10968

Интервальная оценка выборочной дисперсии

Лекция

Математика и математический анализ

Интервальная оценка выборочной дисперсии Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные о

Русский

2013-04-03

71.39 KB

13 чел.

Интервальная оценка выборочной дисперсии

Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно, что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные оценки: . Исходя из вышесказанного, запишем:

,

(5.1)

.

(5.2)

Это интервал, который с вероятностью β накрывает неизвестную дисперсию.

Из статистики известно, что если СВ имеет гауссово распределение , а СВ , то справедливо соотношение:

.

(5.3)

Здесь хи-квадрат распределения с степенями свободы. Теперь задавая или, что равносильно , можно найти квантили (соответствующие) . При этом следует учесть, что распределение не симметрично (см. рис. 5.1.).

Как же решить эту задачу, однозначно? Ведь сдвигая интервал влево или вправо соответствующим образом, можно для заданной доверительной вероятности найти бесконечное множество решений (интервалов). Для обеспечения единообразия выбираются такие квантили (интервал), чтобы площадь под кривой, лежащая левее левого квантиля, равнялась площади под кривой, расположенной правее правого квантиля, т.е.:

(5.4)

Тогда из (5.3), учитывая (5.4), получим соответствующие границы интервала:

(5.5)

Рис. 5.1. Распределение

Пример Дана выборка СВ объемом . Предполагается, что СВ распределена нормально с неизвестными параметрами .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.2

2.4

1.3

1.3

0.0

1.0

1.8

0.8

4.6

1.4

Необходимо найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности равной 0.97.

Решение: В качестве несмещенных и эффективных оценок вычислим:

а) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, если дисперсия известна (полагаем, что ). Тогда из таблицы нормального распределения получим . Подставим полученные значения в (4.9 и 4.10):

б) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, при неизвестной дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения Стьюдента с числом степеней свободы . Соответствующие квантили равны . Подставим полученные значения в (4.15 и 4.16):

в) Вычислим доверительный интервал для дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения . Симметричный 97% вероятностный интервал с числом степеней свободы . Подставив полученные значения в (16.21), получим:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74966. Фалес Мілетський – давньогрецький математик і філософ 277.5 KB
  Мета: ознайомити учнів з фактами біографії Фалеса Мілетського та його внеском у розвиток математики розвивати пізнавальну активність мову творче мислення пам’ять виховувати любов до математики. Обладнання: ілюстрації з зображенням Фалеса сонячного затемнення...
74967. Материки Землі 417 KB
  Мета. Продовжувати формувати уявлення про глобус, карту півкуль, уміння читати карту, працювати з нею; Розвивати просторові уявлення, вміння висловлювати свої думки, сформувати уявлення про материки, їх природні умови, особливості рослинного та тваринного світу...
74968. Берегите матерей своих 52.5 KB
  Стихотворение Мать и дети Кто вас детки крепко любит Кто вас нежно так голубит Не смыкая ночью глаз Всё заботится о вас Мама дорогая Колыбель кто вам качает Кто вас песней забавляет Или сказку говорит Кто игрушки вам дарит Мама золотая...
74969. Народний календар юного бджоляра 845 KB
  Це - мед віск квітковий пилок прополіс маточне молочко бджолина отрута. Мета роботи: поглибити знання молоших школярів про різні аспекти бджільництва; сприяти виробленню стійкого інтересу до життя бджіл усвідомленню значення меду та інших продуктів бджільництва в житті людей.
74970. Букварний період 28 KB
  Мета уроку: Ознайомити дітей з буквою «Е», «е» та її звуковим значенням, закріплювати вміння розрізняти функціональне значення звука та букви, розвивати навички звуко-буквенного аналізу слів, формувати навички правильної вимови звуків у словах, збагачувати словниковий запас.
74971. Поняття про синтаксичні одиниці мови 23.5 KB
  Мета уроку: навчити учнів визначати граматичне значення речення дати поняття про присудок та підмет. Завдання уроку: Учити школярів визначати граматичне значення речення; визначати підмет та присудок; перевіряти орфограми слабких позицій звуків у різних частинах слів...
74972. Робота з природними матеріалами. Послідовність дій під час виготовлення виробів із природних матеріалів 30.5 KB
  Мета: розширити знання учнів про аплікацію удосконалити вміння складати предметну аплікацію з рослинного матеріалу підбирати листя за формою розміром кольором; розвивати художній смак творчі здібності фантазію; виховувати любов до природи бережне ставлення до навколишнього природного середовища.
74973. Мова – унікальна загальнолюдська цінність – неповторний спосіб пізнання професійного світу 158.5 KB
  Вищевказані відомості передбачають вміння майбутніх спеціалістів знаходити в тексті й доречно використовувати у професійному мовленні пароніми фахову термінологію; перекладати фахові тексти українською мовою; правильно записувати числівники та цифрову інформацію у професійних текстах...