10966

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Статистическая эмпирическая функция распределения Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот частостей. В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными з...

Русский

2013-04-03

115.14 KB

30 чел.

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот (частостей).

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми значениями и их частотами, или относительными частотами.

Пример 1. Задана выборка объемом с соответствующими частотами. Необходимо найти частости (относительные частоты).

2

6

12

3

10

7

3/20

10/20

7/20

Контроль:   .

Пусть, исследуется статистическое распределение, частот количественного признака (случайной величины) . Введем обозначение:

число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее ;

общее число наблюдений (объем выборки).

Очевидно, что относительная частота (частость) события равна .

Статистической функцией распределения случайной величины называется функция, определяющая для каждого значения относительную частоту события

   (3.1)

Сравним статистическую и интегральную функции распределения. Вспомним (теорема Бернулли), что относительная частота события , т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события.

Функция  обладает теми же свойствами, что и :

  1.  Значения .
  2.  Эмпирическая функция распределения неубывающая.
  3.  Если наименьшая варианта, то при .
  4.  Если наибольшая варианта, то при .

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данной выборке:

2

6

10

12

18

30

Решение: Найдем объем выборки . Теперь найдем статистическую функцию распределения:

2

6

10

>10

0

12 / 60

30 / 60

1

Представим в аналитическом и графическом виде:

Рис. 3.1. Статистическая функция распределения

Выборочные значения и оценка параметров.

Рассмотрим один из возможных методов (есть и другие) оценивания среднего значения и дисперсии случайной величины по независимым наблюдением:

       (3.2)

 (3.3)

Здесь и – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Индекс в формуле (см. 3.3) указывает на смещённость оценки дисперсии. Наряду с вышеприведенными характеристиками, при обработке результатов наблюдений обычно находят следующие оценки:

  1.   выборочная дисперсия (несмещённая)

 (3.4)

  1.  среднее квадратическое отклонение

       (3.5)

  1.  выборочный коэффициент асимметрии

     (3.6)

  1.  выборочный коэффициент эксцесса

   (3.7)

Для установления качества или "правильности" любой оценки используются свойства (требования) "хороших оценок".

Требования "хороших оценок"

  1.  Несмещённость.

Во-первых, желательно, чтобы математическое ожидание оценки равнялось оцениваемому параметру:

.       (3.8)

Здесь  оценка параметра . Если свойство (3.8) имеет место, то оценка называется несмещённой.

  1.  Эффективность.

Во-вторых, желательно, чтобы среднеквадратическая ошибка данной оценки была наименьшей среди всех возможных оценок, т.е.:

.    (3.9)

Где  исследуемая оценка, а  любая другая оценка. Если это свойство имеет место, то оценка  называется эффективной.

  1.  Состоятельность.

В-третьих, желательно, чтобы оценка сходилась к оцениваемому параметру с вероятностью, стремящейся к единице по мере увеличения размера выборки, т.е. для любого

.    (3.10)

Если выполнено условие (3.10), то оценка называется состоятельной. Из неравенства Чебышева следует, что достаточным для выполнения (3.10) является условие:

   (3.11)

В качестве примера "хорошей оценки" рассмотрим оценку среднего значения (3.2). Математическое ожидание выборочного среднего равно:

 (3.12)

Следовательно, согласно (3.8), оценка  несмещённая.

Среднеквадратическая ошибка выборочного среднего равна:

(3.13)

Поскольку наблюдения независимы, то математическое ожидание членов, содержащих смешанные произведения, равны нулю. Поэтому из (3.13) получим:

(3.14)

Т.о., согласно (3.11) оценка  состоятельная. Можно показать, что эта оценка эффективна.

Рассмотрим оценку дисперсии по формуле (3.3).

(3.15)

Однако

 (3.16)

Поскольку  и , то, подставив в (3.16), получим:

(3.17)

Следовательно, оценка  смещённая.

Хотя оценка (выборочная дисперсия) и является смещённой оценкой, эта оценка состоятельна и эффективна. Из (3.17) понятно, что для получения несмещённой оценки следует взять несколько видоизмененную выборочную дисперсию (3.4).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

934. Тепловой баланс 558.5 KB
  Температура внутренней поверхности кладки. Потери теплоты через футеровку. Потери теплоты через окна. Теплота экзотермических реакций. Температура уходящих из томильной зоны газов. Потери теплоты с охлаждающей жидкостью. Температуру внутренней поверхности стен.
935. Рекуператор. Поверхность нагрева металлического петлевого рекуператора 97.5 KB
  Определение поверхности нагрева металлического петлевого рекуператора для подогрева воздуха. Коэффициент теплоотдачи конвекцией от труб рекуператора к воздуху. Отношение коэффициентов теплоотдачи на стороне воздуха и продуктов сгорания.
936. Горелки томильных печей 54.5 KB
  Для осуществления равномерного нагрева свода принимаем шахматное расположение горелок на своде печи с шагом по длине 1463 мм и 1410 мм по ширине. Тогда в методической зоне будет 4, в сварочной 7 и томильной 3 горелки.
937. Газодинамические расчеты газо-воздушных трактов 118.5 KB
  Скорость движения дымовых газов в начале печи. Скорость движения продуктов горения в вертикальном канале. Потери давления на повороте из дымохода в вертикальный канал. Средняя температура дыма по длине трубы.
938. Разработка маршрутно-операционного технологического процесса изготовления детали Крышка 378 KB
  Технический анализ чертежа детали и его корректировка в соответствие со стандартами ЕСКД. Составление технологического маршрута обработки, включая термические и контрольные операции. Расчет суммарной погрешности выполнения одного операционного размера, с учетом действия различных технологических факторов.
939. Управление делами Аппарата Администрации Смоленской области г. Смоленск, площадь им. Ленина, 1 311.5 KB
  Общая характеристика Аппарата Администрации Смоленской области. Основные задачи и функции протокольного отдела. Управление делами Аппарата Администрации Смоленской области. Функциональное содержание управленческой деятельности на примере протокольного отдела Управления делами Аппарата Администрации Смоленской области.
940. Исследование основных параметров и схем включения операцион-ных усилителей 231.5 KB
  В ходе работе были определены параметры операционного усилителя К140УД7 на лабораторном стенде и его зарубежного аналога uA741C в среде моделирования Microcap9: коэффициент усиления ОУ без обратной связи, входные токи, входное напряжение смещения, коэффициент ослабления синфазного сигнала.
941. Транспортування небезпечних вантажів автомобільним видом транспорту 2.2 MB
  Визначення перспективного напрямку удосконалення існуючої схеми перевезень легкозаймистих речовин у Угорщину та Румунію. Аналіз українського законодавства в області автомобільних перевезень небезпечних вантажів. Оцінка техніко-економічної ефективності розроблених технологічних рішень.
942. Отечественная история от начала до конца ХХ века 683 KB
  Происхождение и ранняя история восточных славян (расселение, занятия, общественное устройство, религия). Объединение русских земель и образование Московского государства. Государственное реформирование при первых Романовых. Либеральные реформы 60- 70 гг. XIX века. Столыпинская аграрная реформа и ее итоги. Новая экономическая. политика (1921-28г.:причины, содержание, противоречия) НЭП.