10964

Закон больших чисел центральная предельная теорема

Лекция

Математика и математический анализ

Закон больших чисел центральная предельная теорема Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайно...

Русский

2013-04-03

154.21 KB

9 чел.

Закон больших чисел центральная предельная теорема

Свойство устойчивости массовых, случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказывается на среднем результате массы таких явлений. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание "закона больших чисел", понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятности.

Предельные теоремы дают возможность не только осуществить научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

Неравенство Чебышева

Имеется случайная величина (СВ) . Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число , вероятность того, что СВ отклонится от своего  математического ожидания не меньше, чем на , ограничена сверху величиной , т.е.

.     (1.1)

Доказательство:  рассмотрим доказательство для непрерывной СВ . По определению известно, что

.     (1.2)

Запишем чему равна дисперсия СВ :

 (1.3)

Проиллюстрируем выражение (1.3) рисунком:

Рис. 1.1. Отрезок интегрирования

В (1.3) означает, что интегрирование ведется на внешней части отрезка АВ. Если в (1.3) принять, что (отметим, что неравенство при этом только усиливается), получим:

 (1.4)

Итак, неравенство Чебышева доказано. Неравенство Чебышева дает грубую оценку сверху и утверждает, что для любой случайной величины Х вероятность того, что она отклонится на от меньше, чем дисперсия деленная на .

Пример: Дана СВ . Оценить сверху вероятность того, что X отклонится от не меньше, чем на .

Решение: Согласно неравенству Чебышева запишем

.

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону .

Теорема  Чебышева

Пусть имеется СВ . Над этой величиной производится независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины Х. Необходимо найти характеристики среднего арифметического – математическое ожидание и дисперсию. В результате первого опыта СВ приняла значение , во втором опыте – , ..., в – ом опыте – .

Рассмотрим среднее арифметическое этих значений:

     (1.5)

СВ линейная функция независимых случайных величин . Определим:

 (1.6)

   (1.7)

Т. о. не зависит от числа опытов , а дисперсия при больших может стать сколь угодно малой, т.е. СВ ведет себя почти не как случайная. Это свойство и устанавливает теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

Говорят что СВ сходится по вероятности к величине , если при увеличении вероятность того, что и будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом

   (1.8)

где  и – произвольно малые положительные числа. Запишем аналогично теорему Чебышева:

.    (1.9)

Докажем справедливость (1.9).

Ранее было показано, что для  Применим к СВ неравенство Чебышева:

  (1.10)

Как бы ни было мало , всегда можно взять такое большое , чтобы выполнялось неравенство: , где сколь угодно малое число. Тогда получим:

.    (1.11)

Запишем вероятность события противоположного (1.11)

.   (1.12)

Что и требовалось доказать.

Обобщенная теорема Чебышева

Пусть независимые случайные величины с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями, т.е. И если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом таким, что

то при возрастании среднее арифметическое наблюденных значений величин   сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

.    (1.13)

Доказательство: Рассмотрим СВ , с соответствующими характеристиками: . Применим с СВ неравенство Чебышева

, или      

.    (1.14)

Как бы ни было мало , можно так выбрать , что будет выполняться неравенство . Тогда получим:

.     (1.15)

Перейдем к противоположному событию:

.    (1.16)

Что и требовалось доказать.

Теорема Маркова

Если имеются зависимые СВ и, если при справедливо соотношение то среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство: Рассмотрим величину . Применим к величине неравенство Чебышева:

     

Т.к. по условию теоремы при , то при достаточно большом справедливо , или переходе к противоположному событию:

.  (1.17)

Что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Бернулли утверждает, что:
при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .

Обозначим частоту события в опытах через и запишем теорему Бернулли в виде формулы:

   (1.18)

где и δ – сколько угодные малые положительные числа. Требуется доказать неравенство (1.18) при достаточно большом .

Доказательство: Рассмотрим независимые случайные величины:

число появления события в первом опыте;

число появления события во втором опыте;

..........................................................................................

Все эти величины дискретные и имеют один и тот же закон распределения; выраженный рядом распределения:

1

Здесь , нетрудно показать, что . Частота не что иное, как среднее арифметическое величин , т.е. . Тогда согласно закону больших чисел сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих величин.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19437. Основные принципы организации и функционирования компьютерных сетей. Интернет. Информационные ресурсы и сервисы компьютерных сетей 102 KB
  Основные принципы организации и функционирования компьютерных сетей. Интернет. Информационные ресурсы и сервисы компьютерных сетей: Всемирная паутина файловые архивы интерактивное общение. Назначение и возможности электронной почты. Поиск информации в Интернете. В
19438. Понятие модели. Информационная модель. Виды информационных моделей (на примерах). Реализация информационных моделей на компьютере 930 KB
  Понятие модели. Информационная модель. Виды информационных моделей на примерах. Реализация информационных моделей на компьютере. Пример применения электронной таблицы в качестве инструмента математического моделирования. Человечество в своей деятельности научной ...
19439. Виды гражданских правоотношений 26.5 KB
  Виды гражданских правоотношений Классификация гражданских правоотношений может проводиться по различным основаниям: Абсолютные и относительные правоотношения – выделяют по характеру взаимосвязи управомоченного и обязанного лица; В абсолютном правоотнош...
19440. Понятие и содержание гражданской правоспособности 23 KB
  Понятие и содержание гражданской правоспособности. Правоспособность способность лица иметь гражданские права и нести гражданские обязанности признается в равной мере за всеми гражданами Содержание В соответствии со ст. 18 ГК граждане могут иметь имущество на пра
19441. Понятие и структура дееспособности. Дееспособность малолетних и несовершеннолетних. Эмансипация 26 KB
  Понятие и структура дееспособности. Дееспособность малолетних и несовершеннолетних. Эмансипация. Дееспособность граждан определяется как способность лица своими действиями приобретать и осуществлять гражданские права создавать для себя гражданские обязанности и и
19442. Ограничение дееспособности и признание граждан недееспособными 24.5 KB
  Ограничение дееспособности и признание граждан недееспособными. Гражданин который вследствие психического расстройства не может понимать значения своих действий или руководить ими признается судом недееспособным. В этом случае гражданин не вправе совершать в...
19443. Опека и попечительство. Патронаж 25 KB
  Опека и попечительство. Патронаж. Опека устанавливается над малолетними над гражданами признанными судом недееспособными вследствие душевной болезни или слабоумия. Опекун законный представитель подопечного и совершает сделки от его имени и в его интересах. Попечит
19444. Признание гражданина безвестно отсутствующим и объявление его умершим 24 KB
  Признание гражданина безвестно отсутствующим и объявление его умершим. Сущность признания лица безвестно отсутствующим состоит в том что происходит официальная констатация того факта что в настоящий момент неизвестно живо ли данное лицо или нет и где оно находится.
19445. Возникновение юридических лиц 24.5 KB
  Возникновение юридических лиц. Традиционно существуют три способа образования юридических лиц: распорядительный разрешительный и явочнонормативный. Распорядительный порядок предполагает образование юридического лица в силу прямого распоряжения государственного