10961

Нормальный (гауссов) закон распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Нормальный гауссов закон распределения Нормальный закон распределения закон Гаусса играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения СВ. Главная особенность выделяющая закон Гаусса состоит в

Русский

2013-04-03

209.39 KB

161 чел.

Нормальный (гауссов) закон распределения

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения СВ. Главная особенность, выделяющая закон Гаусса, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма не жестких ограничениях) приближенно подчиняется нормальному закону. И это свойство выполняется тем точнее, чем большее количество СВ суммируется.

По нормальному закону распределены ошибки измерений, белый шум в электронике и т.п.

Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности определена на всей числовой оси и имеет вид:

.     (11.1)

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (см. рис. 11.1.). Гауссова кривая имеет симметричный холмообразный вид с максимумом в точке , причем сам максимум равен . Выясним смысл параметров и , входящих в (11.1).

Рис.11.1. Нормальное распределение

Для этого вычислим сначала математическое ожидание:

 (11.2)

Произведем замену переменных, определив , тогда , а . Подставив в (11.2) получим:

  


   (11.3)

В выражении (11.3) первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных относительно начала координат пределах; второй интеграл – это интеграл Пуассона – Эйлера, который равен . Тогда окончательно получим:

   (11.4)

Итак, параметр в плотности вероятности нормального распределения равен математическому ожиданию СВ .

Вычислим теперь дисперсию СВ :

 

Произведя ту же замену переменных, что и при вычислении математического ожидания, получим:

(11.5)

Поясним немного полученный результат. Действительно, первое слагаемое в выражении (11.5) равно нулю, т.к. стремится к нулю при быстрее, чем возрастает любая степень . А второе слагаемое это интеграл Пуассона – Эйлера.

Следовательно, параметр в формуле (11.1) есть не что иное, как среднее квадратическое отклонение СВ .

Выведем общую формулу для центрального момента любого порядка СВ ,распределенной по нормальному закону. По определению:

 

Здесь, как и в предыдущих интегралах применили подстановку, а полученный интеграл будем брать по частям:

 (11.6)

Здесь, при взятии интеграла по частям первое слагаемое равно нулю, т.к. стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень . Теперь запишем центральный момент порядка:

  (11.7)

Сравнивая правые части выражений (11.6) и (11.7) получим:

    (11.8)

Рекуррентное соотношение (11.8) справедливо для центральных моментов любого порядка. Вспомним, что , а . Тогда все центральные моменты нечетных порядков для нормального распределения равны нулю.

Нормальное распределение симметрично:

   (11.9)

Коэффициент эксцесса нормального распределения, согласно (11.8) равен:

  (11.10)

Нормальный закон распределения СВ с параметрами , обозначается и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Вероятность попадания на интервал

Рассмотрим вероятность попадания на интервал СВ , подчиненной нормальному закону распределения с параметрами и . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой:

  (11.11)

где интегральная функция распределения СВ . Найдем

 (11.12)

Сделаем замену переменных в (11.12)

   (11.13)

Отметим, что этим преобразованием (заменой переменных) нормальное распределение с произвольными значениями и приводится к стандартному нормальному закону с параметрами .

Интеграл (11.13) не выражается через элементарные функции, но его обычно выражают через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от или  (так называемый интеграл вероятности, для которого составлены статистические таблицы).

Вообще существует множество разновидностей таких функций, например:

 (11.14)

Выберем в качестве такой функции так называемую нормальную функцию распределения . Выразим функцию распределения (11.13) через :

    (11.15)

Подставим теперь (11.15) в (11.11):

 (11.16)

Свойства нормальной функции распределения

1.

2.

3.  функция неубывающая.

4. Из-за симметричности стандартного нормального распределения относительно начала координат следует (см.рис.11.2):

На практике очень часто встречается задача вычисления вероятности попадания СВ на участок симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длиной . Вычислим эту вероятность:

Рис.11.2. Стандартное распределение

 (11.17)

Часто расстояние выражают в единицах . На рис. 11.3. для стандартного нормального распределения показаны вероятности (односторонние) отклониться от математического ожидания на .

Рис.11.3. Свойства нормального закона

ПРИМЕР 1.  Полагая, что рост студентов – нормально распределенная случайная величина с параметрами и . Необходимо найти:

  1.  выражение плотности вероятности и функции распределения СВ ;
  2.  доли костюмов 4-го роста (176 – 182 см) и 3-го роста(170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства;
  3.  квантиль и 10%-ную точку СВ ;
  4.  сформулировать "правило трех сигм" для СВ ;

РЕШЕНИЕ  а) По формулам (11.1), (11.12) и (11.15) запишем

б) Доля костюмов 4-го роста (176 – 182 см) в общем объеме производства определим по формуле (11.16):

Долю костюмов 3-го роста (170 – 176 см) можно определить аналогичным образом, но, если учесть, что данный интервал симметричен относительно , то по формуле (11.17) оценим:

в) Квантиль СВ найдем из уравнения (11.15):

Это значит, что 70% студентов имеют рост до 176 см. 10%-ная точка СВ - это квантиль , который вычислив аналогично получим .

г) "Правило трех сигм" для нормального распределения:

.

Тогда с вероятностью равной 0.9974 рост студентов находится в интервале:

ПРИМЕР 2.  Средняя стоимость ценной бумаги составляет 2000 руб., а среднее квадратичное отклонение равно 100 руб. Предполагается, что цена имеет нормальное распределение. Определить вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 1800 руб. до 2300 руб. Найти с надежностью 0.9 интервал Δ изменения цены бумаги, симметричный относительно математического ожидания.

РЕШЕНИЕ   a)

б)

Значит стоимость ценной бумаги заключена в интервале (1835.5; 2164.5).

Распределение ("хи–квадрат")

Так называется распределение вероятностей СВ вида:

  (11.18)

где независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение с параметрами . Число называется числом степеней свободы распределения . Соответствующая плотность (см. рис.11.4.) описывается формулой:

 (11.19)

Рис. 11.4. Распределение "хи-квадрат"

Распределение представляет собой частный случай так называемого гамма – распределения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71674. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЙ 836 KB
  Материал изложен с учетом требований программ дисциплин по которым осуществляется подготовка инженеров-метрологов в Белорусском государственном университете информатики и радиоэлектроники и охватывает ряд вопросов касающихся основ измерений.
71675. Метрология и измерения: Учебно-методическое пособие 3.97 MB
  Учебно-методическое пособие Метрология и измерения предназначено для индивидуальной работы студентов изучающих курсы измерений. Обработка результатов измерений с однократными наблюдениями Обработка результатов многократных наблюдений при прямых измерениях.
71676. ОЧЕРКИ ПО ТЕОРИИ И ПРАКТИКЕ ДИЗАЙНА НА ЗАПАДЕ 823.5 KB
  Дизайн в моде, о нем написано много и напишут еще больше. Вполне понятно, на глазах одного поколения возникла и утвердилась новая профессиональная деятельность, которую нужно как-то осмыслить. Сначала писали о терминах, о том, что английское «design» — производное от итальянского «disegno»...
71677. ИНФОРМАТИКА: КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «WORD 2007, EXCEL 2007» 7.88 MB
  Цель данного пособия - объяснить студентам, а также всем интересующимся основы работы в текстовом и табличных процессорах Microsoft Word и Microsoft Excel 2007. Необходимость написания данной работы возникла в связи с появлением нового поколения программных продуктов корпорации Microsoft.
71678. Религиоведение: Учебное наглядное пособие 613 KB
  Цели задачи и практическое предназначение курса Основные понятия религиоведения Понятие бытия и человека в христианской религии Основные этапы становления религиоведения как науки Происхождение и ранние формы религии Предпосылки религиозности и формирования религиозных институтов.
71679. Заполнение таблиц MS EXEL данными и формулами 31.62 KB
  Выполнить задание 1 (Формирование структуры таблицы и заполните ее постоянными значениями), используя технологию выполнения операций в конце задания Выполнить задание 2 Технология работы с формулами на примере подсчета количества разных оценок в группе в экзаменационной...
71680. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ В МАШИНЕ АТВУДА 78.94 KB
  Цель работы: изучение вращательного и поступательного движений на машине Атвуда, определение момента инерции блока и момента сил трения в оси блока. Описание установки и её назначение. Машина Атвуда является настольным прибором, ее изображение приведено на рис. 3.1. На вертикальной стойке...