10960

Условная плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Условная плотность распределения Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и и устремим и к нулю. Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятн

Русский

2013-04-03

140.12 KB

22 чел.

Условная плотность распределения

Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и , и устремим и к нулю.

Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу полосу равную на вероятность попасть в полосу при условии, что аргумент попал в полосу   - . В связи с тем, что аргументы и равносильны, запишем:

. (10.1)

Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:

   

  (10.2)

Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если безусловная плотность распределения этой величины равна условной плотности распределения:

  (10.3)

В этом случае говорят, что случайные величины и  статистически независимы.

При независимости случайных величин и получим:

     

(10.4)


Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ для двумерной случайной величины можно записать:

   

   (10.5)

Если говорим о моменте го порядка двумерной СВ, это значит суммируем индексы: . Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: , и .

Рассмотрим подробнее:

   

   

  

  

   (10.6)

Как видим для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

 (10.7)

Для дискретной СВ:

 (10.8)

Для непрерывной СВ:

(10.9)

Теорема: Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство:  (Докажем эту теорему для непрерывных СВ). Пусть и независимые случайные величины, тогда согласно (10.4)  . Подставим это в выражение (10.9)

 

  (10.10)

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.

 

  (10.11)

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

  (10.12)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, т.к. функция нормирована на меру разброса .

Пример 1. Имеются линейно зависимые случайные величины, т.е.

.

Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

Решение. Пусть для заданной СВ . Тогда, учитывая свойства получим:

Свойства коэффициента корреляции

  1.  Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке :

    (10.13)

  1.  Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Это свойство верно, т.к. в этом случае .
  2.  Равенство нулю коэффициента корреляции – необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность. Обратное не всегда верно. Убедимся в этом на примере.

Пример 2. Имеются две СВ: . Докажите, что эти величины некоррелированные.

Решение. Вычислим ковариацию:

На практике для мерного случайного вектора достаточно сложно найти закон распределения (интегральную функцию, плотность распределения и т.п.). Поэтому обычно указывают математических ожиданий   дисперсий и корреляционных моментов , характеризующих парные корреляции всех величин, составляющих вектор . Все корреляционные моменты, дополненные дисперсиями , располагают в виде матрицы:

  (10.14)

которую называют корреляционной матрицей системы случайных величин.

Замечание.  Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали (см. формулы (10.8) и (10.9)).

Пример 2. Двумерная СВ задана дифференциальной функцией:

Докажите, что и зависимые и не коррелируемые СВ.

Решение. Зная двумерную плотность распределения, вычислим одномерные плотности:

Т.к. , то и зависимые величины. Найдем корреляционный момент: . Т.к. функция симметричная относительно , то , аналогично . Учитывая эти результаты, получим:

Действительно, каждый интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом СВ и  зависимые и не коррелируемые.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34194. Взаимосвязь инфляции и безработицы 31.89 KB
  Взаимосвязь инфляции и безработицы Безработица социальноэкономическое явление когда часть активного населения не может применить свою рабочую силу. В условиях инфляции резко сокращаются инве стиции особенно долгосрочные что отрицательно сказывает ся на экономическом росте. Соотноше ние этих двух параметров в краткосрочном периоде описыва ется кривой Филлипса Доля безработных Кривая Филлипса показывает взаимное изменение уров ней безработицы и инфляции в экономике и означает что инф ляция высока при низкой безработице и низка при...
34195. Необходимость, сущность и направления государственного регулирования экономики 23.13 KB
  Необходимость сущность и направления государственного регулирования экономики. Необходимость и сущность государственного регулирования экономики Необходимость государственного вмешательства в экономику обусловлена теми недостатками и отрицательными явлениями которые развиваются в процессе функционирования свободной стихийной рыночной экономики. Необходимость государственного регулирования экономики сформировало важнейшую проблему развития большей части стран в том числе и России достижение общенационального равновесия страны....
34196. Финансовая политика государства. Государственный бюджет 20.68 KB
  Финансы денежные средства рассматриваемые в про цессе создания и движения; формируются в ходе производства распределения и перераспределения ВВП валового внутрен него продукта страны. Финансы страны совокупность фи нансов всех секторов экономики в их взаимодействии между собой и остальными странами мира. В современных условиях понятием ≪финансы≫ определяют всю систему эконо мических отношений связанную с образованием распределени ем и перераспределением денежных ресурсов. Условно можно выделить государственные финансы финансы...
34197. Налоговая система государства: цели, виды налогов, методы взимания 15.58 KB
  Налоговая система государства: цели виды налогов методы взимания В ст. Согласно Налоговому кодексу РФ под налогами понимают обязательный индивидуальный безвозмездный платеж: взимаемый с организаций и физических лиц в форме отчуждения принадлежащих им на праве собственности хозяйственного ведения или оперативного управления денежных средств в целях финансового обеспечения деятельности государства и или муниципальных образований. Совокупность налогов сборов пошлин и других обязательных платежей взимаемых в бюджет на условиях...
34198. Денежно-кредитное регулирование экономики 14.71 KB
  Понятие денежнокредитного регулирования Теории спроса и предложения денег равновесие на денежном рынке являются научной основой для проведения государством обоснованной взвешенной кредитноденежной политики направленной на стабилизацию экономического развития. Совокупность государственных мероприятий в области денежного обращения и кредита называется денежнокредитной политикой. Денежнокредитная политика представляет собой комплекс мероприятий в области денежного обращения и кредита направленных на регулирование экономического роста...
34199. Государство в переходный период в экономике России 15.78 KB
  Государственное регулирование одна из основных форм участия государства в экономической жизни состоящая в прямом или косвенном воздействии на распределение ресурсов и формирование пропорций. В настоящее время выделяют следующие формы экономического регулирования: 1 административное регулирование за счет использования лицензирования и квотирования контроля над ценами доходами валютным курсом а также других форм; 2 правовое регулирование на основе гражданского и хозяйственного законодательства путем установления системы норм и...
34200. Организм и среда 16.95 KB
  Область распространения живых существ на Земле образует особую оболочку называемую биосферой. Биосфера возникла с появлением на Земле живых существ: она занимает всю поверхность суши все водоёмы Земли океаны моря озёра реки проникает в атмосферу большинство организмов поднимается в воздух более чем на 50 70 м а споры бактерий и грибов заносятся на высоту до 22 км. Условия существования на земле очень разнообразны и определяются факторами как неорганического так и органического порядка. Все организмы на земле живут сообществами...
34201. Необратимость в эволюции 23.15 KB
  Основное направление эволюции связано с усложнением строения организмов. Но наблюдается и упрощение дегенерация организмов. Правда иногда наблюдается появление признаков когдато имевшихся у предков затем исчезнувших у последующих организмов а потом вновь появившихся у потомков. Для каждой стратиграфической единицы характерны свои группы организмов которые после вымирания вновь не могут возникнуть.
34202. Некоторые закономерности эволюции 20.63 KB
  Причины и процессы развития органического имеют определённые законы что составляет содержание теории эволюции. Эволюция это законы развития органического мира основные положения которого разработаны Ч. процесс исторического развития органического мира может происходить только про сочетании трёх условий триада Дарвина: изменчивости наследственности естественного отбора. Выпадение из триады любого из трех факторов приводит к остановке развития органического мира.