10968

Интервальная оценка выборочной дисперсии

Лекция

Математика и математический анализ

Интервальная оценка выборочной дисперсии Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные о

Русский

2013-04-03

71.39 KB

14 чел.

Интервальная оценка выборочной дисперсии

Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно, что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные оценки: . Исходя из вышесказанного, запишем:

,

(5.1)

.

(5.2)

Это интервал, который с вероятностью β накрывает неизвестную дисперсию.

Из статистики известно, что если СВ имеет гауссово распределение , а СВ , то справедливо соотношение:

.

(5.3)

Здесь хи-квадрат распределения с степенями свободы. Теперь задавая или, что равносильно , можно найти квантили (соответствующие) . При этом следует учесть, что распределение не симметрично (см. рис. 5.1.).

Как же решить эту задачу, однозначно? Ведь сдвигая интервал влево или вправо соответствующим образом, можно для заданной доверительной вероятности найти бесконечное множество решений (интервалов). Для обеспечения единообразия выбираются такие квантили (интервал), чтобы площадь под кривой, лежащая левее левого квантиля, равнялась площади под кривой, расположенной правее правого квантиля, т.е.:

(5.4)

Тогда из (5.3), учитывая (5.4), получим соответствующие границы интервала:

(5.5)

Рис. 5.1. Распределение

Пример Дана выборка СВ объемом . Предполагается, что СВ распределена нормально с неизвестными параметрами .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.2

2.4

1.3

1.3

0.0

1.0

1.8

0.8

4.6

1.4

Необходимо найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности равной 0.97.

Решение: В качестве несмещенных и эффективных оценок вычислим:

а) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, если дисперсия известна (полагаем, что ). Тогда из таблицы нормального распределения получим . Подставим полученные значения в (4.9 и 4.10):

б) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, при неизвестной дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения Стьюдента с числом степеней свободы . Соответствующие квантили равны . Подставим полученные значения в (4.15 и 4.16):

в) Вычислим доверительный интервал для дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения . Симметричный 97% вероятностный интервал с числом степеней свободы . Подставив полученные значения в (16.21), получим:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72802. Теорія держави та права: Методичні рекомендації 145 KB
  Перед виконанням письмової роботи студент має уважно ознайомитися з темою і планом, запропонованим кафедрою для її розкриття, та практичними завданнями (задачами), які необхідно виконати (розв’язати). Після цього необхідно вивчити методичні рекомендації щодо виконання курсової...
72804. Кривые выживания. Экологическая стратегия выживания. Регуляция численности популяции 77.5 KB
  Выделяют три типа основных кривых выживания рис. Кривая I типа когда на протяжении всей жизни смертность ничтожно мала резко возрастая в конце ее характерна для насекомых которые обычно гибнут после кладки яиц ее и называют кривой дрозофилы к ней приближаются кривые выживания...
72805. Экологические абиотические факторы среды: климатические, географические, гидрологические, эдафические (почвенные) 62 KB
  Статические и динамические показатели популяции Популяция это элементарная группировка организмов определенного вида обладающая всеми необходимыми условиями для поддержания своей численности необозримо длительное время в постоянно изменяющихся условиях среды.
72806. Предмет изучения, задачи и методы экологи 72.5 KB
  Любой организм в природе испытывает на себе воздействие самых разнообразных компонентов внешней среды. Факторы среды экологические факторы разнообразны имеют разную природу и специфику действия. Абиотические факторы неживой природы: а климатические условия освещенности температурный режим и т.