10967

Интервалное оценивание

Лекция

Математика и математический анализ

Интервалное оценивание Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к о...

Русский

2013-04-03

150.45 KB

5 чел.

Интервалное оценивание

Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более предпочтительная процедура – построения интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Такой подход называется "интервальным оцениванием". Сразу отметим следующее: чем больше уверенность в том, что оцениваемый параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать интервал, накрывающий параметр с вероятностью равной единице, бессмысленно. Это вся область т.е. .

Пусть для параметра получена несмещённая оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например: ), такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого выполняется соотношение

(4.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающий при замене на , будет равен . Ошибки большие по абсолютной величине будут появляться с малой вероятностью . Запишем (4.1) в другом виде:

(4.2)

Т.е. с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

(4.3)

Ранее (в теории вероятностей) мы рассматривали вероятность попадания случайной величины  на некоторый интервал. У нас же не случайная величина, а интервал – случаен, т.е. здесь корректно говорить о вероятности накрыть точку .

Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а интервал  доверительным интервалом.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ и параметра , имеющего несмещенную оценку . Если бы нам был известен закон распределения величины , то из выражения (4.1) нахождение при заданной не представляло бы затруднений. Однако, как правило, мы не знаем закон распределения случайной величины .

Пусть теперь распределение случайной величины   отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему,  получаем следующий результат.

С увеличением объема выборки выборочное распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины.

Практически во многих случаях выборочное можно считать нормальным уже при , а при приближение будет очень хорошим.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале математического ожидания: Пусть произведено независимых опытов над случайной величины с неизвестными . Для этих параметров выберем оценки:

(4.4)

Необходимо построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности :

(4 .5)

Интервальная оценка математического ожидания
при известной дисперсии

Пусть СВ имеет гауссово распределение с параметрами
, причём неизвестно, а значение известно. Тогда эффективной оценкой параметра будет .

При этом имеет нормальное распределение .

Статистика (оценка) СВ имеет распределение , независимо от параметра и как функция непрерывна и монотонна. Вспомним, что . Тогда, с учетом (4.2) запишем:

.

(4.6)

Здесь и   квантили стандартного нормального распределения , обладающие свойством: . Поставив  в явном виде в (4.6) получим:

(4.7)

Запишем это неравенство относительно :

(4.8)

Квантили стандартного нормального распределения определяются по таблицам, тогда окончательно получим:

(4.9)

Искомый доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с известной дисперсией равен:

(4.10)

На рис.4.1. представлена плотность распределения стандартного нормального распределения с отмеченными квантилями.

Рис. 4.1. Гауссово (нормальное) распределение
(
)

Интервальная оценка математического ожидания
при неизвестной дисперсии

На практике почти всегда генеральная дисперсия , (как и оцениваемое математическое ожидание ) неизвестна. Итак, имеется нормально распределенная СВ , с неизвестными параметрами и . По случайной выборке найдем несмещённые, эффективные оценки: . Построение интервальной оценки основано на статистике:

(4.11)

Вспомним, что , и подставим в (4.11):

(4.12)

Числитель выражения (4.12), как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение . Показано, что величина имеет распределение с степенями свободы. А статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Распределение Стьюдента не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины , а зависит лишь от числа , называемого числом степеней свободы.

Следует отметить, что распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и при сколь угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений (вариантов) случайной величины минус число уравнений , связывающих эти наблюдения, т.е. .

Так, например, для распределения  статистики число степеней свободы , т.к. одна степень свободы "теряется" при определении выборочного среднего ( наблюдений связаны одним уравнением).

Таким образом, по аналогии с (4.6) запишем:

.

(4.13)

(4.14)

(4.15)

На рис.4.2. представлена плотность распределения Стьюдента с пятнадцатью степенями свободы.

Доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с неизвестной дисперсией равен:

(4.16)

Рис. 4.2. Распределение Стьюдента ()

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2096. Элементарный излучатель Гюйгенса 85.15 KB
  Может быть представлен в виде воображаемой плоской площадки в диэлектрической среде без потерь, в том числе в свободном пространстве, размеры площадки много меньше длины волны.
2097. Передающие антенны и их параметры. 561.44 KB
  Группа определяющая электродинамический режим антенны, геометрические размеры и форма поверхностей и проводов, по которым текут электрические токи, частота колебаний и распределение токов, электродинамические параметры материалов антенны и окружающей среды.
2098. Мощность излучения антенн 281.36 KB
  Входное сопротивление передающей антенны определяется отношением напряжения к току на ее входных клеммах и характеризует антенну как нагрузку для генератора.
2099. Коэффициент согласования передающей антенны 25.36 KB
  Генератор нагружен на согласованную с ним линию без потерь, то при включении на конце линии нагрузки с сопротивлением, равным волновому, вся мощность от генератора будет поглощена этим сопротивлением.
2100. Электрическая прочность и высотность антенн 16.38 KB
  Электрическая прочность антенны характеризуется наибольшей мощностью или наибольшим напряжением в антенне, при которых еще не происходит электрический пробой диэлектриков конструкции антенны или окружающего антенну воздуха.
2101. Действующая длина передающей антенны 150.62 KB
  Выражение для напряжённости электрического поля в дальней зоне антенны с любым распределением тока вдоль ее оси может быть записано в таком же виде, как и для диполя Герца, имеющего равномерное распределение тока.
2102. Коэффициент направленного действия и коэффициент усиления передающей антенны 24.31 KB
  КНД передающей антенны определяется сравнением данной антенны с некоторой эталонной антенной, направленные свойства которой хорошо известны. В качестве эталонных широко используются: совершенно ненаправленный (изотропный) излучатель, диполь Герца, полуволновой вибратор.
2103. Поляризационные характеристики передающей антенны 144.83 KB
  Поляризация передающей антенны определяется по поляризации ее поля излучения, как правило, по электрическому вектору, который, в общем случае, с течением времени изменяет как свою величину, так и направление в каждой точке пространства.
2104. Приемные антенны 72.42 KB
  Процесс приема - преобразование радиоволн, пришедших в пункт расположения приемной антенны, в направляемые электромагнитной волны, воздействующие на входное устройство приемника.