1097

Преобразование Фурье

Лекция

Математика и математический анализ

Аналоговое преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по частоте. Метод двоичной инверсии.

Русский

2013-01-06

225 KB

188 чел.

лекция

Преобразование Фурье

Рассматриваются следующие вопросы:

- аналоговое преобразование Фурье

- дискретное преобразование Фурье

- алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени

- алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по частоте

- метод двоичной инверсии

3.1. Аналоговое преобразование Фурье

При обработке акустических сигналов важную роль играет анализ их частотно-амплитудного представления (спектра). Наиболее распространенным методом выделения спектра сигнала является преобразование Фурье [5,6].

Аналоговый сигнал  переводится в спектральное представление с помощью прямого аналогового преобразования Фурье в виде (3.1).

(3.1)

Обратное аналоговое преобразование Фурье осуществляется      согласно (3.2)

(3.2)

Спектр аналогового сигнала (3.3) представляет собой совокупность гармонических колебаний (гармоник), характеризующихся амплитудой , начальной фазой  и угловой частотой w.

(3.3)

Поскольку современные ЭВМ представляют собой цифровые устройства, то вместо аналогового преобразования используется дискретное.

3.2. Дискретное преобразование Фурье

Прямое ДПФ конечной последовательности  {x(n)}, , позволяет получить спектр в виде  

,     (3.4)

Аналогично аналоговому сигналу, спектр дискретного сигнала представляет собой совокупность гармонических колебаний (гармоник), характеризующихся амплитудой (3.5), начальной фазой (3.6) и угловой частотой (3.7).

,  (3.5)

, (3.6)

,   (3.7)

где ,  - коэффициенты ряда Фурье, .

Графическое представление, наглядно интерпретирующее коэффициенты ряда Фурье принято называть спектральной диаграммой периодического сигнала. Различают амплитудные и фазовые диаграммы дискретного сигнала (рис.3.1).

               а)                                                 б)

Рис. 3.1. Спектральные диаграммы сигнала x(n):

а) - амплитудная; б) - фазовая

Обратное ДПФ выглядит следующим образом

,  (3.8)

Прямое ДПФ можно представить в более удобной форме в виде

, , (3.9)

где . Легко показать, что  является периодической последовательностью с периодом N, т.е.

 

Обратное ДПФ выглядит следующим образом:

,  (3.10)

Ниже будет показано, что периодичность  является одним из ключевых моментов БПФ. Часто периодичность  подчеркивают тем, что  вместо   записывают .

При непосредственных вычислениях  заменяется на . Используя формулу (3.4), можно записать

 (3.11)

,

Из формулы (3.8) следует, что непосредственное вычисление дискретного преобразования Фурье последовательности  x(n) требует  умножений (или сложений) комплексных чисел.

Таким образом, для достаточно больших N  (порядка 1024) прямое вычисление ДПФ требует выполнения чрезмерного количества вычислительных операций.

Для более эффективного вычисления ДПФ используются алгоритмы быстрого преобразования Фурье. Эти алгоритмы сравнимы по эффективности и образуют следующие классы -  алгоритмы БПФ с прореживанием по времени и алгоритмы БПФ с прореживанием по частоте.

3.3. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени

Основная идея БПФ с прореживанием по времени состоит в том, чтобы разбить исходную N-точечную последовательность x(n) на две более короткие последовательности, ДПФ которых могут быть скомбинированы таким образом, чтобы получилось ДПФ исходной N-точечной последовательности. Так, например, если N  четное, а исходная N-точечная последовательность разбита на две N/2-точечные последовательности, то для вычисления искомого N-точечного ДПФ потребуется порядка  2(N/2)2=N2/2  комплексных умножений, т.е. вдвое меньше по сравнению с прямым вычислением. Здесь множитель (N/2)2 дает число умножений, необходимое для прямого вычисления N/2-точечного ДПФ, а множитель 2 соответствует двум ДПФ, которые должны быть вычислены. Эту операцию можно повторить, вычисляя вместо N/2-точечного ДПФ два N/4-точечных ДПФ (предполагая, что N/2 четное) и сокращая тем самым объем вычислений еще в два раза.

Проиллюстрируем описанную методику для N-точечной последовательности {x(n)}, считая, что N равно степени 2. Введем две N/2-точечные последовательности  { x1(n) } и { x2(n) }  из четных и нечетных членов x(n) соответственно, т.е.

x1(n) = x(2n),      ,

x2(n) = x(2n+1),  .

N-точечное ДПФ последовательности  {x(n)}  можно записать как

(3.12)

             четные              нечетные

,    

С учетом того, что

(3.13)

перепишем выражение (3.12) в виде

(3.14)

,   ,  (3.15)

где X1(k) и X2(k) равны N/2-точечным ДПФ последовательностей  x1(n) и x2(n).

Из формулы (3.15) следует, что N-точечное ДПФ X(k) может быть разложено на два N/2-точечных ДПФ, результаты которых объединяются согласно (3.15). Таким образом, БПФ обеспечивает рекуррентное вычисление всех 2-точечных, затем 4-точечных, …, N-точечных ДПФ.

Общее число комплексных умножений и сложений равно , что значительно меньше  (количество комплексных умножений и сложений без использования БПФ).

3.4. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по частоте

В данном алгоритме исходная последовательность {x(n)} также разбивается на две последовательности {x1(n)} и {x2(n)}, содержащие по N/2 отсчетов, но в данном случае в последовательность {x1(n)} записываются не четные отсчеты, а все отсчеты, расположенные в интервале , а в последовательность {x2(n)} – не нечетные отсчеты, а все отсчеты, расположенные в интервале , т.е.

,   ;

,   .

В этом случае ДПФ последовательности {x(n)}  можно записать в виде

(3.16)

             четные                    нечетные

,    

Учитывая, что , получим

 (3.17)

Запишем выражения отдельно для четных и нечетных частотных отсчетов

, (3.18)

, (3.19)

Общее число комплексных умножений и сложений равно , что значительно меньше  (количество комплексных умножений и сложений без использования БПФ).

3.5. Метод двоичной инверсии

Особенностью алгоритмов БПФ является перестановка элементов входной последовательности. Перед вычислением (3.15) или (3.18)-(3.19) используется двоично-инверсный метод (рис.3.2). Как видно из алгоритма, исходный номер k преобразуется в двоично-инверсный номер m. Четность проверяется отсутствием единицы в самом младшем разряде. Для ускорения работы алгоритма операции  2*m  и  [k/2] заменяются сдвигами на единицу влево или вправо соответственно.

Преобразование линейной последовательности в двоично-инверсную для 8 элементов представлено в табл.3.1.

Таблица 3.1

Пример метода двоичной инверсии

Индекс в линейной последовательности

Двоичное представление

Двоичная инверсия

Номер в двоично-инверсной последовательности

0

000

000

0

1

001

100

4

2

010

010

2

3

011

110

6

4

100

001

1

5

101

101

5

6

110

011

3

7

111

111

7

3.6 Численное исследование звуков речи и оборудования посредством преобразования Фурье

В работах [1, 38] было проведено численное исследование. На рис.3.3 представлен звук «а» в амплитудно-временном представлении, а на рис.3.4 – в амплитудно-частотном. На рис.3.5 представлен звук «ш» в амплитудно-временном представлении, а на рис.3.6 – в амплитудно-частотном. Как видно из рис.3.4 и 3.6, звук «а» наиболее ярко выделяется в частотном диапазоне до 2000 Гц, а звук «ш» - в частотном диапазоне свыше 2000 Гц.

Рис. 3.2. Двоично-ннверсный метод

Рис. 3.3. Звук «а» в амплитудно-временном представлении

Рис. 3.4. Звук «а» в амплитудно-частотном представлении

Рис. 3.5. Звук «ш» в амплитудно-временном представлении

Рис. 3.6. Звук «ш» в амплитудно-частотном представлении

Другой областью применения преобразования Фурье является исследование дефектов оборудования. На рис.3.7-3.8 приведены: временное представление акустического сигнала, полученного от подшипника турбовентилятора (рис.3.7); амплитуда спектра сигнала (рис.3.8); преобразованная амплитуда спектра сигнала (выделены частоты, связанные с возможными дефектами, характерными для этого класса подшипника) (рис.3.9).

Согласно рис.3.9, амплитуда частоты 38 Гц (первая гармоника частоты вращения ротора) превышает допустимый порог.

Рис. 3.7. Временное представление акустического сигнала

Рис. 3.8. Амплитуда спектра сигнала

Рис. 3.9. Преобразованная амплитуда спектра сигнала


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48651. ПСИХОЛОГІЧНІ ВАЖЕЛІ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ БЕЗПЕКИ ЛЮДИНИ. МОДЕЛІ ФОРМУВАННЯ ЗДОРОВ’Я 278 KB
  Фактично люди мають дві нервові системи: центральну і вегетативну. Центральна нервова система керує відносинами людини із зовнішнім світом. Вона включає: спинний мозок, великі півкулі головного мозку, які зв’язані з проміжним мозком, середній мозок, задній мозок, довгастий мозок, мозочок. Вегетативна нервова система керує діяльністю внутрішніх органів.
48652. Расчет структуры электромагнитных полей 780 KB
  Задача настоящей работы – теоретическое исследование электромагнитного поля, основывающееся на классических представлениях о нём, и численное нахождение его характеристик.
48653. Перспективы и состояние разработок распределительных трансформаторов массовых серий 384.5 KB
  Распределительные трансформаторы мощностью 25 630 кВ А напряжением 6 10 кВ наиболее массовая серия ид производимых и эксплуатируемых трансформаторов в СССР. Производство и эксплуатация этих трансформаторов требует значительных материальных и трудовых затрат любое снижение затрат дает существенную экономию в народном хозяйстве. Снижение затрат на производство и эксплуатацию трансформаторов является основной задачей изготовителей для решения которой необходимо: снизить расход активных материалов при использовании...
48654. МЕХОВЫЕ ТОВАРЫ 13.31 MB
  Топография и химический состав шкурки стр. Меховые товары это пушно-меховые и овчинно-шубное сырье шкурки выделанные меховые и овчинно-шубные изделия. Меховые товары невыделанные шкурки пушно-меховое сырьё и выделанные шкурки пушно-меховой полуфабрикат объединяются в группу пушно-меховые товары. Ценность меховых товаров определяется четырьмя основными свойствами которыми обладают пушно-меховые шкурки: высокими теплозащитными...
48655. Робота з программами навчального призначення: іноземна мова, математика 341.5 KB
  Запустив програму MS Word 2007. Щоб запустити програмуперекладач треба натиснути на рецензированиеперевод і вставити текст.Скопіював переклад у буферізакрив програму перекладач і вставив переклад у свій документ.
48656. Порівняння заробітної плати в Україні та інших країнах світу 242 KB
  Нарешті необхідність належної збалансованості економічних інтересів учасників виробництва потребує збільшення частки оплати праці у структурі суспільного продукту. Отже для розвитку економіки збільшення інвестицій необхідне зростання рівня оплати праці. Актуальність теми дослідження зумовлена необхідністю наближення рівня продуктивності працізаробітної плати і доходів найманих працівників до рівня розвинутих країн. Це зумовлює необхідність здійснення системного дослідження оплати праці в Україні та інших країнах світу.
48657. Расчет структуры электромагнитных полей 373 KB
  Для заданной геометрии и параметров среды получены аналитические выражения значений потенциалов и напряженностей полей внутри и вне цилиндрической полости, а также значение вектора магнитной индукции в заданной точке
48658. Комерційна діяльність 336.49 KB
  Руські торгівці вели зовнішню торгівлю вроздріб, кожен сам по собі, на свій страх і ризик. Від цього сили і засоби окремих руських купців, як правило, недостатніми для цього діла, тому вони не могли витримати конкуренцію закордонних купців і постійно залишались в «мінусах»
48659. СПОСОБИ ПОЛІПШЕННЯ ТЕПЛОІЗОЛЯЦІЇ БУДІВЕЛЬ СТАРОЇ ЗАБУДОВИ 565 KB
  Метою цієї роботи є визначення порядку чергування огороджувальних шарів стіни несуча та теплоізолююча частина що забезпечить найменші темп та швидкість її охолодження з метою вибору оптимальних варіантів енергозберігаючих рішень по утепленню житлових приміщень старої забудови постійного та періодичного опалення. У роботі проведено розрахунок розподілу температури по шарах для різних конструкцій утеплених стін визначено кількість теплоти що треба витратити на кожен квадратний метр поверхні стіни аби температура у приміщенні стала...