10964

Закон больших чисел центральная предельная теорема

Лекция

Математика и математический анализ

Закон больших чисел центральная предельная теорема Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайно...

Русский

2013-04-03

154.21 KB

10 чел.

Закон больших чисел центральная предельная теорема

Свойство устойчивости массовых, случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказывается на среднем результате массы таких явлений. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание "закона больших чисел", понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятности.

Предельные теоремы дают возможность не только осуществить научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

Неравенство Чебышева

Имеется случайная величина (СВ) . Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число , вероятность того, что СВ отклонится от своего  математического ожидания не меньше, чем на , ограничена сверху величиной , т.е.

.     (1.1)

Доказательство:  рассмотрим доказательство для непрерывной СВ . По определению известно, что

.     (1.2)

Запишем чему равна дисперсия СВ :

 (1.3)

Проиллюстрируем выражение (1.3) рисунком:

Рис. 1.1. Отрезок интегрирования

В (1.3) означает, что интегрирование ведется на внешней части отрезка АВ. Если в (1.3) принять, что (отметим, что неравенство при этом только усиливается), получим:

 (1.4)

Итак, неравенство Чебышева доказано. Неравенство Чебышева дает грубую оценку сверху и утверждает, что для любой случайной величины Х вероятность того, что она отклонится на от меньше, чем дисперсия деленная на .

Пример: Дана СВ . Оценить сверху вероятность того, что X отклонится от не меньше, чем на .

Решение: Согласно неравенству Чебышева запишем

.

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону .

Теорема  Чебышева

Пусть имеется СВ . Над этой величиной производится независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины Х. Необходимо найти характеристики среднего арифметического – математическое ожидание и дисперсию. В результате первого опыта СВ приняла значение , во втором опыте – , ..., в – ом опыте – .

Рассмотрим среднее арифметическое этих значений:

     (1.5)

СВ линейная функция независимых случайных величин . Определим:

 (1.6)

   (1.7)

Т. о. не зависит от числа опытов , а дисперсия при больших может стать сколь угодно малой, т.е. СВ ведет себя почти не как случайная. Это свойство и устанавливает теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

Говорят что СВ сходится по вероятности к величине , если при увеличении вероятность того, что и будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом

   (1.8)

где  и – произвольно малые положительные числа. Запишем аналогично теорему Чебышева:

.    (1.9)

Докажем справедливость (1.9).

Ранее было показано, что для  Применим к СВ неравенство Чебышева:

  (1.10)

Как бы ни было мало , всегда можно взять такое большое , чтобы выполнялось неравенство: , где сколь угодно малое число. Тогда получим:

.    (1.11)

Запишем вероятность события противоположного (1.11)

.   (1.12)

Что и требовалось доказать.

Обобщенная теорема Чебышева

Пусть независимые случайные величины с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями, т.е. И если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом таким, что

то при возрастании среднее арифметическое наблюденных значений величин   сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

.    (1.13)

Доказательство: Рассмотрим СВ , с соответствующими характеристиками: . Применим с СВ неравенство Чебышева

, или      

.    (1.14)

Как бы ни было мало , можно так выбрать , что будет выполняться неравенство . Тогда получим:

.     (1.15)

Перейдем к противоположному событию:

.    (1.16)

Что и требовалось доказать.

Теорема Маркова

Если имеются зависимые СВ и, если при справедливо соотношение то среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство: Рассмотрим величину . Применим к величине неравенство Чебышева:

     

Т.к. по условию теоремы при , то при достаточно большом справедливо , или переходе к противоположному событию:

.  (1.17)

Что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Бернулли утверждает, что:
при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .

Обозначим частоту события в опытах через и запишем теорему Бернулли в виде формулы:

   (1.18)

где и δ – сколько угодные малые положительные числа. Требуется доказать неравенство (1.18) при достаточно большом .

Доказательство: Рассмотрим независимые случайные величины:

число появления события в первом опыте;

число появления события во втором опыте;

..........................................................................................

Все эти величины дискретные и имеют один и тот же закон распределения; выраженный рядом распределения:

1

Здесь , нетрудно показать, что . Частота не что иное, как среднее арифметическое величин , т.е. . Тогда согласно закону больших чисел сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих величин.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59635. Тарас Шевченко – великий син свого народу (відкритий урок) 82 KB
  Хлопчик: Тарасе сонце заходить Женімо отару в село Тарас: Я заночую тут. Хлопчик: А вівці Тарас: Жени й моїх овець а у селі вони й самі дорогу до двору знайдуть. Тарас: Вечеря Була вечеря коли мати жила.
59636. Виховний захід у дитячому садочку: здоров’я дітей – здоров’я нації 74 KB
  Привітання команд: Команда Козачок: Добри день вам люди добрі Щиро просим до господи Раді вас у нас вітати Щастя та добра бажати Чайка Сьогодні свято конкурс нині сьогодні все козацтво тут. А конкурси будуть такі. Конкурс Вартові сигнальники. Конкурс швидкі вершники.
59637. Є така держава - Україна. Сценарій тематичного вечора 50 KB
  Добрий вечір, дорогі друзі, шановні наші гості. Ми раді вітати вас у цьому залі! Щастя Вам і здоров’я! Добра і миру! Ведуча ІІ.: Розпочинаємо наш вечір, присвячений Дню Незалежності України. Ведуча ІІ.: Нехай ці ведичне свято доторкнеться ваших сердець, а почуте ввіллеться у ваші душі! З святом Вас!
59638. Проект модернізації корпоративної телекомунікаційної мережі для умов Дружківського машинобудівельного 4.73 MB
  Модернізація й розвиток телекомунікаційної корпоративної мережі для Дружківського машинобудівного заводу на базі цифрової системи комутації, яка має притаманні кращим ЦСК риси: підвищення гнучкості і економічності системи, скорочення витрат і трудомісткості експлуатації, а також надання нових видів послуг абонентам.
59639. Безмежність краси української мови 91.5 KB
  Відзначення цього ювілею 24 травня у День Словянської писемності засвідчить громадськості єдність витоків всіх словянських культур належне місце серед них української культури славну історію розвитку української мови.
59640. Верба-вербиченька. Сценарій вечора-розповіді 49.5 KB
  Як широка сокорина Віти розпустила А над самою водою Верба похилилась. Скажеш одне тільки слово Україна і в уяві обовязково постають тополя в полі хрущі над вишнями калина в лузі верба край долини.
59641. Для всіх одна: Сценарій святкування Дня незалежності України 37 KB
  У кожній думі КобзаряЖиве могутня Україна. По всій землі святій землі Гриміла славна Україна. І слава Хортиці гучна І Берестечка кров невинна То все вона для всіх одна То наша вільна Україна.
59643. Знай свій рід, своє слово, свою пісню: Сценарій для молодших школярів 37 KB
  Добрий день, наші юні друзі! Сьогодні ми зібралися з вами, щоб відсвяткувати Міжнародний день захисту дітей. В усьому світі діти завжди були і є радістю для дорослих. Вони про них піклуються, опікають, намагаються віддати все краще.