10966

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Статистическая эмпирическая функция распределения Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот частостей. В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными з...

Русский

2013-04-03

115.14 KB

30 чел.

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот (частостей).

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми значениями и их частотами, или относительными частотами.

Пример 1. Задана выборка объемом с соответствующими частотами. Необходимо найти частости (относительные частоты).

2

6

12

3

10

7

3/20

10/20

7/20

Контроль:   .

Пусть, исследуется статистическое распределение, частот количественного признака (случайной величины) . Введем обозначение:

число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее ;

общее число наблюдений (объем выборки).

Очевидно, что относительная частота (частость) события равна .

Статистической функцией распределения случайной величины называется функция, определяющая для каждого значения относительную частоту события

   (3.1)

Сравним статистическую и интегральную функции распределения. Вспомним (теорема Бернулли), что относительная частота события , т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события.

Функция  обладает теми же свойствами, что и :

  1.  Значения .
  2.  Эмпирическая функция распределения неубывающая.
  3.  Если наименьшая варианта, то при .
  4.  Если наибольшая варианта, то при .

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данной выборке:

2

6

10

12

18

30

Решение: Найдем объем выборки . Теперь найдем статистическую функцию распределения:

2

6

10

>10

0

12 / 60

30 / 60

1

Представим в аналитическом и графическом виде:

Рис. 3.1. Статистическая функция распределения

Выборочные значения и оценка параметров.

Рассмотрим один из возможных методов (есть и другие) оценивания среднего значения и дисперсии случайной величины по независимым наблюдением:

       (3.2)

 (3.3)

Здесь и – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Индекс в формуле (см. 3.3) указывает на смещённость оценки дисперсии. Наряду с вышеприведенными характеристиками, при обработке результатов наблюдений обычно находят следующие оценки:

  1.   выборочная дисперсия (несмещённая)

 (3.4)

  1.  среднее квадратическое отклонение

       (3.5)

  1.  выборочный коэффициент асимметрии

     (3.6)

  1.  выборочный коэффициент эксцесса

   (3.7)

Для установления качества или "правильности" любой оценки используются свойства (требования) "хороших оценок".

Требования "хороших оценок"

  1.  Несмещённость.

Во-первых, желательно, чтобы математическое ожидание оценки равнялось оцениваемому параметру:

.       (3.8)

Здесь  оценка параметра . Если свойство (3.8) имеет место, то оценка называется несмещённой.

  1.  Эффективность.

Во-вторых, желательно, чтобы среднеквадратическая ошибка данной оценки была наименьшей среди всех возможных оценок, т.е.:

.    (3.9)

Где  исследуемая оценка, а  любая другая оценка. Если это свойство имеет место, то оценка  называется эффективной.

  1.  Состоятельность.

В-третьих, желательно, чтобы оценка сходилась к оцениваемому параметру с вероятностью, стремящейся к единице по мере увеличения размера выборки, т.е. для любого

.    (3.10)

Если выполнено условие (3.10), то оценка называется состоятельной. Из неравенства Чебышева следует, что достаточным для выполнения (3.10) является условие:

   (3.11)

В качестве примера "хорошей оценки" рассмотрим оценку среднего значения (3.2). Математическое ожидание выборочного среднего равно:

 (3.12)

Следовательно, согласно (3.8), оценка  несмещённая.

Среднеквадратическая ошибка выборочного среднего равна:

(3.13)

Поскольку наблюдения независимы, то математическое ожидание членов, содержащих смешанные произведения, равны нулю. Поэтому из (3.13) получим:

(3.14)

Т.о., согласно (3.11) оценка  состоятельная. Можно показать, что эта оценка эффективна.

Рассмотрим оценку дисперсии по формуле (3.3).

(3.15)

Однако

 (3.16)

Поскольку  и , то, подставив в (3.16), получим:

(3.17)

Следовательно, оценка  смещённая.

Хотя оценка (выборочная дисперсия) и является смещённой оценкой, эта оценка состоятельна и эффективна. Из (3.17) понятно, что для получения несмещённой оценки следует взять несколько видоизмененную выборочную дисперсию (3.4).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1119. Проблема температурной стабилизации транзисторов 348 KB
  Энергетическая диаграмма n полупроводника. Температурный дрейф выходной характеристики. Эмиттерная стабилизация режима. Коллекторная стабилизация режима. Характеристика терморезистора и его графическое обозначение. Термостабилизация режима терморезистором. Динамический режим работы транзисторов.
1120. Принципы использование тиристоров 108 KB
  Принцип действия тиристора. Полупроводниковые источники света. Светоизлучающие диоды. Механические колебания диодов кристаллической решетки. Характеристики СИД. Полупроводниковый лазер. Система зеркал – оптический резистор.
1121. Понятие микросхем. Основные сведение микроэлектроники 244.5 KB
  Микросхема в корпусе ДИП. Полупроводниковые интегральные микросхемы. Структура интегрального биполярного транзистора. Интегральные полевые транзисторы. Интегральные конденсаторы.
1122. Архитектура вычислительных систем 2.32 MB
  Ознакомление с принципом действия, машинными циклами и тактами микропроцессора КР580: изучение правил записи машинных программ(в машинных кодах и мнемокодах), исследование выполнения команд пересылки байта.
1123. Стальной каркас одноэтажного производственного здания 756 KB
  Расстояние от головки кранового рельса до низа несущих конструкций покрытия. Горизонтальные размеры поперечной рамы. Постоянная нагрузка от веса продольной стены и остекления. Постоянные нагрузки от подкрановой конструкции. Величина продольного усилия от постоянной нагрузки в отдельных сечениях колонны. Расчет на вертикальную нагрузку от мостовых кранов.
1124. Залізничний вагонний рухомий склад 311.5 KB
  Основні види та технічні параметри залізничного вагонного рухомого складу. Технічна характеристика платформи моделі 13-2114. Перевезення важковагових, довгомірних, громіздких вантажів.
1125. Основы лабораторных исследований по информатике 1.04 MB
  Составление, ввод, трансляция и выполнение программ линейной и разветвляющейся структуры. Составление, ввод, отладка и выполнение программ, использующих одномерные массивы. Программирование алгоритмов сортировки и поиска.
1126. Корреляционный и регрессионный анализ 955 KB
  Корреляционный анализ. Множественный коэффициент корреляции. Классификатор на основе ядерных оценок. Регрессионный анализ. Коэффициент ошибок (на обучающей выборке). Применение QDA.
1127. Термическая обработка углеродистой стали на мелкое зерно 110.5 KB
  Изучить влияние отжига и нормализации на величину зерна в стали. Освоить методику определения величины аустенитного зерна по ГОСТ 5639-82. Роль термической обработки в процессах формирования зерна в сталях.