10970

Различие между двумя выборочными средними

Лекция

Математика и математический анализ

Различие между двумя выборочными средними Пусть дана выборка из значений нормально распределённой СВ и значений нормально распределенной СВ причем Необходимо проверить гипотезу против гипотезы . Заметим что дисперсии и нам известны. Кроме того предположени...

Русский

2013-04-03

173.29 KB

15 чел.

Различие между двумя выборочными средними

Пусть дана выборка из значений нормально распределённой СВ и значений нормально распределенной СВ , причем

Необходимо проверить гипотезу , против гипотезы .

Заметим, что дисперсии и нам известны. Кроме того, предположение относительно нормальности распределения указанных величин не входит в проверяемую гипотезу.

Как было показано раньше, выборочные средние и являются эффективными и несмещенными оценками соответствующих математических ожиданий с соответствующими дисперсиями: .

В качестве статистики (оценки) возьмем:

   (7.1)

В (7.1) мы воспользовались свойством, дисперсия разности равна сумме дисперсий. Статистика , и теперь легко проверить, сравнив с табличными значениями, значимо ли отличается от нуля.

Если дисперсии и неизвестны, то можно воспользоваться объединённой оценкой , полученной из обеих выборок:

   (7.2)

В этом случае мы используем статистику c  степенями свободы:

 (7.3)

Вспомним, что статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Отметим, что для статистики и можно рассматривать, как двусторонние, так и односторонние критерии.

Пример 7.1. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНИХ

Имеется 13 мотков пряжи, которые надо исследовать, не изменяются ли при намокании её способность к вытягиванию. Шесть произвольных мотков подвергли испытанию на растяжение, для чего подвешивается груз фиксированной величины. Относительное удлинение мотков (СВ ) приведено в таблице:

1

2

3

4

5

6

12.3

13.7

10.4

11.4

14.9

12.6

Оставшиеся семь мотков были тщательно намочены и подвергнуты испытаниям с теми же грузами:

1

2

3

4

5

6

7

15.7

10.3

12.6

14.5

12.6

13.8

11.9

Подсчитаем:

Требуется проверить, случайно ли полученное различие?

Для этого выдвинем гипотезы . В связи с тем, что дисперсия неизвестна, вычислим объединенную выборочную дисперсию (7.2):

.

Подставим полученные значения в (7.3):

По таблицам распределения Стьюдента для одиннадцати степеней свободы определяем, что вероятность того, что отличается от нулевого среднего в любую сторону более чем на равна 0.6. Поэтому нет оснований считать полученный результат необычным. Т.е. обнаруженная разница незначима, и верна гипотеза .

Критерий Фишера

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону. Гипотезы о дисперсиях возникают довольно часто, так как дисперсия характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов, степень однородности совокупностей, риск, связанный с отклонением доходности активов от ожидаемого уровня, и т.д.

Сформулируем задачу. Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны  и . Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. : относительно конкурирующей  или .

Для проверки гипотезы  из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемом  и . Так как оценки дисперсий  и  нам неизвестны, воспользуемся несмещенными выборочными оценками дисперсий  и .

Тогда при справедливости гипотезы : в качестве оценки  можно взять те же дисперсии  и , рассчитанные по элементам первой и второй выборок.

Известно, что выборочные характеристики  и  имеют распределение  соответственно с  и  степенями свободы, а их отношение  имеет  распределение
Фишера – Снедекора с
 и  степенями свободы. Следовательно, случайная величина , определяемая отношением:

,    (7.4)

т.е. отношение несмещенных выборочных дисперсий имеет
 распределение Фишера – Снедекора с   и  степенями свободы.

Очевидно, что при равенстве дисперсий величина критерия будет равна единице. В остальных случаях она будет больше (меньше) единицы. При формировании критерия отклонения (принятия) гипотезы  следует учесть, что распределение статистики  (в отличие от нормального или распределения Стьюдента является несимметричным.)

Критерий Фишера  – двусторонний критерий, и нулевая гипотеза принимается (отвергается альтернативная гипотеза ) если . Здесь  и , где – объем первой и второй выборки соответственно.

На рис. 7.1 приведено распределение . При проверке одностороннего критерия гипотеза  отвергается в пользу альтернативной гипотезы  если  – левосторонняя критическая область (рис. 7.1а), либо если  – правосторонняя критическая область (рис. 7.1б), либо если  или  – в случае двусторонней критической области (рис. 7.1в).

Рис. 7.1 Критические области распределения Фишера – Снедекора.

Замечание. Для  критерия доказана справедливость соотношения:

.   (7.5)

Пример 7.2. СРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ДВУХ ВЫБОРОК

Пусть поставлена задача, сравнить эффективности обучения двух групп студентов по разным методикам. Успеваемость студентов – случайные величины  и  соответственно, подчинена нормальному закону распределению. В первой группе обучалось  студентов, а во второй – . Качество обучения (эффективность) характеризуется дисперсией. По данным двух выборок (групп) рассчитаны выборочные несмещенные дисперсии  и . Задавая уровень значимости , выясним, можно ли считать эффективности обучения двух методик одинаковыми.

Выдвинем нулевую гипотезу , т.е. эффективности обучения двух различных методик – одинаковы. В качестве альтернативной гипотезы рассмотрим .

Вычислим  (в числителе должна быть большая дисперсия), . По таблицам (STATISTICAProbability Distribution Calculator) находим критическое значение (правосторонняя область см. рис. 7.1б) , которое меньше вычисленного. Следовательно, нулевая гипотеза должна быть отвергнута в пользу альтернативы  . Таким образом, эффективность второй методики значительно выше (дисперсия меньше), чем первой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39529. Технологическое обеспечение процесса заточки круглых протяжек 19.62 MB
  Передний угол является важным параметром при выборе диаметра шлифовального круга и угла наклона его относительно оси протяжки.1 но вследствие подъёма на зуб от черновых зубьев к калибрующим зубьям все больше удаляется от оси протяжки и это изменение должно учитываться при входе шлифовального круга в стружечную канавку при заточке протяжки в автоматическом цикле. при позиционировании имеют место: вертикальные смещения шлифовальной головки и упорки от привода колоны деление подъёма на зуб горизонтальные перемещения протяжки от привода...
39530. ЦИФРОВАЯ ФОТОГРАФИЯ 6.06 MB
  Историкокультурные предпосылки возникновения фотографии и становления фотоискусства c середины до конца XIX в.2 Эволюция искусства фотографии в ХХ веке17 РАЗДЕЛ 2.2 Современные направления в фотографии30 2. Новые тенденции и особенности актуальной японской фотографии.
39531. Информационные технологии. Формы и способы представления данных 1.02 MB
  Формы и способы представления данных. Информация это интерпретация данных. 2 способа представления данных: в текстовом и числовом виде Текстовые данные воспринимаются передающими системами как текст записанный на какомлибо языке. Информационная технология это система методов и способов сбора накопления хранения поиска обработки анализа выдачи данных информации и знаний на основе применения аппаратных и программных средств в соответствии с требованиями предъявляемыми пользователями.
39532. Математическое моделирование 282.2 KB
  Для оценки эффективности проекта срок окупаемости с учетом дисконтирования следует сопоставлять со сроком реализации проекта длительностью расчетного периода. Норма дисконта определяется каждым участником проекта самостоятельно. Для эффективности проекта необходимо чтобы его ЧДД был положительным. Если ЧДД = 0 то проект находится на грани между эффективным и неэффективным что требует не отказа от проекта а более внимательного рассмотрения исходных данных заложенных в расчет эффективности.
39533. Приборы СВЧ и оптического диапазона 184 KB
  Требуется определить как надо изменить другой параметр чтобы получить ту же выходную мощность или как при этом изменится режим усилителя. Во сколько раз надо изменить мощность возбуждения чтобы выходная мощность осталась неизменной Решение: см. найдём отношение: Поскольку сначала до изменения параметров клистрон работал в оптимальном режиме то по графику определяем : Электронная мощность изменяется при изменении тока и напряжения . Но параметры не изменяются при условиях задачи а мощность возбуждения значит результат...
39534. Аудит показателей бухгалтерского баланса в соответствии с МСФО 451.5 KB
  Трудности возникают и из-за несовпадения временных периодов, а также методики учета по окончании периода. Это связано с тем, что и в той и другой системах предусмотрено применение различных отчетных периодов, различных способов закрытия счета и т. д. При этом приходится закрывать счета в каждой базе данных.
39535. Математическое программирование (ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ) 2.42 MB
  Различные формы модели задачи линейного программирования . Формулировка основной задачи линейного программирования . Понятие допустимого решения области допустимых решений оптимального решения задачи линейного программирования . Переход от задачи минимизации целевой функции к задаче максимизации .
39536. Двухэтажный жилой дом с гаражом 212.13 KB
  Условия организации и осуществления строительства Жилое двухэтажное здание с гаражом находится в районе города Луганск который относится к 1 климатическому району.56 Кладка внутренних стен при высоте этажа до 4 м.03 V=FF Кладка перегородок толщиной в 1:2 кирпича при высоте этажа до 4 м.
39537. Экстраполяция трендов. Модель спрос-предложение 86.28 KB
  Постановочный этап: определяются конечные цели исследования моделирования набор участвующих в модели факторов и показателей и их роли. 3 Этап параметризации и спецификации модели: собственно моделирование то есть выбор вида модели функции регрессии в том числе состава и формы входящих в нее связей между переменными. 5 Этап идентификации модели: статистическое оценивание неизвестных параметров модели по собранным данным статистический анализ модели. 6 Этап верификации модели: сопоставление фактических реальных данных и...