10967

Интервалное оценивание

Лекция

Математика и математический анализ

Интервалное оценивание Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к о...

Русский

2013-04-03

150.45 KB

5 чел.

Интервалное оценивание

Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более предпочтительная процедура – построения интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Такой подход называется "интервальным оцениванием". Сразу отметим следующее: чем больше уверенность в том, что оцениваемый параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать интервал, накрывающий параметр с вероятностью равной единице, бессмысленно. Это вся область т.е. .

Пусть для параметра получена несмещённая оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например: ), такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого выполняется соотношение

(4.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающий при замене на , будет равен . Ошибки большие по абсолютной величине будут появляться с малой вероятностью . Запишем (4.1) в другом виде:

(4.2)

Т.е. с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

(4.3)

Ранее (в теории вероятностей) мы рассматривали вероятность попадания случайной величины  на некоторый интервал. У нас же не случайная величина, а интервал – случаен, т.е. здесь корректно говорить о вероятности накрыть точку .

Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а интервал  доверительным интервалом.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ и параметра , имеющего несмещенную оценку . Если бы нам был известен закон распределения величины , то из выражения (4.1) нахождение при заданной не представляло бы затруднений. Однако, как правило, мы не знаем закон распределения случайной величины .

Пусть теперь распределение случайной величины   отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему,  получаем следующий результат.

С увеличением объема выборки выборочное распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины.

Практически во многих случаях выборочное можно считать нормальным уже при , а при приближение будет очень хорошим.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале математического ожидания: Пусть произведено независимых опытов над случайной величины с неизвестными . Для этих параметров выберем оценки:

(4.4)

Необходимо построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности :

(4 .5)

Интервальная оценка математического ожидания
при известной дисперсии

Пусть СВ имеет гауссово распределение с параметрами
, причём неизвестно, а значение известно. Тогда эффективной оценкой параметра будет .

При этом имеет нормальное распределение .

Статистика (оценка) СВ имеет распределение , независимо от параметра и как функция непрерывна и монотонна. Вспомним, что . Тогда, с учетом (4.2) запишем:

.

(4.6)

Здесь и   квантили стандартного нормального распределения , обладающие свойством: . Поставив  в явном виде в (4.6) получим:

(4.7)

Запишем это неравенство относительно :

(4.8)

Квантили стандартного нормального распределения определяются по таблицам, тогда окончательно получим:

(4.9)

Искомый доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с известной дисперсией равен:

(4.10)

На рис.4.1. представлена плотность распределения стандартного нормального распределения с отмеченными квантилями.

Рис. 4.1. Гауссово (нормальное) распределение
(
)

Интервальная оценка математического ожидания
при неизвестной дисперсии

На практике почти всегда генеральная дисперсия , (как и оцениваемое математическое ожидание ) неизвестна. Итак, имеется нормально распределенная СВ , с неизвестными параметрами и . По случайной выборке найдем несмещённые, эффективные оценки: . Построение интервальной оценки основано на статистике:

(4.11)

Вспомним, что , и подставим в (4.11):

(4.12)

Числитель выражения (4.12), как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение . Показано, что величина имеет распределение с степенями свободы. А статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Распределение Стьюдента не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины , а зависит лишь от числа , называемого числом степеней свободы.

Следует отметить, что распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и при сколь угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений (вариантов) случайной величины минус число уравнений , связывающих эти наблюдения, т.е. .

Так, например, для распределения  статистики число степеней свободы , т.к. одна степень свободы "теряется" при определении выборочного среднего ( наблюдений связаны одним уравнением).

Таким образом, по аналогии с (4.6) запишем:

.

(4.13)

(4.14)

(4.15)

На рис.4.2. представлена плотность распределения Стьюдента с пятнадцатью степенями свободы.

Доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с неизвестной дисперсией равен:

(4.16)

Рис. 4.2. Распределение Стьюдента ()

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2231. Железо-углеродистые сплавы 18.48 KB
  ОСНОВНЫЕ РАВНОВЕСНЫЕ ФАЗЫ И СТРУКТУРНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ЖЕЛЕЗО-УГЛЕРОДИСТЫХ СПЛАВОВ.
2232. Психология личности 1.13 MB
  Проблема человека в системе современного научного знания. Личность в философии, социологии и психологии. Личность в отечественной психологии. Концепции личности К.К. Платонова. Учение Б.Г. Ананьева о человеке. Направленность в структуре личности.
2233. Религия в древнем Египте 15.77 KB
  Религиозные верования в ранних обществах. Фетишизм - наделение предметов сверхъестественными свойствами. Древнеегипетское общество.
2234. Голография и ее применение 1.04 MB
  Физические принципы голографии. Голографические оптические элементы. Голографические запоминающие устройства. Носители информации для голографических запоминающих устройств. Голографические запоминающие устройства двоичной информации.
2235. Деньги, их сущность и функции 15.92 KB
  Деньги - всеобщий эквивалент, всеобщее покупательное средство. Главная черта денег-свойство абсолютной ликвидности.
2236. Расчет величин, характеризующих силовой энергетический трансформатор и его режимы работы 302.89 KB
  СИЛОВОЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ТРАНСФОРМАТОР И ОСНОВНЫЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ЕГО ТЕОРИИ. УСЛОВИЯ И ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА РАБОТЫ ТРАНСФОРМАТОРА НА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ ПОДСТАНЦИИ. ЗАВИСИМОСТЬ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ В СЕРДЕЧНИКЕ ОТ ТОКА ПЕРВИЧНОЙ ОБМОТКИ. СОПРОТИВЛЕНИЯ ТРАНСФОРМАТОРА В РЕЖИМАХ ХОЛОСТОГО ХОДА И КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ.
2237. Исследование теоретико-методологических аспектов позиционирования бренда 768.83 KB
  Проанализировать методы и процесс позиционирования бренда; дать оценку состояния бренда предприятия (на примере ОАО Эдельвейс), разработать рекомендации по управлению позиционированием бренда.
2238. Математическая физика 1.55 MB
  Единичное ступенчатое воздействие. Импульсное воздействие. Гармоническое (синусоидальное) воздействие.
2239. Автоматизированный электропривод подачи токарного станка 628.47 KB
  Выбор сглаживающего дросселя. Определение коэффициента передачи и постоянных времени силовых элементов. Расчет статических характеристик САУ. Построение структурно-динамической схемы и синтез регуляторов.