10968

Интервальная оценка выборочной дисперсии

Лекция

Математика и математический анализ

Интервальная оценка выборочной дисперсии Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные о

Русский

2013-04-03

71.39 KB

14 чел.

Интервальная оценка выборочной дисперсии

Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно, что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные оценки: . Исходя из вышесказанного, запишем:

,

(5.1)

.

(5.2)

Это интервал, который с вероятностью β накрывает неизвестную дисперсию.

Из статистики известно, что если СВ имеет гауссово распределение , а СВ , то справедливо соотношение:

.

(5.3)

Здесь хи-квадрат распределения с степенями свободы. Теперь задавая или, что равносильно , можно найти квантили (соответствующие) . При этом следует учесть, что распределение не симметрично (см. рис. 5.1.).

Как же решить эту задачу, однозначно? Ведь сдвигая интервал влево или вправо соответствующим образом, можно для заданной доверительной вероятности найти бесконечное множество решений (интервалов). Для обеспечения единообразия выбираются такие квантили (интервал), чтобы площадь под кривой, лежащая левее левого квантиля, равнялась площади под кривой, расположенной правее правого квантиля, т.е.:

(5.4)

Тогда из (5.3), учитывая (5.4), получим соответствующие границы интервала:

(5.5)

Рис. 5.1. Распределение

Пример Дана выборка СВ объемом . Предполагается, что СВ распределена нормально с неизвестными параметрами .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.2

2.4

1.3

1.3

0.0

1.0

1.8

0.8

4.6

1.4

Необходимо найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности равной 0.97.

Решение: В качестве несмещенных и эффективных оценок вычислим:

а) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, если дисперсия известна (полагаем, что ). Тогда из таблицы нормального распределения получим . Подставим полученные значения в (4.9 и 4.10):

б) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, при неизвестной дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения Стьюдента с числом степеней свободы . Соответствующие квантили равны . Подставим полученные значения в (4.15 и 4.16):

в) Вычислим доверительный интервал для дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения . Симметричный 97% вероятностный интервал с числом степеней свободы . Подставив полученные значения в (16.21), получим:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9435. Исследования больных с заболеванием печени и желчевыводящих путей 27.65 KB
  Исследования больных с заболеванием печени и желчевыводящих путей Субъективное исследование жалобы: Симптом печеночной диспепсии (жировая диспепсия) Симптомокомплекс печеночной лени Желтуха Кожный зуд Чувство тяже...
9436. Основные симптомы и синдромы при заболевании почек 29.47 KB
  Основные симптомы и синдромы при заболевании почек Основная морфологическаяи функциональная единица почки нефрон, состоящий из сосудистого клубочка, капсулы и почечных канальцев. В каждой почке содержится около 1.2-1.5 млн. нефронов. Основные ...
9437. Семиотика заболеваний эндокринной системы 29.73 KB
  Семиотика заболеваний эндокринной системы Вилочковая железа, поджелудочная, надпочечники, половые. Гипоталамо-гипофизарная система. Гипоталамус занимает часть промежуточного мозга, и представляет собой скопление нервных клеток. Он принимает участие ...
9438. Симптомы и синдромы при заболеваниях системы крови 25.78 KB
  Симптомы и синдромы при заболеваниях системы крови Введение: 1829г - описание пурпуры Шенлейном 1855г - описание злокачественной анемии Аддисона Жалобы: Слабость, головокружение, одышка, анемия Язвы, афты, стоматит ...
9439. Бронхит (острый; хронический) 29.74 KB
  Бронхиты Бронхит (острый хронический) - воспалительное заболевание ВДП с поражение слизистой оболочки бронхов. Основными причинами являются: инфекции, курение, профессиональные факторы, переохлаждение. Основные проявления: кашель с мокротой, п...
9440. Пневмония. Крупозная пневмония 29.26 KB
  Пневмония Пневмонии - группа различных по этиологии, патогенезу и морфологической характеристике очаговых инфекционно-воспалительных заболеваний легких с преимущественным вовлечением в патологический процесс респираторных отделов я обязательным...
9443. Плеврит (Pleuritis). Абсцесс легкого 27.81 KB
  Плеврит Плеврит (Pleuritis) - воспаление плевральных листков (инфекционное или неифекционное) с образованием выпота - выпотной экссудативный плеврит. Или - реже - с отложением фибрина - сухой, фибринозный плеврит. Этиология:...