есть вероятность попадания в бесконечный квадрант , который можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами и и ординатами и .

  1.  Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной СВ равен единице.

    (9.16)

Несобственный интеграл (9.16) есть вероятность попадания во всю плоскость , т.е. вероятность достоверного события, равная 1.

Зная плотность вероятности двумерной СВ можно найти функции распределения и плотности вероятностей ее одномерных составляющих и . Учитывая (9.6) и (9.15), получим:

  (9.17)

Дифференцируя функции распределения и по аргументам и соответственно, получим плотности вероятности одномерных СВ:

 (9.18)

т.е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной плотности двумерной случайной величины по аргументу дает плотность вероятности , а по аргументу – плотность вероятности .

ПРИМЕР 1:  Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y

X

3

10

12

4

0.17

0.13

0.25

5

0.10

0.30

0.05

Требуется: a) найти законы распределения составляющих и ;
b) составить функцию распределения.

РЕШЕНИЕ: а) Сложив вероятности “по столбцам”, найдем закон распределения составляющей :

X

3

10

12

>12

P

0.27

0.43

0.3

F

0

0.27

0.7

1

Сложив вероятности "по строкам", аналогично найдем закон распределения составляющей :

Y

4

5

>5

P

0.55

0.45

F

0

0.55

1

b) Составим функцию распределения:

Y

X

3

10

12

>12

4

0

0

0

0

5

0

0.17

0.30

0.55

>5

0

0.27

0.7

1

ПРИМЕР 2:  (Задача Бюффона)

Иглу длиной бросают на плоскость, на которой на расстоянии друг от друга проведены параллельные линии. Определите вероятность пересечения иглой одной из линий, если .

РЕШЕНИЕ. Введем систему случайных величин , где расстояние от середины игла до ближайшей линии, а острый угол между иглой и линией (см. рис.). Очевидно, что распределено равномерно в интервале , а распределен равномерно в интервале . Учитывая, что СВ и независимые, получим при .

Пересечение иглой одной из линий происходит при заданном угле , если . Отсюда получим искомую вероятность:

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32639. Технико-экономическое обоснование проекта: содержание, назначение 27 KB
  Техникоэкономическое обоснование проекта: содержание назначение ТЭО Основным документом обосновывающим целесообразность и эффективность проекта является ТЭО проекта. Эти задачи решаются с помощью ТЭО. ТЭО является обязательным документом в случае если финансирование капитальных вложений в основные фонды осуществляется полностью или на долевых началах из Государственного бюджета Российской Федерации и ее внебюджетных фондов централизованных фондов министерств и ведомств а также собственных финансовых ресурсов государственных предприятий....
32640. Бизнес- план инвестиционного проекта: содержание, назначение 51 KB
  Бизнес план инвестиционного проекта: содержание назначение Бизнес план Бизнесплан это подробный четко структурированный и тщательно подготовленный документ описывающий цели и задачи которые необходимо решить предприятию компании способы достижения поставленных целей и техникоэкономические показатели предприятия и или проекта в результате их достижения. Содержание бизнесплана Вводная часть резюме проекта Вводная часть как правило пишется уже после того как составлен весь план. в ней содержатся основные положения всего...
32641. Принципы и процессы планирования проекта. Уровни планирования 62.5 KB
  Принципы и процессы планирования проекта. Принципы и процессы планирования Сущность планирования состоит в задании целей и способов их достижения на основе формирования комплекса работ мероприятий действий которые должны быть выполнены применении методов и средств реализации этих работ увязки ресурсов необходимых для их выполнения согласовании действий организаций участников проекта. Основная цель планирования состоит в построении модели реализации проекта. Она необходима для координации деятельности участников проекта с ее помощью...
32642. Формирование статей затрат проекта. Калькуляция расходов, сметы, бюджет проекта 27.5 KB
  Формирование статей затрат проекта. Калькуляция расходов сметы бюджет проекта. Бюджет проекта предназначен для планирования расхода средств проекта по временным периодам год квартал месяц в течение всего времени его осуществления. Обычно расход средств проекта первого года планируется более подробно показывается поквартальное и помесячное распределение денежных средств.
32643. Управление качеством в проекте 40 KB
  Управление качеством в проекте. Управление качеством Одной из ключевых функций управления проектом наряду с такими как управление стоимостью и временем является управление качеством проекта. Качество это целостная совокупность характеристик объекта относящихся к его способности удовлетворять установленные или предполагаемые потребности. Понятие качество следует отличать от понятия градация сорт класс.
32644. Проектные риски и их основные виды 39.5 KB
  Вероятность рисков это вероятность того что в результате принятия решения произойдут потери для предприятия то есть вероятность нежелательного исхода. Проектные риски это совокупность рисков угрожающих реализации инвестиционного проекта или способных снизить его эффективность коммерческую экономическую бюджетную социальную и т. Виды инвестиционных рисков многообразны. В отдельных источниках также выделяют такие риски как: риск связанный с отраслью производства вложение в производство товаров народ ного потребления в среднем...
32645. Методы анализа и прогнозирования риска и неопределенности в проекте 274.5 KB
  Анализ рисков процедуры выявления факторов рисков и оценки их значимости по сути анализ вероятности того что произойдут определенные нежелательные события и отрицательно повлияют на достижение целей проекта. Анализ рисков включает оценку рисков и методы снижения рисков или уменьшения связанных с ним неблагоприятных последствий. Назначение анализа рисков дать потенциальным партнерам необходимые данные для принятия ре шений о целесообразности участия в проекте и выработки мер по защите от воз можных финансовых потерь. Анализ рисков можно...
32646. Методы снижения риска в проекте 465.5 KB
  Принципы выбора метода снижения риска Нельзя рисковать больше чем это может позволить собственный капитал; Надо думать о последствиях риска; Нельзя рисковать многим ради малого. Кр = У С где Кр коэффициент риска У максимально возможная сумма убытка; С объем собственных ресурсов с учетом точно известных поступлений средств. Методы снижения риска Распределение риска между участниками сделки долевое финансирование проектов Гарантии Лимитирование установление предельных сумм сделок кредита Резервные фонды Залог Модель управления...
32647. Контрактная работа над проектом 37 KB
  Контрактная стадия проекта открывает фазу реализации проекта и следует сразу за фазой предынвестиционных исследований за принятием решения о вложении инвестиций в проект. На этой стадии определяются все участники проекта контракторы отношения которых с заказчиком формализуются в контрактах. Определение потребности в ресурсах работах и услугах необходимых для реализации проекта. Определение потенциальных участников проекта контракторов и анализ их возможностей.