10962

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Показательный экспоненциальный закон распределения В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону например время обслуживания требования каналом обслуживания. Непрерывная случайная величина имеет показательный экспоненциа

Русский

2013-04-03

102.76 KB

233 чел.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону, например, время обслуживания требования каналом обслуживания.

Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

  (12.1)

Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:

 (12.2)

Итак,

  (12.3)

На рис.12.1 и 12.2 представлена плотность распределения и интегральная функция распределения СВ, распределенной по показательному закону.

Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ()

Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ()

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

(12.4)

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

   (12.5)

Т.к. , то остается вычислить :

 (12.6)

Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

 (12.7)

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

ПРИМЕР 1.  Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

РЕШЕНИЕ  а) Плотность распределения имеет вид:

б) Соответствующая интегральная функция равна:

ПРИМЕР 2.  Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону

РЕШЕНИЕ  Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:

Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того "простое" оно или "сложное". Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

.     (12.8)

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.

.    (12.9)

Функцией надежности  называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

.     (12.10)

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

.     (12.11)

ПРИМЕР 3.  Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

РЕШЕНИЕ  В нашем примере , тогда воспользуемся выражением (12.11):

.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени  (при заданной интенсивности отказов).

Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

(12.12)

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

  (12.13)

Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая выражения (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем".

Распределение Парето

В практических задачах встречаются так называемые усеченные распределения, у которых из общего множества значений СВ устранены значения, большие или меньшие некоторого порогового уровня . В частности, такое распределение будет иметь заработная плата работника при условии, что ее значение не может быть меньше некоторой заданной величины.

Распределением Парето называется такое распределение, для которого функция и плотность распределения вероятностей имеют вид:

     (12.14)

  (12.15)

Очевидно, плотность распределения вероятности монотонно убывает, выходя из точки .

Вычислим математическое ожидание такой случайной  величины

. (12.16)

Соответственно для дисперсии получим выражение

   (12.17)

ПРИМЕР 4.  Заработная плата работника фирмы ограничена нижним пределом в размере 10000 руб. и подчиняется закону Парето (  заработная плата в тысячах руб., ). Необходимо записать плотность распределения СВ , найти математическое ожидание уровня заработной платы и ее среднее квадратичное отклонение.

РЕШЕНИЕ  Учитывая (12.15) получим

.

Используя выражения (12.16) и (12.17), получим


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24642. Організація, зміст і методика проведення перспективного аналізу 28.5 KB
  Організація зміст і методика проведення перспективного аналізу Перспективний аналіз здійснюється у перспективній або довгостроковій системі управління. За допомогою перспективного аналізу визначаються можливі у перспективі економічні та соціальні результати розвитку науки і техніки розробляються науково обгрунтовані програми соціального економічного і технічного розвитку галузей народного господарства оптимальні управлінські рішення які забезпечують досягнення стратегічних цілей. Аналіз фактичних результатів діяльності за довготерміновий...
24643. Організація і методика поточного аналізу господарської діяльності 28.5 KB
  Організація і методика поточного аналізу господарської діяльності. Метою цього аналізу є виявлення та усунення негативних причин характерних для даної системи використання поточних резервів які сприяють досягненню поставленої мети. Поточний аналіз найбільш повний вид економічного аналізу що вбирає в себе результати оперативного аналізу і слугує базою для перспективного аналізу.
24644. Аналіз кредитоспроможності позичальника 59.5 KB
  Аналіз кредитоспроможності позичальника. До укладання кредитної угоди фахівець банку повинен ретельно проаналізувати кредитоспроможність потенційного позичальника тобто його здатність своєчасно повернути позичку вивчити фактори які можуть спровокувати її неповернення. Тому оцінка якості потенційного позичальника є одним із важливих етапів процесу кредитування. Одним з елементів оцінки кредитоспроможності є зясування персональних якостей потенційного позичальника.
24645. Обєкти та завдання економічного аналізу. Принципи його проведення 26.5 KB
  Обєкти та завдання економічного аналізу. Метою економічного аналізу є вивчення результатів діяльності підприємств визначення впливу факторів на показники і їх роботу для виявлення недоліків і резервів а також розробка заходів спрямованих на відновлення і збільшення обсягів виробництва та реалізації підвищення ефективності діяльності. Предметом економічного аналізу є фінансово господарська діяльність підприємства. Обєкти економічного аналізу це окремі явища і процеси проблеми питання наприклад виробнича діяльність наявність і...
24646. Інформаційне забезпечення економічного аналізу 26.5 KB
  Інформація це порядкованя повідомлення про кількісний та якісний стан явищ і процесів сукупність знань і даних про них. Інформація може бутит виражена за допомогою цифр букв символів.В економіці інформація відображає процеси та явища господарської діяльності закономірності функціонування ринку та його складові.планово нормативна інформація бізнес плани норми витрат прейскуранти цін і тарифів технологічна документація 2.
24647. Організація та етапи проведення аналітичної роботи на підприємстві 26 KB
  Організація та етапи проведення аналітичної роботи на підприємстві. Аналітична робота починається з планування розрізняють загальний план аналітичної роботи та конкретну програму аналітичних робіт. Виділяють три етапи аналітичної роботи: 1.попередній попереднє ознайомлення зі станом справ визначають ступінь виконання плану за основними показниками робиться попередня оцінка роботи підприємства а також готують макети таблиць збирається і перевіряється головна інформація визначаються виконавці 2.
24648. Метод економічного аналізу. Класифікація методів економічного аналізу 51.5 KB
  Економіко математичні методи дослідження яке проводять шляхом анкетування опитування співбесіди. Загальнонаукові методи: Методи теорії пізнання аналіз синтез індукція дедукція. Евристичні методи Метод мозкового штурму анкетування морфологічний метод метод семикратного пошуку Метод асоціацій та аналогій. Економікологічні методи Методи детермінованого факторного аналізу методи елімінування логарифмічний метод інтегральний метод Методи загального аналізу методи порівняння і групування методи середніх величин та...
24649. Порівняння – основний метод економічного аналізу 25 KB
  Порівняння це один із самих розповсюджених аналіз будь якого показника починаючи із порівняння звітних даних з плановими за попередній період з базисним показниками аналітичних підприємств конкурентів; аналіз порівняння до і після впровадження інвестицій порівняння якісних ознак фактично випущеної продукції зі стандартами і технічними умовами що дає можливість визначити.
24650. Методика аналізу обсягу випуску та реалізації продукції 28.5 KB
  Методика аналізу обсягу випуску та реалізації продукції. Аналіз випуску продукції передбачає загальну оцінку виконання плану оцінку впливу факторів на його величину аналіз ритмічності якості продії і її конкурентоспроможності оновлення продукції виконання плану з номенклатури і асортименту. Випуск продукції можна аналізувати у натуральному і вартісному виразі: 1. Для оцінки ритмічності і випуск продукції здійснюється за питомою вагою виробн продії в кожній декаді до місячного випуску і за допомогою узагальнюючого показника коефіцієнтів...