10969

Статистические критерии Что такое критерий значимости?

Лекция

Математика и математический анализ

Статистические критерии Что такое критерий значимости Прежде чем перейти к рассмотрению понятия статистической гипотезы сформулируем так называемый принцип практической уверенности лежащий в основе применения выводов и рекомендаций полученных с помощью теории ...

Русский

2013-04-03

236.79 KB

33 чел.

Статистические критерии

Что такое критерий значимости?

Прежде, чем перейти к рассмотрению понятия статистической гипотезы, сформулируем так называемый принцип практической уверенности, лежащий в основе применения выводов и рекомендаций, полученных с помощью теории вероятностей и математической статистики:

Если вероятность события в данном испытании очень мала, то при однократном испытании можно быть уверенным в том, что событие не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, как будто, событие вообще невозможно.

Вопрос о том, насколько малой должна быть вероятность события , чтобы его можно было считать практически невозможным, выходит за рамки математической теории и решается в каждом отдельном случае с учетом важности последствий, вытекающих из наступления события .

В ряде случаев можно пренебречь событиями, вероятность которых меньше 0.05, а в других, когда речь идет, например, о разрушении сооружений, гибели судна и т.п. нельзя пренебрегать событиями, которые могут появиться с вероятностью, равной 0.001.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину , которая служит для проверки гипотезы.

Критерии значимости (критерии проверки гипотез, иногда – просто тесты) – это простейшие, но, наиболее широко используемые статистические средства.

Критерий значимости дает возможность статистику найти разумный ответ на вопрос, подобный следующим:

  1.  Сталь, произведенная разными методами, имеет неодинаковые пределы прочности. "Указывает ли это на то, что производимая разными методами сталь имеет различную прочность, или же выявленное различие можно объяснить выборочными флуктуациями?"
  2.  "Превосходит ли по эффективности одно противогриппозное средство другое?"
  3.  "Способствует ли отказ от курения снижению вероятности раковых заболеваний?"
  4.  "Превосходит ли по воздействию одно удобрение другое при выращивании овощей?"

Проверка гипотез

Статистической – называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Рассмотрим простейший вид статистической процедуры, называемой проверкой гипотез.

Пусть дана некоторая оценка , построенная по выборке из независимых наблюдений СВ . Предположим, что есть основания считать истинное значение оцениваемого параметра равным . Однако даже если истинное значение параметра равно , выборочное значение , вероятно, не будет в точности равняться из-за выборочной изменчивости, присущей . Поэтому возникает следующий вопрос. Если предположить, что , то, при каком отклонении от , эта гипотеза должна быть отвергнута как несостоятельная? На этот вопрос ответ можно дать в статистических терминах, вычислив вероятность любого значимого отклонения от по выборочному распределению . Если вероятность такого отличия мала, то отличие следует считать значимым, и гипотеза должна быть отвергнута. Если же вероятность такого отличия велика, то отклонение следует приписать естественной статистической изменчивости, и гипотеза может быть принята.

Проиллюстрируем общий подход, предположив, что выборочное значение , являющееся оценкой параметра , имеет плотность вероятности нормального распределения . Теперь, если гипотеза верна, то должна иметь среднее значение (рис. 6.1).

Рис.6.1. Область принятия и отклонения гипотезы (двусторонний критерий)

Вероятность , использованная при испытании гипотез, называется уровнем значимости критерия. 

Вероятность того, что окажется меньше нижней границы , равна вероятности того, что превзойдет верхнюю границу и каждая из них равна . Следовательно, вероятность того, что окажется вне интервала, заключенного между этими границами равна . Область значений , при которых гипотеза принимается, называется областью принятия гипотезы.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу . В данном примере .

Область значений , при которых гипотеза должна быть отвергнута, называется областью отклонения гипотеза или критической областью.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит нулевой. В данном примере .

Рассмотренный нами простой критерий испытания гипотез называется двусторонним критерием, т.к., когда гипотеза неверна, значение может быть либо больше, либо меньше .

В других случаях достаточно бывает односторонних критериев. Например, пусть основная гипотеза . Тогда альтернативная гипотеза состоит в том: . Следовательно, в критерии должна использоваться только нижняя (левая) граница , определяемая по плотности вероятности .

Рис.6.2. Область принятия и отклонения гипотезы (односторонний критерий)

При проверке гипотезы возможны два типа ошибок.

  1.  Во-первых, гипотеза может быть отклонена, хотя фактически она верна. Такая ошибка называется ошибкой первого рода.
  2.  Во-вторых, гипотеза может быть принята, хотя фактически она неверна. Такая ошибка называется ошибкой второго рода.


Проиллюстрируем эти понятия графически (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Определение ошибки первого и второго рода при проверке гипотез

Из рисунка видно, что ошибка первого рода происходит в том случае, когда при справедливости гипотезы значение попадает в область ее отклонения (критическую область). Следовательно, вероятность ошибки первого рода равна , т.е. уровню значимости критерия.

Для определения вероятности ошибки второго рода предположим, к примеру, что истинный параметр равен либо , либо
(см. рис. 6.3). Если гипотеза состоит в том, что
, тогда как на самом деле , то вероятность того, что попадает в область принятия гипотезы, заключенную между и равна . Следовательно, вероятность ошибки второго рода равна при выявлении отклонения величиной от гипотетического значения .

Вероятность называется мощностью критерия.

Следует отметить, что вероятности ошибок первого и второго рода вычисляются при разных предположениях о распределении (если верна гипотеза и если верна гипотеза ), так что никаких раз и навсегда фиксированных соотношений (например , независимо от вида гипотезы и вида критерия) между ними нет. Таким образом, при фиксированном объеме выборки , мы можем сколь угодно уменьшать ошибку первого рода, уменьшая уровень значимости . При этом, естественно, возрастает вероятность ошибки второго рода (уменьшается мощность критерия). Единственный способ одновременно уменьшить ошибки первого и второго рода и – увеличить размер выборки . Именно такие соображения лежат в основе выбора нужного размера выборки в статистических экспериментах.


Пример 1. ПОСТРОЕНИЕ КРИТЕРИЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

Предположим, что среднее значение СВ равно , также предположим, что дисперсия известна и равна . Необходимо найти объем выборки , позволяющий построить критерий проверки гипотезы с 5% – уровнем значимости и 5% – ошибкой второго рода для выявления 10% – отклонений от гипотетического значения. Построим также область принятия гипотезы .

Решение. Выборочное среднее , определяемое формулой (3.2), является несмещенной оценкой . Соответствующее выборочное распределение определяется из соотношения (4.6):

    (6.1)

где имеет распределение . Верхняя и нижняя границы области принятия гипотезы соответственно равны:

   (6.2)

Если теперь истинное среднее значение равно , то с вероятностью произойдет ошибка второго рода, если выборочное среднее окажется меньше (левее) верхней границы и больше (правее) нижней. В терминах выборочного распределения со средним или для верхней и нижней границ (см. рис. 6.3):

  (6.3)

Итак, справедливы следующие равенства:

 (6.4)

Вспомним, что благодаря симметричности распределения справедливы равенства:

  (6.5)

Теперь из (6.4) с учетом (6.5) найдем требуемый объем выборки:

    (6.6)

Для конкретных значений данного примера:

Подставим эти значения в (6.6) и получим значение необходимого объема выборки . Таким образом, объем выборки должен быть равен или больше пятидесяти двух. Область принятия гипотезы определяется соответствующими границами (верхней и нижней) (6.2):


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76370. Международная экономическая интеграция. Формы (уровни) международной экономической интеграции 260.5 KB
  Борьба за упрочение своего экономического положения побуждает страны к образованию различных интеграционных объединений. Партнеры по объединению получают определенные преференции по сравнению с другими странами но платят за это ответными обязательствами по отношению к партнерам. Международная экономическая интеграция это процесс хозяйственнополитического объединения стран на основе глубоких устойчивых взаимосвязей и разделения труда между национальными хозяйствами. На микроуровне этот процесс идет через взаимодействие отдельных фирм...
76371. Международное движение капитала. Сущность и формы движения капитала 121 KB
  Международное движение капитала Сущность и формы движения капитала Вывоз капитала зарубежное инвестирование представляет собой процесс изъятия части капитала из национального оборота в данной стране и перемещение его в товарной или денежной форме в производственный процесс и обращение другой страны. Важнейшими причинами вывоза капитала являются: 1. Более низкие экологические стандарты в принимающей стране чем в странедоноре капитала. В зависимости от собственника вывоз капитала делится на 3 вида: 1 частный вывоз капитала крупные...
76372. Международная миграция трудовых ресурсов. Проблемы оптимального размещения трудовых ресурсов в мировой экономике 106.5 KB
  Проблемы оптимального размещения трудовых ресурсов в мировой экономике Миграция рабочей силы переселение трудоспособного населения из одних государств в другие сроком более чем на год вызванное причинами экономического и иного характера. Различают внутреннюю миграцию рабочей силы происходящую между регионами одного государства и внешнюю миграцию затрагивающую несколько стран. силы утечка мускулов перемещение высококвалифицированной раб. силы утечка умов Первая форма получила свое развитие еще при рабовладельческом строе...
76373. Международные валютно-финансовые и кредитные отношения 87 KB
  Цена единицы национальной валюты выраженная в единицах иностранной валюты называется валютный обменный курс exchnge rte. Валютный курс играет важную роль в развитии международной торговли и движении капитала. Таким образом с помощью валютных курсов производители и потребители приводят цены на товары в сопоставимый вид и формируют на этой основе международные потоки товаров. Фиксирование курса национальной денежной единицы по отношению к иностранным денежным единицам принято называть валютной котировкой currency quottion.
76374. Платежный баланс. Понятие и структура платежного баланса 75.5 KB
  В этом случае итальянская фирма осуществила продажу а Сбербанк покупку российских активов банковского депозита на сумму в 1000 долл и эта сделка будет отражена в российских счетах движения капитала. Такая операция создает две компенсирующие бухгалтерские записи в платежном балансе РФ: Кредит Дебет Покупка принтера текущий счет российский импорт 1000 долл Продажа банковского депозита осуществляемая Сбербанком счет движения капитала экспорт российских активов 1000 долл 2. Поэтому когда вы расплачиваетесь за свой обед за...
76375. Мировой рынок. Конъюнктура мирового рынка. Ценообразование в международной торговле 64.5 KB
  В зависимости от уровня конкретной цены на конкретный товар зависит решение тех или иных проблем возникающих у продавца: возмещение понесенных издержек производства и обращения товара доходность производства данного товара и его реализации появление новых стимулов для расширения внешнеэкономических связей или их свертывания. Цены в международной торговле как и внутри страны зависят от конкретной рыночной ситуации соотношения спроса и предложения но здесь оказывает влияние более широкий круг участников влияющих на конъюнктуру и...
76376. Мировое хозяйство и международные экономические отношения 50.5 KB
  Международные экономические отношения МЭО система хозяйственных связей между национальными экономиками отдельных стран соответствующими субъектами хозяйствования. МЭО особая сфера деятельности основанная на международном разделении труда. МЭО объективно вытекают из процесса разделения труда международной специализации производства и науки интенационализации хозяйственной жизни. Становление и развитие МЭО определяются усилением взаимосвязи и взаимозависимости экономик отдельных стран.
76377. Формирование мирового хозяйства и МРТ 78.5 KB
  Финикийские и греческие торговцы не только торговали по всему Средиземноморью собственными и приобретенными в других странах товарами но и оказывали услуги перевозя чужие грузы и иноземных пассажиров. Район Средиземноморья и Черного моря вместе с прилегающими странами Западной Азии стал тем регионом мира где еще в глубокой древности зародилось ядро МХ. Экономика различных стран становилась более открытой: в 1913 экспорт европейских стран составлял 14 их ВВП против 55 в 1830г. Тогда впервые возникла мировая система мирохозяйственных...
76378. Теория международной торговли с позиции предложения товаров и услуг 221.5 KB
  Теория международной торговли Тема 4. Теория международной торговли с позиции предложения товаров и услуг Торговля является традиционной и древнейшей формой МЭО. Меркантилизм Экономическая мысль на протяжении по крайней мере трех последних столетий пытается теоретически осмыслить проблемы международной торговли и ответить на следующие вопросы: Почему страны торгуют А точнее что определяет какие товары следует импортировать и какие экспортировать Как международная торговля влияет на производство и потребление в каждой стране Как...