10972

Критерий Колмогорова-Смирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок

Лекция

Математика и математический анализ

Критерий КолмогороваСмирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности. Пусть имеются две независимые выборки произведенные из ...

Русский

2013-04-03

122.84 KB

150 чел.

Критерий Колмогорова-Смирнова. Проверка гипотезы об однородности выборок

Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей с неизвестными теоретическими функциями распределения и .

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид против конкурирующей . Будем предполагать, что функции и непрерывны и для оценки используем статистику Колмогорова – Смирнова.

Критерий Колмогорова-Смирнова использует ту же самую идею, что и критерий Колмогорова. Однако различие заключается в том, что в критерии Колмогорова сравнивается эмпирическая функция распределения с теоретической, а в критерии Колмогорова-Смирнова сравниваются две эмпирические функции распределения.

Статистика критерия Колмогорова-Смирнова имеет вид:

,    (9.1)

где и – эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам c объемами и .

Гипотеза отвергается, если фактически наблюдаемое значение статистики больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.

При малых объемах выборок критические значения для заданных уровней значимости критерия можно найти в специальных таблицах. При (а практически при ) распределение статистики сводится к распределению Колмогорова для статистики . В этом случае гипотеза отвергается на уровне значимости , если фактически наблюдаемое значение больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.

Пример 1. ПРОВЕРКА ОДНОРОДНОСТИ ДВУХ ВЫБОРОК

Были осуществлены две проверки торговых точек с целью выявления недовесов. Полученные результаты сведены в таблицу:

Номер интервала

Интервалы недовесов, г

Частоты

Выборка 1

Выборка 2

1

0 – 10

3

5

2

10 – 20

10

12

3

20 – 30

15

8

4

30 – 40

20

25

5

40 – 50

12

10

6

50 – 60

5

8

7

60 – 70

25

20

8

70 – 80

15

7

9

80 – 90

5

5

Объем первой выборки был равен , а второй – .

Можно ли считать, что на уровне значимости  по результатам двух проверок (случайных выборок) недовесы овощей описываются одной и той же функцией распределения?

Решение:

Обозначим  и  – накопленные частоты выборок 1 и 2;
,  – значения их эмпирических функций распределения соответственно. Обработанные результаты сведем в таблицу:

10

3

5

0.027

0.050

0.023

20

13

17

0.118

0.170

0.052

30

28

25

0.254

0.250

0.004

40

48

50

0.436

0.500

0.064

50

60

60

0.545

0.600

0.055

60

65

68

0.591

0.680

0.089

70

90

88

0.818

0.880

0.072

80

105

95

0.955

0.950

0.005

90

110

100

1.000

1.000

0.000

Из последнего столбца таблицы видно, что . По формуле (9.1) получим . Из статистических таблиц известно, что . Так как , то принимается нулевая гипотеза , т.е. недовесы покупателям описываются одной и той же функцией распределения.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И ВЫЯВЛЕНИЕ ТРЕНДА

При анализе случайных данных часто возникает ситуации, когда требуется выяснить, являются ли наблюдения или оценки параметров статистически независимыми или же они подвержены тренду. Это особенно важно при анализе нестационарных данных.

Такие исследования, обычно, проводят на основе свободных от распределений или непараметрических методов, в которых относительно функции распределения исследуемых данных не делается никаких предположений.

Критерий серий

Рассмотрим последовательность наблюдённых значений случайной величины , причём каждое наблюдение отнесено к одному из двух взаимно исключаемых классов, которые можно обозначить просто (+) или
(–). Рассмотрим ряд примеров:

  1.  Бросание монеты: герб (+), цифра (–);
  2.  Пусть имеется выборка , со средним значением . Тогда, если , то (+), если же , то (–);
  3.  Имеется последовательность одновременных измерений двух случайных величин и . Здесь каждое наблюдение обозначим (+), если и (–), если .

В каждом из этих примерах образуется последовательность вида:

Серией называется последовательность однотипных наблюдений, перед и после которой следуют наблюдения противоположного типа или же вообще нет никаких наблюдений.

В приведенной последовательности число наблюдений равно ; а количество серий равно .

Если последовательность наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, т.е. если вероятность отдельных исходов [(+) или (−)] не меняется от наблюдения к наблюдению, то выборочное распределение числа серий в последовательности является случайной величиной со средним значением и дисперсией:

    (9.2)

   (9.3)

Здесь  число исходов (+), а  число исходов (−), естественно . В частном случае если , то:

.    (9.4)

Предположим, что есть основание подозревать наличие тренда в последовательности наблюдений, т.е. есть основание считать, что вероятность появления (+) или (−) меняются от наблюдения к наблюдению. Существование тренда можно проверить следующим образом. Примем в качестве нулевой гипотезы тренда нет, т.е. предположим, что наблюдений являются независимыми исходами одной и той же случайной величины. Тогда для проверки гипотезы с любым требуемым уровнем значимости необходимо сравнить наблюденное число серий с границами области принятия гипотезы равными  и , где .

Если наблюденное число серий окажется вне области принятия гипотезы, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута с уровнем значимости . В противном случае нулевую гипотезу можно принять.

Пример 2. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ СЕРИЙ

Имеется последовательность независимых наблюдений :

5.5

5.1

5.7

5.2

4.8

5.7

5.0

6.5

5.4

5.8

6.8

6.6

4.9

5.4

5.9

5.4

6.8

5.8

6.9

5.5

Проверим независимость наблюдений, подсчитав число серий в последовательности, полученной путем сравнения наблюдений с медианой. Применим критерий с уровнем значимости .

Из анализа данных получим, что значение является медианой. Тогда введем обозначения (+) при , (–) при . Итак, получим:

В нашем примере , а область принятия гипотезы имеет вид:

.

По статистическим таблицам находим . Т.к. , то нет оснований сомневаться в независимости наблюдений, т.е. верна гипотеза  тренд отсутствует.

Критерий инверсий

Пусть имеется последовательность из наблюдений случайной величины , обозначенных . Подсчитаем теперь, сколько раз в последовательности имеют место неравенства при . Каждое такое неравенство называется инверсией. Пусть общее число инверсий. Формально вычисляется следующим образом. Определим для множества наблюдений величины

    (9.5)

Тогда:

.   (9.6)

Рассмотрим данный метод на примере последовательности из 8 наблюдений:

5

3

8

9

4

1

7

5

шаг 1: Т.к. , то ;

шаг 2: ;

шаг 3: ;

шаг 4: ;

шаг 5: ;

шаг 6: ;

шаг 7: .

Если последовательность из наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, то число инверсий является случайной величиной со средним значением и дисперсией:

     (9.7)

.    (9.8)

Критерий  инверсий применяется примерно так же, как и критерий серий.

ПРИМЕЧАНИЕ:

Критерий инверсий – более мощный по сравнению с критерием серий при обнаружении монотонного тренда в последовательности наблюдений. Однако этот критерий не столь эффективен при выявлении тренда типа флуктуации.

Пример 3. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ИНВЕРСИЙ

Рассмотрим тот же пример, что и в критерии серий (пример 2). Общее число инверсий в 20 наблюдениях равно . Из соответствующей таблицы при уровне значимости определим область принятия гипотезы: .

Следовательно, гипотеза об отсутствии тренда должна быть отвергнута, т.к. не попадает в область принятия гипотезы .

Этот пример иллюстрирует различную чувствительность двух методов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19145. Бесконечная решетка. Элементарная ячейка. Распределение нейтронов различных энергий по ячейке 419 KB
  Лекция 9. Бесконечная решетка. Элементарная ячейка. Распределение нейтронов различных энергий по ячейке. Коэффициент размножения бесконечной периодической решетки. Твэлы и ТВС реакторов ВВЭР и РБМК. 9.1. Бесконечная решетка Кроме гомогенной среды топлива и замедлите...
19146. Многогрупповой подход. Многогрупповое уравнение диффузии. Внутренние и внешние итерации. Программы нейтронно-физического расчета 207 KB
  Лекция 10. Многогрупповой подход. Многогрупповое уравнение диффузии. Внутренние и внешние итерации. Программы нейтроннофизического расчета. Коэффициенты чувствительности коэффициента размножения к изменению параметров реактора. 10.1. Многогрупповой подход. Много...
19147. Приближения точечной кинетики. Запаздывающие нейтроны. Время жизни нейтронов в реакторе с учетом запаздывающих нейтронов 148 KB
  Лекция 11. Приближения точечной кинетики. Запаздывающие нейтроны. Время жизни нейтронов в реакторе с учетом запаздывающих нейтронов. Система уравнений точечной кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов. Реактивность периоды реактора. Критичность на мгновенных и
19148. Выгорание топлива. Единицы измерения глубины выгорания. Классификация осколков деления 159.5 KB
  Лекция 12. Выгорание топлива. Единицы измерения глубины выгорания. Классификация осколков деления. Отравление и зашлаковывание реактора. Ксеноновая яма. Отравление самарием и неодимом. . Процессы происходящие в топливе во время работы реактора. Уменьшение ядер д
19149. Воспроизводство делящихся материалов. Уравнения выгорания. Расширенное воспроизводство. Оружейный и энергетический плутоний 130 KB
  Лекция 13. Воспроизводство делящихся материалов. Уравнения выгорания. Расширенное воспроизводство. Оружейный и энергетический плутоний. Малые актиноиды. Спонтанное деление. 13.1. Воспроизводство делящихся материалов. На рис. 13.1 приведена схема превращений изотопов т
19150. Радиационные характеристики отработавшего ядерного топлива (ОЯТ). Хранение и транспортировка ОЯТ 221 KB
  Лекция 14. Радиационные характеристики отработавшего ядерного топлива ОЯТ. Хранение и транспортировка ОЯТ. 14.1. Радиационные характеристики отработавшего ядерного топлива ОЯТ К радиационным характеристикам ОЯТ будем относить: активность остаточное энерговыделе
19151. Классификации реакторов АЭС. Особенности легководных, графитовых и тяжеловодных реакторов. Проблемы безопасности АЭС 65.5 KB
  Лекция 15. Классификации реакторов АЭС. Особенности легководных графитовых и тяжеловодных реакторов. Проблемы безопасности АЭС. Перспективные типы реакторов. 15.1. Классификации реакторов АЭС. Рассмотрим три классификации реакторов АЭС: по нейтронному спектру по
19152. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ТЕРМОДИНАМИКЕ 73 KB
  ТЕМА 1. Основные понятия о термодинамике 1.1. Роль термодинамики в разработке и исследовании конструкционных материалов ядерных реакторов Высокочистые вещества прецизионные сплавы композиты – основные материалы ядерной энергетики. Рафинирование. Термодинамическо...
19153. Внутренняя энергия. Первый закон термодинамики 61 KB
  2.2. Внутренняя энергия. Первый закон термодинамики Понятие энергии. Джоуль и калория. Первый закон термодинамики. Внутренняя энергия. Условность отсчета внутренней энергии. Изохорные процессы. Функции состояния и характеристические функции. Слово €œэнергия€