10967

Интервалное оценивание

Лекция

Математика и математический анализ

Интервалное оценивание Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к о...

Русский

2013-04-03

150.45 KB

5 чел.

Интервалное оценивание

Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более предпочтительная процедура – построения интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Такой подход называется "интервальным оцениванием". Сразу отметим следующее: чем больше уверенность в том, что оцениваемый параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать интервал, накрывающий параметр с вероятностью равной единице, бессмысленно. Это вся область т.е. .

Пусть для параметра получена несмещённая оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например: ), такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого выполняется соотношение

(4.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающий при замене на , будет равен . Ошибки большие по абсолютной величине будут появляться с малой вероятностью . Запишем (4.1) в другом виде:

(4.2)

Т.е. с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

(4.3)

Ранее (в теории вероятностей) мы рассматривали вероятность попадания случайной величины  на некоторый интервал. У нас же не случайная величина, а интервал – случаен, т.е. здесь корректно говорить о вероятности накрыть точку .

Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а интервал  доверительным интервалом.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ и параметра , имеющего несмещенную оценку . Если бы нам был известен закон распределения величины , то из выражения (4.1) нахождение при заданной не представляло бы затруднений. Однако, как правило, мы не знаем закон распределения случайной величины .

Пусть теперь распределение случайной величины   отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему,  получаем следующий результат.

С увеличением объема выборки выборочное распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины.

Практически во многих случаях выборочное можно считать нормальным уже при , а при приближение будет очень хорошим.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале математического ожидания: Пусть произведено независимых опытов над случайной величины с неизвестными . Для этих параметров выберем оценки:

(4.4)

Необходимо построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности :

(4 .5)

Интервальная оценка математического ожидания
при известной дисперсии

Пусть СВ имеет гауссово распределение с параметрами
, причём неизвестно, а значение известно. Тогда эффективной оценкой параметра будет .

При этом имеет нормальное распределение .

Статистика (оценка) СВ имеет распределение , независимо от параметра и как функция непрерывна и монотонна. Вспомним, что . Тогда, с учетом (4.2) запишем:

.

(4.6)

Здесь и   квантили стандартного нормального распределения , обладающие свойством: . Поставив  в явном виде в (4.6) получим:

(4.7)

Запишем это неравенство относительно :

(4.8)

Квантили стандартного нормального распределения определяются по таблицам, тогда окончательно получим:

(4.9)

Искомый доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с известной дисперсией равен:

(4.10)

На рис.4.1. представлена плотность распределения стандартного нормального распределения с отмеченными квантилями.

Рис. 4.1. Гауссово (нормальное) распределение
(
)

Интервальная оценка математического ожидания
при неизвестной дисперсии

На практике почти всегда генеральная дисперсия , (как и оцениваемое математическое ожидание ) неизвестна. Итак, имеется нормально распределенная СВ , с неизвестными параметрами и . По случайной выборке найдем несмещённые, эффективные оценки: . Построение интервальной оценки основано на статистике:

(4.11)

Вспомним, что , и подставим в (4.11):

(4.12)

Числитель выражения (4.12), как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение . Показано, что величина имеет распределение с степенями свободы. А статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Распределение Стьюдента не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины , а зависит лишь от числа , называемого числом степеней свободы.

Следует отметить, что распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и при сколь угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений (вариантов) случайной величины минус число уравнений , связывающих эти наблюдения, т.е. .

Так, например, для распределения  статистики число степеней свободы , т.к. одна степень свободы "теряется" при определении выборочного среднего ( наблюдений связаны одним уравнением).

Таким образом, по аналогии с (4.6) запишем:

.

(4.13)

(4.14)

(4.15)

На рис.4.2. представлена плотность распределения Стьюдента с пятнадцатью степенями свободы.

Доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с неизвестной дисперсией равен:

(4.16)

Рис. 4.2. Распределение Стьюдента ()

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32060. Формирование инфраструктуры региональной инновационной системы, обеспечивающую коммерциализацию результатов интеллектуальной собственности в Вологодской области 3.62 MB
  Схема инфраструктуры региональной инновационной системы Вологодской области, модель взаимодействия инвестиционной компании с субъектами инфраструктуры РИС Вологодской области, схема стерильной колонки с сорбентом для очистки крови, план эвакуации БУ ВО «Бизнес-инкубатор»
32061. АНАЛИЗ ФИНАНСОВОГО СОСТОЯНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ» НА ПРИМЕРЕ ОАО «НГПЭ» 1.72 MB
  Анализ финансовой отчетности — это процесс, при помощи которого оценивается прошлое и текущее финансовое положение и результаты деятельности организации. Однако при этом главной целью является оценка финансово-хозяйственной деятельности организации относительно будущих условий существования.
32062. Анализ финансовых результатов деятельности предприятия и пути их увеличения (на базе материалов ЗАО «ИЖИЦА») 927 KB
  Цель данной дипломной работы заключается в исследовании финансовых результатов деятельности предприятия и разработки мероприятий по их повышению. Объектом исследования является ЗАО «ИЖИЦА». Предметом исследования является сама методика анализа финансовых результатов и практика применения их в управленческой деятельности. Анализируемый период охватывает три года работы предприятия, т.е. 2007, 2008 и 2009 гг.
32063. Совершенствование процедур банковского аудита в современных условиях 503 KB
  Основы и этапы возникновения специального банковского аудита [2. Основные этапы формирования и развития банковского аудита [2. Институциональные основы аудита банков в Российской Федерации [3] Глава 2. Совершенствование процедур банковского аудита в современных условиях [4.
32064. Анализ ликвидности и платёжеспособности ОАО «Промтехмонтаж» 565 KB
  Техникоэкономическая характеристика деятельности предприятия 2.2 Обеспеченность предприятия ОАО Промтехмонтаж трудовыми и материальными ресурсами 31 2.3 Основные финансовые и экономические показатели деятельности предприятия 36 Глава 3. Финансовое состояние проявляется в платежеспособности предприятия в способности вовремя удовлетворять платежные требования поставщиков в соответствии с хозяйственными договорами возвращать кредиты выплачивать заработную плату вносить платежи в бюджет.
32065. Разработка предложений по оптимизации структуры активов исследуемой организации 2.32 MB
  Целью данной выпускной квалификационной дипломной работы является разработка предложений по оптимизации структуры активов исследуемой организации. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующий ряд задач: определить теоретические и методические подходы к оценке структуры активов организации: понятие сущность назначение активов организации; структуру активов организации методику оценки оптимальной структуры активов организации; оценить структуру активов организации на примере ОАО НГПЭ за 2006 2008 гг.; разработать...
32066. Оценка финансового состояния предприятия и разработка мероприятий по его улучшению (на примере ООО «Маркет-Сервис») 1.13 MB
  С его помощью вырабатывается стратегия и тактика развития предприятия обосновываются планы и управленческие решения осуществляется контроль их выполнения выявляются резервы повышения эффективности производства оцениваются результаты деятельности предприятия его подразделений и работников. Для обеспечения эффективной деятельности в современных условиях руководству необходимо уметь реально оценивать финансовоэкономическое состояние своего предприятия а также состояние деловой активности партнеров и конкурентов. Финансовое состояние...
32067. Исследование личностной и социальной идентичности в психологии 49 KB
  Агеев Белинская В психологии: Идентичность психологическое представление человека о своем Я; отождествление человеком самого себя частично осознаваемое неосознаваемое с теми или иными типологич. Социальная и личностная идентичность. Эриксон: идентичность возникающий на биологической основе продукт определенной культуры на становление влияют особенности культуры и возможности данного индивида. Идентичность формируется в процессе взаимодействия с социокультурным окружением поэтому важно чтобы ребенок общался со взрослыми с...
32068. Я-концепция Л и регуляции соц-ого поведения. Самоув и псих-е защиты 57 KB
  В 60е гг введение в обиход понятия идентичность помогло выйти из тупика т. идентичность задает дихотомию: социальное и личное есть место для 2х подходов. Он рассматривал идентичность как некоторую структуру состоящую из определенных элементов переживаемую субъективно как чувство тождественности и непрерывности собственной личности. Идентичность это сложное личностное образование имеющее многоуровневую структуру.