10960

Условная плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Условная плотность распределения Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и и устремим и к нулю. Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятн

Русский

2013-04-03

140.12 KB

21 чел.

Условная плотность распределения

Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и , и устремим и к нулю.

Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу полосу равную на вероятность попасть в полосу при условии, что аргумент попал в полосу   - . В связи с тем, что аргументы и равносильны, запишем:

. (10.1)

Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:

   

  (10.2)

Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если безусловная плотность распределения этой величины равна условной плотности распределения:

  (10.3)

В этом случае говорят, что случайные величины и  статистически независимы.

При независимости случайных величин и получим:

     

(10.4)


Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ для двумерной случайной величины можно записать:

   

   (10.5)

Если говорим о моменте го порядка двумерной СВ, это значит суммируем индексы: . Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: , и .

Рассмотрим подробнее:

   

   

  

  

   (10.6)

Как видим для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

 (10.7)

Для дискретной СВ:

 (10.8)

Для непрерывной СВ:

(10.9)

Теорема: Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство:  (Докажем эту теорему для непрерывных СВ). Пусть и независимые случайные величины, тогда согласно (10.4)  . Подставим это в выражение (10.9)

 

  (10.10)

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.

 

  (10.11)

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

  (10.12)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, т.к. функция нормирована на меру разброса .

Пример 1. Имеются линейно зависимые случайные величины, т.е.

.

Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

Решение. Пусть для заданной СВ . Тогда, учитывая свойства получим:

Свойства коэффициента корреляции

  1.  Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке :

    (10.13)

  1.  Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Это свойство верно, т.к. в этом случае .
  2.  Равенство нулю коэффициента корреляции – необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность. Обратное не всегда верно. Убедимся в этом на примере.

Пример 2. Имеются две СВ: . Докажите, что эти величины некоррелированные.

Решение. Вычислим ковариацию:

На практике для мерного случайного вектора достаточно сложно найти закон распределения (интегральную функцию, плотность распределения и т.п.). Поэтому обычно указывают математических ожиданий   дисперсий и корреляционных моментов , характеризующих парные корреляции всех величин, составляющих вектор . Все корреляционные моменты, дополненные дисперсиями , располагают в виде матрицы:

  (10.14)

которую называют корреляционной матрицей системы случайных величин.

Замечание.  Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали (см. формулы (10.8) и (10.9)).

Пример 2. Двумерная СВ задана дифференциальной функцией:

Докажите, что и зависимые и не коррелируемые СВ.

Решение. Зная двумерную плотность распределения, вычислим одномерные плотности:

Т.к. , то и зависимые величины. Найдем корреляционный момент: . Т.к. функция симметричная относительно , то , аналогично . Учитывая эти результаты, получим:

Действительно, каждый интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом СВ и  зависимые и не коррелируемые.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5647. Государь всея Руси. Иван III 1.05 MB
  Книга посвящена Ивану III - первому государю объединенной Руси. На фактах его биографии прослеживаются основные процессы решающего для становления Русского государства периода - успешная борьба с удельной раздробленностью, ликвидация тат...
5648. Комплексно-механизированная линия по выработке хлеба российского 561.5 KB
  Сегодня хлебопекарное производство является одной из самых динамично развивающихся отраслей в России. Новые виды сырья и технологии, современное оборудование и передовые методы управления стали основой эффективной работы многих российских...
5649. Проведение внутреннего аудита. Курс лекций 834.5 KB
  Принципы управления качеством Комитет ISO по разработке стандартов качества выделил следующие восемь принципов, способствующих достижению целей в области качества. Ориентация на потребителя Понимание существующих потребностей потребителя Пониман...
5650. Электростатика и постоянный ток. Курс лекций 945.5 KB
  Предисловие Конспект лекций по разделам курса физики Электростатика и Постоянный ток представляет собой часть традиционного курса, читаемого на кафедре физики ОмГТУ для студентов всех форм обучения. Он состоит из следующих разделов: Глава...
5651. Методика проведения испытаний на одноосное растяжение 42.15 KB
  Методика проведения испытаний на одноосное растяжение Приборы и инструменты: Разрывная машина Штангенциркуль Порядок проведения лабораторной работы: Измерение образца: Выполняется измерение образца 3 раза и осредняется ...
5652. Методика проведения испытаний на сжатие 115.03 KB
  Методика проведения испытаний на сжатие Приборы и инструменты: Разрывная машина Штангенциркуль Порядок проведения лабораторной работы: Измерение образца: Выполняется измерение образца 3 раза и осредняется результат...
5653. Методика проведения испытаний на сдвиг 37.4 KB
  Методика проведения испытаний на сдвиг Приборы и инструменты: Разрывная машина Штангенциркуль Порядок проведения лабораторной работы: Измерение образцов: Образец 1 № h a b Количество слоев n 1 7.1 14.09 20.35 t1=3.95 12 2 7 12 19.8...
5654. Трехточечный изгиб 69.5 KB
  Приборы и инструменты: Разрывная машина Устройство реализующее схему трёхточечного изгиба Штангенциркуль с точностью 0.5 мм Персональный компьютер. Материал: Стеклопластик Порядок проведения лабораторной работы: Изме...
5655. Проведение испытаний на трехточечный изгиб 56.56 KB
  Проведение испытаний на трехточечный изгиб Приборы и инструменты: Разрывная машина Штангенциркуль Порядок проведения лабораторной работы: Измерение образца: среднее 19...