10972

Критерий Колмогорова-Смирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок

Лекция

Математика и математический анализ

Критерий КолмогороваСмирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок Гипотезы об однородности выборок это гипотезы о том что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности. Пусть имеются две независимые выборки произведенные из ...

Русский

2013-04-03

122.84 KB

153 чел.

Критерий Колмогорова-Смирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок

Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей с неизвестными теоретическими функциями распределения и .

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид против конкурирующей . Будем предполагать, что функции и непрерывны и для оценки используем статистику Колмогорова – Смирнова.

Критерий Колмогорова-Смирнова использует ту же самую идею, что и критерий Колмогорова. Однако различие заключается в том, что в критерии Колмогорова сравнивается эмпирическая функция распределения с теоретической, а в критерии Колмогорова-Смирнова сравниваются две эмпирические функции распределения.

Статистика критерия Колмогорова-Смирнова имеет вид:

,    (9.1)

где и – эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам c объемами и .

Гипотеза отвергается, если фактически наблюдаемое значение статистики больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.

При малых объемах выборок критические значения для заданных уровней значимости критерия можно найти в специальных таблицах. При (а практически при ) распределение статистики сводится к распределению Колмогорова для статистики . В этом случае гипотеза отвергается на уровне значимости , если фактически наблюдаемое значение больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.

Пример 1. ПРОВЕРКА ОДНОРОДНОСТИ ДВУХ ВЫБОРОК

Были осуществлены две проверки торговых точек с целью выявления недовесов. Полученные результаты сведены в таблицу:

Номер интервала

Интервалы недовесов, г

Частоты

Выборка 1

Выборка 2

1

0 – 10

3

5

2

10 – 20

10

12

3

20 – 30

15

8

4

30 – 40

20

25

5

40 – 50

12

10

6

50 – 60

5

8

7

60 – 70

25

20

8

70 – 80

15

7

9

80 – 90

5

5

Объем первой выборки был равен , а второй – .

Можно ли считать, что на уровне значимости  по результатам двух проверок (случайных выборок) недовесы овощей описываются одной и той же функцией распределения?

Решение:

Обозначим  и  – накопленные частоты выборок 1 и 2;
,  – значения их эмпирических функций распределения соответственно. Обработанные результаты сведем в таблицу:

10

3

5

0.027

0.050

0.023

20

13

17

0.118

0.170

0.052

30

28

25

0.254

0.250

0.004

40

48

50

0.436

0.500

0.064

50

60

60

0.545

0.600

0.055

60

65

68

0.591

0.680

0.089

70

90

88

0.818

0.880

0.072

80

105

95

0.955

0.950

0.005

90

110

100

1.000

1.000

0.000

Из последнего столбца таблицы видно, что . По формуле (9.1) получим . Из статистических таблиц известно, что . Так как , то принимается нулевая гипотеза , т.е. недовесы покупателям описываются одной и той же функцией распределения.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И ВЫЯВЛЕНИЕ ТРЕНДА

При анализе случайных данных часто возникает ситуации, когда требуется выяснить, являются ли наблюдения или оценки параметров статистически независимыми или же они подвержены тренду. Это особенно важно при анализе нестационарных данных.

Такие исследования, обычно, проводят на основе свободных от распределений или непараметрических методов, в которых относительно функции распределения исследуемых данных не делается никаких предположений.

Критерий серий

Рассмотрим последовательность наблюдённых значений случайной величины , причём каждое наблюдение отнесено к одному из двух взаимно исключаемых классов, которые можно обозначить просто (+) или
(–). Рассмотрим ряд примеров:

  1.  Бросание монеты: герб (+), цифра (–);
  2.  Пусть имеется выборка , со средним значением . Тогда, если , то (+), если же , то (–);
  3.  Имеется последовательность одновременных измерений двух случайных величин и . Здесь каждое наблюдение обозначим (+), если и (–), если .

В каждом из этих примерах образуется последовательность вида:

Серией называется последовательность однотипных наблюдений, перед и после которой следуют наблюдения противоположного типа или же вообще нет никаких наблюдений.

В приведенной последовательности число наблюдений равно ; а количество серий равно .

Если последовательность наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, т.е. если вероятность отдельных исходов [(+) или (−)] не меняется от наблюдения к наблюдению, то выборочное распределение числа серий в последовательности является случайной величиной со средним значением и дисперсией:

    (9.2)

   (9.3)

Здесь  число исходов (+), а  число исходов (−), естественно . В частном случае если , то:

.    (9.4)

Предположим, что есть основание подозревать наличие тренда в последовательности наблюдений, т.е. есть основание считать, что вероятность появления (+) или (−) меняются от наблюдения к наблюдению. Существование тренда можно проверить следующим образом. Примем в качестве нулевой гипотезы тренда нет, т.е. предположим, что наблюдений являются независимыми исходами одной и той же случайной величины. Тогда для проверки гипотезы с любым требуемым уровнем значимости необходимо сравнить наблюденное число серий с границами области принятия гипотезы равными  и , где .

Если наблюденное число серий окажется вне области принятия гипотезы, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута с уровнем значимости . В противном случае нулевую гипотезу можно принять.

Пример 2. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ СЕРИЙ

Имеется последовательность независимых наблюдений :

5.5

5.1

5.7

5.2

4.8

5.7

5.0

6.5

5.4

5.8

6.8

6.6

4.9

5.4

5.9

5.4

6.8

5.8

6.9

5.5

Проверим независимость наблюдений, подсчитав число серий в последовательности, полученной путем сравнения наблюдений с медианой. Применим критерий с уровнем значимости .

Из анализа данных получим, что значение является медианой. Тогда введем обозначения (+) при , (–) при . Итак, получим:

В нашем примере , а область принятия гипотезы имеет вид:

.

По статистическим таблицам находим . Т.к. , то нет оснований сомневаться в независимости наблюдений, т.е. верна гипотеза  тренд отсутствует.

Критерий инверсий

Пусть имеется последовательность из наблюдений случайной величины , обозначенных . Подсчитаем теперь, сколько раз в последовательности имеют место неравенства при . Каждое такое неравенство называется инверсией. Пусть общее число инверсий. Формально вычисляется следующим образом. Определим для множества наблюдений величины

    (9.5)

Тогда:

.   (9.6)

Рассмотрим данный метод на примере последовательности из 8 наблюдений:

5

3

8

9

4

1

7

5

шаг 1: Т.к. , то ;

шаг 2: ;

шаг 3: ;

шаг 4: ;

шаг 5: ;

шаг 6: ;

шаг 7: .

Если последовательность из наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, то число инверсий является случайной величиной со средним значением и дисперсией:

     (9.7)

.    (9.8)

Критерий  инверсий применяется примерно так же, как и критерий серий.

ПРИМЕЧАНИЕ:

Критерий инверсий – более мощный по сравнению с критерием серий при обнаружении монотонного тренда в последовательности наблюдений. Однако этот критерий не столь эффективен при выявлении тренда типа флуктуации.

Пример 3. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ИНВЕРСИЙ

Рассмотрим тот же пример, что и в критерии серий (пример 2). Общее число инверсий в 20 наблюдениях равно . Из соответствующей таблицы при уровне значимости определим область принятия гипотезы: .

Следовательно, гипотеза об отсутствии тренда должна быть отвергнута, т.к. не попадает в область принятия гипотезы .

Этот пример иллюстрирует различную чувствительность двух методов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5147. Правовой статус российских и иностранных субъектов внешнеторговой деятельности 18.19 KB
  Правовой статус российских и иностранных субъектов внешнеторговой деятельности Субъектами внешнеторговой деятельности являются российские юридические лица, а также физические лица, имеющие постоянное или преимущественное местожительство на территори...
5148. Внешнеторговый договор купли-продажи 44.35 KB
  Внешнеторговый договор купли-продажи Внешнеторговый договор(контракт) - это вид хозяйственной сделки, т.е. соглашение экономических агентов, один из которых не является резидентом Российской Федерации либо, являясь резидентом РФ, имеет за рубе...
5149. Особенности разрешения внешнеэкономических споров 22.37 KB
  Понятие арбитражного суда в международном частном праве отличается от применяемого в российском законодательстве. Под третейским (арбитражным) судом мировая практика понимает суд, избранный сторонами для разрешения спора между ними. Состав суда определяется сторонами.
5150. Страна на берегах Нила и ее жители 79.5 KB
  Страна на берегах Нила и ее жители 1. Нил - река жизни. Пять с половиной тысяч лет тому назад в Африке в нижнем течении реки Нил зародилась цивилизация Древнего Египта, ровесница Древнего Шумера. Река Нил берет начало в Центральной Африке и течет на...
5151. Общая характеристика методов проектирования систем и типовые модели анализа и синтеза 114.5 KB
  Основные положения проектирования сложных систем. Проектирование имеет целью обеспечить эффективное функционирование и взаимодействие системы в среде её практической деятельности. Именно качественное проектирование обеспечивает создание такой сис...
5152. Регулирование деятельности в области воздушных перевозок 59.5 KB
  Регулирование деятельности в области воздушных перевозок Регулированием является выдача официального указания по созданию и поддержания желаемой степени порядка. Всякое регулирование включает процесс регулирования, различные виды деятельности людей...
5153. Технологическая подготовка машиностроительного производства 58.5 KB
  Технологическая подготовка машиностроительного производства. Содержание дисциплины. Выписка из ГОСВПО Требования к обязательному минимуму содержания по дисциплине ОПДФ.03.02. Технология конструкционных материалов: Тех...
5154. Технологическая характеристика заготовительных процессов 1.86 MB
  Технологическая характеристика заготовительных процессов. Методы получения заготовок Детали машин изготавливаются либо из полуфабрикатов, полученных отрезкой из сортового проката различной формы (круга, шестигранника, листа и т.д.) или из заготов...