10964

Закон больших чисел центральная предельная теорема

Лекция

Математика и математический анализ

Закон больших чисел центральная предельная теорема Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайно...

Русский

2013-04-03

154.21 KB

10 чел.

Закон больших чисел центральная предельная теорема

Свойство устойчивости массовых, случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказывается на среднем результате массы таких явлений. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание "закона больших чисел", понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятности.

Предельные теоремы дают возможность не только осуществить научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

Неравенство Чебышева

Имеется случайная величина (СВ) . Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число , вероятность того, что СВ отклонится от своего  математического ожидания не меньше, чем на , ограничена сверху величиной , т.е.

.     (1.1)

Доказательство:  рассмотрим доказательство для непрерывной СВ . По определению известно, что

.     (1.2)

Запишем чему равна дисперсия СВ :

 (1.3)

Проиллюстрируем выражение (1.3) рисунком:

Рис. 1.1. Отрезок интегрирования

В (1.3) означает, что интегрирование ведется на внешней части отрезка АВ. Если в (1.3) принять, что (отметим, что неравенство при этом только усиливается), получим:

 (1.4)

Итак, неравенство Чебышева доказано. Неравенство Чебышева дает грубую оценку сверху и утверждает, что для любой случайной величины Х вероятность того, что она отклонится на от меньше, чем дисперсия деленная на .

Пример: Дана СВ . Оценить сверху вероятность того, что X отклонится от не меньше, чем на .

Решение: Согласно неравенству Чебышева запишем

.

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону .

Теорема  Чебышева

Пусть имеется СВ . Над этой величиной производится независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины Х. Необходимо найти характеристики среднего арифметического – математическое ожидание и дисперсию. В результате первого опыта СВ приняла значение , во втором опыте – , ..., в – ом опыте – .

Рассмотрим среднее арифметическое этих значений:

     (1.5)

СВ линейная функция независимых случайных величин . Определим:

 (1.6)

   (1.7)

Т. о. не зависит от числа опытов , а дисперсия при больших может стать сколь угодно малой, т.е. СВ ведет себя почти не как случайная. Это свойство и устанавливает теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

Говорят что СВ сходится по вероятности к величине , если при увеличении вероятность того, что и будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом

   (1.8)

где  и – произвольно малые положительные числа. Запишем аналогично теорему Чебышева:

.    (1.9)

Докажем справедливость (1.9).

Ранее было показано, что для  Применим к СВ неравенство Чебышева:

  (1.10)

Как бы ни было мало , всегда можно взять такое большое , чтобы выполнялось неравенство: , где сколь угодно малое число. Тогда получим:

.    (1.11)

Запишем вероятность события противоположного (1.11)

.   (1.12)

Что и требовалось доказать.

Обобщенная теорема Чебышева

Пусть независимые случайные величины с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями, т.е. И если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом таким, что

то при возрастании среднее арифметическое наблюденных значений величин   сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

.    (1.13)

Доказательство: Рассмотрим СВ , с соответствующими характеристиками: . Применим с СВ неравенство Чебышева

, или      

.    (1.14)

Как бы ни было мало , можно так выбрать , что будет выполняться неравенство . Тогда получим:

.     (1.15)

Перейдем к противоположному событию:

.    (1.16)

Что и требовалось доказать.

Теорема Маркова

Если имеются зависимые СВ и, если при справедливо соотношение то среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство: Рассмотрим величину . Применим к величине неравенство Чебышева:

     

Т.к. по условию теоремы при , то при достаточно большом справедливо , или переходе к противоположному событию:

.  (1.17)

Что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Бернулли утверждает, что:
при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .

Обозначим частоту события в опытах через и запишем теорему Бернулли в виде формулы:

   (1.18)

где и δ – сколько угодные малые положительные числа. Требуется доказать неравенство (1.18) при достаточно большом .

Доказательство: Рассмотрим независимые случайные величины:

число появления события в первом опыте;

число появления события во втором опыте;

..........................................................................................

Все эти величины дискретные и имеют один и тот же закон распределения; выраженный рядом распределения:

1

Здесь , нетрудно показать, что . Частота не что иное, как среднее арифметическое величин , т.е. . Тогда согласно закону больших чисел сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих величин.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78030. История развития компьютерной техники 1950-1970 годов 55 KB
  Утверждение В.М. Глушкова о том, что С.А. Лебедев - независимо от ученых Запада - разработал принципы построения компьютеров с хранимой в памяти программой - принципиально важный момент. Именно хранение программы в оперативной памяти стало завершающим шагом в развитии первых компьютеров.
78031. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СТРАТЕГИЙ РОССИИ И США НА БОЛЬШОМ БЛИЖНЕМ ВОСТОКЕ: ПРОБЛЕМЫ СОТРУДНИЧЕСТВА И СОПЕРНИЧЕСТВА 1.69 MB
  Совместные же усилия наших двух стран в преодолении последствий этой агрессии обусловили формирование новой системы отношений в регионе, практически сведя на нет риски масштабного военного взрыва между главными в прошлом антагонистами – Израилем и арабскими странами.
78032. Игра как средство повышения интереса к урокам русского языка 113 KB
  Система современного образования не активирует в достаточной степени внутренние мотивы учения. Она диктует ребёнку свои условия и не оставляет места для его вопросов. В результате школьник перестаёт их задавать, теряет интерес к окружающему миру и, соответственно, к обучению.
78034. Укрощение «фабрики бумаг» 59 KB
  Первый вопрос решается на стадии предпроектного исследования когда определяются численные характеристики потоков документов реально существующих в организации. Измерение документооборота Параметры описывающие документооборот в организации можно разделить на три основных класса: объем документооборота...
78036. РОСІЙСЬКА ПОЕЗІЯ 198.5 KB
  Упродовж срібного віку в російській поезії яскраво виявили себе чотири покоління поетів: бальмонтівське яке народилося в 60ті та на початку 70х років XIX ст. Розгром російської культури та поезії срібного віку був остаточно довершений восени 1922 р.