10966

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Статистическая эмпирическая функция распределения Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот частостей. В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными з...

Русский

2013-04-03

115.14 KB

30 чел.

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот (частостей).

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми значениями и их частотами, или относительными частотами.

Пример 1. Задана выборка объемом с соответствующими частотами. Необходимо найти частости (относительные частоты).

2

6

12

3

10

7

3/20

10/20

7/20

Контроль:   .

Пусть, исследуется статистическое распределение, частот количественного признака (случайной величины) . Введем обозначение:

число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее ;

общее число наблюдений (объем выборки).

Очевидно, что относительная частота (частость) события равна .

Статистической функцией распределения случайной величины называется функция, определяющая для каждого значения относительную частоту события

   (3.1)

Сравним статистическую и интегральную функции распределения. Вспомним (теорема Бернулли), что относительная частота события , т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события.

Функция  обладает теми же свойствами, что и :

  1.  Значения .
  2.  Эмпирическая функция распределения неубывающая.
  3.  Если наименьшая варианта, то при .
  4.  Если наибольшая варианта, то при .

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данной выборке:

2

6

10

12

18

30

Решение: Найдем объем выборки . Теперь найдем статистическую функцию распределения:

2

6

10

>10

0

12 / 60

30 / 60

1

Представим в аналитическом и графическом виде:

Рис. 3.1. Статистическая функция распределения

Выборочные значения и оценка параметров.

Рассмотрим один из возможных методов (есть и другие) оценивания среднего значения и дисперсии случайной величины по независимым наблюдением:

       (3.2)

 (3.3)

Здесь и – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Индекс в формуле (см. 3.3) указывает на смещённость оценки дисперсии. Наряду с вышеприведенными характеристиками, при обработке результатов наблюдений обычно находят следующие оценки:

  1.   выборочная дисперсия (несмещённая)

 (3.4)

  1.  среднее квадратическое отклонение

       (3.5)

  1.  выборочный коэффициент асимметрии

     (3.6)

  1.  выборочный коэффициент эксцесса

   (3.7)

Для установления качества или "правильности" любой оценки используются свойства (требования) "хороших оценок".

Требования "хороших оценок"

  1.  Несмещённость.

Во-первых, желательно, чтобы математическое ожидание оценки равнялось оцениваемому параметру:

.       (3.8)

Здесь  оценка параметра . Если свойство (3.8) имеет место, то оценка называется несмещённой.

  1.  Эффективность.

Во-вторых, желательно, чтобы среднеквадратическая ошибка данной оценки была наименьшей среди всех возможных оценок, т.е.:

.    (3.9)

Где  исследуемая оценка, а  любая другая оценка. Если это свойство имеет место, то оценка  называется эффективной.

  1.  Состоятельность.

В-третьих, желательно, чтобы оценка сходилась к оцениваемому параметру с вероятностью, стремящейся к единице по мере увеличения размера выборки, т.е. для любого

.    (3.10)

Если выполнено условие (3.10), то оценка называется состоятельной. Из неравенства Чебышева следует, что достаточным для выполнения (3.10) является условие:

   (3.11)

В качестве примера "хорошей оценки" рассмотрим оценку среднего значения (3.2). Математическое ожидание выборочного среднего равно:

 (3.12)

Следовательно, согласно (3.8), оценка  несмещённая.

Среднеквадратическая ошибка выборочного среднего равна:

(3.13)

Поскольку наблюдения независимы, то математическое ожидание членов, содержащих смешанные произведения, равны нулю. Поэтому из (3.13) получим:

(3.14)

Т.о., согласно (3.11) оценка  состоятельная. Можно показать, что эта оценка эффективна.

Рассмотрим оценку дисперсии по формуле (3.3).

(3.15)

Однако

 (3.16)

Поскольку  и , то, подставив в (3.16), получим:

(3.17)

Следовательно, оценка  смещённая.

Хотя оценка (выборочная дисперсия) и является смещённой оценкой, эта оценка состоятельна и эффективна. Из (3.17) понятно, что для получения несмещённой оценки следует взять несколько видоизмененную выборочную дисперсию (3.4).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44428. Разнообразные формы с часами 1.33 MB
  Улучшенная совместимость с Delphi. Редакция ориентирована на разработчиков ПО создающих приложения на Windows с использованием двух языков программирования C и Delphi. После этого разработчики из Microsoft существенно изменили направление развития данной технологии Третий язык программирования Delphi. Реализация среды разработки проектом Lzrus Free Pscl компиляция в режиме совместимости с Delphi позволяет использовать его для создания приложений на Delphi для таких платформ как Linux Mc OS X и Windows CE.
44429. Перепланировка четырехкомнатной квартиры с элементами дизайна в стилистике постмодернизма (скандинавский стиль) 1.23 MB
  Иллюстрации. В данном проекте на входе в квартиру установлено две двери: металлическая Модель 17BZ ФОРПОСТ и межкомнатная модель “Комфорт†Санкт-Петербург фабрика “Престиж†илл. Справа от входной двери располагается тумба илл. Рядом с ним находится обувница 5 полок рассчитана на 2630 пар обуви Илл.
44430. Применение методов коммутации на примере глобальных сетей 1.28 MB
  Любые сети поддерживают некоторый способ коммутации своих абонентов между собой. Этими абонентами могут быть удаленные компьютеры, локальны сети, факс-аппараты или просто собеседники, общающиеся между собой с помощью телефонного аппарата.
44431. Дизайн-разработка рекламно-сувенирного буклета 8.08 MB
  Дизайн-разработка рекламно-сувенирного буклета кафедры Художественной и пластической обработки материалов Пояснительная записка к выпускной квалификационной работе по специальности Определение термина буклет история развития буклета. Задачи и функции рекламно-сувенирного буклета. Основные этапы и элементы дизайна буклета .
44433. Разработка приспособления для сборки-сварки кронштейн симметричный 1.38 MB
  Обоснование маршрутной последовательности выполнения сборочно-сварочных операций Проектирование приспособления для сборки-сварки кронштейна переходного Выбор и обоснование конструктивных элементов приспособления установочных зажимных элементов вспомогательных устройств рамы и т. Разработка компоновочной схемы и сборочного чертежа приспособления...
44434. Проектирование микропроцессора (МП) управления внешним объектом на базе микропроцессора производства фирмы Atmel семейства AVR 862.5 KB
  В соответствии с заданием на наше устройство поступают как дискретные так и аналоговые сигналы. Дискретные сигналы не требуют обработки поэтому мы можем сразу подавать их на ЦПУ используя только схему которая будет защищать порты ввода вывода от больших токов. На порты микроконтроллера могут поступать токи до 20 mA
44435. Проект завода по производству пива производительностью 500 тыс. гл в год 2.96 MB
  Приведены выбор и обоснование способов производства пива и процессуальные схемы их получения. Для производства светлого и тёмного пива предусмотрено кипячение сусла с хмелем, брожение, дображивание. Для достижения стабильности пива предложены обработки: фильтрация, осветление, обработка холодом. Применён изобарический розлив