10966

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Статистическая эмпирическая функция распределения Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот частостей. В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными з...

Русский

2013-04-03

115.14 KB

30 чел.

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот (частостей).

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми значениями и их частотами, или относительными частотами.

Пример 1. Задана выборка объемом с соответствующими частотами. Необходимо найти частости (относительные частоты).

2

6

12

3

10

7

3/20

10/20

7/20

Контроль:   .

Пусть, исследуется статистическое распределение, частот количественного признака (случайной величины) . Введем обозначение:

число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее ;

общее число наблюдений (объем выборки).

Очевидно, что относительная частота (частость) события равна .

Статистической функцией распределения случайной величины называется функция, определяющая для каждого значения относительную частоту события

   (3.1)

Сравним статистическую и интегральную функции распределения. Вспомним (теорема Бернулли), что относительная частота события , т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события.

Функция  обладает теми же свойствами, что и :

  1.  Значения .
  2.  Эмпирическая функция распределения неубывающая.
  3.  Если наименьшая варианта, то при .
  4.  Если наибольшая варианта, то при .

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данной выборке:

2

6

10

12

18

30

Решение: Найдем объем выборки . Теперь найдем статистическую функцию распределения:

2

6

10

>10

0

12 / 60

30 / 60

1

Представим в аналитическом и графическом виде:

Рис. 3.1. Статистическая функция распределения

Выборочные значения и оценка параметров.

Рассмотрим один из возможных методов (есть и другие) оценивания среднего значения и дисперсии случайной величины по независимым наблюдением:

       (3.2)

 (3.3)

Здесь и – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Индекс в формуле (см. 3.3) указывает на смещённость оценки дисперсии. Наряду с вышеприведенными характеристиками, при обработке результатов наблюдений обычно находят следующие оценки:

  1.   выборочная дисперсия (несмещённая)

 (3.4)

  1.  среднее квадратическое отклонение

       (3.5)

  1.  выборочный коэффициент асимметрии

     (3.6)

  1.  выборочный коэффициент эксцесса

   (3.7)

Для установления качества или "правильности" любой оценки используются свойства (требования) "хороших оценок".

Требования "хороших оценок"

  1.  Несмещённость.

Во-первых, желательно, чтобы математическое ожидание оценки равнялось оцениваемому параметру:

.       (3.8)

Здесь  оценка параметра . Если свойство (3.8) имеет место, то оценка называется несмещённой.

  1.  Эффективность.

Во-вторых, желательно, чтобы среднеквадратическая ошибка данной оценки была наименьшей среди всех возможных оценок, т.е.:

.    (3.9)

Где  исследуемая оценка, а  любая другая оценка. Если это свойство имеет место, то оценка  называется эффективной.

  1.  Состоятельность.

В-третьих, желательно, чтобы оценка сходилась к оцениваемому параметру с вероятностью, стремящейся к единице по мере увеличения размера выборки, т.е. для любого

.    (3.10)

Если выполнено условие (3.10), то оценка называется состоятельной. Из неравенства Чебышева следует, что достаточным для выполнения (3.10) является условие:

   (3.11)

В качестве примера "хорошей оценки" рассмотрим оценку среднего значения (3.2). Математическое ожидание выборочного среднего равно:

 (3.12)

Следовательно, согласно (3.8), оценка  несмещённая.

Среднеквадратическая ошибка выборочного среднего равна:

(3.13)

Поскольку наблюдения независимы, то математическое ожидание членов, содержащих смешанные произведения, равны нулю. Поэтому из (3.13) получим:

(3.14)

Т.о., согласно (3.11) оценка  состоятельная. Можно показать, что эта оценка эффективна.

Рассмотрим оценку дисперсии по формуле (3.3).

(3.15)

Однако

 (3.16)

Поскольку  и , то, подставив в (3.16), получим:

(3.17)

Следовательно, оценка  смещённая.

Хотя оценка (выборочная дисперсия) и является смещённой оценкой, эта оценка состоятельна и эффективна. Из (3.17) понятно, что для получения несмещённой оценки следует взять несколько видоизмененную выборочную дисперсию (3.4).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12783. Цвет и фон. Цвет переднего плана: свойство color 52.81 KB
  Цвет и фон На этой лабораторной работе вы научитесь использовать цвета и фон на ваших webсайтах. Мы рассмотрим также продвинутые методы позиционирования и управления фоновым изображением. Будут разъяснены следующие CSSсвойства: color backgroundcolor backgroundimage bac...
12784. Текст. Отступы. Выравнивания текста 12.22 KB
  Текст Форматирование и установка стиля текста ключевая проблема для любого webдизайнера. На лабораторной вы увидите впечатляющие возможности CSS при отображении текста. Будут рассмотрены следующие свойства: textindent textalign textdecoration letterspacing texttransform ...
12785. Ссылки. Что такое псевдокласс 15.12 KB
  Ссылки Всё изученное в предыдущих уроках вы можете применять и для ссылок/links например изменять шрифт цвет подчёркивание и т. д. Новым будет то что в CSS эти свойства можно определять поразному в зависимости от того посетили уже ссылку активна ли она находится ли указ...
12786. Идентификация и группирование элементов (class и id) 15.12 KB
  Идентификация и группирование элементов class и id Иногда вам нужно будет применить особый стиль к определённому элементу или конкретной группе элементов. В этой лабораторной работе мы подробно разберём как можно использовать class и id для специфицирования свойств выбран
12787. Группирование элементов (span и div) 15.67 KB
  Группирование элементов span и div Элементы span и div используются для структурирования документа часто совместно с атрибутами class и id. В этом уроке мы подробно рассмотрим как использовать span и div поскольку эти элементы HTML имеют важнейшее значение в CSS. Группиро...
12788. Боксовая модель в CSS 24.21 KB
  Боксовая модель Боксовая модель в CSS описывает боксы генерируемые для HTMLэлементов. Боксовая модель также имеет детальные опции для определения полей рамок заполнения и содержимого каждого элемента. На диаграмме далее показано как построена боксовая модель: Боксов...
12789. Поля и заполнение 13.38 KB
  Поля и заполнение В предыдущем уроке мы рассмотрели боксовую модель. В этом уроке объясним как можно изменять представление элементов свойствами margin и padding. Установим поля элемента Установим заполнение элемента Установим поля элемента У элемента ест
12790. Рамки. Примеры определения рамок 23.33 KB
  Рамки Рамки имеют многообразное применение например как декоративный элемент или для отделения двух объектов. CSS предоставляет бесчисленное множество вариантов использования рамок. borderwidth bordercolor borderstyle Примеры определения рамок border Толщи
12791. height/высота и width/ширина 12.79 KB
  height/высота и width/ширина До сих пор мы особо не заботились о размерах элементов с которыми работали. На этой лабораторной посмотрим как легко можно определять высоту и ширину элемента. width height Установка ширины [width] Свойством width вы можете определять шири