10966

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Статистическая эмпирическая функция распределения Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот частостей. В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными з...

Русский

2013-04-03

115.14 KB

30 чел.

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот (частостей).

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми значениями и их частотами, или относительными частотами.

Пример 1. Задана выборка объемом с соответствующими частотами. Необходимо найти частости (относительные частоты).

2

6

12

3

10

7

3/20

10/20

7/20

Контроль:   .

Пусть, исследуется статистическое распределение, частот количественного признака (случайной величины) . Введем обозначение:

число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее ;

общее число наблюдений (объем выборки).

Очевидно, что относительная частота (частость) события равна .

Статистической функцией распределения случайной величины называется функция, определяющая для каждого значения относительную частоту события

   (3.1)

Сравним статистическую и интегральную функции распределения. Вспомним (теорема Бернулли), что относительная частота события , т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события.

Функция  обладает теми же свойствами, что и :

  1.  Значения .
  2.  Эмпирическая функция распределения неубывающая.
  3.  Если наименьшая варианта, то при .
  4.  Если наибольшая варианта, то при .

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данной выборке:

2

6

10

12

18

30

Решение: Найдем объем выборки . Теперь найдем статистическую функцию распределения:

2

6

10

>10

0

12 / 60

30 / 60

1

Представим в аналитическом и графическом виде:

Рис. 3.1. Статистическая функция распределения

Выборочные значения и оценка параметров.

Рассмотрим один из возможных методов (есть и другие) оценивания среднего значения и дисперсии случайной величины по независимым наблюдением:

       (3.2)

 (3.3)

Здесь и – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Индекс в формуле (см. 3.3) указывает на смещённость оценки дисперсии. Наряду с вышеприведенными характеристиками, при обработке результатов наблюдений обычно находят следующие оценки:

  1.   выборочная дисперсия (несмещённая)

 (3.4)

  1.  среднее квадратическое отклонение

       (3.5)

  1.  выборочный коэффициент асимметрии

     (3.6)

  1.  выборочный коэффициент эксцесса

   (3.7)

Для установления качества или "правильности" любой оценки используются свойства (требования) "хороших оценок".

Требования "хороших оценок"

  1.  Несмещённость.

Во-первых, желательно, чтобы математическое ожидание оценки равнялось оцениваемому параметру:

.       (3.8)

Здесь  оценка параметра . Если свойство (3.8) имеет место, то оценка называется несмещённой.

  1.  Эффективность.

Во-вторых, желательно, чтобы среднеквадратическая ошибка данной оценки была наименьшей среди всех возможных оценок, т.е.:

.    (3.9)

Где  исследуемая оценка, а  любая другая оценка. Если это свойство имеет место, то оценка  называется эффективной.

  1.  Состоятельность.

В-третьих, желательно, чтобы оценка сходилась к оцениваемому параметру с вероятностью, стремящейся к единице по мере увеличения размера выборки, т.е. для любого

.    (3.10)

Если выполнено условие (3.10), то оценка называется состоятельной. Из неравенства Чебышева следует, что достаточным для выполнения (3.10) является условие:

   (3.11)

В качестве примера "хорошей оценки" рассмотрим оценку среднего значения (3.2). Математическое ожидание выборочного среднего равно:

 (3.12)

Следовательно, согласно (3.8), оценка  несмещённая.

Среднеквадратическая ошибка выборочного среднего равна:

(3.13)

Поскольку наблюдения независимы, то математическое ожидание членов, содержащих смешанные произведения, равны нулю. Поэтому из (3.13) получим:

(3.14)

Т.о., согласно (3.11) оценка  состоятельная. Можно показать, что эта оценка эффективна.

Рассмотрим оценку дисперсии по формуле (3.3).

(3.15)

Однако

 (3.16)

Поскольку  и , то, подставив в (3.16), получим:

(3.17)

Следовательно, оценка  смещённая.

Хотя оценка (выборочная дисперсия) и является смещённой оценкой, эта оценка состоятельна и эффективна. Из (3.17) понятно, что для получения несмещённой оценки следует взять несколько видоизмененную выборочную дисперсию (3.4).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30867. Эндокринная функция эпифиза, тимуса, почек и сердца 29.5 KB
  Тимозин способствует повышению реактивности организма стимулирует эритро и лимфопоэз. Повышение увеличение растяжения подавляет секрецию ренина снижение уменьшение растяжения стимулирует. Повышение концетрации натрия стимулирует секрецию ренина понижение тормозит.Активация симпатических влияний н на ЮГК стимулирует секрецию ренина.
30868. Понятие о крови 29.5 KB
  Понятие о крови Кровь это жидкая ткань относится к соединительной ткани. Представление о крови как системе создал наш соотечественник Г. Система крови включает: а периферическую кровь б органы кроветворения в органы кроверазрушения г депо крови Функции крови: 1. Регуляторная заключается в транспорте гормонов и других биологически активных веществ 5 Поддержание гомеостаза 6 Обеспечение креаторных связей Объем крови 68 от массы тела 46 литров .
30869. Общая характеристика форменных элементов крови и их роль в организме. Гемопоэз, механизм и регуляция образования форменных элементов крови. Лейкоциты 60 KB
  С помощью лейкоцитов обеспечивается мощный тканевой и кровяной барьеры против микробной вирусной и паразитарной инфекции. Морфологической особенностью лейкоцитов отличающей их от других форменных элементов крови является наличие ядра различного по размерам и степени дифференцировки у разных видов. Агранулоциты: а лимфоциты б моноциты Время жизни большинства лейкоцитов невелико: от нескольких часов до нескольких суток. Тканевые за пределами сосудистого русла основное состояние лейкоцитов.
30870. Виды иммунитета 77 KB
  Клетки моноцитарномакрофагальной системы. За счет компонента С5 комплекс прикрепляется адгезия к мембране клеткимишени поверхности микробов клетками инфицированными вирусами. К ним принадлежат все гранулоциты: полиморфноядерные нейтрофилы эозинофилы базофилы тучные клетки таким термином обозначают клетки перешедшие в ткань. Клетки макрофагальномоноцитарной системы.
30871. Эритроциты 35 KB
  Функции эритроцитов: 1. Эритрон Эритрон часть системы крови обеспечивающая поддержание постоянства количества эритроцитов. В эритрон входят: а эритороидный ряд красного косного мозга б ретикулоциты и эритроциты в органы разрушения эритроцитов г продукты распада эритроцитов д Эритропоэтины вырабатываются почками печенью а также продукты распада эритроцитов Эритрокинетика Эритрокинетика это процессы направленные на образование и разрушение эритроцитов. Продолжительность жизни эритроцитов 120 дней.
30872. Понятие о системах групп крови 45.5 KB
  Понятие о системах групп крови В настоящее время установлено что каждая клетка человеческого организма в том числе и эритроцит содержит на своей поверхности набор специфических белков Антигенов закрепленных генетически которые и обеспечивают её видовую и индивидуальную специфичность. Кроме антигенов существует и второй класс белков антитела к антигенам которые циркулируют в плазме крови и при взаимодействии с определенным антигеном расположенным на мембране клетки способны вызывать реакцию агглютинации образуя т....
30873. Понятие о гемостазе 47 KB
  Понятие о гемостазе Система гемостаза совокупность процессов направленных с одной стороны на предупреждение и остановку кровотечения а с другой на сохранение жидкого состояния циркулирующей крови. Задача поддержание адекватного состояния жидкостных характеристик крови. Плазменный собственно свертывание крови или гемокоагуляция обеспечивает остановку кровотечения из более крупных сосудов. Тромбоцитарный гемостаз: Тромбоциты Как лекоциты выполняют в основном защитную функцию так тромбоциты прежде всего участвуют в свертывании...
30874. Процесс свертывания крови 84.5 KB
  Процесс свертывания крови Гемокоагуляция собственно свертывание крови Основные положения теории свертывания крови А. Процесс свертывания крови стадийный. В современной теории свертывания крови различают 3 фазы свертывания: 1 фаза образование протромбиназного комплекса; 2 фаза образование тромбина; 3 фаза образование фибрина. Международный комитет по номенклатуре факторов свертывания крови обозначил плазменные факторы римскими цифрами в порядке хронологического открытия всего их по количеству тринадцать IXIII IIа ...
30875. Противосвертывающие факторы 26 KB
  Противосвертывающие факторы Противосвертывающая система обеспечивает поддержание крови в жидком состоянии. Механизмы обеспечивающие жидкое состояние крови: 1. В норме сосудистая стенка препятствует свертыванию крови: т. имеет одноименный электрический заряд с форменными элементами крови; адсорбирует активные факторы свертывания особенно тромбин; 2.