10960

Условная плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Условная плотность распределения Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и и устремим и к нулю. Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятн

Русский

2013-04-03

140.12 KB

20 чел.

Условная плотность распределения

Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и , и устремим и к нулю.

Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу полосу равную на вероятность попасть в полосу при условии, что аргумент попал в полосу   - . В связи с тем, что аргументы и равносильны, запишем:

. (10.1)

Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:

   

  (10.2)

Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если безусловная плотность распределения этой величины равна условной плотности распределения:

  (10.3)

В этом случае говорят, что случайные величины и  статистически независимы.

При независимости случайных величин и получим:

     

(10.4)


Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ для двумерной случайной величины можно записать:

   

   (10.5)

Если говорим о моменте го порядка двумерной СВ, это значит суммируем индексы: . Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: , и .

Рассмотрим подробнее:

   

   

  

  

   (10.6)

Как видим для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

 (10.7)

Для дискретной СВ:

 (10.8)

Для непрерывной СВ:

(10.9)

Теорема: Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство:  (Докажем эту теорему для непрерывных СВ). Пусть и независимые случайные величины, тогда согласно (10.4)  . Подставим это в выражение (10.9)

 

  (10.10)

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.

 

  (10.11)

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

  (10.12)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, т.к. функция нормирована на меру разброса .

Пример 1. Имеются линейно зависимые случайные величины, т.е.

.

Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

Решение. Пусть для заданной СВ . Тогда, учитывая свойства получим:

Свойства коэффициента корреляции

  1.  Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке :

    (10.13)

  1.  Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Это свойство верно, т.к. в этом случае .
  2.  Равенство нулю коэффициента корреляции – необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность. Обратное не всегда верно. Убедимся в этом на примере.

Пример 2. Имеются две СВ: . Докажите, что эти величины некоррелированные.

Решение. Вычислим ковариацию:

На практике для мерного случайного вектора достаточно сложно найти закон распределения (интегральную функцию, плотность распределения и т.п.). Поэтому обычно указывают математических ожиданий   дисперсий и корреляционных моментов , характеризующих парные корреляции всех величин, составляющих вектор . Все корреляционные моменты, дополненные дисперсиями , располагают в виде матрицы:

  (10.14)

которую называют корреляционной матрицей системы случайных величин.

Замечание.  Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали (см. формулы (10.8) и (10.9)).

Пример 2. Двумерная СВ задана дифференциальной функцией:

Докажите, что и зависимые и не коррелируемые СВ.

Решение. Зная двумерную плотность распределения, вычислим одномерные плотности:

Т.к. , то и зависимые величины. Найдем корреляционный момент: . Т.к. функция симметричная относительно , то , аналогично . Учитывая эти результаты, получим:

Действительно, каждый интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом СВ и  зависимые и не коррелируемые.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16980. Выбираем способ подключения к сети Интернет 51.5 KB
  Выбираем способ подключения к сети Интернет Рано или поздно каждый обладатель домашнего компьютера задумывается о его подключении к сети Интернет. Ради общения с другими людьми скачивания необходимой информации и так далее. В этот момент перед пользователем встаёт в
16981. Елементарні обчислення в Maple 272.5 KB
  артошик Практична робота №27. Тема: Елементарні обчислення в Maple. Мета: Навчитися виконувати в пакеті Maple такі елементарні дії як спрощення виразів розкриття дужок розкладання на множники знаходження коефіцієнтів полінома. Обладнання: ПК зі встановл
16982. Рішення рівнянь, нерівностей і систем в Maple 140 KB
  Практична робота №28. Тема: Рішення рівнянь нерівностей і систем в Maple. Мета: Навчитися вирішувати рівняння нерівності і системи простих рівнянь в пакеті Maple а також представляти виведення рішень в різній математичній інтерпретації. Обладнання: ПК зі встановленим ...
16983. Побудова графіків функцій засобами Maple 184 KB
  Тема: Побудова поверхонь графіків функцій в Maple. Мета: Навчитися будувати графіки в різних системах координат а також будувати поверхні в середовищі Maple. Обладнання: ПК зі встановленим математичним пакетом Maple. Індивідуальне завдання
16984. Загальне використовування даних додатками Windows. Буфер обміну. Технологія OLE 7.02 MB
  Практична робота №5 Тема: Загальне використовування даних додатками Windows. Буфер обміну. Технологія OLE. Мета: Ознайомитися з технологією OLE і загальним використовуванням даних додатками Windows. Устаткування: ПК. Операційна система Windows. Індивідуальне завдання ...
16985. Створення таблиць та обробка табличних даних засобами Word 222.5 KB
  Практична робота № 11 Тема: Створення таблиць та обробка табличних даних засобами Word Мета: засвоїти засоби створення редагування та форматування двовимірних таблиць а також організацію обробки та сортування табличних даних у програмі Word. Обладнання: персональний ...
16986. Введення таблиць. Автозаповнення формулами. Сортування даних 676.5 KB
  Практична робота №14 Тема: Введення таблиць. Автозаповнення формулами. Сортування даних. Мета: Навчитися використовувати функцію авто заповнення формулами та сортувати дані у таблицях. Обладнання: ПЕОМ. Табличний процесор MS Excel. Правила ТБ Індивідуальне з
16987. Побудова діаграм 308 KB
  Практична робота №15 Тема: Побудова діаграм. Мета: Навчитися будувати діаграми змішаного типу та кругові діаграми. Обладнання: ПЕОМ. Табличний процесор MS Excel. Хід виконання Правила ТБ Індивідуальне завдання 1. За даними табл. 3 побудувати діаграму зміша...
16988. Фільтрація даних. Критерії фільтрації 1.03 MB
  Практична робота №16 Тема: Фільтрація даних. Критерії фільтрації. Мета: Навчитися використовувати фільтрацію даних та навчитися використовувати Автофильтр та Расширенный фильтр. Обладнання: ПЕОМ. Табличний процесор MS Excel. Хід виконання Правила ТБ Інд