10975

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

Лекция

Математика и математический анализ

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии В силу случайного отбора элементов данных в выборку случайными являются также оценки и коэффициентов и теоретического уравнения регрессии. Их математические ожидания при выполнении предпосылок об отклон

Русский

2013-04-03

69.28 KB

35 чел.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

В силу случайного отбора элементов данных в выборку, случайными являются также оценки  и коэффициентов и теоретического уравнения регрессии. Их математические ожидания при выполнении предпосылок об отклонении  равны соответственно . При этом оценки тем надежнее, чем меньше их разброс вокруг  и , т.е. чем меньше дисперсии  и  оценок. Очевидно, надежность полученных оценок тесно связана с дисперсией случайных отклонений . Фактически ] является дисперсией  переменной  относительно линии регрессии (дисперсией , очищенной от влияния X). Полагая все измерения равноточными, считаем, что все эти дисперсии равны между собой .

Покажем связь дисперсий коэффициентов  и  с дисперсией случайных отклонений . С этой целью представим зависимости коэффициентов  и  (формулы (11.7) и (11.8)) в виде линейных функций относительно значений зависимой переменной :

Так как   , и введя обозначение 

окончательно получим:

Аналогично:

Обозначим    , тогда окончательно получим:

Полагая, что дисперсия  постоянная и не зависит от значений , можно рассматривать  и  как некоторые постоянные. Следовательно,

Из (12.3) и (12.4) можно сделать ряд выводов.

  1.  Дисперсии  и  прямо пропорциональны дисперсии случайного отклонения .
  2.  Чем больше дисперсия независимой (объясняющей) переменной (разброс значений ), тем меньше дисперсия оценок коэффициентов.

Ввиду того, что случайные отклонения  по выборке определены быть не могут, при анализе надежности оценок коэффициентов регрессии они заменяются отклонениями  значений  переменной  от оцененной линии регрессии. Дисперсия случайных отклонений  заменяется ее несмещенной оценкой.

Тогда

В этих выражениях  – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной относительно линии регрессии). Корень квадратный из необъясненной дисперсии, т.е. , называется стандартной ошибкой оценки (стандартной ошибкой регрессии). Стандартные отклонения случайных величин  и  называются стандартными ошибками коэффициентов регрессии.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейной регрессии

Эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Поэтому коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются СВ, изменяющимися от выборки к выборке. При проведении статистического анализа перед исследователем зачастую возникает необходимость сравнения эмпирических коэффициентов регрессии  и  с некоторыми теоретически ожидаемыми значениями и этих коэффициентов.

Данный анализ производится в рамках статистической проверки параметрических гипотез.

Показано, что в предположении нормальности распределения  при данном значении , оценки  и являются несмещенными оценками и соответственно. Их выборочные распределения связаны с
распределением (Стьюдента), которое имеет  степени свободы.

На первом этапе анализа наиболее важной является задача установления линейной зависимости между переменными  и . С этой целью сформулируем гипотезы:

линейная зависимость отсутствует, коэффициент угла наклона прямой незначимо отличается от нуля;

линейная зависимость значительная и коэффициент угла наклона не равен нулю.

При проверке гипотезы воспользуемся  статистикой:

Аналогичным образом проверяется гипотеза о статистической значимости нулю коэффициента регрессии  (свободный член линейного уравнения равен нулю):

Интервальные оценки коэффициентов линейной регрессии

Как указывалось выше, коэффициенты регрессии  и являются нормально распределенными СВ, с соответствующими дисперсиями, т.е. . Тогда следующие статистики

имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Тогда, для построения доверительного интервала с заданной доверительной вероятностью  найдем по статистическим таблицам критические значения:

С учетом (12.10) получим:

Если разрешить неравенства в формулах (12.12) относительно неизвестных коэффициентов регрессии  и  то получим соответствующие доверительные интервалы

Которые с доверительной вероятностью  накрывают определяемые параметры (теоретические коэффициенты регрессии).

Особый интерес представляет выборочное распределение  при конкретном значении . Так как  ведет себя как СВ, распределенная по нормальному закону, для нее тоже можно построить доверительный интервал. Соответствующая статистика имеет вид:

В выражении (12.14) величина это выборочное стандартное отклонение наблюденного значения от предсказанного , равное

.  (12.15)

Т.о. формулы (12.13 – 12.15) дают возможность построить доверительные интервалы для неизвестных параметров ,  и , по оценкам  и .

Пример 1.  ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Имеется, выборка пар чисел рост студента (сантиметры), вес (масса) (килограммы).

Задание:

  1.  Определим прямую регрессию, задающую линейный прогноз средней массы студента по его росту.
  2.  Найдем также 95% доверительный интервал для средней массы студентов, имеющих рост 178 см.

Решение

По формуле (11.8) вычислим

.

По формуле (11.7) находим  .

Т.о. прямая регрессии, оценивающая среднюю массу студента по его росту, имеет вид:

Отсюда, для роста получим . Теперь для построения доверительного интервала для средней массы по оценке  вычислим

.

Теперь по формуле (12.14) Вычислим 95% доверительный интервал:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26624. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МОЛОКА ПРИ РАДИАЦИОННОМ ПОРАЖЕНИИ ЖИВОТНЫХ 1.66 KB
  САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МОЛОКА ПРИ РАДИАЦИОННОМ ПОРАЖЕНИИ ЖИВОТНЫХ. При загрязнении молока этими изотопами его можно очистить с помощью ионообменных смол 75 90. Из загрязненного молока рекомендуется вырабатывать сливочное и топленое масло переход радиоактивных веществ молока в сливочное масло не превышает 4 а в топленое 1 или сыр и творог кислотным способом переход радиоизотопов в готовый продукт не превышает 20 активности молока.
26625. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МОЛОКА ПРИ ТУБЕРКУЛЕЗЕ И БРУЦЕЛЛЕЗЕ Ж/Х. ТУБЕРКУЛЕЗ 5.88 KB
  Молоко становится жидким с наличием хлопьев приобретает зеленоватожелтую окраску и соленый вкус. Если туберкулезом поражена молочная железа молоко голубоватого цвета. Молоко от животных больных туберкулезом кипятят в течение 10 мин и используют для откорма животных. Молоко от нереагирующих аллергически коров из неблагополучного по туберкулезу хозяйства пастеризуют непосредственно на ферме при температуре 90 С в течение 5 мин или при температуре 85 С в течение 30 мин.
26626. САН. ОЦЕНКА МЯСА ПРИ ИСТОЩЕНИИ, ЖЕЛТУШНОСТИ, ГИДРЕМИИ, БЛЕДНОЙ ОКРАСКЕ 8.29 KB
  При наличии дистрофических изменений в мускулатуре тушу вместе с органами направляют на утилизацию. При наличии дегенеративных изменений в мускулатуре тушу со всеми органами направляют на утилизацию. При положительном результате внутренние органы направляют на утилизацию а тушу на проварку. Если возбудителей токеиксинфекций не выделено то тушу и непораженные внутренние органы направляют на промышленную переработку.
26627. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МЯСА ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ В НЕМ САЛЬМОНЕЛЛ 4.92 KB
  САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МЯСА ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ В НЕМ САЛЬМОНЕЛЛ. ПРОФИЛАКТИКА: избегать обсеменения мяса в процессе убоя и переработки; не допускать к убою утомленных животных а также подвергшихся перед убоем длительному голоданию свыше 24 часов перегреванию или переохлаждению; больных животных и сальмонеллоносителей следует убивать на санитарной бойне; осуществлять грамотный ветсан контроль при заготовках транспортировке убое скота переработке и хранении мясных туш; получении и переработке молока. при отсутствии патологических изменений...
26628. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МЯСА ПРИ ПИРОПЛАЗМИДОЗАХ 4.32 KB
  Паразитируют в эритроцитах бабезии анаплазмы пироплазмы франсиеллы нутталии или в эритроцитах и клетках ретикулоэндотелиальной системы лимфоузлов печени селезенки костного мозга тейлерии а иногда в лейкоцитах и плазме крови. Характерны общая анемичность и желтушность увеличение печени и селезенки кровоизлияния на слизистых и серозных оболочках жидкая светлая кровь. При тейлериозе в лимфоузлах почках и печени обнаруживают небольшие бугорки плотные на ощупь с кровоизлияниями. Окончательный диагноз ставят на основании...
26629. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ ПЛЕРОЦЕРКОИДА ШИРОКОГО ЛЕНТЕЦА 4.09 KB
  Дефинитивные хозяева человек собака кошка; первый промежуточный хозяин рачокциклоп а второй рыбы щука окунь ерш налим. Человек и домашние плотоядные животные заболевают при поедании плохо проваренной рыбы зараженной плероцеркоидами лентеца широкого. В теле циклопа корацидий развивается в процеркоида а у рыбы проглотившей зараженного рачка в плероцеркоида. Другими видами лентецов являются лентецы малый и узкий Дефинитивные хозяева человек плотоядные животные и рыбоядные птицы; промежуточные хозяева ...
26630. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА РЫБЫ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ МЕТАЦЕРКАРИЕВ КОШАЧЬЕЙ ДВУУСТКИ 7.28 KB
  САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА РЫБЫ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ МЕТАЦЕРКАРИЕВ КОШАЧЬЕЙ ДВУУСТКИ. Человек заражается при поедании сырой вяленой слабо соленой и недостаточно проваренной рыбы пораженной личинками гельминтов. Поэтому проводят санитарную экспертизу свежевыловленной а в отдельных случаях и замороженной рыбы. Исследование соленой копченой вяленой сушеной и маринованной рыбы не дает объективных результатов.
26631. САНОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ПАРАТУБЕРКУЛЕЗЕ КРС 3.81 KB
  Кроме общих признаков недомогания наблюдают профузный понос отеки в межчелюстной области в области подгрудка и в нижней части живота отекают веки появляется шилозадость. При наличии патологоанатомических изменений в кишечнике в брыжеечных лимфоузлах гортани отеке межчелюстной области головы измененные внутренние органы и кишечник с брыжейкой направляют на утилизацию а тушу и другие продукты убоя выпускают без ограничения.
26632. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ПАСТЕРЕЛЛЕЗЕ 3.17 KB
  При сверхостром и остром: повыш t угнетение конъюнктивит в области головы и шеи отеки опухание языка; у свиней затрудненное дыхание красные пятна на коже живота за ушами не бледнеющие при надавливании. В области головы и шеи студенистые инфильтраты в п к при разрезе прозрачная янтарная жидкость.