10967

Интервалное оценивание

Лекция

Математика и математический анализ

Интервалное оценивание Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к о...

Русский

2013-04-03

150.45 KB

5 чел.

Интервалное оценивание

Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более предпочтительная процедура – построения интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Такой подход называется "интервальным оцениванием". Сразу отметим следующее: чем больше уверенность в том, что оцениваемый параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать интервал, накрывающий параметр с вероятностью равной единице, бессмысленно. Это вся область т.е. .

Пусть для параметра получена несмещённая оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например: ), такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого выполняется соотношение

(4.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающий при замене на , будет равен . Ошибки большие по абсолютной величине будут появляться с малой вероятностью . Запишем (4.1) в другом виде:

(4.2)

Т.е. с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

(4.3)

Ранее (в теории вероятностей) мы рассматривали вероятность попадания случайной величины  на некоторый интервал. У нас же не случайная величина, а интервал – случаен, т.е. здесь корректно говорить о вероятности накрыть точку .

Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а интервал  доверительным интервалом.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ и параметра , имеющего несмещенную оценку . Если бы нам был известен закон распределения величины , то из выражения (4.1) нахождение при заданной не представляло бы затруднений. Однако, как правило, мы не знаем закон распределения случайной величины .

Пусть теперь распределение случайной величины   отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему,  получаем следующий результат.

С увеличением объема выборки выборочное распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины.

Практически во многих случаях выборочное можно считать нормальным уже при , а при приближение будет очень хорошим.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале математического ожидания: Пусть произведено независимых опытов над случайной величины с неизвестными . Для этих параметров выберем оценки:

(4.4)

Необходимо построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности :

(4 .5)

Интервальная оценка математического ожидания
при известной дисперсии

Пусть СВ имеет гауссово распределение с параметрами
, причём неизвестно, а значение известно. Тогда эффективной оценкой параметра будет .

При этом имеет нормальное распределение .

Статистика (оценка) СВ имеет распределение , независимо от параметра и как функция непрерывна и монотонна. Вспомним, что . Тогда, с учетом (4.2) запишем:

.

(4.6)

Здесь и   квантили стандартного нормального распределения , обладающие свойством: . Поставив  в явном виде в (4.6) получим:

(4.7)

Запишем это неравенство относительно :

(4.8)

Квантили стандартного нормального распределения определяются по таблицам, тогда окончательно получим:

(4.9)

Искомый доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с известной дисперсией равен:

(4.10)

На рис.4.1. представлена плотность распределения стандартного нормального распределения с отмеченными квантилями.

Рис. 4.1. Гауссово (нормальное) распределение
(
)

Интервальная оценка математического ожидания
при неизвестной дисперсии

На практике почти всегда генеральная дисперсия , (как и оцениваемое математическое ожидание ) неизвестна. Итак, имеется нормально распределенная СВ , с неизвестными параметрами и . По случайной выборке найдем несмещённые, эффективные оценки: . Построение интервальной оценки основано на статистике:

(4.11)

Вспомним, что , и подставим в (4.11):

(4.12)

Числитель выражения (4.12), как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение . Показано, что величина имеет распределение с степенями свободы. А статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Распределение Стьюдента не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины , а зависит лишь от числа , называемого числом степеней свободы.

Следует отметить, что распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и при сколь угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений (вариантов) случайной величины минус число уравнений , связывающих эти наблюдения, т.е. .

Так, например, для распределения  статистики число степеней свободы , т.к. одна степень свободы "теряется" при определении выборочного среднего ( наблюдений связаны одним уравнением).

Таким образом, по аналогии с (4.6) запишем:

.

(4.13)

(4.14)

(4.15)

На рис.4.2. представлена плотность распределения Стьюдента с пятнадцатью степенями свободы.

Доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с неизвестной дисперсией равен:

(4.16)

Рис. 4.2. Распределение Стьюдента ()

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17059. Основні прийоми роботи в середовищі Windows 247 KB
  Практична робота №1 Тема: Основні прийоми роботи в середовищі Windows. Мета: вивчити структуру робочого столу і властивості основних об'єктів. Призначення: ознайомитися з основними об'єктами робочого столу теками Мій комп'ютер Мережеве оточення Корзина і па
17060. Метод анкетного опроса как инструмент диагностики проблем в образовательной системе Республики Беларусь 324 KB
  Переход от одного типа общества к другому не бывает скоротечным и мгновенным. Это длительный и трудоемкий процесс, требующий исследований с целью выявления слабых сторон системы для дальнейшего анализа и совершенствования.
17061. Проектирование кулачкового механизма с прямолинейно движущимся роликовым толкателем 1.17 MB
  Кулачковый механизм предназначен для перемещения толкателя по определенному закону, который задается при проектировании. Первый этап проектирования состоит в определении положения центра вращения кулачка по отношению к траектории точки В толкателя
17062. Настройка компютерної системи засобами BIOS SETUP 39 KB
  Практична робота №6 Тема: Настройка комп'ютерної системи засобами BIOS SETUP. Мета: Вивчення настройок BIOS SETUP. Устаткування: ПК. Операційна система Windows. Індивідуальне завдання Включіть ПК після появи службової інформації на екрані дисплея натисніть клавішу DELETE д
17063. Управління процесом завантаження ОС. Створення завантажувальної дискети 98 KB
  Практична робота №7 Тема: Управління процесом завантаження ОС. Створення завантажувальної дискети. Мета: Навчитися створювати завантажувальну дискету різними способами; навчитися використовувати її у разі аварійної ситуації в роботі ПК. Устаткування: ПК. Операційн
17064. Керування папками, файлами та ярликами 30.5 KB
  Практична робота №1 Тема: Керування папками файлами та ярликами. Мета: набути уміння і навички роботи з папками і файлами а також створення ярликів до них. Обладнання: персональний комп’ютер з встановленою операційною системою Windows. Призначення: оволодіння прийо
17065. Исследование факторов, влияющих на качество холоднокатаной ленты 789.5 KB
  Следование миссии ОАО «ММК» возможно только при наличии долгосрочной возможности производить и продавать металлопродукцию. Поэтому основной целью ОАО ММК является сохранение долговременной конкурентоспособности на мировом рынке металлопроката...
17066. Робота з контролюючими і діагностичними програмами 39.5 KB
  Практична робота №2 Тема: Робота з контролюючими і діагностичними програмами. Мета: Навчитися використовувати службову програму Индикатор ресурсов для контролю за станом системних ресурсів навчитися настроювати і виконувати часткову і повну перевірку HDD. Обла