10959

Многомерные случайные величины

Лекция

Математика и математический анализ

Многомерные случайные величины Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величины а некоторой системой случайных величин которую называют также многомерной мерной случайной величиной или случайным вектором . Случайные величины в

Русский

2013-04-03

198.57 KB

91 чел.

Многомерные случайные величины

Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величины, а некоторой системой случайных величин , которую называют также многомерной (    мерной) случайной величиной или случайным вектором .

Случайные величины , входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Приведем примеры многомерных случайных величин:

  1.  физическое состояние человека можно охарактеризовать системой случайных величин: рост, вес, возраст, и т.п.
  2.  успеваемость студента можно описать многомерной случайной величиной , где оценка по му предмету.

Геометрически двумерную и трехмерную случайные величины можно интерпретировать случайной точкой (вектором) на плоскости или в трехмерном пространстве . Как отмечалось ранее, наиболее полным описанием СВ является закон ее распределения. Дальнейшее рассмотрение многомерных СВ проведем на примере двумерных случайных величин.

Определим, как и для одномерной СВ, интегральную функцию распределения двумерной СВ:

    (9.1)

Геометрически функция распределения означает вероятность попадания случайной точки в заштрихованную область – бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки  (рис. 9.1). Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются – это значит, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле:

Рис. 9.1.

    (9.2)

Здесь (9.2) суммирование вероятностей производится по всем значениям , для которых и по всем , для которых .

Свойства двумерной функции распределения

  1.  Функция распределения  есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е.

.      (9.3)

Это утверждение следует из того, что интегральная функция распределения двумерной СВ есть вероятность.

  1.  Функция распределения  есть неубывающая функция, по каждому из аргументов, т.е.

  

      (9.4)

Т.к. при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рис.9.1 увеличивается, то вероятность попадания случайной точки в эту область, по крайней мере, уменьшиться не может.

  1.  Если хотя бы один из аргументов обращается в , функция распределения  равна нулю, т.е.

  (9.5)

Функция распределения в данных случаях равна нулю, т.к. события и их произведение представляют невозможные события.

  1.  Если один из аргументов равен , двумерная функция распределения  становится равной одномерной функции распределения от другого аргумента:

    

      (9.6)

где . Очевидность данного свойства (9.6) вытекает из того, что произведение события и достоверного события есть само событие , аналогично можно показать и для .

  1.  Если оба аргумента равны , то функция распределения  равна единице:

.      (9.7)

Это свойство обусловлено тем фактом, что совместная реализация двух достоверных событий и есть событие достоверное, а вероятность достоверного события равна единице.

Рассмотрим вероятность попадания двумерной СВ в некоторый прямоугольник (см. рис. 9.2). Вероятность попадания случайной точки в указанный прямоугольник можно записать:

.   (9.8)

Рис.9.2. Вероятность попадания в прямоугольник

Зная функцию распределения , выразим искомую вероятность. Эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной , минус вероятности попадания в квадранты с вершинами и плюс вероятность попадания в квадрант (т.к. эта вероятность вычиталась дважды). Окончательно получим:

(9.9)

Плотность вероятности двумерной случайной величины

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения - непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная .

Как и для одномерной случайной величины, введем понятие плотности вероятности двумерной СВ.

Оценим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и . Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике равна отношению вероятности к площади прямоугольника . Будем неограниченно уменьшать стороны прямоугольника, устремив и к нулю. С учетом (9.9) получим:

 

    (9.10)

Учитывая то, что функция  непрерывна и дифференцируемая по каждому аргументу, выражение (9.10) примет вид:

 (9.11)

Плотностью вероятности (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

   (9.12)

Плотность распределения двумерной СВ обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной СВ:

  1.  Плотность распределения двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, т.е.

     (9.13)

Это свойство вытекает из того, что  – функция неубывающая по каждому аргументу.

  1.  Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область равна

   (9.14)

По аналогии с одномерной СВ, для двумерной СВ введем понятие "элемент вероятности", равный . Он представляет (с точностью до бесконечно малых более высоких порядков) вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и . Тогда вероятность попадания двумерной СВ в область на плоскости геометрически изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область , а аналитически – двойным интегралом (9.14).

  1.  Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины выражается через ее плотность вероятности по формуле:

   (9.15)

Функция распределения  есть вероятность попадания в бесконечный квадрант , который можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами и и ординатами и .

  1.  Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной СВ равен единице.

    (9.16)

Несобственный интеграл (9.16) есть вероятность попадания во всю плоскость , т.е. вероятность достоверного события, равная 1.

Зная плотность вероятности двумерной СВ можно найти функции распределения и плотности вероятностей ее одномерных составляющих и . Учитывая (9.6) и (9.15), получим:

  (9.17)

Дифференцируя функции распределения и по аргументам и соответственно, получим плотности вероятности одномерных СВ:

 (9.18)

т.е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной плотности двумерной случайной величины по аргументу дает плотность вероятности , а по аргументу – плотность вероятности .

ПРИМЕР 1:  Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y

X

3

10

12

4

0.17

0.13

0.25

5

0.10

0.30

0.05

Требуется: a) найти законы распределения составляющих и ;
b) составить функцию распределения.

РЕШЕНИЕ: а) Сложив вероятности “по столбцам”, найдем закон распределения составляющей :

X

3

10

12

>12

P

0.27

0.43

0.3

F

0

0.27

0.7

1

Сложив вероятности "по строкам", аналогично найдем закон распределения составляющей :

Y

4

5

>5

P

0.55

0.45

F

0

0.55

1

b) Составим функцию распределения:

Y

X

3

10

12

>12

4

0

0

0

0

5

0

0.17

0.30

0.55

>5

0

0.27

0.7

1

ПРИМЕР 2:  (Задача Бюффона)

Иглу длиной бросают на плоскость, на которой на расстоянии друг от друга проведены параллельные линии. Определите вероятность пересечения иглой одной из линий, если .

РЕШЕНИЕ. Введем систему случайных величин , где расстояние от середины игла до ближайшей линии, а острый угол между иглой и линией (см. рис.). Очевидно, что распределено равномерно в интервале , а распределен равномерно в интервале . Учитывая, что СВ и независимые, получим при .

Пересечение иглой одной из линий происходит при заданном угле , если . Отсюда получим искомую вероятность:

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22063. Поэтический реализм 43 KB
  Герои Граббе гибнут в столкновении с необузданными жестокими силами истории которые драматург представляет как непостижимые массы и величины Дон Жуан и Фауст 1829; Битва Германа 1836. Более позитивную концепцию истории дают произведения Р. Попытка Вагнера вновь оживить германскую мифологию ныне отошла в область истории и все же Вагнер как никто другой представил миру персонажи и легенды германского Средневековья в Тангейзере 1845 Кольце Нибелунга законч. Бюхнер вышел за пределы чистой истории подчеркивая безнадежное...
22064. Натурализм 36 KB
  оказал Фридрих Ницше 18441900. Сын пастора воспитанный в атмосфере протестантского благочестия и намеревавшийся изучать богословие Ницше однако решительно сменил теологический факультет Боннского университета на факультет классической филологии. Жизнь Ницше была по словам С. Первые симптомы ужасной болезни Ницше ощутил в 1873 г.
22065. Литература раннего Средневековья (ХII-ХIII вв.) 40 KB
  Литература раннего Средневековья ХIIХIII вв. Клирикальная литература В средневековой литературе Западной Европы христианская традиция преобладала над античной. На этапе раннего Средневековья было два основных потока литературы: литература устная и литература письменная. Куртуазная литература Начиная с XII века в Западной Европе возникает богатейшая литература на латинском и на национальных языках.
22066. Литература позднего Средневековья( XIV- XV вв.) 46.5 KB
  В культурной жизни Германии XV и XVI вв. Правда на закате Средних веков еще иногда раздавались в Германии голоса представителей рыцарской поэзии. В свою книгу Гуго вплетает многочисленные рифмованные поучения басни моральные аллегории притчи и шванки в которых с большим количеством реалистических деталей живо отражена жизнь средневековой Германии. Подобно своим предшественникам он развертывает широкую панораму неустройства царящего в Германии.
22067. Ренессанс 43 KB
  преобладали мотивы и формы Позднего Средневековья и в ряду европейских литератур эпохи Возрождения она была едва ли не самой старомодной то в XVII в. В эпоху Возрождения начало меняться общественное положение литератора произошло ускорение информационных процессов. Поэт Возрождения уже не ремесленник но творец. Именно этим смыслом и наполнена поэтическая тема уединения столь характерная для всех поэтов Возрождения.
22068. Гуманизм и Реформация 55 KB
  Ненависть народа направлена была также и против католической церкви которая пользуясь государственной слабостью Германии старалась выкачать из нее как можно больше денег. Города и прежде всего вольные города становились важнейшими очагами духовной жизни Германии вступившей в эпоху возрождения. По той резкости с какой наиболее воинствующие гуманисты Германии нападали на алчность развращенность и обскурантизм католического клира не щадя при этом официального богословия они несомненно превосходили своих итальянских учителей. Для...
22069. Методика і техніка організації експерименту 70.5 KB
  Методика і техніка організації експерименту План 1.Етапи проведення експерименту. Види експерименту і методика їх проведення.Типові помилки в проведенні експерименту.
22070. Обробка, аналіз та інтерпретація отриманої інформації 313.5 KB
  Потім близькі за смислом відповіді обєднуються і кожній групі приписується певний код. Таким чином при класифікації відкритих відповідей необхідно дотримуватися наступних правил: виділяти групи відповідей у відповідності до мети дослідження; всі відповіді в одній групі повинні мати загальну логічну і смислову основу; різні групи повинні розрізнятися чітко по смислу. Наприклад: середній бал у групі де ознаки мають такі варіації 54. Наприклад аналіз відвідування занять студентами 2х груп в першій групі 20 студентів в другій 30...
22071. ОФОРМЛЕННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ТЕОРЕТИКО-ЕКСПЕРТНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ 21.5 KB
  Загальні вимоги до оформлення науководослідної роботи. Правила оформлення науководослідної роботи. Літературне оформлення науководослідної роботи. Організація і методика науководослідницької діяльності.