10975

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

Лекция

Математика и математический анализ

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии В силу случайного отбора элементов данных в выборку случайными являются также оценки и коэффициентов и теоретического уравнения регрессии. Их математические ожидания при выполнении предпосылок об отклон

Русский

2013-04-03

69.28 KB

35 чел.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

В силу случайного отбора элементов данных в выборку, случайными являются также оценки  и коэффициентов и теоретического уравнения регрессии. Их математические ожидания при выполнении предпосылок об отклонении  равны соответственно . При этом оценки тем надежнее, чем меньше их разброс вокруг  и , т.е. чем меньше дисперсии  и  оценок. Очевидно, надежность полученных оценок тесно связана с дисперсией случайных отклонений . Фактически ] является дисперсией  переменной  относительно линии регрессии (дисперсией , очищенной от влияния X). Полагая все измерения равноточными, считаем, что все эти дисперсии равны между собой .

Покажем связь дисперсий коэффициентов  и  с дисперсией случайных отклонений . С этой целью представим зависимости коэффициентов  и  (формулы (11.7) и (11.8)) в виде линейных функций относительно значений зависимой переменной :

Так как   , и введя обозначение 

окончательно получим:

Аналогично:

Обозначим    , тогда окончательно получим:

Полагая, что дисперсия  постоянная и не зависит от значений , можно рассматривать  и  как некоторые постоянные. Следовательно,

Из (12.3) и (12.4) можно сделать ряд выводов.

  1.  Дисперсии  и  прямо пропорциональны дисперсии случайного отклонения .
  2.  Чем больше дисперсия независимой (объясняющей) переменной (разброс значений ), тем меньше дисперсия оценок коэффициентов.

Ввиду того, что случайные отклонения  по выборке определены быть не могут, при анализе надежности оценок коэффициентов регрессии они заменяются отклонениями  значений  переменной  от оцененной линии регрессии. Дисперсия случайных отклонений  заменяется ее несмещенной оценкой.

Тогда

В этих выражениях  – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной относительно линии регрессии). Корень квадратный из необъясненной дисперсии, т.е. , называется стандартной ошибкой оценки (стандартной ошибкой регрессии). Стандартные отклонения случайных величин  и  называются стандартными ошибками коэффициентов регрессии.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейной регрессии

Эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Поэтому коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются СВ, изменяющимися от выборки к выборке. При проведении статистического анализа перед исследователем зачастую возникает необходимость сравнения эмпирических коэффициентов регрессии  и  с некоторыми теоретически ожидаемыми значениями и этих коэффициентов.

Данный анализ производится в рамках статистической проверки параметрических гипотез.

Показано, что в предположении нормальности распределения  при данном значении , оценки  и являются несмещенными оценками и соответственно. Их выборочные распределения связаны с
распределением (Стьюдента), которое имеет  степени свободы.

На первом этапе анализа наиболее важной является задача установления линейной зависимости между переменными  и . С этой целью сформулируем гипотезы:

линейная зависимость отсутствует, коэффициент угла наклона прямой незначимо отличается от нуля;

линейная зависимость значительная и коэффициент угла наклона не равен нулю.

При проверке гипотезы воспользуемся  статистикой:

Аналогичным образом проверяется гипотеза о статистической значимости нулю коэффициента регрессии  (свободный член линейного уравнения равен нулю):

Интервальные оценки коэффициентов линейной регрессии

Как указывалось выше, коэффициенты регрессии  и являются нормально распределенными СВ, с соответствующими дисперсиями, т.е. . Тогда следующие статистики

имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Тогда, для построения доверительного интервала с заданной доверительной вероятностью  найдем по статистическим таблицам критические значения:

С учетом (12.10) получим:

Если разрешить неравенства в формулах (12.12) относительно неизвестных коэффициентов регрессии  и  то получим соответствующие доверительные интервалы

Которые с доверительной вероятностью  накрывают определяемые параметры (теоретические коэффициенты регрессии).

Особый интерес представляет выборочное распределение  при конкретном значении . Так как  ведет себя как СВ, распределенная по нормальному закону, для нее тоже можно построить доверительный интервал. Соответствующая статистика имеет вид:

В выражении (12.14) величина это выборочное стандартное отклонение наблюденного значения от предсказанного , равное

.  (12.15)

Т.о. формулы (12.13 – 12.15) дают возможность построить доверительные интервалы для неизвестных параметров ,  и , по оценкам  и .

Пример 1.  ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Имеется, выборка пар чисел рост студента (сантиметры), вес (масса) (килограммы).

Задание:

  1.  Определим прямую регрессию, задающую линейный прогноз средней массы студента по его росту.
  2.  Найдем также 95% доверительный интервал для средней массы студентов, имеющих рост 178 см.

Решение

По формуле (11.8) вычислим

.

По формуле (11.7) находим  .

Т.о. прямая регрессии, оценивающая среднюю массу студента по его росту, имеет вид:

Отсюда, для роста получим . Теперь для построения доверительного интервала для средней массы по оценке  вычислим

.

Теперь по формуле (12.14) Вычислим 95% доверительный интервал:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80847. ПОНЯТИЕ ОРГАНИЗАЦИОННОЙ СТРУКТУРЫ СИСТЕМЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ И КРИТЕРИИ ЕЕ ФОРМИРОВАНИЯ 46.5 KB
  Под организационной структурой управления понимается состав соподчиненность и взаимосвязи организационных единиц имеющих определенные права обязанности и ответственность по реализации функций управления. Организационная структура государственного управления – это особенное государственноправовое явление обусловленное общественнополитической природой социальнофункциональной ролью целями и содержанием государственного управления в обществе. Определяющие факторы: объект управления цель и задачи принципы управления.
80848. ФОРМЫ И МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ОРГАНОВ ВЛАСТИ 44.16 KB
  Государственный контроль форма осуществления государственной власти обеспечивающая соблюдение законов и других нормативных актов издаваемых органами государства. Виды гос контроля в управлении: общий и специальный; Внешний контроль осуществляемый субъектами организационно и функционально независимыми в своей деятельности от органов государственной власти РФ и внутренний контроль осуществляемый в рамках системы органов государственной власти служащий обеспечению: надлежащего исполнения нижестоящими органами и должностными лицами...
80849. ОРГАНЫ ОБЩЕЙ КОМПЕТЕНЦИИ, ИХ ФУНКЦИИ И ПОЛНОМОЧИЯ 46.13 KB
  Государственный орган – организационно оформленная группа должностных лиц наделенная компетенцией и необходимыми средствами для осуществления управления. По виду компетенции выделяют: общая компетенция общие функции управления – Правительство РФ правительства и администрации субъектов РФ отраслевая компетенция по отрасли и сфере деятельности – министерства главные управления управления межотраслевая компетенция выполняют как правило общие функции государственного управления и на основе их реализации осуществляют межотраслевую...
80850. ОБЩЕСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ КАК ОБЪЕКТ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ 46.35 KB
  Управляемые объекты центр приложения массовых усилий общества поскольку именно ими создается все необходимое. В соответствии с основными сферами жизни общества управляемые объекты подразделяются на: экономические социальные и духовные политические. Социальные управляемые объекты осуществляют деятельность направленную на сохранение жизни и здоровья человека его физическое развитие организацию дошкольного школьного высшего и специального образования на создание жилищных коммунальных бытовых условий и поддержание других важных...
80851. РАЗГРАНИЧЕНИЕ ПРЕДМЕТОВ ВЕДЕНИЯ И ПОЛНОМОЧИЙ МЕЖДУ ОРГАНАМИ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ВЛАСТИ РФ И ОРГАНАМИ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ВЛАСТИ СУБЪЕКТОВ РФ 45.77 KB
  Обеспечение соответствия конституций и законов республик уставов законов и иных нормативных правовых актов краев областей городов федерального значения автономной области автономных округов Конституции РФ и федеральным законам; б защита прав и свобод человека и гражданина; в вопросы владения пользования и распоряжения землей недрами водными и другими природными ресурсами; г разграничение государственной собственности; д природопользование; охрана окружающей среды и обеспечение экологической безопасности; е общие вопросы...
80852. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СОБСТВЕННОСТИ В СИСТЕМЕ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ 43.95 KB
  Государственная собственность форма собственности при которой имущество в том числе средства и продукты производства принадлежит государству полностью либо на основе долевой или совместной собственности. Отличия ГС от других видов собственности: в ее анонимности – мы не знаем кому принадлежит ГС; в ее неделимости – она не персонализуется; усиление социальной функции ГС – социализация экономической сферы; преследование разных целей. Место и роль ГС ее функции: контроля государства за частью национального богатства ресурсов страны...
80853. ОСНОВНЫЕ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НАУЧНЫХ ШКОЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ 50.68 KB
  Процесс управления состоит из четырех взаимосвязанных функций: планирования организации мотивации и контроля. Ситуационный подход концентрируется на том что пригодность различных методов управления определяется ситуацией. Друкера МВО; ситуационные теории методы управления меняются в зависимости от ситуации а поэтому менеджмент является ещё и искусством; теория 7S Т.
80854. ГОСУДАРСТВЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ: ПОНЯТИЕ, СПЕЦИФИКА, СООТНОШЕНИЕ С ДРУГИМИ ВИДАМИ УПРАВЛЕНЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 44.71 KB
  Атаманчук Специфика государственного управления: Атамчук 1. Координация общественного труда в масштабе государственного управления. Деятельность практически выражается в разработке органами государственного управления программ управления установления основных направлений функций всех элементов системы оперативноруководящих связей налаживании оперативного контроля за системой. Управление это административная деятельность предполагающая подчинение объекта субъекту управления.
80855. СУБЪЕКТ, ОБЪЕКТ И МЕХАНИЗМ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ 43.96 KB
  Атаманчук Система – совокупность элементов находящихся в отношениях и связях между собой и образующих определенную целостность и единство. Признаки системы: существует в окружающей среде и проявляется во взаимодействии с этой средой реагирует на изменения окружающей среды; состоит из элементов компонентов подсистем каждый из которых является относительно самостоятельным. система образуется не от суммы элементов а от целостности взаимопроникновения; система выполняет определенную цель; имеет структуру – внутреннюю форму строение;...