10967

Интервалное оценивание

Лекция

Математика и математический анализ

Интервалное оценивание Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к о...

Русский

2013-04-03

150.45 KB

5 чел.

Интервалное оценивание

Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более предпочтительная процедура – построения интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Такой подход называется "интервальным оцениванием". Сразу отметим следующее: чем больше уверенность в том, что оцениваемый параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать интервал, накрывающий параметр с вероятностью равной единице, бессмысленно. Это вся область т.е. .

Пусть для параметра получена несмещённая оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например: ), такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого выполняется соотношение

(4.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающий при замене на , будет равен . Ошибки большие по абсолютной величине будут появляться с малой вероятностью . Запишем (4.1) в другом виде:

(4.2)

Т.е. с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

(4.3)

Ранее (в теории вероятностей) мы рассматривали вероятность попадания случайной величины  на некоторый интервал. У нас же не случайная величина, а интервал – случаен, т.е. здесь корректно говорить о вероятности накрыть точку .

Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а интервал  доверительным интервалом.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ и параметра , имеющего несмещенную оценку . Если бы нам был известен закон распределения величины , то из выражения (4.1) нахождение при заданной не представляло бы затруднений. Однако, как правило, мы не знаем закон распределения случайной величины .

Пусть теперь распределение случайной величины   отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему,  получаем следующий результат.

С увеличением объема выборки выборочное распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины.

Практически во многих случаях выборочное можно считать нормальным уже при , а при приближение будет очень хорошим.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале математического ожидания: Пусть произведено независимых опытов над случайной величины с неизвестными . Для этих параметров выберем оценки:

(4.4)

Необходимо построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности :

(4 .5)

Интервальная оценка математического ожидания
при известной дисперсии

Пусть СВ имеет гауссово распределение с параметрами
, причём неизвестно, а значение известно. Тогда эффективной оценкой параметра будет .

При этом имеет нормальное распределение .

Статистика (оценка) СВ имеет распределение , независимо от параметра и как функция непрерывна и монотонна. Вспомним, что . Тогда, с учетом (4.2) запишем:

.

(4.6)

Здесь и   квантили стандартного нормального распределения , обладающие свойством: . Поставив  в явном виде в (4.6) получим:

(4.7)

Запишем это неравенство относительно :

(4.8)

Квантили стандартного нормального распределения определяются по таблицам, тогда окончательно получим:

(4.9)

Искомый доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с известной дисперсией равен:

(4.10)

На рис.4.1. представлена плотность распределения стандартного нормального распределения с отмеченными квантилями.

Рис. 4.1. Гауссово (нормальное) распределение
(
)

Интервальная оценка математического ожидания
при неизвестной дисперсии

На практике почти всегда генеральная дисперсия , (как и оцениваемое математическое ожидание ) неизвестна. Итак, имеется нормально распределенная СВ , с неизвестными параметрами и . По случайной выборке найдем несмещённые, эффективные оценки: . Построение интервальной оценки основано на статистике:

(4.11)

Вспомним, что , и подставим в (4.11):

(4.12)

Числитель выражения (4.12), как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение . Показано, что величина имеет распределение с степенями свободы. А статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Распределение Стьюдента не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины , а зависит лишь от числа , называемого числом степеней свободы.

Следует отметить, что распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и при сколь угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений (вариантов) случайной величины минус число уравнений , связывающих эти наблюдения, т.е. .

Так, например, для распределения  статистики число степеней свободы , т.к. одна степень свободы "теряется" при определении выборочного среднего ( наблюдений связаны одним уравнением).

Таким образом, по аналогии с (4.6) запишем:

.

(4.13)

(4.14)

(4.15)

На рис.4.2. представлена плотность распределения Стьюдента с пятнадцатью степенями свободы.

Доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с неизвестной дисперсией равен:

(4.16)

Рис. 4.2. Распределение Стьюдента ()

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6669. Фокальные (парциальные) формы эпилепсии 29.27 KB
  Фокальные (парциальные) формы эпилепсии Клиническая картина парциальных приступов зависит от расположения очага поражения. Простой парциальный приступ протекает без изменения или потери сознания, пациент сам рассказывает о своих ощущениях (в случае,...
6670. Генетические факторы в развитии цереброваскулярной патологии 20.98 KB
  Генетические факторы в развитии цереброваскулярной патологии Цереброваскулярная патология и, в частности, инсульт занимают одно из ведущих мест в структуре смертности и инвалидизации в Российской Федерации и в мире. Основными факторами риска церебро...
6671. Артериальная гипертензия - стойкое повышение АД 23.53 KB
  Артериальная гипертензия Артериальная гипертензия - это стойкое повышение АД выше 140/90 мм рт. ст. (в соответствии с критериями ВОЗ). Выделяют первичную (эссенциальную) и вторичную гипертензию. Первый вариант используется для описания хроничес...
6672. Суточное мониторирование артериального давления (СМАД) 23.56 KB
  Суточное мониторирование артериального давления (СМАД). Артериальное давление в норме и у лиц с артериальной гипертензией изменяется в течение суток, и поэтому большое значение для определения тяжести АГ, назначения антигипертензивной терапии, оптим...
6673. Генетические аспекты регуляции артериального давления и развития артериальной гипертензии 20.21 KB
  Генетические аспекты регуляции артериального давления и развития артериальной гипертензии На основании результатов полногеномного сканирования к настоящему времени выявлено более 30 локусов на разных хромосомах, имеющих отношение к регуляции артериа...
6674. Моногенные формы артериальной гипертензии 21.72 KB
  Моногенные формы артериальной гипертензии Большое количество информации по генетике артериальной гипертензии было получено при выявлении нарушений в отдельных генах, благодаря которым были охарактеризованы Менделевские (моногенные) формы гипертонии....
6675. Полигенные формы артериальной гипертензии 22.58 KB
  Полигенные формы артериальной гипертензии Эссенциальная артериальная гипертензия является мультифакторным расстройством, обусловленным сочетанием генетических, демографических факторов и факторов окружающей среды. Существенная роль в патогенезе арте...
6676. Гены, регулирующие функцию рецепторов на тромбоцитах 22.59 KB
  Гены, регулирующие функцию рецепторов на тромбоцитах Функционирование системы гемостаза осуществляется взаимодействующими между собой компонентами стенок кровеносных сосудов, клеток крови (в первую очередь тромбоцитами) и плазмы крови. Функционально...
6677. Гены, регулирующие синтез фибриногена 20.73 KB
  Гены, регулирующие синтез фибриногена. Наряду с тромбоцитами маркером сердечно-сосудистой и цереброваскулярной патологии является повышенный уровень фибриногена. Одной из причин, приводящих к изменению концентрации фибриногена в крови, могут быть ст...