10975

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

Лекция

Математика и математический анализ

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии В силу случайного отбора элементов данных в выборку случайными являются также оценки и коэффициентов и теоретического уравнения регрессии. Их математические ожидания при выполнении предпосылок об отклон

Русский

2013-04-03

69.28 KB

36 чел.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

В силу случайного отбора элементов данных в выборку, случайными являются также оценки  и коэффициентов и теоретического уравнения регрессии. Их математические ожидания при выполнении предпосылок об отклонении  равны соответственно . При этом оценки тем надежнее, чем меньше их разброс вокруг  и , т.е. чем меньше дисперсии  и  оценок. Очевидно, надежность полученных оценок тесно связана с дисперсией случайных отклонений . Фактически ] является дисперсией  переменной  относительно линии регрессии (дисперсией , очищенной от влияния X). Полагая все измерения равноточными, считаем, что все эти дисперсии равны между собой .

Покажем связь дисперсий коэффициентов  и  с дисперсией случайных отклонений . С этой целью представим зависимости коэффициентов  и  (формулы (11.7) и (11.8)) в виде линейных функций относительно значений зависимой переменной :

Так как   , и введя обозначение 

окончательно получим:

Аналогично:

Обозначим    , тогда окончательно получим:

Полагая, что дисперсия  постоянная и не зависит от значений , можно рассматривать  и  как некоторые постоянные. Следовательно,

Из (12.3) и (12.4) можно сделать ряд выводов.

  1.  Дисперсии  и  прямо пропорциональны дисперсии случайного отклонения .
  2.  Чем больше дисперсия независимой (объясняющей) переменной (разброс значений ), тем меньше дисперсия оценок коэффициентов.

Ввиду того, что случайные отклонения  по выборке определены быть не могут, при анализе надежности оценок коэффициентов регрессии они заменяются отклонениями  значений  переменной  от оцененной линии регрессии. Дисперсия случайных отклонений  заменяется ее несмещенной оценкой.

Тогда

В этих выражениях  – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной относительно линии регрессии). Корень квадратный из необъясненной дисперсии, т.е. , называется стандартной ошибкой оценки (стандартной ошибкой регрессии). Стандартные отклонения случайных величин  и  называются стандартными ошибками коэффициентов регрессии.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейной регрессии

Эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Поэтому коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются СВ, изменяющимися от выборки к выборке. При проведении статистического анализа перед исследователем зачастую возникает необходимость сравнения эмпирических коэффициентов регрессии  и  с некоторыми теоретически ожидаемыми значениями и этих коэффициентов.

Данный анализ производится в рамках статистической проверки параметрических гипотез.

Показано, что в предположении нормальности распределения  при данном значении , оценки  и являются несмещенными оценками и соответственно. Их выборочные распределения связаны с
распределением (Стьюдента), которое имеет  степени свободы.

На первом этапе анализа наиболее важной является задача установления линейной зависимости между переменными  и . С этой целью сформулируем гипотезы:

линейная зависимость отсутствует, коэффициент угла наклона прямой незначимо отличается от нуля;

линейная зависимость значительная и коэффициент угла наклона не равен нулю.

При проверке гипотезы воспользуемся  статистикой:

Аналогичным образом проверяется гипотеза о статистической значимости нулю коэффициента регрессии  (свободный член линейного уравнения равен нулю):

Интервальные оценки коэффициентов линейной регрессии

Как указывалось выше, коэффициенты регрессии  и являются нормально распределенными СВ, с соответствующими дисперсиями, т.е. . Тогда следующие статистики

имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Тогда, для построения доверительного интервала с заданной доверительной вероятностью  найдем по статистическим таблицам критические значения:

С учетом (12.10) получим:

Если разрешить неравенства в формулах (12.12) относительно неизвестных коэффициентов регрессии  и  то получим соответствующие доверительные интервалы

Которые с доверительной вероятностью  накрывают определяемые параметры (теоретические коэффициенты регрессии).

Особый интерес представляет выборочное распределение  при конкретном значении . Так как  ведет себя как СВ, распределенная по нормальному закону, для нее тоже можно построить доверительный интервал. Соответствующая статистика имеет вид:

В выражении (12.14) величина это выборочное стандартное отклонение наблюденного значения от предсказанного , равное

.  (12.15)

Т.о. формулы (12.13 – 12.15) дают возможность построить доверительные интервалы для неизвестных параметров ,  и , по оценкам  и .

Пример 1.  ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Имеется, выборка пар чисел рост студента (сантиметры), вес (масса) (килограммы).

Задание:

  1.  Определим прямую регрессию, задающую линейный прогноз средней массы студента по его росту.
  2.  Найдем также 95% доверительный интервал для средней массы студентов, имеющих рост 178 см.

Решение

По формуле (11.8) вычислим

.

По формуле (11.7) находим  .

Т.о. прямая регрессии, оценивающая среднюю массу студента по его росту, имеет вид:

Отсюда, для роста получим . Теперь для построения доверительного интервала для средней массы по оценке  вычислим

.

Теперь по формуле (12.14) Вычислим 95% доверительный интервал:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76504. Алиментные правоотношения родителей и детей 21.08 KB
  80 СК РФ Родители обязаны содержать своих несовершеннолетних детей.27 ГК РФ обязанность родителей содержать своих детей прекращается ст. Гражданский кодекс РФ наделяет детей достигших 14-летнего возраста заключать соглашение об уплате алиментов с согласия своего родителя или иного законного представителя ст.
76505. Алиментные правоотношения родителей и совершеннолетних детей 19.06 KB
  И здесь следует остановиться на соглашении об уплате алиментов. Соглашение об уплате алиментов способ добровольной уплаты алиментов. Родители вправе заключить соглашение о предоставлении алиментов своим совершеннолетним детям независимо от их нетрудоспособности и нуждаемости.
76506. Алиментные правоотношения других членов семьи 17 KB
  Трудоспособные совершеннолетние братья и сестры обладающие необходимыми средствами обязаны содержать своих нуждающихся в помощи несовершеннолетних братьев и сестер в случае невозможности получения ими содержания от своих родителей а также нетрудоспособных нуждающихся в помощи совершеннолетних братьев и сестер если они не могут получить содержание от своих трудоспособных совершеннолетних детей супругов бывших супругов или от родителей ст. 94 СК РФ предусмотрена алиментная обязанность дедушки и бабушки в отношении своих внуков. К...
76507. Соглашение об уплате алиментов (понятие, форма, содержание, правовое значение) 17.43 KB
  Заключить соглашение может также лицо не являющееся алиментообязанным когда нет оснований для назначения алиментов в судебном порядке. Соглашение об уплате алиментов должно быть заключено в письменной форме с последующим нотариальным удостоверением п. В содержании соглашения об уплате алиментов должны быть указаны размер алиментов; порядок и способы их уплаты.
76508. Порядок взыскания и уплаты алиментов 19.8 KB
  2 ст 104 Семейного кодекса РФ установлены следующие способы уплаты алиментов: долевой в процентах к заработку и или доходу плательщика; в твердой сумме уплачиваемой периодически; в твердой сумме уплачиваемой единовременно; путем предоставления имущества это может быть единовременно или периодически в согласованные периоды; смешанные варианты. 81 Семейного кодекса Российской Федерации размер алиментов зависит от материального или семейного положения сторон и иных заслуживающих внимания обстоятельств. Взыскание алиментов...
76509. Взыскание задолженности по алиментам 17.93 KB
  Задолженность по уплате алиментов может образоваться в двух случаях: Судом установлен размер алиментов в твердой денежной сумме однако алиментообязанное лицо по какимто причинам не платит положенные алименты. Судом установлен размер алиментов в процентах от заработка однако алиментообязанное лицо нигде не работает и не получает иного дохода. В первом случае расчет задолженности по алиментам не составляет особого труда: необходимо умножить количество месяцев в течение которых не производилась уплата алиментов на твердую денежную сумму...
76510. Прекращение алиментных правоотношений 17.14 KB
  Так если алиментные обязательства были установлены соглашением сторон об уплате алиментов то они согласно п. 120 СК прекращаются: смертью одной из сторон; истечением срока действия соглашения; по иным основаниям непосредственно предусмотренным соглашением об уплате алиментов например при восстановлении трудоспособности или прекращении нуждаемости бывшего супруга на содержание которого другим бывшим супругом выплачивались алименты. Что же касается алиментов взыскиваемых в судебном порядке то основания...
76511. Формы контроля знаний, умений и навыков учащихся на уроках русского языка 33 KB
  Формы контроля знаний умений и навыков учащихся на уроках русского языка. Устный опрос На уроках контроль знаний учащихся осуществляется в виде фронтальной и индивидуальной проверки. При фронтальном опросе за короткое время проверяется состояние знаний учащихся всего класса по определенному вопросу или группе вопросов. Индивидуальный устный опрос позволяет выявить правильность ответа по содержанию его последовательность самостоятельность суждений и выводов степень развития логического мышления культуру речи учащихся.
76512. Понятие «компетенция» в методике русского языка. Виды компетенций 28 KB
  Понятие компетенция в методике русского языка. Введение понятия компетенция в методику преподавания русского языка в школе связано с поисками более точного строгого определения целей обучения с выявлением уровней владения языком иначе говоря с ответом на вопрос как ученик владеет языком. Коммуникативная компетенция предполагает овладение всеми видами речевой деятельности и основами культуры устной и письменной речи базовыми умениями и навыками использования языка в жизненно важных для данного возраста сферах и ситуациях общения....