10961

Нормальный (гауссов) закон распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Нормальный гауссов закон распределения Нормальный закон распределения закон Гаусса играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения СВ. Главная особенность выделяющая закон Гаусса состоит в

Русский

2013-04-03

209.39 KB

161 чел.

Нормальный (гауссов) закон распределения

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения СВ. Главная особенность, выделяющая закон Гаусса, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма не жестких ограничениях) приближенно подчиняется нормальному закону. И это свойство выполняется тем точнее, чем большее количество СВ суммируется.

По нормальному закону распределены ошибки измерений, белый шум в электронике и т.п.

Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности определена на всей числовой оси и имеет вид:

.     (11.1)

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (см. рис. 11.1.). Гауссова кривая имеет симметричный холмообразный вид с максимумом в точке , причем сам максимум равен . Выясним смысл параметров и , входящих в (11.1).

Рис.11.1. Нормальное распределение

Для этого вычислим сначала математическое ожидание:

 (11.2)

Произведем замену переменных, определив , тогда , а . Подставив в (11.2) получим:

  


   (11.3)

В выражении (11.3) первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных относительно начала координат пределах; второй интеграл – это интеграл Пуассона – Эйлера, который равен . Тогда окончательно получим:

   (11.4)

Итак, параметр в плотности вероятности нормального распределения равен математическому ожиданию СВ .

Вычислим теперь дисперсию СВ :

 

Произведя ту же замену переменных, что и при вычислении математического ожидания, получим:

(11.5)

Поясним немного полученный результат. Действительно, первое слагаемое в выражении (11.5) равно нулю, т.к. стремится к нулю при быстрее, чем возрастает любая степень . А второе слагаемое это интеграл Пуассона – Эйлера.

Следовательно, параметр в формуле (11.1) есть не что иное, как среднее квадратическое отклонение СВ .

Выведем общую формулу для центрального момента любого порядка СВ ,распределенной по нормальному закону. По определению:

 

Здесь, как и в предыдущих интегралах применили подстановку, а полученный интеграл будем брать по частям:

 (11.6)

Здесь, при взятии интеграла по частям первое слагаемое равно нулю, т.к. стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень . Теперь запишем центральный момент порядка:

  (11.7)

Сравнивая правые части выражений (11.6) и (11.7) получим:

    (11.8)

Рекуррентное соотношение (11.8) справедливо для центральных моментов любого порядка. Вспомним, что , а . Тогда все центральные моменты нечетных порядков для нормального распределения равны нулю.

Нормальное распределение симметрично:

   (11.9)

Коэффициент эксцесса нормального распределения, согласно (11.8) равен:

  (11.10)

Нормальный закон распределения СВ с параметрами , обозначается и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Вероятность попадания на интервал

Рассмотрим вероятность попадания на интервал СВ , подчиненной нормальному закону распределения с параметрами и . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой:

  (11.11)

где интегральная функция распределения СВ . Найдем

 (11.12)

Сделаем замену переменных в (11.12)

   (11.13)

Отметим, что этим преобразованием (заменой переменных) нормальное распределение с произвольными значениями и приводится к стандартному нормальному закону с параметрами .

Интеграл (11.13) не выражается через элементарные функции, но его обычно выражают через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от или  (так называемый интеграл вероятности, для которого составлены статистические таблицы).

Вообще существует множество разновидностей таких функций, например:

 (11.14)

Выберем в качестве такой функции так называемую нормальную функцию распределения . Выразим функцию распределения (11.13) через :

    (11.15)

Подставим теперь (11.15) в (11.11):

 (11.16)

Свойства нормальной функции распределения

1.

2.

3.  функция неубывающая.

4. Из-за симметричности стандартного нормального распределения относительно начала координат следует (см.рис.11.2):

На практике очень часто встречается задача вычисления вероятности попадания СВ на участок симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длиной . Вычислим эту вероятность:

Рис.11.2. Стандартное распределение

 (11.17)

Часто расстояние выражают в единицах . На рис. 11.3. для стандартного нормального распределения показаны вероятности (односторонние) отклониться от математического ожидания на .

Рис.11.3. Свойства нормального закона

ПРИМЕР 1.  Полагая, что рост студентов – нормально распределенная случайная величина с параметрами и . Необходимо найти:

  1.  выражение плотности вероятности и функции распределения СВ ;
  2.  доли костюмов 4-го роста (176 – 182 см) и 3-го роста(170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства;
  3.  квантиль и 10%-ную точку СВ ;
  4.  сформулировать "правило трех сигм" для СВ ;

РЕШЕНИЕ  а) По формулам (11.1), (11.12) и (11.15) запишем

б) Доля костюмов 4-го роста (176 – 182 см) в общем объеме производства определим по формуле (11.16):

Долю костюмов 3-го роста (170 – 176 см) можно определить аналогичным образом, но, если учесть, что данный интервал симметричен относительно , то по формуле (11.17) оценим:

в) Квантиль СВ найдем из уравнения (11.15):

Это значит, что 70% студентов имеют рост до 176 см. 10%-ная точка СВ - это квантиль , который вычислив аналогично получим .

г) "Правило трех сигм" для нормального распределения:

.

Тогда с вероятностью равной 0.9974 рост студентов находится в интервале:

ПРИМЕР 2.  Средняя стоимость ценной бумаги составляет 2000 руб., а среднее квадратичное отклонение равно 100 руб. Предполагается, что цена имеет нормальное распределение. Определить вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 1800 руб. до 2300 руб. Найти с надежностью 0.9 интервал Δ изменения цены бумаги, симметричный относительно математического ожидания.

РЕШЕНИЕ   a)

б)

Значит стоимость ценной бумаги заключена в интервале (1835.5; 2164.5).

Распределение ("хи–квадрат")

Так называется распределение вероятностей СВ вида:

  (11.18)

где независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение с параметрами . Число называется числом степеней свободы распределения . Соответствующая плотность (см. рис.11.4.) описывается формулой:

 (11.19)

Рис. 11.4. Распределение "хи-квадрат"

Распределение представляет собой частный случай так называемого гамма – распределения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47382. Исследование организации оплаты и стимулирования труда и направления ее совершенствования на предприятии (на примере УКП « Полоцк – торг, г. Полоцк) 232.01 KB
  ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Исследование организации оплаты и стимулирования труда и направления ее совершенствования на предприятии на примере УКП Полоцк торг г. ЗАРАБОТНАЯ ПЛАТА СИСТЕМА ОПЛАТЫ ТРУДА РЕГУЛИРОВАНИЕ ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ МОТИВАЦИЯ ТРУДА ОРГАНИЗАЦИЯ ОПЛАТЫ И СТИМУЛИРОВАНИЯ ТРУДА Объектом исследования выступает УКП Полоцк торг предметом исследования организации оплаты и стимулирования труда. Целью данной дипломной работы является анализ организации оплаты и стимулирования труда на УКП Полоцк торг и разработка направлений ее...
47383. Разработка рекомендаций по эффективному использованию денежных средств на примере ООО «Вахрушевец» 967 KB
  На расчетном счете сосредотачиваются свободные денежные средства и поступления за реализованную продукцию, выполненные работы и услуги, краткосрочные и долгосрочные ссуды, получаемые от банка, и прочие зачисления
47384. Организация логистических процессов распределения товаров (на примере ОАО "Полоцкий молочный комбинат") 331.39 KB
  Предмет исследования: распределительная логистика Цель работы: обоснование актуальности создания распределительного центра продукции ОАО Полоцкий молочный комбинат в городе Риге обоснование актуальности использования услуг дистрибьютора в городе Пскове и актуальность внедрения логистического программного обеспечения на предприятии и оценка экономической эффективность предложенных мероприятий. Исследование и разработки: изучены основные аспекты логистических процессов распределения товаров проанализирована организация логистической...
47385. Разработка маркетинговой стратегии развития организации на примере ООО “Антарес” 170.01 KB
  Раздел 1 Маркетинг как философия производства Содержит анализ литературных источников посвященных рассмотрению теоретических аспектов маркетинга классификации услуг анализ потребителей и их потребностей сегментации рынка услуг по пошиву одежды особенностям стимулирования сбыта в данной отраслевой группе влияние рекламы как основного элемента коммуникационного воздействия на потребителя.1 Понятие маркетинга особенности маркетинга услуг.2 Эффективность внедряемой услуги 655 Правовая часть...
47386. Влияние самооценки на успешность обучения в младшем школьном возрасте 383.5 KB
  Широкое распространение феномена оценки в учебновоспитательном процессе школы послужило причиной того что оценивание учителем результатов учебной деятельности учащихся и самооценивание выделилось в последние годы в самостоятельное направление. Согласно теории учебной деятельности оценочная деятельность порождает потребность ученика или учителя получить информацию о том соответствует или нет качество знаний и умений учащихся по предмету требованиям программы. Целью оценочной деятельности является таким образом контроль успеваемости...
47387. Разработка миссии и целей компании «Ultra» 254.18 KB
  В первую очередь целевое начало в деятельности организации возникает потому что организация это объединение людей преследующих определенные цели. так же как и те кто являются хозяевами организации или работают в организации преследуя свои собственные цели при взаимодействии с организацией придают ее существованию определенную направленность и тем самым развивают целевое начало в деятельности организации. Цели и задачи исследования. Первая глава посвящена теоретическому осмыслению понятий миссия цели система целей и др.
47388. Технологічний процес визначення оптимальних змішаних стратегій автотранспортного підприємства 412 KB
  Особлива увага приділяється автомобільному транспорту бо саме він є самим мобільним і швидко реагує на зміни ринкового середовища тому саме цьому виду транспорту надають перевагу наші підприємці при здійсненні внутрішніх перевезень і перевезень в країни ближнього зарубіжжя. Україна росташована в центрі Європи на перетині важливих торгівельних шляхів і тому особливу увагу слід приділяти розвитку транспорту щоб не лишень забезпечувати власні потреби але й виводити цю галузь господарства на міжнародний рівень. Застарілі методи...
47389. Отграничение вандализма от смежных составов преступления 101.77 KB
  В соответствии с ч.1 статьи 214 Уголовного Кодекса Российской Федерации:- вандализм, то есть осквернение зданий или иных сооружений, порча имущества на общественном транспорте или в иных общественных местах,- (наказывается штрафом в размере до 40 тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до 3 месяцев, либо обязательными работами на срок от 120 до 180 часов, либо исправительными работами на срок от 6 месяцев до 1 года, либо арестом на срок до 3 месяцев).
47390. Строительство в г. Абакан, расчет и архитектурные особенности 2.07 MB
  Недостатком является стесненность площадки что не позволяет оптимально разместить на ней механизмы и материалы необходимые для проведения работ. Варианты фундаментов: ленточный работающий как балка на упругом основании; столбчатый под колонны. Данный дипломный проект был разработан при помощи ЭВМ. Методы проверки качества маркировка и транспортирование пиломатериалов должно производится по ГОСТ 656463 укладка и хранение по ГОСТ 3808 поверхностная антисептическая обработка по ГОСТ 1095064.