10962

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Показательный экспоненциальный закон распределения В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону например время обслуживания требования каналом обслуживания. Непрерывная случайная величина имеет показательный экспоненциа

Русский

2013-04-03

102.76 KB

230 чел.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону, например, время обслуживания требования каналом обслуживания.

Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

  (12.1)

Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:

 (12.2)

Итак,

  (12.3)

На рис.12.1 и 12.2 представлена плотность распределения и интегральная функция распределения СВ, распределенной по показательному закону.

Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ()

Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ()

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

(12.4)

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

   (12.5)

Т.к. , то остается вычислить :

 (12.6)

Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

 (12.7)

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

ПРИМЕР 1.  Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

РЕШЕНИЕ  а) Плотность распределения имеет вид:

б) Соответствующая интегральная функция равна:

ПРИМЕР 2.  Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону

РЕШЕНИЕ  Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:

Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того "простое" оно или "сложное". Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

.     (12.8)

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.

.    (12.9)

Функцией надежности  называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

.     (12.10)

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

.     (12.11)

ПРИМЕР 3.  Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

РЕШЕНИЕ  В нашем примере , тогда воспользуемся выражением (12.11):

.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени  (при заданной интенсивности отказов).

Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

(12.12)

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

  (12.13)

Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая выражения (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем".

Распределение Парето

В практических задачах встречаются так называемые усеченные распределения, у которых из общего множества значений СВ устранены значения, большие или меньшие некоторого порогового уровня . В частности, такое распределение будет иметь заработная плата работника при условии, что ее значение не может быть меньше некоторой заданной величины.

Распределением Парето называется такое распределение, для которого функция и плотность распределения вероятностей имеют вид:

     (12.14)

  (12.15)

Очевидно, плотность распределения вероятности монотонно убывает, выходя из точки .

Вычислим математическое ожидание такой случайной  величины

. (12.16)

Соответственно для дисперсии получим выражение

   (12.17)

ПРИМЕР 4.  Заработная плата работника фирмы ограничена нижним пределом в размере 10000 руб. и подчиняется закону Парето (  заработная плата в тысячах руб., ). Необходимо записать плотность распределения СВ , найти математическое ожидание уровня заработной платы и ее среднее квадратичное отклонение.

РЕШЕНИЕ  Учитывая (12.15) получим

.

Используя выражения (12.16) и (12.17), получим


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51530. Определить горизонтальную составляющую индукции магнитного поля Земли 532.5 KB
  В этом случае к генератору подсоединяются последовательно только амперметр и магазин сопротивлений Rдоб. Установили на магазине сопротивлений какоелибо значение Rдоб например Rдоб = 3000 Ом и получите на экране осциллографа устойчивую картину изображенную на рис. Измерили величину =0 и определили разность фаз колебаний входного напряжения и напряжения на активном сопротивлении Rдоб φ=0 А=04 В. Δа=0049 кОм Rдоб=34 кОм ΔR=003 кОм χ2=356.
51531. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 3.44 MB
  При этом в цепи возникает переменный электрический ток. С помощью переключателя К катушка индуктивности может быть отключена от цепи. Замыкание кнопочного переключателя К4 приводит к отключению емкости от цепи. Для определения действующего значения силы тока в цепи используется вольтметр универсальный цифровой на котором должен быть установлен режим измерения силы переменного тока m.
51532. ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОСЦИЛЛОГРАФА 2.12 MB
  Устройство и принцип работы электронного осциллографа рассмотрены в Приложении 1. Электронный осциллограф С1137 может работать в двух основных режимах: а Исследуемый сигнал подается на вход канала вертикального отклонения осциллографа вход I или II а на вход канала горизонтального отклонения подается пилообразное напряжение с генератора развертки встроенного в осциллограф. При этом на экране осциллографа наблюдается график зависимости исследуемого сигнала от времени.
51533. Определение длины электромагнитной волны по методу Лехера 72 KB
  Электромагнитные волны можно пролучить и в двухпроводной линии если ее подключить к высокочастотному источнику тока рис. При малой частоте генератора тока смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости и в этом случае электромагнитные явления существенно зависят от сопротивлений линии т. Пусть в точке О двухпроводной линии рис. Электрическое поле будет распространяться вдоль линии и в произвольной точке D1 отстоящей от О на ростоянии х также возникнут гармонические колебания вектора .