10967

Интервалное оценивание

Лекция

Математика и математический анализ

Интервалное оценивание Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к о...

Русский

2013-04-03

150.45 KB

5 чел.

Интервалное оценивание

Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более предпочтительная процедура – построения интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Такой подход называется "интервальным оцениванием". Сразу отметим следующее: чем больше уверенность в том, что оцениваемый параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать интервал, накрывающий параметр с вероятностью равной единице, бессмысленно. Это вся область т.е. .

Пусть для параметра получена несмещённая оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например: ), такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого выполняется соотношение

(4.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающий при замене на , будет равен . Ошибки большие по абсолютной величине будут появляться с малой вероятностью . Запишем (4.1) в другом виде:

(4.2)

Т.е. с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

(4.3)

Ранее (в теории вероятностей) мы рассматривали вероятность попадания случайной величины  на некоторый интервал. У нас же не случайная величина, а интервал – случаен, т.е. здесь корректно говорить о вероятности накрыть точку .

Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а интервал  доверительным интервалом.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ и параметра , имеющего несмещенную оценку . Если бы нам был известен закон распределения величины , то из выражения (4.1) нахождение при заданной не представляло бы затруднений. Однако, как правило, мы не знаем закон распределения случайной величины .

Пусть теперь распределение случайной величины   отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему,  получаем следующий результат.

С увеличением объема выборки выборочное распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины.

Практически во многих случаях выборочное можно считать нормальным уже при , а при приближение будет очень хорошим.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале математического ожидания: Пусть произведено независимых опытов над случайной величины с неизвестными . Для этих параметров выберем оценки:

(4.4)

Необходимо построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности :

(4 .5)

Интервальная оценка математического ожидания
при известной дисперсии

Пусть СВ имеет гауссово распределение с параметрами
, причём неизвестно, а значение известно. Тогда эффективной оценкой параметра будет .

При этом имеет нормальное распределение .

Статистика (оценка) СВ имеет распределение , независимо от параметра и как функция непрерывна и монотонна. Вспомним, что . Тогда, с учетом (4.2) запишем:

.

(4.6)

Здесь и   квантили стандартного нормального распределения , обладающие свойством: . Поставив  в явном виде в (4.6) получим:

(4.7)

Запишем это неравенство относительно :

(4.8)

Квантили стандартного нормального распределения определяются по таблицам, тогда окончательно получим:

(4.9)

Искомый доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с известной дисперсией равен:

(4.10)

На рис.4.1. представлена плотность распределения стандартного нормального распределения с отмеченными квантилями.

Рис. 4.1. Гауссово (нормальное) распределение
(
)

Интервальная оценка математического ожидания
при неизвестной дисперсии

На практике почти всегда генеральная дисперсия , (как и оцениваемое математическое ожидание ) неизвестна. Итак, имеется нормально распределенная СВ , с неизвестными параметрами и . По случайной выборке найдем несмещённые, эффективные оценки: . Построение интервальной оценки основано на статистике:

(4.11)

Вспомним, что , и подставим в (4.11):

(4.12)

Числитель выражения (4.12), как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение . Показано, что величина имеет распределение с степенями свободы. А статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Распределение Стьюдента не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины , а зависит лишь от числа , называемого числом степеней свободы.

Следует отметить, что распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и при сколь угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений (вариантов) случайной величины минус число уравнений , связывающих эти наблюдения, т.е. .

Так, например, для распределения  статистики число степеней свободы , т.к. одна степень свободы "теряется" при определении выборочного среднего ( наблюдений связаны одним уравнением).

Таким образом, по аналогии с (4.6) запишем:

.

(4.13)

(4.14)

(4.15)

На рис.4.2. представлена плотность распределения Стьюдента с пятнадцатью степенями свободы.

Доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с неизвестной дисперсией равен:

(4.16)

Рис. 4.2. Распределение Стьюдента ()

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15667. ФИЛОСОФИЯ СПОРТА: ПРЕДМЕТ, СТРУКТУРА И ПРОБЛЕМЫ МЕТОДОЛОГИИ 140 KB
  ФИЛОСОФИЯ СПОРТА: ПРЕДМЕТ СТРУКТУРА И ПРОБЛЕМЫ МЕТОДОЛОГИИ. Ибрагимов Михаил Михайлович ациональный университет физического воспитания и спорта Украины Аннотация. Ибрагимов М.М. Философия спорта: предмет структура и проблемы методологии // Актуальні проблеми
15668. ФІЛОСОФІЯ СПОРТУ: ЧИ БУДЕ ПЛІДНОЮ ФІЛОСОФІЯ НА НИВІ СПОРТУ 127 KB
  Філософія спорту ФІЛОСОФІЯ СПОРТУ: ЧИ БУДЕ ПЛІДНОЮ ФІЛОСОФІЯ НА НИВІ СПОРТУ Михайло Ібрагімов Анотація. В статті мова йде про аналітичну підготовчу роботу до формування нової міждисциплінарної галузі знань філософії спорту яка б завершила ієрархію гуманітарн
15669. ЕКЗИСТЕНЦІЯ СПОРТУ І ФІЗИЧНОГО ВИХОВАННЯ В НОВІЙ ДІАЛЕКТИКО-ПАНТЕЇСТИЧНІЙ МЕТОДОЛОГІЇ 114.5 KB
  ЕКЗИСТЕНЦІЯ СПОРТУ І ФІЗИЧНОГО ВИХОВАННЯ В НОВІЙ ДІАЛЕКТИКОПАНТЕЇСТИЧНІЙ МЕТОДОЛОГІЇ Михайло Ібрагімов Душу легше зрозуміти чим тіло Рене Декарт Резюме. В статье предлагается на рассмотрение научноспортивной общественности возможность формирования новой
15670. ЕПІСТЕМОЛОГІЯ СПОРТУ І ФІЗИЧНОГО ВИХОВАННЯ В АНТРОПОСОФСЬКОМУ ВИМІРІ 119 KB
  ЕПІСТЕМОЛОГІЯ СПОРТУ І ФІЗИЧНОГО ВИХОВАННЯ В АНТРОПОСОФСЬКОМУ ВИМІРІ Михайло Ібрагімов Резюме. В статье рассматриваются методологические и мировоззренческие основы эпистемологии спорта как структурносоставной философии спорта. Анализируются общее и отличител...
15671. ТЕОСОФІЯ СПОТУ І ФІЗИЧНОГО ВИХОВАННЯ У ДИСКУРСІ СУЧАСНОЇ ФІЛОСОФСЬКО-РЕЛІГІЙНОЇ АСКЕЗИ 65.6 KB
  ТЕОСОФІЯ СПОТУ І ФІЗИЧНОГО ВИХОВАННЯ У ДИСКУРСІ СУЧАСНОЇ ФІЛОСОФСЬКОРЕЛІГІЙНОЇ АСКЕЗИ Михайло Ібрагімов Ідея це пристрасть а пристрасть це ідея А.Ф.Лосєв Резюме: в статье Ибрагимова М. М. €œТеософия спорта и физического воспитания в современной философскорел...
15672. ФЕНОМЕНОЛОГІЯ ТІЛЕСНОСТІ ЯК “ТІЛЕСНИЙ ДОСВІД” У СУЧАСНОМУ ФІЗКУЛЬТУРНО-СПОРТИВНОМУ ПРОСТОРІ 69.64 KB
  ФЕНОМЕНОЛОГІЯ ТІЛЕСНОСТІ ЯК €œТІЛЕСНИЙ ДОСВІД€ У СУЧАСНОМУ ФІЗКУЛЬТУРНОСПОРТИВНОМУ ПРОСТОРІ Михайло Ібрагімов Людина без сюрпризу всередині у своєму ящику не цікава М.Булгаков Майстер і Маргарита Резюме. В статье предпринимается попытка популяризаци
15673. ФІЛОСОФІЯ СПОРТУ В ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ОНТОЛОГІЧНІЙ ПРОБЛЕМАТИЦІ ФІЗКУЛЬТУРНО-СПОРТИВНОГО НАУКОЗНАВСТВА 52.58 KB
  Ібрагімов М.М ФІЛОСОФІЯ СПОРТУ В ЕКЗИСТЕНЦІЙНООНТОЛОГІЧНІЙ ПРОБЛЕМАТИЦІ ФІЗКУЛЬТУРНОСПОРТИВНОГО НАУКОЗНАВСТВА Анотація. В статті розглядається місце і роль філософії спорту в системі фізкультурноспортивного наукознавства і пропонується в якості її методологі...
15674. СПОРТ В СИСТЕМЕ ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНО-ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО МИРОВОЗЗРЕНИЯ 33.18 KB
  СПОРТ В СИСТЕМЕ ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНОФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО МИРОВОЗЗРЕНИЯ Ибрагимов М. М. В современных условиях спорт относят к числу важных сфер общественной жизнедеятельности человека который во взаимодействии с другими формирует специфическую сферу его бытия в жизнен...
15675. Дневник Тани Савичевой 292.86 KB
  Дневник Тани Савичевой Двенадцатилетняя Таня Савичева начала вести свой дневник чуть раньше Анны Франк жертвы Холокоста. Они были почти ровесницами и писали об одном и том же – об ужасе фашизма. И погибли эти две девочки не дождавшись Победы: Таня – в июле 1944 Анна – в м...