10962

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Показательный экспоненциальный закон распределения В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону например время обслуживания требования каналом обслуживания. Непрерывная случайная величина имеет показательный экспоненциа

Русский

2013-04-03

102.76 KB

236 чел.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону, например, время обслуживания требования каналом обслуживания.

Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

  (12.1)

Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:

 (12.2)

Итак,

  (12.3)

На рис.12.1 и 12.2 представлена плотность распределения и интегральная функция распределения СВ, распределенной по показательному закону.

Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ()

Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ()

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

(12.4)

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

   (12.5)

Т.к. , то остается вычислить :

 (12.6)

Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

 (12.7)

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

ПРИМЕР 1.  Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

РЕШЕНИЕ  а) Плотность распределения имеет вид:

б) Соответствующая интегральная функция равна:

ПРИМЕР 2.  Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону

РЕШЕНИЕ  Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:

Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того "простое" оно или "сложное". Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

.     (12.8)

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.

.    (12.9)

Функцией надежности  называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

.     (12.10)

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

.     (12.11)

ПРИМЕР 3.  Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

РЕШЕНИЕ  В нашем примере , тогда воспользуемся выражением (12.11):

.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени  (при заданной интенсивности отказов).

Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

(12.12)

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

  (12.13)

Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая выражения (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем".

Распределение Парето

В практических задачах встречаются так называемые усеченные распределения, у которых из общего множества значений СВ устранены значения, большие или меньшие некоторого порогового уровня . В частности, такое распределение будет иметь заработная плата работника при условии, что ее значение не может быть меньше некоторой заданной величины.

Распределением Парето называется такое распределение, для которого функция и плотность распределения вероятностей имеют вид:

     (12.14)

  (12.15)

Очевидно, плотность распределения вероятности монотонно убывает, выходя из точки .

Вычислим математическое ожидание такой случайной  величины

. (12.16)

Соответственно для дисперсии получим выражение

   (12.17)

ПРИМЕР 4.  Заработная плата работника фирмы ограничена нижним пределом в размере 10000 руб. и подчиняется закону Парето (  заработная плата в тысячах руб., ). Необходимо записать плотность распределения СВ , найти математическое ожидание уровня заработной платы и ее среднее квадратичное отклонение.

РЕШЕНИЕ  Учитывая (12.15) получим

.

Используя выражения (12.16) и (12.17), получим


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2294. Формирование здоровой, полноценной, социально адаптированной личности 30.72 KB
  Целью воспитательной работы лицея и моей как мастера производственного обучения является: формирование полноценной, психически и физически здоровой, социально адаптированной личности, способной строить свою жизнь.
2295. Договор финансовой аренды (лизинга) 99 KB
  В Республике Беларусь лизинговые операции стали проводиться с 1991 г. Развитие лизинга шло по двум направлениям: внутреннему и международному. Большинство белорусских лизинговых компаний на сегодняшний день занимаются внутренним лизингом. Внутренние лизинговые операции проводятся в основном за счет кредитных ресурсов белорусских банков.
2296. Система Mathcad. Побудова графіків 60.82 KB
  Використання ранжованих змінних. Табулювання функцій та побудова їх графіків засобами MathCad. Побудова найпростіших діаграм. Приклади задання ранжованої змінної. Створити на вільному місці шаблон для графіка.
2297. Система Mathcad. Розв’язування задач оптимізації 92.14 KB
  Пошук екстремуму функції. Екстремум функції багатьох змінних. Локальний екстремум. Умовний екстремум. Приклад вирішення транспортної задачі в середовищі Mathcad. Зміна чисельного методу. Вікно діалогу Advanced Options.
2298. Математична обробка даних експерименту. Парна регресія 74.68 KB
  Постановка задачі. Парна регресія. Лінійна парна регресія. Лінеаризація деяких видів двопараметричних зв’язків. Метод найменших квадратів (МНК). Алгоритм МНК. Приклад розв’язування задачі в середовищі системи Mathcad.
2299. Теорія держави та права 139.5 KB
  Закони та підзаконні нормативно-правові акти, систематизації нормативно-правових актів. Предмет конституційного права. Фактична конституція. Адміністративне право України. Місцеве самоврядування в Україні. Політико-структурні елементи.
2300. Повышение долговечности бетона при проектировании и изготовлении конструкций 176.5 KB
  Основные правила проектирования. Ограничение содержания хлоридов в бетоне. Правила производства работ. Составляющие бетона. Приготовление, транспорт и укладка бетона. Дополнительная защита конструкций. Параметры долговечности и их контроль при изготовлении конструкций.
2301. Чисельне вирішення задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь І-го порядку 106.36 KB
  Основні типи рівнянь інженерної практики. Методи вирішення диференціальних рівнянь. Постановка задач для звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Метод Ейлера. Модифіковані методи Ейлера та Ейлера-Коші. Метод Рунге-Кутта. Приклад вирішення задачі Коші для ЗДР І-го порядку в середовищі системи Mathcad.
2302. Програмування в Mathcad 76.51 KB
  Принцип програмування в Mathcad. Панель програмування. Локальний оператор присвоєння. Умовний оператор if. Організація обчислень з розгалуженнями. Алгоритми і програми циклічної структури. Оператор циклу з параметром. Оператор циклу з передумовою. Задачі обробки одновимірних та двовимірних масивів.