10962

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Показательный экспоненциальный закон распределения В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону например время обслуживания требования каналом обслуживания. Непрерывная случайная величина имеет показательный экспоненциа

Русский

2013-04-03

102.76 KB

228 чел.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону, например, время обслуживания требования каналом обслуживания.

Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

  (12.1)

Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:

 (12.2)

Итак,

  (12.3)

На рис.12.1 и 12.2 представлена плотность распределения и интегральная функция распределения СВ, распределенной по показательному закону.

Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ()

Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ()

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

(12.4)

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

   (12.5)

Т.к. , то остается вычислить :

 (12.6)

Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

 (12.7)

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

ПРИМЕР 1.  Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

РЕШЕНИЕ  а) Плотность распределения имеет вид:

б) Соответствующая интегральная функция равна:

ПРИМЕР 2.  Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону

РЕШЕНИЕ  Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:

Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того "простое" оно или "сложное". Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

.     (12.8)

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.

.    (12.9)

Функцией надежности  называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

.     (12.10)

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

.     (12.11)

ПРИМЕР 3.  Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

РЕШЕНИЕ  В нашем примере , тогда воспользуемся выражением (12.11):

.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени  (при заданной интенсивности отказов).

Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

(12.12)

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

  (12.13)

Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая выражения (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем".

Распределение Парето

В практических задачах встречаются так называемые усеченные распределения, у которых из общего множества значений СВ устранены значения, большие или меньшие некоторого порогового уровня . В частности, такое распределение будет иметь заработная плата работника при условии, что ее значение не может быть меньше некоторой заданной величины.

Распределением Парето называется такое распределение, для которого функция и плотность распределения вероятностей имеют вид:

     (12.14)

  (12.15)

Очевидно, плотность распределения вероятности монотонно убывает, выходя из точки .

Вычислим математическое ожидание такой случайной  величины

. (12.16)

Соответственно для дисперсии получим выражение

   (12.17)

ПРИМЕР 4.  Заработная плата работника фирмы ограничена нижним пределом в размере 10000 руб. и подчиняется закону Парето (  заработная плата в тысячах руб., ). Необходимо записать плотность распределения СВ , найти математическое ожидание уровня заработной платы и ее среднее квадратичное отклонение.

РЕШЕНИЕ  Учитывая (12.15) получим

.

Используя выражения (12.16) и (12.17), получим


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80222. Проблемы личности в социологии 80 KB
  Индивидуальность можно определить как совокупность черт, отличающих одного индивида от другого, причем различия проводятся на самых разных уровнях – биохимическом, нейрофизиологическом, психологическом, социальном и др.
80223. Социальные нормы и отклонения 88.5 KB
  В социологии отклоняющееся поведение называют девиантным. Этот термин употребляется в отечественной социологии в двух основных смыслах – широком и узком. В широком смысле термин девиантность означает любое отклонение от принятых в обществе социальных норм, начиная с самых незначительных, и кончая самыми серьезными, вплоть до убийства.
80224. Культура общества 49.5 KB
  Один из вариантов определения культуры может быть таким: культура – это поведение, присущее специфически человеку разумному, рассматриваемое в неразрывной связи с материальными объектами, используемыми как орудийная часть этого поведения
80225. Концепция стратификации общества 85 KB
  Полагая что Маркс чересчур упростил картину стратификации Вебер утверждал что в обществе существуют и другие линии раздела которые не зависят от классовой принадлежности или экономического положения и предложил многомерный подход к стратификации выделив три измерения: класс экономическое положение статус престиж и партию власть. Престиж – авторитет Влияние уважение в обществе степень которых соответствует определенному социальному статусу. Поэтому один из самых эффективных методов показа благосостояния – большие затраты на...
80226. Социальный статус 41.5 KB
  Социальная мобильность В системе стратификации индивиды или группы могут перемещаться с одного уровня слоя на другой. Этот процесс называется социальной мобильностью. Социальное неравенство предполагает различия в распределении благ и ответственности а социальная стратификация – структурированную систему неравенства социальная мобильность проявляется в движении индивидов или групп от одного социального статуса к другому. Вертикальная мобильность – изменение положения индивида которое вызывает повышение или понижение его социального...
80227. Технология создания видеофильма. Линейный и нелинейный монтаж 60 KB
  Снимаемый или съемочный кадр несколько длиннее того который будет виден на экране после монтажа фильма этот кадр называют монтажным. План составляется после тщательного ознакомления со всем снятым материалом и определения основной концепции монтажа фильма отсюдато название: план монтажа фильма. она является лишь элементом упорядочивающим готовый но еще сырой материал раньше всего в процессе монтажа фильма. Длинным может быть рабочий материал для просмотра или хранения в архиве а фильм должен быть кратким лаконичным лемким по...
80228. Аудио форматы на DVD 405.5 KB
  Аудио мир захвачен CD благодаря их высокой практичности и низкой цене а видео переходит от VHS кассет на DVD. Но музыкальная индустрия и DVD Forum предпочитают универсальный формат они желают продавать наши любимые альбомы на DVD так и появился формат DVD аудио. С технической точки зрения DVD имеет больший объем чем CD.
80229. Современные форматы видео 988.5 KB
  Аналоговый видеосигнал включает в себя несколько различных компонентов, объединенных в единое целое. Такой составной видеосигнал малопригоден для оцифровки. Предварительно его следует разделить на так называемые базовые компоненты. Обычно компоненты представляют собой три различных сигнала, соответствующие определенной модели представления цветового пространства
80230. Алгоритм сжатия видео. Основные особенности MPEG 160 KB
  Сначала все цветовое пространство кадра преобразуется из RGB в YCbCr. Необходимость этого преобразования заключается в том, что глаз более чувствителен к яркости цвета, чем к его оттенку. Y - это величина яркости цвета, а Cb и Cr - цветовые величины, определяющие оттенок и насыщение цвета (они определяют количество синей и красной составляющих в цвете).