10960

Условная плотность распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Условная плотность распределения Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и и устремим и к нулю. Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятн

Русский

2013-04-03

140.12 KB

20 чел.

Условная плотность распределения

Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и , и устремим и к нулю.

Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу полосу равную на вероятность попасть в полосу при условии, что аргумент попал в полосу   - . В связи с тем, что аргументы и равносильны, запишем:

. (10.1)

Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:

   

  (10.2)

Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если безусловная плотность распределения этой величины равна условной плотности распределения:

  (10.3)

В этом случае говорят, что случайные величины и  статистически независимы.

При независимости случайных величин и получим:

     

(10.4)


Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ для двумерной случайной величины можно записать:

   

   (10.5)

Если говорим о моменте го порядка двумерной СВ, это значит суммируем индексы: . Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: , и .

Рассмотрим подробнее:

   

   

  

  

   (10.6)

Как видим для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

 (10.7)

Для дискретной СВ:

 (10.8)

Для непрерывной СВ:

(10.9)

Теорема: Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство:  (Докажем эту теорему для непрерывных СВ). Пусть и независимые случайные величины, тогда согласно (10.4)  . Подставим это в выражение (10.9)

 

  (10.10)

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.

 

  (10.11)

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

  (10.12)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, т.к. функция нормирована на меру разброса .

Пример 1. Имеются линейно зависимые случайные величины, т.е.

.

Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

Решение. Пусть для заданной СВ . Тогда, учитывая свойства получим:

Свойства коэффициента корреляции

  1.  Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке :

    (10.13)

  1.  Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Это свойство верно, т.к. в этом случае .
  2.  Равенство нулю коэффициента корреляции – необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность. Обратное не всегда верно. Убедимся в этом на примере.

Пример 2. Имеются две СВ: . Докажите, что эти величины некоррелированные.

Решение. Вычислим ковариацию:

На практике для мерного случайного вектора достаточно сложно найти закон распределения (интегральную функцию, плотность распределения и т.п.). Поэтому обычно указывают математических ожиданий   дисперсий и корреляционных моментов , характеризующих парные корреляции всех величин, составляющих вектор . Все корреляционные моменты, дополненные дисперсиями , располагают в виде матрицы:

  (10.14)

которую называют корреляционной матрицей системы случайных величин.

Замечание.  Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали (см. формулы (10.8) и (10.9)).

Пример 2. Двумерная СВ задана дифференциальной функцией:

Докажите, что и зависимые и не коррелируемые СВ.

Решение. Зная двумерную плотность распределения, вычислим одномерные плотности:

Т.к. , то и зависимые величины. Найдем корреляционный момент: . Т.к. функция симметричная относительно , то , аналогично . Учитывая эти результаты, получим:

Действительно, каждый интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом СВ и  зависимые и не коррелируемые.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39483. Изучение четырехугольников на факультативных занятиях по геометрии 844.38 KB
  Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны пифагорейцам. Евклид не упоминает о том что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида и если прямая падающая на две прямые образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны где углы меньше двух прямых [44]. Свойства параллелограмма противолежащие стороны равны;...
39484. Разработка информационной системы сопровождения кредитной истории клиентов 3.89 MB
  Установление структуры и форм входных и выходных данных. Расчёт освещения Постоянное развитие и совершенствование вычислительной техники и программного обеспечения приводит к возникновению все новых технологий обработки данных. Поэтому эффективность системы обработки зависит от правильной организации входных и выходных потоков информации. Представить выходную информацию в необходимых для пользователя электронных форматах и виде печатных документов.
39485. Разработка автоматизированной системы мониторинга деятельности спортивной организации «Весна» 1.61 MB
  Цель и главная задача дипломной работы заключается в разработке автоматизированной системы мониторинга деятельности спортивной организации «Весна», деятельность которой состоит правильному физическому развитию и оздоровлению для подростков.
39487. Разработка сайта МКДОУ № 17 3.14 MB
  Общие принципы создания webстраниц.Основные элементы webстраниц. Введение В вопросе разработки и создания Webстраниц в сети Интернет накоплен огромный багаж различных методов способов и технологий многие из которых к сожалению сейчас уже являются условно применимыми. Поэтому представляется актуальным и практически важным рассмотреть проблему проектирования Webсайта в современных условиях с использованием всего спектра достижений накопленных в данной области.
39488. Создание автоматизированной системы оптимизации затрат на доставку грузов на транспортном предприятии 882.5 KB
  Логистическая организация товародвижения на практике реализуется как регулярный целенаправленный процесс воздействия на всех уровнях и на всех стадиях оборота товаров и услуг на факторы и условия обеспечивающие достижение и поддержание экономного и эффективного процесса физического продвижения товара на рынке. Организационные усилия направленные на повышение эффективности товародвижения могут быть сведены к двум аспектам: оперативному и стратегическому.3] Формирование оптимального режима товародвижения с последующей его корректировкой в...
39489. Электронное средство обучения (ЭСО) 1.63 MB
  Планируя урок с применением информационных технологий, необходимо задуматься о целесообразности применения того или иного метода и о том, как его можно применить для изучения данного материала.
39490. Проектування системи аналізу технічного захисту і фізичної охорони об’єкта (на прикладі ТОВ «Ласунка») 1.18 MB
  В першому розділі розглянуті теоретичні аспекти системи технічного захисту інформації та фізичної охорони об’єкта інформаційної діяльності. Визначено основні цілі та задачі які вирішує система з технічного захисту інформації ті фізична охорона об’єкта. В другому розділі проведений дослідження та моделювання системи технічного захисту інформації та фізичної охорони об’єкта інформаційної діяльності. В третьому розділі проекту здійснено опис каналів витоку інформації та моделі порушника системи технічного захисту інформації.