10960

Условная плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Условная плотность распределения Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и и устремим и к нулю. Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятн

Русский

2013-04-03

140.12 KB

21 чел.

Условная плотность распределения

Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и , и устремим и к нулю.

Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу полосу равную на вероятность попасть в полосу при условии, что аргумент попал в полосу   - . В связи с тем, что аргументы и равносильны, запишем:

. (10.1)

Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:

   

  (10.2)

Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если безусловная плотность распределения этой величины равна условной плотности распределения:

  (10.3)

В этом случае говорят, что случайные величины и  статистически независимы.

При независимости случайных величин и получим:

     

(10.4)


Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ для двумерной случайной величины можно записать:

   

   (10.5)

Если говорим о моменте го порядка двумерной СВ, это значит суммируем индексы: . Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: , и .

Рассмотрим подробнее:

   

   

  

  

   (10.6)

Как видим для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

 (10.7)

Для дискретной СВ:

 (10.8)

Для непрерывной СВ:

(10.9)

Теорема: Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство:  (Докажем эту теорему для непрерывных СВ). Пусть и независимые случайные величины, тогда согласно (10.4)  . Подставим это в выражение (10.9)

 

  (10.10)

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.

 

  (10.11)

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

  (10.12)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, т.к. функция нормирована на меру разброса .

Пример 1. Имеются линейно зависимые случайные величины, т.е.

.

Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

Решение. Пусть для заданной СВ . Тогда, учитывая свойства получим:

Свойства коэффициента корреляции

  1.  Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке :

    (10.13)

  1.  Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Это свойство верно, т.к. в этом случае .
  2.  Равенство нулю коэффициента корреляции – необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность. Обратное не всегда верно. Убедимся в этом на примере.

Пример 2. Имеются две СВ: . Докажите, что эти величины некоррелированные.

Решение. Вычислим ковариацию:

На практике для мерного случайного вектора достаточно сложно найти закон распределения (интегральную функцию, плотность распределения и т.п.). Поэтому обычно указывают математических ожиданий   дисперсий и корреляционных моментов , характеризующих парные корреляции всех величин, составляющих вектор . Все корреляционные моменты, дополненные дисперсиями , располагают в виде матрицы:

  (10.14)

которую называют корреляционной матрицей системы случайных величин.

Замечание.  Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали (см. формулы (10.8) и (10.9)).

Пример 2. Двумерная СВ задана дифференциальной функцией:

Докажите, что и зависимые и не коррелируемые СВ.

Решение. Зная двумерную плотность распределения, вычислим одномерные плотности:

Т.к. , то и зависимые величины. Найдем корреляционный момент: . Т.к. функция симметричная относительно , то , аналогично . Учитывая эти результаты, получим:

Действительно, каждый интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом СВ и  зависимые и не коррелируемые.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82566. PR-ПРОДВИЖЕНИЕ ФЕРМЕРСКИХ ПРОДУКТОВ НА ТЕРРИТОРИИ МОСКВЫ И МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ В ПЕРИОД С 2012 ПО 2013 ГОД 3.36 MB
  Сегодня у компании уже есть четыре точки сбыта в разных районах Москвы отработанная система заказов через сайт компании с доставкой по Москве база постоянных клиентов и самое главное - перспективы для дальнейшего роста. Предмет: PR-инструменты в сфере продвижения фермерских продуктов на опыте компании Пенка.
82567. Система анализа реконструктивных хирургических операций при помощи Microsoft Kinect 3.61 MB
  Одной из ключевых особенностей хирургии как сферы использования ПО - это требование стерильности, которое обычно сложно было выполнять из-за устройств ввода/вывода, которые требуется заново тщательно стерилизовать после каждой операции.
82568. Развитие Интернет-телевидения в образовательной среде 3.98 MB
  И если раньше видео через Internet было доступно единицам то сейчас возможностью пользоваться такими услугами обладает большое количество жителей крупных городов. Телевидение может является средством распространения обучающих видеоматериалов заранее подготовленных учебным заведением.
82569. Неделя российского бизнеса как коммуникативный проект 384 KB
  История возникновения НРБ как коммуникативного проекта. Одной из таких технологий является создание специального мероприятия т. Сегодня все больше и больше компаний будь то сегмент IT FMCG социальные проекты или даже государственные программы обращаются к технике создания специального мероприятия для достижения...
82570. АВТОМАТИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ АНАЛИЗАТОРОВ ТРАФИКА ЛОКАЛЬНЫХ СЕТЕЙ 419 KB
  В работе реализована идея автоматической генерации анализатора трафика локальной сети на основе ранее собранной статистики трафика в этой сети. Такой анализатор способен выделять из потока пакетов в сети аномальный трафик и извещать о нем администратора (либо сразу блокировать).
82571. Веб-система управления проектами с элементами социальной сети «Freetask» 182.69 KB
  В рамках данной работы разрабатывается программный комплекс сбора и интеллектуального анализа проектов фрилансбирж состоящий из следующих компонентов: Агрегатор проектов с наиболее популярных русскоязычных бирж Нормализатор задачей которого является определение ключевых слов проекта Кластеризатор...
82572. Изучение социальной тревожности у различных групп пользователей сети Интернет 391 KB
  Объект исследования: группы пользователей сети Интернет с различной спецификой использования: люди, работающие с Интернетом в рамках профессиональной и учебной деятельности; пользователи т. н. «социальных сервисов» (социальные сети, службы мгновенных сообщений, онлайн-дневники); игроки в онлайн-игры.
82573. Система визуального проектирования документации семейств программных продуктов 372.1 KB
  Техническая документация продуктов, составляющих семейство, может иметь значительный объём, при этом требования к качеству документации бывают весьма высокими. В таких случаях и разработка, и поддержка этой документации в актуальном состоянии являются чрезвычайно трудоёмкими процессами.
82574. Стратегии эффективного позиционирования корпоративных интересов в сети Интернет 949.5 KB
  Однажды и я вполне осознанно стал одним из них. Несколько лет назад, покупая утром по привычке известное спортивное издание «Спорт-Экспресс», я вдруг осознал, что делаю это абсолютно напрасно - существующая интернет-версия содержит идентичные материалы и даже больше.