10967

Интервалное оценивание

Лекция

Математика и математический анализ

Интервалное оценивание Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к о...

Русский

2013-04-03

150.45 KB

5 чел.

Интервалное оценивание

Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более предпочтительная процедура – построения интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Такой подход называется "интервальным оцениванием". Сразу отметим следующее: чем больше уверенность в том, что оцениваемый параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать интервал, накрывающий параметр с вероятностью равной единице, бессмысленно. Это вся область т.е. .

Пусть для параметра получена несмещённая оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например: ), такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого выполняется соотношение

(4.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающий при замене на , будет равен . Ошибки большие по абсолютной величине будут появляться с малой вероятностью . Запишем (4.1) в другом виде:

(4.2)

Т.е. с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

(4.3)

Ранее (в теории вероятностей) мы рассматривали вероятность попадания случайной величины  на некоторый интервал. У нас же не случайная величина, а интервал – случаен, т.е. здесь корректно говорить о вероятности накрыть точку .

Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а интервал  доверительным интервалом.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ и параметра , имеющего несмещенную оценку . Если бы нам был известен закон распределения величины , то из выражения (4.1) нахождение при заданной не представляло бы затруднений. Однако, как правило, мы не знаем закон распределения случайной величины .

Пусть теперь распределение случайной величины   отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему,  получаем следующий результат.

С увеличением объема выборки выборочное распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины.

Практически во многих случаях выборочное можно считать нормальным уже при , а при приближение будет очень хорошим.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале математического ожидания: Пусть произведено независимых опытов над случайной величины с неизвестными . Для этих параметров выберем оценки:

(4.4)

Необходимо построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности :

(4 .5)

Интервальная оценка математического ожидания
при известной дисперсии

Пусть СВ имеет гауссово распределение с параметрами
, причём неизвестно, а значение известно. Тогда эффективной оценкой параметра будет .

При этом имеет нормальное распределение .

Статистика (оценка) СВ имеет распределение , независимо от параметра и как функция непрерывна и монотонна. Вспомним, что . Тогда, с учетом (4.2) запишем:

.

(4.6)

Здесь и   квантили стандартного нормального распределения , обладающие свойством: . Поставив  в явном виде в (4.6) получим:

(4.7)

Запишем это неравенство относительно :

(4.8)

Квантили стандартного нормального распределения определяются по таблицам, тогда окончательно получим:

(4.9)

Искомый доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с известной дисперсией равен:

(4.10)

На рис.4.1. представлена плотность распределения стандартного нормального распределения с отмеченными квантилями.

Рис. 4.1. Гауссово (нормальное) распределение
(
)

Интервальная оценка математического ожидания
при неизвестной дисперсии

На практике почти всегда генеральная дисперсия , (как и оцениваемое математическое ожидание ) неизвестна. Итак, имеется нормально распределенная СВ , с неизвестными параметрами и . По случайной выборке найдем несмещённые, эффективные оценки: . Построение интервальной оценки основано на статистике:

(4.11)

Вспомним, что , и подставим в (4.11):

(4.12)

Числитель выражения (4.12), как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение . Показано, что величина имеет распределение с степенями свободы. А статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Распределение Стьюдента не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины , а зависит лишь от числа , называемого числом степеней свободы.

Следует отметить, что распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и при сколь угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений (вариантов) случайной величины минус число уравнений , связывающих эти наблюдения, т.е. .

Так, например, для распределения  статистики число степеней свободы , т.к. одна степень свободы "теряется" при определении выборочного среднего ( наблюдений связаны одним уравнением).

Таким образом, по аналогии с (4.6) запишем:

.

(4.13)

(4.14)

(4.15)

На рис.4.2. представлена плотность распределения Стьюдента с пятнадцатью степенями свободы.

Доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с неизвестной дисперсией равен:

(4.16)

Рис. 4.2. Распределение Стьюдента ()

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69950. Східні слов’яни. Зародження української державності. Київська Русь 114 KB
  Суспільнополітичний та економічний лад Київської Русі. Східні слов’яни розселилися на території сучасної України Білорусії частково Росії Ока верхня течія Волги. Таким чином утвердження Олега в Києві знаменувало створення великої держави східних слов’ян Київської Русі або Давньої Русі.
69951. Понятие, цели и задачи налогового контроля 110.5 KB
  Учебные и воспитательные цели: Определить понятие налогового контроля Изучить организацию налогового контроля в России Определить субъекты налогового контроля в Российской Федерации 4. Понятие налогового контроля 2. Организация налогового контроля в России.
69952. Ранние страницы истории народов Северного Кавказа 102.5 KB
  Кавказом называются горы, расположенные между Черным и Каспийским морями, а также страны и области, которые примыкают к ним. Горная система Кавказа называется Большой Кавказ (в отличие от Малого Кавказа, опоясывающего северо-восточную часть Армянского нагорья), который состоит из Главного...
69953. Современные тенденции в области компьютерного моделирования инженерных задач. Обзор существующих CAD/CAE систем и их возможности 321.5 KB
  В возникшем контекстном меню указать имя панели которую требуется вывести на экран или удалить с экрана. На запрос указать расстояние задаем расстояние сдвига 40. на запрос указать объект указываем мышью горизонтальную ось.
69954. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ ДЕВИАНТНОГО ПОВЕДЕНИЯ В ПОДРОСТКОВОМ И РАННЕМ ЮНОШЕСКОМ ВОЗРАСТЕ 63 KB
  В статье рассматриваются актуальные вопросы психологии отклоняющегося поведения. Анализируются факторы влияющие на формирование отклоняющегося поведения методы психолого-педагогической профилактики и коррекции девиантного поведения несовершеннолетних.
69955. КОРРЕКЦИЯ ПСИХИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ БЕРЕМЕННЫХ ЖЕНЩИН В ПРОЦЕССЕ МУЗЫКОТЕРАПИИ 32.72 KB
  В статье рассматриваются результаты экспериментального исследования музыкотерапии в коррекции психического состояния беременных женщин. Выявлено влияния музыкотерапии на психическое состояние беременных с учетом их индивидуальных свойств.
69956. ТРАНСФОРМАЦИЯ НОВЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ТЕЛЕ И ТЕЛЕСНОСТИ В СИСТЕМЕ ФИЗИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ 77 KB
  Автором рассмотрены основные научные подходы к определению смыслообразующего и ценностного философского понимания телесности человека в аспекте значимости данного направления научного исследования. Следует отметить что включение человека с его соматическими характеристиками...
69957. ВЫЯВЛЕНИЕ СФОРМИРОВАННОСТИ ОБРАЗОВ ИСТОРИЧЕСКОГО ПРОШЛОГО 754.5 KB
  Рассматривается дидактическая целесообразность применения категории образы исторических событий. Приводится пример комплекса разноуровневых заданий и их образец ориентированные на выявление уровня сформированности у учащихся образов исторических событий как...
69958. СОЦИАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БУДУЩИХ ПЕДАГОГОВ О ПСИХОЛОГИЧЕСКОМ НАСИЛИИ 179 KB
  Анкета была направлена на изучение следующих аспектов знаний приобретенных студентами в рамках учебных дисциплин и в процессе самообразования: сущность формы признаки причины последствия и эффективность психологического насилия.