10960

Условная плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Условная плотность распределения Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и и устремим и к нулю. Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятн

Русский

2013-04-03

140.12 KB

20 чел.

Условная плотность распределения

Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и , и устремим и к нулю.

Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу полосу равную на вероятность попасть в полосу при условии, что аргумент попал в полосу   - . В связи с тем, что аргументы и равносильны, запишем:

. (10.1)

Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:

   

  (10.2)

Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если безусловная плотность распределения этой величины равна условной плотности распределения:

  (10.3)

В этом случае говорят, что случайные величины и  статистически независимы.

При независимости случайных величин и получим:

     

(10.4)


Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ для двумерной случайной величины можно записать:

   

   (10.5)

Если говорим о моменте го порядка двумерной СВ, это значит суммируем индексы: . Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: , и .

Рассмотрим подробнее:

   

   

  

  

   (10.6)

Как видим для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

 (10.7)

Для дискретной СВ:

 (10.8)

Для непрерывной СВ:

(10.9)

Теорема: Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство:  (Докажем эту теорему для непрерывных СВ). Пусть и независимые случайные величины, тогда согласно (10.4)  . Подставим это в выражение (10.9)

 

  (10.10)

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.

 

  (10.11)

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

  (10.12)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, т.к. функция нормирована на меру разброса .

Пример 1. Имеются линейно зависимые случайные величины, т.е.

.

Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

Решение. Пусть для заданной СВ . Тогда, учитывая свойства получим:

Свойства коэффициента корреляции

  1.  Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке :

    (10.13)

  1.  Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Это свойство верно, т.к. в этом случае .
  2.  Равенство нулю коэффициента корреляции – необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность. Обратное не всегда верно. Убедимся в этом на примере.

Пример 2. Имеются две СВ: . Докажите, что эти величины некоррелированные.

Решение. Вычислим ковариацию:

На практике для мерного случайного вектора достаточно сложно найти закон распределения (интегральную функцию, плотность распределения и т.п.). Поэтому обычно указывают математических ожиданий   дисперсий и корреляционных моментов , характеризующих парные корреляции всех величин, составляющих вектор . Все корреляционные моменты, дополненные дисперсиями , располагают в виде матрицы:

  (10.14)

которую называют корреляционной матрицей системы случайных величин.

Замечание.  Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали (см. формулы (10.8) и (10.9)).

Пример 2. Двумерная СВ задана дифференциальной функцией:

Докажите, что и зависимые и не коррелируемые СВ.

Решение. Зная двумерную плотность распределения, вычислим одномерные плотности:

Т.к. , то и зависимые величины. Найдем корреляционный момент: . Т.к. функция симметричная относительно , то , аналогично . Учитывая эти результаты, получим:

Действительно, каждый интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом СВ и  зависимые и не коррелируемые.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73266. Технология организации технического обслуживания и ремонта устройств автоматики и телемеханики на железной дороге 286 KB
  Основной задачей работников дистанции сигнализации и связи является обеспечение эксплуатационной надёжности устройств автоматики телемеханики и связи при безусловном соблюдении всех требований безопасности движения поездов. Это рекомендуется: Инструкцией по техническому обслуживанию устройств СЦБ ЦШ – 720. Инструкцией по обеспечению безопасности движения поездов при производстве работ по техническому обслуживанию и ремонту...
73269. Разработка автоматизированной информационной системы по учету сетевого и компьютерного оборудования и внешнего приложения к ней 1.4 MB
  Понятие АИС, освещение этапов (сбор требований к АИС, концептуальное проектирование, логическое проектирование, физическое проектирование), применяемого подхода к разработке АИС и др. Также должна быть изложена разработка автоматизированной информационной системы по учету сетевого и компьютерного оборудования с помощью СУБД MicrosoftAccess
73270. ОЧЕРКИ ПО ФИЗИОЛОГИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 29.5 KB
  Рассмотрев две самые важные сенсорные системы опишем вкратце проприоцепцию т. сенсорную систему которая доставляет информацию о положении и движениях тела и его различных частей. Как всем известно о положении и движениях головы конечностей и всего тела мы обычно узнаём без помощи зрения. Эти рецепторы получили название проприоцепторов; это значит что они информируют нас о состоянии нашего собственного тела от лат.
73271. ВИДЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ КЛАССИФИКАЦИИ: КОЖНЫЕ И ХИМИЧЕСКИЕ РЕЦЕПТОРЫ 33.5 KB
  Мы знали что волокна зрительного нерва образуют синапсы с клетками наружного коленчатого тела НКТ и что аксоны клеток НКТ оканчиваются в первичной зрительной коре. Было также ясно что эти связи от сетчатки к НКТ и от НКТ к коре имеют топографическую организацию. Говоря о топографическом отображении мы имеем в виду что предшествующая структура проецируется на последующую упорядоченным образом: если идти вдоль какойлибо линии на сетчатке то проекции последовательных точек этой линии в НКТ и в коре также образуют одну непрерывную...