10966

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Статистическая эмпирическая функция распределения Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот частостей. В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными з...

Русский

2013-04-03

115.14 KB

30 чел.

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот (частостей).

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми значениями и их частотами, или относительными частотами.

Пример 1. Задана выборка объемом с соответствующими частотами. Необходимо найти частости (относительные частоты).

2

6

12

3

10

7

3/20

10/20

7/20

Контроль:   .

Пусть, исследуется статистическое распределение, частот количественного признака (случайной величины) . Введем обозначение:

число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее ;

общее число наблюдений (объем выборки).

Очевидно, что относительная частота (частость) события равна .

Статистической функцией распределения случайной величины называется функция, определяющая для каждого значения относительную частоту события

   (3.1)

Сравним статистическую и интегральную функции распределения. Вспомним (теорема Бернулли), что относительная частота события , т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события.

Функция  обладает теми же свойствами, что и :

  1.  Значения .
  2.  Эмпирическая функция распределения неубывающая.
  3.  Если наименьшая варианта, то при .
  4.  Если наибольшая варианта, то при .

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данной выборке:

2

6

10

12

18

30

Решение: Найдем объем выборки . Теперь найдем статистическую функцию распределения:

2

6

10

>10

0

12 / 60

30 / 60

1

Представим в аналитическом и графическом виде:

Рис. 3.1. Статистическая функция распределения

Выборочные значения и оценка параметров.

Рассмотрим один из возможных методов (есть и другие) оценивания среднего значения и дисперсии случайной величины по независимым наблюдением:

       (3.2)

 (3.3)

Здесь и – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Индекс в формуле (см. 3.3) указывает на смещённость оценки дисперсии. Наряду с вышеприведенными характеристиками, при обработке результатов наблюдений обычно находят следующие оценки:

  1.   выборочная дисперсия (несмещённая)

 (3.4)

  1.  среднее квадратическое отклонение

       (3.5)

  1.  выборочный коэффициент асимметрии

     (3.6)

  1.  выборочный коэффициент эксцесса

   (3.7)

Для установления качества или "правильности" любой оценки используются свойства (требования) "хороших оценок".

Требования "хороших оценок"

  1.  Несмещённость.

Во-первых, желательно, чтобы математическое ожидание оценки равнялось оцениваемому параметру:

.       (3.8)

Здесь  оценка параметра . Если свойство (3.8) имеет место, то оценка называется несмещённой.

  1.  Эффективность.

Во-вторых, желательно, чтобы среднеквадратическая ошибка данной оценки была наименьшей среди всех возможных оценок, т.е.:

.    (3.9)

Где  исследуемая оценка, а  любая другая оценка. Если это свойство имеет место, то оценка  называется эффективной.

  1.  Состоятельность.

В-третьих, желательно, чтобы оценка сходилась к оцениваемому параметру с вероятностью, стремящейся к единице по мере увеличения размера выборки, т.е. для любого

.    (3.10)

Если выполнено условие (3.10), то оценка называется состоятельной. Из неравенства Чебышева следует, что достаточным для выполнения (3.10) является условие:

   (3.11)

В качестве примера "хорошей оценки" рассмотрим оценку среднего значения (3.2). Математическое ожидание выборочного среднего равно:

 (3.12)

Следовательно, согласно (3.8), оценка  несмещённая.

Среднеквадратическая ошибка выборочного среднего равна:

(3.13)

Поскольку наблюдения независимы, то математическое ожидание членов, содержащих смешанные произведения, равны нулю. Поэтому из (3.13) получим:

(3.14)

Т.о., согласно (3.11) оценка  состоятельная. Можно показать, что эта оценка эффективна.

Рассмотрим оценку дисперсии по формуле (3.3).

(3.15)

Однако

 (3.16)

Поскольку  и , то, подставив в (3.16), получим:

(3.17)

Следовательно, оценка  смещённая.

Хотя оценка (выборочная дисперсия) и является смещённой оценкой, эта оценка состоятельна и эффективна. Из (3.17) понятно, что для получения несмещённой оценки следует взять несколько видоизмененную выборочную дисперсию (3.4).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15911. Аграрне право України З. Янчук 4.89 MB
  АГРАРНЕ ПРАВО УКРАЇНИ. За редакцiєю в.З. Янчука. Книга Аграрне право України 2е видання перероблене та доповнене українського пiдручника для студентiв вищих юридичних i сiльськогосподарських навчальних закладiв України Рекомендована Мiнiстерством освiти У...
15912. Уголовный процесс Украины 1.03 MB
  МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ УКРАИНЫ УНИВЕРСИТЕТ ВНУТРЕННИХ ДЕЛ Ю.П.Янович УГОЛОВНЫЙ ПРОЦЕСС УКРАИНЫ Пособие по подготовка к государственному выпускному экзамену ХАРЬКОВ 1998 КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ВОПРОСОВ ВЫНОСИМЫХ НА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕ
15913. Реформа уголовно-исполнительной системы современной России 1.15 MB
  АКАДЕМИЯ УПРАВЛЕНИЯ МВД РОССИИ ЯЛУНИН ВЛАДИМИР УВЕНАЛИЕВИЧ РЕФОРМА УГОЛОВНОИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ РОССИИ: ПРОБЛЕМЫ ТЕНДЕНЦИИ ПЕРСПЕКТИВЫ Специальность: 12.00.11 Судебная власть; прокурорский надзор; организация правоохранительной деятельн
15914. Правовые аспекты субьективного вменения 272 KB
  Якушин В.А. Шаталова Л.И. Правовые аспекты субъективного вменения Ульяновск 1997 Я 49 Якушин В.А. Шагалова Л.И. Правовые аспекты субъективного вменения. Средневолжский научный центр 1997. 58 с. ISBN 5776900263 В монографии с учетом достижений в области теории г
15915. Ошибка в уголовном праве и ее влияние на пределы субъективного вменения 284 KB
  В.А.Якушин В.В.Назаров Ошибка в уголовном праве и ее влияние на пределы субъективного вменения теоретические аспекты Якушин В.А.Назаров В.В. Я 49 Ошибка в уголовном праве и ее влияние на пределы субъективного вменения теоретические аспекты. Ульяновск:
15916. Вина как основа субъективного вменения 305 KB
  Якушин В.А. Каштанов К.Ф Я 49 Вина как основа субъективного вменения. Средневолжский научный центр 1997. 65 с В монографии рассматриваются различные подходы ученых к пониманию вины анализируется ее содержание и формы показывается их значение для субъективного вменен
15917. Пределы субъективного вменения в уголовном праве 234 KB
  Якушин В.А. Габидуллин М.С. Пределы субъективного вменения в уголовном праве. Ульяновск 1997. От авторов Субъективная сторона преступления относится к числу сложных и важных проблем уголовного права. Некоторые аспекты ее на сегодняшний день исследованы лишь фрагме
15918. Субьективное вменение и его значение в уголовном праве 1.53 MB
  В. А. Якушин Субъективное вменение и его значение в уголовном праве Якушин В.А. Субъективное вменение и его значение в уголовном праве. Тольятти: ТолПИ 1998 стр 296. I8ВN5230164667 В монографии с учетом и на основе достижений в области философии и психологии теори...
15919. Обратная сила уголовного закона 1.08 MB
  АССОЦИАЦИЯ ЮРИДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР Теория и практика уголовного права и уголовного процесса А. Е. Якубов ОБРАТНАЯ СИЛА УГОЛОВНОГО ЗАКОНА НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УГОЛОВНОГО КОДЕКСА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СанктПетербург Юридический центр Пр...