10970

Различие между двумя выборочными средними

Лекция

Математика и математический анализ

Различие между двумя выборочными средними Пусть дана выборка из значений нормально распределённой СВ и значений нормально распределенной СВ причем Необходимо проверить гипотезу против гипотезы . Заметим что дисперсии и нам известны. Кроме того предположени...

Русский

2013-04-03

173.29 KB

15 чел.

Различие между двумя выборочными средними

Пусть дана выборка из значений нормально распределённой СВ и значений нормально распределенной СВ , причем

Необходимо проверить гипотезу , против гипотезы .

Заметим, что дисперсии и нам известны. Кроме того, предположение относительно нормальности распределения указанных величин не входит в проверяемую гипотезу.

Как было показано раньше, выборочные средние и являются эффективными и несмещенными оценками соответствующих математических ожиданий с соответствующими дисперсиями: .

В качестве статистики (оценки) возьмем:

   (7.1)

В (7.1) мы воспользовались свойством, дисперсия разности равна сумме дисперсий. Статистика , и теперь легко проверить, сравнив с табличными значениями, значимо ли отличается от нуля.

Если дисперсии и неизвестны, то можно воспользоваться объединённой оценкой , полученной из обеих выборок:

   (7.2)

В этом случае мы используем статистику c  степенями свободы:

 (7.3)

Вспомним, что статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Отметим, что для статистики и можно рассматривать, как двусторонние, так и односторонние критерии.

Пример 7.1. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНИХ

Имеется 13 мотков пряжи, которые надо исследовать, не изменяются ли при намокании её способность к вытягиванию. Шесть произвольных мотков подвергли испытанию на растяжение, для чего подвешивается груз фиксированной величины. Относительное удлинение мотков (СВ ) приведено в таблице:

1

2

3

4

5

6

12.3

13.7

10.4

11.4

14.9

12.6

Оставшиеся семь мотков были тщательно намочены и подвергнуты испытаниям с теми же грузами:

1

2

3

4

5

6

7

15.7

10.3

12.6

14.5

12.6

13.8

11.9

Подсчитаем:

Требуется проверить, случайно ли полученное различие?

Для этого выдвинем гипотезы . В связи с тем, что дисперсия неизвестна, вычислим объединенную выборочную дисперсию (7.2):

.

Подставим полученные значения в (7.3):

По таблицам распределения Стьюдента для одиннадцати степеней свободы определяем, что вероятность того, что отличается от нулевого среднего в любую сторону более чем на равна 0.6. Поэтому нет оснований считать полученный результат необычным. Т.е. обнаруженная разница незначима, и верна гипотеза .

Критерий Фишера

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону. Гипотезы о дисперсиях возникают довольно часто, так как дисперсия характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов, степень однородности совокупностей, риск, связанный с отклонением доходности активов от ожидаемого уровня, и т.д.

Сформулируем задачу. Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны  и . Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. : относительно конкурирующей  или .

Для проверки гипотезы  из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемом  и . Так как оценки дисперсий  и  нам неизвестны, воспользуемся несмещенными выборочными оценками дисперсий  и .

Тогда при справедливости гипотезы : в качестве оценки  можно взять те же дисперсии  и , рассчитанные по элементам первой и второй выборок.

Известно, что выборочные характеристики  и  имеют распределение  соответственно с  и  степенями свободы, а их отношение  имеет  распределение
Фишера – Снедекора с
 и  степенями свободы. Следовательно, случайная величина , определяемая отношением:

,    (7.4)

т.е. отношение несмещенных выборочных дисперсий имеет
 распределение Фишера – Снедекора с   и  степенями свободы.

Очевидно, что при равенстве дисперсий величина критерия будет равна единице. В остальных случаях она будет больше (меньше) единицы. При формировании критерия отклонения (принятия) гипотезы  следует учесть, что распределение статистики  (в отличие от нормального или распределения Стьюдента является несимметричным.)

Критерий Фишера  – двусторонний критерий, и нулевая гипотеза принимается (отвергается альтернативная гипотеза ) если . Здесь  и , где – объем первой и второй выборки соответственно.

На рис. 7.1 приведено распределение . При проверке одностороннего критерия гипотеза  отвергается в пользу альтернативной гипотезы  если  – левосторонняя критическая область (рис. 7.1а), либо если  – правосторонняя критическая область (рис. 7.1б), либо если  или  – в случае двусторонней критической области (рис. 7.1в).

Рис. 7.1 Критические области распределения Фишера – Снедекора.

Замечание. Для  критерия доказана справедливость соотношения:

.   (7.5)

Пример 7.2. СРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ДВУХ ВЫБОРОК

Пусть поставлена задача, сравнить эффективности обучения двух групп студентов по разным методикам. Успеваемость студентов – случайные величины  и  соответственно, подчинена нормальному закону распределению. В первой группе обучалось  студентов, а во второй – . Качество обучения (эффективность) характеризуется дисперсией. По данным двух выборок (групп) рассчитаны выборочные несмещенные дисперсии  и . Задавая уровень значимости , выясним, можно ли считать эффективности обучения двух методик одинаковыми.

Выдвинем нулевую гипотезу , т.е. эффективности обучения двух различных методик – одинаковы. В качестве альтернативной гипотезы рассмотрим .

Вычислим  (в числителе должна быть большая дисперсия), . По таблицам (STATISTICAProbability Distribution Calculator) находим критическое значение (правосторонняя область см. рис. 7.1б) , которое меньше вычисленного. Следовательно, нулевая гипотеза должна быть отвергнута в пользу альтернативы  . Таким образом, эффективность второй методики значительно выше (дисперсия меньше), чем первой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75684. Лексические образные средства 219.96 KB
  Понятие образности речи Слова образность образный используются в стилистике в разных значениях. Образность в широком смысле этого слова как живость наглядность красочность изображения неотъемлемый признак всякого вида искусства форма осознания действительности с позиций какого-то эстетического идеала образность речи частное ее проявление. Стилистика рассматривает образность речи как особую стилевую черту которая получает наиболее полное выражение в языке художественной литературы. Более узкое понимание образности речи основано...
75685. Фоника. Понятие фоники. Значение звуковой организации речи 365.48 KB
  Понятие фоники Фоника раздел стилистики изучающий звуковую сторону речи. В отличие от фонетики представляющей собой раздел языкознания который изучает способы образования и акустические свойства звуков того или иного языка фоника наука об искусстве звуковой организации речи. Под фоникой понимают также звуковую организацию речи т. При этом говорят о фонике того или иного произведения исследуя например фонику поэмы стихотворения анализируя эстетическую функцию различных фонетических средств прежде всегозвуков речи.
75686. СТИЛИСТИКА СЛОВООБРАЗОВАНИЯ 189.65 KB
  Русский язык отличается исключительным богатством словообразовательных ресурсов, обладающих яркой стилистической окраской. Это обусловлено развитой системой русского словообразования, продуктивностью оценочных суффиксов, придающих словам разнообразные экспрессивные оттенки
75687. Стилистика имени числительного 164.35 KB
  Однако этот графический способ обозначения числа количества здесь уже не является единственным: параллельно могут быть использованы и словесные обозначения чисел количества что открывает пути к функционально-стилевому применению числительных.
75688. Стилистика местоимения. Употребление местоимений в разных стилях речи 158.67 KB
  Употребление местоимений в разных стилях речи При функционально-стилевой характеристике местоимений прежде всего обращает на себя внимание их особая употребительность в разговорной речи. В разговорной речи употребление местоимений сопровождается различными приемами их актуализации; ср. плеонастическое употребление местоимений при указании на субъект действия: Дима он не подведет или конструкции типа: Так оно и было; Идет она прическа платье все у нее по моде. Использование местоимений в разговорном стиле отличает также свойственная...
75689. Стилистическое использование грамматических форм имен прилагательных 117.66 KB
  Однако при субстантивации прилагательных их грамматические формы преображаются. В числе их немало экспрессивных прилагательных по своей семантике тяготеющих к эмоциональной речи что позволяет вводить их в поэзию: Несказанное синее нежное. Употребление прилагательных в значении существительных добавляет к их лексическому наполнению предметность и образность а форма среднего рода придает оттенок отвлеченности нередко создающей впечатление чего-то неуловимого не вполне осознанного: И повеяло степным луговым цветным из журн.
75690. Естественные и антропогенные опасности 11.99 KB
  Естественные и антропогенные опасности Опасностью называют различные явления процессы объекты способные в определенных условиях наносить ущерб здоровью человека или иным его ценностям а также представляющие угрозу для жизни человека. Антропогенные опасности – возникают в результате воздействия человека на среду обитания своей деятельностью и продуктами деятельности техническими средствами выбросами различных продуктов и т.Чем выше преобразующая деятельность человека тем выше уровень и число антропогенных опасностей – вредных и...
75691. Научно-технический прогресс и безопасность трудовой деятельности 18.21 KB
  Состояние условий труда при котором исключено воздействие на работающих опасных и вредных производственных факторов называется безопасностью труда. Безопасность труда это состояние трудовой деятельности труда обеспечивающее приемлемый уровень ее риска. Безопасность труда обеспечивается комплексной системой мер защиты человека от опасностей формируемых в рабочей зоне конкретным производственным технологическим процессом техническим объектом. Безопасность жизнедеятельности в условиях производства имеет и другое название охрана труда.
75692. Основные задачи специалиста (инженера) в области безопасности и труда 11.18 KB
  Задачи специалиста в области безопасности жизнедеятельности сводятся к следующему; – контроль и поддержание допустимых условий параметры микроклимата освещение и др. жизнедеятельности человека в техносфере; – идентификация опасностей генерируемых различными источниками в техносферу; – определение допустимых негативных воздействий производств и технических систем на техносферу; – разработка и применение экобиозащитной техники для создания допустимых условий жизнедеятельности человека и его защиты от опасностей; – обучение работающих и...