10973

Линейный корреляционный анализ

Лекция

Математика и математический анализ

Линейный корреляционный анализ Исключительный интерес для широкого класса задач представляет обнаружение взаимных связей между двумя и более случайными величинами. Например существует ли связь между курением и ожидаемой продолжительностью жизни между умственными

Русский

2013-04-03

175.39 KB

10 чел.

Линейный корреляционный анализ

Исключительный интерес для широкого класса задач представляет обнаружение взаимных связей между двумя и более случайными величинами. Например, существует ли связь между курением и ожидаемой продолжительностью жизни, между умственными способностями и успеваемостью и т.п. В инженерных исследованиях такие задачи, обычно, сводятся к установлению связи между некоторым предполагаемым возбуждением и наблюдаемым откликом изучаемой физической системы.

Существование таких взаимосвязей и их относительную силу можно измерить коэффициентом корреляции.

Основная задача корреляционного анализа состоит в выявлении связи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценки различных (парных, множественных, частных) коэффициентов корреляции.

Коэффициент корреляции определяется через корреляционный момент (ковариацию) по формуле:

.   (10.1)

Величина характеризует тесноту связи между случайными переменными и в генеральной совокупности. Из свойств коэффициента корреляции известно, что является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между двумя переменными. Для линейно независимых случайных величин . Но даже и для зависимых СВ может быть равен 0. В этом случае СВ и называют некоррелированными.

Пусть получена выборка пар СВ и . Тогда коэффициент корреляции можно оценить по выборочным данным следующим образом:

.     (10.2)

Вспомним несмещённые, состоятельные и эффективные оценки:

   (10.3)

;  (10.4)

;  (10.5)

. (10.6)

Тогда эмпирический коэффициент корреляции определяется по формуле:

.  (10.7)

Как и выборочный коэффициент корреляции принимает значения в интервале , причем одно из граничных значений принимается только при наличии идеальной линейной связи между наблюдениями. Нелинейная связь и (или) разброс данных, вызванных ошибками измерений или же неполной коррелированностью СВ, приводит к уменьшению абсолютного значения (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Различные степени корреляции: a) – точная линейная корреляция;
b) – умеренная линейная корреляция; c) – нелинейная корреляция;
d) – отсутствие корреляции.

Эмпирический коэффициент корреляции дает состоятельную, но смещённую оценку. Смещение равно . Однако при величина смещения составляет менее 1%. Для оценки точности выборочного значения удобно использовать некоторую функцию от :

.     (10.8)

Показано, что распределение случайной величины можно аппроксимировать нормальным распределением со средним значением и дисперсией:

.   (10.9)

Даже для независимых случайных величин эмпирический коэффициент корреляции может быть отличен от "0" вследствие случайного рассеивания результатов измерения. Т.е. из-за выборочной изменчивости необходимо проверять, свидетельствует ли не нулевые значения выборочного коэффициента корреляции о существовании статистически значимой корреляции между исследуемыми случайными величинами и . Сделать это можно, проверив гипотезу , причем отклонение гипотезы будет свидетельствовать о принятии альтернативной гипотезы значимости корреляции.

Из формулы (10.9) следует, что при выборочное распределение будет нормальным со средним и дисперсией . Поэтому область принятия гипотезы о нулевой корреляции будет иметь вид:

.   (10.10)

Здесь уровень значимости, стандартное нормальное распределение .

Пример  ЛИНЕЙНЫЙ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Имеются данные о росте и массе , выбранных наугад студентов. Есть ли основание считать, что рост и масса студентов коррелированны при уровне значимости ? Пусть рост, а
масса студента. Все данные приведены в таблице:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

178

188

178

165

175

185

183

175

183

193

188

183

173

63

95

67

66

83

75

70

77

79

70

84

84

75

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

178

180

173

185

165

185

188

163

183

183

170

185

100

84

82

77

61

79

82

68

77

75

66

77

По данным таблицы получим: , по формуле (10.8) получим , а . По таблицам стандартного нормального распределения получим . Таким образом, гипотеза должна быть отвергнута, следовательно, имеются основания считать, что между ростом и массой студентов существует значимая корреляция.

Ранговая корреляция

До сих пор нами рассматривались и анализировались зависимости между количественными переменными, измеренными в так называемых количественных шкалах. Эти шкалы с непрерывным множеством значений позволяют выявить на сколько (или во сколько раз) проявление признака у одного объекта больше (меньше), чем у другого (например, производительность труда, заработная плата, накладные расходы и т.п.).

Наряду с этим на практике часто возникает необходимость изучения связи между ординальными (порядковыми) переменными, измеренными в так называемой порядковой шкале. В этой шкале можно установить лишь порядок, в котором объекты выстраиваются по степени проявления признака (например, уровень благоустроенности жилья, класс гостиницы, тестовые баллы, экзаменационные оценки и т.п.). Если, скажем, по некоторой дисциплине два студента имеют оценки "отлично" и "удовлетворительно", то можно утверждать, уровень подготовки по этой дисциплине первого студенты выше (больше), чем второго, но нельзя сказать , на сколько или во сколько раз больше.

Оказывается, что в таких случаях проблема оценки тесноты связи разрешима, если упорядочить, или ранжировать, объекты анализа по степени выраженности измеряемых признаков. При этом каждому объекту присваивается определенный номер, называемый рангом. Например, объекту с наименьшим проявлением (значением) присваивается ранг 1, следующему за ним – ранг 2 и т.д. Объекты можно располагать и в порядке убывания значений (проявлений) признака. Если объекты ранжированы по двум признакам, то появляется возможность оценить тесноту связи между признаками, основываясь на рангах, т.е. ранговые корреляции.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена находится по формуле:

где  и  - ранги i-го объекта по переменным  и   – число пар наблюдений.

Если ранги всех объектов равны () то , т.е. при полной прямой связи коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен единице.

При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке, можно показать, что
и по формуле (10.11)
. Во всех остальных случаях .

При ранжировании данных иногда сталкиваются со случаями, когда невозможно найти существенные различия между объектами по величине проявления рассматриваемого признака. Такие объекты, как говорят, оказываются связанными. Связанным объектам приписывают одинаковые средние ранги, такие, чтобы сумма всех рангов осталась такой же, как и при отсутствии связанных рангов. Например, если у четырех объектов рассматриваемые признаки оказались одинаковыми и невозможно определить, какие из четырех рангов (4, 5, 6, 7)приписать этим объектам, то каждому объекту приписывается средний ранг, равный (4+5+6+7)/4=5.5. При наличии связанных рангов вычисляется модифицированный коэффициент корреляции Спирмена:

Здесь

число групп неразличимых рангов у переменных  и ;

 число рангов, входящих в группу неразличимых рангов переменных  и .

При проверке значимости p воспользуемся тем, что в случае справедливости нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи между переменными при  статистика


имеет  распределение Стьюдента с  степенями свободы. Поэтому  значим на уровне , если фактически наблюдаемое значение  будет больше критического (по абсолютной величине), т.е. , где  табличное значение  критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости  при числе степеней свободы .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9291. Переливание крови и ее компонентов 21.79 KB
  Лекция №10 Переливание крови и ее компонентов Трансфузиология - это раздел клинической медицины, изучающий вопросы переливания у человека крови и ее препаратов, а также крове- и плазмозамещающих жидкостей с лечебной целью. Кровь - одна из...
9292. Осложнения при переливании крови. Методы профилактики и лечения осложнений 28.73 KB
  Лекция №11 Осложнения при переливании крови. Методы профилактики и лечения осложнений. Приказ Минздрава РФ от 25 ноября 2002 года №363 Об утверждении Инструкции по применению компонентов крови Гемотрансфузионные реакции и осложнения возникают в случ...
9293. Особенности обследования и предоперационной подготовки хирургического больного 16.3 KB
  Лекция №12 Особенности обследования и предоперационной подготовки хирургического больного Предоперационный период. Цель - снижение риска развития интра- и послеоперационных осложнений. Диагностический этап Подготовительный этап. Об...
9294. Операция. Способы формирования хирургического шва 18.76 KB
  Лекция Операция. Способы формирования хирургического шва. Операция - способ хирургического вмешательства, заключающегося в проведении специального механического воздействия на органы и ткани с лечебной и диагностической целью. Операция...
9295. Послеоперационный период 21.51 KB
  Лекция №14 Послеоперационный период Воздействие патологических факторов, обусловленных болезнью и операционной травмой, вызывает состояние, которое именуется системной постагрессивной реакцией. Классификация: Ближайший период (с 1 по 5-7 день)...
9296. Общие принципы лечения переломов костей 19.25 KB
  Общие принципы лечения переломов костей И стоит вопрос так, от того что студенты знают, лекции редко читают, нескольких слов. Травматизм занимает третье место, после респираторных заболеваний У мужчин 15-29 лет стоит на первом месте. Требуют гопитал...
9297. Деонтология в хирургии 21.89 KB
  Лекция №16 Деонтология в хирургии Термин деонтология введен вначале 19 века английским философом и священником Бентом, как название науки о профессиональном поведении человека. Деонтология – учение о нравственных аспектах действия врача в сфе...
9298. Травматизм. Социально-экономическое значение. Принципы оказания медицинской помощи 24.51 KB
  Травматизм. Социально-экономическое значение. Принципы оказания медицинской помощи. Травма - воздействие на организм человека внешних факторов, которые вызывают анатомические и функциональные нарушения (сотрясение, ушибы, растяжения, разрывы, с...
9299. Травматический шок. Этиология и патогенез. Принципы лечения 23.15 KB
  Травматический шок. Этиология и патогенез. Принципы лечения Шок – внезапно возникшее критическое состояние организма, проявляющееся быстропрогрессирующим ухудшением функций жизненно важных систем. Термин введен в 1737 году французским хирургом Л...