10964

Закон больших чисел центральная предельная теорема

Лекция

Математика и математический анализ

Закон больших чисел центральная предельная теорема Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайно...

Русский

2013-04-03

154.21 KB

10 чел.

Закон больших чисел центральная предельная теорема

Свойство устойчивости массовых, случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказывается на среднем результате массы таких явлений. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание "закона больших чисел", понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятности.

Предельные теоремы дают возможность не только осуществить научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

Неравенство Чебышева

Имеется случайная величина (СВ) . Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число , вероятность того, что СВ отклонится от своего  математического ожидания не меньше, чем на , ограничена сверху величиной , т.е.

.     (1.1)

Доказательство:  рассмотрим доказательство для непрерывной СВ . По определению известно, что

.     (1.2)

Запишем чему равна дисперсия СВ :

 (1.3)

Проиллюстрируем выражение (1.3) рисунком:

Рис. 1.1. Отрезок интегрирования

В (1.3) означает, что интегрирование ведется на внешней части отрезка АВ. Если в (1.3) принять, что (отметим, что неравенство при этом только усиливается), получим:

 (1.4)

Итак, неравенство Чебышева доказано. Неравенство Чебышева дает грубую оценку сверху и утверждает, что для любой случайной величины Х вероятность того, что она отклонится на от меньше, чем дисперсия деленная на .

Пример: Дана СВ . Оценить сверху вероятность того, что X отклонится от не меньше, чем на .

Решение: Согласно неравенству Чебышева запишем

.

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону .

Теорема  Чебышева

Пусть имеется СВ . Над этой величиной производится независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины Х. Необходимо найти характеристики среднего арифметического – математическое ожидание и дисперсию. В результате первого опыта СВ приняла значение , во втором опыте – , ..., в – ом опыте – .

Рассмотрим среднее арифметическое этих значений:

     (1.5)

СВ линейная функция независимых случайных величин . Определим:

 (1.6)

   (1.7)

Т. о. не зависит от числа опытов , а дисперсия при больших может стать сколь угодно малой, т.е. СВ ведет себя почти не как случайная. Это свойство и устанавливает теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

Говорят что СВ сходится по вероятности к величине , если при увеличении вероятность того, что и будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом

   (1.8)

где  и – произвольно малые положительные числа. Запишем аналогично теорему Чебышева:

.    (1.9)

Докажем справедливость (1.9).

Ранее было показано, что для  Применим к СВ неравенство Чебышева:

  (1.10)

Как бы ни было мало , всегда можно взять такое большое , чтобы выполнялось неравенство: , где сколь угодно малое число. Тогда получим:

.    (1.11)

Запишем вероятность события противоположного (1.11)

.   (1.12)

Что и требовалось доказать.

Обобщенная теорема Чебышева

Пусть независимые случайные величины с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями, т.е. И если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом таким, что

то при возрастании среднее арифметическое наблюденных значений величин   сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

.    (1.13)

Доказательство: Рассмотрим СВ , с соответствующими характеристиками: . Применим с СВ неравенство Чебышева

, или      

.    (1.14)

Как бы ни было мало , можно так выбрать , что будет выполняться неравенство . Тогда получим:

.     (1.15)

Перейдем к противоположному событию:

.    (1.16)

Что и требовалось доказать.

Теорема Маркова

Если имеются зависимые СВ и, если при справедливо соотношение то среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство: Рассмотрим величину . Применим к величине неравенство Чебышева:

     

Т.к. по условию теоремы при , то при достаточно большом справедливо , или переходе к противоположному событию:

.  (1.17)

Что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Бернулли утверждает, что:
при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .

Обозначим частоту события в опытах через и запишем теорему Бернулли в виде формулы:

   (1.18)

где и δ – сколько угодные малые положительные числа. Требуется доказать неравенство (1.18) при достаточно большом .

Доказательство: Рассмотрим независимые случайные величины:

число появления события в первом опыте;

число появления события во втором опыте;

..........................................................................................

Все эти величины дискретные и имеют один и тот же закон распределения; выраженный рядом распределения:

1

Здесь , нетрудно показать, что . Частота не что иное, как среднее арифметическое величин , т.е. . Тогда согласно закону больших чисел сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих величин.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2414. Сучасні системи математичної обробки інформації. Система Mathcad. Програмування в середовищі Mathcad 327.72 KB
  Задачі обробки одновимірних та двовимірних масивів. Приклад розв'язування транспортної задачі в середовищі Mathcad. Локальний екстремум. Організація обчислень з розгалуженнями. Локальний оператор присвоєння. Принцип програмування в Mathcad. Панель програмування.
2415. Особенности использования автоматизированных и человекоуправляемых систем научных исследований 1.03 MB
  Научные исследования позволяют выявлять и исследовать неявные качества и закономерности свойственные исследуемым объектам. К таким объектам, наиболее часто относятся определенные системы и процессы. Особый интерес для науки и прикладных задач представляет автоматизация научных исследований, то есть создание автоматизированных систем научных исследований (АСНИ).
2416. Сущность организации и предприятия, их признаки и функции. Понятие экономики предприятия. 217.5 KB
  Экономика предприятия - это дисциплина изучающая, как определённые и ограниченные ресурсы для производства полезной продукции и услуг распределяются и используются в рамках отдельно взятого предприятия.
2417. Практика по внеклассной воспитательной работе 789.64 KB
  Накопление представлений о характере и содержании внеклассной воспитательной деятельности классного руководителя. Формирование умений планировать, проводить и анализировать внеклассные воспитательные мероприятия в начальных классах. Ознакомление с разными формами внеклассной воспитательной работы в начальных классах с учетом возраста учащихся.
2418. Аналіз виховної роботи навчального закладу 201.5 KB
  Скласти та обґрунтувати перелік показників, якими можна робити певні припущення про рівень дисципліни в класі (школі). Підготувати план виступу перед батьками п'ятикласників на одну з тем сімейної педагогіки. Обґрунтувати актуальність обраної теми і питань запропонованого її плану. Розкрити можливі причини конфліктів між педагогами і учнями та обґрунтувати шляхи їх попередження і усунення.
2419. Виховний захід. Наші обереги 22.27 KB
  Зал святково прибраний вишитими рушниками, гілками калини. На центральній стіні прилаштовано великий плакат у вигляді рушника, на якому написано назву свята. Під плакатом стоїть стіл, накритий скатертиною, на столі лежить паляниця, вишиванка, калинова гілочка, стоїть глечик з пшеничними та житніми колосками.
2420. Стратегии интегрированного роста 319.43 KB
  Обоснование эффективности стратегии интегрированного роста в странах с развивающимися рынками. Целью данного исследования является обоснование эффективности стратегии интегрированного роста для российских компаний в условиях экономической нестабильности.
2421. Поняття суб’єкта господарського права. Види суб’єктів господарського права 24.15 KB
  Метою вивчення цієї теми є досягнення студентами чіткого розуміння становища суб’єктів господарського права. Завданнями, відповідно, є вивчення студентами дефініцій, даних в теорії господарського права та у господарському законодавстві, набуття ними вмінь щодо коректного застосування засвоєних понять на теоретичному рівні.
2422. Аналіз та синтез лінійних САУ 7.62 MB
  Управління яким-небудь об'єктом (об'єкт керування позначатимемо ОК) є дія на нього в цілях досягнення необхідних станів або процесів. В якості ОК може служити літак, верстат, електродвигун і т. п. Керування об'єктом за допомогою технічних засобів без участі людини називається автоматичним керуванням.