10970

Различие между двумя выборочными средними

Лекция

Математика и математический анализ

Различие между двумя выборочными средними Пусть дана выборка из значений нормально распределённой СВ и значений нормально распределенной СВ причем Необходимо проверить гипотезу против гипотезы . Заметим что дисперсии и нам известны. Кроме того предположени...

Русский

2013-04-03

173.29 KB

15 чел.

Различие между двумя выборочными средними

Пусть дана выборка из значений нормально распределённой СВ и значений нормально распределенной СВ , причем

Необходимо проверить гипотезу , против гипотезы .

Заметим, что дисперсии и нам известны. Кроме того, предположение относительно нормальности распределения указанных величин не входит в проверяемую гипотезу.

Как было показано раньше, выборочные средние и являются эффективными и несмещенными оценками соответствующих математических ожиданий с соответствующими дисперсиями: .

В качестве статистики (оценки) возьмем:

   (7.1)

В (7.1) мы воспользовались свойством, дисперсия разности равна сумме дисперсий. Статистика , и теперь легко проверить, сравнив с табличными значениями, значимо ли отличается от нуля.

Если дисперсии и неизвестны, то можно воспользоваться объединённой оценкой , полученной из обеих выборок:

   (7.2)

В этом случае мы используем статистику c  степенями свободы:

 (7.3)

Вспомним, что статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Отметим, что для статистики и можно рассматривать, как двусторонние, так и односторонние критерии.

Пример 7.1. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНИХ

Имеется 13 мотков пряжи, которые надо исследовать, не изменяются ли при намокании её способность к вытягиванию. Шесть произвольных мотков подвергли испытанию на растяжение, для чего подвешивается груз фиксированной величины. Относительное удлинение мотков (СВ ) приведено в таблице:

1

2

3

4

5

6

12.3

13.7

10.4

11.4

14.9

12.6

Оставшиеся семь мотков были тщательно намочены и подвергнуты испытаниям с теми же грузами:

1

2

3

4

5

6

7

15.7

10.3

12.6

14.5

12.6

13.8

11.9

Подсчитаем:

Требуется проверить, случайно ли полученное различие?

Для этого выдвинем гипотезы . В связи с тем, что дисперсия неизвестна, вычислим объединенную выборочную дисперсию (7.2):

.

Подставим полученные значения в (7.3):

По таблицам распределения Стьюдента для одиннадцати степеней свободы определяем, что вероятность того, что отличается от нулевого среднего в любую сторону более чем на равна 0.6. Поэтому нет оснований считать полученный результат необычным. Т.е. обнаруженная разница незначима, и верна гипотеза .

Критерий Фишера

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону. Гипотезы о дисперсиях возникают довольно часто, так как дисперсия характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов, степень однородности совокупностей, риск, связанный с отклонением доходности активов от ожидаемого уровня, и т.д.

Сформулируем задачу. Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны  и . Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. : относительно конкурирующей  или .

Для проверки гипотезы  из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемом  и . Так как оценки дисперсий  и  нам неизвестны, воспользуемся несмещенными выборочными оценками дисперсий  и .

Тогда при справедливости гипотезы : в качестве оценки  можно взять те же дисперсии  и , рассчитанные по элементам первой и второй выборок.

Известно, что выборочные характеристики  и  имеют распределение  соответственно с  и  степенями свободы, а их отношение  имеет  распределение
Фишера – Снедекора с
 и  степенями свободы. Следовательно, случайная величина , определяемая отношением:

,    (7.4)

т.е. отношение несмещенных выборочных дисперсий имеет
 распределение Фишера – Снедекора с   и  степенями свободы.

Очевидно, что при равенстве дисперсий величина критерия будет равна единице. В остальных случаях она будет больше (меньше) единицы. При формировании критерия отклонения (принятия) гипотезы  следует учесть, что распределение статистики  (в отличие от нормального или распределения Стьюдента является несимметричным.)

Критерий Фишера  – двусторонний критерий, и нулевая гипотеза принимается (отвергается альтернативная гипотеза ) если . Здесь  и , где – объем первой и второй выборки соответственно.

На рис. 7.1 приведено распределение . При проверке одностороннего критерия гипотеза  отвергается в пользу альтернативной гипотезы  если  – левосторонняя критическая область (рис. 7.1а), либо если  – правосторонняя критическая область (рис. 7.1б), либо если  или  – в случае двусторонней критической области (рис. 7.1в).

Рис. 7.1 Критические области распределения Фишера – Снедекора.

Замечание. Для  критерия доказана справедливость соотношения:

.   (7.5)

Пример 7.2. СРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ДВУХ ВЫБОРОК

Пусть поставлена задача, сравнить эффективности обучения двух групп студентов по разным методикам. Успеваемость студентов – случайные величины  и  соответственно, подчинена нормальному закону распределению. В первой группе обучалось  студентов, а во второй – . Качество обучения (эффективность) характеризуется дисперсией. По данным двух выборок (групп) рассчитаны выборочные несмещенные дисперсии  и . Задавая уровень значимости , выясним, можно ли считать эффективности обучения двух методик одинаковыми.

Выдвинем нулевую гипотезу , т.е. эффективности обучения двух различных методик – одинаковы. В качестве альтернативной гипотезы рассмотрим .

Вычислим  (в числителе должна быть большая дисперсия), . По таблицам (STATISTICAProbability Distribution Calculator) находим критическое значение (правосторонняя область см. рис. 7.1б) , которое меньше вычисленного. Следовательно, нулевая гипотеза должна быть отвергнута в пользу альтернативы  . Таким образом, эффективность второй методики значительно выше (дисперсия меньше), чем первой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60783. Моделирование лица (основы) 60 KB
  На мой взгляд Surfce это один из самых удобных средств для создания более сложных моделей. Конечно же можно будет применить и NURMS если нужна будет более подробная модель но для лица чистого Surfce достаточно но только при высоких знаниях и при имении больших навыков за спиной но это только моё мнение. Я буду объяснять как работать с Surfce по собственному готовому лицу.
60786. Логические операции Boolean. Визуализатор (визуализатор архитектурных проектов) 6.97 MB
  В результате получится пуговица как на рисунке. Откроется меню стандартных примитивов показанное на рисунке справа. Появится меню показанное на рисунке справа. Должно получится примерно так как на рисунке левее.
60787. Лоскутное моделирование в 3d max 343 KB
  При работе с треугольными лоскутами важно помнить что они всегда будут содержать 72 треугольные грани независимо от размеров лоскутной сетки. Эти грани будут увеличиваться при увеличении размера лоскута или сжиматься при его уменьшении.
60788. Интерполяция результатов эксперемента 114.5 KB
  Цель работы: Изучение методов обработки результатов физических экспериментов с применением интерполяции. Получение аналитической функции описывающей закон изменения измеряемой величины.
60789. Дмитро Луценко – поет-лірик, поет-пісняр 84.5 KB
  Особливо мене схвилювали поезії про війну. Я так ніжно кохав свою дорогу матусю Щоразу коли згадую її гірку долю у мене в душі щось перевертається. Того ж вечора були написані слова: Грає море зелене Тихий день догора Дорогими...
60791. Массивы. Ввод и вывод массивов 484.5 KB
  Объявление массива Массив как и любая переменная программы перед использованием должен быть объявлен в разделе объявления переменных. В общем виде инструкция объявления массива выглядит следующим образом...