1096

Математические модели и синтез цифровых рекурсивных фильтров

Лекция

Математика и математический анализ

Математические модели цифровых рекурсивных фильтров. Методика синтеза цифровых рекурсивных фильтров. Численное исследование методики синтеза цифровых рекурсивных фильтров.

Русский

2013-01-06

1.61 MB

130 чел.

Лекция

Математические модели и синтез цифровых рекурсивных фильтров

Рассматриваются следующие вопросы:

- математические модели цифровых рекурсивных фильтров;

- методика синтеза цифровых рекурсивных фильтров.

2.1. Математические модели цифровых рекурсивных фильтров

Свойство рекурсивный фильтр обозначает, что выходной сигнал фильтра зависит как от значения входного сигнала, так и от предшествующих значений выходного сигнала. Рекурсивный фильтр имеет импульсную характеристику бесконечной длины и поэтому еще называется фильтром с импульсной характеристикой бесконечной длины (или БИХ-фильтром). АЧХ рекурсивного фильтра точнее аппроксимирует АЧХ аналогового прототипа, чем нерекурсивные.

Рекурсивные ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выглядят следующим образом

,  (2.1)

,  (2.2)

,  (2.3)

,  (2.4)

где   - порядок фильтра, .

Связь между передаточной функцией (частотной характеристикой)  и переходной функцией (импульсной характеристикой)  цифрового рекурсивного фильтра, например рекурсивного ФНЧ, может быть представлена в виде (2.5) или с помощью  z-преобразования в виде (2.6).

, (2.5)

,   (2.6)                     

где   - шаг квантования,   - частота дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) (2.7) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ) (2.8) рекурсивного фильтра выглядит в виде

(2.7)

 (2.8)

Для выделения частотных составляющих звуков используются каскады фильтров, т.е. последовательное соединение фильтров, например ФНЧ 1-го и 2-го порядков.

 (2.9)

где  - передаточная функция i-го ФНЧ 1-го или 2-го порядка,

– количество фильтров в каскаде.

Если порядок заданного фильтра N четный, то =M/2 и используется M/2 фильтров 2-го порядка, иначе =(M+1)/2  и используется (M-1)/2 фильтров 2-го порядка и один фильтр 1-го порядка.

Обработку дискретного сигнала рекурсивным фильтром, например ФНЧ (рис.2.1), можно представить в виде параметрической структуры, в которой используются коэффициенты фильтра , , и его порядок M .

 

Рис. 2.1. Структура фильтрации дискретного сигнала

В качестве входных переменных блока фильтрации выступают дискретный сигнал x(n), его  длина N, функция окна w(n), частота среза , частота дискретизации , а в качестве выходных – фильтрованный сигнал xН(n).

Цифровая фильтрация рекурсивным фильтром требует  умножений.

2.2 Методика синтеза цифровых рекурсивных фильтров

Цифровые рекурсивные фильтры можно реализовывать с различными характеристиками: отсутствие пульсации в полосе пропускания, отсутствие пульсации в полосе непропускания (запирания), крутизна АЧХ при переходе от полосы пропускания в полосу непропускания, пригодность к передаче импульсов. Ни один из рекурсивных фильтров не отвечает этим характеристикам. Согласно современным исследованиям, в преобразованиях аналоговых и цифровых сигналов наиболее распространенными являются фильтры Баттерворта, Бесселя, Чебышева, Кауэра.

Алгоритм синтеза цифрового фильтра приведен на рис.2.2.

Фильтр Баттерворта. Оптимизирован для максимально плоской АЧХ в полосе пропускания. Крутизна АЧХ увеличивается с порядком фильтра. Является наиболее распространенным и требующим меньшей вычислительной сложности при реализации по сравнению с остальными фильтрами.

Рис. 2.2. Алгоритм синтеза цифровых фильтров

Аппроксимирующая функция (функция Баттерворта) представлена в виде (2.10).

, где  M – порядок фильтра (2.10)

Для ФНЧ ,  для ФВЧ  .

Ослабление АЧХ вычисляется в виде (2.11).

 (2.11)

Для значительного ослабления (затухания) АЧХ в полосе непропускания необходимо брать  M>>3.

Если , то полюса передаточной функции K(), лежащие в левой полуплоскости, вычисляются в виде (2.12).

,   (2.12)

ФНЧ Бесселя. Имеет лучшую передаточную характеристику для прямоугольных импульсов. АЧХ спадает менее круто, чем в фильтре Баттерворта. Отсутствует пульсация.

, (2.13)

где  - функция Бесселя M-го порядка, .

Для ФНЧ ,  для ФВЧ  .

ФНЧ Чебышева. В полосе пропускания либо полосе непропускания имеет пульсацию с максимальной амплитудой (в отличие от фильтра Баттерворта). Крутизна АЧХ больше, чем у фильтра Баттерворта.

Аппроксимирующая функция представлена в виде (2.14).

,  (2.14)

где   - полином Чебышева  M-го порядка

Для ФНЧ ,  для ФВЧ .

Ослабление АЧХ вычисляется в виде (2.15).

 (2.15)

Амплитуда пульсации АЧХ определяется в виде (2.16)

 (2.16)

Если , то полюса передаточной функции K(), лежащие в левой полуплоскости, вычисляются в виде (2.17).

. (2.17)

ФНЧ Кауэра (эллиптический ФНЧ). Имеет пульсацию в полосе пропускания и полосе непропускания. Это цена за большую крутизну фронта импульса фильтра.

Аппроксимирующая функция представлена в виде (2.18).

,  (2.18)

где   - эллиптическая функция

Для ФНЧ , для ФВЧ .

Ослабление АЧХ вычисляется в виде (2.19).

 (2.19)

В блоке 2 определим с помощью нормированных полюсов, например с помощью (2.12), коэффициенты передаточной функции аналогового ФНЧ 1-го порядка в виде (2.20), а коэффициенты передаточной функция аналогового ФНЧ 2-го порядка в виде (2.21).

,   (2.20)

, (2.21)

.

Цифровой ФНЧ получают (синтезируют) по аналоговому ФНЧ. В   блоке 3 коэффициенты цифрового ФНЧ определены следующим образом. Используя билинейное преобразование, произведем в (2.20) и (2.21) замену  

, ,

где  - шаг квантования,  - частота дискретизации.

Тогда передаточная функция, определенная в (2.6), для ФНЧ 1-го (2.22) и 2-го (2.23) порядка будет представлена в виде

, (2.22)

, (2.23)

Цифровой ФВЧ получают из цифрового ФНЧ. В блоке 4 коэффициенты цифрового ФВЧ определены следующим образом. Используя частотное преобразование, произведем в (2.22) и (2.23) замену  

,

где .

Тогда передаточная функция для ФВЧ 1-го (2.24) и 2-го (2.25) порядка будет представлена следующим образом

, (2.24)

, (2.25)

Цифровой ФП получают из цифрового ФНЧ. В блоке 4 коэффициенты цифрового ФП определены следующим образом. Используя частотное преобразование, произведем в (2.24) и (2.25) замену  

,

где , , , .

Тогда передаточная функция, для ФП 1-го (2.22) и 2-го (2.23) порядка будет представлена следующим образом

, (2.26)

, (2.27)

Цифровой ФР получают из цифрового ФНЧ. В блоке 4 коэффициенты цифрового ФР определены следующим образом. Используя частотное преобразование, произведем в (2.22) и (2.23) замену  

,

где , , , .

Тогда передаточная функция, для ФР 1-го (2.28) и 2-го (2.29) порядка выглядит следующим образом

, (2.28)

, (2.29)

Для цифрового рекурсивного фильтра важную роль играет точность аппроксимации реализованной передаточной функции. Исходя из этого, в блоках 5-6 производится параметрическая идентификация вычисленных коэффициентов ,,, с помощью минимизации критерия среднеквадратичной ошибки

,  (2.30)

где   - передаточная функция реализованного фильтра,

- передаточная функция идеального фильтра, .

Приведем пример определения среднеквадратичной ошибки  для ФНЧ.

Если заменить

,

то для ФНЧ 1-го порядка передаточные функции (2.22) примут вид (2.31).

,  (2.31)

Отсюда

 (2.32)

Для фильтра 2-го порядка передаточные функции (2.23) примут вид (2.33).

, (2.33)

Отсюда

 (2.34)

На основании (2.32) и (2.34) вычисляется среднеквадратичная ошибка , которая затем сравнивается с порогом    и в случае превышения порога производится уточнение коэффициентов ФНЧ. Аналогично вычисляются , , .

2.3 Численное исследование методики синтеза цифровых рекурсивных фильтров

В работе [1] осуществлялось подавление высокочастотных составляющих дискретного сигнала. Для этого выбран цифровой ФНЧ восьмого порядка, который синтезируется из аналогового ФНЧ, составленного из четырех Г-образных ФНЧ второго порядка. При этом в табл.2.1 заданы величины емкостей , индуктивностей , сопротивлений .

Таблица 2.1

Заданные значения элементов аналоговых ФНЧ

№ фильтра

C (мкФ)

L (Гн)

R (Ом)

1

1.632

0.062

500

2

0.286

0.354

1000

3

0.096

1.059

2000

4

0.041

2.498

4000

Согласно (2.15)-(2.17), приведенным в части 1, определены параметры этих фильтров, представленные в табл.2.2.

Таблица 2.2

Расчетные значения параметров аналоговых ФНЧ

№ фильтра

(мкс)

Q

1

612.894

1.632

2.563

2

1745.375

0.573

0.9

3

2612.139

0.383

0.601

4

3081.228

0.325

0.51

Расчет фильтров произведен по алгоритму, приведенному на рис.2.2. Согласно (2.12), в блоке 1 рис.2.2 вычислены нормированные полюса аналоговых ФНЧ, их значения приведены в табл.2.3.

Таблица 2.3

Значения нормированных полюсов ФНЧ

p1

p2

p3

p4

-0.195+ 0.981j

-0.556+ 0.831j

-0.831+ 0.556j

-0.981+ 0.195j

p5

p6

p7

p8

-0.981-0.195j

-0.831-0.556j

-0.556-0.831j

-0.195-0.981j

В блоке 2, согласно (2.21), осуществлен расчет коэффициентов каскада аналоговых ФНЧ, которые приведены в табл.2.4

Таблица 2.4

Расчетные значения параметров аналоговых ФНЧ

№ фильтра

a0на = b2на

b1на

1

9869604.401

1225.789

2

9869604.401

3490.751

3

9869604.401

5224.278

4

9869604.401

6162.456

Для значений нормированных полюсов, приведенных в табл.2.3, в блоке 3, согласно (2.23), вычисляются коэффициенты каскада цифровых ФНЧ, которые приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5

Расчетные значения коэффициентов цифровых ФНЧ

фильтра

a0нц = a2нц 

a1нц

b1нц

b2нц

1

0.005

0.010

-1.926

0.946

2

0.005

0.009

-1.835

0.854

3

0.005

0.009

-1.771

0.789

4

0.004

0.009

-1.738

0.756

Для обоснования правомочности выбора ФНЧ восьмого порядка, в блоке 5 вычисляется среднеквадратичная ошибка (2.30), значения которой приведены в табл.2.6. Данные этой таблицы позволяют сделать вывод, что с возрастанием кратности наборов фильтров среднеквадратичная ошибка резко уменьшается для ФНЧ восьмого порядка (почти вдвое) и незначительно уменьшается для ФНЧ кратности 10. На основании анализа среднеквадратичных ошибок делается вывод о целесообразности применения ФНЧ восьмого порядка.

Таблица 2.6

Среднеквадратичные ошибки оценивания ФНЧ

M=2

M=4

M=8

M=10

470.775

350.240

273.821

272.125

Результат применения ФНЧ восьмого порядка к дискретному сигналу (рис.2.3), содержащему высокочастотный звук «у», приведен на рис.2.4.

Рис. 2.3. Исходный сигнал, содержащий звук «у»

Рис. 2.4. Отфильтрованный сигнал, содержащий звук «у»


x (n),
дб

N

xн (n), дб

N


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14248. Композитор и фольклор 33.5 KB
  Лекция шестнадцатая. Тема: Композитор и фольклор. В конце 19 века Эдисон изобрел фонограф. Фонографы работали по следующему принципу: по вращающемуся звуконосителю перемещалась игларезец полученные при помощи мебранымикрофона механические колебания механичес...
14249. Среднерусская и средневолжская народные музыкальные традиции 34 KB
  Лекции шестая и седьмая. Тема: среднерусская и средневолжская народные музыкальные традиции. Среднерусская музыкальная традиция. Географически она сконцентрирована вокруг Москвы и прилегающих областей то есть распространена в Московской Владимирской Нижегоро...
14250. Образы Пушкинской лирики и прозы в музыкальных произведениях 17.34 KB
  Образы Пушкинской лирики и прозы в музыкальных произведениях 1 Талисман Стихотворение Пушкина храни меня мой талисман связано с кольцомталисманом подаренным Пушкину Елизаветой Воронцовой. Это был красивый роман который имел трагическое последствие губернат...
14251. Музыкально-игровое творчество как вид деятельности дошкольников 159.5 KB
  Музыкальноигровое творчество как вид деятельности дошкольников Курсовая работа Оглавление: Введение Глава 1 Возрастные особенности детей старшего дошкольного возраста Деятельность как ведущий фактор развития личности ребенка Игровая дея...
14252. Немецкая опера первой половины 19-го века 294.5 KB
  Немецкая опера первой половины 19го века В одной из глав романа Жизнь музыканта Вебер характеризует положение оперного искусства в Германии начала 19го века. Гансвурст излюбленный персонаж немецкого народного театра нечто вроде нашего русского Петрушки поочерёд
14253. Музыкальная драматургия, её структурные элементы 12.93 KB
  Музыкальная драматургия её структурные элементы. Система выразительных средств и приёмов воплощения драматического действия в произведении музыкальносценического жанра опере балете оперетте. В основе музыкальной драматургии лежат общие законы драмы как одного и...
14254. Выразительные возможности музыки 13.81 KB
  Выразительные возможности музыки. Звукоизобразительность в музыке больше всего другого приближает ее к природному миру. Это способность имитировать явления природы. Музыка может подражать и иным проявлениям жизни имитировать передавать с помощью музыкальных ин...
14255. Основные закономерности музыкальной драматургии. Сонатная форма 13.94 KB
  Основные закономерности музыкальной драматургии. Сонатная форма. СОНА́ТНАЯ ФО́РМА сонатное allegro музыкальная форма основанная на сопоставлении и развитии 2х тем обычно контрастных. Представляет обширные возможности для воплощения драматизма в музыке. Применяется
14256. Принципы использования и назначение музыки в немом кино 13.7 KB
  Принципы использования и назначение музыки в немом кино. Музыка заменяла отсутствовавший в немых фильмах диалог точнее говоря его интонационную сторону так как текст появлявшийся время от времени на экране только пояснял происходящее. Музыка сообщает картине в ц