10962

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Показательный экспоненциальный закон распределения В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону например время обслуживания требования каналом обслуживания. Непрерывная случайная величина имеет показательный экспоненциа

Русский

2013-04-03

102.76 KB

229 чел.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

В теории массового случайные процессы часто распределены по показательному закону, например, время обслуживания требования каналом обслуживания.

Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

  (12.1)

Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:

 (12.2)

Итак,

  (12.3)

На рис.12.1 и 12.2 представлена плотность распределения и интегральная функция распределения СВ, распределенной по показательному закону.

Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ()

Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ()

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

(12.4)

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

   (12.5)

Т.к. , то остается вычислить :

 (12.6)

Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

 (12.7)

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

ПРИМЕР 1.  Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

РЕШЕНИЕ  а) Плотность распределения имеет вид:

б) Соответствующая интегральная функция равна:

ПРИМЕР 2.  Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону

РЕШЕНИЕ  Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:

Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того "простое" оно или "сложное". Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

.     (12.8)

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.

.    (12.9)

Функцией надежности  называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

.     (12.10)

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

.     (12.11)

ПРИМЕР 3.  Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

РЕШЕНИЕ  В нашем примере , тогда воспользуемся выражением (12.11):

.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени  (при заданной интенсивности отказов).

Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

(12.12)

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

  (12.13)

Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая выражения (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем".

Распределение Парето

В практических задачах встречаются так называемые усеченные распределения, у которых из общего множества значений СВ устранены значения, большие или меньшие некоторого порогового уровня . В частности, такое распределение будет иметь заработная плата работника при условии, что ее значение не может быть меньше некоторой заданной величины.

Распределением Парето называется такое распределение, для которого функция и плотность распределения вероятностей имеют вид:

     (12.14)

  (12.15)

Очевидно, плотность распределения вероятности монотонно убывает, выходя из точки .

Вычислим математическое ожидание такой случайной  величины

. (12.16)

Соответственно для дисперсии получим выражение

   (12.17)

ПРИМЕР 4.  Заработная плата работника фирмы ограничена нижним пределом в размере 10000 руб. и подчиняется закону Парето (  заработная плата в тысячах руб., ). Необходимо записать плотность распределения СВ , найти математическое ожидание уровня заработной платы и ее среднее квадратичное отклонение.

РЕШЕНИЕ  Учитывая (12.15) получим

.

Используя выражения (12.16) и (12.17), получим


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67000. Закріплення вміння вимовляти звуки (д), (д‘), вивчення букви Д , д. Розвиток мовлення на тему “Природа. Овочі.” Глухі та дзвінкі приголосні звуки 59 KB
  Закріпити вміння вимовляти та впізнавати звуки [д] [д‘] в словах та позначати їх буквою д де; розвивати фонематичний слух мовлення мислення ; спостерігати за вимовою звуків [д] [т]; активізувати словниковий запас учнів. Сьогодні ми закріпимо знання про вивчені букви і звуки ознайомимося з новою буквою пограємо в мовні ігри...
67001. Закріплення звукового значення букви «Ї». Опрацювання тексту «Наша Батьківщина». Робота з дитячою книгою «Моя Батьківщина – Україна» 503.5 KB
  Мета. Закріпити знання про звукове значення букв «Ї», »ї», удосконалювати навички читання та звукового аналізу слів; познайомити учнів з видатними місцями України, формувати уявлення про її красу та неповторність; розвивати зв’язне мовлення, увагу, спостережливість, пам’ять...
67002. ПИСЬМО СРОЧНОЙ БУКВЫ -К-, СЛОГОВ И СЛОВ К НЕЙ 77.14 KB
  Написание строчной буквы -к-. - от начала первой строчки до середины напишем два элемента буквы. от середины до конца строчки. все элементы буквы. ( , к) - поменяйтесь прописями и найдите красавицу. 2) письмо слогов с буквой -к-. - карлсону очень хочется стать помощником капитана.
67003. Буква Щ, щ, позначення нею звукосполучення «шч». Бесіда на тему «Наша Батьківщина» 64.5 KB
  Ознайомити учнів з буквою «ща», яка позначає не один звук, а звукосполучення [шч], удосконалювати вміння виконувати звуко-буквений аналіз слів: вчити читати склади і слова з буквою «ща», збагачувати словник словами з цією буквою виховувати любов до рідного краю, своєї Батьківщини.
67004. Звуки «з'» «з». Буква З з (с использованием заданий на развитие логического мышления) 122 KB
  Цели: 1. Познакомить учащихся со звуками [ з'] [ з ], буквами З з ; 2. Продолжить работу над звуковым анализом слов; 3. Учить читать слоги, слова с буквой "зэ"; 4. Развивать фонематический слух, речь, мышление, обогащать словарный запас, прививать любовь и уважение к родной природе.
67005. Письмо великої букви С, складів та слів із нею. Складання і записування речень 33 KB
  Оголошення теми і мети уроку Перегляд уривка мультфільму Вкрадений місяць Чи сподобався вам мультфільм Хто бачив цей мультфільм Що таке місяць Навіщо він потрібний На що або на кого схожий місяць Інтерактивна технологія Мікрофон Які ще предмети схожі на букву С Якы предмети можна перетворити на букву С Як Доведіть думку.
67006. Гриби 296.5 KB
  Формувати уявлення про різноманітність грибів у природі про значення грибів у природі і цінність для людей їх охорону; формувати поняття їстівні гриби отруйні гриби; вміння розрізняти їстівні та отруйні гриби узагальнювати висловлювати судження і перевіряти їх правильність...
67007. Подорож картою України 52 KB
  Мета: продовжити формувати уявлення учнів про географічне розміщення України її кордони сусідство з іншими країнами; ознайомити з найбільшими містами України горами водоймами тваринами рослинами; детальніше познайомити із столицею України містом Києвом; викликати позитивні емоції виховувати почуття любові...
67008. Правила поведения в экстремальной ситуации 63.5 KB
  Вводная часть: актуализация опорных знаний. - Что на свете всего дороже. - Как понимаете это слово. Что с ним связано? Что влияет на наше здоровье? (Питание, спорт, профилактика вредных привычек соблюдение правил безопасности, правильный отдых) - Что такое опасная ситуация? - Какое отношение имеют эти слова к здоровью?