10968

Интервальная оценка выборочной дисперсии

Лекция

Математика и математический анализ

Интервальная оценка выборочной дисперсии Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные о

Русский

2013-04-03

71.39 KB

13 чел.

Интервальная оценка выборочной дисперсии

Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно, что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные оценки: . Исходя из вышесказанного, запишем:

,

(5.1)

.

(5.2)

Это интервал, который с вероятностью β накрывает неизвестную дисперсию.

Из статистики известно, что если СВ имеет гауссово распределение , а СВ , то справедливо соотношение:

.

(5.3)

Здесь хи-квадрат распределения с степенями свободы. Теперь задавая или, что равносильно , можно найти квантили (соответствующие) . При этом следует учесть, что распределение не симметрично (см. рис. 5.1.).

Как же решить эту задачу, однозначно? Ведь сдвигая интервал влево или вправо соответствующим образом, можно для заданной доверительной вероятности найти бесконечное множество решений (интервалов). Для обеспечения единообразия выбираются такие квантили (интервал), чтобы площадь под кривой, лежащая левее левого квантиля, равнялась площади под кривой, расположенной правее правого квантиля, т.е.:

(5.4)

Тогда из (5.3), учитывая (5.4), получим соответствующие границы интервала:

(5.5)

Рис. 5.1. Распределение

Пример Дана выборка СВ объемом . Предполагается, что СВ распределена нормально с неизвестными параметрами .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.2

2.4

1.3

1.3

0.0

1.0

1.8

0.8

4.6

1.4

Необходимо найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности равной 0.97.

Решение: В качестве несмещенных и эффективных оценок вычислим:

а) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, если дисперсия известна (полагаем, что ). Тогда из таблицы нормального распределения получим . Подставим полученные значения в (4.9 и 4.10):

б) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, при неизвестной дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения Стьюдента с числом степеней свободы . Соответствующие квантили равны . Подставим полученные значения в (4.15 и 4.16):

в) Вычислим доверительный интервал для дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения . Симметричный 97% вероятностный интервал с числом степеней свободы . Подставив полученные значения в (16.21), получим:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45938. Средства измерительной техники. Средство измерений. Автоматичесое средство измерений. Автоматизированное средство измерений 12.24 KB
  Средство измерений. Автоматичесое средство измерений. Автоматизированное средство измерений. Средства измерительной техники измерительная техника – обобщающее понятие охватывающее технические средства специально предназначенные для измерений.
45939. Классификация размерных цепей. Основные термины и определения. Метод расчета размерных цепей, обеспечивающие полную взаимозаменяемость 35.97 KB
  Размерные цепи отражают объективные размерные связи в конструкции машины технологических процессах изготовления ее детали и сборки при измерении возникающие в соответствии с условиями решаемых задач. Обозначаются размерные цепи прописными буквами русского алфавита и строчными буквами греческого алфавита кроме . Размеры образующие размерную цепь называют звеньями размерной цепи. Одно звено в размерной цепи замыкающее исходное а остальные – составляющие.
45941. Назначение и виды валов и осей. Типы соединения вала с установленными на нем деталями. Технические требования к рабочим поверхностям вала. Расчет вала на прочность по напряжению изгиба и кручения 28.5 KB
  Валы в отличие от осей предназначены для передачи вращающих моментов и в большинстве случаев для поддержания вращающихся вместе с ними относительно подшипников различных деталей машин. Валы несущие на себе детали через которые передается вращающий момент воспринимают от этих деталей нагрузки и следовательно работают одновременно на изгиб и кручение. При действии на установленные на валах детали осевых нагрузок валы дополнительно работают на растяжение или сжатие. Прямые валы в зависимости от...
45942. Муфты. Виды соединительных муфт. Особенности их назначения и эксплуатации 28.5 KB
  Муфты. Муфты приводов осуществляют соединение валов концы которых подходят один к другому вплотную или разведены на небольшое расстояние причем соединение должно допускать передачу вращающего момента от одного вала к другом. Муфты приводов подразделяются на четыре класса Класс 1 нерасцепляемые муфты в которых ведущая и ведомая полумуфты соединены между собой постоянно. Класс 2 управляемые муфты позволяющие сцеплять и расцеплять ведущий и ведомый валы как во время их остановки так и во время работы на ходу.
45943. Подшипники скольжения. Виды подшипников по назначению и воспринимаемой нагрузке. Типовые элементы конструкции. Материалы вкладышей 29 KB
  В зависимости от рода трения в подшипнике различают подшипники скольжения в которых опорная поверхность оси или вала скользит по рабочей поверхности подшипника и подшипники качения в которых развивается трение качения благодаря установке шариков или роликов между опорными поверхностями оси или вала и подшипника. В зависимости от направления воспринимаемой нагрузки подшипники скольжения различают: радиальные для восприятия радиальных т. При одновременном действии на ось или вал радиальных и осевых нагрузок обычно применяют сочетание...
45944. Подшипники качения. Классификация и краткая характеристика их применяемости. Расчетная долговечность и коэффициент работоспособности 28.5 KB
  Методы регулировки зазора в подшипниках качения. Подшипники качения состоят из наружного и внутреннего колец с дорожками качения; шариков или роликов которые катятся по дорожкам качения колец; сепаратора разделяющего и направляющего шарики или ролики что обеспечивает их правильную работу. По форме тел качения различают шариковые и роликовые подшипники.
45945. Основные типы деформации деталей машин и примеры их реализации 36 KB
  Основные типы деформации деталей машин и примеры их реализации Деформация это изменение формы и размера тела после приложения внешних нагрузок. Деформация зависит от характера приложенной нагрузки. Обычно деформация кручения сопровождается другими деформациями например изгибом; 5 изгиб возникает при действии на деталь сосредоточенной или распределённой сил перпендик. Сила Ft= ; Ft деформация кручения Frизгиб балки.