1096

Математические модели и синтез цифровых рекурсивных фильтров

Лекция

Математика и математический анализ

Математические модели цифровых рекурсивных фильтров. Методика синтеза цифровых рекурсивных фильтров. Численное исследование методики синтеза цифровых рекурсивных фильтров.

Русский

2013-01-06

1.61 MB

129 чел.

Лекция

Математические модели и синтез цифровых рекурсивных фильтров

Рассматриваются следующие вопросы:

- математические модели цифровых рекурсивных фильтров;

- методика синтеза цифровых рекурсивных фильтров.

2.1. Математические модели цифровых рекурсивных фильтров

Свойство рекурсивный фильтр обозначает, что выходной сигнал фильтра зависит как от значения входного сигнала, так и от предшествующих значений выходного сигнала. Рекурсивный фильтр имеет импульсную характеристику бесконечной длины и поэтому еще называется фильтром с импульсной характеристикой бесконечной длины (или БИХ-фильтром). АЧХ рекурсивного фильтра точнее аппроксимирует АЧХ аналогового прототипа, чем нерекурсивные.

Рекурсивные ФНЧ, ФВЧ, ФП, ФР выглядят следующим образом

,  (2.1)

,  (2.2)

,  (2.3)

,  (2.4)

где   - порядок фильтра, .

Связь между передаточной функцией (частотной характеристикой)  и переходной функцией (импульсной характеристикой)  цифрового рекурсивного фильтра, например рекурсивного ФНЧ, может быть представлена в виде (2.5) или с помощью  z-преобразования в виде (2.6).

, (2.5)

,   (2.6)                     

где   - шаг квантования,   - частота дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) (2.7) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ) (2.8) рекурсивного фильтра выглядит в виде

(2.7)

 (2.8)

Для выделения частотных составляющих звуков используются каскады фильтров, т.е. последовательное соединение фильтров, например ФНЧ 1-го и 2-го порядков.

 (2.9)

где  - передаточная функция i-го ФНЧ 1-го или 2-го порядка,

– количество фильтров в каскаде.

Если порядок заданного фильтра N четный, то =M/2 и используется M/2 фильтров 2-го порядка, иначе =(M+1)/2  и используется (M-1)/2 фильтров 2-го порядка и один фильтр 1-го порядка.

Обработку дискретного сигнала рекурсивным фильтром, например ФНЧ (рис.2.1), можно представить в виде параметрической структуры, в которой используются коэффициенты фильтра , , и его порядок M .

 

Рис. 2.1. Структура фильтрации дискретного сигнала

В качестве входных переменных блока фильтрации выступают дискретный сигнал x(n), его  длина N, функция окна w(n), частота среза , частота дискретизации , а в качестве выходных – фильтрованный сигнал xН(n).

Цифровая фильтрация рекурсивным фильтром требует  умножений.

2.2 Методика синтеза цифровых рекурсивных фильтров

Цифровые рекурсивные фильтры можно реализовывать с различными характеристиками: отсутствие пульсации в полосе пропускания, отсутствие пульсации в полосе непропускания (запирания), крутизна АЧХ при переходе от полосы пропускания в полосу непропускания, пригодность к передаче импульсов. Ни один из рекурсивных фильтров не отвечает этим характеристикам. Согласно современным исследованиям, в преобразованиях аналоговых и цифровых сигналов наиболее распространенными являются фильтры Баттерворта, Бесселя, Чебышева, Кауэра.

Алгоритм синтеза цифрового фильтра приведен на рис.2.2.

Фильтр Баттерворта. Оптимизирован для максимально плоской АЧХ в полосе пропускания. Крутизна АЧХ увеличивается с порядком фильтра. Является наиболее распространенным и требующим меньшей вычислительной сложности при реализации по сравнению с остальными фильтрами.

Рис. 2.2. Алгоритм синтеза цифровых фильтров

Аппроксимирующая функция (функция Баттерворта) представлена в виде (2.10).

, где  M – порядок фильтра (2.10)

Для ФНЧ ,  для ФВЧ  .

Ослабление АЧХ вычисляется в виде (2.11).

 (2.11)

Для значительного ослабления (затухания) АЧХ в полосе непропускания необходимо брать  M>>3.

Если , то полюса передаточной функции K(), лежащие в левой полуплоскости, вычисляются в виде (2.12).

,   (2.12)

ФНЧ Бесселя. Имеет лучшую передаточную характеристику для прямоугольных импульсов. АЧХ спадает менее круто, чем в фильтре Баттерворта. Отсутствует пульсация.

, (2.13)

где  - функция Бесселя M-го порядка, .

Для ФНЧ ,  для ФВЧ  .

ФНЧ Чебышева. В полосе пропускания либо полосе непропускания имеет пульсацию с максимальной амплитудой (в отличие от фильтра Баттерворта). Крутизна АЧХ больше, чем у фильтра Баттерворта.

Аппроксимирующая функция представлена в виде (2.14).

,  (2.14)

где   - полином Чебышева  M-го порядка

Для ФНЧ ,  для ФВЧ .

Ослабление АЧХ вычисляется в виде (2.15).

 (2.15)

Амплитуда пульсации АЧХ определяется в виде (2.16)

 (2.16)

Если , то полюса передаточной функции K(), лежащие в левой полуплоскости, вычисляются в виде (2.17).

. (2.17)

ФНЧ Кауэра (эллиптический ФНЧ). Имеет пульсацию в полосе пропускания и полосе непропускания. Это цена за большую крутизну фронта импульса фильтра.

Аппроксимирующая функция представлена в виде (2.18).

,  (2.18)

где   - эллиптическая функция

Для ФНЧ , для ФВЧ .

Ослабление АЧХ вычисляется в виде (2.19).

 (2.19)

В блоке 2 определим с помощью нормированных полюсов, например с помощью (2.12), коэффициенты передаточной функции аналогового ФНЧ 1-го порядка в виде (2.20), а коэффициенты передаточной функция аналогового ФНЧ 2-го порядка в виде (2.21).

,   (2.20)

, (2.21)

.

Цифровой ФНЧ получают (синтезируют) по аналоговому ФНЧ. В   блоке 3 коэффициенты цифрового ФНЧ определены следующим образом. Используя билинейное преобразование, произведем в (2.20) и (2.21) замену  

, ,

где  - шаг квантования,  - частота дискретизации.

Тогда передаточная функция, определенная в (2.6), для ФНЧ 1-го (2.22) и 2-го (2.23) порядка будет представлена в виде

, (2.22)

, (2.23)

Цифровой ФВЧ получают из цифрового ФНЧ. В блоке 4 коэффициенты цифрового ФВЧ определены следующим образом. Используя частотное преобразование, произведем в (2.22) и (2.23) замену  

,

где .

Тогда передаточная функция для ФВЧ 1-го (2.24) и 2-го (2.25) порядка будет представлена следующим образом

, (2.24)

, (2.25)

Цифровой ФП получают из цифрового ФНЧ. В блоке 4 коэффициенты цифрового ФП определены следующим образом. Используя частотное преобразование, произведем в (2.24) и (2.25) замену  

,

где , , , .

Тогда передаточная функция, для ФП 1-го (2.22) и 2-го (2.23) порядка будет представлена следующим образом

, (2.26)

, (2.27)

Цифровой ФР получают из цифрового ФНЧ. В блоке 4 коэффициенты цифрового ФР определены следующим образом. Используя частотное преобразование, произведем в (2.22) и (2.23) замену  

,

где , , , .

Тогда передаточная функция, для ФР 1-го (2.28) и 2-го (2.29) порядка выглядит следующим образом

, (2.28)

, (2.29)

Для цифрового рекурсивного фильтра важную роль играет точность аппроксимации реализованной передаточной функции. Исходя из этого, в блоках 5-6 производится параметрическая идентификация вычисленных коэффициентов ,,, с помощью минимизации критерия среднеквадратичной ошибки

,  (2.30)

где   - передаточная функция реализованного фильтра,

- передаточная функция идеального фильтра, .

Приведем пример определения среднеквадратичной ошибки  для ФНЧ.

Если заменить

,

то для ФНЧ 1-го порядка передаточные функции (2.22) примут вид (2.31).

,  (2.31)

Отсюда

 (2.32)

Для фильтра 2-го порядка передаточные функции (2.23) примут вид (2.33).

, (2.33)

Отсюда

 (2.34)

На основании (2.32) и (2.34) вычисляется среднеквадратичная ошибка , которая затем сравнивается с порогом    и в случае превышения порога производится уточнение коэффициентов ФНЧ. Аналогично вычисляются , , .

2.3 Численное исследование методики синтеза цифровых рекурсивных фильтров

В работе [1] осуществлялось подавление высокочастотных составляющих дискретного сигнала. Для этого выбран цифровой ФНЧ восьмого порядка, который синтезируется из аналогового ФНЧ, составленного из четырех Г-образных ФНЧ второго порядка. При этом в табл.2.1 заданы величины емкостей , индуктивностей , сопротивлений .

Таблица 2.1

Заданные значения элементов аналоговых ФНЧ

№ фильтра

C (мкФ)

L (Гн)

R (Ом)

1

1.632

0.062

500

2

0.286

0.354

1000

3

0.096

1.059

2000

4

0.041

2.498

4000

Согласно (2.15)-(2.17), приведенным в части 1, определены параметры этих фильтров, представленные в табл.2.2.

Таблица 2.2

Расчетные значения параметров аналоговых ФНЧ

№ фильтра

(мкс)

Q

1

612.894

1.632

2.563

2

1745.375

0.573

0.9

3

2612.139

0.383

0.601

4

3081.228

0.325

0.51

Расчет фильтров произведен по алгоритму, приведенному на рис.2.2. Согласно (2.12), в блоке 1 рис.2.2 вычислены нормированные полюса аналоговых ФНЧ, их значения приведены в табл.2.3.

Таблица 2.3

Значения нормированных полюсов ФНЧ

p1

p2

p3

p4

-0.195+ 0.981j

-0.556+ 0.831j

-0.831+ 0.556j

-0.981+ 0.195j

p5

p6

p7

p8

-0.981-0.195j

-0.831-0.556j

-0.556-0.831j

-0.195-0.981j

В блоке 2, согласно (2.21), осуществлен расчет коэффициентов каскада аналоговых ФНЧ, которые приведены в табл.2.4

Таблица 2.4

Расчетные значения параметров аналоговых ФНЧ

№ фильтра

a0на = b2на

b1на

1

9869604.401

1225.789

2

9869604.401

3490.751

3

9869604.401

5224.278

4

9869604.401

6162.456

Для значений нормированных полюсов, приведенных в табл.2.3, в блоке 3, согласно (2.23), вычисляются коэффициенты каскада цифровых ФНЧ, которые приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5

Расчетные значения коэффициентов цифровых ФНЧ

фильтра

a0нц = a2нц 

a1нц

b1нц

b2нц

1

0.005

0.010

-1.926

0.946

2

0.005

0.009

-1.835

0.854

3

0.005

0.009

-1.771

0.789

4

0.004

0.009

-1.738

0.756

Для обоснования правомочности выбора ФНЧ восьмого порядка, в блоке 5 вычисляется среднеквадратичная ошибка (2.30), значения которой приведены в табл.2.6. Данные этой таблицы позволяют сделать вывод, что с возрастанием кратности наборов фильтров среднеквадратичная ошибка резко уменьшается для ФНЧ восьмого порядка (почти вдвое) и незначительно уменьшается для ФНЧ кратности 10. На основании анализа среднеквадратичных ошибок делается вывод о целесообразности применения ФНЧ восьмого порядка.

Таблица 2.6

Среднеквадратичные ошибки оценивания ФНЧ

M=2

M=4

M=8

M=10

470.775

350.240

273.821

272.125

Результат применения ФНЧ восьмого порядка к дискретному сигналу (рис.2.3), содержащему высокочастотный звук «у», приведен на рис.2.4.

Рис. 2.3. Исходный сигнал, содержащий звук «у»

Рис. 2.4. Отфильтрованный сигнал, содержащий звук «у»


x (n),
дб

N

xн (n), дб

N


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65710. Комп’ютерний комплекс моделювання динаміки фізіологічного стану людини при роботі у приміщенні 360 KB
  Забезпечення належних умов праці на робочому місці безпека технологічних процесів санітарнопобутові умови праці та створення комфортних умов перебування людини у приміщенні набувають особливого значення оскільки більшу частину свого часу людина проводить саме в приміщенні.
65711. ПУБЛІЧНИЙ КОНТРОЛЬ ЗА ДІЯЛЬНІСТЮ ОРГАНІВ ДЕРЖАВНОЇ ВЛАДИ: ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ 199 KB
  Одним із ефективних засобів розвитку та функціонування сучасного постмодерного суспільства є налагодження діалогу між державою та громадянином між відповідними гілками влади політичними партнерами культурами та цивілізаціями.
65712. Податкова політика російського царату в українському селі у другій половині ХІХ – на початку ХХ ст.: історичний аспект 143.5 KB
  Трансформаційні процеси в аграрному секторі економіки України кінця ХХ – початку ХХІ ст. стимулюють зростання значного інтересу як дослідників-фахівців, так і широкої громадськості до специфічних особливостей перебігу аграрних перетворень, що мали місце в українському селі у минулому.
65713. Теплоізоляційні матеріали на основі модифікованих лужних алюмосилікатних композицій, здатних до спучування 927 KB
  Отже враховуючи все вищезазначене особливої актуальності набуває питання щодо розробки принципово нових видів теплоізоляційних матеріалів на основі модифікованих лужних алюмосилікатних композицій здатних до спучування які можуть бути виготовлені з використанням недорогої...
65714. РОЗВИТОК ТВОРЧИХ ЗДІБНОСТЕЙ УЧНІВ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ ЗАСОБАМИ ГРАФІЧНИХ ЗАДАЧ З КРЕСЛЕННЯ 184 KB
  Звідси виникає перше протиріччя суть якого проявляється у важливості і значущості розвитку творчих здібностей школярів і відсутності методичної основи забезпечення цього процесу на засадах розвязування творчих графічних задач на уроках креслення.
65715. Особистісна реалізованість людини в онтогенезі 382 KB
  Мета дослідження теоретико-методологічне обґрунтування та емпіричне вивчення феномену особистісної реалізованості людини в онтогенезі. Відповідно до зазначеної мети поставлено такі завдання: здійснити теоретичний аналіз...
65716. Патогенез і терапія псоріазу з різним ступенем тяжкості ендогенної інтоксикації та артеріальної гіпертензії 529.5 KB
  Виявлення захворювання серцевосудинної системи у хворих на псоріаз уже на початкових стадіях має велике практичне значення тому що розширює перспективи ефективної вторинної профілактики. Обраний напрямок досліджень пов'язаний з науковою діяльністю і входить...
65717. МОЖЛИВОСТІ ЧЕРЕЗСТРАВОХІДНОЇ ТА ТРАНСТОРАКАЛЬНОЇ ЕХОКАРДІОГРАФІЇ ДЛЯ ОПТИМІЗАЦІЇ ТЕРМІНУ АНТИКОАГУЛЯНТНОЇ ТЕРАПІЇ У ХВОРИХ НА ФІБРИЛЯЦІЮ-ТРІПОТІННЯ ПЕРЕДСЕРДЬ НЕКЛАПАННОЇ ЕТІОЛОГІЇ 1.04 MB
  Одним з найбільш небезпечних ускладнень у хворих ФП є розвиток тромбоемболічних ускладнень ТЕУ. Але підготовка хворих до відновлення синусового ритму продовжує залишатися актуальною проблемою: рекомендовані терміни терапії непрямими антикоагулянтами довготривалі...
65718. Перестрахування як механізм забезпечення фінансової стійкості страхової компанії 372 KB
  Одним з найбільш дієвих багатофункціональних та раціональних інструментів здатних забезпечити стабільну діяльність страхової компанії виступає перестрахування оскільки лібералізація світового ринку фінансових послуг надає можливість проводити як розміщення так і прийняття ризиків в межах країни та за кордоном.