10972

Критерий Колмогорова-Смирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок

Лекция

Математика и математический анализ

Критерий КолмогороваСмирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности. Пусть имеются две независимые выборки произведенные из ...

Русский

2013-04-03

122.84 KB

147 чел.

Критерий Колмогорова-Смирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок

Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей с неизвестными теоретическими функциями распределения и .

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид против конкурирующей . Будем предполагать, что функции и непрерывны и для оценки используем статистику Колмогорова – Смирнова.

Критерий Колмогорова-Смирнова использует ту же самую идею, что и критерий Колмогорова. Однако различие заключается в том, что в критерии Колмогорова сравнивается эмпирическая функция распределения с теоретической, а в критерии Колмогорова-Смирнова сравниваются две эмпирические функции распределения.

Статистика критерия Колмогорова-Смирнова имеет вид:

,    (9.1)

где и – эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам c объемами и .

Гипотеза отвергается, если фактически наблюдаемое значение статистики больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.

При малых объемах выборок критические значения для заданных уровней значимости критерия можно найти в специальных таблицах. При (а практически при ) распределение статистики сводится к распределению Колмогорова для статистики . В этом случае гипотеза отвергается на уровне значимости , если фактически наблюдаемое значение больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.

Пример 1. ПРОВЕРКА ОДНОРОДНОСТИ ДВУХ ВЫБОРОК

Были осуществлены две проверки торговых точек с целью выявления недовесов. Полученные результаты сведены в таблицу:

Номер интервала

Интервалы недовесов, г

Частоты

Выборка 1

Выборка 2

1

0 – 10

3

5

2

10 – 20

10

12

3

20 – 30

15

8

4

30 – 40

20

25

5

40 – 50

12

10

6

50 – 60

5

8

7

60 – 70

25

20

8

70 – 80

15

7

9

80 – 90

5

5

Объем первой выборки был равен , а второй – .

Можно ли считать, что на уровне значимости  по результатам двух проверок (случайных выборок) недовесы овощей описываются одной и той же функцией распределения?

Решение:

Обозначим  и  – накопленные частоты выборок 1 и 2;
,  – значения их эмпирических функций распределения соответственно. Обработанные результаты сведем в таблицу:

10

3

5

0.027

0.050

0.023

20

13

17

0.118

0.170

0.052

30

28

25

0.254

0.250

0.004

40

48

50

0.436

0.500

0.064

50

60

60

0.545

0.600

0.055

60

65

68

0.591

0.680

0.089

70

90

88

0.818

0.880

0.072

80

105

95

0.955

0.950

0.005

90

110

100

1.000

1.000

0.000

Из последнего столбца таблицы видно, что . По формуле (9.1) получим . Из статистических таблиц известно, что . Так как , то принимается нулевая гипотеза , т.е. недовесы покупателям описываются одной и той же функцией распределения.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И ВЫЯВЛЕНИЕ ТРЕНДА

При анализе случайных данных часто возникает ситуации, когда требуется выяснить, являются ли наблюдения или оценки параметров статистически независимыми или же они подвержены тренду. Это особенно важно при анализе нестационарных данных.

Такие исследования, обычно, проводят на основе свободных от распределений или непараметрических методов, в которых относительно функции распределения исследуемых данных не делается никаких предположений.

Критерий серий

Рассмотрим последовательность наблюдённых значений случайной величины , причём каждое наблюдение отнесено к одному из двух взаимно исключаемых классов, которые можно обозначить просто (+) или
(–). Рассмотрим ряд примеров:

  1.  Бросание монеты: герб (+), цифра (–);
  2.  Пусть имеется выборка , со средним значением . Тогда, если , то (+), если же , то (–);
  3.  Имеется последовательность одновременных измерений двух случайных величин и . Здесь каждое наблюдение обозначим (+), если и (–), если .

В каждом из этих примерах образуется последовательность вида:

Серией называется последовательность однотипных наблюдений, перед и после которой следуют наблюдения противоположного типа или же вообще нет никаких наблюдений.

В приведенной последовательности число наблюдений равно ; а количество серий равно .

Если последовательность наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, т.е. если вероятность отдельных исходов [(+) или (−)] не меняется от наблюдения к наблюдению, то выборочное распределение числа серий в последовательности является случайной величиной со средним значением и дисперсией:

    (9.2)

   (9.3)

Здесь  число исходов (+), а  число исходов (−), естественно . В частном случае если , то:

.    (9.4)

Предположим, что есть основание подозревать наличие тренда в последовательности наблюдений, т.е. есть основание считать, что вероятность появления (+) или (−) меняются от наблюдения к наблюдению. Существование тренда можно проверить следующим образом. Примем в качестве нулевой гипотезы тренда нет, т.е. предположим, что наблюдений являются независимыми исходами одной и той же случайной величины. Тогда для проверки гипотезы с любым требуемым уровнем значимости необходимо сравнить наблюденное число серий с границами области принятия гипотезы равными  и , где .

Если наблюденное число серий окажется вне области принятия гипотезы, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута с уровнем значимости . В противном случае нулевую гипотезу можно принять.

Пример 2. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ СЕРИЙ

Имеется последовательность независимых наблюдений :

5.5

5.1

5.7

5.2

4.8

5.7

5.0

6.5

5.4

5.8

6.8

6.6

4.9

5.4

5.9

5.4

6.8

5.8

6.9

5.5

Проверим независимость наблюдений, подсчитав число серий в последовательности, полученной путем сравнения наблюдений с медианой. Применим критерий с уровнем значимости .

Из анализа данных получим, что значение является медианой. Тогда введем обозначения (+) при , (–) при . Итак, получим:

В нашем примере , а область принятия гипотезы имеет вид:

.

По статистическим таблицам находим . Т.к. , то нет оснований сомневаться в независимости наблюдений, т.е. верна гипотеза  тренд отсутствует.

Критерий инверсий

Пусть имеется последовательность из наблюдений случайной величины , обозначенных . Подсчитаем теперь, сколько раз в последовательности имеют место неравенства при . Каждое такое неравенство называется инверсией. Пусть общее число инверсий. Формально вычисляется следующим образом. Определим для множества наблюдений величины

    (9.5)

Тогда:

.   (9.6)

Рассмотрим данный метод на примере последовательности из 8 наблюдений:

5

3

8

9

4

1

7

5

шаг 1: Т.к. , то ;

шаг 2: ;

шаг 3: ;

шаг 4: ;

шаг 5: ;

шаг 6: ;

шаг 7: .

Если последовательность из наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, то число инверсий является случайной величиной со средним значением и дисперсией:

     (9.7)

.    (9.8)

Критерий  инверсий применяется примерно так же, как и критерий серий.

ПРИМЕЧАНИЕ:

Критерий инверсий – более мощный по сравнению с критерием серий при обнаружении монотонного тренда в последовательности наблюдений. Однако этот критерий не столь эффективен при выявлении тренда типа флуктуации.

Пример 3. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ИНВЕРСИЙ

Рассмотрим тот же пример, что и в критерии серий (пример 2). Общее число инверсий в 20 наблюдениях равно . Из соответствующей таблицы при уровне значимости определим область принятия гипотезы: .

Следовательно, гипотеза об отсутствии тренда должна быть отвергнута, т.к. не попадает в область принятия гипотезы .

Этот пример иллюстрирует различную чувствительность двух методов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33008. Рационализм нового времени 24.77 KB
  Рационализм можно понять как уверенность в мощи и способности разума особенно разума просвещённого руководимого правильным методом постигнуть тайны природы познать окружающий мир и самого человека с помощью здравого смысла решать практические жизненные задачи и в конечном счёте построить общество на разумных началах. И непременно с помощью разума постигать Бога. Но и Декарт Спиноза Лейбниц которых считают рационалистами также уделяли немалое внимание чувственному опыту к которому однако относились критически воле и “страстям...
33009. Философия И. Канта 28.93 KB
  Канта 22. Основные достижения философии Канта: 1. Периодизация творчества Имеет место разделение творчества Канта на докритический и критический период.: Кант находится под влиянием Лебница и разрабатывает философию как умозрительное знание.
33010. Философия Фихте и Шеллинга. Основоположения «наукоучения» в философии Фихте. Понятие «абсолютного тождества» в философии Шеллинга 25.61 KB
  Кроме того следует признать недостаточным у Канта и то что он всего лишь только описал формы мышления умственные категории и законы мысли но не выявил основного единого общего принципа познания. Ведь только наличием подобного единого общего принципа познания можно объяснить не только слаженность форм мышления умственных категорий и законов мысли но и само их внутреннее единство между собой.И это есть вопрос не только выявления недостаточности кантовской философии это вопрос концептуальный потому что задача раскрытия данного единого...
33011. Философия Гегеля 23.36 KB
  Введением к гегелевской философской системе служит его Феноменология духа где Гегель рассматривает последовательный ряд развития различных ступеней человеческого сознания от низшей формы непосредственного чувственного восприятия до высшей ступени абсолютного или чистого знания на которой все внешние предметы оказываются полностью преодоленными и дух мыслит только собственную сущность. От бытия понимаемого как явление Гегель переходит к более глубоким внутренним закономерностям к: сущности. Гегель утверждает что противоречие ...
33012. Философия марксизма 18.68 KB
  Дарвина открытие клеточного строения живых организмов изобретение проволочного телеграфа паровоза парохода автомобиля фотографии многочисленные открытия в сфере производства механизация труда; крушение идеалов Великой французской революции свобода равенство братство идеи французского Просвещения их невозможность воплощения в реальной жизни; нарастание социальноклассовых противоречий и конфликтов революция 1848 1849 гг. Суть исторического материализма в следующем: на каждом этапе общественного развития люди для...
33013. Позитивизм и его разновидности 16.86 KB
  Логика и основания развития науки в позитивизме заключались в том чтобы наблюдать описывать и систематизировать факты и на этой основе формулировать научные законы и теории. Современная философия науки начинается с Венского кружка философов участники кот выпустили манифест научное мировоззрение. По мнению неопозитивистов предметом философии д б язык науки а также деятельность философов направленная на анализ знания выраженного в языке науки. культ науки философия должна быть заменена науками в результате логического анализа языка3.
33014. Иррационализм в середине XIX века 14.55 KB
  Они вообще говоря не отвергали науку ее практическое значение для человеческой жизни но отказывались видеть в ней адекватный способ познания окружающего мира и самого человека.Кьергегор на первый план выдвигает проблему человека. Рассмотрим каковы по Кьеркегору методы и способы познания человека. По Кьеркегору никакие научные рациональные методы не годятся для познания человека.
33015. Западноевропейская философия XX века 38.12 KB
  Метод основан на идее специфики философского изучения сознания заключающегося в применении метода интуиции. Метод Эдмунда Гуссерля позволяет философии стать на позиции внутреннего вхождения в поток сознания обеспечивающий возможность непосредственно наблюдать видение структур чистого сознания. Основные формы эмоционального состояния обыденного сознания: забота вина страх ответственность страх смерти и т. В отличие от классических онтологий что как правило рассматривают бытие как объективный независимый от сознания мир Мартин...
33016. Русская православная философия 18.37 KB
  Поэтому философия приобретает религиозный характер что проявляется в русской философии в целом и ее религиозноидеалистическом направлении в частности. Важнейшие философскомировоззренческие проблемы по поводу понимания и толкования духовного и материального веры и разума смысла жизни свободы человека смерти и бессмертия и другие были в поле зрения как философии так и религии. О русской философии. Ее фундамент закладывает Киреевский определив задачи русской религиозной философии.