10972

Критерий Колмогорова-Смирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок

Лекция

Математика и математический анализ

Критерий КолмогороваСмирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности. Пусть имеются две независимые выборки произведенные из ...

Русский

2013-04-03

122.84 KB

151 чел.

Критерий Колмогорова-Смирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок

Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей с неизвестными теоретическими функциями распределения и .

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид против конкурирующей . Будем предполагать, что функции и непрерывны и для оценки используем статистику Колмогорова – Смирнова.

Критерий Колмогорова-Смирнова использует ту же самую идею, что и критерий Колмогорова. Однако различие заключается в том, что в критерии Колмогорова сравнивается эмпирическая функция распределения с теоретической, а в критерии Колмогорова-Смирнова сравниваются две эмпирические функции распределения.

Статистика критерия Колмогорова-Смирнова имеет вид:

,    (9.1)

где и – эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам c объемами и .

Гипотеза отвергается, если фактически наблюдаемое значение статистики больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.

При малых объемах выборок критические значения для заданных уровней значимости критерия можно найти в специальных таблицах. При (а практически при ) распределение статистики сводится к распределению Колмогорова для статистики . В этом случае гипотеза отвергается на уровне значимости , если фактически наблюдаемое значение больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.

Пример 1. ПРОВЕРКА ОДНОРОДНОСТИ ДВУХ ВЫБОРОК

Были осуществлены две проверки торговых точек с целью выявления недовесов. Полученные результаты сведены в таблицу:

Номер интервала

Интервалы недовесов, г

Частоты

Выборка 1

Выборка 2

1

0 – 10

3

5

2

10 – 20

10

12

3

20 – 30

15

8

4

30 – 40

20

25

5

40 – 50

12

10

6

50 – 60

5

8

7

60 – 70

25

20

8

70 – 80

15

7

9

80 – 90

5

5

Объем первой выборки был равен , а второй – .

Можно ли считать, что на уровне значимости  по результатам двух проверок (случайных выборок) недовесы овощей описываются одной и той же функцией распределения?

Решение:

Обозначим  и  – накопленные частоты выборок 1 и 2;
,  – значения их эмпирических функций распределения соответственно. Обработанные результаты сведем в таблицу:

10

3

5

0.027

0.050

0.023

20

13

17

0.118

0.170

0.052

30

28

25

0.254

0.250

0.004

40

48

50

0.436

0.500

0.064

50

60

60

0.545

0.600

0.055

60

65

68

0.591

0.680

0.089

70

90

88

0.818

0.880

0.072

80

105

95

0.955

0.950

0.005

90

110

100

1.000

1.000

0.000

Из последнего столбца таблицы видно, что . По формуле (9.1) получим . Из статистических таблиц известно, что . Так как , то принимается нулевая гипотеза , т.е. недовесы покупателям описываются одной и той же функцией распределения.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И ВЫЯВЛЕНИЕ ТРЕНДА

При анализе случайных данных часто возникает ситуации, когда требуется выяснить, являются ли наблюдения или оценки параметров статистически независимыми или же они подвержены тренду. Это особенно важно при анализе нестационарных данных.

Такие исследования, обычно, проводят на основе свободных от распределений или непараметрических методов, в которых относительно функции распределения исследуемых данных не делается никаких предположений.

Критерий серий

Рассмотрим последовательность наблюдённых значений случайной величины , причём каждое наблюдение отнесено к одному из двух взаимно исключаемых классов, которые можно обозначить просто (+) или
(–). Рассмотрим ряд примеров:

  1.  Бросание монеты: герб (+), цифра (–);
  2.  Пусть имеется выборка , со средним значением . Тогда, если , то (+), если же , то (–);
  3.  Имеется последовательность одновременных измерений двух случайных величин и . Здесь каждое наблюдение обозначим (+), если и (–), если .

В каждом из этих примерах образуется последовательность вида:

Серией называется последовательность однотипных наблюдений, перед и после которой следуют наблюдения противоположного типа или же вообще нет никаких наблюдений.

В приведенной последовательности число наблюдений равно ; а количество серий равно .

Если последовательность наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, т.е. если вероятность отдельных исходов [(+) или (−)] не меняется от наблюдения к наблюдению, то выборочное распределение числа серий в последовательности является случайной величиной со средним значением и дисперсией:

    (9.2)

   (9.3)

Здесь  число исходов (+), а  число исходов (−), естественно . В частном случае если , то:

.    (9.4)

Предположим, что есть основание подозревать наличие тренда в последовательности наблюдений, т.е. есть основание считать, что вероятность появления (+) или (−) меняются от наблюдения к наблюдению. Существование тренда можно проверить следующим образом. Примем в качестве нулевой гипотезы тренда нет, т.е. предположим, что наблюдений являются независимыми исходами одной и той же случайной величины. Тогда для проверки гипотезы с любым требуемым уровнем значимости необходимо сравнить наблюденное число серий с границами области принятия гипотезы равными  и , где .

Если наблюденное число серий окажется вне области принятия гипотезы, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута с уровнем значимости . В противном случае нулевую гипотезу можно принять.

Пример 2. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ СЕРИЙ

Имеется последовательность независимых наблюдений :

5.5

5.1

5.7

5.2

4.8

5.7

5.0

6.5

5.4

5.8

6.8

6.6

4.9

5.4

5.9

5.4

6.8

5.8

6.9

5.5

Проверим независимость наблюдений, подсчитав число серий в последовательности, полученной путем сравнения наблюдений с медианой. Применим критерий с уровнем значимости .

Из анализа данных получим, что значение является медианой. Тогда введем обозначения (+) при , (–) при . Итак, получим:

В нашем примере , а область принятия гипотезы имеет вид:

.

По статистическим таблицам находим . Т.к. , то нет оснований сомневаться в независимости наблюдений, т.е. верна гипотеза  тренд отсутствует.

Критерий инверсий

Пусть имеется последовательность из наблюдений случайной величины , обозначенных . Подсчитаем теперь, сколько раз в последовательности имеют место неравенства при . Каждое такое неравенство называется инверсией. Пусть общее число инверсий. Формально вычисляется следующим образом. Определим для множества наблюдений величины

    (9.5)

Тогда:

.   (9.6)

Рассмотрим данный метод на примере последовательности из 8 наблюдений:

5

3

8

9

4

1

7

5

шаг 1: Т.к. , то ;

шаг 2: ;

шаг 3: ;

шаг 4: ;

шаг 5: ;

шаг 6: ;

шаг 7: .

Если последовательность из наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, то число инверсий является случайной величиной со средним значением и дисперсией:

     (9.7)

.    (9.8)

Критерий  инверсий применяется примерно так же, как и критерий серий.

ПРИМЕЧАНИЕ:

Критерий инверсий – более мощный по сравнению с критерием серий при обнаружении монотонного тренда в последовательности наблюдений. Однако этот критерий не столь эффективен при выявлении тренда типа флуктуации.

Пример 3. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ИНВЕРСИЙ

Рассмотрим тот же пример, что и в критерии серий (пример 2). Общее число инверсий в 20 наблюдениях равно . Из соответствующей таблицы при уровне значимости определим область принятия гипотезы: .

Следовательно, гипотеза об отсутствии тренда должна быть отвергнута, т.к. не попадает в область принятия гипотезы .

Этот пример иллюстрирует различную чувствительность двух методов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79249. Расчет баланса рабочего времени оборудования 35.16 KB
  Годовое время работы агрегата или так называемый годовой фонд рабочего времени есть время в течении которого может выпускаться продукция. Оно рассчитывается как разница между годовым календарным временем и временем на остановки агрегата и в ряде производств называется эффективным годовым фондом времени. Фактическое время работы ФВ определяется по формуле: ФВ = [KB ВД ПД ТР КР] ЧС ДС 100 ТП 100 Где KB число календарных суток; KB = 365 суток; ВД ПД число выходных и праздничных дней; при непрерывном графике работы...
79251. Классификация и структура кадров на предприятии 13 KB
  Все работники предприятия делятся на две группы: промышленно-производственный персонал занятый производством и его обслуживанием; непромышленный персонал занятый в основном в социальной сфере деятельности предприятия. Рабочие это работники непосредственно занятые производством продукции услуг ремонтом перемещением грузов и т. Руководители работники занимающие должности руководителей предприятий и их структурных подразделений функциональных служб а также их заместители. Специалисты работники выполняющие...
79252. Расчет баланса рабочего времени. Правила планирования рабочего времени и построения графиков выходов 14.56 KB
  В настоящее время эффективность работы организации во многом определяется эффективностью повседневной работы персонала управления. Рациональные графики работы При разработке графиков требуется чтобы рабочее время работающих соответствовало месячной и годовой норме рабочего времени. На предприятиях применяются различные графики работы: При работе в одну смену испся однобригадный прерывный график работы; В цехах работающих в 2 смены с прерывной 7дневной неделей и 8часовым рабочим днем применяется 2хбригадный прерывный график работы....
79253. Методы расчета численности рабочих 14.34 KB
  Плановая численность рабочих по трудоемкости работ определяется на основе следующих исходных данных: объема и номенклатуры производственной программы трудоемкости изготовления продукции по каждой номенклатурной позиции коэффициента выполнения норм времени планового полезного эффективного фонда рабочего времени. При первом способе трудоемкость производственной программы определяется умножением количества продукции по каждому наименованию на плановые затраты рабочего времени необходимые на изготовление единицы продукции. Рассчитываются...
79254. Организация оплаты труда и стимулирования. Оценка состояния социальных условий работы коллектива 15.75 KB
  Организация оплаты труда и стимулирования. Оценка состояния социальных условий работы коллектива Оплата труда в широком смысле эта та или иная форма вознаграждения за определенное количество и качество выполненной работы. Различают денежную и неденежную формы оплаты труда. Доплаты назначаются изза объективных различий в условиях и тяжести труда.
79255. Формы и системы оплаты труда. Тарифная система оплаты труда. Бестарифная система оплаты труда 16.45 KB
  Формы и системы оплаты труда. Тарифная система оплаты труда. Бестарифная система оплаты труда Формы и системы оплаты труда Система оплаты – это определенная взаимосвязь между показателями характеризующими меру норму труда и меру его оплаты в пределах и сверх норм труда гарантирующая получение работником заработной платы в соответствии с фактически достигнутыми результатами труда относительно нормы и согласованной между работником и работодателем ценой его рабочей силы. Форма заработной платы – это тот или иной класс систем оплаты труда...
79256. Расчет сметы капитальных затрат на обновление предприятия 17.73 KB
  Капитальные вложения это средства затраты в денежном выражении которые направляются на обновление и воспроизводство основных фондов предприятия. полностью еще не самортизировала себя то ее остаточная стоимость должна быть приплюсована к капитальным вложениям так как это затраты предприятия. Смета капитальных вложений КВ: КВ = Зпир Зппп Зписмр Зо Зтмц Зпр где Зпир – затраты на проектноизыскательские работы; Зппп – затраты на подготовку новых производственных площадей к монтажу приобретаемого...