10964

Закон больших чисел центральная предельная теорема

Лекция

Математика и математический анализ

Закон больших чисел центральная предельная теорема Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайно...

Русский

2013-04-03

154.21 KB

10 чел.

Закон больших чисел центральная предельная теорема

Свойство устойчивости массовых, случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказывается на среднем результате массы таких явлений. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание "закона больших чисел", понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятности.

Предельные теоремы дают возможность не только осуществить научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

Неравенство Чебышева

Имеется случайная величина (СВ) . Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число , вероятность того, что СВ отклонится от своего  математического ожидания не меньше, чем на , ограничена сверху величиной , т.е.

.     (1.1)

Доказательство:  рассмотрим доказательство для непрерывной СВ . По определению известно, что

.     (1.2)

Запишем чему равна дисперсия СВ :

 (1.3)

Проиллюстрируем выражение (1.3) рисунком:

Рис. 1.1. Отрезок интегрирования

В (1.3) означает, что интегрирование ведется на внешней части отрезка АВ. Если в (1.3) принять, что (отметим, что неравенство при этом только усиливается), получим:

 (1.4)

Итак, неравенство Чебышева доказано. Неравенство Чебышева дает грубую оценку сверху и утверждает, что для любой случайной величины Х вероятность того, что она отклонится на от меньше, чем дисперсия деленная на .

Пример: Дана СВ . Оценить сверху вероятность того, что X отклонится от не меньше, чем на .

Решение: Согласно неравенству Чебышева запишем

.

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону .

Теорема  Чебышева

Пусть имеется СВ . Над этой величиной производится независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины Х. Необходимо найти характеристики среднего арифметического – математическое ожидание и дисперсию. В результате первого опыта СВ приняла значение , во втором опыте – , ..., в – ом опыте – .

Рассмотрим среднее арифметическое этих значений:

     (1.5)

СВ линейная функция независимых случайных величин . Определим:

 (1.6)

   (1.7)

Т. о. не зависит от числа опытов , а дисперсия при больших может стать сколь угодно малой, т.е. СВ ведет себя почти не как случайная. Это свойство и устанавливает теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

Говорят что СВ сходится по вероятности к величине , если при увеличении вероятность того, что и будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом

   (1.8)

где  и – произвольно малые положительные числа. Запишем аналогично теорему Чебышева:

.    (1.9)

Докажем справедливость (1.9).

Ранее было показано, что для  Применим к СВ неравенство Чебышева:

  (1.10)

Как бы ни было мало , всегда можно взять такое большое , чтобы выполнялось неравенство: , где сколь угодно малое число. Тогда получим:

.    (1.11)

Запишем вероятность события противоположного (1.11)

.   (1.12)

Что и требовалось доказать.

Обобщенная теорема Чебышева

Пусть независимые случайные величины с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями, т.е. И если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом таким, что

то при возрастании среднее арифметическое наблюденных значений величин   сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

.    (1.13)

Доказательство: Рассмотрим СВ , с соответствующими характеристиками: . Применим с СВ неравенство Чебышева

, или      

.    (1.14)

Как бы ни было мало , можно так выбрать , что будет выполняться неравенство . Тогда получим:

.     (1.15)

Перейдем к противоположному событию:

.    (1.16)

Что и требовалось доказать.

Теорема Маркова

Если имеются зависимые СВ и, если при справедливо соотношение то среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство: Рассмотрим величину . Применим к величине неравенство Чебышева:

     

Т.к. по условию теоремы при , то при достаточно большом справедливо , или переходе к противоположному событию:

.  (1.17)

Что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Бернулли утверждает, что:
при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .

Обозначим частоту события в опытах через и запишем теорему Бернулли в виде формулы:

   (1.18)

где и δ – сколько угодные малые положительные числа. Требуется доказать неравенство (1.18) при достаточно большом .

Доказательство: Рассмотрим независимые случайные величины:

число появления события в первом опыте;

число появления события во втором опыте;

..........................................................................................

Все эти величины дискретные и имеют один и тот же закон распределения; выраженный рядом распределения:

1

Здесь , нетрудно показать, что . Частота не что иное, как среднее арифметическое величин , т.е. . Тогда согласно закону больших чисел сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих величин.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81469. Наследственные нарушения обмена моносахаридов и дисахаридов: галактоземия, непереносимость фруктозы и дисахаридов. Гликогенозы и агликогенозы 139.56 KB
  Гликогенозы и агликогенозы Нарушения метаболизма фруктозы Неактивный фермент Блокируемая реакция Локализация фермента Клинические проявления и лабораторные данные Фруктокиназа Фруктоза АТФ → Фруктозе1фосфат АДФ Печень Почки Энтероциты Фруктоземия фруктозурия Фруктозе1фосфатальдолаза Фруктозе1фосфат → Дигидроксиацетон3 фосфат Глицеральдегид Печень Рвота боли в животе диарея гипогликемия Гипофосфатемия фруктоземия гиперурикемия хроническая недостаточность функций печени почек. Наследственная непереносимость...
81470. Важнейшие липиды тканей человека. Резервные липиды (жиры) и липиды мембран (сложные липиды). Жирные кислоты липидов тканей человека 113.78 KB
  Жирные кислоты липидов тканей человека. Жирные кислоты структурные компоненты различных липидов. В составе триацилглицеролов жирные кислоты выполняют функцию депонирования энергии так как их радикалы содержат богатые энергией СН2группы. В составе фосфолипидов и сфинголипидов жирные кислоты образуют внутренний гидрофобный слой мембран определяя его свойства.
81471. Незаменимые факторы питания липидной природы. Эссенциальные жирные кислоты: ω-3- и ω-6-кислоты как предшественники синтеза эйкозаноидов 125.89 KB
  Эссенциальные жирные кислоты: ω3 и ω6кислоты как предшественники синтеза эйкозаноидов. В эту группу входит комплекс полиненасыщенных жирных кислот которые принимают значительное участие в биологических процессах: линолевая кислота омега6 линоленовая кислота омега3 арахидоновая кислота омега6 эйкозапентаеновая кислота омега3 докозагексаеновая кислота омега3 Полиненасыщенные жирные кислоты препятствуют развитию атеросклероза и снижают уровень триглицеридов липопротеидов низкой плотности в крови холестерина и его...
81472. Биосинтез жирных кислот, регуляция метаболизма жирных кислот 192.83 KB
  Источником углерода для синтеза жирных кислот служит ацетилКоА образующийся при распаде глюкозы в абсорбтивном периоде. Образование ацетилКоА и его транспорт в цитозоль. Активный гликолиз и последующее окислительное декарбоксилирование пирувата способствуют увеличению концентрации ацетилКоА в матриксе митохондрий. Так как синтез жирных кислот происходит в цитозоле клеток то ацетилКоА должен быть транспортирован через внутреннюю мембрану митохондрий в цитозоль.
81473. Химизм реакций β-окисления жирных кислот, энергетический итог 170.76 KB
  βОкисление специфический путь катаболизма жирных кислот при котором от карбоксильного конца жирной кислоты последовательно отделяется по 2 атома углерода в виде ацетилКоА. Реакции βокисления и последующего окисления ацетилКоА в ЦТК служат одним из основных источников энергии для синтеза АТФ по механизму окислительного фосфорилирования. связаны макроэргической связью с коферментом А: RCOOH HSKo АТФ → RCO КоА АМФ PPi. Реакцию катализирует фермент ацилКоА синтетаза.
81474. Биосинтез и использование кетоновых тел в качестве источников энергии 127.33 KB
  В результате скорость образования ацетилКоА превышает способность ЦТК окислять его. АцетилКоА накапливается в митохондриях печени и используется для синтеза кетоновых тел. Синтез кетоновых тел начинается с взаимодействия двух молекул ацетилКоА которые под действием фермента тиолазы образуют ацетоацетилКоА. С ацетоацетилКоА взаимодействует третья молекула ацетилКоА образуя 3гидрокси3метилглутарилКоА ГМГКоА.
81475. Пищевые жиры и их переваривание. Всасывание продуктов переваривания. Нарушение переваривания и всасывания. Ресинтез триацилглицеринов в стенке кишечника 106.8 KB
  Переваривание жиров происходит в тонком кишечнике однако уже в желудке небольшая часть жиров гидролизуется под действием липазы языка . Однако вклад этой липазы в переваривание жиров у взрослых людей незначителен. Поэтому действию панкреатической липазы гидролизующей жиры предшествует эмульгирование жиров. Переваривание жиров гидролиз жиров панкреатической липазой.
81476. Образование хиломикронов и транспорт жиров. Роль апопротеинов в составе хиломикронов. Липопротеинлипаза 106.5 KB
  Липиды в водной среде а значит и в крови нерастворимы поэтому для транспорта липидов кровью в организме образуются комплексы липидов с белками липопротеины. ЛП хорошо растворимы в крови не коалесцируют так как имеют небольшой размер и отрицательный заряд на поверхности. В лимфе и крови с ЛПВП на ХМ переносятся апопротеины Е апоЕ и СП апоСП; ХМ превращаются в зрелые . ХМ имеют довольно большой размер поэтому после приёма жирной пищи они придают плазме крови опалесцирующий похожий на молоко вид.
81477. Биосинтез жиров в печени из углеводов. Структура и состав транспортных липопротеинов крови 153.12 KB
  В жировой ткани для синтеза жиров используются в основном жирные кислоты освободившиеся при гидролизе жиров ХМ и ЛПОНП. Молекулы жиров в адипоцитах объединяются в крупные жировые капли не содержащие воды и поэтому являются наиболее компактной формой хранения топливных молекул. В гладком ЭР гепатоцитов жирные кислоты активируются и сразу же используются для синтеза жиров взаимодействуя с глицерол3фосфатом.