10967

Интервалное оценивание

Лекция

Математика и математический анализ

Интервалное оценивание Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к о...

Русский

2013-04-03

150.45 KB

5 чел.

Интервалное оценивание

Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более предпочтительная процедура – построения интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Такой подход называется "интервальным оцениванием". Сразу отметим следующее: чем больше уверенность в том, что оцениваемый параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать интервал, накрывающий параметр с вероятностью равной единице, бессмысленно. Это вся область т.е. .

Пусть для параметра получена несмещённая оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например: ), такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого выполняется соотношение

(4.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающий при замене на , будет равен . Ошибки большие по абсолютной величине будут появляться с малой вероятностью . Запишем (4.1) в другом виде:

(4.2)

Т.е. с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

(4.3)

Ранее (в теории вероятностей) мы рассматривали вероятность попадания случайной величины  на некоторый интервал. У нас же не случайная величина, а интервал – случаен, т.е. здесь корректно говорить о вероятности накрыть точку .

Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а интервал  доверительным интервалом.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ и параметра , имеющего несмещенную оценку . Если бы нам был известен закон распределения величины , то из выражения (4.1) нахождение при заданной не представляло бы затруднений. Однако, как правило, мы не знаем закон распределения случайной величины .

Пусть теперь распределение случайной величины   отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему,  получаем следующий результат.

С увеличением объема выборки выборочное распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины.

Практически во многих случаях выборочное можно считать нормальным уже при , а при приближение будет очень хорошим.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале математического ожидания: Пусть произведено независимых опытов над случайной величины с неизвестными . Для этих параметров выберем оценки:

(4.4)

Необходимо построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности :

(4 .5)

Интервальная оценка математического ожидания
при известной дисперсии

Пусть СВ имеет гауссово распределение с параметрами
, причём неизвестно, а значение известно. Тогда эффективной оценкой параметра будет .

При этом имеет нормальное распределение .

Статистика (оценка) СВ имеет распределение , независимо от параметра и как функция непрерывна и монотонна. Вспомним, что . Тогда, с учетом (4.2) запишем:

.

(4.6)

Здесь и   квантили стандартного нормального распределения , обладающие свойством: . Поставив  в явном виде в (4.6) получим:

(4.7)

Запишем это неравенство относительно :

(4.8)

Квантили стандартного нормального распределения определяются по таблицам, тогда окончательно получим:

(4.9)

Искомый доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с известной дисперсией равен:

(4.10)

На рис.4.1. представлена плотность распределения стандартного нормального распределения с отмеченными квантилями.

Рис. 4.1. Гауссово (нормальное) распределение
(
)

Интервальная оценка математического ожидания
при неизвестной дисперсии

На практике почти всегда генеральная дисперсия , (как и оцениваемое математическое ожидание ) неизвестна. Итак, имеется нормально распределенная СВ , с неизвестными параметрами и . По случайной выборке найдем несмещённые, эффективные оценки: . Построение интервальной оценки основано на статистике:

(4.11)

Вспомним, что , и подставим в (4.11):

(4.12)

Числитель выражения (4.12), как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение . Показано, что величина имеет распределение с степенями свободы. А статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Распределение Стьюдента не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины , а зависит лишь от числа , называемого числом степеней свободы.

Следует отметить, что распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и при сколь угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений (вариантов) случайной величины минус число уравнений , связывающих эти наблюдения, т.е. .

Так, например, для распределения  статистики число степеней свободы , т.к. одна степень свободы "теряется" при определении выборочного среднего ( наблюдений связаны одним уравнением).

Таким образом, по аналогии с (4.6) запишем:

.

(4.13)

(4.14)

(4.15)

На рис.4.2. представлена плотность распределения Стьюдента с пятнадцатью степенями свободы.

Доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с неизвестной дисперсией равен:

(4.16)

Рис. 4.2. Распределение Стьюдента ()

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27360. Психологические основы проблемного обучения 21.31 KB
  История проблемного обучения начинается с введения так называемого исследовательского метода многие правила которого были разработаны Джоном Дьюи. В XX столетии идеи проблемного обучения получили интенсивное развитие и распространение в образовательной практике. В зарубежной педагогике концепция проблемного обучения развивалась под влиянием идей Дж.
27361. Исследовательское обучение в начальной школе 24.68 KB
  Главная особенность исследовательского обучения активизировать учебную работу детей придав ей исследовательский творческий характер и таким образом передать учащимся инициативу в организации своей познавательной деятельности. Если задачи исследовательского обучения свести к поощрению учащегося проявлять природную любознательность задавать вопросы и стараться самостоятельно находить на них ответы то оказывается что мы отстаиваем лишь то о чем давно говорили и что даже осуществляли на практике многие талантливые педагоги прошлого....
27362. Эмоции и чувства 21.82 KB
  С поступлением в школу максимум эмоциональных реакций приходится не столько на игру и общение сколько на процесс и результат учебной деятельности удовлетворение потребностей в оценке и добром отношении окружающих.Воля обнаруживает себя в умении совершать действия или сдерживать их преодолевая внешние или внутренние препятствия в формировании дополнительных мотивовстимулов к слабомотивированной деятельности.Волевое действие школьника развивается в том случае если: цели которых он должен достигнуть в деятельности им поняты и осознаны;...
27363. Личность в психологии. Характер человека 25.5 KB
  Индивидуальность проявляется в чертах темперамента характера привычках преобладающих интересах в качествах познавательных процессов восприятия памяти мышления воображения в способностях индивидуальном стиле деятельности и т. Характер это совокупность устойчивых индивидуальных особенностей личности складывающаяся и проявляющаяся в деятельности и общении обусловливая типичные для индивида способы поведения. Экстровертный тип эмоциональная взвинченность жажда общения и деятельности зачастую безотносительно к ее необходимости и...
27364. Самосознание в психической деятельности человека 25.89 KB
  Самосознание в психической деятельности человека выступает как сложный процесс опосредованного познания себя развернутый во времени связанный с движением от единичных ситуативных образов через интеграцию подобных ситуативных образов в целостное образование понятие собственного Я. Во всех видах деятельности и поведения эти отношения следуют за отношением к ситуации предмету и средствам деятельности к другим людям. Они наиболее тесно связаны с целями жизни и деятельности ценностными ориентациями установками; выполняя функцию...
27365. Восприятие 19.51 KB
  В отличие от ощущений отражающих лишь отдельные свойства предметов в образе восприятия в качестве единицы взаимодействия представлен весь предмет в совокупности его инвариантных свойств. Образ восприятия выступает как результат синтеза ощущений возможность которого по мнению А. При этом особенно важную роль во всех видах восприятия играют двигательные или кинестезические ощущения которые регулируют по принципу обратной связи реальные взаимоотношения субъекта с предметом. Также в процессе слухового восприятия активную роль играют...
27366. Формирование читательских интересов и читательской самостоятельности младших школьников в процессе обучения чтению 147 KB
  Ведущей с точки зрения организации содержания является идея единства мира природы и мира культуры. С этой принципиальной позиции окружающий мир рассматривается как природнокультурное целое а человек как часть природы как создатель культуры и как её продукт т. Ведь именно ценностноконсолидирующее пространство культуры обеспечивает согласие между людьми в обществе и помогает им определить своё место в мире природы как в жизненно важной сфере человеческого бытия. Сферы природной и социальной жизни предстают в их единстве и тесной взаимной...
27367. Формирование основ художественной культуры в образовательном процессе начальной школы (на примере уроков изобразительного искусства, музыки) 43.5 KB
  Ценности = произведения искусства. Выделяются отдел обл худ кры по разным видам искусства: муз кра чела опредся его причастностью к муз ценностям и потртью в общении с ними Проблема: не все могут оценить красоту шедевров музыки т. Предметная область Искусство играет большую роль в становлении личности ученика так как способствует его личностному развитию обеспечивая осознание значения искусства и творчества в личной и культурной самоидентификации личности развитие эстетического вкуса художественного мышления обучающихся.
27368. Значение уроков изобразительного искусства, музыки в системе начального общего образования 39 KB
  Исполнительская в интерпретации муз произведений = осознанный интуитивный выбор средств. Виды: апение сольное хоровое пр допой досочини муз диалоги пропой свое имя. Б музритмич Д выразит движения театр.