10970

Различие между двумя выборочными средними

Лекция

Математика и математический анализ

Различие между двумя выборочными средними Пусть дана выборка из значений нормально распределённой СВ и значений нормально распределенной СВ причем Необходимо проверить гипотезу против гипотезы . Заметим что дисперсии и нам известны. Кроме того предположени...

Русский

2013-04-03

173.29 KB

14 чел.

Различие между двумя выборочными средними

Пусть дана выборка из значений нормально распределённой СВ и значений нормально распределенной СВ , причем

Необходимо проверить гипотезу , против гипотезы .

Заметим, что дисперсии и нам известны. Кроме того, предположение относительно нормальности распределения указанных величин не входит в проверяемую гипотезу.

Как было показано раньше, выборочные средние и являются эффективными и несмещенными оценками соответствующих математических ожиданий с соответствующими дисперсиями: .

В качестве статистики (оценки) возьмем:

   (7.1)

В (7.1) мы воспользовались свойством, дисперсия разности равна сумме дисперсий. Статистика , и теперь легко проверить, сравнив с табличными значениями, значимо ли отличается от нуля.

Если дисперсии и неизвестны, то можно воспользоваться объединённой оценкой , полученной из обеих выборок:

   (7.2)

В этом случае мы используем статистику c  степенями свободы:

 (7.3)

Вспомним, что статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Отметим, что для статистики и можно рассматривать, как двусторонние, так и односторонние критерии.

Пример 7.1. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНИХ

Имеется 13 мотков пряжи, которые надо исследовать, не изменяются ли при намокании её способность к вытягиванию. Шесть произвольных мотков подвергли испытанию на растяжение, для чего подвешивается груз фиксированной величины. Относительное удлинение мотков (СВ ) приведено в таблице:

1

2

3

4

5

6

12.3

13.7

10.4

11.4

14.9

12.6

Оставшиеся семь мотков были тщательно намочены и подвергнуты испытаниям с теми же грузами:

1

2

3

4

5

6

7

15.7

10.3

12.6

14.5

12.6

13.8

11.9

Подсчитаем:

Требуется проверить, случайно ли полученное различие?

Для этого выдвинем гипотезы . В связи с тем, что дисперсия неизвестна, вычислим объединенную выборочную дисперсию (7.2):

.

Подставим полученные значения в (7.3):

По таблицам распределения Стьюдента для одиннадцати степеней свободы определяем, что вероятность того, что отличается от нулевого среднего в любую сторону более чем на равна 0.6. Поэтому нет оснований считать полученный результат необычным. Т.е. обнаруженная разница незначима, и верна гипотеза .

Критерий Фишера

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону. Гипотезы о дисперсиях возникают довольно часто, так как дисперсия характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов, степень однородности совокупностей, риск, связанный с отклонением доходности активов от ожидаемого уровня, и т.д.

Сформулируем задачу. Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны  и . Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. : относительно конкурирующей  или .

Для проверки гипотезы  из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемом  и . Так как оценки дисперсий  и  нам неизвестны, воспользуемся несмещенными выборочными оценками дисперсий  и .

Тогда при справедливости гипотезы : в качестве оценки  можно взять те же дисперсии  и , рассчитанные по элементам первой и второй выборок.

Известно, что выборочные характеристики  и  имеют распределение  соответственно с  и  степенями свободы, а их отношение  имеет  распределение
Фишера – Снедекора с
 и  степенями свободы. Следовательно, случайная величина , определяемая отношением:

,    (7.4)

т.е. отношение несмещенных выборочных дисперсий имеет
 распределение Фишера – Снедекора с   и  степенями свободы.

Очевидно, что при равенстве дисперсий величина критерия будет равна единице. В остальных случаях она будет больше (меньше) единицы. При формировании критерия отклонения (принятия) гипотезы  следует учесть, что распределение статистики  (в отличие от нормального или распределения Стьюдента является несимметричным.)

Критерий Фишера  – двусторонний критерий, и нулевая гипотеза принимается (отвергается альтернативная гипотеза ) если . Здесь  и , где – объем первой и второй выборки соответственно.

На рис. 7.1 приведено распределение . При проверке одностороннего критерия гипотеза  отвергается в пользу альтернативной гипотезы  если  – левосторонняя критическая область (рис. 7.1а), либо если  – правосторонняя критическая область (рис. 7.1б), либо если  или  – в случае двусторонней критической области (рис. 7.1в).

Рис. 7.1 Критические области распределения Фишера – Снедекора.

Замечание. Для  критерия доказана справедливость соотношения:

.   (7.5)

Пример 7.2. СРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ДВУХ ВЫБОРОК

Пусть поставлена задача, сравнить эффективности обучения двух групп студентов по разным методикам. Успеваемость студентов – случайные величины  и  соответственно, подчинена нормальному закону распределению. В первой группе обучалось  студентов, а во второй – . Качество обучения (эффективность) характеризуется дисперсией. По данным двух выборок (групп) рассчитаны выборочные несмещенные дисперсии  и . Задавая уровень значимости , выясним, можно ли считать эффективности обучения двух методик одинаковыми.

Выдвинем нулевую гипотезу , т.е. эффективности обучения двух различных методик – одинаковы. В качестве альтернативной гипотезы рассмотрим .

Вычислим  (в числителе должна быть большая дисперсия), . По таблицам (STATISTICAProbability Distribution Calculator) находим критическое значение (правосторонняя область см. рис. 7.1б) , которое меньше вычисленного. Следовательно, нулевая гипотеза должна быть отвергнута в пользу альтернативы  . Таким образом, эффективность второй методики значительно выше (дисперсия меньше), чем первой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34577. КРЕПОСТНОЕ ПРАВО В РОССИИ: ЭТАПЫ СТАНОВЛЕНИЯ, СУЩНОСТЬ, СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПОСЛЕДСТВИЯ (XV – XV III вв.) 17.29 KB
  Отличительной чертой крепостного права как формы феодальной зависимости крестьян является прикрепление их к земле и подчинение административной и судебной власти феодала. Процесс закрепощения крестьян в России начинался в конце XV в. Основным источником доходов помещиков становится земля а вернее труд крестьян на их землях. крестьяне имели право свободного перехода от одного владельца к другому и часто этим правом пользовались.
34578. ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ ПОЛИТИКА ПЕРВЫХ РОМАНОВЫХ 20.78 KB
  собрался Земский собор для решения вопроса о власти. Земский собор 1613 г. Заседания чаще всего шли в Успенском соборе Кремля. Земский собор отсек европейских кандидатов приняв решение о том что царем должен быть человек из российских земель.
34579. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЕТРА I. ОФОРМЛЕНИЕ АБСОЛЮТИЗМА 24.13 KB
  Гридунова Петр I вошел в историю России как царьреформатор благодаря кардинальным преобразованиям в различных сферах общественной жизни в том числе государственного управления экономики культуры. началась реформа госаппарата. Создание нового полноценного государственного аппарата было бы невозможно если бы реформа не коснулась низшего звена управления – местного аппарата. РЕФОРМА В АРМИИ.
34580. РОССИЙСКАЯ ИМПЕРИЯ В 1725–1762 гг. 17.79 KB
  Меншиков который сумел подчинить себе и нового императора двенадцатилетнего Петра II даже рассчитывал женить его на своей дочери. О продолжении дела Петра Великого в этот период вспоминали мало даже столица государства была фактически перенесена в Москву. Петра II мало интересовали государственные проблемы. Петр II внезапно умер заболев оспой и верховники пригласили на царствование племянницу Петра I вдову курляндского герцога Анну Иоанновну оговорив ее воцарение рядом условий – кондиций не выходить замуж не назначать...
34581. ПРОСВЕЩЕННЫЙ АБСОЛЮТИЗМ»: ЦЕЛИ, МЕТОДЫ, ПРОТИВОРЕЧИЯ 19.82 KB
  В отличие от откровенно продворянской и прокрепостнической политики самодержавия предшествующего периода политика просвещенного абсолютизма Екатерины II приобрела новые черты: – лавирование; – использование для маскировки своей продворянской прокрепостнической сути политических экономических и философских концепций просветителей с выхолащиванием их антифеодального содержания; – применение социальной демагогии о стремлении к ограничению рабства всеобщему благосостоянию к свободе экономической деятельности и т. Вольным экономическим...
34582. ФОРМИРОВАНИЕ ТЕРРИТОРИИ РОССИЙСКОГО ГОСУДАРСТВА. ОБРАЗОВАНИЕ ИМПЕРИИ (XV – XIX вв.) 19.54 KB
  В процессе формирования территории России можно выделить 3 этапа. Заявление Ивана III что вся территория Киевской Руси его отчина привело к многовековой борьбе России с Польшей за западнорусские земли Киевской Руси. Таким образом вся Волга была включена в состав России. При царе Федоре Иоанновиче Борис Годунов дипломатическим путем возвратил России эту территорию.
34583. РЕФОРМЫ НАЧАЛА XIX в.: ПЛАНЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ. М.М. СПЕРАНСКИЙ 18.68 KB
  Император Павел I был убит заговорщиками в числе которых состоял его сын Александр. Время правления Александра I 1801–1825 гг. С идеями французских просветителей он был знаком благодаря швейцарцу Лагарпу учителю Александра I к которому император обращался за советом. Заручившись поддержкой гвардии Александр отверг предложенные заговорщиками проекты ограничивающие самодержавие конституцией.
34584. ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ В 1825 –1855 гг 19.62 KB
  ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ В 1825 –1855 гг. В то время как в большинстве западных государств политический строй принимал новые конституционные формы в России происходило укрепление крайних форм самодержавия. Она противопоставляла самобытную Россию растленному Западу восхваляя существующие в России порядки. армия чиновников в России составляла 100 тыс.
34585. ОТМЕНА КРЕПОСТНОГО ПРАВА РЕФОРМЫ 60–70-х гг. XIX в 19.71 KB
  отчетливо обозначилось отставание социальноэкономического политического технического развития России от европейских государств. Это проявилось в отмене прежних указов наиболее очевидно нарушающих права граждан России уничтожение поселений разрешение свободной выдачи заграничных паспортов ослабление цензуры снятие запретов введенных в университетах после 1848 г. Самой болезненной проблемой страны было крепостное право большинство подданных России находились как бы в неестественном правовом положении. Социальные волнения охватили...