10966

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Лекция

Математика и математический анализ

Статистическая эмпирическая функция распределения Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот частостей. В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными з...

Русский

2013-04-03

115.14 KB

30 чел.

Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот (частостей).

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми значениями и их частотами, или относительными частотами.

Пример 1. Задана выборка объемом с соответствующими частотами. Необходимо найти частости (относительные частоты).

2

6

12

3

10

7

3/20

10/20

7/20

Контроль:   .

Пусть, исследуется статистическое распределение, частот количественного признака (случайной величины) . Введем обозначение:

число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее ;

общее число наблюдений (объем выборки).

Очевидно, что относительная частота (частость) события равна .

Статистической функцией распределения случайной величины называется функция, определяющая для каждого значения относительную частоту события

   (3.1)

Сравним статистическую и интегральную функции распределения. Вспомним (теорема Бернулли), что относительная частота события , т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события.

Функция  обладает теми же свойствами, что и :

  1.  Значения .
  2.  Эмпирическая функция распределения неубывающая.
  3.  Если наименьшая варианта, то при .
  4.  Если наибольшая варианта, то при .

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данной выборке:

2

6

10

12

18

30

Решение: Найдем объем выборки . Теперь найдем статистическую функцию распределения:

2

6

10

>10

0

12 / 60

30 / 60

1

Представим в аналитическом и графическом виде:

Рис. 3.1. Статистическая функция распределения

Выборочные значения и оценка параметров.

Рассмотрим один из возможных методов (есть и другие) оценивания среднего значения и дисперсии случайной величины по независимым наблюдением:

       (3.2)

 (3.3)

Здесь и – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Индекс в формуле (см. 3.3) указывает на смещённость оценки дисперсии. Наряду с вышеприведенными характеристиками, при обработке результатов наблюдений обычно находят следующие оценки:

  1.   выборочная дисперсия (несмещённая)

 (3.4)

  1.  среднее квадратическое отклонение

       (3.5)

  1.  выборочный коэффициент асимметрии

     (3.6)

  1.  выборочный коэффициент эксцесса

   (3.7)

Для установления качества или "правильности" любой оценки используются свойства (требования) "хороших оценок".

Требования "хороших оценок"

  1.  Несмещённость.

Во-первых, желательно, чтобы математическое ожидание оценки равнялось оцениваемому параметру:

.       (3.8)

Здесь  оценка параметра . Если свойство (3.8) имеет место, то оценка называется несмещённой.

  1.  Эффективность.

Во-вторых, желательно, чтобы среднеквадратическая ошибка данной оценки была наименьшей среди всех возможных оценок, т.е.:

.    (3.9)

Где  исследуемая оценка, а  любая другая оценка. Если это свойство имеет место, то оценка  называется эффективной.

  1.  Состоятельность.

В-третьих, желательно, чтобы оценка сходилась к оцениваемому параметру с вероятностью, стремящейся к единице по мере увеличения размера выборки, т.е. для любого

.    (3.10)

Если выполнено условие (3.10), то оценка называется состоятельной. Из неравенства Чебышева следует, что достаточным для выполнения (3.10) является условие:

   (3.11)

В качестве примера "хорошей оценки" рассмотрим оценку среднего значения (3.2). Математическое ожидание выборочного среднего равно:

 (3.12)

Следовательно, согласно (3.8), оценка  несмещённая.

Среднеквадратическая ошибка выборочного среднего равна:

(3.13)

Поскольку наблюдения независимы, то математическое ожидание членов, содержащих смешанные произведения, равны нулю. Поэтому из (3.13) получим:

(3.14)

Т.о., согласно (3.11) оценка  состоятельная. Можно показать, что эта оценка эффективна.

Рассмотрим оценку дисперсии по формуле (3.3).

(3.15)

Однако

 (3.16)

Поскольку  и , то, подставив в (3.16), получим:

(3.17)

Следовательно, оценка  смещённая.

Хотя оценка (выборочная дисперсия) и является смещённой оценкой, эта оценка состоятельна и эффективна. Из (3.17) понятно, что для получения несмещённой оценки следует взять несколько видоизмененную выборочную дисперсию (3.4).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85005. Наводнения. Виды наводнений и их причины. Защита населения от последствий наводнений 37.2 KB
  Наводнения. Опасность которую представляют наводнения для жизнедеятельности человека. Общие профилактические мероприятия по защите населения от наводнения. Правила поведения во время наводнения.
85006. Лесные и торфяные пожары и их характеристика 33.21 KB
  Лесные и торфяные пожары и их характеристика Цель урока. Познакомить обучаемых с опасным природным явлением биологического происхождения лесными пожарами показать основные причины возникновения лесных пожаров особо подчеркнуть что в 80 случаев лесные пожары возникают по вине человека. Изучаемые вопросы Характеристика лесных пожаров и основных причин их возникновения. Классификация лесных пожаров.
85007. Профилактика лесных и торфяных пожаров, защита населения 33.49 KB
  Профилактика лесных и торфяных пожаров защита населения Цель урока. Сформировать у учащихся убеждение в том что лучшей профилактикой возникновения лесных пожаров является соблюдение каждым человеком правил пожарной безопасности в лесу. Изучаемые вопросы Профилактические мероприятия по предотвращению возникновения лесных пожаров. Основной причиной лесных пожаров является безответственное поведение людей которые не проявляют в лесу должной осторожности при пользовании огнем и нарушают правила пожарной безопасности.
85008. Эпидемия 31.55 KB
  Сформировать у учащихся цельное представление об инфекционных заболеваниях и путях распространения инфекции. Изучаемые вопросы Инфекционные болезни и пути распространения инфекции. Дать определение понятию инфекционные болезни привести классификацию инфекционных заболеваний в зависимости от способа передачи инфекции и по источнику возбудителя инфекции. Рассмотреть причины возникновения инфекционных болезней и пути распространения инфекции.
85009. Эпизоотии и эпифитотии, противоэпизоотические и противоэпифитотические мероприятия 31.43 KB
  Дать краткую информацию об инфекционных заболеваниях растений рассмотреть явления эпифитотии панфитотии. Наиболее опасными болезнями растений являются стеблевая ржавчина пшеницы ржи желтая ржавчина пшеницы фитофтороз картофеля. Для защиты растений от инфекционных болезней важно соблюдение правил агротехники на всех этапах сельскохозяйственных работ связанных с растениеводством. Проводят также следующие мероприятия: выведение устойчивых к болезням сортов сельскохозяйственных растений; уничтожение очагов инфекции; химическую обработку...
85010. Общие понятия о здоровье как основной ценности человека 31.7 KB
  Общие понятия о здоровье как основной ценности человека Цель урока. Сформировать у учащихся цельное представление о здоровье человека как об индивидуальной и общественной ценности обратив их внимание на основные показатели которые характеризуют уровень здоровья. Привести их к пониманию что здоровье человека неотделимо от его жизнедеятельности. Изучаемые вопросы Здоровье человека и основные показатели характеризующие его уровень.
85011. Индивидуальное здоровье человека, его физическая, духовная и социальная сущность 32.16 KB
  Индивидуальное здоровье человека его физическая духовная и социальная сущность Цель урока. Сформировать у них цельное представление об основных элементах образа жизни человека оказывающих влияние на формирование его духовного физического и социального благополучия а также убеждение в том что каждый человек несет ответственность за свое здоровье и благополучие. Изучаемые вопросы Основные составляющие индивидуального здоровья человека. Некоторые элементы образа жизни человека обеспечивающие его духовное физическое и социальное...
85012. Здоровый образ жизни как необходимое условие сохранения и укрепления здоровья 33.02 KB
  Здоровый образ жизни как необходимое условие сохранения и укрепления здоровья Цель урока. Сформировать у учащихся целостное представление о том что здоровый образ жизни это индивидуальная система поведения человека обеспечивающая ему физическое духовное и социальное благополучие что для ее формирования необходимо устойчивое желание и стремление быть здоровым нужны постоянные собственные усилия и немалые. Изучаемые вопросы Здоровый образ жизни индивидуальная система поведения человека способствующая укреплению и сохранению здоровья....
85013. Здоровый образ жизни и профилактика основных неинфекционных заболеваний 32.71 KB
  Здоровый образ жизни и профилактика основных неинфекционных заболеваний Цель урока. Основные причины возникновения неинфекционных заболеваний. Общие меры профилактики неинфекционных заболеваний. При анализе причин смертности населения России прослеживается отчетливая тенденция к увеличению смертности от неинфекционных заболеваний которые составляют 80 случаев в том числе болезни системы кровообращения более 53 а злокачественные образования около 18.