10960

Условная плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Условная плотность распределения Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и и устремим и к нулю. Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятн

Русский

2013-04-03

140.12 KB

20 чел.

Условная плотность распределения

Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и , и устремим и к нулю.

Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу полосу равную на вероятность попасть в полосу при условии, что аргумент попал в полосу   - . В связи с тем, что аргументы и равносильны, запишем:

. (10.1)

Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:

   

  (10.2)

Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если безусловная плотность распределения этой величины равна условной плотности распределения:

  (10.3)

В этом случае говорят, что случайные величины и  статистически независимы.

При независимости случайных величин и получим:

     

(10.4)


Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ для двумерной случайной величины можно записать:

   

   (10.5)

Если говорим о моменте го порядка двумерной СВ, это значит суммируем индексы: . Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: , и .

Рассмотрим подробнее:

   

   

  

  

   (10.6)

Как видим для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

 (10.7)

Для дискретной СВ:

 (10.8)

Для непрерывной СВ:

(10.9)

Теорема: Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство:  (Докажем эту теорему для непрерывных СВ). Пусть и независимые случайные величины, тогда согласно (10.4)  . Подставим это в выражение (10.9)

 

  (10.10)

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.

 

  (10.11)

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

  (10.12)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, т.к. функция нормирована на меру разброса .

Пример 1. Имеются линейно зависимые случайные величины, т.е.

.

Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

Решение. Пусть для заданной СВ . Тогда, учитывая свойства получим:

Свойства коэффициента корреляции

  1.  Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке :

    (10.13)

  1.  Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Это свойство верно, т.к. в этом случае .
  2.  Равенство нулю коэффициента корреляции – необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность. Обратное не всегда верно. Убедимся в этом на примере.

Пример 2. Имеются две СВ: . Докажите, что эти величины некоррелированные.

Решение. Вычислим ковариацию:

На практике для мерного случайного вектора достаточно сложно найти закон распределения (интегральную функцию, плотность распределения и т.п.). Поэтому обычно указывают математических ожиданий   дисперсий и корреляционных моментов , характеризующих парные корреляции всех величин, составляющих вектор . Все корреляционные моменты, дополненные дисперсиями , располагают в виде матрицы:

  (10.14)

которую называют корреляционной матрицей системы случайных величин.

Замечание.  Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали (см. формулы (10.8) и (10.9)).

Пример 2. Двумерная СВ задана дифференциальной функцией:

Докажите, что и зависимые и не коррелируемые СВ.

Решение. Зная двумерную плотность распределения, вычислим одномерные плотности:

Т.к. , то и зависимые величины. Найдем корреляционный момент: . Т.к. функция симметричная относительно , то , аналогично . Учитывая эти результаты, получим:

Действительно, каждый интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом СВ и  зависимые и не коррелируемые.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64652. Тенденции в развитии современного государства 126.5 KB
  Категории государственный интерес складываясь и эволюционируя одновременно с возникновением и эволюцией государства относятся к числу фундаментальных категорий правоведения. Государственность государство право: теоретико-мировоззренческое измерение проблемы...
64653. Правовое государство и гражданское общество. Взаимоотношение гражданского общества и правового государства 200.5 KB
  Цель данной работы заключается в том, чтобы выяснить, что такое правовое государство и гражданское общество, дать определение. В связи с этим, выяснить их признаки и принципы, на которых они основываются.
64654. Качественный контент-анализ 107.88 KB
  В данной работе, я проведу качественный контент-анализ статьи «Ошибки прогнозирования экономического роста» эксперта Центра научной политической мысли и идеологии Людмилы Кравченко. Тема курсовой работы актуальна, так как метод контент-анализа все чаще применяется для анализа...
64655. Применение полупроводниковых сверхрешеток в наноэлектронных устройствах 395.86 KB
  Композиционные сверхрешетки Легированные сверхрешетки Такой периодический потенциал сверхрешетки существенно изменяет зонную структуру исходных полупроводников создавая минизоны в пространстве волнового вектора и энергетические подзоны.
64656. Стратегический и эволюционный менеджмент: сравнение стратегий Японских Американских и Российских компаний 130.8 KB
  Целью курсовой работы является раскрытие понятий стратегического и эволюционного менеджмента, изучение стратегий и проведение анализа стратегий американских, японских и российских организаций.
64657. Статистико-экономический анализ рынка труда Новосибирской области 143.07 KB
  Цель курсовой работы – статистико-экономический анализ рынка труда. Задачи курсовой работы: изучение теоретических основ статистико-экономического анализа рынка труда, группировка выбранных регионов по уровню занятости, изучение связи между уровнем занятости и объемом инвестиций в экономику...
64658. Публицистическое начало в блог-журналистике 157 KB
  Интернет стал наиболее быстрым средством получения и обмена информации и как следствие получили широкое развитие и интернет СМИ. Интернет стал наиболее быстрым средством получения и обмена информации и как следствие получили широкое развитие и интернет СМИ.