10968

Интервальная оценка выборочной дисперсии

Лекция

Математика и математический анализ

Интервальная оценка выборочной дисперсии Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные о

Русский

2013-04-03

71.39 KB

13 чел.

Интервальная оценка выборочной дисперсии

Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно, что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные оценки: . Исходя из вышесказанного, запишем:

,

(5.1)

.

(5.2)

Это интервал, который с вероятностью β накрывает неизвестную дисперсию.

Из статистики известно, что если СВ имеет гауссово распределение , а СВ , то справедливо соотношение:

.

(5.3)

Здесь хи-квадрат распределения с степенями свободы. Теперь задавая или, что равносильно , можно найти квантили (соответствующие) . При этом следует учесть, что распределение не симметрично (см. рис. 5.1.).

Как же решить эту задачу, однозначно? Ведь сдвигая интервал влево или вправо соответствующим образом, можно для заданной доверительной вероятности найти бесконечное множество решений (интервалов). Для обеспечения единообразия выбираются такие квантили (интервал), чтобы площадь под кривой, лежащая левее левого квантиля, равнялась площади под кривой, расположенной правее правого квантиля, т.е.:

(5.4)

Тогда из (5.3), учитывая (5.4), получим соответствующие границы интервала:

(5.5)

Рис. 5.1. Распределение

Пример Дана выборка СВ объемом . Предполагается, что СВ распределена нормально с неизвестными параметрами .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.2

2.4

1.3

1.3

0.0

1.0

1.8

0.8

4.6

1.4

Необходимо найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности равной 0.97.

Решение: В качестве несмещенных и эффективных оценок вычислим:

а) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, если дисперсия известна (полагаем, что ). Тогда из таблицы нормального распределения получим . Подставим полученные значения в (4.9 и 4.10):

б) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, при неизвестной дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения Стьюдента с числом степеней свободы . Соответствующие квантили равны . Подставим полученные значения в (4.15 и 4.16):

в) Вычислим доверительный интервал для дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения . Симметричный 97% вероятностный интервал с числом степеней свободы . Подставив полученные значения в (16.21), получим:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53512. Организация производственного процесса на предприятиях по ремонту подвижного состава 400.26 KB
  Основные принципы и формы рационального построения производственного процесса в пространстве и во времени. Типы производства и их технико-экономическая характеристика. Показатели, определяющие типы производства и пути их улучшения.
53518. Калейдоскоп знань – нетрадиційна форма проведення уроків 707 KB
  Такі уроки допомагають учителю урізноманітнювати роботу учнів знімають напруження від звичної навчальної діяльності переключають увагу школярів вони є цінним засобом виховання розумової активності дітей що активізує психічні процеси викликає в учнів живий інтерес до процесу пізнання. Навчальний день для учнів 1 і 2 класів починається з лінійки де кожному класу вручається свій маршрутний лист. У маршрутному листі записуються уроки які будуть проводитися для учнів даного класу: математика українська мова читання музика Я і Україна. З...
53519. Геометричні перетворення 2.37 MB
  Яку найменшу кількість клітинок треба заштрихувати щоб фігура на рисунку мала вісь симетрії А. 6 Вісь симетрії Достатньо замалювати три клітинки. Які літери мають вісь симетрії А які центр симетрії № 5. За якою ознакою складені наступні літери алфавіту: А Д М Т П Ш вертикальна вісь симетрії В Е З К С Ю Є горизонтальна вісь симетрії Ж Н О Ф Х вертикальна та горизонтальна вісь симетрії Б Г Л Р У Ц Ч Щ Я літери не мають ні горизонтальної ні вертикальної вісі симетрії Паліндром це абсолютний прояв...