10961

Нормальный (гауссов) закон распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Нормальный гауссов закон распределения Нормальный закон распределения закон Гаусса играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения СВ. Главная особенность выделяющая закон Гаусса состоит в

Русский

2013-04-03

209.39 KB

161 чел.

Нормальный (гауссов) закон распределения

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения СВ. Главная особенность, выделяющая закон Гаусса, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма не жестких ограничениях) приближенно подчиняется нормальному закону. И это свойство выполняется тем точнее, чем большее количество СВ суммируется.

По нормальному закону распределены ошибки измерений, белый шум в электронике и т.п.

Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности определена на всей числовой оси и имеет вид:

.     (11.1)

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (см. рис. 11.1.). Гауссова кривая имеет симметричный холмообразный вид с максимумом в точке , причем сам максимум равен . Выясним смысл параметров и , входящих в (11.1).

Рис.11.1. Нормальное распределение

Для этого вычислим сначала математическое ожидание:

 (11.2)

Произведем замену переменных, определив , тогда , а . Подставив в (11.2) получим:

  


   (11.3)

В выражении (11.3) первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных относительно начала координат пределах; второй интеграл – это интеграл Пуассона – Эйлера, который равен . Тогда окончательно получим:

   (11.4)

Итак, параметр в плотности вероятности нормального распределения равен математическому ожиданию СВ .

Вычислим теперь дисперсию СВ :

 

Произведя ту же замену переменных, что и при вычислении математического ожидания, получим:

(11.5)

Поясним немного полученный результат. Действительно, первое слагаемое в выражении (11.5) равно нулю, т.к. стремится к нулю при быстрее, чем возрастает любая степень . А второе слагаемое это интеграл Пуассона – Эйлера.

Следовательно, параметр в формуле (11.1) есть не что иное, как среднее квадратическое отклонение СВ .

Выведем общую формулу для центрального момента любого порядка СВ ,распределенной по нормальному закону. По определению:

 

Здесь, как и в предыдущих интегралах применили подстановку, а полученный интеграл будем брать по частям:

 (11.6)

Здесь, при взятии интеграла по частям первое слагаемое равно нулю, т.к. стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень . Теперь запишем центральный момент порядка:

  (11.7)

Сравнивая правые части выражений (11.6) и (11.7) получим:

    (11.8)

Рекуррентное соотношение (11.8) справедливо для центральных моментов любого порядка. Вспомним, что , а . Тогда все центральные моменты нечетных порядков для нормального распределения равны нулю.

Нормальное распределение симметрично:

   (11.9)

Коэффициент эксцесса нормального распределения, согласно (11.8) равен:

  (11.10)

Нормальный закон распределения СВ с параметрами , обозначается и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Вероятность попадания на интервал

Рассмотрим вероятность попадания на интервал СВ , подчиненной нормальному закону распределения с параметрами и . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой:

  (11.11)

где интегральная функция распределения СВ . Найдем

 (11.12)

Сделаем замену переменных в (11.12)

   (11.13)

Отметим, что этим преобразованием (заменой переменных) нормальное распределение с произвольными значениями и приводится к стандартному нормальному закону с параметрами .

Интеграл (11.13) не выражается через элементарные функции, но его обычно выражают через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от или  (так называемый интеграл вероятности, для которого составлены статистические таблицы).

Вообще существует множество разновидностей таких функций, например:

 (11.14)

Выберем в качестве такой функции так называемую нормальную функцию распределения . Выразим функцию распределения (11.13) через :

    (11.15)

Подставим теперь (11.15) в (11.11):

 (11.16)

Свойства нормальной функции распределения

1.

2.

3.  функция неубывающая.

4. Из-за симметричности стандартного нормального распределения относительно начала координат следует (см.рис.11.2):

На практике очень часто встречается задача вычисления вероятности попадания СВ на участок симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длиной . Вычислим эту вероятность:

Рис.11.2. Стандартное распределение

 (11.17)

Часто расстояние выражают в единицах . На рис. 11.3. для стандартного нормального распределения показаны вероятности (односторонние) отклониться от математического ожидания на .

Рис.11.3. Свойства нормального закона

ПРИМЕР 1.  Полагая, что рост студентов – нормально распределенная случайная величина с параметрами и . Необходимо найти:

  1.  выражение плотности вероятности и функции распределения СВ ;
  2.  доли костюмов 4-го роста (176 – 182 см) и 3-го роста(170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства;
  3.  квантиль и 10%-ную точку СВ ;
  4.  сформулировать "правило трех сигм" для СВ ;

РЕШЕНИЕ  а) По формулам (11.1), (11.12) и (11.15) запишем

б) Доля костюмов 4-го роста (176 – 182 см) в общем объеме производства определим по формуле (11.16):

Долю костюмов 3-го роста (170 – 176 см) можно определить аналогичным образом, но, если учесть, что данный интервал симметричен относительно , то по формуле (11.17) оценим:

в) Квантиль СВ найдем из уравнения (11.15):

Это значит, что 70% студентов имеют рост до 176 см. 10%-ная точка СВ - это квантиль , который вычислив аналогично получим .

г) "Правило трех сигм" для нормального распределения:

.

Тогда с вероятностью равной 0.9974 рост студентов находится в интервале:

ПРИМЕР 2.  Средняя стоимость ценной бумаги составляет 2000 руб., а среднее квадратичное отклонение равно 100 руб. Предполагается, что цена имеет нормальное распределение. Определить вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 1800 руб. до 2300 руб. Найти с надежностью 0.9 интервал Δ изменения цены бумаги, симметричный относительно математического ожидания.

РЕШЕНИЕ   a)

б)

Значит стоимость ценной бумаги заключена в интервале (1835.5; 2164.5).

Распределение ("хи–квадрат")

Так называется распределение вероятностей СВ вида:

  (11.18)

где независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение с параметрами . Число называется числом степеней свободы распределения . Соответствующая плотность (см. рис.11.4.) описывается формулой:

 (11.19)

Рис. 11.4. Распределение "хи-квадрат"

Распределение представляет собой частный случай так называемого гамма – распределения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6882. Магнітна індукція у феромагнетиках 215 KB
  Магнітна індукція у феромагнетиках Мета роботи: вивчення процесів, що відбуваються при намагнічуванні та перемагнічуванні тороидального феромагнітного сердечника. Зміст роботи і завдання 1. Ознайомитися з лабораторним макетом для зняття петель перем...
6883. Робота із мультиспектральними знімками. Класифікація 2.5 MB
  Робота із мультиспектральними знімками. Класифікація Більшість супутників, що проводять фотозйомку земної поверхні постачають дані не у вигляді кольорового зображення, а у вигляді декількох (інколи декількох десятків) монохромних зображень - по...
6884. Справочно-библиографический аппарат библиотеки 41.41 KB
  Справочно-библиографический аппарат библиотеки. Определение, состав и задачи справочно-библиографического аппарата (СБА) Согласно ГОСТ 7.26-80 Библиотечное дело. Основные термины и определения справочно-библиографический аппарат (СБА) библи...
6885. В чём заключается палеонтологический метод в геологии 26 KB
  В чём заключается палеонтологический метод в геологии? Объясните на примерах. Палеонтологический метод, метод определения относительного возраста осадочных толщ земной коры по сохранившимся в них ископаемым остаткам организмов. Используется для реше...
6886. Охарактеризуйте оболочки (геосферы) Земли. Приведите схему строения Земли 318 KB
  Охарактеризуйте оболочки (геосферы) Земли. Приведите схему строения Земли. Выделяются следующие геосферы: атмосфера, гидросфера, литосфера, земная кора, мантия и ядро Земли...
6887. Охарактеризуйте продукты вулканических извержений 33.5 KB
  Охарактеризуйте продукты вулканических извержений. При извержении вулкана выделяются продукты вулканической деятельности, которые могут быть жидкими, газообразными и твердыми. Газообразные - фумаролы и софиони, играют важную роль в вулканической дея...
6888. Охарактеризуйте землетрясения и их типы 31.5 KB
  Охарактеризуйте землетрясения и их типы. Ежегодно на всей Земле происходит около миллиона землетрясений, но большинство из них так незначительны, что они остаются незамеченными...
6889. Карст. Что такое карст и как он образуется 114 KB
  Что такое карст и как он образуется? Растворение некоторых горных пород вызывает целый ряд явлений, которые называются карстовыми. Слово карст обозначает такие формы рельефа, которые были образованы вследствие растворения горных пород, таких, напр...
6890. Зубчатые передачи. Общие сведения 143.5 KB
  Зубчатые передачи. Общие сведения Зубчатой передачей называется трехзвенный механизм, в котором два подвижных зубчатых звена образуют с неподвижным звеном вращательную или поступательную пару. Зубчатое звено передачи может представлять собой колесо,...