10962

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Показательный экспоненциальный закон распределения В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону например время обслуживания требования каналом обслуживания. Непрерывная случайная величина имеет показательный экспоненциа

Русский

2013-04-03

102.76 KB

228 чел.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону, например, время обслуживания требования каналом обслуживания.

Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

  (12.1)

Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:

 (12.2)

Итак,

  (12.3)

На рис.12.1 и 12.2 представлена плотность распределения и интегральная функция распределения СВ, распределенной по показательному закону.

Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ()

Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ()

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

(12.4)

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

   (12.5)

Т.к. , то остается вычислить :

 (12.6)

Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

 (12.7)

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

ПРИМЕР 1.  Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

РЕШЕНИЕ  а) Плотность распределения имеет вид:

б) Соответствующая интегральная функция равна:

ПРИМЕР 2.  Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону

РЕШЕНИЕ  Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:

Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того "простое" оно или "сложное". Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

.     (12.8)

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.

.    (12.9)

Функцией надежности  называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

.     (12.10)

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

.     (12.11)

ПРИМЕР 3.  Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

РЕШЕНИЕ  В нашем примере , тогда воспользуемся выражением (12.11):

.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени  (при заданной интенсивности отказов).

Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

(12.12)

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

  (12.13)

Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая выражения (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем".

Распределение Парето

В практических задачах встречаются так называемые усеченные распределения, у которых из общего множества значений СВ устранены значения, большие или меньшие некоторого порогового уровня . В частности, такое распределение будет иметь заработная плата работника при условии, что ее значение не может быть меньше некоторой заданной величины.

Распределением Парето называется такое распределение, для которого функция и плотность распределения вероятностей имеют вид:

     (12.14)

  (12.15)

Очевидно, плотность распределения вероятности монотонно убывает, выходя из точки .

Вычислим математическое ожидание такой случайной  величины

. (12.16)

Соответственно для дисперсии получим выражение

   (12.17)

ПРИМЕР 4.  Заработная плата работника фирмы ограничена нижним пределом в размере 10000 руб. и подчиняется закону Парето (  заработная плата в тысячах руб., ). Необходимо записать плотность распределения СВ , найти математическое ожидание уровня заработной платы и ее среднее квадратичное отклонение.

РЕШЕНИЕ  Учитывая (12.15) получим

.

Используя выражения (12.16) и (12.17), получим


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52342. Прес-конференція «Різноманітність птахів» 71.5 KB
  Мета: розширити знання учнів про представників класу Птахи показати їх різноманітність особливості будови та способу життя пристосування до середовища; ознайомити з характерними ознаками представників надряду Безкілеві птахи та Пінгвіни з представниками кілегрудих фауни України; продовжувати розвивати комунікативні та соціальні компетентності учнів; виховувати свідоме ставлення до природи її багатств та її захисту. Птахи це диво Їх велика кількість. Птахи Хоча ви вже багато вивчили про птахів але коли ви почуєте це слово кожний...
52343. Фантазія і творчість у роботі архітекторів 4.35 MB
  Мета уроку: Розширити уявлення про дизайн, ознайомити з наукою біонікою та показати її значення в житті людей. Спонукати до пізнання законів природи, пошуку біонічних форм. Навчити створювати контурні замальовки спрощених природних форм.
52344. Охорона біосфери 163 KB
  Тема уроку Охорона біосфери Мета: закріпити знання про біосферу як екологічну систему іі складові основні її властивості узагальнити і розширити знання учнів про напрямки діяльності людини по охороні біосфери заповідний фонд України познайомити з концепцією сталого розвитку складовими екоцентричної та антропоцентричної структури свідомості; вдосконалювати навички порівнювати робити висновки; розвивати навички вирішувати екологічні ситуації самостійно готувати матеріал до уроку створювати мультимедійну...
52345. Вплив людини на стан біосфери 162.5 KB
  МЕТА: Освітня: Розвивати вміння знаходити взаємозв’язки між діями й наслідками діяльності людини. Обладнання: Інтерактивна дошка слайди презентації фотографії з позитивним і негативними прикладами впливу людини на стан біосфери вірші про природу. Концепція уроку: Показати що діяльність людини стала провідним екологічним фактором на планеті й що зростання населення Землі призвело до демографичного вибуху перенаселеності й екологічних проблем; описати основні природні ресурси й наголосити на проблемі їхнього раціонального використання.
52346. Природные формы и явления. Выполнение творческой работы по представлению «Жар-птица» 407 KB
  Восприятие форм и цветных соотношений в природе. Воссоздание цветовых соотношений фактуры и текстуры в естественных формах в работе по воображению Жар-птица. Цель: Расширять знания о колорите палитре о теплых и холодных цветах цветовых ассоциациях; ознакомить с элементарными правилами рисования на компьютере. Развивать фантазию образное мышление чувство цвета умение передавать в колористической композиции чувства настроение фантазию образное мышление; уметь применять знания о цвете художественные техники и приемы...
52347. Обобщение темы «Птицы» 38.5 KB
  Цель: обобщить знания по теме Птицы проверить усвоение знаний об особенностях строения птиц раскрыть их значение в жизни природы и человека совершенствовать умения анализировать делать выводы работать с таблицами дополнительной литературой. Оборудование: таблица Птицы разных экологических групп таблица для Поля чудес сообщения детей Девиз: Птицы – наши...
52348. MY LAST BIRTHDAY PARTY 52 KB
  We are having an unusual lesson today. We have a lot of guests today and also a lot of interesting tasks to do. So, today we are going to speak about your favourite holiday, about birthday.
52349. AT A BIRTHDAY PARTY 93 KB
  To consolidate the previously learnt vocabulary and teach creative writing on the bases of greeting sentences and making birthday postcards. To develop skills and habits in listening, reproductive reading and speaking; To educate cultural awareness and rules of social behaviour.
52350. Порядок державної реєстрації суб‘єктів підприємницької діяльності 514 KB
  Виховна ціль: Формувати у особистості: почуття відповідальності за доручену справу; любов до майбутньої роботи в галузі підприємницької або бізнесової діяльності; сучасне економічне мислення; уміння орієнтуватися в умовах ринкових відносин; уміння самостійно приймати рішення. Завдання № 2 Визначити основні документи які необхідні для здійснення державної реєстрації юридичної особи та описати порядок державної реєстрації в залежності від запропонованої організаційноправової форми. ІІ рівень...